第六章 电磁感应
主 要 内 容
电磁感应定律，自感与互感，能量与力。
1,电磁感应定律
由物理学知，穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生
的感应电动势 e 为
te d
d???
式中电动势 e 的 正方向 规定为与磁通方向构成 右旋 关系。
因此，当磁通 增加 时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成
左旋 关系；反之，当磁通 减少 时，电动势的实际方向与磁通方向构
成 右旋 关系。
感应电流产生的 感应磁通 方向总是 阻
碍 原有磁通的变化, 所以感应磁通又称为
反磁通 。
感应电流产生意味着导线中存在 电场,这种电场称为 感应电场,
以 E 表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应
电动势，即
tel d
dd
?????? lE
又知,得?
?? S SB d?
?? ?????? S SBlE dd tl
上式称为 电磁感应定律,它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产
生感应电场。 它表明,时变磁场可以产生时变电场 。
e I
?
（书中负号丢失 ！ ）
根据斯托克斯定理，由上式得
0d)( ???????? ?????? SBES t
由于该式对于 任一 回路面积 S 均成立, 因此, 其被积函数
一定为零, 即
t?
????? BE
此式为电磁感应定律的 微分形式 。它表明 某点 磁感应强度的时间
变化率 负 值等于 该点 时变电场强度的旋度 。
电磁感应定律是时变电磁场的基本定律之一，也是下一章将
要介绍的描述时变电磁场著名的 麦克斯韦方程组 中方程之一。
2,自感与互感
在 线性 媒质中,单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电
流 I 成 正比,因此穿过回路的 磁通 也与回路 电流 I 成正比。
IL
??
式中 L称为回路的 电感,单位为 H（亨利）。由该定义可见，电感又
可理解为与 单位 电流交链的 磁通链 。
单个回路的电感仅与回路的 形状 及 尺寸有关,与回路中 电流无关 。
与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的 磁通链,以 ?表示，
令 ?与 I 的比值为 L，即
应注意，磁通链与磁通 不同, 磁通链是指与某 电流交链 的磁通 。
若交链 N 次，则磁通链增加 N 倍；若 部分 交链，则必须给予适当
的 折扣 。因此，与 N 匝回路电流 I 交链的磁通链为 ? = N?。那么，
由 N 匝回路组成的线圈的电感为
I
N
IL
?? ??
与回路电流 I1交链的 磁通链 是由
两部分磁通形成的，其一是 I1本身 产
生的磁通形成的磁通链 ?11，另一是
电流 I2 在回路 l1 中产生的磁通形成
的磁通链 ?12 。
dl1
0
z
y
x
dl2
l2l1 I2I1
r2 - r1
r2
r1
那么，与电流 l1 交链的磁通链 ?1为 12111 ??? ??
同理, 与回路电流 I2交链的磁通链为
22212 ??? ??
在线性媒质中，比值,, 及 均为常数。
1
11I?
2
12I?
2
22I?
1
21I?
式中 L11称为回路 l1的 自感, M12称为回路 l2对 l1 的 互感 。
同理定义
2
2222 IL ??
1
2121 IM ??
式中 L22 称为回路 l2的 自感, M21称为回路 l1对 l2的 互感 。
1
1111 IL ??
2
1212 IM ??
令
将上述参数 L11,L22,M12 及 M21 代入前式，得
2121111 IMIL ???
2221212 ILIM ???
可以证明，在线性均匀媒质中
2112 MM ?
因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为
? ? ??? 2 1 12 2121 ddπ4 l lM rr ll? ? ? ??? 1 2 21 1212 ddπ4 l lM rr ll?
考虑到,所以由上两式可见，
21121221,dddd rrrrllll ??????
2112 MM ?
? ? ??? 2 1 12 2121 ddπ4 l lM rr ll? ? ? ??? 1 2 21 1212 ddπ4 l lM rr ll?
若 dl1与 dl2处处 保持 垂直, 则互感 。0
2112 ?? MM
因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应
彼此平行放臵；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。
互感可正可负,其值正负取决于两个线圈的电流方向，但 电感
始终应为正值 。
若处处保持 平行, 则互感 M 值达到 最大 。
若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链 增加,互感应为 正
值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链 减少,互感
为 负 值。
例一 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，
周围媒质为真空，如图示。
a
b
drr
D
?0I1
I2
z
S2
解 建立圆柱坐标系，令 z 轴方向与电流 I1一
致，则 I1 产生的磁感应强度为
?
? eB
r
I
π2 101 ?
与线圈电流 I2 交链的磁通链 ?21 为
? ?? 2 d121 S SB?
