第五章 恒定磁场
主 要 内 容
磁感应强度，场方程，边界条件。
1,磁感应强度、磁通及磁场线
已知磁场表现为对于 运动 电荷有 力 的作用，因此，可以根据 运
动电荷 或 电流元 受到的作用 力,或者根据 小电流环 在磁场中受到的
力矩 描述磁场的强弱。
实验发现，运动电荷在磁场中受到的作用力不仅与 电荷量 及 运
动速度 的大小成正比，而且还与电荷的 运动方向 有关。电荷沿某一
方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。我们定义，
受力为零的方向为 零线方向,如图所示。
设最大作用力为 Fm，沿偏离零线方向 ?
角度运动时，受力为 。作用力 F 的大
小与电荷量 q 及速度大小 v 的乘积成正比。
?sinmF
我们定义一个矢量 B, 令其 大小 为,
其 方向 为 零线方向,那么矢量 B 与电荷量 q,
运动速度 v 以及作用力 F 的关系为
qvFm
BvF ?? q
矢量 B 称为 磁感应强度,单位为 T（特斯拉）。
值得注意的是，运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向
垂直,因此,磁场力无法改变运动电荷速度的大小，只能改变其运
动方向,磁场与运动电荷之间没有能量交换 。
F
B
v
?
零线方向
根据上述磁感应强度 B 的定义，可以导出 电流元 在磁场中受到
的 力 以及 小电流环 在磁场中受到的 力矩 。
电流元 是一小段载流导线，以矢量元 dl 的大小表示电流元的 长
度,其方向表示电流 I 的 方向,如左下图示。
F
BIdl
若电流元的电流为 I，则
qqttqI dddddddd vlll ???
那么，由前式求得电流元在 磁感应强度为 B
的磁场中受到的力
BlF ?? dI
此式表明，当电流元的电流方向与磁感应强度 B 平行 时，受力为 零 ；
当电流元的方向与 B 垂直 时，受力 最大 。
电流元在磁场中的 受力方向 始终 垂直 于电流的 流动方向 。
小电流环受到的 力矩 。设小电流环为四根长度为 l 的电流元围成
的 平面 方框，电流方向如左下图示。
cd
ba F
F B
S
(a)
如果观察距离远大于小电流环的尺寸, 这
种小电流环又称为 磁偶极子 。
I S BBIlI l B lFlT ???? 2
式中 为电流环的面积。2lS?
由于小环面积很小, 在小环的平面内可
以认为磁场是 均匀 的 。 那么当磁感应强度 B
与电流环所在平面平行时, 如图 (a)所示, 则
ab 及 cd 两条边不受力, ad 及 bc 两条边受力
方向相反, 因此, 使电流环受到一个 力矩 T,
其大小为
F
d c
ba
F
F
FB
S
(b)
d c
ba F
F
BBn
Bt
F
F
S
(c)
?
当电流环的平面与 B垂直 时，如图 (b)
所示，各边受力方向指向外侧，相互抵消，
电流环受到的力矩为 零 。
当 B 与电流环平面的法线方向 夹角 为
? 时，如图 (c)所示,则 B 可分解为 Bn 及
Bt 两个分量，其中 Bn 垂直于小环平面,Bt
平行于小环平面，因此，小环受到的力矩
大小为
?s i nI S BI S BT t ??
若定义有向面 S 的方向与电流方向构成 右旋 关系，则上式可写
成矢量形式
)( BST ?? I
可以证明，此式适用于 任何形状 的小电流环。通常，乘积 IS 称
为小电流环的 磁矩,以 m表示，即
Sm I?
则前式又可写为 BmT ??
此式表明，当电流环的磁矩方向与磁感应强度 B 的方向 平行 时，受
到的力矩为 零 ；当两者 垂直 时，受到的力矩 最大 。
磁感应强度也可用一系列 有向曲线 来表示。曲线上某点的 切线
方向为磁感应强度矢量的方向，这些曲线称为 磁场线 （磁力线） 。
磁场线的矢量方程为
0d ?? lB
磁场线也 不可相交 。与电场线一样，若以磁场线构成磁场管，
且规定相邻磁场管中的磁通相等，则磁场线的疏密程度也可表示磁
场的强弱，磁场线密表示磁感应强度强。
磁感应强度 B 通过某一表面 S 的通量称为 磁通,以 ?表示,
即
SB d? ?? S?
磁通的单位为 Wb（ 韦伯 ） 。
2,真空中的恒定磁场方程式
真空中恒定磁场的磁感应强度 B 满足下列两个方程
I? ??l lB 0 d ? ? ??S SB 0d
左式称为 安培环路定律,式中 ?0 为真空磁导率,(H/m)，
I 为闭合曲线包围的电流。
70 10π4 ????
安培环路定律表明，真空中恒定磁场的磁感应强度沿任一闭合曲
线的 环量 等于曲线 包围 的电流与真空磁导率的乘积。
由此可见，与电流线一样，磁场线也是处处闭合的，没有起点与
终点，这种特性称为 磁通连续性原理 。
右式表明，真空中恒定磁场通过任一 闭合 面的磁通为 零 。
由斯托克斯定理获知 ?? ?????
Sl SBlB d)(d
再考虑到电流强度 I 与电流密度 J 的关系
? ?? SI SJ d
0d)( 0 ??????S SJB ?
那么，根据 安培环路定律求得
由于上式对于 任何 表面都成立，因此，被积函数应为零，从而求得
JB 0 ????
此式表明,真空中 某点 恒定磁场的磁感应强度的旋度等于 该点 的电流密
度与真空磁导率的乘积 。
另外，由高斯定理获知
?? ???? VS V d d BSB
? ???V V 0d B
0??? B
那么，根据磁通连续性原理求得
由于此式 处处 成立，因此被积函数应为零，即
此式表明，真空中恒定磁场的磁感应强度的散度 处处 为 零 。
综上所述，求得真空中恒定磁场方程的微分形式为
JB 0 ???? 0??? B
可见,真空中恒定磁场是 有旋无散 的 。
根据亥姆霍兹定理，磁感应强度 B 应为
AB ?????? ?
VV ??? ??? ?? ? ? d)(π41)( rr rBr? VV ??? ??? ?? ? ? d)(π41)( rr rBrA
式中
0)( ?r? V
V ???
?? ?
? d
)(
4 π)(
0
rr
rJrA ?
