第九章 导行电磁波
主 要 内 容
几种常用的导波系统，矩形波导中的电磁波，
圆波导中的电磁波，同轴线，谐振腔。
沿一定的途径传播的电磁波称为 导行电磁波,传输导行波的系统
称为 导波系统 。
常用的导波系统有 双导线, 同轴线, 带状线, 微带, 金属波导 等。
这些导波系统的结构如下图示。
本章 仅 介绍 同轴线 和 金属波导 。尤其是 矩形 金属波导的传播特性。
带状线
双导线 矩形波导
微 带 介质波导
光 纤
同轴线 圆波导
1,TEM波,TE波及 TM波
TEM波,TE波及 TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的关系
如下图示。
TEM波
E
H
es
TE波
E
H
es
TM波
E
H
es
可以证明，能够建立 静电场 的导波系统 必然 能够传输 TEM波。
根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输 TEM波。
名 称 波 形 电磁屏蔽 使用波段
双导线 TEM波 差 > 3m
同轴线 TEM波 好 > 10cm
带状线 TEM波 差 厘米波
微 带 准 TEM波 差 厘米波
矩形波导 TE或 TM波 好 厘米波、毫米波
圆波导 TE或 TM波 好 厘米波、毫米波
光 纤 TE或 TM波 差 光波
几种常用导波系统的主要特性
导波系统传播特性的研究方法
首先设导波系统是 无限长 的, 根据导波系统 横截面 的形状选取 直角
坐标系或者 圆柱 坐标系, 令其沿 z 轴放臵, 且传播方向为正 z 方向 。 以
直角坐标为例, 则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示为
zk zyxzyx j0 e(( ?? ）、）、,EE
zk zyxzyx j0 e(( ?? ）、）、,HH
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
2
222
2
222
H
HHH
E
EEE
222
222
k
zyx
k
zyx
而且应该满足下列矢量 亥姆霍兹方程
由前获知，上式包含了 6 个直角坐标分量 及,
它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。根据导波系统的边界条件，利用
分离变量法即可求解这些方程。
zyx EEE,,zyx HHH,,
但是实际上并不需要求解 6 个坐标分量，因为它们不是完全独立的。
根据麦克斯韦方程，可以求出 x 分量及 y 分量和 z 分量的关系为
???????? ??????? yHxEkkE zzzx ??jj1 2
c
???????? ??????? xHyEkkE zzzy ??jj1 2
c
???????? ?????? xHkyEkH zzzx jj1 2
c
??
???????? ??????? yHkxEkH zzzy jj1 2
c
??
222c zkkk ??
式中
这样，只要求出 z 分量，其余分量即可根据上述关系求出。 z 分量
为 纵向 分量，因此这种方法又称为 纵向场法 。
在圆柱坐标系中，同样可用 z 分量表示 r 分量和 ? 分量。其关系
式为
???????? ??????? ??? zzzr HrrEkkE jj1 2
c
???????? ??????? rHErkkE zzz ???? jj1 2
c
???????? ?????? rHkErkH zzzr jj1 2
c ?
??
???????? ??????? ???? zzz HrkrEkH jj1 2
c
2,矩形波导中的电磁波方程式
矩形波导形状如下图示,宽 壁的 内 尺寸为 a, 窄 壁的 内 尺寸为 b 。
a
z
y
x
b ?,?
已知金属波导中只能传输 TE 波
及 TM 波，现在分别讨论他们在矩形
波导中的传播特性。
若仅传输 TM 波，则 Hz = 0 。按
照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量，
然后即可计算其余各个分量。
已知电场强度的 z 分量可以表示为
zkzz zyxEE j0 e),( ??
它应满足齐次标量亥姆霍兹方程, 即
02c2222 ??????? zzz EkyExE
其振辐也满足同样的齐次标量亥姆霍兹方程, 即
002c2 022 02 ??????? zzz EkyExE
为了求解上述方程, 采用分离变量法 。 令
)()()(0 yYxXyxE z ?、
代入上式, 得
2ckYYXX ???????
式中 X"表示 X 对 x 的二阶导数,Y" 表示 Y 对 y 的二阶导数。
由于上式中的第二项 仅 为 y 函数，而右端为常数，因此，若将此式
对 x 求导，得知左端第一项应为常数。若对 y 求导，得知第二项应为常
数。
2ckYYXX ???????
现分别令
2xkXX ???? 2ykYY ????
这里,k x和 k y称为 分离常数 。利用边界条件即可求解这些分离常数。
222c yx kkk ??
显然
由上可见，原来的二阶 偏 微分方程，经过变量分离后变为两个 常
微分方程，因此求解简便。
两个 常微分方程的 通解 分别为
xkCxkCX xx s i nc o s 21 ?? ykCykCY yy s i nc o s 43 ??
式中常数 C1, C2, C3, C4 取决于导波系统的边界条件。
已知 Ez 分量与波导四壁平行，因此在 x = 0,a 及 y = 0,b 的边界上
Ez = 0。由此决定上述常数，再根据这些结果求出分离常数为
??,3,2,1,π ?? nbnk y ??,3,2,1,π ?? mbmk x
代入前式即可求出矩形波导中 TM波的各个分量为
zkz zybnxamEE j0 eπs i nπs i n ??
zkz
x zyb
nx
a
m
a
m
k
EkE j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
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?
???
zkz
y zyb
nx
a
m
b
n
k
EkE j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
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?
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?
???
zk
x zyb
nx
a
m
b
n
k
EH j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?? ??
zk
y zyb
nx
a
m
a
m
k
EH j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??? ??
1,电磁波的相位仅与变量 z 有关, 而振幅与 x,y 有关 。 因此, 在 Z方
向上为 行波, 在 X 及 Y 方向上形成 驻波 。
2,z 等于常数的平面为波面。但振辐与 x,y 有关，因此上述 TM波为
非均匀 的平面波；
zkz zybnxamEE j0 eπs i nπs i n ??
zkz
x zyb
nx
a
m
a
m
k
EkE j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
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?
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?
??
?
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???
zkz
y zyb
nx
a
m
b
n
k
EkE j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
??
?
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?
??
?
??
?
??
?
???
zk
x zyb
nx
a
m
b
n
k
EH j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
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?
??
?
??
?
??
?
??
?
?? ??
zk
y zyb
nx
a
m
a
m
k
EH j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??? ??
3，当 m 或 n 为零时，上述各个分量均为零，因此 m 及 n 应为 非零
的整数。 m 及 n 具有明显的物理意义,m 为宽壁上的 半个驻波 的数目，
n 为窄壁上 半个驻波 的数目。
4，由于 m 及 n 为多值，因此场结构均具有 多种模式 。 m 及 n 的每一
种组合构成一种模式，以 TMmn表示。 例如 TM11表示 m = 1,n = 1 的场结
构，具有这种场结构的波称为 TM11波。
5，数值大的 m 及 n 模式称为 高次模,数值小的称为 低次模 。由于 m
及 n 均不为零，故矩形波导中 TM波的 最低模式 是 TM11波。
类似地可以导出矩形波导中 TE波的各个分量为
zkz zy
b
nx
a
mHH j
0 e
πc o sπc o s ??