若线框电流如图所示的顺时针方向, 则 dS与 B1方向相同 。 那么
? ? ?????? ??? bDD D bDaIrraI 101021 lnπ2d1π2 ???
求得
0lnπ2 0
1
21
21 ???
??
?
? ???
D
bDa
IM
??
若线圈电流为逆时针方向时, 则 B1与
dS 反向, M21 为负 。
例 2 计算载有 直流 电流的同轴线 单位
长度内的电感。
解 设同轴线内导体的半径为 b，外半径
为 c，如图示。
b
c
a
O
a
b
drr
D
?0I1
I2
z
S2
但在任何线性媒质中, M21 = M12 。
在同轴线中取出单位长度，沿长度
方向形成一个 矩形回路 。
内导体中电流归并为矩形回路的内
边电流，外导体中电流归并为外边电流。
同轴线单位长度的电感定义为
IL
??
1
式中 I 为同轴线中的电流,?是单位长
度内与 电流 I 交链的 磁通链 。
该磁通链由三部分磁通形成,外 导体中的磁通，内外导体 之间
的磁通以及 内 导体中的磁通。
由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。
a
? IO
b
c
r cbaO dr
II
e?
已知内外导体之间的磁感应强度 Bo 为
?
? eB
r
I
π2 0o ?
该磁场形成的磁通称为 外磁通, 以 表示, 则单位长度内的外磁通
为
o?
???????????? ??? abIrBbabaSm lnπ2ddd 0 o o oo ?? ? reBSB
该外磁通与电流 I 完全 交链，故外磁通与磁通链 相等 。
又知内导体中的磁感应强度 Bi 为
20i π2 a
IrB ??
这部分磁场形成的磁通称为 内磁通,以 表示。那么穿过宽度为 dr
的单位长度截面的内磁通 d 为
i?
i?
raIr dπ2d 20i ?? ?
该 部分 磁通仅与内导体中自内导体
轴线位臵 0 至 r 之间 部分 电流 I ‘ 交链,
不 是与 总 电流 I 交链 。 因此, 对于 总 电
流 I 来说, 这部分磁通折合成与总电流 I
形成的磁通链应为
raIrII dπ2dd 430ii ??? ???
由此求得内导体中的磁场对 总 电流 I 提供的磁通链 ?i 为
? ?? a I 0 0ii π8d ???
a
? IO
b
c
r cbaO dr
II
e?
raIr dπ2d 20i ?? ?
那么, 与总电流 I 交链的总磁通链为 （ ?o + ?i） 。 因此, 同轴线的
单位长度内电感为
π8lnπ2 00io1
???? ??
?
??
?
????
a
b
IL
式中第一项称为 外电感,第二项称为 内电感 。
当同轴线传输 电磁波 时，内外导体中的磁通皆可忽略，同轴线单
位长度内的电感等于 外 电感，即
??????? abL lnπ2 01 ?
3,磁场的能量
若在回路中加入 外源,回路中产生电流。在电流建立过程中，
回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反
电动势,外源 必须 作功 。
由此可见,磁场具有能量 。
若电流变化非常 缓慢,可以不计 辐射 损失，则 外源输出的能量
全部 储藏在回路电流周围的 磁场 中。
根据 外源 在建立磁场过程中作的 功 即可计算磁场 能量 。
设 单个 回路的 电流 从 零 开始逐渐 缓慢 地增加到最终值 I,因而回
路 磁通 也由零值逐渐缓慢地增加到最终值 ?。
tU d
d??
若时刻 t 回路中的电流为 i(t)，则此时刻回路中的 瞬时功率 为
ttiUtitP d
d)()()( ???
在 dt 时间内外源作的 功 为 ?d)(d)(d tittPW ??
te d
d???已知反电动势为
为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的 电压 U = -e,
即
已知单个回路的磁通链与回路电流的关系为 )()( tLit ??
)()( tLit ??
那么，在 线性 媒质中，由于回路电感 L 与电流 i无关,求得 d t 时间
内外源作的 功 为
itLiW d)(d ?
当回路电流增至最终值 I 时, 外源作的 总功 W 为
? ?? I LIitLiW 0 221d)(
这个总功在回路中建立的 电流 为 I, 在其周围建立 磁场 。 因电
流增长很慢, 辐射损失可以忽略, 外源作的功 完全 转变为周围磁场
的能量 。
单个回路电流的磁通链即是穿过回路的磁通，因此
若以 Wm 表示 磁场能量,那么 2
m 2
1 LIW ?
2m
2
I
WL ?此式又可改写为
由此可见, 若已知回路电流及其磁场能量, 那么利用上式 计算电感 十
分方便 。
考虑到, 则 单个 回路电流周围的磁场能量又可表示为
IL
??
