第三章 静电场的边值问题
主 要 内 容
电位微分方程，镜像法，分离变量法。
1,电位微分方程
已知，电位 ? 与电场强度 E 的关系为
对上式两边取散度，得
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为
????E
?2????? E
?
???? E
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
?
?? ??? 2
该方程称为 泊松方程 。
对于无源区，上式变为
02 ???
上式称为 拉普拉斯方程 。
泊松方程的求解 。
VV ??? ?? ? ? d|| )(π4 1)( rr rr ???
已知分布在 V? 中的电荷 在无限大的自由空间产生的
电位为
)(r??
因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。
应用 格林函数,即可求出 泊松方程 的通解为),( rr ?G
Srrrrrr
rrrr
d)],()()(),([
d) (),()(
0 0
0
??? ????? ???
????
?
?
GG
VG
S
V
??
?
??
式中 格林函数 为),( rr ?G
| |π4
1),(
0 rrrr ????G
对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于格林函数
及电位 ? 均与距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，
对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零 。
),(0 rr ?G
若 V 为无源区, 那么上式中的体积分为零 。 因此, 第二项面积
分可以认为是泊松方程在无源区中的解, 或者认为是拉普拉斯方程
以格林函数表示的积分解 。
数学物理方程是描述物理量随 空间 和 时间 的变化规律。对于某
一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的 初始值 与 边界值,
这些初始值和边界值分别称为 初始条件 和 边界条件,两者又统称为
该方程的 定解条件 。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的
泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界
条件求解空间任一点的电位就是静电场的 边值问题 。
通常给定的边界条件有三种类型：
第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值
问题又称为 诺依曼 问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界
上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为 混合 边界条件。
第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称
为 狄利克雷 问题。
对于任何数学物理方程需要研究解的 存在, 稳定 及 惟一性 问题 。
泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明 。
可以证明电位微分方程解也是惟一的 。
由于实际中定解条件是由实验得到的, 不可能取得精确的真值,
因此, 解的稳定性具有重要的实际意义 。
解的 惟一性 是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一 。
解的 稳定性 是指当定解条件发生微小变化时, 所求得的解是否会
发生很大的变化 。
解的 存在 是指在给定的定解条件下, 方程是否有解 。
静电场是客观存在的, 因此电位微分方程解的存在确信无疑 。
静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的
电位值就是第一类边界。 已知导体表面上的电荷密度与电位导
数的关系为,可见，表面电荷给定等于给定了电位的
法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。
?
?? S
n ???
?
因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的 电位,或电
位的 法向导数 给定时，或导体 表面电荷 给定时，空间的静电场即
被惟一地确定 。这个结论称为 静电场惟一性定理 。
2,镜像法
实质,是以一个或几个 等效电荷 代替边界的影响，将原来具
有边界的 非均匀 空间变成无限大的 均匀 自由空间，从而使计算过
程大为简化。
依据,惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的
边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定
等效电荷的大小及其位臵的依据。这些等效电荷通常处于 镜像位
臵,因此称为 镜像电荷,而这种方法称为 镜像法 。
关键,确定镜像电荷的大小及其位臵。
局限性,仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有
可能确定其镜像电荷。
（ 1）点电荷与无限大的导体平面。
?介质
导体
q
r
P
?介质
q
r
P
h
h
r?
q?
?介质
以一个处于镜像位臵的点电荷代替边界的影响，使整个空间
变成均匀的介电常数为 ? 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q
及 q' 共同产生，即
r
q
r
q
?
???
π4 π4 ???
考虑到无限大导体平面的电位为零,求得 qq ???
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
部分完全相同。
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
表面吻合。
电场线 等位线
z
?
?
电荷守恒,当点电荷 q 位于无限大的导体平面附近时, 导体表
面将产生异性的感应电荷, 因此, 上半空间的电场取决于原先的点
电荷及导体表面上的感应电荷 。 可见, 上述镜像法的实质是以一个
异性的 镜像点电荷 代替导体表面上异性的 感应电荷 的作用 。 根据电
荷守恒原理, 镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量,
读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个
结论 。
半空间等效,上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立, 因
为在上半空间中, 源及边界条件未变 。
? q
对于半无限大导体平面形成的 劈形边界 也可应用镜像法 。 但是
仅当这种导体劈的夹角等于 ? 的整数分之一时, 才可求出其镜像电
荷 。 为了保证这种劈形边界的电位为零, 必须引入 几个 镜像电荷 。
例如, 夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷 。
3
π
?
?/3
?
?
?
?
?
?/3
q
连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加
原理得知，同样可以应用镜像法求解。
f
qo
（ 2）点电荷与导体球。
P
a
d
r
q?
若导体球 接地,导体球的电位
为零。为了等效导体球边界的影响，
令镜像点电荷 q' 位于球心与点电荷
q 的连线上。那么，球面上任一点
电位为
r
q
r
q
?
???
π4 π4 ???
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
qrrq ????
为了使镜像电荷具有一个确定的值, 必须要求比值 对于球面
上任一点均具有同一数值 。 由上图可见, 若要求三角形 △ OPq?
与 △ OqP相似, 则 常数 。 由此获知镜像电荷应为
rr
?
??? farr
qfaq ???
镜像电荷离球心的距离 d 应为
f
ad 2?
这样，根据 q 及 q' 即可计算球外空间任一点的电场强度。
f
qO
P
a
d
r
q?
