第二章 静电场
主 要 内 容
电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力
1,电场强度、电通及电场线
电场对某点单位 正 电荷的作用力称为该点的电场强度, 以 E 表示 。
)V /m(qFE ?
式中 q 为试验电荷的电量,F 为电荷 q 受到的作用力。
电场强度通过任一曲面的通量称为电通, 以 ? 表示,即
? ?? S SE d?
0d ?? lE电场线 方程
用电场线围
成 电场管
???? ?
?????
带电平行板
?
负电荷
?
正电荷
几种典型的电场线分布
由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。
2,真空中静电场方程
物理实验表明, 真空中静电场的电场强度 E 满足下列两个
积分形式的方程
? ??S SE
0
d ?q ? ??l lE 0d
式中 ?0 为真空介电常数。
左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一
封闭 曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数
之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿 任一 条闭合曲线
的环量为零。
F / m )(1036 π1m)/F(108 5 4 1 8 7 8 1 7.8 9120 ?? ????? ?
根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度,即
0?
???? E 0??? E
左式表明，真空中静电场的电场强度在某 点 的散度等于该点的电
荷体密度与真空介电常数之比 。右式表明,真空中静电场的电场
强度的旋度 处处 为零 。由此可见,真空中静电场是 有散无旋 场。
已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定
理，电场强度 E 应为
AE ?????? ?
?
?
?
??
?
?
?
??
??? ?
?
?
??
??? ?
?
?
?
?
?
V
V
V
V
d
)(
4 π
1
)(
d
)(
4 π
1
)(
|rr|
rE
rA
|rr|
rE
r?
式中
x
P
z
y
r
0
V?d )(r??
rr ??
r?
? ? ??? ?? V V
0
d)(4 π1)( |rr| rr ??? 0)( ?rA
将前述结果代入，求得
????E因此
标量函数 ? 称为 电位 。 因此, 上式表明真空中静电场在某
点的电场强度等于该点电位梯度的 负 值 。
????E
按照国家标准, 电位以小写希腊字母 ? 表示, 上式应写为
将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为
VV ??? ???? ? ? dπ4 ))(()( 3
0 rr
rrrrE
?
?
若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的
线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的 面密
度 ?S 及 线密度 ?l 的关系分别为
? ? ??? ?? S S S 0 d| )(π4 1)( |rr rr ??? ? ? ??? ???? S S S 3
0
d| ))((π4 1)( |rr rrrrE ??
? ? ??? ?? l ld)(π4 1)(
0 |rr|
rr l?
?? ? ? ???
????
l
l l
30 d|
))((
π4
1)(
|rr
rrrrE ?
?
（ 1） 高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围的全部正
负电荷的总和。
静电场特性的进一步认识：
（ 2） 静电场的电场线是不可能闭合的,而且也不可能相交。
（ 3） 任意两点之间电场强度 E 的 线积分与路径无关。真空中
的静电场和重力场一样，它是一种保守场。
（ 4） 已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，
或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算
电场强度等三种计算静电场的方法。
例 1 计算点电荷的电场强度。
点电荷 就是指体积为 零,但具有一定电量的电荷。由于点电荷
的结构具有 球对称 特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生
的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。
取中心位于点电荷的球面为 高斯面 。若点电荷为正电荷，球面
上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律
? ???S q 0d SE
上式左端积分为
?? ? ?????? SS S ErSE 2n 4dd d SeESE
得
204 r
qE
??? r204 eE r
q
???
或
也可通过电位计算点电荷产生的电场强度 。 当点电荷位于坐标
原点时, 。 那么点电荷的电位为r??? || rr
r
q
0π4
)( ?? ?r
rr
q
r
q eE
200 π4
1
π4 ??? ???
??
?
???????
求得电场强度 E 为
rV r r
qV
r e
erE
20 20 π4dπ4
)(
??
? ???? ?
?
若直接根据电场强度公式（ 2-2-14），同样求得电场强度 E为
例 2 计算电偶极子的电场强度。
由前述电位和电场强度的计算公式可
见，无论电荷何种分布，电位及电场强度
均与电量的一次方成正比。因此，可以利
用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位
和电场强度。那么，电偶极子产生的电位
应为
???
?
???
? ????
??
??
?? rr
rrq
r
q
r
q
000 π4π4π4 ???
?
若观察距离远大于两电荷的间距 l,则可认为, 与 平行，则
?re ?re re
?c o slrr ?? ?? 2c o s
2c o s2 r
lrlrrr ??
?
??
?
? ??
?
??
?
? ??
?? ??
?
?
x
-q
+q
z
y
l
r
r-
r+
?
O
式中 l 的方向规定由负电荷指向正电荷 。 通常定义乘积 q l 为电偶
极子的 电矩, 以 p 表示, 即
lp q?
)(π4c o sπ4 2
0
2
0
rr
ql
r
q el ???
????
求得
2
0
2
0 π4
c o s
π4 r
p
r ?
?
?? ?
?? rep
那么电偶极子产生的电位为
???????? ?????????? ?????? ?? s i n11 rrrE r eee 3030 π4 s inπ2 c o s rprpr ? ?? ? ?ee ??
????E利用关系式, 求得电偶极子的电场强度为
上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度
的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 ? 有关。这些
特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的
分布。
例 3 设半径为 a，电荷体密度为 ? 的无限长圆柱带电体位于真空，
计算该带电圆柱体内外的电场强度。
x
z
y
a
L
?S1
选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴线。
由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上
下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无关。对
于任一 z 为常数的平面，上下是对称的，因
此电场强度一定垂直于 z 轴，且与径向坐标
r 一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的
特点，场强一定与角度 ? 无关。
取半径为 r,长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用
高斯定律
? ??S q 0d ?SE
因电场强度方向处处与圆柱侧面 S1的外法线方向一致, 而与
上下端面的外法线方向垂直, 因此上式左端的面积分为
r L ESESE SSS π2ddd
11 ???
???? SE
当 r < a 时，则电量 q 为,求得电场强度为Lrq ?2π?
r
r eE
02
?
??
当 r > a 时，则电量 q 为,求得电场强度为Laq ?2π?
rr
a eE
0
2
π2
π
?
??
rl r eE
0π2 ?
??
上式中 ?a2? 可以认为是单位长度内的电量 。 那么, 柱外电场
可以看作为位于圆柱轴上线密度为 =?a2? 的线电荷产生的电场 。
由此我们推出线密度为 的 无限长线电荷 的电场强度为
l?
l?
由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利
用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积
分计算电位或电场强度，显然不易。
x
z
y
r
?2
?1
?
r
0
rr ??
z?d
z? r?
ze
re
),2π,( zrP
例 4 求长度为 L，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。l?
令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷的长
度方位一致，且中点为坐标原点。由于
结构旋转对称，场强与方位角 ? 无关。
因为电场强度的方向无法判断，不能应
用高斯定律求解其电场强度。只好进行
直接积分，计算其电位及电场强度。
因场量与 ?无关，为了方便起见，可令观察点 P位于 yz平面，即
，那么
2π??
lL L ??? ??? ? ? dπ4 2
2
3
0 |rr|
rrE l
?
?
考虑到
?
?
?
?
?
?
?
??
???
????
??
??
?
??
?
d c s cd
c o t
)s i nc o s(c s c
c s c|
2rz
rzz
ar
r
rz eerr
|r-r
??? ???? d c s cc s c s i nc o sπ4 2 22
0
2
1
rraa zr? ?? eeE l
求得
])c o s( c o s)s in[ ( s inπ4 1212
0
rzl r ee ?????
? ????
当长度 L ?? 时,?1?0,?2 ??,则
rlr r eeE l
00 π2
2π4 ???? ??
此结果与 例 3导出的结果完全相同。
3,电位与等位面
静电场中某点的电位, 其物理意义是 单位正 电荷在 电场力 的作
用下, 自该点沿 任一条 路径移至无限远处过程中电场力作的 功 。
应该注意, 这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电
位差, 或者说是以 无限远 处作为 参考点 的电位 。 原则上, 可以任取
一点作为电位参考点 。 显然, 电位的参考点不同, 某点电位的值也
不同 。 但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关, 因此 电位参
考点的选择不会影响电场强度的值 。 当电荷分布在有限区域时, 通
常选择无限远处作为电位参考点, 因为此时无限远处的电位为零 。
q
W??电位的数学表示
式中 q 为电荷的电量,W 为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。
由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是
垂直于等位面，因此,电场线与等位面一定处处保持垂直 。若规
定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明
电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也
可表示电场强度的强弱。
电位相等的曲面称为 等位面, 其方程为
Czyx ?),,(?
