第四章 恒定电流场
主 要 内 容
电流，电动势，电流连续性原理，能量损耗。
1,电流及电流强度
分类,传导电流 与 运流电流 。
传导电流 是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子
运动形成的电流 。
运流电流 是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成
的电流。
电流强度,单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，
以 I 表示。电流的单位为 A（ 安培 ） 。
因此, 电流 I 与电荷 q 的关系为
t
qI
d
d?
电流密度,是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为 正 电荷
的运动方向，其大小为单位时间内 垂直 穿过单位面积的电荷量。
因此，穿过任一有向面元 dS 的电流 dI 与电流密度 J 的关系为
SJ dd ??I
那么, 穿过任一截面 S 的电流 I 为
? ?? SI d SJ
此式表明,穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的 通量 。
在外源的作用下, 大多数导电媒质中某点的传导电流密度 J 与该
点的电场强度 E 成正比, 即
EJ ??
式中 ? 称为电导率，其单位为 S/m 。 ? 值愈大表明导电能力愈强，
即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。
上式又称为欧姆定律 的微分形式 。IRU ?
电导率为无限大的导体称为 理想导电体 。显然，在理想导电体
中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是
不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生
无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。
电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为 理想介质 。
71017.6 ?
71080.5 ? 310?
71010.4 ? 510?
71054.3 ? 1110?
71057.1 ? 1210?
710 1510?
媒 质 电导率 (S/m) 媒 质 电导率 (S/m)
银 海 水 4
紫 铜 淡 水
金 干 土
铝 变压器油
黄 铜 玻 璃
铁 橡 胶
运流电流 的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的
方向与电场强度的方向也可能不同 。可以证明 运流电流的电流密度
J 与运动速度 v 的关系为
vJ ??
式中 ?为电荷密度。
与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均
匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含
义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。
2,电动势
如图所示, 首先将外接的导电媒质移去, 讨论开路情况下外源内部
的作用过程 。 在外源中 非静电力 作用下，正电荷不
断地移向正极板 P,负电荷不断地移向负
极板 N。极板上的电荷在外源中形成电场
E,其方向由正极板指向负极板，而且随
着极板上电荷的增加不断增强。
E
导电媒质
??
??
?
??
??
?
P N
?
??
?
? E???
??
外 源
显然，由极板上电荷产生的电场力阻
止正电荷继续向正极板移动，同时也阻止
负电荷继续向负极板移动，一直到极板电
荷产生的电场力等于外源中的非电力时，
外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷
也就保持恒定。
既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认
为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然
定义为对于单位正电荷的作用力，以 E'表示。由于外电场使正电荷
移向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指
向正极板。可见，在外源中外电场 E' 的方向与极板电荷形成的电场
E 的方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向
时，外源中合成电场为零，电荷运动停止。
若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒
质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导
致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场 E 小于外电场，
外电场又使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新
的正电荷，向负极板补充新的负电荷。
由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不
断地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为
了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。
当达到 动态平衡 时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极
板电荷在外源中以及在导电媒质中产生 恒定电场,且在外源内部
保持,在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电
流。
EE ???
注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不
是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这
种电荷称为 驻立电荷 。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外
源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。
外电场由负极板 N 到正极板 P 的线积分称为外源的 电动势,以
e 表示，即
lE d ??? ? PNe
达到动态平衡时，在外源内部,所以上式又可写为EE ???
lE d ??? ? PNe
考虑到导电媒质中，,那么，上式可写成EJ ??
? ??l 0d lJ?
驻立电荷产生的恒定电场与静止电荷产生的静电场一样, 也是
一种保守场 。 因此, 它沿任一闭合回路的线积分应为零, 即
? ??l 0d lE
对于均匀导电媒质，上式变为
? ??l 0d lJ
根据斯托克斯定理，求得上两式的微分形式如下：
0 ????????? ?J 0 ??? J
可见，均匀导电媒质中，恒定电流场是 无旋 的。
3,电流连续性原理
设闭合面 S 包围的体积 V 中驻立电荷的体密度为 ?,则
?? V Vq d?
VttqS V dd ? ? ????????? ?SJ那么，
已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关, 即, 由此得0?
?
?
t
?
