83
§3.2 可测函数的收敛性
教学目的 使学生对可测函数序列的几乎处处 收敛性, 依测度收敛性
和几乎一致收敛性及它们的之间蕴涵关系有一个全面的了解.
本节要点 本节引进的几种收敛是 伴随测度的建立而产生的新的收敛
性. 特别是依测度收敛是一种全新的收敛, 与熟知的处处收敛有很大的差
异. Egorov 定理和 Riesz 定理等揭示了这几种收敛之间的关系. Riesz 定
理在几乎处处收敛和较难处理的依测度收敛之间架起了一座桥梁.
设 ),,( μFX 是一测度空间 . 以下所有的讨论都是在这一测度空间上
进行的 . 先介绍几乎处处成立的概念 .
几乎处处成立的性质 设 )(xP 是一个定义在 E 上与 x 有关的命题 . 若
存在一个零测度集 N, 使得当 Nx? 时 )(xP 成立 ( 换言之 ,
})(:{ 不成立xPxN? ), 则称 P (关于测度 μ )在 E 上几乎处处成立 . 记为
)(xP a.e.?μ , 或者 )(xP a.e.
在上面的定义中 , 若 )(xP 几乎处处成立 , 则集 })(:{ 不成立xPx 包含在
一个零测度集内 . 若 })(:{ 不成立xPx 是可测集 , 则由测度的单调性知道
.0}))(:({ =不成立xPxμ 特别地 , 当测度空间 ),,( μFX 是完备的时候如
此 .
例 1 设给定两个函数 f 和 g. 若存在一个零测度集 N, 使得当 Nx? 时
),()( xgxf = 则称 f 和 g 几乎处处相等 , 记为 gf = a.e.
例 2 设 f 为一广义实值函数 . 若存在一个零测度集 N, 使得当 Nx? 时
,+∞<f 则称 f 是几乎处处有限的 , 记为 +∞<f , a.e.
注 1 设 f 是几乎处处有限的可测函数 , 则存在一零测度集 N, 使得当
Nx? 时 .+∞<f 令 .
~
c
N
fIf = 则 f
~
是处处有限的可测函数并且 a.e..
~
ff =
因此 , 在讨论几乎处处有限的可测函数的性质时 , 若在一个零测度集上改
变函数的值不影响该性质 , 则不妨假定所讨论的函数是处处有限的 .
注意 , f 几乎处处有限与 a.e.Mf ≤ 是不同的概念 . a.e.Mf ≤ 表示
84
存在一个零测度集 N, 使得 f 在
c
N 上有界 . 显然 a.e.Mf ≤ 蕴涵 f 几乎处
处有限 . 但反之不然 . 例如 , 设 ),10(
1
)( ≤<= x
x
xf .)0( +∞=f 则 f 在
)1,0( 上关于 L 测度是几乎处处有限的 , 但在 )1,0( 中并不存在一个 L 零测
度集 N 和 ,0>M 使得在 N?)1,0( 上 , .)( Mxf ≤ 初学者常常在这里发生
误解 , 应当引起注意 .
可测函数的几种收敛性 和定义在区间上的函数列的一致收敛一样 ,
可以定义在任意集上的函数列的一致收敛性 . 设 E 是 X 的子集 .
)1(, ≥nff
n
定义在 E 上的函数 . 若对任意 0>ε , 存在 ,0>N 使得当
Nn ≥ 时 , 对一切 Ex∈ 成立 ,)()( ε<? xfxf
n
则称 }{
n
f 在 E 上一致收敛于
f , 记为 ..unff
n
→
定义 1 设 }{
n
f 为一可测函数列 , f 为一可测函数 .
(1) 若存在一个零测度集 N, 使得当 Nx? 时 , 有 )()(lim xfxf
n
n
=
∞→
,
则称 }{
n
f 几乎处处收敛于 f, 记为 ff
n
n
=
∞→
lim a.e., 或 ff
n
?→?
a.e.
.
(2) 若对任给的 0>ε , 总有
.0})({lim =≥?
+∞→
εμ ff
n
n
则称 }{
n
f 依测度收敛于 f, 记为 .ff
n
?→?
