第一章 矢量分析
主 要 内 容
梯度、散度、旋度,亥姆霍兹定理
1,标量场的方向导数与梯度
方向导数,标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向
上的变化率。
l
PP
l lP Δ
)()(li m
0Δ
??? ???
?
?
?
例如标量场 ?在 P 点沿 l 方向上的方向导
数 定义为
Pl?
??
P
l
lΔ
P?
?
梯度,标量场在某点梯度的大小等于该点的 最大 方向导数, 梯度的方
向为该点具有 最大 方向导数的方向 。 可见, 梯度是一个矢量 。
zyx zy ?
??
?
??
?
?? ???? eee
xg r a d
zyx zyx ?
??
?
??
?
??? eee
?? ??g r a d
在直角坐标系中，标量场 ? 的梯度可表示为
式中 grad 是英文字母 gradient 的缩写。
若引入算符 ?，它在直角坐标系中可表示为
则梯度可表示为
通量,矢量 A沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲
面 S 的通量，以标量 ? 表示，即
2,矢量场的通量与散度
? ?? S d SA?
通量可为正、或为负、或为 零 。当矢量穿出某个闭合面时，认为
该闭合面中存在产生该矢量场的 源 ；当矢量进入这个闭合面时，认为
该闭合面中存在汇聚该矢量场的 洞 （或 汇 ）。闭合的有向曲面的方向
通常规定为闭合面的 外 法线方向。因此，当闭合面中有 源 时，矢量通
过该闭合面的通量一定为 正 ；反之，当闭合面中有 洞 时，矢量通过该
闭合面的通量一定为 负 。所以，前述的 源 称为 正源,而 洞 称为 负源 。
由物理得知, 真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量
等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 ? 0 之比,
即,
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电
荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通
量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的
通量特性 。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源
的 分布 特性。为此需要研究矢量场的 散度 。
? ??S q
0
d ?SE
散度,当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面 S 的
通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A在该
点的散度，以 div A 表示，即
V
S
V Δ
d l i md i v
0Δ
? ??
?
SAA
式中 div是英文字母 divergence 的缩写,?V 为闭合面 S 包围的体
积。上式表明,散度是一个标量,它可理解为通过包围单位体积
闭合面的通量。
直角坐标系中散度可表示为
z
A
y
A
x
A zyx
?
??
?
??
?
??Ad i v
因此散度可用算符 ? 表示为
AA ???d iv
?? ?? SV V d d d i v SAA
高斯定理
?? ???? SV V d d SAA或者写为
从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。
从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域
V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，
根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
环量,矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A沿该曲
线的环量，以 ? 表示，即
3,矢量场的环量与旋度
? ?? l d lA?
可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处处与线元 dl 的方
向保持一致，则环量 ? > 0；若处处相反，则 ? < 0 。可见，环量
可以用来描述矢量场的 旋涡 特性。
由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l
的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 ? 0 的
乘积。即
式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见，环量
可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲
线包围的总的源强度，它不能显示源的 分布 特性。为此，需要研究
矢量场的 旋度 。
Il 0 d ???? lB
旋度,旋度是一个矢量 。 若以符号 rot A 表示矢量 A的旋度, 则其
方向是使矢量 A具有最大环量强度的方向, 其大小等于对
该矢量方向的最大环量强度, 即
S
l
S Δ
d
limr o t m a x
0Δn
? ??
?
lA
eA
式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写,en 为 最大环量强度的方向上
的单位矢量,?S 为闭合曲线 l 包围的面积。上式表明，矢量场的
旋度大小可以认为是包围单位面积的闭合曲线上的最大环量。
直角坐标系中旋度可用矩阵表示为
zyx
zyx
AAA
zyx ?
?
?
?
?
?
?
eee
Ar o t
或用算符 ?表示为 AA ???ro t
应该注意，无论梯度、散度或旋度都是 微分运算,它们表示场在
某点 附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，
梯度、散度及旋度描述的是场的 点 特性或称为 微分 特性 。函数的连续
性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定
义的梯度、散度或旋度。
斯托克斯定理
?? ??? lS d d)r o t( lASA
同高斯定理类似，从数学角度可以认为 斯托克斯 定理建立了面
积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为 斯托克斯 定理建立了
区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，
如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，
反之亦然。
?? ????? lS d d)( lASA或者写为
散度处处为 零 的矢量场称为 无散场,旋度处处为 零 的
矢量场称为 无旋场 。
4,无散场和无旋场
两个重要公式：
0)( ????? A 0)( ???? ?