? ??S 0d SJ
此式表明, 在恒定电流场中, 电流密度通过任一闭合面的通量为零 。
如果以一系列的曲线描述电流场, 令曲线上各点的切线方向表示该
点电流密度的方向, 这些曲线称为 电流线 。 那么, 电流线是连续闭
合的 。 它和电场线不同, 电流线没有起点和终点, 这一结论称为 电
流连续性原理 。
根据高斯定理，求得
t?
????? ?J
上式为电荷守恒原理的微分形式 。 因此, 对于恒定电流场, 得
0??? J
此式表明,恒定电流场是无散的 。
4,恒定电流场的边界条件
已知恒定电流场方程的积分形式为
? ??l 0d lJ? ? ??S 0d SJ
0 ????????? ?J
0??? J
对应的微分形式为
由积分形式的恒定电流场方程导出边界两侧电流密度的切向
分量关系为
2
t2
1
t1 ?? JJ ?
而边界两侧电流密度的法向分量关系为
2n1n JJ ?
由此可见, 在两种导电媒质的边界上, 电流密度矢量的切向分量是
不连续的, 但其法向分量连续 。
已知,那么根据上述恒定电流场的边界条件可以导出导
电媒质中恒定电场的边界条件为
EJ ??
n221n1
2tt1
EE
EE
?? ?
?
已知理想导电体内部不可能存在电场, 那么, 理想导电体表
面不可能存在切向电场, 因而也不可能存在切向恒定电流 。 当电
流由理想导电体流出进入一般导电媒质时, 电流线总是垂直于理
想导电体表面 。
5,恒定电流场的能量损耗
在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果
产生热能，这是一种 不可逆 的能量转换。这种能量损失将由外源不
断补给，以维持恒定的电流。
设在恒定电流场中，沿电流方向取
一个长度为 dl，端面为 dS 的小圆柱体，
如图所示。
dl
U
? J dS
圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下,d t 时间
内有 d q电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的功为
lqEqW ddddd ??? lE
电场损失的功率 P 为
lSEJlEIltqEtWP dddddddd ????
那么, 单位体积中的功率损失为
??
22 JEEJp
l ???
当 J 和 E 的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式
JE ??lp
此式称为 焦耳定律的微分形式,它表示某点的功率损耗等于该点的
电场强度与电流密度的标积。
设圆柱体两端的电位差为 U,则, 又知, 那么
单位体积中的功率损失可表示为
l
UE
d? S
IJ
d?
V
UI
lS
UIp
l ddd ??
可见, 圆柱体中的总功率损失为
UIVpP l ?? d
这就是电路中的 焦耳定律 。
例 1 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其
介电常数分别为 ?1 和 ?2,电导率分别为 ?1 和 ?2,厚度分别为 d1
和 d2 。当外加恒定电压为 V 时，试求两层介质中的电场强度，单
位体积中的电场储能及功率损耗。
? 1? 1
? 2? 2
d1
d2
U
解 由于电容器外不存在电流，可以
认为电容器中的电流线与边界垂直，
求得
2211 ?? EE ?
UdEdE ?? 2211又
由此求出两种介质中的电场强度分别为
UddE
1221
21 ?? ??? UddE
1221
12 ?? ???
两种介质中电场储能密度分别为
22222111 21,21 EwEw ee ?? ??
两种介质中单位体积的功率损耗分别为
22222111,EpEp ll ?? ??
两种特殊情况值得注意：
02 ?? 01 ?E 01 ?ew 01 ?lp
2
2 d
UE ?
当 时，,,, 。
当 时，,,, 。0
1 ??
1
1 d
UE ? 02 ?E 02 ?ew 02 ?lp
d1
d2
? 1= 0
E 2= 0
U
E 1= 0
? 2= 0
U
例 2 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面
之间的电阻。
U
y
x
t
a b
?
r
0
(r,?)
0
解 显然，必须选用圆柱坐标系。设两
个端面之间的电位差为 U，且令
当角度 时，电位 。0?? 0
1 ??
当角度 时, 电位 。
2
??? U?2?
那么, 由于导电媒质中的电位 ? 仅与角度 ? 有关, 因此电位满足
的方程式为
0dd 22 ???
此式的通解为 21 CC ?? ??
利用给定的边界条件，求得
??? U2?
r
U
r ?