IW ?21m ?
式中 ?为与电流 I 交链的 磁通链 。
对 N 个回路，可令各个回路电流均以 同一比例同时 由零值缓慢
地增加到最终值。根据能量守恒原理，最终的总能量与建立 过程无
关,因此这样的假定是允许的。
NjNjjjjjj IMILIMIM ?????? ??2211?
设第 j个回路在某一时刻 t 的电流, 式中 Ij 为电流最
终值, ?为比例系数, 其范围为 。 那么, 在 dt 时间内,
外源 在 N 个回路中作的 功 为
jj Itti )()( ??
10 ???
??
??
?? N
j
jj
N
j
jj IttiW
11
d)(d)(d ????
已知各回路 磁通链 与各个回路 电流 之间的关系是 线性 的，第 j个
回路的磁通链 ?j 为
当各个回路电流均达到 最终值 时, 外源作的 总功 W 为
?? WW d
那么，具有最终值电流的 N 个回路产生的磁场能量为
? ??? 1 0 1m dNj jjIW ???
?
?
? N
j
jjIW
1
m 2
1 ?即
若已知各个回路的 电流 及 磁通链,由上式即可计算这些回路共同产
生的 磁场能量 。
已知回路磁通可用矢量磁位 A表示为,因此第 j 个回路
的磁通链也可用矢量磁位 A表示为
? ?? l dlA?
? ?? j d lj lA?
? ?
?
?? N
j l
jj IW
1
m d2
1
jlA
那么,N 个回路周围的磁场能量又可 矢量磁位 表示为
式中 A为周围回路电流在第 j 个回路所在处产生的 合成 矢量磁位。
若电流分布在 体积 V 中, 电流密度为 J, 已知, 则上式
变为体积分, 此时磁场能量可以表示为
VI dd Jl ?
? ?? V VW m d21 JA
式中 V 为体分布的电流密度 J 所占据的体积。
若电流分布在 表面 S 上，则产生的磁场能量为
? ?? S SW m d21 SJA
式中 S为面分布的电流密度所在的面积。
磁场能量的分布密度
已知,代入上式，得JH ???
? ???? V VW d21m HA
利用矢量恒等式, 上式又可写为 AHHAAH ??????????? )(
VVW VV d21d)(21 m ?? ???????? AHAH
式中 V 为电流所在的区域 。 显然, 若将积分区域扩大到无限远处,
上式仍然成立 。 令 S? 为半径无限大的球面, 则由高斯定理知, 上式
第一项的
SAHAH d)(21d)(21 ?????? ??
?SV
V
当电流分布在 有限 区域时，磁场强度与距离 平方 成 反比,矢量磁位
与距离 一次方 成 反比,因此无限远处的面积分
0d)( ???? ? SAHS
再考虑到, 求得BA ??? VW
V d)(2
1
m ? ?? BH
式中 V为磁场所占据的 整个空间 。可见，上式中的 被积函数 即是磁场能
量的分布 密度 。
若以小写字母 wm 表示 磁场能量密度, 则 BH ??
2
1
mw
已知 各向同性 的 线性 媒质，,因此磁场能量密度又可表示为HB ??
2m 21 Hw ??
可见，磁场能量与磁场强度 平方 成正比，磁场能量也 不符合 叠加原理。
例 计算同轴线中 单位长度 内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流
为 I,内导体的半径为 a,外导体的厚度可以忽略，其半径为 b,内外
导体之间为真空。
解 已知同轴线单位长度内的 电感 为
???????? abL lnπ2π8 00 ??
因此，单位长度内同轴线中磁场能量为
????????? abIILIW lnπ4π1621
2
0
2
021m ??
我们也可以通过 磁场密度 计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的
磁场强度为
2
0
ii π2 aIrBH ?? ?
因此内导体中单位长度内的磁场能量为
π16dπ2π22
1d
2
1 20
0
2
20
2
im
Irr
a
IrVHW a
V
??? ??
?
??
?
???
?
??
?
?? ??
又知内外导体之间的磁场强度 Ho 为
r
IBH
π20oo ?? ?
所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为
a
bIrrHW b
a lnπ4dπ22
1 20
2
o0mo
?? ??
?
??
?
?? ?
单位长度内同轴线的磁场能量应为,此结果与前式完全相同。)(
momi WW ?
已知,可见，通过磁场能量也可计算电感。
2m
2IWL?
4,磁场力
dl1
O
z
y
x
dl2
l2l1
I2I1
r2 - r1
r2
r1
已知 BlF ?? dI
12221 dd BlF ?? I
式中磁感应强度 B1为
? ? ??? 1 3
12
121101 )(d
π4)( l
I
rr
rrlrB ?