?
???? ?
??????
电场线 等位面
式中常数 C 等于电位值 。
E
有极分子无极分子
4,介质极化
导体 中的电子通常称为 自由电子,它们所携带的电荷称为 自由
电荷 。 介质 中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为 束缚电荷 。
在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为 极化 。
通常,无极 分子的极化称为 位移 极化,有极 分子的极化称为 取向 极
化。
?
?
?
?
? ?
?
?
无极分子 有极分子
?
?
?
?
?
?
????
????
Ea?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场 Ea加到介质中
以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场 Es，这种二次电场 Es 又
影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变
化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极
化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。
介 质合成场 Ea+ Es
极 化二次场 Es
外加场 Ea
介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。
为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为
极化强度，以 P 表示，即
V??
?
?
N
1i
ip
P
式中 pi 为体积 ?V 中第 i 个电偶极子的电矩,N为 ?V中电偶极子
的数目。这里 ?V 应理解为物理无限小的体积。
实验结果表明, 大多数介质在电场的作用下发生极化时, 其
极化强度 P 与介质中的合成电场强度 E 成正比, 即
EP e0???
式中 ?e 称为 极化率,它是一个正实数。
由上可见，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。
极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化
率与电场 方向 无关，这类介质称为 各向同性 介质。有些介质并不是这
样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，
而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度 P 与电场
强度 E 的关系可用下列矩阵表示
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
z
y
x
E
E
E
P
P
P
33e32e31e
23e22e21e
13e12e11e
0
???
???
???
?
这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与
电场强度方向有关，因此，这类介质称为 各向异性 介质。
空间各点极化率相同的介质称为 均匀 介质，否则，称为 非均匀
介质。
极化率与时间无关的介质称为 静止 媒质，否则称为 运动 媒质。
介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、
静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。
因此，若极化率是一个 正实常数,则适用于 线性均匀且各向同
性 的介质。若前述 矩阵 的各个元素都是一个 正实常数,则适用于 线
性均匀各向异性 的介质。
极化率与电场强度的 大小无关 的介质称为 线性 介质，否则，称
为 非线性 介质。
各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？
发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部
是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质
内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。 这种因
极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为 极化电荷 。 可以证明
这些极化电荷产生的电位为
VVS ??? ??? ???? ???? ?? ?? d|| )(π4 1|| d)(π4 1)(
0 0 rr
rP
rr
SrPr
???
式中 为极化强度，它与极化电荷的关系为)(rP ?
由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表
面束缚电荷是等值异性的 。
n)()( erPr ???S? )()( rPr ??????
右式又可写为积分形式 ? ????
Sq d SP
5,介质中的静电场方程
在介质内部, 穿过任一闭合面 S 的电通应为
式中 q 为闭合面 S 中的自由电荷,为闭合面 S 中的束缚电荷。那么q?
)(1d
0
qqS ????? ?SE
qS ???? 0 d)( SPE?
令,求得PED ??
0? qS ??? d SD
此处定义的 D 称为 电位移 。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移
的通量等于该闭合面包围的 自由 电荷，而与束缚电荷无关。上式又
称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微
分形式为
???? D
介质中 微分形式的高斯定律表明,某 点 电位移的散度等于该 点
自由 电荷的体密度 。
电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该
点电位移的方向，这些曲线称为 电位移线 。若规定电位移线组成的
相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可
表示电位移的大小。值得注意的是,电位移线起始于正的自由电荷，
而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关 。
已知各向同性介质的极化强度,求得EP
e0?ε?
EEED )1( e0e00 ??? ???? εε
令,)1( e0 ??? ??
式中 ? 称为介质的介电常数 。 已知极化率 ?e 为正实数, 因此, 一
切介质的介电常数均 大于 真空的介电常数 。
ED ε?则
实际中经常使用介电常数的相对值, 这种相对值称为相对介电常
数, 以 ?r 表示, 其定义为
e
0
r 1 ??
?? ???
可见, 任何介质的相对介电常数总是 大于 1。 下表给出了几种介质的
相对介电常数的近似值 。
介 质 介 质
空 气 1.0 石 英 3.3
油 2.3 云 母 6.0
纸 1.3~4.0 陶 瓷 5.3~6.5
有机玻璃 2.6~3.5 纯 水 81
石 腊 2.1 树 脂 3.3
聚乙烯 2.3 聚苯乙烯 2.6
?r?r
各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
z
y
x
E
E
E
D
D
D
333231
232221
131211
???
???
???
此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一
定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量
有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的 方向 有关。此外，可
以推知均匀介质的介电常数与 空间坐标 无关。线性介质的介电常数
与电场强度的 大小 无关。静止媒质的介电常数与 时间 无关。
对于均匀介质, 由于介电常数与坐标无关, 因此获得
?
q
S ??? d SE ?
???? E
此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然
成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。
6,两种介质的边界条件
由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，
这种变化规律称为静电场的 边界条件 。为了方便起见，通常分别讨论
边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。
E2
E11
3
2
4
?l
?h
? 1
? 2
et
为了讨论边界上某点电场强度的
切向分量的变化规律,围绕该点且紧
贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其
长度为 ?l，高度为 ?h，则 电场强度沿
该矩形曲线的环量为
????? ????????? 1 4 4 3 3 2 2 1 d d d d d lElElElElEl
为了求出边界上的场量关系，必须令 ?h ? 0，则线积分
0d d 1 4 3 2 ???? ?? lElE
为了求出边界上某点的场量关系，必须令 ?l 足够短，以致于在
?l内可以认为场量是均匀的，则上述环量为
lElE ΔΔd d d t21t4 3 22 1 1 ??????? ??? lElElE
式中 E1t 和 E2t 分别表示介质 ① 和 ② 中电场强度与边界平行的切向分
量 。 已知静电场中电场强度的环量处处为零, 因此由上式得
2t1t EE ?
此式表明,在两种介质形成的边界上，两侧的 电场强度的切向分量
相等,或者说,电场强度的切向分量是连续的 。
对于各向同性的线性介质，得
2
2t
1
t1 ?? DD ?
此式表明,在两种各向同性的线性介质形成的边界上,电位移的切
向分量是不连续的 。
?h
?S
为了讨论电位移的法向分量变化规律,
在边界上围绕某点作一个圆柱面, 其高度
为 ?h,端面为 ?S。 那么根据介质中的高
斯定律, 得知电位移通过该圆柱面的通量
等于圆柱面包围的 自由电荷, 即
? ??S q d SD
D2
D1
令 ?h ? 0, 则通过侧面的通量为零, 又考虑到 ?S 必须足够小,
则上述通量应为
? ?????S SDSD 1n2nd SD
式中 D1t 及 D2t 分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。
边界法线的方向 en 规定为由介质 ① 指向介质 ② 。
? 1
? 2
en
sS
qDD ??
??? 1n2n
求得
式中 ?s 为边界上存在的表面自由电荷的面密度 。 考虑到在两种介质
形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷, 因此
2n1n DD ?
此式表明,在两种介质边界上 电位移的法向分量相等,或者说,电
位移的法向分量是连续的 。
对于各向同性的线性介质，得
n221n1 EE ?? ?
此式表明,在两种各向同性的线性介质形成的边界上,电场强度的
法向分量不连续的 。
还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为
)( n1n20 EES ??? ??
7,介质与导体的边界条件
静电平衡,当孤立导体放入静电场中以后, 导体中自由电子发生
运动, 电荷重新分布 。 由于自由电子逆电场方向反向移动, 因此重新
分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反, 使导体中的合成电场
逐渐削弱, 一直到导体中的合成电场消失为零, 自由电子的运动方才
停止, 因而电荷分布不再改变, 这种状态称为 静电平衡 。
由此可见, 导体中不可能存在静电场, 导体内部不可能存在自由
电荷的体分布 。 所以, 当导体处于静电平衡时, 自由电荷只能分布在
导体的表面上 。 因为导体中不可能存在静电场, 因此导体中的电位梯
度为零, 这就意味着导体中电位不随空间变化 。 所以, 处于静电平衡
状态的导体是一个等位体, 导体表面是一个等位面 。
既然导体中的电场强度为零, 导体表面的外侧不可能存在电场强
度的切向分量 。 换言之, 电场强度必须垂直于导体的表面, 即
0n ?? Ee
介质
E,D
导体
en
导体表面存在的表面自由电荷面密
度为
SDe ???n
?