左式表明,任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。
因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，
任何旋度场一定是无散场。
右式表明,任一标量场 ? 的梯度的旋度一定等于零 。
因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或
者说，任何梯度场一定是无旋场 。
5,格林定理
设任意两个标量场 ?及 ?，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，
如下图示。
S
V
?,?
ne
那么, 可以证明该两个标量场 ?
及 ?满足下列等式
?? ???????? SV SnV 2 dd)( ??????
根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成
式中 S为包围 V 的闭合曲面,为标量
场 ?在 S 表面的外法线 en 方向上的偏
导数。
n???
?? ???????? SV V 2 d)(d)( S??????
上两式称为 标量第一格林定理 。
?? ?????? ????????? SV SnnV 22 dd)( ????????
? ??? ???????? SV V 22 d d)( S????????
基于上式还可获得下列两式：
上两式称为 标量第二格林定理 。
设任意两个矢量场 P 与 Q, 若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数,
那么, 可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式
? ??? ???????????????? SV V d d])()[( SQPQPQP
式中 S为包围 V的闭合曲面，面元 dS的方向为 S的外法线方向，上式称
为 矢量第一格林定理 。
基于上式还可获得下式：
?? ???????????????????? SV V d][d]()([ SPQQPQPPQ
此式称为 矢量第二格林定理 。
无论何种格林定理, 都是说明 区域 V 中的场与 边界 S 上的场之间的
关系 。 因此, 利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场
的求解问题 。
此外，格林定理说明了 两种 标量场或矢量场之间应该满足的关系。
因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种
场的分布特性。
格林定理广泛地用于电磁理论。
6,矢量场的惟一性定理
位于某一区域中的矢量场, 当其 散度, 旋度 以及边界上
场量的 切向 分量或 法向 分量给定后, 则该区域中的矢量场被
惟一地确定 。
已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定
理表明，矢量场被其 源 及 边界条件 共同决定的。
若矢量场 F(r)在 无限 区域中处处是 单值 的,且其 导数连
续有界,源分布在 有限 区域 V ? 中，则当矢量场的 散度 及 旋度
给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为
7,亥姆霍兹定理
)()()( rArrF ?????? ?
? ? ??? ??? ?? V Vd)(π41)( rr rFr?
VV ??? ??? ?? ? ? d)(π41)( rr rFrA
式中
可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个 无旋场 与
一个 无散场 之和 。 矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的
首要 问题 。
8,正交曲面坐标系
已知矢量 A 在 圆柱坐标系和球坐
标系中可分别表示 为
zr cba eeeA ??? ?
式中 a,b,c 均为常数,A 是常矢量吗？
?? eeeA cba r ???
圆柱 (r,?,z)
y
z
x
P0
? 0
? = ? 0
r = r0
z = z 0
re
ze
?e
O
x
z
y
? = ? 0
?0
?0
球 (r,?,? )
r = r 0
?= ? 0
?e
re
?e
P0
O
直角 (x,y,z)
z
x
y
z = z 0
x = x 0
y = y 0P0
ze
xe
ye
O
主 要 内 容
梯度、散度、旋度,亥姆霍兹定理
1,标量场的方向导数与梯度
方向导数,标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向
上的变化率。
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例如标量场 ?在 P 点沿 l 方向上的方向导
数 定义为
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梯度,标量场在某点梯度的大小等于该点的 最大 方向导数, 梯度的方
向为该点具有 最大 方向导数的方向 。 可见, 梯度是一个矢量 。
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在直角坐标系中，标量场 ? 的梯度可表示为
式中 grad 是英文字母 gradient 的缩写。
若引入算符 ?，它在直角坐标系中可表示为
则梯度可表示为
通量,矢量 A沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲
面 S 的通量，以标量 ? 表示，即
2,矢量场的通量与散度
? ?? S d SA?
通量可为正、或为负、或为 零 。当矢量穿出某个闭合面时，认为
该闭合面中存在产生该矢量场的 源 ；当矢量进入这个闭合面时，认为
该闭合面中存在汇聚该矢量场的 洞 （或 汇 ）。闭合的有向曲面的方向
通常规定为闭合面的 外 法线方向。因此，当闭合面中有 源 时，矢量通
过该闭合面的通量一定为 正 ；反之，当闭合面中有 洞 时，矢量通过该
闭合面的通量一定为 负 。所以，前述的 源 称为 正源,而 洞 称为 负源 。
由物理得知, 真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量
等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 ? 0 之比,
即,
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电
荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通
量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的
通量特性 。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源
的 分布 特性。为此需要研究矢量场的 散度 。
? ??S q
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散度,当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面 S 的
通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A在该
点的散度，以 div A 表示，即
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积。上式表明,散度是一个标量,它可理解为通过包围单位体积
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从数学角度可以认为高斯定理建立了面积分和体积分的关系。
从物理角度可以理解为高斯定理建立了区域 V 中的场和包围区域
V 的闭合面 S 上的场之间的关系。因此，如果已知区域 V 中的场，
根据高斯定理即可求出边界 S 上的场，反之亦然。
环量,矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A沿该曲
线的环量，以 ? 表示，即
3,矢量场的环量与旋度
? ?? l d lA?