μ
(3) 若对任给的 0>δ , 存在可测集
δ
E , δμ
δ
<)(E , 使得 }{
n
f
在
c
E
δ
上一致收敛于 f, 则称 }{
n
f 几乎一致收敛于 f, 记为
n
n
flim =f a.un., 或
ff
n
??→?
a..un.
.
容易证明 , 若将两个 a.e.相等的函数不加区别 , 则上述几种极限的极限
是唯一的 . 例如 , 若 ,
a.e.
ff
n
?→? gf
n
?→?
a.e.
, 则 gf = a.e.. 其证明留作习
题 .
例 3 设 ))),,0[(),,0([ m+∞+∞ M 为区间 ),0[ ∞+ 上的 Lebesgue 测度空间 .
其中 )),0[( +∞M 是 ),0[ ∞+ 上的 L 可测集所成的 σ -代数 , m 是
1
R 上的 L 测度
在 ),0[ ∞+ 上的限制 . 令
85
.1),(1)(
),
1
(
≥?= nxIxf
n
n
n
则对任意 ,0>x ).(0)( ∞→→ nxf
n
当 0=x 时 )(xf
n
不收敛于 0. 但
,0})0({ =m 因此在 ),0[ ∞+ 上 .0
a.e.
?→?
n
f 由于对 ,
2
1
=ε
).(,0
)),[]
1
,0([})
2
1
({
/
+∞→?→?+∞=
+∞∪=≥
n
n
n
mfm
n
因此 }{
n
f 不依测度收敛于 0. 这个例子表明在一般情况下 , 几乎处处收敛不
一定能推出依测度收敛 .
例 4 设 )]),1,0[(],1,0[( mM 是 ]1,0[ 上的 Lebesgue 测度空间 . 令
.1,)( ≥= nxxf
n
n
则对任意 0>δ , }{
n
f 在 ]1,0[ δ? 上一致收敛于 0 .由于 δδ =? ])1,1((m 可以
任意小 , 因此 0
a..un.
??→?
n
f . 又显然 .0
a.e.
?→?
n
f
例 5 设 )]),1,0[(],1,0[( mM 是 ]1,0[ 上的 Lebesgue 测度空间 . 令
.1,,,1],,
1
[ ≥=
?
= nni
n
i
n
i
A
i
n
L
将 }{
i
n
A 先按照 n 后按照 i 的顺序重新编号记为 }{
n
E . 显然 .0)( →
n
Em 令
)()( xIxf
n
En
= , 1≥n ,
.0)( =xf
对任意 0>ε , 由于
.,0)(})({ ∞→→=≥? nEmffm
nn
ε
故 }{
n
f 依测度收敛于 f. 但 }{
n
f 在 ]1,0[ 上处处不收敛 . 事实上 , 对任意
]1,0[
0
∈x , 必有无穷多个
n
E 包含
0
x , 也有无穷多个
n
E 不包含
0
x . 故有无
穷多个 n使得 ,1)(
0
=xf
n
又有无穷多个 n使得 .0)(
0
=xf
n
因此 }{
n
f 在
0
x 不
收敛 . 这个例子表明依测度收敛不能推出几乎处处收敛 . 例 3 和例 4 表明 ,
依测度收敛和几乎处处收敛所包含的信息可能相差很大 .
几种收敛性之间的关系 为叙述简单计 , 以下我们设所讨论的函数都
是实值可测函数 . 但以下结果对几乎处处有限的可测函数也是成立的由 (见
注 1 的说明 ).
引理 2 设 +∞<)(Xμ . 若 .
a.e.
ff
n
?→? 则对任意 0>ε 有
86
.0)}{(lim =≥?
∞
=
∞→
U
ni
i
n
ff εμ
证明 设 0>ε 是一给定的正数 . 任取 Xx∈ , 若对任意 ,1≥n 存在
,ni ≥ 使得 .)()( ε≥? xfxf
i
则 )()( xfxf
n
不收敛于 . 这表明
IU
∞
=
∞
=
≥?
1
}{
nni
i
ff ε )}.()(:{
/
xfxfx
n
?→??
由于 ,
a.e.
ff
n
?→? 因此由上式知道
.0}{
1
=
?
?
?
?
?
?
?
?
≥?
∞
=
∞
=
IU
nni
i
ff εμ
由于 +∞<)(Xμ , 由测度的上连续性 , 我们有
0}{}{lim
1
=
?
?