考虑到真空中恒定磁场方程，得
AB ???那么
可见,某点 磁感应强度 B 等于 该点 矢量函数 A 的旋度，该矢量
函数 A 称为 矢量磁位 。
若已知电流分布，利用上式可以先求出任一点的矢量磁位，即
可计算该点的磁感应强度。
VV ??? ????? ? ? d ) ()( 4 π)( 3 0 rr rrrJrB ?
此式称为 毕奥 –沙伐定律 。
电流分类,电流可以分布在 体积 中，也可分布在 表面 上或细导
线 中。面分布的电流称为 表面电流,表面电流密度 Js 的单位为 A/m。
细导线中电流称为 线电流,线电流无密度可言。
lJJ S ddd ISV ??
经过演算，还可直接建立电流与磁感应强度的关系为
各种电流之间的关系为
那么, 可以导出 面 电流和 线 电流产生的矢量磁位及磁感应强度
分别为
S ??? ?? ? ? d)(π4)( 0 rr rJrA S S? S ??? ????? ? ? d)()(π4)( 30 rr rrrJrB S S?
? ? ?? ?? l rr lrA dπ4)( 0 I? ? ? ?? ????? l rr rrlrB 30 )(dπ4)( I?
对于某些恒定磁场，根据 安培环路定律 计算磁感应强度将十分简
便。
为此，必须找到一条封闭曲线，曲线上 各点 的磁感应强度 大小相等,且
方向与曲线的切线 方向一致,上式的矢量积分变为标量积分，且 B 可以
由积分号移出，那么即可求出 B 值。
I? ??l lB 0 d ?
至此, 我们获得了真空中恒定磁场方程的 积分 形式和 微分 形式 。
已知电流分布, 根据 矢量磁位 和 磁感应强度 公式, 即可计算恒定磁
场 。 对于某些分布 特殊 的恒定磁场利用 安培环路定律 计算恒定磁场
更为简便 。
例 1 计算无限长的,电流为 I的线电流产生的磁感应强度。
? r
o
z
y
x
dl
I
r′ r - r′
e?
解 取圆柱坐标系, 如图示 。 令 z 轴沿电
流方向 。 的方向为 B 的方向 。 那
么, 由图可见, 这个叉积方向为圆柱坐标
中的 e? 方向 。 因此, 磁感应强度 B 的方
向为 e?方向, 即
)(d rrl ???
?eB B?
此式表明，磁场线是以 z 轴为圆心的一系列的 同心圆 。显然，此时磁
场分布以 z 轴 对称,且与 ?无关 。又因线电流为无限长，因此，场量
一定与变量 z 无关，所以，以线电流为圆心的磁场线上各点磁感应强
度相等。因此，沿半径为 r 的磁场线上磁感应强度的环量为
rB π2d ??? lB
根据安培环路定律, 求得磁感应强度的大小为
r
IB
π2 0
??
此式也适用于具有一定截面, 电流为 I
的无限长的圆柱导线外的恒定磁场 。I B
例 2 计算半径为 a,电流为 I 的小电流环产生的磁感应强度。
r
z
y
x
? a
r'r - r'
e?'?'
x
yO
a
r'?'
?'
e?'-ex
ey
e?'
解 取球坐标系, 令坐标原点位于电
流环的中心, 且电流环的平面位于
xy 平面内, 如图示 。 由于结构对称,
场量一定与 ? 无关 。 为了计算方便
起见, 令所求的场点位于 xz 平面,
即 ? = 0平面内 。
经过一系列演算，求得
2
0 π4 s i n)( rIS ???erA ?
式中 为小电流环的面积。2 πaS ?
考虑到小电流环的磁矩,上式可表示为IS
zem?
30 π4)( r
rmrA ?? ?
根据, 求得AB ???
? ? s i nc o s2 π4)( 30 ??? ?eerB ?? rrIS
可见，小电流环产生的矢量磁位 A 与距离 r 的 平方 成反比，磁感应强
度 B 与距离 r 的 立方 成反比。而且，两者均与场点所处的方位有关。
此式适用于磁矩为 m,位于坐标原点的
任何取向的磁偶极子。
m
r A(r)
x
z
y
3,矢量磁位与标量磁位
已知矢量磁位 A与磁感应强度 B 的关系为
AB ???
矢量磁位与电位不同，它 没有 任何物理意义，仅是一个 计算辅助量 。
已知,那么0??? A AA 2?????????? A
BA ????? 2求得
JA 0 2 ????
可见，矢量磁位 A 满足矢量 泊松方程 。
当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为
此，需要导出矢量磁位应该满足的 微分方程 。
前述矢量磁位的积分表达式可以认为是该方程的 特解 ——自由空
间中的解。
在 无源区 中, J = 0,则上式变为下述 矢量 拉普拉斯 方程
02 ?? A
已知在直角坐标系中, 泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个
坐标分量 的 标量 方程 。 因此, 前述的格林函数法以及分离变量法均可
用于求解矢量磁位 A 的各个直角坐标分量所满足的 标量 泊松方程及拉
普拉斯方程 。 此外, 镜像法 也可适用于求解恒定磁场的 边值 问题 。
? ???? SΦ d)( SA
已知磁通表达式为,那么?
?? SΦ dSB
再利用斯托克斯定理，得 ?
?? lΦ d lA
由此可见，利用矢量磁位 A计算磁通十分简便。
在 无源区 中，因 J = 0，得 。可见，无源区中磁感应强度
B 是无旋的。 因此，无源区中磁感应强度 B 可以表示为一个标量场
的梯度，令
0??? B
m0 ?? ???B
式中标量 ?m 称为 标量磁位 。因,由上式得0??? B
0m2 ?? ?