因此, B1对于整个回路 l2的作用力 F21为
? ? ? ???? 1 2 3
12
121122021 )](d[d
π4 l l
II
rr
rrllF ?
那么，由回路电流 I1 产生的磁场 B1
对于电流元 I2dl 的作用力 dF21为
同理，回路电流 I2 产生的磁场 B2 对于整个回路 l1 的作用力 F12 为
? ? ? ???? 1 2 3
21
2122110
12
)](d[d
π4 l l
II
rr
rrllF ?
上述两式称为 安培定律 。
根据 牛顿定律 得知，应该 。这个结论也可 直接 由上式
获得证明。
1221 FF ??
如果回路形状 复杂,上述积分计算是很困难的，甚至无法求得严
格的解析表达式。
为了计算磁场力，类似计算电场力一样，也可采用 虚位移 方法，
利用能量关系可以获得计算磁场力的简便方式。
下面直接利用前述 广义力 和 广义坐标 的概念，导出计算磁场力的
一般公式。
设在电流 I1产生的磁场广义力 F 的作用下, 使得回路 l2的某一广
义坐标变化的增量为 dl,同时磁场能量的增量为 dWm 。
lFWW ddd m ??
下面分为两种情况：
第一,若电流 I1 和 I2 不变，这种情况称为 常电流 系统，则磁场
能量的增量为
2211m d2
1d
2
1d ?? IIW ??
两个回路中外源作的功分别为
111 dd ?IW ? 222 dd ?IW ?
两个回路中的外源作的总功 dW应该等于磁场广义力作的功与磁场
能量的增量之和, 即
m21 d2ddd WWWW ???
由此可见，两个回路中的外源作的总功 dW 为
求得常电流系统中的广义力 F为
lFWW dd2d mm ??即
常数??
??
Il
WF m
第二,若各回路中的磁通链不变，即磁通未变，这种情况称为 常
磁通 系统。由于各个回路的 磁通未变,因此，各个回路位移过程中不
会产生 新的 电动势，因而外源作的功为零，即
lFW dd0 m ??
那么，求得 常磁通系统中广义力为
常数??
???
?l
WF m
注意,广义力 的方向规定为 广义坐标 的 增加 方向。
磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。例如，电磁铁、
磁悬浮轴承以及 磁悬浮列车 等，都是利用磁场力的作用。
例 1 计算无限长的载流导线与矩形电流环之间的作用力 。 电流环的尺
寸及位臵如图示 。
a
b
D
?0I1
I2
解 利用虚位移方法, 且设位移过程中 电流不
变, 则导线与电流环之间的相互作用力为
常数??
??
Il
WF m
2211m 2
1
2
1 ?? IIW ??式中
??
?
??
??
2221212
2121111
ILIM
IMIL
?
?又知 MMM ?? 2112
MIILILIW 2122221121m 2121 ???
代入上式
取广义坐标 l 为间距 D,因 L11 及 L22 与 D 无关，因此相互作用力为
D
MIIF
?
??
21
又知导线与线圈之间的互感 M 为
D
bDaM ?? ln
π2 0
?
DbD
abIIF
)(π2 021 ???
?求得
式中 负号 表明，作用力的实际方向为间距 D 减小 方向，这就意味着
F 为 吸引力 。若两个电流之一的方向与图示 方向相反,则 M 为负，
F > 0，表明 F 为 排斥力 。
例 2 计算电磁铁的吸引力 。 如图示 。
B0
S
I
l
解 由于铁芯可以近似当作 理想导磁体,
铁芯中的磁场强度为零，因而铁芯中没
有磁能分布。这样，电磁铁产生的 磁场
能量 仅分布在 两个气隙中,因此总磁能
Wm 为
0
2
0
0
2
0
m 2
12
??
SlBSlBW ?
???
?
???
??
又知气隙中的磁通,代入上式得SB
0?? SlW
0
2
m ?
??
由此可见，为了计算电磁铁的吸引力，将系统当作 常磁通 系统
较为简便。
0
2
0
0
2
m
??
?
?
SB
Sl
WF ????
?
???
? 常数
最后求得
式中负号表明 F为 吸引力 。
由此可见，电磁铁的 吸力 与磁铁的横截面 面积 及气隙中 磁感
应强度 的 平方 成正比。
主 要 内 容
电磁感应定律，自感与互感，能量与力。
1,电磁感应定律
由物理学知，穿过闭合线圈中的磁通发生变化时，线圈中产生
的感应电动势 e 为
te d
d???