若导体球 不接地,则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电
荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的
感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜
像电荷 q' 后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷 q"，
且必须令
显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q,必须
位于 球心 。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。
由 q 及 q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像
电荷 q,以提供一定的电位。
qq ?????
?l
（ 3）线电荷与带电的导体圆柱。
P
a
f
d
r
-?lO
在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离 d处，平行放臵一根
镜像电荷 。已知无限长线电荷产生的电场强度为l??
rl r eE π2 ?
??
因此，离线电荷 r 处，以 为参考点的电位为
0r
????????? ? rrrE lrr 0 lnπ2d
0 ?
??
若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的 作为参考点,
则 及 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为
l?? 0r
l? l??
?????? ????????? rrrr llP 00 lnπ2lnπ2 ?????
?????? ?? rrl lnπ2 ??
已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，
必须要求比值 为常数。与前同理，可令,由此得
rr? adfarr ???
f
ad 2?
（ 4）点电荷与无限大的介质平面。
E
? 1
? 1 ?
q
r0
E'
tE?
nE?
Et
En
0r?
q'
? 2
? 2 ?
q"
0r?
nE?
tE?
E"
? 1
? 2
q
et
en
= +
为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚
电荷的作用，将整个空间变为介电常数为 ?1 的均匀空间。对于
下半空间，可用位于原点电荷处的 q" 等效原来的点电荷 q 与边
界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为 ?2 的均
匀空间。
但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向
分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即
2t1t1t EEE ????? n21n1n DDD ?????
已知各个点电荷产生的电场强度分别为
代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：
rr
q eE
211 π4 ?? rr
q
??
??? eE
211 )(π4 ? rr
q
????
????? eE
222 )(π4 ?
qq
21
21
??
??
?
??? qq
21
22
??
?
????
例 已知同轴线的内导体半径为 a，电位为 V，外导体接地，其
内半径为 b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解 对于这种边值问题, 镜像法不适
用, 只好求解电位方程 。 为此, 选用圆柱
坐标系 。 由于场量仅与坐标 r 有关, 因此,
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量 r 的一项, 即电
位微分方程为
0dddd12 ????????? rrrr ??
21 ln CrC ???
求得
V
b
a
O
利用边界条件：
arV ??? br??0?
??
?
??
??
0ln
ln
21
21
CbC
VCaC求得
??????
?
b
a
VC
ln
1
??????
??
b
a
bVC
ln
ln
2
???????????? ??????? babrV lnln?
?
?
??
?
?
???
?
??
?
?
?
??????
b
a
V
r
r
r
r
ln
?? ??E
最后求得
由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程
中出现的积分常数,选择适当的坐标系是非常重要的 。对于平
面边界，圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱
坐标系及球坐标系。
此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量 r 有关，
因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采
用 直接积分方法 求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边
值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，
一种有效的方法就是 分离变量法 。
分离变量法 是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化
为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变
量法对于 11种坐标系都是行之有效的。
3,直角坐标系中的分离变量法
0222222 ????????? zyx ???
无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为
)()()(),,( zZyYxXzyx ??令
代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得
0dd1dd1dd1 222222 ??? z ZZy YYx XX
显然, 式中各项仅与一个变量有关 。 因此, 将上式对变量 x 求导, 第
二项及第三项均为零, 求得第一项对 x 的导数为零, 说明了第一项等
于常数 。 同理, 再分别对变量 y 及 z 求导, 得知第二项及第三项也分
别等于常数 。 令各项的常数分别为, 分别求得222,,zyx kkk ???
0dd 222 ?? XkxX x 0dd 222 ?? YkyY y 0dd 222 ?? Zkz Z z
式中 kx, ky, kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。 显然，
三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程
0222 ??? zyx kkk
由上可见, 经过变量分离后, 三维偏微分方程式被简化为三个一
维常微分方程 。 常微分方程的求解较为简便, 而且三个常微分方
程又具有同一结构, 因此它们解的形式也一定相同 。 例如, 含变
量 x 的常微分方程的通解为
xkxk xx BAxX jj ee)( ?? ? xkDxkCxX xx c o ss i n)( ??
或者
式中 A,B,C,D为待定常数。
分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令,则上
述通解变为
?j?xk
xx BAxX ?? ??? ee)( xDxCxX c o s h s i n h)( ?? ??
或者
含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些
解的 线性组合 仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，
它完全决定于给定的 边界条件 。解中各个待定常数也取决于给
定的边界条件。
例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d,其有
限端被电位为 ?0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面
绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。
O
d
x
y ? = 0
? = 0
? = ?0
解 选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，槽中电位
分布函数一定与 z 无关，因此，这是一个 二维场 的问题。电位所
满足的拉普拉斯方程变为
02
2
2
2
?????? yx ??
)()(),( yYxXyx ??应用分离变量法，令
根据题意, 槽中电位应满足的边界条件为
为了满足 及 边界条件，应选 Y(y) 的解为 0),( ?dx?0)0,( ?x?
ykBykAyY yy c o ss i n)( ??
0),0( ?? ?y 0),( ?? y?
0)0,( ?x? 0),( ?dx?
因为 y = 0 时，电位 ? = 0，因此上式中常数 B = 0。为了满足边界
条件,分离常数 ky 应为 0),( ?dx?
? 3,2,1,,π ?? ndnk y
??????? ydnAyY πs in)(
求得
已知,求得0
22 ?? yx kk
d
nk
x
πj?