?
?
?
?
?
?
≥?=
?
?
?
?
?
?
?
?
≥?
∞
=
∞
=
∞
=
∞→
IUU
nni
i
ni
i
n
ffff εμεμ . ■
容易证明 , 若 ,
a..un.
ff
n
??→? 则 ff
n
?→?
a.e.
(其证明留作习题 ). 下面的
定理表明当 +∞<)(Xμ 时 , 其逆也成立 .
定理 3 (叶戈洛夫 )若 +∞<)(Xμ , 则 ff
n
?→?
a.e.
蕴涵 .
a..un.
ff
n
??→?
证明 设 +∞<)(Xμ , .
a.e.
ff
n
?→? 由引理 2 , 对任意 0>ε , 有
.0}{lim =
?
?
?
?
?
?
?
?
≥?
∞
=
∞→
U
ni
i
n
ff εμ
于是对任意的 0>δ 和自然数 1≥k , 存在自然数
k
n 使得
.
2
}
1
{
k
ni
i
k
k
ff
δ
μ <
?
?
?
?
?
?
?
?
≥?
∞
=
U
令
.}
1
{
1
UU
∞
=
∞
=
≥?=
kni
i
k
k
ffE
δ
由测度的次可数可加性我们有
.
2
}
1
{)(
11
δ
δ
μμ
δ
=≤
?
?
?
?
?
?
?
?
≥?≤
∑∑
∞
=
∞
=
∞
= k
k
k ni
i
k
k
ffE
U
往证在
c
E
δ
上 , }{
n
f 一致收敛于 f. 事实上 , 由 De Morgan 公式得
87
.1,}
1
{
}
1
{
1
≥<??
<?=
∞
=
∞
=
∞
=
k
k
ff
k
ffE
k
k
ni
i
kni
i
c
I
IIδ
(1)
对任意 0>ε , 取 k 足够大使得 .
1
ε<
k
则由 (1)式知道 , 当
k
ni ≥ 时对一切
c
Ex
δ
∈ , 有
.
1
)()( ε<<?
k
xfxf
i
即在
c
E
δ
上 }{
n
f 一致收敛于 f. 这就证明了 ff
n
??→?
a..un.
. 定理证毕 .
注 2 在叶戈洛夫定理中 , 条件 +∞<)(Xμ 不能去掉 . 例如 , 若令
),()(
),[
xIxf
nn +∞
= .1≥n 则 }{
n
f 在
1
R 上处处收敛于 0. 但容易知道 }{
n
f 不
是几乎一致收敛于 0.
定理 4 若 +∞<)(Xμ , 则 ff
n
?→?
a.e.
蕴涵 .ff
n
?→?
μ
证明 设 +∞<)(Xμ , .
a.e.
ff
n
?→? . 由引理 2 , 对任意 0>ε 有
.0}{lim =
?
?
?
?
?
?
?
?
≥?
∞
=
∞→
U
ni
i
n
ff εμ
由测度的单调性立即得到
()≤≥?
∞→
}{lim εμ ff
n
n
.0}{lim =
?
?
?
?
?
?
?
?
≥?
∞
=
∞→
U
ni
i
n
ff εμ
即 .ff
n
?→?
μ
■
本节例 3 表明 , 在定理 4 中 , 条件 +∞<)(Xμ 不能去掉 .
定理 5 (Riesz) 若 ,ff
n
?→?
μ
则存在 }{
n
f 的子列 }{
k
n
f , 使得
.
a.e.
ff
k
n
?→?
证明 设 .ff
n
?→?
μ
对任意 0>ε 和 0>δ , 存在 1≥N , 使得当 Nn ≥
时 , 有
δεμ <≥? })({ ff
n
.
于是对任意自然数 1≥k , 存在自然数
k
n , 使得
.
2
1
})
1
({
k
n
k
ff
k
<≥?μ (2)
88
我们可适当选取
k
n 使得 L,2,1,
1
=<
+
knn
kk
. 往证 .
a.e.
ff
k
n
?→? 令
L
I
,2,1,}
1
{ =<?=
∞
=
i
k
ffE
ik
ni
k
.
对任意
i
Ex∈ , 当 ik ≥ 时 ,
.
1
)()(
k
xfxf
k
n
<?