?SE ?
n
或写为
式中 ? 为导体周围介质的介电常数。
已知导体表面是一个等位面, 因, 求得表面电位与电
荷的关系为
nE ?
?? ?
n
?
?? S
n ???
?
考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得导体表
面束缚电荷面密度为
S????? Pe n
静电屏蔽,当 封闭的 导体空腔中没有自由电荷时, 即使腔外存在电
荷, 腔中也不可能存在静电场 。 这就意味着 封闭的导体腔可以屏蔽外
部静电场, 这种效应称为 静电屏蔽 。
当然，总电通为零可能是由于闭合面内部
没有电荷，因而没有场；或者因为正负电荷
相等，但是这是不可能的。因为电荷只可能
分布在导体的表面上，若以正负电荷之间任
一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条闭
合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合
曲线的电场强度的环量不可能为零，这就违
背了静电场的基本特性。
此外，显然若腔体接地，位于腔中的电荷也不可能对外产生静电场。
?
??
??
?
??
由于导体内部没有静电场, 因此若沿腔壁内部作一个闭合曲面, 通
过其表面的电通一定为零 。
例 已知半径为 r1 的导体球携带的正电量为 q，该导体球被内半径
为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为 ?1,
球壳的外半径为 r3,球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径
为 r4,介电常数为 ?2,外部区域为真空，如左下图示。
试求,① 各区域中的电场强度；
② 各个表面上的自由电荷
和 束缚电荷。r1
r2
r3
r4
? 0 ? 2
? 1
解 由于结构为球对称，场也是球对称的，
应用 高斯定理 求解十分方便。取球面作为
高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，
因而也垂直于高斯面。
在 r < r1及 r2<r < r3 区域中，因导
体中不可能存静电场，所以 E = 0。
在 r1<r < r2 区域中，由,
得
? ??S q d SDr1
r2
r3
r4
? 0 ? 2
? 1
rr
q eE
2
1
1 π4 ??
rr
q eE
2
2
2 π4 ??
同理，在 r3<r < r4 区域中，求得
rr
q eE
2
0
0 π4 ??
在 r > r4 区域中，求得
根据 及,可以求得各个表面上的自由
电荷及束缚电荷面密度分别为
S????? Pe nSDe ???n
r1
r2
r3
r4
? 0 ? 2
? 1
r = r1:
21π4 r
q
S ??
011π4
121
n10 ????
???
?
? ?????
r
SS r
qE
????
r = r4:
011π4)(
2
2
4
n2n004 ????
???
?
? ?????
r
S r
qEE
???
0?S?
r = r2:
222 π4 r
q
S ???
011π4
122
21n02 ????
???
?
? ??????
r
SS r
qE
????
r = r3:
233 π4 r
q
S ??
011π4
223
32n03 ????
???
?
? ?????
r
SS r
qE
????
8,电容与部分电容
由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的
电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的 电容,即电
容为
U
qC?
电容的单位 F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的
电容只有 F。实际中，通常取 ?F （微法）及 pF （皮法）
作为电容单位。
310708.0 ??
F10pF 1 F,10μF1 126 ?? ??
对于多导体之间的电容计算，需要引入 部分电容 概念。多导体
系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他
导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间
静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。
q1 q
3
qn
q2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????????
??????????
?????????
?????????
nnnjnnjnnnnn
niinjiijiiiii
nnkj
nnhj
CCCCq
CCCCq
CCCCq
CCCCq
???????
???????
???????
???????
??
???
????
??
??
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
2211
141
222222212212
111121121111
此时，各个导体上的电荷与导体间的电位
差的关系为
式中 Cii 称为第 i 个导体的 固有部分电容 ； Cij 称为第 i 个导体与第
j 个导体之间的 互有部分电容 。
例 已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为 b，内外导体之
间填充介质的介电常数为 ?。试求单位长度内外导体之间的电容。
解 由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，
同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又
因结构对称，可以应用高斯定律。a
b? 设内导体单位长度内的电量为 q，围绕
内导体作一个圆柱面作为高斯面 S，则
? ??S q d ?SE
那么内外导体之间的电位差 U 为 ?
???????? ba abqrEU ln2d ??
因此同轴线单位长度内的电容为
??????
??
a
bU
qC
ln
2??
rr
q eE
?π2?
9,电场能量
已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生
运动，这就意味着电场力作了 功 。静电场为了对外作功必须消耗自身
的能量，可见静电场是具有 能量 的。如果静止带电体在外力作用下由
无限远处移入静电场中，外力必须反抗电场力作功，这部分功将转变
为静电场的能量储藏在静电场中，使静电场的能量增加。由此可见，
根据 电场力作功 或 外力作功 与 静电场能量 之间的转换关系，可以计算
静电场能量。
首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为 Q 的孤
立带电体的能量。
设带电体的电量 Q 是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开
始时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无须作功。当第二个 dq 移
入时，外力必须克服电场力作功。若获得的电位为 ?，则外力必须作
的功为 ? dq,因此，电场能量的增量为 ?dq 。已知带电体的电位随
着电荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数。 那么当
电量增至最终值 Q 时，外力作的总功，也就是电量为 Q 的带电体具
有的能量为
qqW Qe d )( 0 ?? ?
已知孤立导体的电位 ?等于携带的电量 q 与电容 C 的之比, 即
Cq??
代入上式，求得电量为 Q 的孤立带电体具有的能量为
C
QW 2
e 2
1?
C
QQW ?? ??,
2
1
e
或者表示为
对于 n 个带电体具有的总能量, 也可采用同样的方法进行计算 。
设每个带电体的电量均从零开始, 且以同样的比例增长 。 若周围媒质
是线性的, 则当各个带电体的电量增加一倍时, 各个带电体的电位也
升高一倍 。 设第 i 个带电体的电位最终值为 ?i,电量的最终值为 Qi,若
某一时刻第 i 个带电体的电量为 qi = ?Qi,? < 1 则此时刻该带电体的电
位为 ? i = ?? i 。 那么当各个带电体的电量均以同一比例 ?增长, 外力
必须作的功, 也就是带电系统的电场储能增量为
???? ddd
11
??
??
?? n
i ii
n
i iie
QqW
当各个带电体的电量同时分别增至最终值 时，该系统的总
电场能为
nQQQ,,,21 ?
??? ??? 1 0 1ee dd ???ni ii QWW
?
?
? n
i ii
QW
1e 2
1 ?求得
当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，
由,求得这种分布电荷的带电体总能量为 lSVq
ls ddd d ??? ???
lSVW llS SV d 21d 21d 21e ?????? ??? ???
式中 ? 为体元 dV、面元 dS、或线元 dl 所在处的电位，积分区
域为电荷分布的空间。
从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个
空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以
小写英文字母 we 表示。
设两个导体携带的电量为 Q1和 Q2，其表面积分别为 S1和 S2，
如图所示。
S?
S2
Q2
Q1
S1
V en
en
n?e
n?e
已知电荷分布在导体的表面
上，因此，该系统的总能量为
?? ?? 21 d 21d 21e S SS S SSW ????
又知,
nn eDeD ????? ?s?
求得
?? ????? 21 d 21d 21e SSW SDSD ??
若在无限远处再作一个无限大的球面 S?，由于电荷分布在
有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分
0d ???
?
SDS ?
那么，上面的储能公式可写为
SDSDSD d 21d 21d 21
21e
??????? ???
?SSS
W ??? SD d 21 ??? ?S ?
式中 。 该闭合面 S 包围了静电场所占据的整个空间。那
么，利用高斯定理，上式可写
???? SSSS 21
VW V d ) (21e ? ???? D? VV d ) (21 ? ??????? ?? DD
考虑到区域 V 中没有自由电荷, 所以, 又, 代入上
式, 求得
0??? D ????E
VW V d 21e ? ?????? ?? ED
由此可见，静电场的能量密度
ED ?? 21ew
对于各向同性的线性介质，,代入后得ED ??