可见, 分离常数 kx为虚数, 故 X(x)的解应为
xdnxdn DCxX ππ ee)( ???
因为 x = 0 时, ?电位 ???,因此, 式中常数 C = 0,即
xdnDxX πe)( ??
??????? ? ydnCyx xd
n π
s i ne),(
π
?
那么，
式中常数 C = AD 。
由边界条件获知，当 x = 0 时，电位 ?= ?0,代入上式，得
??????? ydnC πs in0?
上式右端为变量, 但左端为常量, 因此不能成立 。 这就表明此
式不能满足给定的边界条件 。 因此, 必须取上式的和式作为电
位方程的解, 即
??????? ??
?
? y
d
nCyx
n
xdn
n
πs i ne),(
1
π?
为了满足 x = 0,? = ?0 边界条件，由上式得
dyydnC
n n
????????? ??
?
0,πs in
10
?
上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系
数 Cn为
??
?
?
?
?
为偶数
为奇数
0
π
4 0
n
n
nC n
?
?? ? ???????
n
xdn y
d
n
nyx
πs i ne14),( π0
?
??
最后求得槽中电位分布函数为
式中 。? 5 3,,1?n
0
d
x
y ? = 0
? = 0
? = ?0
电场线 等位面
电场线及等位面
分布如右图示：
4,圆柱坐标系中的分离变量法
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
011 22222 ????????????? ???? zrrrrr ????
令其解为 )()()(),,( zZrRzr ???? ?
0dddd1dddd 22222 ????????? z ZZrrRrrRr ???
代入上式求得
上式中第二项仅为变量 ? 的函数，而第一项及第三项与 ?无关，因
此将上式对 ? 求导，得知第二项对 ? 的导数为零，可见第二项应为
常数，令
2
2
2
d
d1
??
?
? k??
0dd 222 ?? ??? ?k
即
式中 k? 为分离常数,它可以是实数或虚数。通常变量 ? 的变化范围
为,那么此时场量随 ? 的变化一定是以 2?为周期的周期函
数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数 k? 一定是整数，以保
证函数的周期为 2?。令, m 为整数，则上式的解为
?? 20 ??
mk ??
???? mBmA c o ss i n)( ??
式中 A,B 为待定常数。
考虑到,以及变量 ?的方程式，则前述方程可表示为mk ?
?
0dd1dddd1 2
2
2
2
???????? ??????? z ZZrmrRrrRr
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
此按照前述理由，它们应分别等于常数，令
2
2
2
d
d1
zkz
Z
Z ?
0dd 222 ?? Zkz Z z即
式中分离常数 kz 可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或
指数函数。当 kz 为实数时，可令
zkDzkCzZ zz co ss i n)( ??
式中 C,D 为待定常数。
将变量 z 方程代入前式，得
0)(dddd 222222 ???? RmrkrRrr Rr z
若令,则上式变为222 xrk
z ?
0)(dddd 2222 ????2 RmxxRxx Rx
上式为标准的柱 贝塞尔方程,其解为柱 贝塞尔函数,即
)(N)(J)( rkFrkErR zmzm ??
至此，我们分别求出了 R(r),?(?),Z(z) 的解，而电位微分方
程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。
式中 E,F 为待定常数,为 m 阶第一类 柱 贝塞尔函数，
为 m阶第二类 柱 贝塞尔函数。根据第二类 柱 贝塞尔函数的特性知，
当 r = 0 时,。因此，当场存在的区域包括 r = 0 时，此
时只能取第一类 柱 贝塞尔函数作为方程的解。
)(J rkzm )(N rkzm
???)(N rk zm
若所讨论的静电场与变量 z 无关, 则分离常数 。 那么
电位微分方程变为
0?zk
0dddd 2222 ??? RmrRrr Rr
此方程的解为指数函数，即
mm FrErrR ???)(
若所讨论的静电场又与变量 ?无关，则 m = 0。那么，电位微
分方程的解为
00 ln)( BrArR ??
考虑到以上各种情况,电位微分方程 的解可取下列一般形式
?
?
?
?
?
?
?
??
???
1
1
0
)c o ss in(
)c o ss in(ln),(
m
mm
m
m
mm
m
mDmCr
mBmArrAr
??
????
例 设一根无限长、半径为 a 的导体圆柱放入无限大的均匀静
电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱
外的电场强度。
解 选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴
线，电场强度的方向与 x 轴一致，即
xE eE 00 ?
当导体圆柱处于 静电平衡 时，圆柱内的
电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电
场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函
数应与 z 无关。解的形式可取前述一般形式，
但应满足下列两个边界条件：
x
y
a
E0
O
① 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即
01 ?????
? arr ?
?
?? eE
0???
?ar?
?因此
② 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为
??? c o s),( 00 rExE ?????
此式表明, 无限远处电位函数仅为 cos? 的函数, 可见
系数, 且 m = 0。 因此电位函数为0
0 ??? mm CAA
???? c o sc o s),( 11 rDrBr ??
01 EB ?? 201 aED ?
那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 B1,D1 应为
代入前式，求得柱外电位分布函数为
???? c o sc o s),( 200 raErEr ???
则柱外电场强度为
zrr zr ?
??
?
??
?
?????? ?
?
???
? eeeE
1
?? ? s in1c o s1 02
2
02
2
EraErar ???????? ?????????? ?? ee
x
y
a
E0
电场线 等位面
?
??
???
?
?
圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：
5,球坐标系中的分离变量法
电位微分方程在球坐标系中的展开式为
0s i n1s i ns i n11 2222222 ?????????? ??????????? ???? ? ???????? rrrrrr
)()()(),,( ??????? rRr ?令
0dd1dds i nd ds i ndddds i n 2222 ??????????????? ???????? ?? rRrrR
代入上式，得
与前同理,? 的解应为
???? mBmA c o ss i n)( ??
0s indds ind ds in1dddd1 222 ??????? ?????????????? ??????? mrRrrR
可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与 r 无关。因此，与前
同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令
)1(dddd1 2 ???????? nnrRrrR
0)1(dd2dd 222 ???? RnnrRrr Rr
式中 n 为整数。这是尤拉方程，其通解为
1)( ??? n
n r DCrrR
将此结果代入上式，得
0s ins in)1(dds ind d
2
??????? ????????? ??????? mnn
令,则上式变为x??cos
01)1(dd)1(dd 2
22
??????? ?????????? ? xmnnxxx ??
上式为 连带勒让德方程,其通解为 第一类连带勒让德函数 与
第二类连带勒让德函数 之和，这里 m < n 。
)(P xmn
)(Q xmn
当 n 是整数时,及 为有限项多项式。因此，要求 n
为整数。
)(P xmn )(Q xmn
根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时,。
因此，当场存在的区域包括 或 ? 时，,此时只能取第一
类连带勒让德函数作为方程的解。 所以，通常令
1??x ???)(Q xmn
0?? 1??x
)( c o sP)(P)( ??? mnmn x ??
那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合
)( c o sP)(
)c o ss in(),,(
)1(
0 0
?
?????
m
n
n
n
n
n
m
n
m n
m
rDrC
mBmAr
??
?
?
?
?
?? ? ?
若静电场与变量 ? 无关, 则 m = 0 。 那么 称为
第一类勒让德函数 。 此时, 电位微分方程 的通解为
)(P)(P 0 xx nn ?
)( c o sP)(),(
0
)1( ???
n
n
n
n
n
n rDrCr ?
?
?
????
例 设半径为 a，介电常数为 ?的介质球放在无限大的真空中，
受到其内均匀电场 E0 的作用，如图所示。试求介质球内的电场强
度。
E0
z
y
? 0
?
a
解 取球坐标系, 令 E0 的方向与 z 轴一致,
即 。 显然, 此时场分布以 z 轴
为旋转对称, 因此与 ?无关 。 这样, 球内
外的电位分布函数可取为
zE eE 00 ?
)( c o sP)(),(
0
)1( ???
n
n
n
n
n
n rDrCr ?
?
?
????
则球内外电位分别为
?? ?
?
???
?
??
0
)1(
0
)( c o sP)( c o sP),(
n
nnn
n
nnni rDrCr ????
?? ?
?
???
?
??
0
)1(
0
)( c o sP)( c o sP),(
n
nnn
n
nnno rBrAr ????
球内外电位函数应该满足下列边界条件：
① 球心电位 应为有限值；),0( i? ?
② 无限远处电场未受干扰，因此电位应为
)( co sc o s),( 100o ???? rPErE ?????
③ 球内电位与球外电位在球面上应该连续, 即
),(),( oi ???? aa ?
④ 根据边界上电位移法向分量的连续性，获知球面上内外
电位的法向导数应满足
arar rr ?? ?
???
?
?? o
0
i ????
考虑到边界条件 ①, 系数 Dn应为零, 即
??
?
?
0i
)( c o s),(
n n
nn PrCr ???
为了满足边界条件 ②,除了 A1以外的系数 An 应皆为零，
且 。即
01 EA ??
)( c o s)( c o s),( )1(
0
10o ???? nn
n
n PrBrPEr ??
?
?
????
再考虑到边界条件 ③,得
?? ?
?
???
?
???
0
)1(
10
0
)( c o s)( c o s)( c o s
n
n
n
n
n
n
n
n PaBaPEPaC ???
为了进一步满足边界条件 ④, 得
?? ?
?
???
?
? ????
0
)2(
10
0
1 )( c o s)1()( c o s)( c o s
n
n
n
n
n
n
n
nr PaBnPEPanC ????
0?
?? ?
r
式中
由于上两式对于所有的 ? 值均应满足，因此等式两边对应的
各项系数应该相等。由此获知各系数分别为
000 ?? CB
???
?
???
?
?
??
2
13
01
r
raEB
?
?
2
3 0
1 ???
r
EC
? )2(,0 ??? nCB nn
23c o s23),( 00i zErEr
rr ?
????? ?????
21c o s),( 2 300o r aErEr
r
r
?
????
?
????
代入前式，求得球内外电位分别为
E0
z
y
? 0
?
a
值得注意的是球内的电场分布。已知,求得球内的电场为????E
zz
E
z eeE 000ii 2
3
??
??
???
???
可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强 低于 球外场强。球内
外的电场线如图示。
如果在无限大的介电常数为 ? 的均
匀介质中存在球形气泡, 那么当外加
均匀电场时, 气泡内的电场强度应为
zi
E eE
??
?
2
3
0
0
??
那么，泡内的场强 高于 泡外的场强。
zz
r
E ee 003 ??? ?
zz
r
r EE ee
0
0
21
3 ?
?? ?
?