?
??
?
??
?
??
?
??
zkz
x zyb
nx
a
m
a
m
k
HkH j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
zkz
y zyb
nx
a
m
b
n
k
HkH j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
zk
x zyb
nx
a
m
b
n
k
HE j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?? ??
zk
y zyb
nx
a
m
a
m
k
HE j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??? ??
式中,但两者 不能同时 为零。由上式可见，与 TM波一
样,TE波也具有前述 多模特性,但此时 m 及 n不能同时为零。因此,TE
波的 最低模式 为 TE01波或 TE10波。
??,2,1,0,?nm
3,矩形波导中电磁波的传播特性
22
2
c
ππ ?
?
??
?
???
?
??
?
??
b
n
a
mk
已知, 即 。 可见, 当时,, 这就
意味着波的传播被截止, 因此, 称为 截止传播常数 。
222c zkkk ?? 2c22 kkk z ?? ckk? 0?zk
ck
截止传播常数和截止频率
利用传播常数与频率的关系,可以求出对应于截止传播常
数 的 截止频率,即
??fk π2?
ck cf
根据前面结果，获知 截止传播常数为
22
c
c 2
1
π2 ??
??
?
???
?
??
?
???
b
n
a
mkf
????
那么，传播常数 kz 可以表示为
?
?
?
?
??
?
?
?
????
?
?
??
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
???
?
?
??
?
?
???
,1j
,1
1
c
2
c
c
2
c
2
c
ff
f
f
k
ff
f
f
k
f
f
kk z
当 时, 为实数, 因子 代表向正 z 方向传播的波 。
cff ? zk zkzje?
当 时, 为虚数, 因子cff ? zk 1j 2cee ??????????? ? ffkzzk z
因此，对于一定的模式和波导尺寸来说,f c是能够传输该模式的 最
低频率 。可见，波导相当于一个 高通滤波器 。
此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正 Z 方向不断衰减的 凋落场 。
利用关系式, 即可求得对应于截止传播常数 的 截止波长 为
?
π2?k ck c?
22
c
c
2π2
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
b
n
a
mk
?
截止波长
上述结果表明, 无论 截止频率 或 截止波长 均与与波导 尺寸 a,b 及 模
式 m,n 有关 。 对于一定的波导尺寸来说, 每一种模式具有一定的截止频
率或截止波长 。 高次模式具有较高的截止频率, 或者说 具有较短的截止
波长 。 例如,TE
10波的截止波长为 2a，
TE20波的截止波长为 a。左图给出了当
波导尺寸 时，各种模式截止波长
的分布图。
ba 2?TM
11
TE01
TE20
TE10
0 a 2a ?c
TE10波为矩形波导中的 常用模式 或称为 主模 。
截
止
区TM11
TE01
TE20
TE10
0 a 2a ?c
已知当 时，相应的模式波均被截止。那么由图可见，当
时，全部模式被截止。
c??? a2??
当 时，只有 TE10波存在，
其它模式被截止。当 时，才有其
它模式出现。
aa 2???
a??
由此可见,如果工作波长满足
aa 2???
实现单模传输是实际应用所需要的。
即可实现 单模传输,而且实现单模传
输的 惟一 模式就是 TE10波。
窄壁尺寸的 下限 取决于传输 功率,容许的波导 衰减 以及 重量 等。
国际上对于各波段通常使用的波导尺寸已有统一规定。
可见，当工作波长增加时，为保证单模传输，波导的尺寸必须相应
地加大。若频率过低，因而工作波长过长，以致波导尺寸过大，无法采
用。因此，实际中金属波导适用于 3000MHz以上的微波波段。
实际中, 通常取, 以便在 波段内实现 TE10波单模传输 。ba 2? aa 2?? ?
?? ?? a2 2??b
工程上常取 左右,或 。?7.0?a ab )5.0~4.0(? a)2.0~1.0(
为了保证仅传输 TE10波, 矩形波导的尺寸应该满足
将可获知，窄壁减小会使传输衰减增大。
根据相速与相位常数的关系, 求得矩形波导中的相速 为
pv
vv
f
f
v
k
v
z
?
???
?
???
??
?
???
?
???
??
??
2
c
2
c
p
11
?
?
?
式中 。 当波导中为真空时, 。
??
1?v cv ??
00
1
??
不同波导 尺寸 及 模式,其相速也不同。
波导中的相速与 频率 有关 。 因此, 电磁波在波导中传播时会出现
色散现象 。
波导中的相速不代表能速 。 已知,, 由上式可见, 真空
波导中 。
cff ? c???
cv ?p
根据波长与相位常数的关系, 求得波导中电磁波的波长 为
g?
2
c
2
c
g
11
π2
???
?
???
??
?
???
?
???
??
??
?
?
???
f
fk z
式中 ? 为 工作波长 。 称为 波导波长 。
g?
已知,,故 。
cff ? ?? ?c ?? ?g
波导中的 横向 电场与磁场之比称为 波导的波阻抗, 那么对于 TM波,
其波阻抗为
x
y
y
x
H
E
H
EZ ???
TM
2
c
2
c
TM 11 ???
?
???
???
???
?
???
???
?
?Z
f
fZZ ???Z
将前面结果代入，求得
同理可得 TE波的波阻抗为
2
c
2
c
TE
11 ??
?
?
???
?
?
?
???
?
???
??
?
?
?
Z
f
f
ZZ
由上两式可见，当, 时,及 均为 虚数,表明横向电场
与横向磁场相位相差,因此，沿 z 方向没有能量单向流动，这就意
味着电磁波的传播被 截止 。
cff ? c??? TMZ TEZ
2
π
例 某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为 25mm?10mm,
当频率 的电磁波进入波导中以后，该波导能够传输的模式
是什么？当波导中填充介电常数 的理想介质后，能够传输的模
式有无改变？
MH z10 4?f
4r ??
解 当内部为真空时, 工作波长为
m m )( 30?? fc?
波导的截止波长为
2222c 25.6
502
nm
b
n
a
m ?
?
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
因为,TE10波的, TE20波的,更高次模的截止
波长更短，可见，当该波导中为 真空 时,仅 能传输的模式为 TE10波 。
)mm(50c ?? )mm(25c ??
若填充 的 理想介质, 则工作波长为4r ??
)mm(15
r
?? ???
因此，可以传输 TE10波及 TE20波，而且还可能存在其它模式。详细计算
表明,TE01,TE30,TE11,TM11,TE21,TM21等模式均可传输。
矩形波导 仅 可传输 TM波和 TE波。
矩形波导中的电磁波具有 多模 特性,TMmn 和 TEmn 。
不同 模式 具有不同 截止波长,
22
c
c
2π2
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
b
n
a
mk
?
为了实现 TE10波的 单一 模式传播，波导 尺寸 应该满足：
?? ?? a2 2??b
TE10波的截止波长 最长 （ ），适当地设计波导尺寸即可
实现 TE10波的 单一 模式传播。
a2??