2e 21 Ew ??
此式表明, 静电场能量与电场强度平方成正比 。 因此, 能量
不符合叠加原理 。 虽然几个带电体在空间产生的电场强度等于各
个带电体分别产生的电场强度的矢量和, 但是, 其总能量并不等
于各个带电体单独存在时具有的各个能量之和 。 事实上, 这是因
为当第二个带电体引入系统中时, 外力必须反抗第一个带电体对
第二个带电体产生的电场力而作功, 此功也转变为电场能量, 这
份能量通常称为 互有能, 而带电体单独存在时具有的能量称为 固
有能 。
例 计算半径为 a,电量为 Q 的导体球具有的能量。导体周围介质
的介电常数为 ?。
解 可以通过三种途径获得相同结果 。
（ 1） 已知半径为 a,电量为 Q 的导体球的电位为
a
Q
π4 ?? ?
a
QQW
π82
1 2
e ?? ??
那么求得
（ 2） 已知导体表面是一个等位面，那么积分求得
SaQW SS d π421e ???? aQ π8 2??
（ 3） 已知电量为 Q 的导体球外的电场强度为,能量
密度为,那么沿球外整个空间积分求得
2 π4 r
QE
??
42
2
e π32 r
Qw
??
a
QrrwW
a π8d s indd
2
2e π
0
π2
0 e ???? ?? ???
?
10,电场力
已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场
力。因此，点电荷 受到的电场力为q?
EF q??
若上式中 E 为点电荷 q 产生的电场强度，则
rr
q eE
2 π4 ??
式中 ? 为该点电荷周围介质的介电常数。那么,点电荷 受到点电荷
q 的作用力，或者说点电荷 q 对于点电荷 的作用力为
q?
q?
rr
qq eF
2 π4 ?
??
式中 er 为由 q 指向 的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验
总结归纳的 库仑定律 。
q?
已知带电体的电荷分布, 原则上, 根据库仑定律可以计算带电体
电荷之间的电场力 。 但是, 对于电荷分布复杂的带电系统, 根据库仑
定律计算电场力是非常困难的, 有时甚至无法求积 。 为了计算具有一
定电荷分布的带电体之间的电场力, 通常采用虚位移法 。 这种方法是
假定带电体在电场作用下发生一定的位移, 根据位移过程中 电场能量
的变化 与 外力 及 电场力所作的功 之间的关系计算电场力 。
以平板电容器为例, 设两极板上的电量分
别为 +q 及 -q, 板间距离为 l 。 为了计算方便,
假定在电场力作用下, 极板之间的距离增量
为 dl。 众所周知, 两极板间的相互作用力实
际上导致板间距离减小 。 因此, 求出的作用
力应为负值 。
dl
l
-q
+q
既然认为作用力 F 导致位移增加，因此，作用力 F 的方向为位移的
增加方向。这样，为了产生 dl 位移增量，电场力作的功应为 。
根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即
lF dd ?? lF
edd WlF ??
常数??? ql
WF
d
d e由此求得
式中脚注 q = 常数说明当极板发生位移时, 极板上的电量没有发生变化,
这样的带电系统称为 常电荷系统 。
已知平板电容器的能量为 。 对于常电荷系统, 发生位移
时电量 q 未变, 只有电容 C 改变了 。 C
qW 2
e 2
1?
式中 S 为极板的面积, l 为两极板的间距 。 将这些结果代入上式, 求
得平板电容器两极板之间的作用力为
已知平板电容器的电容
l
SC ??
)N( 2 2SqF ???
式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。
如果假定发生位移时, 电容器始终与电源相连, 这样, 在虚位
移过程中, 两极板的电位保持不变, 这种系统称为 常电位系统 。 根
据这种常电位的假定, 也可以计算平板电容器两极板之间的作用力,
所得结果应该与上完全相同 。
设在电场力作用下, 极板间距的增量为 dl。 由于电容改变, 为了
保持电位不变, 正极板的电荷增量为 dq,负极板的电荷增量为 -dq 。
设正负极板的电位分别为 ?1 及 ? 2, 则电场能量的增量为
qVqqW d21d21d21d 21e ??? ??
式中 为两极板之间的电压。
21 ?? ??V
为了将 dq 电荷移至电位为 ? 1的正极板, 将电荷 -dq移至电位为
? 2的负极板, 外源必须作的功为
e21 d2d)d(d WqVqq ???? ??
根据能量守恒原理, 外源作功的一部分供给电场力作功, 另一
部分转变为电场能的增量, 因此
ee ddd2 WlFW ??
常数?? ?l
WF
d
d e求得
例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。
解 利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的
表面张力为 F。在此表面张力 F的作用下，使极板面积扩大了 dS，
则电场力作的功为 FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场
能量的减小值，即
edd WSF ?? 常数??? qSWF dd e
已知平板电容器的能量为,代入上式，得
l
SC
C
qW,
2
1 2
e
???
) N /m ( 2 22SlqF ??
若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表
面张力 F应为
那么将 代入，即可获得同样结果。
l
SCCVW,
2
1 2
e
???
如果将 及 两式中的变量 l 理解为一
种 广义坐标,也就是说,l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。那
么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的 广义力 。
常数?? ?S
WF
d
d e
常数??? qS
WF
d
d e
常数?? ?l
WF
d
d e
显然, 对于不同的广义坐标, 其广义力的含义不同 。 对于位移而
言, 广义力就是普通概念的 力, 单位为 N；对于面积, 广义力为 表面
张力, 单位为 N/m；对于体积, 广义力为膨胀力或 压力, 单位为 N/m2；
对于角度, 广义力为 转矩, 单位为 N?m。 若规定广义力的方向仍然为
广义坐标增加的方向, 那么, 广义力与广义坐标的乘积仍然等于功 。
这样, 前两式可分别改写为
常数??
???
ql
WF e
常数??
??
?l
WF e
两式中的微分符号变为 偏微分 是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标
有关。 l 代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见,带电系统的能
量与多少种广义坐标有关, 就存在多少种广义力 。当带电系统的某一广
义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该
广义坐标发生变化的广义力。
例 计算带电肥皂泡的膨胀力 。
解 设肥皂泡的电量为 q,半径为 a。利用常电荷系统公式，令式中广
义坐标 l 代表体积 V，则受到的膨胀力 F 为
常数??
???
qeV
WF
已知半径为 a,电量为 q的带电球的电位为
a
q
0π4 ?
? ?
因此，携带的能量为
a
qqW
e
0
2
π8 2
1
?? ??
又知球的体积为
3 π34 aV ? aaV d π4d 2?
代入上式，得
)N / m(π32 π4 1 24
0
2
2
e
2 a
q
a
W
aF ???
???
主 要 内 容
电场强度、电位、介质极化、场方程、边界条件、能量与力
1,电场强度、电通及电场线
电场对某点单位 正 电荷的作用力称为该点的电场强度, 以 E 表示 。
)V /m(qFE ?
式中 q 为试验电荷的电量,F 为电荷 q 受到的作用力。
电场强度通过任一曲面的通量称为电通, 以 ? 表示,即
? ?? S SE d?
0d ?? lE电场线 方程
用电场线围
成 电场管
???? ?
?????
带电平行板
?
负电荷
?
正电荷
几种典型的电场线分布
由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。
2,真空中静电场方程
物理实验表明, 真空中静电场的电场强度 E 满足下列两个
积分形式的方程
? ??S SE
0
d ?q ? ??l lE 0d
式中 ?0 为真空介电常数。
左式称为高斯定理，它表明真空中静电场的电场强度通过任一
封闭 曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数
之比。右式表明，真空中静电场的电场强度沿 任一 条闭合曲线
的环量为零。
F / m )(1036 π1m)/F(108 5 4 1 8 7 8 1 7.8 9120 ?? ????? ?
根据上面两式可以求出电场强度的散度及旋度,即
0?
???? E 0??? E
左式表明，真空中静电场的电场强度在某 点 的散度等于该点的电
荷体密度与真空介电常数之比 。右式表明,真空中静电场的电场
强度的旋度 处处 为零 。由此可见,真空中静电场是 有散无旋 场。
已知静电场的电场强度的散度及旋度以后，根据亥姆霍兹定
理，电场强度 E 应为
AE ?????? ?