主 要 内 容
电位微分方程，镜像法，分离变量法。
1,电位微分方程
已知，电位 ? 与电场强度 E 的关系为
对上式两边取散度，得
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为
????E
?2????? E
?
???? E
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
?
?? ??? 2
该方程称为 泊松方程 。
对于无源区，上式变为
02 ???
上式称为 拉普拉斯方程 。
泊松方程的求解 。
VV ??? ?? ? ? d|| )(π4 1)( rr rr ???
已知分布在 V? 中的电荷 在无限大的自由空间产生的
电位为
)(r??
因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。
应用 格林函数,即可求出 泊松方程 的通解为),( rr ?G
Srrrrrr
rrrr
d)],()()(),([
d) (),()(
0 0
0
??? ????? ???
????
?
?
GG
VG
S
V
??
?
??
式中 格林函数 为),( rr ?G
| |π4
1),(
0 rrrr ????G
对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于格林函数
及电位 ? 均与距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，
对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零 。
),(0 rr ?G
若 V 为无源区, 那么上式中的体积分为零 。 因此, 第二项面积
分可以认为是泊松方程在无源区中的解, 或者认为是拉普拉斯方程
以格林函数表示的积分解 。
数学物理方程是描述物理量随 空间 和 时间 的变化规律。对于某
一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的 初始值 与 边界值,
这些初始值和边界值分别称为 初始条件 和 边界条件,两者又统称为
该方程的 定解条件 。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的
泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界
条件求解空间任一点的电位就是静电场的 边值问题 。
通常给定的边界条件有三种类型：
第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值
问题又称为 诺依曼 问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界
上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为 混合 边界条件。
第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称
为 狄利克雷 问题。
对于任何数学物理方程需要研究解的 存在, 稳定 及 惟一性 问题 。
泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明 。
可以证明电位微分方程解也是惟一的 。
由于实际中定解条件是由实验得到的, 不可能取得精确的真值,
因此, 解的稳定性具有重要的实际意义 。
解的 惟一性 是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一 。
解的 稳定性 是指当定解条件发生微小变化时, 所求得的解是否会
发生很大的变化 。
解的 存在 是指在给定的定解条件下, 方程是否有解 。
静电场是客观存在的, 因此电位微分方程解的存在确信无疑 。
静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的
电位值就是第一类边界。 已知导体表面上的电荷密度与电位导
数的关系为,可见，表面电荷给定等于给定了电位的
法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。
?
?? S
n ???
?
因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的 电位,或电
位的 法向导数 给定时，或导体 表面电荷 给定时，空间的静电场即
被惟一地确定 。这个结论称为 静电场惟一性定理 。
2,镜像法
实质,是以一个或几个 等效电荷 代替边界的影响，将原来具
有边界的 非均匀 空间变成无限大的 均匀 自由空间，从而使计算过
程大为简化。
依据,惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的
边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定
等效电荷的大小及其位臵的依据。这些等效电荷通常处于 镜像位
臵,因此称为 镜像电荷,而这种方法称为 镜像法 。
关键,确定镜像电荷的大小及其位臵。
局限性,仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有
可能确定其镜像电荷。
（ 1）点电荷与无限大的导体平面。
?介质
导体
q
r
P
?介质
q
r
P
h
h
r?
q?
?介质
以一个处于镜像位臵的点电荷代替边界的影响，使整个空间
变成均匀的介电常数为 ? 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q
及 q' 共同产生，即
r
q
r
q
?
???
π4 π4 ???
考虑到无限大导体平面的电位为零,求得 qq ???
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
部分完全相同。
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体
表面吻合。
电场线 等位线
z
?
?
电荷守恒,当点电荷 q 位于无限大的导体平面附近时, 导体表
面将产生异性的感应电荷, 因此, 上半空间的电场取决于原先的点
电荷及导体表面上的感应电荷 。 可见, 上述镜像法的实质是以一个
异性的 镜像点电荷 代替导体表面上异性的 感应电荷 的作用 。 根据电
荷守恒原理, 镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量,
读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个
结论 。
半空间等效,上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立, 因
为在上半空间中, 源及边界条件未变 。
? q
对于半无限大导体平面形成的 劈形边界 也可应用镜像法 。 但是
仅当这种导体劈的夹角等于 ? 的整数分之一时, 才可求出其镜像电
荷 。 为了保证这种劈形边界的电位为零, 必须引入 几个 镜像电荷 。
例如, 夹角为 的导电劈需引入 5 个镜像电荷 。
3
π
?
?/3
?
?
?
?
?
?/3
q
连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加
原理得知，同样可以应用镜像法求解。
f
qo
（ 2）点电荷与导体球。
P
a
d
r
q?
若导体球 接地,导体球的电位
为零。为了等效导体球边界的影响，
令镜像点电荷 q' 位于球心与点电荷
q 的连线上。那么，球面上任一点
电位为
r
q
r
q
?
???
π4 π4 ???
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
qrrq ????
为了使镜像电荷具有一个确定的值, 必须要求比值 对于球面
上任一点均具有同一数值 。 由上图可见, 若要求三角形 △ OPq?
与 △ OqP相似, 则 常数 。 由此获知镜像电荷应为
rr
?
??? farr
qfaq ???
镜像电荷离球心的距离 d 应为
f
ad 2?
这样，根据 q 及 q' 即可计算球外空间任一点的电场强度。
f
qO
P
a
d
r
q?