TE10波为 矩形 波导中的 常用模式 或称为 主模 。
4,矩形波导中的 TE10波
令, 求得矩形波导中的常用模式 TE10波方程为0,1 ?? nm
zkz zxaHH j0 eπc o s ??
?
??
?
??
zkzx zxaak HkH j
2c 0 e
πs inπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
zky zxaak HE j
2c 0 e
πs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??? ??
其余分量为零 。
)s in (πc o s2),( 0 zktxaHtH zz ???????? ?r
)2πs i n (πs i nπ2),( 2
c
0 ???
?
??
?
??
?
??
?
?? zktx
aak
HktH
zzx ?r
)2πs i n (πs i nπ2),( 2
c
0 ???
?
??
?
??
?
??
?
??? zktx
aak
HtE
zy ?
??r对应的瞬时值为
?g
Hz
Hx
Ey
z
y
y Hx
Ey
Hz
x
a
t = 0 时刻,TE10波沿 z 方向及 x 方
向的场分布如左图。
沿 x 方向为 驻波, 沿 z 方向为 行波 。
Hz 的振辐沿 x 按 余弦 分布,Hx 及 Ez 的振幅沿 x 按 正弦 分布，但是
其振幅均与 y 无关 。
)s in (πc o s),( zktxaCtH zz ???????? ?r
)2πs in (πs in),( ????????? zktxaBtH zx ?r
)2πs i n (πs i n),( ?????????? zktxaAtE zy ?r
上式简化为
式中 A,B,C为正实数。
？
x
z y
x
y
z
?g
b
a
磁场线
电场线
??
?? ??
?? ??
?
?
?
?
?
?
z
y
x
内壁电流
TE10波的 电场线 及
磁场线 。
几种高次模的场分布
TE10 TE11
TE20 TE21
TM21TM11
电场线 磁场线
TE10波的 截止波长, 相速, 波导波长 及 能速 。
令 m = 1,n = 0,求得 TE10波的截止波长为
a2c ??
此式表明,TE10波的截止波长 与窄壁尺寸无关 。
根据 截止波长, 利用前式即可 分别求得相速及波导波长为
2p
2
1 ?
?
??
?
??
?
a
vv
? 2
g
2
1 ?
?
??
?
??
?
a
?
??
为了说明 TE10波的相速、波导波长及能速的 物理意义 以及它们之间
关系,将电场分量 Ey 改写为
zkxaxay zEE jπjπj0 e)ee( ?? ?? ??
?
?
???
? ???
?
??
?
? )ee(
j2
1πs in πj-πj xaxax
a
)s i nco s(j0)s i nco s(j0 ee ???? zxkzxky EEE ????? ??
再利用一些三角公式，可将上式改写为
上式可看成是传播常数为 k, 但传播方向不同的 两个均匀平面波 。
x
z
a ①②??
两个平面波的传播途径如左图示。
可见，两个平面波的传播方向位
于 xz 平面,而且 两个 均匀平面波又
可合并为在两个 窄壁 之间来回反射的
一个 均匀平面波。
当 时,。那么，该均匀平面波在两个窄壁之间垂直来回
反射。因此，无法传播而被截止。
c??? 0??
???
?
???
? ??
c2
c o s ???? a
两个均匀平面波的 波峰相遇 处形成 合成波 的 波峰, 而两个均匀平
面波的 波谷相遇 处形成合成波的 波谷 。
左图中以 实线 表示均匀平面波 ① 的
波峰, 以 虚线 表示均匀平面波 ② 波峰 。
x
z
a ?
AB
C
D?
若波导为真空, 则 AC长度等于真空中波长 。 由图可得
显然，线段 AB长度等于波导波长,AC
长度等于工作波长。
?
?
?
??
2g c o s1s in ???
②
①
2
c
g
1 ??
?
?
???
??
?
?
?
?? 同前
另外，由图可见，平面波 ① 由 A 点至 C 点的 相位 变化为 2?，而合
成波的空间相位变化时经过距离为 AB。可见，合成波的相速大于均匀
平面波的相速，由图求出
x
z
a ?
AB
C
D?
②
① ?sinp
vv ?
2
c
p
1 ??
?
?
???
??
?
?
?
vv
再从 能量 传播的观点来看, 当平面波 ① 的能量由 A 传播到 C时,
就传播方向 Z 而言, 此能量传输的距离仅为 AD长度, 可见波导中能速
小于均匀平面波的能速, 由图求出 TE10波的能速为
?sine vv ?
2
c
e 1 ???
?
???
???
?
?vv
例 若内充 空气 的矩形波导尺寸为, 工作频率为 3GHz。 如果
要求工作频率至少高于主模 TE10波的截止频率的 20%,且至少低于
TE01波的截止频率的 20%。 试求,① 波导尺寸 a及 b； ② 根据所设计的
波导, 计算工作波长, 相速, 波导波长及波阻抗 。
?? 2?? a
解 ① TE10波的截止波长, 对应的截止频率 。 TE01波
的截止波长, 对应的截止频率, 按题意要求, 应该满足
a2c ??
a
ccf
2cc ?? ?
b2c ?? bcf 2c ?
2.12103 9 ??? ac 8.02103 9 ??? bc
由此求得,, 取, 。m06.0?a m04.0?b m06.0?a m04.0?b
② 工作波长, 相速, 波导波长及波阻抗分别为 m1.0??
f
c?
3
2p
1042.5
21
??
???????
?
a
cv
?
182.0
21
2g
?
???????
?
a
?
?? )Ω(682
21
2TE 10
?
???????
?
a
ZZ
?
5,电磁波的群速
电磁波在色散媒质中传播时，各个频率分量以不同的相速进行传播，
因此，相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散媒质中的传播速
度。本节介绍的 群速,可以用来描述 窄带信号 在色散媒质中的传播特性。
设 z 向传播的电磁波信号仅具有两个频率 非常接近 的频率分量如下：
??
?
??
??
)c o s (),(
)c o s (),(
2202
1101
zktAtzA
zktAtzA
?
?
其合成信号为
21 AAA ?? )c o s ()Δ Δc o s (2 000 zktkztA ??? ??
式中
?
?
?
??
?
?
??
??
? )(2
1
Δ
)(
2
1
1
210
???
???
?
?
?
??
?
?
??
??
? )(2
1
Δ
)(
2
1
10
210
kkk
kkk
由于,, 因而在一个足够小的时间间隔内, 上式中的
第一个余弦项尚未发生明显变化时, 第二个余弦项已经历了几个周期的
变化, 所以 代表载频, 代表调制频率 。
21 ~?? 0Δ ????
0? ?Δ
若媒质是非色散的, 振幅形成的 波包 随 载波 一起运动, 在运动过程
中, 载波及波包都保持正弦波形 。 因此可以根据波包上的等相位点求出
波包 的移动速度, 该速度称为 群速, 以 表示 。 由, 求得
群速 为gv
常数?? kzΔtΔ?gv
这是一个幅度变化缓慢的 调幅信号 。
kt
zv
Δ
Δ
d
d
g
???