可见,标量磁位 满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件，求解标量
磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即可求出磁感应强度。
注意，标量磁位的应用仅限于 无源区 。
4,媒质磁化
电子围绕原子核 旋转 形成一个闭合的 环形电流, 这种环形电流相当
于一个 磁偶极子 。 电子及原子核本身 自旋 也相当于形成 磁偶极子 。
媒 质合成场 Ba+ Bs
磁 化二次场 Bs
外加场 Ba
当外加磁场时, 在磁场力的作用下, 这些带电粒子的运动方向发生变
化, 甚至产生新的电流, 导致各个磁矩重新排列, 宏观的合成磁矩不再为
零, 这种现象称为 磁化 。
由于热运动的结果, 这些磁偶极子的排列方向杂乱无章, 合成磁矩
为 零, 对外不显示磁性 。
与极化现象不同，磁化结果使媒质中的合成磁场可能 减弱 或 增
强,而介质极化总是导致合成电场 减弱 。
根据磁化过程，媒质的磁性能分为 抗磁性, 顺磁性, 铁磁性 及
亚铁磁性 等。
抗磁性 。 在正常情况下, 原子中的合成磁矩为 零 。
当外加磁场时, 电子除了仍然自旋及轨道运动
外, 轨道还要围绕外加磁场发生运动, 这种运
动方式称为 进动 。
电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁
场的方向 相反,导致媒质中合成磁场 减弱 。因此，
这种磁性能称为 抗磁性,如 银, 铜, 铋, 锌, 铅
及 汞 等。
Bt
顺磁性。 在正常情况下，合成磁矩不为零。由于热运动结果，
宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的作用下，除了引起电子 进动 以
外，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。因此，合成磁场
增强，这种磁性能称为 顺磁性 。如 铝, 锡, 镁, 钨, 铂 及 钯 等。
铁磁性 。 内部存在, 磁畴,, 每个, 磁畴, 中磁矩方向相同,
但是各个, 磁畴, 的磁矩方向杂乱无章, 对外不显示磁性 。 在外磁
场作用下, 各个, 磁畴, 方向趋向一致, 且畴界面积还会扩大, 因
而产生 很强 的磁性 。 例如 铁, 钴, 镍 等 。 这种铁磁性媒质的磁性能
还具有 非线性, 且存在 磁滞 及 剩磁 现象 。
亚铁磁性 。 是一种金属氧化物, 磁化现象比铁磁媒质稍弱一些,
但剩磁小, 且 电导率很低, 这类媒质称为 亚铁磁媒质 。 例如 铁氧体
等 。 由于其电导率很低, 高频电磁波可以 进入内部, 产生一些可贵
的特性, 使得铁氧体在 微波器件 中获得广泛的应用 。
磁化结果产生了磁矩 。 为了衡量磁化程度, 我们定义单位体积中
磁矩的矢量和称为 磁化强度, 以 M 表示, 即
V
N
i
1
??
?
?
im
M
式中 为 中第 i 个磁偶极子具有的磁矩。 为物理无限小体积。im V? V?
磁化后, 媒质中形成新的电流, 这种电流称为 磁化电流 。 形成磁化
电流的电子仍然被束缚在原子或分子周围, 所以磁化电流又称为 束缚电
流 。 磁化电流密度以 J ' 表示 。 利用矢量磁位与磁矩的关系, 可以导出矢
量磁位与磁化强度 M 的关系为
?? ?? ??? ?????? ??? ?? SV SV d)(4 πd)(4 π)( n0 0 rr erMrr rMrA ??
x
P
z
y
r
dV'
O
V'
r' r - r'
S'
第一项为 体分布 的磁化电流产生的矢量磁
位, 第二项为 面分布 的磁化电流产生的矢
量磁位, 因此两种 磁化电流密度与磁化强
度的关系为
MJ ???? neMJ ???S
例 已知半径为 a，长度为 l 的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得 均匀
磁化 。若磁化强度为 M，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径 P
点处由磁化电流产生的磁感应强度。
x
y
z
l
P(0,0,z)
0
a
sJ?
解 取圆柱坐标系, 令 z 轴与圆柱轴线一致,
如图示 。
由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，
因此，,即 体分布 的磁化电流密
度为零。
0????? MJ
又知 表面 磁化电流密度
neMJ ???S
式中 en 为表面的外法线方向上单 位矢。因,所以表面磁化电
流密度 仅存在于圆柱 侧壁,上下端面的磁化电流密度为零。因此
MzeM ?
SJ?
?eeeeMJ S MM rz ?????? n
x
y
z
l
P(0,0,z)
z
dz'
0
a
sJ?
显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电
流。位于 z 处宽度为 dz的环形电流为 ( dz),
那么该环形电流在轴线上 z 处 (z >> a)产生的磁
感应强度 dB 为
SJ?
zzz Maz ???? d)(2d 320 ?eB
那么侧壁上全部磁化电流在轴线上 z 处产生的合成磁感应强度为
zzzMa lz ???? ? d)( 12 0 320 ?eB ?????? ??? 2220 1)( 14 zlzMaz ?e
5,媒质中的恒定磁场方程式
磁化媒质内部的磁场相当于 传导 电流 I 及 磁化 电流 I? 在真空
中产生的合成磁场 。 这样, 磁化媒质中磁感应强度 B 沿任一闭合曲
线的环量为
)(d 0 IIl ????? ?lB
Il ?????????? ?? lMB d
0 ?
考虑到,求得?
??? l lM dI
HMB ??
0 ?
令
Il ??? lH d
则
式中 H 称为 磁场强度, 其单位是 A/m。 上式称为 媒质中 安培环路定
律 。 它表明媒质中的磁场强度沿 任一 闭合曲线的环量等于闭合曲线
包围的 传导 电流 。
利用斯托克斯定理，由上式求得
JH ???
该式称为 媒质中 安培环路定律的微分形式。它表明 媒质中 某点 磁场强
度的旋度等于 该点 传导电流密度 。
磁化电流并不影响磁场线处处 闭合 的特性，媒质中磁感应强度通
过任一闭合面的通量仍为零，因而磁感应强度的散度仍然处处为零，
即
? ??S SB 0d 0??? B
磁场强度仅与 传导 电流有关，简化了媒质中磁场强度的计算，正如
使用 电通密度 可以简化介质中静电场的计算一样。
对于大多数媒质, 磁化强度 M 与磁场强度 H 成正比, 即
HM m??
式中比例常数 ? m 称为 磁化率 。磁化率可以是 正 或 负 实数。
考虑到,则由上式求得
HMB ??
0 ?
HB )1( m0 ?? ??
)1( m0 ??? ??令
HB ??则
式中 ?称为 磁导率 。
m
0
r 1 ??
?? ???
相对磁导率 ?r 定义为
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象 均很微弱,因此，
可以认为它们的相对磁导率基本上等于 1。铁磁性媒质的磁化现象非常
显著，其磁导率可以达到 很高 的数值。
抗磁性 媒质磁化后使磁场 减弱, 因此 1,,0 r 0 m ??? ????
顺磁性 媒质磁化后使磁场 增强,因此 1,,0
r 0 m ??? ????
r ? r ? r ?媒质 媒质 媒 质
金 0.9996 铝 1.000021 镍 250
银 0.9998 镁 1.000012 铁 4000
铜 0.9999 钛 1.000180 磁性合金 105
与介质的电性能一样, 媒质的磁性能也有 均匀与非均匀, 线性
与非线性, 各向同性与各向异性 等特点 。
HB
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
33 23 31
32 22 21
31 12 11
???