式中电动势 e 的 正方向 规定为与磁通方向构成 右旋 关系。
因此，当磁通 增加 时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成
左旋 关系；反之，当磁通 减少 时，电动势的实际方向与磁通方向构
成 右旋 关系。
感应电流产生的 感应磁通 方向总是 阻
碍 原有磁通的变化, 所以感应磁通又称为
反磁通 。
感应电流产生意味着导线中存在 电场,这种电场称为 感应电场,
以 E 表示。感应电场强度沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应
电动势，即
tel d
dd
?????? lE
又知,得?
?? S SB d?
?? ?????? S SBlE dd tl
上式称为 电磁感应定律,它表明穿过线圈中的磁场变化时，导线中产
生感应电场。 它表明,时变磁场可以产生时变电场 。
e I
?
（书中负号丢失 ！ ）
根据斯托克斯定理，由上式得
0d)( ???????? ?????? SBES t
由于该式对于 任一 回路面积 S 均成立, 因此, 其被积函数
一定为零, 即
t?
????? BE
此式为电磁感应定律的 微分形式 。它表明 某点 磁感应强度的时间
变化率 负 值等于 该点 时变电场强度的旋度 。
电磁感应定律是时变电磁场的基本定律之一，也是下一章将
要介绍的描述时变电磁场著名的 麦克斯韦方程组 中方程之一。
2,自感与互感
在 线性 媒质中,单个闭合回路电流产生的磁感应强度与回路电
流 I 成 正比,因此穿过回路的 磁通 也与回路 电流 I 成正比。
IL
??
式中 L称为回路的 电感,单位为 H（亨利）。由该定义可见，电感又
可理解为与 单位 电流交链的 磁通链 。
单个回路的电感仅与回路的 形状 及 尺寸有关,与回路中 电流无关 。
与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的 磁通链,以 ?表示，
令 ?与 I 的比值为 L，即
应注意，磁通链与磁通 不同, 磁通链是指与某 电流交链 的磁通 。
若交链 N 次，则磁通链增加 N 倍；若 部分 交链，则必须给予适当
的 折扣 。因此，与 N 匝回路电流 I 交链的磁通链为 ? = N?。那么，
由 N 匝回路组成的线圈的电感为
I
N
IL
?? ??
与回路电流 I1交链的 磁通链 是由
两部分磁通形成的，其一是 I1本身 产
生的磁通形成的磁通链 ?11，另一是
电流 I2 在回路 l1 中产生的磁通形成
的磁通链 ?12 。
dl1
0
z
y
x
dl2
l2l1 I2I1
r2 - r1
r2
r1
那么，与电流 l1 交链的磁通链 ?1为 12111 ??? ??
同理, 与回路电流 I2交链的磁通链为
22212 ??? ??
在线性媒质中，比值,, 及 均为常数。
1
11I?
2
12I?
2
22I?
1
21I?
式中 L11称为回路 l1的 自感, M12称为回路 l2对 l1 的 互感 。
同理定义
2
2222 IL ??
1
2121 IM ??
式中 L22 称为回路 l2的 自感, M21称为回路 l1对 l2的 互感 。
1
1111 IL ??
2
1212 IM ??
令
将上述参数 L11,L22,M12 及 M21 代入前式，得
2121111 IMIL ???
2221212 ILIM ???
可以证明，在线性均匀媒质中
2112 MM ?
因为可以导出任意两个回路之间的互感公式为
? ? ??? 2 1 12 2121 ddπ4 l lM rr ll? ? ? ??? 1 2 21 1212 ddπ4 l lM rr ll?
考虑到,所以由上两式可见，
21121221,dddd rrrrllll ??????
2112 MM ?
? ? ??? 2 1 12 2121 ddπ4 l lM rr ll? ? ? ??? 1 2 21 1212 ddπ4 l lM rr ll?
若 dl1与 dl2处处 保持 垂直, 则互感 。0
2112 ?? MM
因此，在电子电路中，如果需要增强两个线圈之间的耦合，应
彼此平行放臵；若要避免两个线圈相互耦合，则应相互垂直。
互感可正可负,其值正负取决于两个线圈的电流方向，但 电感
始终应为正值 。
若处处保持 平行, 则互感 M 值达到 最大 。
若互磁通与原磁通方向相同时，则使磁通链 增加,互感应为 正
值；反之，若互磁通与原磁通方向相反时，则使磁通链 减少,互感
为 负 值。
例一 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，
周围媒质为真空，如图示。
a
b
drr
D
?0I1
I2
z
S2
解 建立圆柱坐标系，令 z 轴方向与电流 I1一
致，则 I1 产生的磁感应强度为
?