?
?
?????
??
2eeEJ ??
?
???????
导电媒质中的电流密度 J 为
那么由 的端面流进该导电媒质的电流 I 为
2
???
)d (π2d rtrUI S ?? ? eeSJS ???????? ???? ??
???????? ? abUtrrUt ba lnπ2dπ2 ??
因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为
??????
??
a
btI
VR
ln2
π
?
6,恒定电流场与静电场的比拟
已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中
均匀介质内的静电场方程如下：
恒定电流场
)0( ??E
静电场
)0( ??
0d ???l lJ 0d ???l lE
0d ??? S SJ 0d ??? S SE
0??? J 0??? E
0??? J 0??? E
可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度 J 相当于静电场的电
场强度 E，电流线相当于电场线。
因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的
分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用
已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情
况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场
相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为 静电比拟 。
例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：
P N?
电流场
P N?
静电场
那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。
?
?
CR ? CG ???
利用两种场方程，可以求出两个电极之间的电阻及电导与电容
的关系为
若已知两电极之间的电容，根据上述两式，即可求得两电极间的 电
阻 及 电导 。
例如，已知面积为 S,间距为 d 的平板电容器的电容,
若填充的非理想介质的电导率为 ?,则平板电容器极板间的漏电导
为
d
SC ??
d
S
d
SG ??
?
? ???
又知单位长度内同轴线的电容 。 那么, 若同轴线
的填充介质具有的电导率为 ?,则单位长度内同轴线的漏电导
)/ln (
π2
1 abC
??
)/ln (π21 abG ??
主 要 内 容
电流，电动势，电流连续性原理，能量损耗。
1,电流及电流强度
分类,传导电流 与 运流电流 。
传导电流 是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子
运动形成的电流 。
运流电流 是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成
的电流。
电流强度,单位时间内穿过某一截面的电量，又简称为电流，
以 I 表示。电流的单位为 A（ 安培 ） 。
因此, 电流 I 与电荷 q 的关系为
t
qI
d
d?
电流密度,是一个矢量，以 J 表示。电流密度的方向为 正 电荷
的运动方向，其大小为单位时间内 垂直 穿过单位面积的电荷量。
因此，穿过任一有向面元 dS 的电流 dI 与电流密度 J 的关系为
SJ dd ??I
那么, 穿过任一截面 S 的电流 I 为
? ?? SI d SJ
此式表明,穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的 通量 。
在外源的作用下, 大多数导电媒质中某点的传导电流密度 J 与该
点的电场强度 E 成正比, 即
EJ ??
式中 ? 称为电导率，其单位为 S/m 。 ? 值愈大表明导电能力愈强，
即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。
上式又称为欧姆定律 的微分形式 。IRU ?
电导率为无限大的导体称为 理想导电体 。显然，在理想导电体
中，无需电场推动即可形成电流。由上式可见，在理想导电体中是
不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生
无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。
电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为 理想介质 。
71017.6 ?
71080.5 ? 310?
71010.4 ? 510?
71054.3 ? 1110?
71057.1 ? 1210?
710 1510?
媒 质 电导率 (S/m) 媒 质 电导率 (S/m)
银 海 水 4
紫 铜 淡 水
金 干 土
铝 变压器油
黄 铜 玻 璃
铁 橡 胶
运流电流 的电流密度并不与电场强度成正比，而且电流密度的
方向与电场强度的方向也可能不同 。可以证明 运流电流的电流密度
J 与运动速度 v 的关系为
vJ ??
式中 ?为电荷密度。
与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均
匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含
义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。
2,电动势
如图所示, 首先将外接的导电媒质移去, 讨论开路情况下外源内部
的作用过程 。 在外源中 非静电力 作用下，正电荷不
断地移向正极板 P,负电荷不断地移向负
极板 N。极板上的电荷在外源中形成电场
E,其方向由正极板指向负极板，而且随
着极板上电荷的增加不断增强。
E
导电媒质
??
??
?
??
??
?
P N
?
??
?
? E???
??