21 AAA ?? )c o s ()Δ Δc o s (2 000 zktkztA ??? ??
对于非色散媒质, k 与 ?的关系是线性的, 因此, 求得
群速 为
kk ddΔΔ ?? ?
kv d
d
g
??
再由 =常数, 求得 载波 相速 为zkt
00 ?? pv
0
0p
kv
??
已知非色散媒质中, 传播常数, 求得????k
???
? 1
d
d
d
d 1
g ???
??
?
??? ?k
kv p
v?
由此可见,非 色散媒质中群速 等于 相速 。
对于 色散 媒质, 由前式可见, k 与 ? 的关系为非线性 。 此时, 对于
给定的 工作频率, 可将 k 作为频率 ? 的函数在 附近展开为泰勒级数,
即
0? 0?
)(dd)( 00
0
????
?
????????? kkk ??????
?
?
???
?? 2
02
2
)(dd21
0
???
?
k
对于 窄带 信号, 可仅取前两项, 即
)(dd)( 00
0
????
?
????????? kkk
同时由于频带很窄, 可以认为, 将上式代入, 得
kkv ddΔΔg ?? ??
00 d
d
d
d 1
g
??
?
? ??
??
?
???
?
??
?
?? ?
k
kv
由于色散媒质的传播常数 k 与频率 ?的关系是 非线性 的，不同的载
波频率，其群速不同。群速 不再 等于相速。
上图给出了当 时，上述窄带信号在三个 不同时刻 的波形。
载波 以 相速 传播,波包 以 群速 传播。 为波包等相位点,P 为载波等相
位点。当 P 点 位移为 d 时，由于波包速度较慢,点仅位移 。
gp 2vv ?
P?
P? )(,ddd ???
因此，经过一段时间传播后,波包变形,导致信号失真。
对于色散媒质中的 窄带 信号, 上式应为
0
d
d
1 p
p
p
g
??
?
???
?
???
??
? v
v
v
v
若相速 与频率 ? 无关，,则,即 无 色散时相速 等于 群速。
pv 0
d
d p ?
?
v pg vv ?
若,则,这种情况称为 正常色散 。0
d
d p ?
?
v pg vv ?
若,则,这种情况称为 非正常色散 。0
d
d p ?
?
v pg vv ?
?
?
d
d1 p
p
p
g v
v
vv
?
?
根据上述关系，求得
矩形 波导中的相速, 可见电磁波发生 正常 色散 。 而
且群速
0dd p ??v
e
2
c
2
c
g 11 vvf
fvv ?
???
?
???
???
???
?
???
???
?
?
即矩形波导中电磁波的 群速等于能速, 这也是正常色散媒质的
共性 。
根据上面结果，求得波导中的相速 vp 与群速 vg满足下列方
程
2gp vvv ?
当电磁波在 导电 媒质中传播时，电磁波发生 非 正常色散。
此时，群速不再等于能速，上述关系也不再成立。
6,圆波导
圆波导的 惟一 尺寸是内半径 a。选用 圆柱 坐标系，令圆波导的轴线
为 z 轴，如左图示。
与矩形波导类似，采用 纵向场法,
即先求出纵向分量 Ez 或 Hz,然后再导
出其余分量,Er,E?,Hr,H?。
x
y
z
a
?,?
zk zrzr j0 e),(),,( ?? ?? EE
zk zrzr j0 e),(),,( ?? ?? HH
圆波导中电场和磁场可分别表示为
zkzz zrEzrE j0 e),(),,( ?? ??
zkzz zrHzrH j0 e),(),,( ?? ??
对应的纵向分量为
对于 TM波, Hz = 0,先求出 Ez 分量, 然后再计算各个横向分量 。
在无源区中, Ez分量满足下列标量齐次亥姆霍兹方程
022 ??? zz EkE
将其在圆柱坐标系中展开, 再将 Ez分量 的表示式代入, 得
011 02c2 022202 02 ?????????? zzz EkErrErrE ?
采用 分离变量法, 令
)()(),(0 ??? rRrE z ?
代入上式, 得
?
? ????????? 22
c
2 rk
R
Rr
R
Rr
式中 及 分别为 R 对 r 的二阶和一阶导数,为 ? 对 ? 的二阶导数。R?R? ??
类似以前步骤，首先求出函数满足的方程为
02 ???? ?? m
??? mAmA s i nco s 21 ??此方程的通解为
由于波导中的场分布随角度 ?的变化应以 2?为周期，因此上式中 m
一定为 整数,即
??2,1,0 ???m
圆波导具有 轴对称性, 的坐标平面可以任意确定 。 那么, 总
可以适当地选择坐标平面, 使上式中的第一项或第二项消失, 因此,
? 的解可以表示为
0??
??
??
?
??
m
mA
s in
c o s
那么求得
0)(dddd 222c222 ???? RmrkrRrr Rr
令, 则上式变为标准的柱贝塞尔方程, 即xrk ?
c
0)(dddd 22222 ???? RmxxRxx Rx
此式的通解为 )(N)(J xCxBR
mm ??
式中 为第一类 m 阶柱贝塞尔函数, 为第二类 m 阶柱贝塞尔函
数 。 当 时,, 。 但是波导中的场总是 有限 的, 因此,
常数, 上式的解应为
)(J xm )(N xm
0?r 0?x ???)0(N m
0?C
)(J c rkBR m?
zk
mz zm
mrkEE j
c0 es i n
c o s)(J ?
??
??
?
?
将上述结果代入，求得纵向分量 Ez 的通解为
zk
mzr zm
mrk
k
EkE j
c
c
0 e
s i n
c o s)(Jj ?
??
????
?
?
zk
mz zm
mrk
rk
mEkE j
c2
c
0 e
c o s
s i n)(Jj ?
??
?
?? ?
?
?
zk
mr zm
mrk
rk
mEH j
c2
c
0 e
c o s
s i n)(Jj ?
??
? ??
?
???
zk
m zm
mrk
k
EH j
c
c
0 e
s i n
c o s)(Jj ?
??
????
?
???
?
各个横向分量分别为
式中 为柱贝塞尔函数 的一阶导数。常数 决定于边界条
件。
)(J crkm? )(J crkm ck
已知分量 Ez 及 与圆波导内壁平行，因此，当 时,。
?E ar? 0?? ?EE z
根据这个边界条件，求得常数 为ck 2
2
c ??
??
?
??
a
Pk mn
为第一类 m 阶贝塞尔函数的第 n 个根。mnP
值mnP
14.8011.628.4175.1362
13.3210.177.0163.8321
11.798.6545.5202.4050
4321m n
每一组 m, n 值对应于一个 值，从而形成一种场分布或称为一种模式。
可见，电磁波在圆波导中也具有 多模特性 。
mnP
对于 TE波, Ez= 0。 采用上述同样方法, 先求出 Hz 分量, 然后再
计算各个横向分量, 其结果为
zk
mz zm
mrkJHH j
c0 es i n
c o s)( ?