? eB
r
I
π2 101 ?
与线圈电流 I2 交链的磁通链 ?21 为
? ?? 2 d121 S SB?
若线框电流如图所示的顺时针方向, 则 dS与 B1方向相同 。 那么
? ? ?????? ??? bDD D bDaIrraI 101021 lnπ2d1π2 ???
求得
0lnπ2 0
1
21
21 ???
??
?
? ???
D
bDa
IM
??
若线圈电流为逆时针方向时, 则 B1与
dS 反向, M21 为负 。
例 2 计算载有 直流 电流的同轴线 单位
长度内的电感。
解 设同轴线内导体的半径为 b，外半径
为 c，如图示。
b
c
a
O
a
b
drr
D
?0I1
I2
z
S2
但在任何线性媒质中, M21 = M12 。
在同轴线中取出单位长度，沿长度
方向形成一个 矩形回路 。
内导体中电流归并为矩形回路的内
边电流，外导体中电流归并为外边电流。
同轴线单位长度的电感定义为
IL
??
1
式中 I 为同轴线中的电流,?是单位长
度内与 电流 I 交链的 磁通链 。
该磁通链由三部分磁通形成,外 导体中的磁通，内外导体 之间
的磁通以及 内 导体中的磁通。
由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。
a
? IO
b
c
r cbaO dr
II
e?
已知内外导体之间的磁感应强度 Bo 为
?
? eB
r
I
π2 0o ?
该磁场形成的磁通称为 外磁通, 以 表示, 则单位长度内的外磁通
为
o?
???????????? ??? abIrBbabaSm lnπ2ddd 0 o o oo ?? ? reBSB
该外磁通与电流 I 完全 交链，故外磁通与磁通链 相等 。
又知内导体中的磁感应强度 Bi 为
20i π2 a
IrB ??
这部分磁场形成的磁通称为 内磁通,以 表示。那么穿过宽度为 dr
的单位长度截面的内磁通 d 为
i?
i?
raIr dπ2d 20i ?? ?
该 部分 磁通仅与内导体中自内导体
轴线位臵 0 至 r 之间 部分 电流 I ‘ 交链,
不 是与 总 电流 I 交链 。 因此, 对于 总 电
流 I 来说, 这部分磁通折合成与总电流 I
形成的磁通链应为
raIrII dπ2dd 430ii ??? ???
由此求得内导体中的磁场对 总 电流 I 提供的磁通链 ?i 为
? ?? a I 0 0ii π8d ???
a
? IO
b
c
r cbaO dr
II
e?
raIr dπ2d 20i ?? ?
那么, 与总电流 I 交链的总磁通链为 （ ?o + ?i） 。 因此, 同轴线的
单位长度内电感为
π8lnπ2 00io1
???? ??
?
??
?
????
a
b
IL
式中第一项称为 外电感,第二项称为 内电感 。
当同轴线传输 电磁波 时，内外导体中的磁通皆可忽略，同轴线单
位长度内的电感等于 外 电感，即
??????? abL lnπ2 01 ?
3,磁场的能量
若在回路中加入 外源,回路中产生电流。在电流建立过程中，
回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反
电动势,外源 必须 作功 。
由此可见,磁场具有能量 。
若电流变化非常 缓慢,可以不计 辐射 损失，则 外源输出的能量
全部 储藏在回路电流周围的 磁场 中。
根据 外源 在建立磁场过程中作的 功 即可计算磁场 能量 。
设 单个 回路的 电流 从 零 开始逐渐 缓慢 地增加到最终值 I,因而回
路 磁通 也由零值逐渐缓慢地增加到最终值 ?。
tU d
d??
若时刻 t 回路中的电流为 i(t)，则此时刻回路中的 瞬时功率 为
ttiUtitP d
d)()()( ???
在 dt 时间内外源作的 功 为 ?d)(d)(d tittPW ??
te d
d???已知反电动势为
为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的 电压 U = -e,
即
已知单个回路的磁通链与回路电流的关系为 )()( tLit ??
)()( tLit ??
那么，在 线性 媒质中，由于回路电感 L 与电流 i无关,求得 d t 时间
内外源作的 功 为
itLiW d)(d ?
当回路电流增至最终值 I 时, 外源作的 总功 W 为
? ?? I LIitLiW 0 221d)(
这个总功在回路中建立的 电流 为 I, 在其周围建立 磁场 。 因电
流增长很慢, 辐射损失可以忽略, 外源作的功 完全 转变为周围磁场
的能量 。
单个回路电流的磁通链即是穿过回路的磁通，因此
若以 Wm 表示 磁场能量,那么 2
m 2
1 LIW ?
2m
2
I
WL ?此式又可改写为
由此可见, 若已知回路电流及其磁场能量, 那么利用上式 计算电感 十
分方便 。
考虑到, 则 单个 回路电流周围的磁场能量又可表示为
IL
??