若导体球 不接地,则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电
荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的
感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜
像电荷 q' 后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷 q"，
且必须令
显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q,必须
位于 球心 。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。
由 q 及 q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像
电荷 q,以提供一定的电位。
qq ?????
?l
（ 3）线电荷与带电的导体圆柱。
P
a
f
d
r
-?lO
在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离 d处，平行放臵一根
镜像电荷 。已知无限长线电荷产生的电场强度为l??
rl r eE π2 ?
??
因此，离线电荷 r 处，以 为参考点的电位为
0r
????????? ? rrrE lrr 0 lnπ2d
0 ?
??
若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的 作为参考点,
则 及 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为
l?? 0r
l? l??
?????? ????????? rrrr llP 00 lnπ2lnπ2 ?????
?????? ?? rrl lnπ2 ??
已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，
必须要求比值 为常数。与前同理，可令,由此得
rr? adfarr ???
f
ad 2?
（ 4）点电荷与无限大的介质平面。
E
? 1
? 1 ?
q
r0
E'
tE?
nE?
Et
En
0r?
q'
? 2
? 2 ?
q"
0r?
nE?
tE?
E"
? 1
? 2
q
et
en
= +
为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚
电荷的作用，将整个空间变为介电常数为 ?1 的均匀空间。对于
下半空间，可用位于原点电荷处的 q" 等效原来的点电荷 q 与边
界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为 ?2 的均
匀空间。
但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向
分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即
2t1t1t EEE ????? n21n1n DDD ?????
已知各个点电荷产生的电场强度分别为
代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：
rr
q eE
211 π4 ?? rr
q
??
??? eE
211 )(π4 ? rr
q
????
????? eE
222 )(π4 ?
21
21
??
??
?
21
22
??
?
????
例 已知同轴线的内导体半径为 a，电位为 V，外导体接地，其
内半径为 b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解 对于这种边值问题, 镜像法不适
用, 只好求解电位方程 。 为此, 选用圆柱
坐标系 。 由于场量仅与坐标 r 有关, 因此,
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量 r 的一项, 即电
位微分方程为
0dddd12 ????????? rrrr ??
21 ln CrC ???
求得
V
b
a
O
利用边界条件：
arV ??? br??0?
??
?
??
??
0ln
ln
21
21
CbC
VCaC求得
??????
?
b
a
VC
ln
1
??????
??
b
a
bVC
ln
ln
2
???????????? ??????? babrV lnln?
?
?
??
?
?
???
?
??
?
?
?
??????
b
a
V
r
r
r
r
ln
?? ??E
最后求得
由上例可见，为了利用给定的边界条件以便确定求解过程
中出现的积分常数,选择适当的坐标系是非常重要的 。对于平
面边界，圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱
坐标系及球坐标系。
此外，由于同轴线中的电位函数仅与一个坐标变量 r 有关，
因此原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采
用 直接积分方法 求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边
值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，
一种有效的方法就是 分离变量法 。
分离变量法 是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化
为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。分离变
量法对于 11种坐标系都是行之有效的。
3,直角坐标系中的分离变量法
0222222 ????????? zyx ???
无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为
)()()(),,( zZyYxXzyx ??令
代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得
0dd1dd1dd1 222222 ??? z ZZy YYx XX
显然, 式中各项仅与一个变量有关 。 因此, 将上式对变量 x 求导, 第
二项及第三项均为零, 求得第一项对 x 的导数为零, 说明了第一项等
于常数 。 同理, 再分别对变量 y 及 z 求导, 得知第二项及第三项也分
别等于常数 。 令各项的常数分别为, 分别求得222,,zyx kkk ???
0dd 222 ?? XkxX x 0dd 222 ?? YkyY y 0dd 222 ?? Zkz Z z
式中 kx, ky, kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。 显然，
三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程
0222 ??? zyx kkk
由上可见, 经过变量分离后, 三维偏微分方程式被简化为三个一
维常微分方程 。 常微分方程的求解较为简便, 而且三个常微分方
程又具有同一结构, 因此它们解的形式也一定相同 。 例如, 含变
量 x 的常微分方程的通解为
xkxk xx BAxX jj ee)( ?? ? xkDxkCxX xx c o ss i n)( ??
或者
式中 A,B,C,D为待定常数。
分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令,则上
述通解变为
?j?xk
xx BAxX ?? ??? ee)( xDxCxX c o s h s i n h)( ?? ??
或者
含变量 x 或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些
解的 线性组合 仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，
它完全决定于给定的 边界条件 。解中各个待定常数也取决于给
定的边界条件。
例 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d,其有
限端被电位为 ?0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面
绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。
O
d
x
y ? = 0
? = 0
? = ?0
解 选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，槽中电位
分布函数一定与 z 无关，因此，这是一个 二维场 的问题。电位所
满足的拉普拉斯方程变为
02
2
2
2
?????? yx ??
)()(),( yYxXyx ??应用分离变量法，令
根据题意, 槽中电位应满足的边界条件为
为了满足 及 边界条件，应选 Y(y) 的解为 0),( ?dx?0)0,( ?x?
ykBykAyY yy c o ss i n)( ??
0),0( ?? ?y 0),( ?? y?
0)0,( ?x? 0),( ?dx?
因为 y = 0 时，电位 ? = 0，因此上式中常数 B = 0。为了满足边界
条件,分离常数 ky 应为 0),( ?dx?
? 3,2,1,,π ?? ndnk y
??????? ydnAyY πs in)(
求得
已知,求得0
22 ?? yx kk
d
nk
x
πj?