???
???
若媒质的磁导率 不随空间 变化，则称为磁性能 均匀 媒质，反之，
则称为磁性能 非均匀 媒质。若磁导率与外加磁场强度的 大小 及 方向
均无关，磁感应强度与磁场强度成 正比,则称为磁性能 各向同性 的
线性 媒质。磁性能 各向异性 的媒质，其磁导率具有 9个分量,B与 H
的关系 为
对于磁性能 均匀, 线性, 各向同性 的媒质，由于磁导率与空间坐
标无关，因此得
? ??l I d ?lB JB ????
? ??B SH 0d 0??? H
又知,由亥姆霍兹定理得 JB ????
VV ??? ?? ? ? d)(π4)( rr rJrA ?
它所满足的微分方程式为 JA 2 ????
可以认为，上式是下式的特解，即自由空间的解。
上述结果表明，对于 均匀, 线性, 各向同性 媒质，只要真空磁导
率 ?0 换为媒质磁导率 ?,各个方程即可适用。
6,恒定磁场的边界条件
推导过程与静电场的情况完全类似。结果如下：
?1
?2
B2
H1 B1
H2 e
n
(1) 当边界上 不存在表面电流 时，磁场强度
的切向分量是连续的，即
2t1t HH ?
对于 各向同性 的 线性 媒质, 上式又可表示为
2
2t
1
1t ?? BB ?
(2) 磁感应强度的 法向分量 是连续的,即
2n1n BB ?
对于 各向同性 的 线性 媒质, 由上式求得
n22 n11 HH ?? ?
由上可见，边界两侧磁场强度及磁感应强度的 大小 及 方向 均要发
生变化。这种不连续性是由于边界上存在的 表面磁化电流 引起的。
sJBB ??? 0 2t1t ?
考虑到回路方向与回路界定的有向
面方向形成右旋关系, 上式又可写成矢
量形式
sJeMM ???? n21 )(
?1
?2
en e
t
1M
2M
sJ?
边界上磁感应强度的切向分量与磁化电流的关系为
sJMM ??? 2t1t
得
磁导率为 无限大 的媒质称为 理想导磁体 。在理想导磁体中不可能
存在磁场强度，否则，由式 可见，将需要无限大的磁感应强
度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的
能量，显然这是不可能的。
HB ??
例 1 在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制 N匝线
圈，如图示。当线圈中的恒定电流为 I 时，若
忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求 磁芯 及 气隙
中的磁感应强度及磁场强度。
边界上磁场强度的切向分量是连续的，因此，
在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向
分量，即 磁场强度必须垂直于理想导磁体表面 。? ? ?
H
解 忽略漏磁通, 磁感应强度的方向沿环形圆周 。 由边界条件知,
气隙中磁感应强度 Bg等于磁芯中的磁感应强度 Bf, 即
fg0fg HHBB ?? ???
围绕半径为 r0的圆周，利用媒质中的安培环
路定律，且考虑到 r0 >> a, 可以认为线圈中磁
场均匀分布，则
NI??? lH d
NIdrBdB ??? ) π2( 0f
0
g
??
考虑到,得
fg BB ?
) π2(
00
0 fg drd NI ???? ?? ???eBB
气隙中的磁场强度 Hg为
) π2(
00 0
g
g drd
NI
???? ??
?
? ?e
BH
磁芯中的磁场强度 Hf 为
) π2(
00
0 ff drd NI ???? ?? ?? ?eBH
例 2 设一根载有恒定电流 I 的 无限长 导
线与无限大的 理想导磁平面 平行放臵，如
图示。导线与平面间的距离为 h,试求上
半空间任一点磁场强度。
X
h
y
x
? = ?
? 0
I
O
X
h
y
x
? = ?
? 0
I
O
r'
h
h
Py
x
? 0
I
H1
H2
H1H2
H
O
r
?
I'
?'
? 0
解 采用镜像法。设在镜像位臵放臵一根无限长的恒定电流 I?,
那么上半空间任一点合成磁场强度为
r
I
r
I
?
?????
π2 π221 ?? eeHHH
理想导磁体表面的磁场强度的切向分量必须为零，为了满足
这个边界条件必须要求 I = I′。
因此合成磁场为
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
x
y
hyx
hy
hyx
hy
hyx
x
hyx
xI
e
eH
2222
2222
)()(
)()(π2
对于边界上任一点,y = 0，得
yhx
xI eH
)( π
22 ??
由此可见，所得结果满足前述的边界条件，即磁场强度垂直于
理想导磁体边界 。
例 3 一根无限长的电流为 I 的线电流，位于两种 媒质 形成的无限大
的平面边界附近，两种媒质的磁导率分别为 ?1 及 ?2,试求两种媒
质中的恒定磁场。
I
?2
?1 = +
解 设电流 I 位于媒质②中，如下图示。
I ?
H
?2
I '
H'
e? '
e? ?
?1
I " e?
H"
I
?2
?1 = +
I ?
H
?2
I '
H'
e? '
e? ?
?1
I " e?
H"
根据惟一性定理, 场是由源及其边界条件共同决定的 。 现在这样
假定后, 上半空间仍为有源区, 下半空间仍为无源区 。 为了维持边界
条件不变, 求出的上半空间及下半空间的场在边界上应满足恒定磁场
的边界条件, 即 。 由此求得
2n1n2t1t,BBHH ??
??
?
?????
?????
III
III
1 2 2 ???
?
?
?
??
?
?
?
???
?
?
??
II
II
2 1
2
2 1
2 1
2
??
?
??
??
???
? eH
)( π 2 1 2 1 ?? r
I 11 1 HB ??
?? ??
??
???
??? eeH
)( π2
)(
π2 2 1 2 1 2 r
I
r
I 22 2 HB ??
那么
01 ?H ??? eHB rI π 2 11 1 ??
此时，镜像电流 。这些结果与前例完全相同。0,????? III
由此可见，若媒质①为理想导磁体，即,则??
1 ?
主 要 内 容
磁感应强度，场方程，边界条件。
1,磁感应强度、磁通及磁场线
已知磁场表现为对于 运动 电荷有 力 的作用，因此，可以根据 运
动电荷 或 电流元 受到的作用 力,或者根据 小电流环 在磁场中受到的
力矩 描述磁场的强弱。
实验发现，运动电荷在磁场中受到的作用力不仅与 电荷量 及 运
动速度 的大小成正比，而且还与电荷的 运动方向 有关。电荷沿某一
方向运动时受力最大，而垂直此方向运动时受力为零。我们定义，
受力为零的方向为 零线方向,如图所示。
设最大作用力为 Fm，沿偏离零线方向 ?