IW ?21m ?
式中 ?为与电流 I 交链的 磁通链 。
对 N 个回路，可令各个回路电流均以 同一比例同时 由零值缓慢
地增加到最终值。根据能量守恒原理，最终的总能量与建立 过程无
关,因此这样的假定是允许的。
NjNjjjjjj IMILIMIM ?????? ??2211?
设第 j个回路在某一时刻 t 的电流, 式中 Ij 为电流最
终值, ?为比例系数, 其范围为 。 那么, 在 dt 时间内,
外源 在 N 个回路中作的 功 为
jj Itti )()( ??
10 ???
??
??
?? N
j
jj
N
j
jj IttiW
11
d)(d)(d ????
已知各回路 磁通链 与各个回路 电流 之间的关系是 线性 的，第 j个
回路的磁通链 ?j 为
当各个回路电流均达到 最终值 时, 外源作的 总功 W 为
?? WW d
那么，具有最终值电流的 N 个回路产生的磁场能量为
? ??? 1 0 1m dNj jjIW ???
?
?
? N
j
jjIW
1
m 2
1 ?即
若已知各个回路的 电流 及 磁通链,由上式即可计算这些回路共同产
生的 磁场能量 。
已知回路磁通可用矢量磁位 A表示为,因此第 j 个回路
的磁通链也可用矢量磁位 A表示为
? ?? l dlA?
? ?? j d lj lA?
? ?
?
?? N
j l
jj IW
1
m d2
1
jlA
那么,N 个回路周围的磁场能量又可 矢量磁位 表示为
式中 A为周围回路电流在第 j 个回路所在处产生的 合成 矢量磁位。
若电流分布在 体积 V 中, 电流密度为 J, 已知, 则上式
变为体积分, 此时磁场能量可以表示为
VI dd Jl ?
? ?? V VW m d21 JA
式中 V 为体分布的电流密度 J 所占据的体积。
若电流分布在 表面 S 上，则产生的磁场能量为
? ?? S SW m d21 SJA
式中 S为面分布的电流密度所在的面积。
磁场能量的分布密度
已知,代入上式，得JH ???
? ???? V VW d21m HA
利用矢量恒等式, 上式又可写为 AHHAAH ??????????? )(
VVW VV d21d)(21 m ?? ???????? AHAH
式中 V 为电流所在的区域 。 显然, 若将积分区域扩大到无限远处,
上式仍然成立 。 令 S? 为半径无限大的球面, 则由高斯定理知, 上式
第一项的
SAHAH d)(21d)(21 ?????? ??
?SV
V
当电流分布在 有限 区域时，磁场强度与距离 平方 成 反比,矢量磁位
与距离 一次方 成 反比,因此无限远处的面积分
0d)( ???? ? SAHS
再考虑到, 求得BA ??? VW
V d)(2
1
m ? ?? BH
式中 V为磁场所占据的 整个空间 。可见，上式中的 被积函数 即是磁场能
量的分布 密度 。
若以小写字母 wm 表示 磁场能量密度, 则 BH ??
2
1
mw
已知 各向同性 的 线性 媒质，,因此磁场能量密度又可表示为HB ??
2m 21 Hw ??
可见，磁场能量与磁场强度 平方 成正比，磁场能量也 不符合 叠加原理。
例 计算同轴线中 单位长度 内的磁场能量。设同轴线中通过的恒定电流
为 I,内导体的半径为 a,外导体的厚度可以忽略，其半径为 b,内外
导体之间为真空。
解 已知同轴线单位长度内的 电感 为
???????? abL lnπ2π8 00 ??
因此，单位长度内同轴线中磁场能量为
????????? abIILIW lnπ4π1621
2
0
2
021m ??
我们也可以通过 磁场密度 计算同轴线的磁场能量。已知内导体中的
磁场强度为
2
0
ii π2 aIrBH ?? ?
因此内导体中单位长度内的磁场能量为
π16dπ2π22
1d
2
1 20
0
2
20
2
im
Irr
a
IrVHW a
V
??? ??
?
??
?
???
?
??
?
?? ??
又知内外导体之间的磁场强度 Ho 为
r
IBH
π20oo ?? ?
所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为
a
bIrrHW b
a lnπ4dπ22
1 20
2
o0mo
?? ??
?
??
?
?? ?
单位长度内同轴线的磁场能量应为,此结果与前式完全相同。)(
momi WW ?