可见, 分离常数 kx为虚数, 故 X(x)的解应为
xdnxdn DCxX ππ ee)( ???
因为 x = 0 时, ?电位 ???,因此, 式中常数 C = 0,即
xdnDxX πe)( ??
??????? ? ydnCyx xd
n π
s i ne),(
π
?
那么，
式中常数 C = AD 。
由边界条件获知，当 x = 0 时，电位 ?= ?0,代入上式，得
??????? ydnC πs in0?
上式右端为变量, 但左端为常量, 因此不能成立 。 这就表明此
式不能满足给定的边界条件 。 因此, 必须取上式的和式作为电
位方程的解, 即
??????? ??
?
? y
d
nCyx
n
xdn
n
πs i ne),(
1
π?
为了满足 x = 0,? = ?0 边界条件，由上式得
dyydnC
n n
????????? ??
?
0,πs in
10
?
上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系
数 Cn为
??
?
?
?
?
为偶数
为奇数
0
π
4 0
n
n
nC n
?
?? ? ???????
n
xdn y
d
n
nyx
πs i ne14),( π0
?
??
最后求得槽中电位分布函数为
式中 。? 5 3,,1?n
0
d
x
y ? = 0
? = 0
? = ?0
电场线 等位面
电场线及等位面
分布如右图示：
4,圆柱坐标系中的分离变量法
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
011 22222 ????????????? ???? zrrrrr ????
令其解为 )()()(),,( zZrRzr ???? ?
0dddd1dddd 22222 ????????? z ZZrrRrrRr ???
代入上式求得
上式中第二项仅为变量 ? 的函数，而第一项及第三项与 ?无关，因
此将上式对 ? 求导，得知第二项对 ? 的导数为零，可见第二项应为
常数，令
2
2
2
d
d1
??
?
? k??
0dd 222 ?? ??? ?k
即
式中 k? 为分离常数,它可以是实数或虚数。通常变量 ? 的变化范围
为,那么此时场量随 ? 的变化一定是以 2?为周期的周期函
数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数 k? 一定是整数，以保
证函数的周期为 2?。令, m 为整数，则上式的解为
?? 20 ??
mk ??
???? mBmA c o ss i n)( ??
式中 A,B 为待定常数。
考虑到,以及变量 ?的方程式，则前述方程可表示为mk ?
?
0dd1dddd1 2
2
2
2
???????? ??????? z ZZrmrRrrRr
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
此按照前述理由，它们应分别等于常数，令
2
2
2
d
d1
zkz
Z
Z ?
0dd 222 ?? Zkz Z z即
式中分离常数 kz 可为实数或虚数，其解可为三角函数，双曲函数或
指数函数。当 kz 为实数时，可令
zkDzkCzZ zz co ss i n)( ??
式中 C,D 为待定常数。
将变量 z 方程代入前式，得
0)(dddd 222222 ???? RmrkrRrr Rr z
若令,则上式变为222 xrk
z ?
0)(dddd 2222 ????2 RmxxRxx Rx
上式为标准的柱 贝塞尔方程,其解为柱 贝塞尔函数,即
)(N)(J)( rkFrkErR zmzm ??
至此，我们分别求出了 R(r),?(?),Z(z) 的解，而电位微分方
程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。
式中 E,F 为待定常数,为 m 阶第一类 柱 贝塞尔函数，
为 m阶第二类 柱 贝塞尔函数。根据第二类 柱 贝塞尔函数的特性知，
当 r = 0 时,。因此，当场存在的区域包括 r = 0 时，此
时只能取第一类 柱 贝塞尔函数作为方程的解。
)(J rkzm )(N rkzm
???)(N rk zm
若所讨论的静电场与变量 z 无关, 则分离常数 。 那么
电位微分方程变为
0?zk
0dddd 2222 ??? RmrRrr Rr
此方程的解为指数函数，即
mm FrErrR ???)(
若所讨论的静电场又与变量 ?无关，则 m = 0。那么，电位微
分方程的解为
00 ln)( BrArR ??
考虑到以上各种情况,电位微分方程 的解可取下列一般形式
?
?
?
?
?
?
?
??
???
1
1
0
)c o ss in(
)c o ss in(ln),(
m
mm
m
m
mm
m
mDmCr
mBmArrAr
??
????
例 设一根无限长、半径为 a 的导体圆柱放入无限大的均匀静
电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱
外的电场强度。
解 选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴
线，电场强度的方向与 x 轴一致，即
xE eE 00 ?
当导体圆柱处于 静电平衡 时，圆柱内的
电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电
场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函
数应与 z 无关。解的形式可取前述一般形式，
但应满足下列两个边界条件：
x
y
a
E0
O
① 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即
01 ?????
? arr ?
?
?? eE
0???
?ar?
?因此
② 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为
??? c o s),( 00 rExE ?????
此式表明, 无限远处电位函数仅为 cos? 的函数, 可见
系数, 且 m = 0。 因此电位函数为0
0 ??? mm CAA
???? c o sc o s),( 11 rDrBr ??
01 EB ?? 201 aED ?
那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 B1,D1 应为
代入前式，求得柱外电位分布函数为
???? c o sc o s),( 200 raErEr ???
则柱外电场强度为
zrr zr ?
??
?
??
?
?????? ?
?
???
? eeeE
1
?? ? s in1c o s1 02
2
02
2
EraErar ???????? ?????????? ?? ee
x
y
a
E0
电场线 等位面
?