?
?
?
??
?
?
?
??
??? ?
?
?
??
??? ?
?
?
?
?
?
V
V
V
V
d
)(
4 π
1
)(
d
)(
4 π
1
)(
|rr|
rE
rA
|rr|
rE
r?
式中
x
P
z
y
r
0
V?d )(r??
rr ??
r?
? ? ??? ?? V V
0
d)(4 π1)( |rr| rr ??? 0)( ?rA
将前述结果代入，求得
????E因此
标量函数 ? 称为 电位 。 因此, 上式表明真空中静电场在某
点的电场强度等于该点电位梯度的 负 值 。
????E
按照国家标准, 电位以小写希腊字母 ? 表示, 上式应写为
将电位表达式代入，求得电场强度与电荷密度的关系为
VV ??? ???? ? ? dπ4 ))(()( 3
0 rr
rrrrE
?
?
若电荷分布在一个有限的表面上，或者分布在一个有限的
线段内，那么可以类推获知此时电位及电场强度与电荷的 面密
度 ?S 及 线密度 ?l 的关系分别为
? ? ??? ?? S S S 0 d| )(π4 1)( |rr rr ??? ? ? ??? ???? S S S 3
0
d| ))((π4 1)( |rr rrrrE ??
? ? ??? ?? l ld)(π4 1)(
0 |rr|
rr l?
?? ? ? ???
????
l
l l
30 d|
))((
π4
1)(
|rr
rrrrE ?
?
（ 1） 高斯定律中的电量 q 应理解为封闭面 S 所包围的全部正
负电荷的总和。
静电场特性的进一步认识：
（ 2） 静电场的电场线是不可能闭合的,而且也不可能相交。
（ 3） 任意两点之间电场强度 E 的 线积分与路径无关。真空中
的静电场和重力场一样，它是一种保守场。
（ 4） 已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，
或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算
电场强度等三种计算静电场的方法。
例 1 计算点电荷的电场强度。
点电荷 就是指体积为 零,但具有一定电量的电荷。由于点电荷
的结构具有 球对称 特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生
的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。
取中心位于点电荷的球面为 高斯面 。若点电荷为正电荷，球面
上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律
? ???S q 0d SE
上式左端积分为
?? ? ?????? SS S ErSE 2n 4dd d SeESE
得
204 r
qE
??? r204 eE r
q
???
或
也可通过电位计算点电荷产生的电场强度 。 当点电荷位于坐标
原点时, 。 那么点电荷的电位为r??? || rr
r
q
0π4
)( ?? ?r
rr
q
r
q eE
200 π4
1
π4 ??? ???
??
?
???????
求得电场强度 E 为
rV r r
qV
r e
erE
20 20 π4dπ4
)(
??
? ???? ?
?
若直接根据电场强度公式（ 2-2-14），同样求得电场强度 E为
例 2 计算电偶极子的电场强度。
由前述电位和电场强度的计算公式可
见，无论电荷何种分布，电位及电场强度
均与电量的一次方成正比。因此，可以利
用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位
和电场强度。那么，电偶极子产生的电位
应为
???
?
???
? ????
??
??
?? rr
rrq
r
q
r
q
000 π4π4π4 ???
?
若观察距离远大于两电荷的间距 l,则可认为, 与 平行，则
?re ?re re
?c o slrr ?? ?? 2c o s
2c o s2 r
lrlrrr ??
?
??
?
? ??
?
??
?
? ??
?? ??
?
?
x
-q
+q
z
y
l
r
r-
r+
?
O
式中 l 的方向规定由负电荷指向正电荷 。 通常定义乘积 q l 为电偶
极子的 电矩, 以 p 表示, 即
lp q?
)(π4c o sπ4 2
0
2
0
rr
ql
r
q el ???
????
求得
2
0
2
0 π4
c o s
π4 r
p
r ?
?
?? ?
?? rep
那么电偶极子产生的电位为
???????? ?????????? ?????? ?? s i n11 rrrE r eee 3030 π4 s inπ2 c o s rprpr ? ?? ? ?ee ??
????E利用关系式, 求得电偶极子的电场强度为
上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度
的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角 ? 有关。这些
特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的
分布。
例 3 设半径为 a，电荷体密度为 ? 的无限长圆柱带电体位于真空，
计算该带电圆柱体内外的电场强度。
x
z
y
a
L
?S1
选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱的轴线。
由于圆柱是无限长的，对于任一 z 值，上
下均匀无限长，因此场量与 z 坐标无关。对
于任一 z 为常数的平面，上下是对称的，因
此电场强度一定垂直于 z 轴，且与径向坐标
r 一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的
特点，场强一定与角度 ? 无关。
取半径为 r,长度为 L 的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用
高斯定律
? ??S q 0d ?SE
因电场强度方向处处与圆柱侧面 S1的外法线方向一致, 而与
上下端面的外法线方向垂直, 因此上式左端的面积分为
r L ESESE SSS π2ddd
11 ???
???? SE
当 r < a 时，则电量 q 为,求得电场强度为Lrq ?2π?
r
r eE
02
?
??
当 r > a 时，则电量 q 为,求得电场强度为Laq ?2π?
rr
a eE
0
2
π2
π
?
??
rl r eE
0π2 ?
??
上式中 ?a2? 可以认为是单位长度内的电量 。 那么, 柱外电场
可以看作为位于圆柱轴上线密度为 =?a2? 的线电荷产生的电场 。
由此我们推出线密度为 的 无限长线电荷 的电场强度为
l?
l?
由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利
用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积
分计算电位或电场强度，显然不易。
x
z
y
r
?2
?1
?
r
0
rr ??
z?d
z? r?
ze
re
),2π,( zrP
例 4 求长度为 L，线密度为 的均匀线分布电荷的电场强度。l?
令圆柱坐标系的 z 轴与线电荷的长
度方位一致，且中点为坐标原点。由于
结构旋转对称，场强与方位角 ? 无关。
因为电场强度的方向无法判断，不能应
用高斯定律求解其电场强度。只好进行
直接积分，计算其电位及电场强度。
因场量与 ?无关，为了方便起见，可令观察点 P位于 yz平面，即
，那么
2π??
lL L ??? ??? ? ? dπ4 2
2
3
0 |rr|
rrE l
?
?
考虑到
?
?
?
?
?
?
?
??
???
????
??
??
?
??
?
d c s cd
c o t
)s i nc o s(c s c
c s c|
2rz
rzz
ar
r
rz eerr
|r-r
??? ???? d c s cc s c s i nc o sπ4 2 22
0
2
1
rraa zr? ?? eeE l
求得
])c o s( c o s)s in[ ( s inπ4 1212
0
rzl r ee ?????
? ????
当长度 L ?? 时,?1?0,?2 ??,则
rlr r eeE l
00 π2
2π4 ???? ??
此结果与 例 3导出的结果完全相同。
3,电位与等位面
静电场中某点的电位, 其物理意义是 单位正 电荷在 电场力 的作
用下, 自该点沿 任一条 路径移至无限远处过程中电场力作的 功 。
应该注意, 这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电
位差, 或者说是以 无限远 处作为 参考点 的电位 。 原则上, 可以任取
一点作为电位参考点 。 显然, 电位的参考点不同, 某点电位的值也
不同 。 但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关, 因此 电位参
考点的选择不会影响电场强度的值 。 当电荷分布在有限区域时, 通
常选择无限远处作为电位参考点, 因为此时无限远处的电位为零 。
q
W??电位的数学表示
式中 q 为电荷的电量,W 为电场力将电荷 q 推到无限远处作的功。
由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是
垂直于等位面，因此,电场线与等位面一定处处保持垂直 。若规
定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明
电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也
可表示电场强度的强弱。
电位相等的曲面称为 等位面, 其方程为
Czyx ?),,(?
?
???? ?
??????
电场线 等位面
式中常数 C 等于电位值 。
E
有极分子无极分子
4,介质极化
导体 中的电子通常称为 自由电子,它们所携带的电荷称为 自由
电荷 。 介质 中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为 束缚电荷 。
在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为 极化 。
通常,无极 分子的极化称为 位移 极化,有极 分子的极化称为 取向 极
化。
?