外 源
显然，由极板上电荷产生的电场力阻
止正电荷继续向正极板移动，同时也阻止
负电荷继续向负极板移动，一直到极板电
荷产生的电场力等于外源中的非电力时，
外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷
也就保持恒定。
既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认
为这种非静电力是由外源中存在的外电场产生的，其电场强度仍然
定义为对于单位正电荷的作用力，以 E'表示。由于外电场使正电荷
移向正极板，负电荷移向负极板，因此，外电场的方向由负极板指
向正极板。可见，在外源中外电场 E' 的方向与极板电荷形成的电场
E 的方向恰好相反。当外源中的外电场与极板电荷的电场等值反向
时，外源中合成电场为零，电荷运动停止。
若外源的极板之间接上导电媒质，正极板上的正电荷通过导电媒
质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电媒质移向正极板。因而导
致极板上电荷减少，使得外源中由极板电荷形成的电场 E 小于外电场，
外电场又使外源中的正负电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新
的正电荷，向负极板补充新的负电荷。
由上可见，极板上的电荷通过导电媒质不断流失，外源又不
断地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为
了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。
当达到 动态平衡 时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极
板电荷在外源中以及在导电媒质中产生 恒定电场,且在外源内部
保持,在包括外源及导电媒质的整个回路中维持恒定的电
流。
EE ???
注意，极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不
是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这
种电荷称为 驻立电荷 。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外
源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。
外电场由负极板 N 到正极板 P 的线积分称为外源的 电动势,以
e 表示，即
lE d ??? ? PNe
达到动态平衡时，在外源内部,所以上式又可写为EE ???
lE d ??? ? PNe
考虑到导电媒质中，,那么，上式可写成EJ ??
? ??l 0d lJ?
驻立电荷产生的恒定电场与静止电荷产生的静电场一样, 也是
一种保守场 。 因此, 它沿任一闭合回路的线积分应为零, 即
? ??l 0d lE
对于均匀导电媒质，上式变为
? ??l 0d lJ
根据斯托克斯定理，求得上两式的微分形式如下：
0 ????????? ?J 0 ??? J
可见，均匀导电媒质中，恒定电流场是 无旋 的。
3,电流连续性原理
设闭合面 S 包围的体积 V 中驻立电荷的体密度为 ?,则
?? V Vq d?
VttqS V dd ? ? ????????? ?SJ那么，
已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关, 即, 由此得0?
?
?
t
?
? ??S 0d SJ
此式表明, 在恒定电流场中, 电流密度通过任一闭合面的通量为零 。
如果以一系列的曲线描述电流场, 令曲线上各点的切线方向表示该
点电流密度的方向, 这些曲线称为 电流线 。 那么, 电流线是连续闭
合的 。 它和电场线不同, 电流线没有起点和终点, 这一结论称为 电
流连续性原理 。
根据高斯定理，求得
t?
????? ?J
上式为电荷守恒原理的微分形式 。 因此, 对于恒定电流场, 得
0??? J
此式表明,恒定电流场是无散的 。
4,恒定电流场的边界条件
已知恒定电流场方程的积分形式为
? ??l 0d lJ? ? ??S 0d SJ
0 ????????? ?J
0??? J
对应的微分形式为
由积分形式的恒定电流场方程导出边界两侧电流密度的切向
分量关系为
2
t2
1
t1 ?? JJ ?
而边界两侧电流密度的法向分量关系为
2n1n JJ ?
由此可见, 在两种导电媒质的边界上, 电流密度矢量的切向分量是
不连续的, 但其法向分量连续 。
已知,那么根据上述恒定电流场的边界条件可以导出导
电媒质中恒定电场的边界条件为
EJ ??
n221n1
2tt1
EE
EE
?? ?
?
已知理想导电体内部不可能存在电场, 那么, 理想导电体表
面不可能存在切向电场, 因而也不可能存在切向恒定电流 。 当电
流由理想导电体流出进入一般导电媒质时, 电流线总是垂直于理
想导电体表面 。
5,恒定电流场的能量损耗
在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果
产生热能，这是一种 不可逆 的能量转换。这种能量损失将由外源不
断补给，以维持恒定的电流。
设在恒定电流场中，沿电流方向取
一个长度为 dl，端面为 dS 的小圆柱体，
如图所示。
dl
U
? J dS
圆柱体的端面分别为两个等位面。若在电场力作用下,d t 时间
内有 d q电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的功为
lqEqW ddddd ??? lE
电场损失的功率 P 为
lSEJlEIltqEtWP dddddddd ????