??
???
?
?
圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：
5,球坐标系中的分离变量法
电位微分方程在球坐标系中的展开式为
0s i n1s i ns i n11 2222222 ?????????? ??????????? ???? ? ???????? rrrrrr
)()()(),,( ??????? rRr ?令
0dd1dds i nd ds i ndddds i n 2222 ??????????????? ???????? ?? rRrrR
代入上式，得
与前同理,? 的解应为
???? mBmA c o ss i n)( ??
0s indds ind ds in1dddd1 222 ??????? ?????????????? ??????? mrRrrR
可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与 r 无关。因此，与前
同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令
)1(dddd1 2 ???????? nnrRrrR
0)1(dd2dd 222 ???? RnnrRrr Rr
式中 n 为整数。这是尤拉方程，其通解为
1)( ??? n
n r DCrrR
将此结果代入上式，得
0s ins in)1(dds ind d
2
??????? ????????? ??????? mnn
令,则上式变为x??cos
01)1(dd)1(dd 2
22
??????? ?????????? ? xmnnxxx ??
上式为 连带勒让德方程,其通解为 第一类连带勒让德函数 与
第二类连带勒让德函数 之和，这里 m < n 。
)(P xmn
)(Q xmn
当 n 是整数时,及 为有限项多项式。因此，要求 n
为整数。
)(P xmn )(Q xmn
根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时,。
因此，当场存在的区域包括 或 ? 时，,此时只能取第一
类连带勒让德函数作为方程的解。 所以，通常令
1??x ???)(Q xmn
0?? 1??x
)( c o sP)(P)( ??? mnmn x ??
那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合
)( c o sP)(
)c o ss in(),,(
)1(
0 0
?
?????
m
n
n
n
n
n
m
n
m n
m
rDrC
mBmAr
??
?
?
?
?
?? ? ?
若静电场与变量 ? 无关, 则 m = 0 。 那么 称为
第一类勒让德函数 。 此时, 电位微分方程 的通解为
)(P)(P 0 xx nn ?
)( c o sP)(),(
0
)1( ???
n
n
n
n
n
n rDrCr ?
?
?
????
例 设半径为 a，介电常数为 ?的介质球放在无限大的真空中，
受到其内均匀电场 E0 的作用，如图所示。试求介质球内的电场强
度。
E0
z
y
? 0
?
a
解 取球坐标系, 令 E0 的方向与 z 轴一致,
即 。 显然, 此时场分布以 z 轴
为旋转对称, 因此与 ?无关 。 这样, 球内
外的电位分布函数可取为
zE eE 00 ?
)( c o sP)(),(
0
)1( ???
n
n
n
n
n
n rDrCr ?
?
?
????
则球内外电位分别为
?? ?
?
???
?
??
0
)1(
0
)( c o sP)( c o sP),(
n
nnn
n
nnni rDrCr ????
?? ?
?
???
?
??
0
)1(
0
)( c o sP)( c o sP),(
n
nnn
n
nnno rBrAr ????
球内外电位函数应该满足下列边界条件：
① 球心电位 应为有限值；),0( i? ?
② 无限远处电场未受干扰，因此电位应为
)( co sc o s),( 100o ???? rPErE ?????
③ 球内电位与球外电位在球面上应该连续, 即
),(),( oi ???? aa ?
④ 根据边界上电位移法向分量的连续性，获知球面上内外
电位的法向导数应满足
arar rr ?? ?
???
?
?? o
0
i ????
考虑到边界条件 ①, 系数 Dn应为零, 即
??
?
?
0i
)( c o s),(
n n
nn PrCr ???
为了满足边界条件 ②,除了 A1以外的系数 An 应皆为零，
且 。即
01 EA ??
)( c o s)( c o s),( )1(
0
10o ???? nn
n
n PrBrPEr ??
?
?
????
再考虑到边界条件 ③,得
?? ?
?
???
?
???
0
)1(
10
0
)( c o s)( c o s)( c o s
n
n
n
n
n
n
n
n PaBaPEPaC ???
为了进一步满足边界条件 ④, 得
?? ?
?
???
?
? ????
0
)2(
10
0
1 )( c o s)1()( c o s)( c o s
n
n
n
n
n
n
n
nr PaBnPEPanC ????
0?
?? ?
r
式中
由于上两式对于所有的 ? 值均应满足，因此等式两边对应的
各项系数应该相等。由此获知各系数分别为
000 ?? CB
???
?
???
?
?
??
2
13
01
r
raEB
?
?
2
3 0
1 ???
r
EC
? )2(,0 ??? nCB nn
23c o s23),( 00i zErEr
rr ?
????? ?????
21c o s),( 2 300o r aErEr
r
r
?
????
?
????
代入前式，求得球内外电位分别为
E0
z
y
? 0
?
a
值得注意的是球内的电场分布。已知,求得球内的电场为????E
zz
E
z eeE 000ii 2
3
??
??
???
???
可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强 低于 球外场强。球内
外的电场线如图示。
如果在无限大的介电常数为 ? 的均
匀介质中存在球形气泡, 那么当外加
均匀电场时, 气泡内的电场强度应为
zi
E eE
??
?
2
3
0
0
??
那么，泡内的场强 高于 泡外的场强。
zz
r
E ee 003 ??? ?
zz
r
r EE ee
0
0
21
3 ?
?? ?
?