角度运动时，受力为 。作用力 F 的大
小与电荷量 q 及速度大小 v 的乘积成正比。
?sinmF
我们定义一个矢量 B, 令其 大小 为,
其 方向 为 零线方向,那么矢量 B 与电荷量 q,
运动速度 v 以及作用力 F 的关系为
qvFm
BvF ?? q
矢量 B 称为 磁感应强度,单位为 T（特斯拉）。
值得注意的是，运动电荷受到的磁场力始终与电荷的运动方向
垂直,因此,磁场力无法改变运动电荷速度的大小，只能改变其运
动方向,磁场与运动电荷之间没有能量交换 。
F
B
v
?
零线方向
根据上述磁感应强度 B 的定义，可以导出 电流元 在磁场中受到
的 力 以及 小电流环 在磁场中受到的 力矩 。
电流元 是一小段载流导线，以矢量元 dl 的大小表示电流元的 长
度,其方向表示电流 I 的 方向,如左下图示。
F
BIdl
若电流元的电流为 I，则
qqttqI dddddddd vlll ???
那么，由前式求得电流元在 磁感应强度为 B
的磁场中受到的力
BlF ?? dI
此式表明，当电流元的电流方向与磁感应强度 B 平行 时，受力为 零 ；
当电流元的方向与 B 垂直 时，受力 最大 。
电流元在磁场中的 受力方向 始终 垂直 于电流的 流动方向 。
小电流环受到的 力矩 。设小电流环为四根长度为 l 的电流元围成
的 平面 方框，电流方向如左下图示。
cd
ba F
F B
S
(a)
如果观察距离远大于小电流环的尺寸, 这
种小电流环又称为 磁偶极子 。
I S BBIlI l B lFlT ???? 2
式中 为电流环的面积。2lS?
由于小环面积很小, 在小环的平面内可
以认为磁场是 均匀 的 。 那么当磁感应强度 B
与电流环所在平面平行时, 如图 (a)所示, 则
ab 及 cd 两条边不受力, ad 及 bc 两条边受力
方向相反, 因此, 使电流环受到一个 力矩 T,
其大小为
F
d c
ba
F
F
FB
S
(b)
d c
ba F
F
BBn
Bt
F
F
S
(c)
?
当电流环的平面与 B垂直 时，如图 (b)
所示，各边受力方向指向外侧，相互抵消，
电流环受到的力矩为 零 。
当 B 与电流环平面的法线方向 夹角 为
? 时，如图 (c)所示,则 B 可分解为 Bn 及
Bt 两个分量，其中 Bn 垂直于小环平面,Bt
平行于小环平面，因此，小环受到的力矩
大小为
?s i nI S BI S BT t ??
若定义有向面 S 的方向与电流方向构成 右旋 关系，则上式可写
成矢量形式
)( BST ?? I
可以证明，此式适用于 任何形状 的小电流环。通常，乘积 IS 称
为小电流环的 磁矩,以 m表示，即
Sm I?
则前式又可写为 BmT ??
此式表明，当电流环的磁矩方向与磁感应强度 B 的方向 平行 时，受
到的力矩为 零 ；当两者 垂直 时，受到的力矩 最大 。
磁感应强度也可用一系列 有向曲线 来表示。曲线上某点的 切线
方向为磁感应强度矢量的方向，这些曲线称为 磁场线 （磁力线） 。
磁场线的矢量方程为
0d ?? lB
磁场线也 不可相交 。与电场线一样，若以磁场线构成磁场管，
且规定相邻磁场管中的磁通相等，则磁场线的疏密程度也可表示磁
场的强弱，磁场线密表示磁感应强度强。
磁感应强度 B 通过某一表面 S 的通量称为 磁通,以 ?表示,
即
SB d? ?? S?
磁通的单位为 Wb（ 韦伯 ） 。
2,真空中的恒定磁场方程式
真空中恒定磁场的磁感应强度 B 满足下列两个方程
I? ??l lB 0 d ? ? ??S SB 0d
左式称为 安培环路定律,式中 ?0 为真空磁导率,(H/m)，
I 为闭合曲线包围的电流。
70 10π4 ????
安培环路定律表明，真空中恒定磁场的磁感应强度沿任一闭合曲
线的 环量 等于曲线 包围 的电流与真空磁导率的乘积。
由此可见，与电流线一样，磁场线也是处处闭合的，没有起点与
终点，这种特性称为 磁通连续性原理 。
右式表明，真空中恒定磁场通过任一 闭合 面的磁通为 零 。
由斯托克斯定理获知 ?? ?????
Sl SBlB d)(d
再考虑到电流强度 I 与电流密度 J 的关系
? ?? SI SJ d
0d)( 0 ??????S SJB ?
那么，根据 安培环路定律求得
由于上式对于 任何 表面都成立，因此，被积函数应为零，从而求得
JB 0 ????
此式表明,真空中 某点 恒定磁场的磁感应强度的旋度等于 该点 的电流密
度与真空磁导率的乘积 。
另外，由高斯定理获知
?? ???? VS V d d BSB
? ???V V 0d B
0??? B
那么，根据磁通连续性原理求得
由于此式 处处 成立，因此被积函数应为零，即
此式表明，真空中恒定磁场的磁感应强度的散度 处处 为 零 。
综上所述，求得真空中恒定磁场方程的微分形式为
JB 0 ???? 0??? B
可见,真空中恒定磁场是 有旋无散 的 。
根据亥姆霍兹定理，磁感应强度 B 应为
AB ?????? ?
VV ??? ??? ?? ? ? d)(π41)( rr rBr? VV ??? ??? ?? ? ? d)(π41)( rr rBrA
式中
0)( ?r? V
V ???
?? ?
? d
)(
4 π)(
0
rr
rJrA ?
考虑到真空中恒定磁场方程，得
AB ???那么
可见,某点 磁感应强度 B 等于 该点 矢量函数 A 的旋度，该矢量
函数 A 称为 矢量磁位 。
若已知电流分布，利用上式可以先求出任一点的矢量磁位，即
可计算该点的磁感应强度。
VV ??? ????? ? ? d ) ()( 4 π)( 3 0 rr rrrJrB ?