那么, 单位体积中的功率损失为
??
22 JEEJp
l ???
当 J 和 E 的方向不同时，上式可以表示为下面一般形式
JE ??lp
此式称为 焦耳定律的微分形式,它表示某点的功率损耗等于该点的
电场强度与电流密度的标积。
设圆柱体两端的电位差为 U,则, 又知, 那么
单位体积中的功率损失可表示为
l
UE
d? S
IJ
d?
V
UI
lS
UIp
l ddd ??
可见, 圆柱体中的总功率损失为
UIVpP l ?? d
这就是电路中的 焦耳定律 。
例 1 已知一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图示。其
介电常数分别为 ?1 和 ?2,电导率分别为 ?1 和 ?2,厚度分别为 d1
和 d2 。当外加恒定电压为 V 时，试求两层介质中的电场强度，单
位体积中的电场储能及功率损耗。
? 1? 1
? 2? 2
d1
d2
U
解 由于电容器外不存在电流，可以
认为电容器中的电流线与边界垂直，
求得
2211 ?? EE ?
UdEdE ?? 2211又
由此求出两种介质中的电场强度分别为
UddE
1221
21 ?? ??? UddE
1221
12 ?? ???
两种介质中电场储能密度分别为
22222111 21,21 EwEw ee ?? ??
两种介质中单位体积的功率损耗分别为
22222111,EpEp ll ?? ??
两种特殊情况值得注意：
02 ?? 01 ?E 01 ?ew 01 ?lp
2
2 d
UE ?
当 时，,,, 。
当 时，,,, 。0
1 ??
1
1 d
UE ? 02 ?E 02 ?ew 02 ?lp
d1
d2
? 1= 0
E 2= 0
U
E 1= 0
? 2= 0
U
例 2 设一段环形导电媒质，其形状及尺寸如图示。计算两个端面
之间的电阻。
U
y
x
t
a b
?
r
0
(r,?)
0
解 显然，必须选用圆柱坐标系。设两
个端面之间的电位差为 U，且令
当角度 时，电位 。0?? 0
1 ??
当角度 时, 电位 。
2
??? U?2?
那么, 由于导电媒质中的电位 ? 仅与角度 ? 有关, 因此电位满足
的方程式为
0dd 22 ???
此式的通解为 21 CC ?? ??
利用给定的边界条件，求得
??? U2?
r
U
r ?
?
?
?????
??
2eeEJ ??
?
???????
导电媒质中的电流密度 J 为
那么由 的端面流进该导电媒质的电流 I 为
2
???
)d (π2d rtrUI S ?? ? eeSJS ???????? ???? ??
???????? ? abUtrrUt ba lnπ2dπ2 ??
因此该导电块的两个端面之间的电阻 R 为
??????
??
a
btI
VR
ln2
π
?
6,恒定电流场与静电场的比拟
已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中
均匀介质内的静电场方程如下：
恒定电流场
)0( ??E
静电场
)0( ??
0d ???l lJ 0d ???l lE
0d ??? S SJ 0d ??? S SE
0??? J 0??? E
0??? J 0??? E
可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度 J 相当于静电场的电
场强度 E，电流线相当于电场线。
因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的
分布与电场强度的分布特性完全相同。根据这种类似性，可以利用
已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。或者由于在某些情
况下，恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场
相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为 静电比拟 。
例如，两电极间的电流场与静电场对应分布如下图示：
P N?
电流场
P N?
静电场
那么，利用已经获得的静电场结果可以求解恒定电流场。
?
?
CR ? CG ???
利用两种场方程，可以求出两个电极之间的电阻及电导与电容
的关系为
若已知两电极之间的电容，根据上述两式，即可求得两电极间的 电
阻 及 电导 。
例如，已知面积为 S,间距为 d 的平板电容器的电容,
若填充的非理想介质的电导率为 ?,则平板电容器极板间的漏电导
为
d
SC ??
d
S
d
SG ??
?
? ???
又知单位长度内同轴线的电容 。 那么, 若同轴线
的填充介质具有的电导率为 ?,则单位长度内同轴线的漏电导
)/ln (
π2
1 abC
??
)/ln (π21 abG ??