这表明 }{
k
n
f 在
i
E 上收敛于 f. 令 .
1
U
∞
=
=
i
i
EE 则 }{
k
n
f 在 E 上收敛于 f. 往证
.0)( =
c
Eμ 由 De Morgan 公式 , 我们有
.}
1
{
11
IIU
∞
=
∞
=
∞
=
≥?==
iiik
n
c
i
c
k
ffEE
k
利用 (2)容易得到 .1)(
1
≤
c
Eμ 因此由测度的上连续性并且利用 (2), 我们有
.0
2
1
lim
})
1
({lim
}
1
{lim)(
=≤
≥?≤
?
?
?
?
?
?
?
?
≥?=
∑
∑
∞
=
∞→
∞
=
∞→
∞
=
∞→
ik
k
i
ik
n
i
ik
n
i
c
k
ff
k
ffE
k
k
μ
μμ
U
这就证明了 .
a.e.
ff
k
n
?→? ■
定理 6 设 +∞<)(Xμ . 则 ff
n
?→?
μ
当且仅当 }{
n
f 的任一子列 }{
k
n
f 都
存在其子列 }{
k
n
f
′
, 使得 ).(
a.e.
∞→′?→?
′
kff
k
n
证明 必要性 (此时不需设 +∞<)(Xμ ). 设 .ff
n
?→?
μ
显然 }{
n
f 的任一
子列 }{
k
n
f 也依测度收敛于 f. 由定理 5 , 存在 }{
k
n
f 的子列 }{
k
n
f
′
, 使得
).(
a.e.
∞→′?→?
′
kff
k
n
充分性 . 用反证法 . 若 }{
n
f 不依测度收敛于 f, 则存在 ,0>ε 使得
.0}({
/
?→?≥? εμ ff
n
于是存在 0>δ 和 }{
n
f 的子列 }{
k
n
f , 使得
.})({ δεμ ≥≥? ff
k
n
由此知 }{
k
n
f 的任何子列 }{
k
n
f
′
都不能依测度收敛于 f. 由定理 4, }{
k
n
f
′
也不
89
能 a.e.收敛于 f. 这与定理所设的条件矛盾 . 故必有 .ff
n
?→?
μ
■
定理 5 和定理 6 给出了依测度收敛和几乎处处收敛的联系 . 利用这种
联系 , 常常可以把依测度收敛的问题转化为几乎处处的问题 . 而几乎处处
收敛是比较容易处理的 .
例 6 设 )1(,,, ≥ngfgf
nn
是有限测度空间 ),,( μFX 上的几乎处处有
限的可测函数 , ,ff
n
?→?
μ
.gg
n
?→?
μ
又设 h 是
2
R 上的连续函数 . 则
).,(),(
.
gfhgfh
nn
?→?
μ
特别地 , .fggf
nn
?→?
μ
证明 不妨设 )1(,,, ≥ngfgf
nn
都是处处有限的 . 设 ),(
kk
nn
gfh 是
),(
nn
gfh 的任一子列 . 由定理 6, 存在 }{
k
n
f 的子列 }{
k
n
f
′
使得
).(
a.e.
∞→′?→?
′
kff
k
n
同理存在 }{
k
n
g
′
的子列 , 不妨仍记为 }{
k
n
g
′
, 使得
).(
a.e.
∞→′?→?
′
kgg
k
n
既然 h 是连续的 , 因此有 ).,(),(
a.e.
gfhgfh
kk
nn
?→?
′′
这表明 ),(
nn
gfh 的任一子列 ),(
kk
nn
gfh , 都存在其子列 ),(
kk
nn
gfh
′′
使得
).,(),(
a.e.
gfhgfh
kk
nn
?→?
′′
再次应用定理 6, 知道 ).,(),(
.
gfhgfh
nn
?→?
μ
特
别地 , 若取 ,),( xyyxh = 则得到 .fggf
nn
?→?
μ
■
小结 本节介绍了几乎处处收敛, 依测度收敛和几乎一致收敛, 它们是
伴随测度的建立而产生的新的收敛性.几种收敛 性之间有一些蕴涵关系.
其中最重要的是Egorov定理和Riesz定理.利用Riesz定理,可以把较难处
理的依测度收敛的问题化为几乎处处收敛的问题.
习题 习题三, 第 18 题—第 28 题.