此式称为 毕奥 –沙伐定律 。
电流分类,电流可以分布在 体积 中，也可分布在 表面 上或细导
线 中。面分布的电流称为 表面电流,表面电流密度 Js 的单位为 A/m。
细导线中电流称为 线电流,线电流无密度可言。
lJJ S ddd ISV ??
经过演算，还可直接建立电流与磁感应强度的关系为
各种电流之间的关系为
那么, 可以导出 面 电流和 线 电流产生的矢量磁位及磁感应强度
分别为
S ??? ?? ? ? d)(π4)( 0 rr rJrA S S? S ??? ????? ? ? d)()(π4)( 30 rr rrrJrB S S?
? ? ?? ?? l rr lrA dπ4)( 0 I? ? ? ?? ????? l rr rrlrB 30 )(dπ4)( I?
对于某些恒定磁场，根据 安培环路定律 计算磁感应强度将十分简
便。
为此，必须找到一条封闭曲线，曲线上 各点 的磁感应强度 大小相等,且
方向与曲线的切线 方向一致,上式的矢量积分变为标量积分，且 B 可以
由积分号移出，那么即可求出 B 值。
I? ??l lB 0 d ?
至此, 我们获得了真空中恒定磁场方程的 积分 形式和 微分 形式 。
已知电流分布, 根据 矢量磁位 和 磁感应强度 公式, 即可计算恒定磁
场 。 对于某些分布 特殊 的恒定磁场利用 安培环路定律 计算恒定磁场
更为简便 。
例 1 计算无限长的,电流为 I的线电流产生的磁感应强度。
? r
o
z
y
x
dl
I
r′ r - r′
e?
解 取圆柱坐标系, 如图示 。 令 z 轴沿电
流方向 。 的方向为 B 的方向 。 那
么, 由图可见, 这个叉积方向为圆柱坐标
中的 e? 方向 。 因此, 磁感应强度 B 的方
向为 e?方向, 即
)(d rrl ???
?eB B?
此式表明，磁场线是以 z 轴为圆心的一系列的 同心圆 。显然，此时磁
场分布以 z 轴 对称,且与 ?无关 。又因线电流为无限长，因此，场量
一定与变量 z 无关，所以，以线电流为圆心的磁场线上各点磁感应强
度相等。因此，沿半径为 r 的磁场线上磁感应强度的环量为
rB π2d ??? lB
根据安培环路定律, 求得磁感应强度的大小为
r
IB
π2 0
??
此式也适用于具有一定截面, 电流为 I
的无限长的圆柱导线外的恒定磁场 。I B
例 2 计算半径为 a,电流为 I 的小电流环产生的磁感应强度。
r
z
y
x
? a
r'r - r'
e?'?'
x
yO
a
r'?'
?'
e?'-ex
ey
e?'
解 取球坐标系, 令坐标原点位于电
流环的中心, 且电流环的平面位于
xy 平面内, 如图示 。 由于结构对称,
场量一定与 ? 无关 。 为了计算方便
起见, 令所求的场点位于 xz 平面,
即 ? = 0平面内 。
经过一系列演算，求得
2
0 π4 s i n)( rIS ???erA ?
式中 为小电流环的面积。2 πaS ?
考虑到小电流环的磁矩,上式可表示为IS
zem?
30 π4)( r
rmrA ?? ?
根据, 求得AB ???
? ? s i nc o s2 π4)( 30 ??? ?eerB ?? rrIS
可见，小电流环产生的矢量磁位 A 与距离 r 的 平方 成反比，磁感应强
度 B 与距离 r 的 立方 成反比。而且，两者均与场点所处的方位有关。
此式适用于磁矩为 m,位于坐标原点的
任何取向的磁偶极子。
m
r A(r)
x
z
y
3,矢量磁位与标量磁位
已知矢量磁位 A与磁感应强度 B 的关系为
AB ???
矢量磁位与电位不同，它 没有 任何物理意义，仅是一个 计算辅助量 。
已知,那么0??? A AA 2?????????? A
BA ????? 2求得
JA 0 2 ????
可见，矢量磁位 A 满足矢量 泊松方程 。
当电流分布未知时，必须利用边界条件求解恒定电磁场的方程。为
此，需要导出矢量磁位应该满足的 微分方程 。
前述矢量磁位的积分表达式可以认为是该方程的 特解 ——自由空
间中的解。
在 无源区 中, J = 0,则上式变为下述 矢量 拉普拉斯 方程
02 ?? A
已知在直角坐标系中, 泊松方程及拉普拉斯方程均可分解为三个
坐标分量 的 标量 方程 。 因此, 前述的格林函数法以及分离变量法均可
用于求解矢量磁位 A 的各个直角坐标分量所满足的 标量 泊松方程及拉
普拉斯方程 。 此外, 镜像法 也可适用于求解恒定磁场的 边值 问题 。
? ???? SΦ d)( SA
已知磁通表达式为,那么?
?? SΦ dSB
再利用斯托克斯定理，得 ?
?? lΦ d lA
由此可见，利用矢量磁位 A计算磁通十分简便。
在 无源区 中，因 J = 0，得 。可见，无源区中磁感应强度
B 是无旋的。 因此，无源区中磁感应强度 B 可以表示为一个标量场
的梯度，令
0??? B
m0 ?? ???B
式中标量 ?m 称为 标量磁位 。因,由上式得0??? B
0m2 ?? ?