??
??
?
?
zk
mzr zm
mrkJ
k
HkH j
c
c
0 e
s i n
c o s)(j ?
??
????
?
?
zk
mz zm
mrkJ
rk
mHkH j
c2
c
0 e
c o s
s i n)(j ?
??
?
?? ?
?
?
zk
mr zm
mrkJ
rk
mHE j
c2
c
0 e
c o s
s i n)(j ?
??
?
?? ?
???
zk
m zm
mrkJ
k
HE j
c
c
0 e
s i n
c o s)(j ?
??
???
?
???
?
2.
2
c ???
?
???
? ??
a
Pk mn再根据边界条件，求得常数 kc 为
式中 为第一类柱贝塞尔函数的一阶导数根，其数值如下表。
mnP?
13.179.9656.7053.0542
11.718.5265.3321.8411
13.3210.177.0163.8320
4321m n
值
mnP?
和矩形波导一样, 当 时, 传播常数 表示传播被截止 。 那
么, 由, 求得圆波导 中 TM波的 截止频率 和 截止波长
为
ckk? 0?zk
c
cc
π2π2
??? ?? fk
mn
mn
P
a
a
Pf π2
π2 cc ?? ???
TE波的截止频率和截止波长为
mn
mn
P
a
a
Pf
??
?? π2
π2 cc ???
下图给出了圆波导中各种模式的截止波长分布图。
由图可见,TE11波具有 最长的 截
止波长，其次是 TM01波。
0 a 2a
TE01
TE21
TM01
TE11
3a 4a ?c
截
止
区
根据前面结果，求得 TE11及 TM01
波的截止波长分分别为
a
a
62.2 TM
41.3 TE
c01
c11
?
?
?
?
由此可见, 若工作波长 ?满足, 即可实现 TE11波
的 单模传输 。
aa 41.362.2 ?? ?
因此, TE11波是圆波导中的 常用模式 或称为 主模 。
反之, 若工作波长 ? 给定, 为了实现 TE11波单模传输, 圆波导半
径 a 必须满足
62.241.3
?? ?? a
根据截止频率和截止波长, 即可求出 相速, 群速, 波导波长 及 波阻
抗, 其公式与矩形波导的相应公式 完全相同 。
下图给出了圆波导中 TE11,TE01及 TM01波的 电场线 及磁场线分布。
?
????? ?
?
??
?
????
??
?TE01
??? ???TM
01
??????
电场线
磁场线
?TE11 ? ????
?
??? ?
???
??
?
?
解 已知为了保证工作于 TE11主模，其工作波长必须满足
例 已知圆波导的半径 a = 5mm，内充 理想介质 的相对介质常数 ?r = 9 。
若要求工作于 TE11主模，试求最大允许的频率范围。
aa 41.362.2 ?? ?
mm1.17541.3m a x ???? mm1.13562.2m i n ????即
对应的频率范围为
M Hz7 6 3 41
0mi nmi n
ma x ??? ????
vf
M H z58481
0ma xma x
mi n ??? ????
vf
7,波导中的传输功率与传输损耗
根据波导中电场及磁场的 横向 分量，计算复能流密度矢量，再将 复
能流密度的 实部 沿波导的 横 截面进行积分，即可求得波导中的 传输功率 。
以矩形波导为例。当其传输主模 TE10波时，求得的传输功率为
TE
2
0
2Z
abEP ?
若波导中介质的击穿场强为, 则矩形波导能够传输的最大功率为
bE
TE
2
bb
4Z
abEP ?
实际中，为了安全起见，通常取传输功率 。
b5
1~
3
1 PP ?
?
??
?
??
波导中的损耗主要来自两个方面，其一是波导中的 填充介质 引起的
损耗，其二是实际 波导壁 的有限电导率产生的损耗。
对于 填充介质 产生的损耗，仅以有耗介质的 等效介电常数 代替原来
的介电常数即可，
波导壁 损耗的严格计算非常复杂，通常仍然利用 理想导电壁 情况下
的场强公式计算波导壁的损耗。
设衰减常数为, 则向正 z 方向传播的电场振幅可以表示k?
zkEE ???? e0
因此, 传输功率 可以表示为 zkPP ???? 2
0e
将上式对 z 求导, 得单位长度内的功率衰减为
PkzP ?????? 2
显然, 此功率衰减就是单位长度内的功率损耗, 即
PkPl ??? 21
? ?2EP ?
?
??? j
e ??
即
z
y
1
1
?
1
x
因此, 衰减常数 为k?
P
Pk l
2 1???
为了计算波导壁损耗，在宽壁上取一小块导体，其长度及宽度均为
单位长度,深度等于 集肤厚度,如下图示。
???
??
当 电流为 z 方向时, 该小块导体的
电阻为
?
?
???
f
S
lR
S
π1 ???
式中 ?为波导壁的电导率,RS 称为 表面
电阻率 。f
71052.2 ??
f71061.2 ??
f71026.3 ??铝
铜
银
RS金属
左表给出了三种金属的表面电阻率 。
已知表面电流密度为通过 单位宽度 的电流强度, 因此单位 宽度 且
单位 长度 波导壁内的损耗功率 为lSP
SSlS RJP 2?
式中表面电流,这里 为波导壁表面的磁场强度。
SS HeJ ?? n SH
由左图可见，当矩形
波导尺寸一定时,TE10 波
的 损耗最小 。当宽壁尺寸
一定时，窄壁愈窄，衰减
愈大。
TM11
将 沿单位长度波导内壁进行积分，即可求得单位长度内波导壁
引起的损耗功率 。
lSP
1lP
由左图可见，在高频端,圆波导中
TE01波 损耗最小 。
椭圆波导 既可避免场型偏转，又可获
得较小的损耗。
当横截面的面积相等时，矩形的周长
大于圆的周长，因此,圆波导损耗较小 。
但是圆波导传输 TE11波时，其场分布
会发生横向 偏转 。
但是 TE01 波的截止波长并不是最长。
若要实现 TE01 波 单模 传输，必须设法 抑
制 TM01,TE21及 TE11波。
例 计算矩形波导中传输 TE10波时, 波导壁产生的衰减 。
?????? ?? ? ?a a SSxSSzla xRJxRJP 0 0 22 dd2
解 已知当矩形波导传输 TE10 波时,波
导 宽壁 上的电流具有 x 分量及 z 分量，而
窄壁上只有 y 分量。因此，单位长度内，
宽壁上的损耗功率为
式中, 。
xSz HeJ y ?? zSx HeJ y ??
单位长度内 窄壁 上的损耗功率为 ?? b
SySlb yRJP
0
2 d2
式中,则单位长度内总损耗功率为
zxSy HeJ ?? lblal PPP ??1
为了减少波导壁的损耗，应提高表面的 光洁度,可以镀 银 或 金 。
还可在波导中充入干燥的 惰性 气体以防止表面氧化。
z
y
x
再算出传输功率 P，然后考虑上述,即可求得 TE10波 衰减常数 为1lP
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
????