可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处处与线元 dl 的方
向保持一致，则环量 ? > 0；若处处相反，则 ? < 0 。可见，环量
可以用来描述矢量场的 旋涡 特性。
由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l
的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 ? 0 的
乘积。即
式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见，环量
可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲
线包围的总的源强度，它不能显示源的 分布 特性。为此，需要研究
矢量场的 旋度 。
Il 0 d ???? lB
旋度,旋度是一个矢量 。 若以符号 rot A 表示矢量 A的旋度, 则其
方向是使矢量 A具有最大环量强度的方向, 其大小等于对
该矢量方向的最大环量强度, 即
S
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S Δ
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式中 rot 是英文字母 rotation 的缩写,en 为 最大环量强度的方向上
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直角坐标系中旋度可用矩阵表示为
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应该注意，无论梯度、散度或旋度都是 微分运算,它们表示场在
某点 附近的变化特性，场中各点的梯度、散度或旋度可能不同。因此，
梯度、散度及旋度描述的是场的 点 特性或称为 微分 特性 。函数的连续
性是可微的必要条件。因此在场量发生不连续处，也就不存在前面定
义的梯度、散度或旋度。
斯托克斯定理
?? ??? lS d d)r o t( lASA
同高斯定理类似，从数学角度可以认为 斯托克斯 定理建立了面
积分和线积分的关系。从物理角度可以理解为 斯托克斯 定理建立了
区域 S 中的场和包围区域 S 的闭合曲线 l 上的场之间的关系。因此，
如果已知区域 S 中的场，根据斯托克斯定理即可求出边界 l 上的场，
反之亦然。
?? ????? lS d d)( lASA或者写为
散度处处为 零 的矢量场称为 无散场,旋度处处为 零 的
矢量场称为 无旋场 。
4,无散场和无旋场
两个重要公式：
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左式表明,任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。
因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说，
任何旋度场一定是无散场。
右式表明,任一标量场 ? 的梯度的旋度一定等于零 。
因此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或
者说，任何梯度场一定是无旋场 。
5,格林定理
设任意两个标量场 ?及 ?，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，
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那么, 可以证明该两个标量场 ?
及 ?满足下列等式
?? ???????? SV SnV 2 dd)( ??????
根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成
式中 S为包围 V 的闭合曲面,为标量
场 ?在 S 表面的外法线 en 方向上的偏
导数。
n???
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上两式称为 标量第一格林定理 。
?? ?????? ????????? SV SnnV 22 dd)( ????????
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基于上式还可获得下列两式：
上两式称为 标量第二格林定理 。
设任意两个矢量场 P 与 Q, 若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数,
那么, 可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式
? ??? ???????????????? SV V d d])()[( SQPQPQP
式中 S为包围 V的闭合曲面，面元 dS的方向为 S的外法线方向，上式称
为 矢量第一格林定理 。
基于上式还可获得下式：
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关系 。 因此, 利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场
的求解问题 。
此外，格林定理说明了 两种 标量场或矢量场之间应该满足的关系。
因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种
场的分布特性。
格林定理广泛地用于电磁理论。
6,矢量场的惟一性定理
位于某一区域中的矢量场, 当其 散度, 旋度 以及边界上
场量的 切向 分量或 法向 分量给定后, 则该区域中的矢量场被
惟一地确定 。
已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性定
理表明，矢量场被其 源 及 边界条件 共同决定的。
若矢量场 F(r)在 无限 区域中处处是 单值 的,且其 导数连
续有界,源分布在 有限 区域 V ? 中，则当矢量场的 散度 及 旋度
给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为
7,亥姆霍兹定理
)()()( rArrF ?????? ?
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VV ??? ??? ?? ? ? d)(π41)( rr rFrA
式中
可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个 无旋场 与
一个 无散场 之和 。 矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的
首要 问题 。
8,正交曲面坐标系
已知矢量 A 在 圆柱坐标系和球坐
标系中可分别表示 为
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式中 a,b,c 均为常数,A 是常矢量吗？
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