?
?
?
? ?
?
?
无极分子 有极分子
?
?
?
?
?
?
????
????
Ea?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场 Ea加到介质中
以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场 Es，这种二次电场 Es 又
影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变
化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极
化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。
介 质合成场 Ea+ Es
极 化二次场 Es
外加场 Ea
介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。
为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为
极化强度，以 P 表示，即
V??
?
?
N
1i
ip
P
式中 pi 为体积 ?V 中第 i 个电偶极子的电矩,N为 ?V中电偶极子
的数目。这里 ?V 应理解为物理无限小的体积。
实验结果表明, 大多数介质在电场的作用下发生极化时, 其
极化强度 P 与介质中的合成电场强度 E 成正比, 即
EP e0???
式中 ?e 称为 极化率,它是一个正实数。
由上可见，这类介质的极化强度与合成的电场强度的方向相同。
极化强度的某一坐标分量仅决定于相应的电场强度的坐标分量。极化
率与电场 方向 无关，这类介质称为 各向同性 介质。有些介质并不是这
样，其极化强度的某一坐标分量不仅与电场强度相应的坐标分量有关，
而且与电场强度的其他分量也有关。这类介质的极化强度 P 与电场
强度 E 的关系可用下列矩阵表示
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
z
y
x
E
E
E
P
P
P
33e32e31e
23e22e21e
13e12e11e
0
???
???
???
?
这就表明，介质的极化率与电场强度的方向有关，也就是极化特性与
电场强度方向有关，因此，这类介质称为 各向异性 介质。
空间各点极化率相同的介质称为 均匀 介质，否则，称为 非均匀
介质。
极化率与时间无关的介质称为 静止 媒质，否则称为 运动 媒质。
介质的均匀与非均匀性、线性与非线性、各向同性与各向异性、
静止与运动分别代表完全不同的概念，不应混淆。
因此，若极化率是一个 正实常数,则适用于 线性均匀且各向同
性 的介质。若前述 矩阵 的各个元素都是一个 正实常数,则适用于 线
性均匀各向异性 的介质。
极化率与电场强度的 大小无关 的介质称为 线性 介质，否则，称
为 非线性 介质。
各向异性的介质能否是均匀的？非均匀介质能否是各向同性的？
发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部
是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质
内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。 这种因
极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为 极化电荷 。 可以证明
这些极化电荷产生的电位为
VVS ??? ??? ???? ???? ?? ?? d|| )(π4 1|| d)(π4 1)(
0 0 rr
rP
rr
SrPr
???
式中 为极化强度，它与极化电荷的关系为)(rP ?
由此可见，任一块介质内部体分布的束缚电荷与介质块的表
面束缚电荷是等值异性的 。
n)()( erPr ???S? )()( rPr ??????
右式又可写为积分形式 ? ????
Sq d SP
5,介质中的静电场方程
在介质内部, 穿过任一闭合面 S 的电通应为
式中 q 为闭合面 S 中的自由电荷,为闭合面 S 中的束缚电荷。那么q?
)(1d
0
qqS ????? ?SE
qS ???? 0 d)( SPE?
令,求得PED ??
0? qS ??? d SD
此处定义的 D 称为 电位移 。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移
的通量等于该闭合面包围的 自由 电荷，而与束缚电荷无关。上式又
称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微
分形式为
???? D
介质中 微分形式的高斯定律表明,某 点 电位移的散度等于该 点
自由 电荷的体密度 。
电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该
点电位移的方向，这些曲线称为 电位移线 。若规定电位移线组成的
相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可
表示电位移的大小。值得注意的是,电位移线起始于正的自由电荷，
而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关 。
已知各向同性介质的极化强度,求得EP
e0?ε?
EEED )1( e0e00 ??? ???? εε
令,)1( e0 ??? ??
式中 ? 称为介质的介电常数 。 已知极化率 ?e 为正实数, 因此, 一
切介质的介电常数均 大于 真空的介电常数 。
ED ε?则
实际中经常使用介电常数的相对值, 这种相对值称为相对介电常
数, 以 ?r 表示, 其定义为
e
0
r 1 ??
?? ???
可见, 任何介质的相对介电常数总是 大于 1。 下表给出了几种介质的
相对介电常数的近似值 。
介 质 介 质
空 气 1.0 石 英 3.3
油 2.3 云 母 6.0
纸 1.3~4.0 陶 瓷 5.3~6.5
有机玻璃 2.6~3.5 纯 水 81
石 腊 2.1 树 脂 3.3
聚乙烯 2.3 聚苯乙烯 2.6
?r?r
各向异性介质的电位移与电场强度的关系可以表示为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
y
x
z
y
x
E
E
E
D
D
D
333231
232221
131211
???
???
???
此式表明，各向异性介质中，电位移的方向与电场强度的方向不一
定相同，电位移某一分量可能与电场强度的各个（或者某些）分量
有关。电位移和电场强度的关系与外加电场的 方向 有关。此外，可
以推知均匀介质的介电常数与 空间坐标 无关。线性介质的介电常数
与电场强度的 大小 无关。静止媒质的介电常数与 时间 无关。
对于均匀介质, 由于介电常数与坐标无关, 因此获得
?
q
S ??? d SE ?
???? E
此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然
成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。
6,两种介质的边界条件
由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，
这种变化规律称为静电场的 边界条件 。为了方便起见，通常分别讨论
边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。
E2
E11
3
2
4
?l
?h
? 1
? 2
et
为了讨论边界上某点电场强度的
切向分量的变化规律,围绕该点且紧
贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其
长度为 ?l，高度为 ?h，则 电场强度沿
该矩形曲线的环量为
????? ????????? 1 4 4 3 3 2 2 1 d d d d d lElElElElEl
为了求出边界上的场量关系，必须令 ?h ? 0，则线积分
0d d 1 4 3 2 ???? ?? lElE
为了求出边界上某点的场量关系，必须令 ?l 足够短，以致于在
?l内可以认为场量是均匀的，则上述环量为
lElE ΔΔd d d t21t4 3 22 1 1 ??????? ??? lElElE
式中 E1t 和 E2t 分别表示介质 ① 和 ② 中电场强度与边界平行的切向分
量 。 已知静电场中电场强度的环量处处为零, 因此由上式得
2t1t EE ?
此式表明,在两种介质形成的边界上，两侧的 电场强度的切向分量
相等,或者说,电场强度的切向分量是连续的 。
对于各向同性的线性介质，得
2
2t
1
t1 ?? DD ?
此式表明,在两种各向同性的线性介质形成的边界上,电位移的切
向分量是不连续的 。
?h
?S
为了讨论电位移的法向分量变化规律,
在边界上围绕某点作一个圆柱面, 其高度
为 ?h,端面为 ?S。 那么根据介质中的高
斯定律, 得知电位移通过该圆柱面的通量
等于圆柱面包围的 自由电荷, 即
? ??S q d SD
D2
D1
令 ?h ? 0, 则通过侧面的通量为零, 又考虑到 ?S 必须足够小,
则上述通量应为
? ?????S SDSD 1n2nd SD
式中 D1t 及 D2t 分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。
边界法线的方向 en 规定为由介质 ① 指向介质 ② 。
? 1
? 2
en
sS
qDD ??
??? 1n2n
求得
式中 ?s 为边界上存在的表面自由电荷的面密度 。 考虑到在两种介质
形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷, 因此
2n1n DD ?
此式表明,在两种介质边界上 电位移的法向分量相等,或者说,电
位移的法向分量是连续的 。
对于各向同性的线性介质，得
n221n1 EE ?? ?
此式表明,在两种各向同性的线性介质形成的边界上,电场强度的
法向分量不连续的 。
还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为
)( n1n20 EES ??? ??