2
2
1
2
21
2
1
2 aab
a
R
P
Pk Sl ?
?
?
?
8,谐振腔
在米波以上的微波波段,集中参数 的 LC 谐振电路无法使用，经常
使用相应波段的传输线形成谐振器件，这种谐振器件称为 谐振腔 。
因为随着频率升高，必须减小电感量和电容量，但是当 LC 很小时，
分布参数 的影响不可忽略。电容器的 引线电感,线圈之间以及器件之间
的 分布电容 必须考虑。这就意味着，在米波以上波段，很难制造 单纯 的
电容及电感元件。
本节介绍由金属波导形成的谐振腔的原理及特性。
此外，随着频率升高，回路的 电磁辐射 效应也较显著，电容器中的
介质损耗 也随之增加，这些因素导致集中参数的谐振电路的品质因素 Q
值显著下降。
当矩形波导终端 短路 时，电磁波将被全部反射，在波导中形成 驻波 。
若矩形波导工作于 主模, TE10波的电场仅有横向分量,短路端 形成 电场驻
波 的 波节 。在离短路端半个 波导波长 处，又形成 第二个 电场驻波的波节。
若在此处放臵一块横向短路片，仍然满足电场边界条件，如下图示。
d
?g /2
b
a
x
y
z
这样, 电磁波在短路端及短路片
之间来回反射形成 驻波 。 根据 TE10波
的场强公式及边界条件, 求得该金属
腔中电磁场方程式为
???????? ? xaHH zkzkz zz πc o s)ee( jj0
???????? ? xaaHkH zkzkzx zz πs in)ee(πj jj0
????????? ? xaaHE zkzky zz πs in)ee(πj jj0??
???????? xazkHH zz πc o s)s in (j2 0
??????? xazkaHkH zzx πs in)c o s (πj2 0
???????? xazkaHE zy πs in)s in (π2 0??
利用三角公式，上式又可写为
此式表明，金属腔中的电场及磁场在 x 及 z 方向上均形成驻波，但
电场驻波及磁场驻波的时间相位差为 。当电场能量达到最大值时，磁
场能量为零；反之，当磁场能量达到最大值时，电场能量为零。电磁能
量在电场与磁场之间不断地交换，而且无须外界输入能量一直存在，这
种现象称为 谐振 。因此这种金属腔称为 谐振腔,它可作为微波电路中的
谐振器件。
2π
对于 尺寸一定 的谐振腔，仅对 特定的频率 出现谐振现象。发生谐振
的频率称为 谐振频率,对应的波长称为 谐振波长 。
显然，只要谐振腔的长度为
,3,2,1,2 g ??????????? lld ?
均可满足边界条件，即发生谐振。因此，谐振腔的谐振频率具有 多值性 。
又因波导波长还与模式有关，因此,模式 不同,谐振频率 也不同。
已知矩形波导中 z 向传播常数为
22
22 ππ ?
?
??
?
???
?
??
?
???
b
n
a
mkk
z
当 时，,,代入上式，得
2g
?ld ? πldkz ?
dlkz π?
222 πππ
????????????????????? dlbnamk
考虑到,求得谐振波长 及谐振频率 分别为
??? fk π2π2 ?? mnl? mnlf
222
2
?
?
??
?
???
?
??
?
???
?
??
?
?
?
d
l
b
n
a
m
m n l?
222
2
1 ?
?
??
?
???
?
??
?
???
?
??
?
??
d
l
b
n
a
mf
m n l ??
可见，谐振波长或谐振频率不仅与谐振腔的 尺寸 有关，还与波导中的工
作 模式 有关，每组（ mnl）对应于一种模式。例如 TE101模式代表矩形波
导谐振腔工作于 TE10波，腔长为半个波导波长。
为了有效地设计谐振腔的耦合及调谐装臵，必须了解谐振腔中的场
分布。
下图给出了矩形谐振腔工作于 TE101模式时的场结构。
x
z y
x
y
z b
a
d
磁场线
电场线
和一切谐振器件一样，实际的
谐振腔总存在一定的 损耗 。为了衡
量谐振器件的损耗大小，通常使用
品质因素 Q 值，其定义为
lP
WQ 0??
式中 ?0 为谐振角频率,W为腔中 总储能,也就是 电场 储能的 时间最大值
或 磁场 储能的时间最大值,Pl 为腔中的 损耗功率 。
根据前述 TE10波的 场强公式，求出电场储能的时间最大值为
2
2
0
22
0
3
π2
|| HbdaW ????
???????? ? 2gd
?
与计算 波导壁 的损耗方法相同，可以求出矩形谐振腔中 TE101模式
的损耗功率为
20
2
3333 ||222 HR
d
bdaddabaP
Sl
????
)22(π4 33332
3323
0
bdaddabaR
bdaQ
S ???
? ???
将这些结果代入 值公式，求得矩形波导谐振腔工作于 TE101模
式时的 值为Q
Q
TE101模式的谐振角频率为 22
101101
11ππ2 ?
?
??
?
???
?
??
?
???
daf ???
那么,TE101模式的 Q值可表示为
)22(4
)(π
3333
322
101 bdaddabaR
daZbQ
S ???
??
式中
?
??Z
波导谐振腔可以获得很高的 Q 值。由于 圆波导 的腔壁损耗较小，圆
柱谐振腔的 Q值更高，它比矩形腔获得更加广泛的应用。
圆柱谐振腔的谐振频率及其 Q 值计算，方法同前，其结果如下：
对于 TM波
22
TM
π
π2
1 ?
?
??
?
???
?
??
?
??
d
l
a
Pf mn
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
d
a
d
al
P
Q
mn
2
1π2
π
2
2
TM ?
?
对于 TE波
22
TE
π
π2
1 ?
?
??
?
???
?
??
?
? ??
d
l
a
Pf mn
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
22
2
3
2
2
2
TE
π2
1
π2
)(π2
π
)(1
dP
aml
d
a
d
al
d
a
P
al
P
P
m
Q
mn
mn
mn
mn ?
?
?
左图给出了圆柱腔的 Q
值与尺寸的关系，由图可见，
TE01l 模式具有较高的 Q值。
TE011模式的最大 Q 值发生在
d ? 2a 附近。若 ?= 3cm，则
Q 值可达 104~4?104。
提高谐振腔 Q 值的方法
与减小 波导壁损耗 的方法相
同。此外,体积 应尽可能大
一些，以增加储能。腔壁 面
积 应尽可能小一些，以减小
损耗。
例 试证波导谐振腔对于 任何模式 的谐振波长 均可表示为r?
??,3,2,1
2
1
2
c
c
r ?
?
?
??
?
??
? l
d
l ?
??
式中 为截止波长,d 为谐振腔的长度。
c?
解 已知无论何种波导，其传播常数 均为
zk 2c22 kkk z ??
2
c
2
r
2 π2π2π
???
?
???
??
???
?
???
???
?
??
?
?
??dl
已知当 时，,,均可发生谐振,将其代入上式，且考
虑到 及,得
r
π2
??k cc π2??k
2g
?ld ? πldkz ?
dlkz π?