可见,标量磁位 满足拉普拉斯方程。这样，根据边界条件，求解标量
磁位满足的拉普拉斯方程，可得标量磁位，然后即可求出磁感应强度。
注意，标量磁位的应用仅限于 无源区 。
4,媒质磁化
电子围绕原子核 旋转 形成一个闭合的 环形电流, 这种环形电流相当
于一个 磁偶极子 。 电子及原子核本身 自旋 也相当于形成 磁偶极子 。
媒 质合成场 Ba+ Bs
磁 化二次场 Bs
外加场 Ba
当外加磁场时, 在磁场力的作用下, 这些带电粒子的运动方向发生变
化, 甚至产生新的电流, 导致各个磁矩重新排列, 宏观的合成磁矩不再为
零, 这种现象称为 磁化 。
由于热运动的结果, 这些磁偶极子的排列方向杂乱无章, 合成磁矩
为 零, 对外不显示磁性 。
与极化现象不同，磁化结果使媒质中的合成磁场可能 减弱 或 增
强,而介质极化总是导致合成电场 减弱 。
根据磁化过程，媒质的磁性能分为 抗磁性, 顺磁性, 铁磁性 及
亚铁磁性 等。
抗磁性 。 在正常情况下, 原子中的合成磁矩为 零 。
当外加磁场时, 电子除了仍然自旋及轨道运动
外, 轨道还要围绕外加磁场发生运动, 这种运
动方式称为 进动 。
电子进动产生的附加磁矩方向总是与外加磁
场的方向 相反,导致媒质中合成磁场 减弱 。因此，
这种磁性能称为 抗磁性,如 银, 铜, 铋, 锌, 铅
及 汞 等。
Bt
顺磁性。 在正常情况下，合成磁矩不为零。由于热运动结果，
宏观的合成磁矩为零。在外加磁场的作用下，除了引起电子 进动 以
外，磁偶极子的磁矩方向朝着外加磁场方向转动。因此，合成磁场
增强，这种磁性能称为 顺磁性 。如 铝, 锡, 镁, 钨, 铂 及 钯 等。
铁磁性 。 内部存在, 磁畴,, 每个, 磁畴, 中磁矩方向相同,
但是各个, 磁畴, 的磁矩方向杂乱无章, 对外不显示磁性 。 在外磁
场作用下, 各个, 磁畴, 方向趋向一致, 且畴界面积还会扩大, 因
而产生 很强 的磁性 。 例如 铁, 钴, 镍 等 。 这种铁磁性媒质的磁性能
还具有 非线性, 且存在 磁滞 及 剩磁 现象 。
亚铁磁性 。 是一种金属氧化物, 磁化现象比铁磁媒质稍弱一些,
但剩磁小, 且 电导率很低, 这类媒质称为 亚铁磁媒质 。 例如 铁氧体
等 。 由于其电导率很低, 高频电磁波可以 进入内部, 产生一些可贵
的特性, 使得铁氧体在 微波器件 中获得广泛的应用 。
磁化结果产生了磁矩 。 为了衡量磁化程度, 我们定义单位体积中
磁矩的矢量和称为 磁化强度, 以 M 表示, 即
V
N
i
1
??
?
?
im
M
式中 为 中第 i 个磁偶极子具有的磁矩。 为物理无限小体积。im V? V?
磁化后, 媒质中形成新的电流, 这种电流称为 磁化电流 。 形成磁化
电流的电子仍然被束缚在原子或分子周围, 所以磁化电流又称为 束缚电
流 。 磁化电流密度以 J ' 表示 。 利用矢量磁位与磁矩的关系, 可以导出矢
量磁位与磁化强度 M 的关系为
?? ?? ??? ?????? ??? ?? SV SV d)(4 πd)(4 π)( n0 0 rr erMrr rMrA ??
x
P
z
y
r
dV'
O
V'
r' r - r'
S'
第一项为 体分布 的磁化电流产生的矢量磁
位, 第二项为 面分布 的磁化电流产生的矢
量磁位, 因此两种 磁化电流密度与磁化强
度的关系为
MJ ???? neMJ ???S
例 已知半径为 a，长度为 l 的圆柱形磁性材料，沿轴线方向获得 均匀
磁化 。若磁化强度为 M，试求位于圆柱轴线上距离远大于圆柱半径 P
点处由磁化电流产生的磁感应强度。
x
y
z
l
P(0,0,z)
0
a
sJ?
解 取圆柱坐标系, 令 z 轴与圆柱轴线一致,
如图示 。
由于是均匀磁化，磁化强度与坐标无关，
因此，,即 体分布 的磁化电流密
度为零。
0????? MJ
又知 表面 磁化电流密度
neMJ ???S
式中 en 为表面的外法线方向上单 位矢。因,所以表面磁化电
流密度 仅存在于圆柱 侧壁,上下端面的磁化电流密度为零。因此
MzeM ?
SJ?
?eeeeMJ S MM rz ?????? n
x
y
z
l
P(0,0,z)
z
dz'
0
a
sJ?
显然，这种表面磁化电流在侧壁上形成环形电
流。位于 z 处宽度为 dz的环形电流为 ( dz),
那么该环形电流在轴线上 z 处 (z >> a)产生的磁
感应强度 dB 为
SJ?
zzz Maz ???? d)(2d 320 ?eB
那么侧壁上全部磁化电流在轴线上 z 处产生的合成磁感应强度为
zzzMa lz ???? ? d)( 12 0 320 ?eB ?????? ??? 2220 1)( 14 zlzMaz ?e
5,媒质中的恒定磁场方程式
磁化媒质内部的磁场相当于 传导 电流 I 及 磁化 电流 I? 在真空
中产生的合成磁场 。 这样, 磁化媒质中磁感应强度 B 沿任一闭合曲
线的环量为
)(d 0 IIl ????? ?lB
Il ?????????? ?? lMB d
0 ?
考虑到,求得?
??? l lM dI
HMB ??
0 ?
令
Il ??? lH d
则
式中 H 称为 磁场强度, 其单位是 A/m。 上式称为 媒质中 安培环路定
律 。 它表明媒质中的磁场强度沿 任一 闭合曲线的环量等于闭合曲线
包围的 传导 电流 。
利用斯托克斯定理，由上式求得
JH ???
该式称为 媒质中 安培环路定律的微分形式。它表明 媒质中 某点 磁场强
度的旋度等于 该点 传导电流密度 。
磁化电流并不影响磁场线处处 闭合 的特性，媒质中磁感应强度通
过任一闭合面的通量仍为零，因而磁感应强度的散度仍然处处为零，
即
? ??S SB 0d 0??? B
磁场强度仅与 传导 电流有关，简化了媒质中磁场强度的计算，正如
使用 电通密度 可以简化介质中静电场的计算一样。
对于大多数媒质, 磁化强度 M 与磁场强度 H 成正比, 即
HM m??
式中比例常数 ? m 称为 磁化率 。磁化率可以是 正 或 负 实数。
考虑到,则由上式求得
HMB ??
0 ?
HB )1( m0 ?? ??
)1( m0 ??? ??令
HB ??则
式中 ?称为 磁导率 。
m
0
r 1 ??
?? ???
相对磁导率 ?r 定义为
但是，无论抗磁性或者顺磁性媒质，其磁化现象 均很微弱,因此，
可以认为它们的相对磁导率基本上等于 1。铁磁性媒质的磁化现象非常
显著，其磁导率可以达到 很高 的数值。
抗磁性 媒质磁化后使磁场 减弱, 因此 1,,0 r 0 m ??? ????