7,介质与导体的边界条件
静电平衡,当孤立导体放入静电场中以后, 导体中自由电子发生
运动, 电荷重新分布 。 由于自由电子逆电场方向反向移动, 因此重新
分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反, 使导体中的合成电场
逐渐削弱, 一直到导体中的合成电场消失为零, 自由电子的运动方才
停止, 因而电荷分布不再改变, 这种状态称为 静电平衡 。
由此可见, 导体中不可能存在静电场, 导体内部不可能存在自由
电荷的体分布 。 所以, 当导体处于静电平衡时, 自由电荷只能分布在
导体的表面上 。 因为导体中不可能存在静电场, 因此导体中的电位梯
度为零, 这就意味着导体中电位不随空间变化 。 所以, 处于静电平衡
状态的导体是一个等位体, 导体表面是一个等位面 。
既然导体中的电场强度为零, 导体表面的外侧不可能存在电场强
度的切向分量 。 换言之, 电场强度必须垂直于导体的表面, 即
0n ?? Ee
介质
E,D
导体
en
导体表面存在的表面自由电荷面密
度为
SDe ???n
?
?SE ?
n
或写为
式中 ? 为导体周围介质的介电常数。
已知导体表面是一个等位面, 因, 求得表面电位与电
荷的关系为
nE ?
?? ?
n
?
?? S
n ???
?
考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得导体表
面束缚电荷面密度为
S????? Pe n
静电屏蔽,当 封闭的 导体空腔中没有自由电荷时, 即使腔外存在电
荷, 腔中也不可能存在静电场 。 这就意味着 封闭的导体腔可以屏蔽外
部静电场, 这种效应称为 静电屏蔽 。
当然，总电通为零可能是由于闭合面内部
没有电荷，因而没有场；或者因为正负电荷
相等，但是这是不可能的。因为电荷只可能
分布在导体的表面上，若以正负电荷之间任
一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条闭
合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合
曲线的电场强度的环量不可能为零，这就违
背了静电场的基本特性。
此外，显然若腔体接地，位于腔中的电荷也不可能对外产生静电场。
?
??
??
?
??
由于导体内部没有静电场, 因此若沿腔壁内部作一个闭合曲面, 通
过其表面的电通一定为零 。
例 已知半径为 r1 的导体球携带的正电量为 q，该导体球被内半径
为 r2 的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为 ?1,
球壳的外半径为 r3,球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径
为 r4,介电常数为 ?2,外部区域为真空，如左下图示。
试求,① 各区域中的电场强度；
② 各个表面上的自由电荷
和 束缚电荷。r1
r2
r3
r4
? 0 ? 2
? 1
解 由于结构为球对称，场也是球对称的，
应用 高斯定理 求解十分方便。取球面作为
高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，
因而也垂直于高斯面。
在 r < r1及 r2<r < r3 区域中，因导
体中不可能存静电场，所以 E = 0。
在 r1<r < r2 区域中，由,
得
? ??S q d SDr1
r2
r3
r4
? 0 ? 2
? 1
rr
q eE
2
1
1 π4 ??
rr
q eE
2
2
2 π4 ??
同理，在 r3<r < r4 区域中，求得
rr
q eE
2
0
0 π4 ??
在 r > r4 区域中，求得
根据 及,可以求得各个表面上的自由
电荷及束缚电荷面密度分别为
S????? Pe nSDe ???n
r1
r2
r3
r4
? 0 ? 2
? 1
r = r1:
21π4 r
q
S ??
011π4
121
n10 ????
???
?
? ?????
r
SS r
qE
????
r = r4:
011π4)(
2
2
4
n2n004 ????
???
?
? ?????
r
S r
qEE
???
0?S?
r = r2:
222 π4 r
q
S ???
011π4
122
21n02 ????
???
?
? ??????
r
SS r
qE
????
r = r3:
233 π4 r
q
S ??
011π4
223
32n03 ????
???
?
? ?????
r
SS r
qE
????
8,电容与部分电容
由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量 q 与极板间的
电位差 U 的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的 电容,即电
容为
U
qC?
电容的单位 F（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的
电容只有 F。实际中，通常取 ?F （微法）及 pF （皮法）
作为电容单位。
310708.0 ??
F10pF 1 F,10μF1 126 ?? ??
对于多导体之间的电容计算，需要引入 部分电容 概念。多导体
系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他
导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围空间
静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。
q1 q
3
qn
q2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????????
??????????
?????????
?????????
nnnjnnjnnnnn
niinjiijiiiii
nnkj
nnhj
CCCCq
CCCCq
CCCCq
CCCCq
???????
???????
???????
???????
??
???
????
??
??
)()()(
)()()(
)()()(
)()()(
2211
141
222222212212
111121121111
此时，各个导体上的电荷与导体间的电位
差的关系为
式中 Cii 称为第 i 个导体的 固有部分电容 ； Cij 称为第 i 个导体与第
j 个导体之间的 互有部分电容 。
例 已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为 b，内外导体之
间填充介质的介电常数为 ?。试求单位长度内外导体之间的电容。
解 由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，
同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又
因结构对称，可以应用高斯定律。a
b? 设内导体单位长度内的电量为 q，围绕
内导体作一个圆柱面作为高斯面 S，则
? ??S q d ?SE
那么内外导体之间的电位差 U 为 ?
???????? ba abqrEU ln2d ??
因此同轴线单位长度内的电容为
??????
??
a
bU
qC
ln
2??
rr
q eE
?π2?
9,电场能量
已知在静电场的作用下，带有正电荷的带电体会沿电场方向发生
运动，这就意味着电场力作了 功 。静电场为了对外作功必须消耗自身
的能量，可见静电场是具有 能量 的。如果静止带电体在外力作用下由
无限远处移入静电场中，外力必须反抗电场力作功，这部分功将转变
为静电场的能量储藏在静电场中，使静电场的能量增加。由此可见，
根据 电场力作功 或 外力作功 与 静电场能量 之间的转换关系，可以计算
静电场能量。
首先根据外力作功与静电场能量之间的关系计算电量为 Q 的孤
立带电体的能量。
设带电体的电量 Q 是从零开始逐渐由无限远处移入的。由于开
始时并无电场，移入第一个微量 dq 时外力无须作功。当第二个 dq 移
入时，外力必须克服电场力作功。若获得的电位为 ?，则外力必须作
的功为 ? dq,因此，电场能量的增量为 ?dq 。已知带电体的电位随
着电荷的逐渐增加而不断升高，可见电位是电量 q 的函数。 那么当
电量增至最终值 Q 时，外力作的总功，也就是电量为 Q 的带电体具
有的能量为
qqW Qe d )( 0 ?? ?
已知孤立导体的电位 ?等于携带的电量 q 与电容 C 的之比, 即
Cq??
代入上式，求得电量为 Q 的孤立带电体具有的能量为
C
QW 2
e 2
1?
C
QQW ?? ??,
2
1
e
或者表示为
对于 n 个带电体具有的总能量, 也可采用同样的方法进行计算 。
设每个带电体的电量均从零开始, 且以同样的比例增长 。 若周围媒质
是线性的, 则当各个带电体的电量增加一倍时, 各个带电体的电位也
升高一倍 。 设第 i 个带电体的电位最终值为 ?i,电量的最终值为 Qi,若
某一时刻第 i 个带电体的电量为 qi = ?Qi,? < 1 则此时刻该带电体的电
位为 ? i = ?? i 。 那么当各个带电体的电量均以同一比例 ?增长, 外力
必须作的功, 也就是带电系统的电场储能增量为
???? ddd
11
??
??
?? n
i ii
n
i iie
QqW
当各个带电体的电量同时分别增至最终值 时，该系统的总
电场能为
nQQQ,,,21 ?
??? ??? 1 0 1ee dd ???ni ii QWW
?
?
? n
i ii
QW
1e 2
1 ?求得
当带电体的电荷为连续的体分布、面分布或线分布电荷时，
由,求得这种分布电荷的带电体总能量为 lSVq
ls ddd d ??? ???
lSVW llS SV d 21d 21d 21e ?????? ??? ???
式中 ? 为体元 dV、面元 dS、或线元 dl 所在处的电位，积分区
域为电荷分布的空间。
从场的观点来看，静电场的能量分布在电场所占据的整个
空间，应该计算静电场的能量分布密度。静电场的能量密度以
小写英文字母 we 表示。
设两个导体携带的电量为 Q1和 Q2，其表面积分别为 S1和 S2，
如图所示。
S?
S2
Q2
Q1
S1
V en
en
n?e
n?e
已知电荷分布在导体的表面
上，因此，该系统的总能量为
?? ?? 21 d 21d 21e S SS S SSW ????
又知,
nn eDeD ????? ?s?