将上式整理后，即求得上述一般公式。
9,同轴线
同轴线的结构如下图示，其主要尺寸是 内导体 的半径 a 和 外导体 的
内 半径 b。内外导体之间可以填充介质或为空气，电磁波存在于内外导
体之间。
y
z a
b x
同轴线是一种性能良好的微波传
输线，它具有与波导一样完全电磁屏
蔽的优点，而且 工作频带较宽 。
同轴线中 电场线 为沿半径方向的
径向线, 磁场线 为沿角度方向的 闭合
圆,如左图示。
电场线
磁场线 同轴线是一种典型的 TEM传输线。
同轴线中的波长如何？
同轴线也可看作为一种 圆波导,因此除了传输 TEM波以外，还可存
在 TE波及 TM波。但是，根据工作频率适当地设计同轴线的尺寸，即可
抑制这些 非 TEM波成分。
同轴线中非 TEM波的波型分析方法与圆波导类似。但是由于同轴线
具有 内导体,变量 r 的范围是,可见 。所以，在 r = 0处为
无限大的 第二类 柱贝塞耳函数也应作为柱贝塞耳方程的解，即
bra ?? 0?r
)(N)(J xCxBR mm ??
对于 TM波及 TE波, 分别利用 边
界条件 即可求出传播常数 kc,然后再
计算各个模式的截止波长 。0
TE10
TM01
TE11
?(a + b) ?c?(b - a)
TEM
波
0
TE10
TM01
TE11
?(a + b) ?c?(b - a)
由图可见, TE11波具有 最长的 截止
波长, 其值为 。)(π ba ?
)(π ba ???
因此, 为了 抑制 同轴线中的 非 TEM
波, 工作波长 ?必须满足
或者说, 同轴线的尺寸应满足
3π ?? ??? ba
由此可见，为了消除同轴线中的高次模，随着 频率升高,同轴线的
尺寸 必须相应地 减小 。但尺寸过小，损耗增加，且限制了传输功率。因
此，同轴线的使用频率一般 低于 3GHz 。但是，同轴线的传输频率并 无
下限,这也 TEM波传输线的共性。
和金属波导一样，同轴线也可构成同轴谐振腔，其设计方法同前。
主 要 内 容
主 要 概 念
几种常用的导波系统及其主要特性,金属波导的传输特性，
矩形波导中的 TE10波，波导和同轴线的尺寸设计，波导的传输功率
及损耗，谐振腔的特性。
TEM 波,TE波和 TM波,纵向场方法，多模特性，截止传播
常数，截止波长和频率，工作波长和波导波长，波导中的相速、能
速和群速，谐振腔的谐振频率和波长
主 要 内 容
几种常用的导波系统，矩形波导中的电磁波，
圆波导中的电磁波，同轴线，谐振腔。
沿一定的途径传播的电磁波称为 导行电磁波,传输导行波的系统
称为 导波系统 。
常用的导波系统有 双导线, 同轴线, 带状线, 微带, 金属波导 等。
这些导波系统的结构如下图示。
本章 仅 介绍 同轴线 和 金属波导 。尤其是 矩形 金属波导的传播特性。
带状线
双导线 矩形波导
微 带 介质波导
光 纤
同轴线 圆波导
1,TEM波,TE波及 TM波
TEM波,TE波及 TM波的电场方向及磁场方向与传播方向的关系
如下图示。
TEM波
E
H
es
TE波
E
H
es
TM波
E
H
es
可以证明，能够建立 静电场 的导波系统 必然 能够传输 TEM波。
根据麦克斯韦方程也可说明金属波导不能传输 TEM波。
名 称 波 形 电磁屏蔽 使用波段
双导线 TEM波 差 > 3m
同轴线 TEM波 好 > 10cm
带状线 TEM波 差 厘米波
微 带 准 TEM波 差 厘米波
矩形波导 TE或 TM波 好 厘米波、毫米波
圆波导 TE或 TM波 好 厘米波、毫米波
光 纤 TE或 TM波 差 光波
几种常用导波系统的主要特性
导波系统传播特性的研究方法
首先设导波系统是 无限长 的, 根据导波系统 横截面 的形状选取 直角
坐标系或者 圆柱 坐标系, 令其沿 z 轴放臵, 且传播方向为正 z 方向 。 以
直角坐标为例, 则该导波系统中的电场与磁场可以分别表示为
zk zyxzyx j0 e(( ?? ）、）、,EE
zk zyxzyx j0 e(( ?? ）、）、,HH
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
2
222
2
222
H
HHH
E
EEE
222
222
k
zyx
k
zyx
而且应该满足下列矢量 亥姆霍兹方程
由前获知，上式包含了 6 个直角坐标分量 及,
它们分别满足齐次标量亥姆霍兹方程。根据导波系统的边界条件，利用
分离变量法即可求解这些方程。
zyx EEE,,zyx HHH,,
但是实际上并不需要求解 6 个坐标分量，因为它们不是完全独立的。
根据麦克斯韦方程，可以求出 x 分量及 y 分量和 z 分量的关系为
???????? ??????? yHxEkkE zzzx ??jj1 2
c
???????? ??????? xHyEkkE zzzy ??jj1 2
c
???????? ?????? xHkyEkH zzzx jj1 2
c
??
???????? ??????? yHkxEkH zzzy jj1 2
c
??
222c zkkk ??
式中
这样，只要求出 z 分量，其余分量即可根据上述关系求出。 z 分量
为 纵向 分量，因此这种方法又称为 纵向场法 。
在圆柱坐标系中，同样可用 z 分量表示 r 分量和 ? 分量。其关系
式为
???????? ??????? ??? zzzr HrrEkkE jj1 2
c
???????? ??????? rHErkkE zzz ???? jj1 2
c
???????? ?????? rHkErkH zzzr jj1 2
c ?
??
???????? ??????? ???? zzz HrkrEkH jj1 2
c
2,矩形波导中的电磁波方程式
矩形波导形状如下图示,宽 壁的 内 尺寸为 a, 窄 壁的 内 尺寸为 b 。
a
z
y
x
b ?,?
已知金属波导中只能传输 TE 波
及 TM 波，现在分别讨论他们在矩形
波导中的传播特性。
若仅传输 TM 波，则 Hz = 0 。按
照纵向场法，此时仅需求出 Ez 分量，
然后即可计算其余各个分量。
已知电场强度的 z 分量可以表示为
zkzz zyxEE j0 e),( ??
它应满足齐次标量亥姆霍兹方程, 即
02c2222 ??????? zzz EkyExE
其振辐也满足同样的齐次标量亥姆霍兹方程, 即
002c2 022 02 ??????? zzz EkyExE
为了求解上述方程, 采用分离变量法 。 令
)()()(0 yYxXyxE z ?、
代入上式, 得
2ckYYXX ???????