已知,可见，通过磁场能量也可计算电感。
2m
2IWL?
4,磁场力
dl1
O
z
y
x
dl2
l2l1
I2I1
r2 - r1
r2
r1
已知 BlF ?? dI
12221 dd BlF ?? I
式中磁感应强度 B1为
? ? ??? 1 3
12
121101 )(d
π4)( l
I
rr
rrlrB ?
因此, B1对于整个回路 l2的作用力 F21为
? ? ? ???? 1 2 3
12
121122021 )](d[d
π4 l l
II
rr
rrllF ?
那么，由回路电流 I1 产生的磁场 B1
对于电流元 I2dl 的作用力 dF21为
同理，回路电流 I2 产生的磁场 B2 对于整个回路 l1 的作用力 F12 为
? ? ? ???? 1 2 3
21
2122110
12
)](d[d
π4 l l
II
rr
rrllF ?
上述两式称为 安培定律 。
根据 牛顿定律 得知，应该 。这个结论也可 直接 由上式
获得证明。
1221 FF ??
如果回路形状 复杂,上述积分计算是很困难的，甚至无法求得严
格的解析表达式。
为了计算磁场力，类似计算电场力一样，也可采用 虚位移 方法，
利用能量关系可以获得计算磁场力的简便方式。
下面直接利用前述 广义力 和 广义坐标 的概念，导出计算磁场力的
一般公式。
设在电流 I1产生的磁场广义力 F 的作用下, 使得回路 l2的某一广
义坐标变化的增量为 dl,同时磁场能量的增量为 dWm 。
lFWW ddd m ??
下面分为两种情况：
第一,若电流 I1 和 I2 不变，这种情况称为 常电流 系统，则磁场
能量的增量为
2211m d2
1d
2
1d ?? IIW ??
两个回路中外源作的功分别为
111 dd ?IW ? 222 dd ?IW ?
两个回路中的外源作的总功 dW应该等于磁场广义力作的功与磁场
能量的增量之和, 即
m21 d2ddd WWWW ???
由此可见，两个回路中的外源作的总功 dW 为
求得常电流系统中的广义力 F为
lFWW dd2d mm ??即
常数??
??
Il
WF m
第二,若各回路中的磁通链不变，即磁通未变，这种情况称为 常
磁通 系统。由于各个回路的 磁通未变,因此，各个回路位移过程中不
会产生 新的 电动势，因而外源作的功为零，即
lFW dd0 m ??
那么，求得 常磁通系统中广义力为
常数??
???
?l
WF m
注意,广义力 的方向规定为 广义坐标 的 增加 方向。
磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。例如，电磁铁、
磁悬浮轴承以及 磁悬浮列车 等，都是利用磁场力的作用。
例 1 计算无限长的载流导线与矩形电流环之间的作用力 。 电流环的尺
寸及位臵如图示 。
a
b
D
?0I1
I2
解 利用虚位移方法, 且设位移过程中 电流不
变, 则导线与电流环之间的相互作用力为
常数??
??
Il
WF m
2211m 2
1
2
1 ?? IIW ??式中
??
?
??
??
2221212
2121111
ILIM
IMIL
?
?又知 MMM ?? 2112
MIILILIW 2122221121m 2121 ???
代入上式
取广义坐标 l 为间距 D,因 L11 及 L22 与 D 无关，因此相互作用力为
D
MIIF
?
??
21
又知导线与线圈之间的互感 M 为
D
bDaM ?? ln
π2 0
?
DbD
abIIF
)(π2 021 ???
?求得
式中 负号 表明，作用力的实际方向为间距 D 减小 方向，这就意味着
F 为 吸引力 。若两个电流之一的方向与图示 方向相反,则 M 为负，
F > 0，表明 F 为 排斥力 。
例 2 计算电磁铁的吸引力 。 如图示 。
B0
S
I
l
解 由于铁芯可以近似当作 理想导磁体,
铁芯中的磁场强度为零，因而铁芯中没
有磁能分布。这样，电磁铁产生的 磁场
能量 仅分布在 两个气隙中,因此总磁能
Wm 为
0
2
0
0
2
0
m 2
12
??
SlBSlBW ?
???
?
???
??
又知气隙中的磁通,代入上式得SB
0?? SlW
0
2
m ?
??
由此可见，为了计算电磁铁的吸引力，将系统当作 常磁通 系统
较为简便。
0
2
0
0
2
m
??
?
?
SB
Sl
WF ????
?
???
? 常数
最后求得
式中负号表明 F为 吸引力 。
由此可见，电磁铁的 吸力 与磁铁的横截面 面积 及气隙中 磁感
应强度 的 平方 成正比。