顺磁性 媒质磁化后使磁场 增强,因此 1,,0
r 0 m ??? ????
r ? r ? r ?媒质 媒质 媒 质
金 0.9996 铝 1.000021 镍 250
银 0.9998 镁 1.000012 铁 4000
铜 0.9999 钛 1.000180 磁性合金 105
与介质的电性能一样, 媒质的磁性能也有 均匀与非均匀, 线性
与非线性, 各向同性与各向异性 等特点 。
HB
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
33 23 31
32 22 21
31 12 11
???
???
???
若媒质的磁导率 不随空间 变化，则称为磁性能 均匀 媒质，反之，
则称为磁性能 非均匀 媒质。若磁导率与外加磁场强度的 大小 及 方向
均无关，磁感应强度与磁场强度成 正比,则称为磁性能 各向同性 的
线性 媒质。磁性能 各向异性 的媒质，其磁导率具有 9个分量,B与 H
的关系 为
对于磁性能 均匀, 线性, 各向同性 的媒质，由于磁导率与空间坐
标无关，因此得
? ??l I d ?lB JB ????
? ??B SH 0d 0??? H
又知,由亥姆霍兹定理得 JB ????
VV ??? ?? ? ? d)(π4)( rr rJrA ?
它所满足的微分方程式为 JA 2 ????
可以认为，上式是下式的特解，即自由空间的解。
上述结果表明，对于 均匀, 线性, 各向同性 媒质，只要真空磁导
率 ?0 换为媒质磁导率 ?,各个方程即可适用。
6,恒定磁场的边界条件
推导过程与静电场的情况完全类似。结果如下：
?1
?2
B2
H1 B1
H2 e
n
(1) 当边界上 不存在表面电流 时，磁场强度
的切向分量是连续的，即
2t1t HH ?
对于 各向同性 的 线性 媒质, 上式又可表示为
2
2t
1
1t ?? BB ?
(2) 磁感应强度的 法向分量 是连续的,即
2n1n BB ?
对于 各向同性 的 线性 媒质, 由上式求得
n22 n11 HH ?? ?
由上可见，边界两侧磁场强度及磁感应强度的 大小 及 方向 均要发
生变化。这种不连续性是由于边界上存在的 表面磁化电流 引起的。
sJBB ??? 0 2t1t ?
考虑到回路方向与回路界定的有向
面方向形成右旋关系, 上式又可写成矢
量形式
sJeMM ???? n21 )(
?1
?2
en e
t
1M
2M
sJ?
边界上磁感应强度的切向分量与磁化电流的关系为
sJMM ??? 2t1t
得
磁导率为 无限大 的媒质称为 理想导磁体 。在理想导磁体中不可能
存在磁场强度，否则，由式 可见，将需要无限大的磁感应强
度。产生无限大的磁感应强度需要无限大的电流，因而需要无限大的
能量，显然这是不可能的。
HB ??
例 1 在具有气隙的环形磁芯上紧密绕制 N匝线
圈，如图示。当线圈中的恒定电流为 I 时，若
忽略散逸在线圈外的漏磁通，试求 磁芯 及 气隙
中的磁感应强度及磁场强度。
边界上磁场强度的切向分量是连续的，因此，
在理想导磁体表面上不可能存在磁场强度的切向
分量，即 磁场强度必须垂直于理想导磁体表面 。? ? ?
H
解 忽略漏磁通, 磁感应强度的方向沿环形圆周 。 由边界条件知,
气隙中磁感应强度 Bg等于磁芯中的磁感应强度 Bf, 即
fg0fg HHBB ?? ???
围绕半径为 r0的圆周，利用媒质中的安培环
路定律，且考虑到 r0 >> a, 可以认为线圈中磁
场均匀分布，则
NI??? lH d
NIdrBdB ??? ) π2( 0f
0
g
??
考虑到,得
fg BB ?
) π2(
00
0 fg drd NI ???? ?? ???eBB
气隙中的磁场强度 Hg为
) π2(
00 0
g
g drd
NI
???? ??
?
? ?e
BH
磁芯中的磁场强度 Hf 为
) π2(
00
0 ff drd NI ???? ?? ?? ?eBH
例 2 设一根载有恒定电流 I 的 无限长 导
线与无限大的 理想导磁平面 平行放臵，如
图示。导线与平面间的距离为 h,试求上
半空间任一点磁场强度。
X
h
y
x
? = ?
? 0
I
O
X
h
y
x
? = ?
? 0
I
O
r'
h
h
Py
x
? 0
I
H1
H2
H1H2
H
O
r
?
I'
?'
? 0
解 采用镜像法。设在镜像位臵放臵一根无限长的恒定电流 I?,
那么上半空间任一点合成磁场强度为
r
I
r
I
?
?????
π2 π221 ?? eeHHH
理想导磁体表面的磁场强度的切向分量必须为零，为了满足
这个边界条件必须要求 I = I′。
因此合成磁场为
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
??
?
x
y
hyx
hy
hyx
hy
hyx
x
hyx
xI
e
eH
2222
2222
)()(
)()(π2
对于边界上任一点,y = 0，得
yhx
xI eH
)( π
22 ??
由此可见，所得结果满足前述的边界条件，即磁场强度垂直于
理想导磁体边界 。
例 3 一根无限长的电流为 I 的线电流，位于两种 媒质 形成的无限大
的平面边界附近，两种媒质的磁导率分别为 ?1 及 ?2,试求两种媒
质中的恒定磁场。
I
?2
?1 = +
解 设电流 I 位于媒质②中，如下图示。
I ?
H
?2
I '
H'
e? '
e? ?
?1
I " e?
H"
I
?2
?1 = +
I ?
H
?2
I '
H'
e? '
e? ?
?1
I " e?
H"
根据惟一性定理, 场是由源及其边界条件共同决定的 。 现在这样
假定后, 上半空间仍为有源区, 下半空间仍为无源区 。 为了维持边界
条件不变, 求出的上半空间及下半空间的场在边界上应满足恒定磁场
的边界条件, 即 。 由此求得
2n1n2t1t,BBHH ??
??
?
?????
?????
III
III
1 2 2 ???
?
?
?
??
?
?
?
???
?
?
??
II
II
2 1
2
2 1
2 1
2
??
?
??
??
???
? eH
)( π 2 1 2 1 ?? r
I 11 1 HB ??
?? ??
??
???
??? eeH
)( π2
)(
π2 2 1 2 1 2 r
I
r
I 22 2 HB ??
那么
01 ?H ??? eHB rI π 2 11 1 ??
此时，镜像电流 。这些结果与前例完全相同。0,????? III
由此可见，若媒质①为理想导磁体，即,则??
1 ?