求得
?? ????? 21 d 21d 21e SSW SDSD ??
若在无限远处再作一个无限大的球面 S?，由于电荷分布在
有限区域，无限远处的电位及场强均趋于零。因此，积分
0d ???
?
SDS ?
那么，上面的储能公式可写为
SDSDSD d 21d 21d 21
21e
??????? ???
?SSS
W ??? SD d 21 ??? ?S ?
式中 。 该闭合面 S 包围了静电场所占据的整个空间。那
么，利用高斯定理，上式可写
???? SSSS 21
VW V d ) (21e ? ???? D? VV d ) (21 ? ??????? ?? DD
考虑到区域 V 中没有自由电荷, 所以, 又, 代入上
式, 求得
0??? D ????E
VW V d 21e ? ?????? ?? ED
由此可见，静电场的能量密度
ED ?? 21ew
对于各向同性的线性介质，,代入后得ED ??
2e 21 Ew ??
此式表明, 静电场能量与电场强度平方成正比 。 因此, 能量
不符合叠加原理 。 虽然几个带电体在空间产生的电场强度等于各
个带电体分别产生的电场强度的矢量和, 但是, 其总能量并不等
于各个带电体单独存在时具有的各个能量之和 。 事实上, 这是因
为当第二个带电体引入系统中时, 外力必须反抗第一个带电体对
第二个带电体产生的电场力而作功, 此功也转变为电场能量, 这
份能量通常称为 互有能, 而带电体单独存在时具有的能量称为 固
有能 。
例 计算半径为 a,电量为 Q 的导体球具有的能量。导体周围介质
的介电常数为 ?。
解 可以通过三种途径获得相同结果 。
（ 1） 已知半径为 a,电量为 Q 的导体球的电位为
a
Q
π4 ?? ?
a
QQW
π82
1 2
e ?? ??
那么求得
（ 2） 已知导体表面是一个等位面，那么积分求得
SaQW SS d π421e ???? aQ π8 2??
（ 3） 已知电量为 Q 的导体球外的电场强度为,能量
密度为,那么沿球外整个空间积分求得
2 π4 r
QE
??
42
2
e π32 r
Qw
??
a
QrrwW
a π8d s indd
2
2e π
0
π2
0 e ???? ?? ???
?
10,电场力
已知某点的电场强度在数值上等于单位正电荷在该点受到的电场
力。因此，点电荷 受到的电场力为q?
EF q??
若上式中 E 为点电荷 q 产生的电场强度，则
rr
q eE
2 π4 ??
式中 ? 为该点电荷周围介质的介电常数。那么,点电荷 受到点电荷
q 的作用力，或者说点电荷 q 对于点电荷 的作用力为
q?
q?
rr
qq eF
2 π4 ?
??
式中 er 为由 q 指向 的单位矢量。上式就是法国科学家库仑根据实验
总结归纳的 库仑定律 。
q?
已知带电体的电荷分布, 原则上, 根据库仑定律可以计算带电体
电荷之间的电场力 。 但是, 对于电荷分布复杂的带电系统, 根据库仑
定律计算电场力是非常困难的, 有时甚至无法求积 。 为了计算具有一
定电荷分布的带电体之间的电场力, 通常采用虚位移法 。 这种方法是
假定带电体在电场作用下发生一定的位移, 根据位移过程中 电场能量
的变化 与 外力 及 电场力所作的功 之间的关系计算电场力 。
以平板电容器为例, 设两极板上的电量分
别为 +q 及 -q, 板间距离为 l 。 为了计算方便,
假定在电场力作用下, 极板之间的距离增量
为 dl。 众所周知, 两极板间的相互作用力实
际上导致板间距离减小 。 因此, 求出的作用
力应为负值 。
dl
l
-q
+q
既然认为作用力 F 导致位移增加，因此，作用力 F 的方向为位移的
增加方向。这样，为了产生 dl 位移增量，电场力作的功应为 。
根据能量守恒定律，这部分功应等于电场能量的减小值，即
lF dd ?? lF
edd WlF ??
常数??? ql
WF
d
d e由此求得
式中脚注 q = 常数说明当极板发生位移时, 极板上的电量没有发生变化,
这样的带电系统称为 常电荷系统 。
已知平板电容器的能量为 。 对于常电荷系统, 发生位移
时电量 q 未变, 只有电容 C 改变了 。 C
qW 2
e 2
1?
式中 S 为极板的面积, l 为两极板的间距 。 将这些结果代入上式, 求
得平板电容器两极板之间的作用力为
已知平板电容器的电容
l
SC ??
)N( 2 2SqF ???
式中负号表明作用力的实际方向是指向位移减小的方向。
如果假定发生位移时, 电容器始终与电源相连, 这样, 在虚位
移过程中, 两极板的电位保持不变, 这种系统称为 常电位系统 。 根
据这种常电位的假定, 也可以计算平板电容器两极板之间的作用力,
所得结果应该与上完全相同 。
设在电场力作用下, 极板间距的增量为 dl。 由于电容改变, 为了
保持电位不变, 正极板的电荷增量为 dq,负极板的电荷增量为 -dq 。
设正负极板的电位分别为 ?1 及 ? 2, 则电场能量的增量为
qVqqW d21d21d21d 21e ??? ??
式中 为两极板之间的电压。
21 ?? ??V
为了将 dq 电荷移至电位为 ? 1的正极板, 将电荷 -dq移至电位为
? 2的负极板, 外源必须作的功为
e21 d2d)d(d WqVqq ???? ??
根据能量守恒原理, 外源作功的一部分供给电场力作功, 另一
部分转变为电场能的增量, 因此
ee ddd2 WlFW ??
常数?? ?l
WF
d
d e求得
例 利用虚位移法计算平板电容器极板上受到的表面张力。
解 利用虚位移概念，假定由于同一极板上的同性电荷相斥产生的
表面张力为 F。在此表面张力 F的作用下，使极板面积扩大了 dS，
则电场力作的功为 FdS。根据能量守恒原理，这部分功应等于电场
能量的减小值，即
edd WSF ?? 常数??? qSWF dd e
已知平板电容器的能量为,代入上式，得
l
SC
C
qW,
2
1 2
e
???
) N /m ( 2 22SlqF ??
若虚位移时，极板与外源相连，因而电位保持不变。那么，表
面张力 F应为
那么将 代入，即可获得同样结果。
l
SCCVW,
2
1 2
e
???
如果将 及 两式中的变量 l 理解为一
种 广义坐标,也就是说,l 可以代表位移、面积、体积甚至角度。那
么，企图改变这种广义坐标的作用力称为对于该广义坐标的 广义力 。
常数?? ?S
WF
d
d e
常数??? qS
WF
d
d e
常数?? ?l
WF
d
d e
显然, 对于不同的广义坐标, 其广义力的含义不同 。 对于位移而
言, 广义力就是普通概念的 力, 单位为 N；对于面积, 广义力为 表面
张力, 单位为 N/m；对于体积, 广义力为膨胀力或 压力, 单位为 N/m2；
对于角度, 广义力为 转矩, 单位为 N?m。 若规定广义力的方向仍然为
广义坐标增加的方向, 那么, 广义力与广义坐标的乘积仍然等于功 。
这样, 前两式可分别改写为
常数??
???
ql
WF e
常数??
??
?l
WF e
两式中的微分符号变为 偏微分 是考虑到系统的能量可能与几种广义坐标
有关。 l 代表对应于广义力的广义坐标。由上两式可见,带电系统的能
量与多少种广义坐标有关, 就存在多少种广义力 。当带电系统的某一广
义坐标发生变化时，若带电系统的能量没有发生变化，也就不存在使该
广义坐标发生变化的广义力。
例 计算带电肥皂泡的膨胀力 。
解 设肥皂泡的电量为 q,半径为 a。利用常电荷系统公式，令式中广
义坐标 l 代表体积 V，则受到的膨胀力 F 为
常数??
???
qeV
WF
已知半径为 a,电量为 q的带电球的电位为
a
q
0π4 ?
? ?
因此，携带的能量为
a
qqW
e
0
2
π8 2
1
?? ??
又知球的体积为
3 π34 aV ? aaV d π4d 2?
代入上式，得
)N / m(π32 π4 1 24
0
2
2
e
2 a
q
a
W
aF ???
???