式中 X"表示 X 对 x 的二阶导数,Y" 表示 Y 对 y 的二阶导数。
由于上式中的第二项 仅 为 y 函数，而右端为常数，因此，若将此式
对 x 求导，得知左端第一项应为常数。若对 y 求导，得知第二项应为常
数。
2ckYYXX ???????
现分别令
2xkXX ???? 2ykYY ????
这里,k x和 k y称为 分离常数 。利用边界条件即可求解这些分离常数。
222c yx kkk ??
显然
由上可见，原来的二阶 偏 微分方程，经过变量分离后变为两个 常
微分方程，因此求解简便。
两个 常微分方程的 通解 分别为
xkCxkCX xx s i nc o s 21 ?? ykCykCY yy s i nc o s 43 ??
式中常数 C1, C2, C3, C4 取决于导波系统的边界条件。
已知 Ez 分量与波导四壁平行，因此在 x = 0,a 及 y = 0,b 的边界上
Ez = 0。由此决定上述常数，再根据这些结果求出分离常数为
??,3,2,1,π ?? nbnk y ??,3,2,1,π ?? mbmk x
代入前式即可求出矩形波导中 TM波的各个分量为
zkz zybnxamEE j0 eπs i nπs i n ??
zkz
x zyb
nx
a
m
a
m
k
EkE j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
???
zkz
y zyb
nx
a
m
b
n
k
EkE j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
???
zk
x zyb
nx
a
m
b
n
k
EH j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?? ??
zk
y zyb
nx
a
m
a
m
k
EH j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??? ??
1,电磁波的相位仅与变量 z 有关, 而振幅与 x,y 有关 。 因此, 在 Z方
向上为 行波, 在 X 及 Y 方向上形成 驻波 。
2,z 等于常数的平面为波面。但振辐与 x,y 有关，因此上述 TM波为
非均匀 的平面波；
zkz zybnxamEE j0 eπs i nπs i n ??
zkz
x zyb
nx
a
m
a
m
k
EkE j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
???
zkz
y zyb
nx
a
m
b
n
k
EkE j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
???
zk
x zyb
nx
a
m
b
n
k
EH j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?? ??
zk
y zyb
nx
a
m
a
m
k
EH j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??? ??
3，当 m 或 n 为零时，上述各个分量均为零，因此 m 及 n 应为 非零
的整数。 m 及 n 具有明显的物理意义,m 为宽壁上的 半个驻波 的数目，
n 为窄壁上 半个驻波 的数目。
4，由于 m 及 n 为多值，因此场结构均具有 多种模式 。 m 及 n 的每一
种组合构成一种模式，以 TMmn表示。 例如 TM11表示 m = 1,n = 1 的场结
构，具有这种场结构的波称为 TM11波。
5，数值大的 m 及 n 模式称为 高次模,数值小的称为 低次模 。由于 m
及 n 均不为零，故矩形波导中 TM波的 最低模式 是 TM11波。
类似地可以导出矩形波导中 TE波的各个分量为
zkz zy
b
nx
a
mHH j
0 e
πc o sπc o s ??
?
??
?
??
?
??
?
??
zkz
x zyb
nx
a
m
a
m
k
HkH j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
zkz
y zyb
nx
a
m
b
n
k
HkH j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
zk
x zyb
nx
a
m
b
n
k
HE j
2
c
0 eπs i nπc o sπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
?? ??
zk
y zyb
nx
a
m
a
m
k
HE j
2
c
0 eπc o sπs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??
?
??? ??
式中,但两者 不能同时 为零。由上式可见，与 TM波一
样,TE波也具有前述 多模特性,但此时 m 及 n不能同时为零。因此,TE
波的 最低模式 为 TE01波或 TE10波。
??,2,1,0,?nm
3,矩形波导中电磁波的传播特性
22
2
c
ππ ?
?
??
?
???
?
??
?
??
b
n
a
mk
已知, 即 。 可见, 当时,, 这就
意味着波的传播被截止, 因此, 称为 截止传播常数 。
222c zkkk ?? 2c22 kkk z ?? ckk? 0?zk
ck
截止传播常数和截止频率
利用传播常数与频率的关系,可以求出对应于截止传播常
数 的 截止频率,即
??fk π2?
ck cf
根据前面结果，获知 截止传播常数为
22
c
c 2
1
π2 ??
??
?
???
?
??
?
???
b
n
a
mkf
????
那么，传播常数 kz 可以表示为
?
?
?
?
??
?
?
?
????
?
?
??
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
???
?
?
??
?
?
???
,1j
,1
1
c
2
c
c
2
c
2
c
ff
f
f
k
ff
f
f
k
f
f
kk z
当 时, 为实数, 因子 代表向正 z 方向传播的波 。
cff ? zk zkzje?
当 时, 为虚数, 因子cff ? zk 1j 2cee ??????????? ? ffkzzk z
因此，对于一定的模式和波导尺寸来说,f c是能够传输该模式的 最
低频率 。可见，波导相当于一个 高通滤波器 。
此式表明时变电磁场没有传播，而是沿正 Z 方向不断衰减的 凋落场 。
利用关系式, 即可求得对应于截止传播常数 的 截止波长 为
?
π2?k ck c?
22
c
c
2π2
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
b
n
a
mk
?
截止波长
上述结果表明, 无论 截止频率 或 截止波长 均与与波导 尺寸 a,b 及 模
式 m,n 有关 。 对于一定的波导尺寸来说, 每一种模式具有一定的截止频
率或截止波长 。 高次模式具有较高的截止频率, 或者说 具有较短的截止
波长 。 例如,TE
10波的截止波长为 2a，
TE20波的截止波长为 a。左图给出了当
波导尺寸 时，各种模式截止波长
的分布图。
ba 2?TM
11
TE01
TE20
TE10
0 a 2a ?c
TE10波为矩形波导中的 常用模式 或称为 主模 。
截
止
区TM11
TE01
TE20
TE10
0 a 2a ?c
已知当 时，相应的模式波均被截止。那么由图可见，当
时，全部模式被截止。
c??? a2??
当 时，只有 TE10波存在，
其它模式被截止。当 时，才有其
它模式出现。
aa 2???
a??
由此可见,如果工作波长满足
aa 2???
实现单模传输是实际应用所需要的。
即可实现 单模传输,而且实现单模传
输的 惟一 模式就是 TE10波。
窄壁尺寸的 下限 取决于传输 功率,容许的波导 衰减 以及 重量 等。
国际上对于各波段通常使用的波导尺寸已有统一规定。
可见，当工作波长增加时，为保证单模传输，波导的尺寸必须相应
地加大。若频率过低，因而工作波长过长，以致波导尺寸过大，无法采
用。因此，实际中金属波导适用于 3000MHz以上的微波波段。
实际中, 通常取, 以便在 波段内实现 TE10波单模传输 。ba 2? aa 2?? ?
?? ?? a2 2??b
工程上常取 左右,或 。?7.0?a ab )5.0~4.0(? a)2.0~1.0(
为了保证仅传输 TE10波, 矩形波导的尺寸应该满足
将可获知，窄壁减小会使传输衰减增大。
根据相速与相位常数的关系, 求得矩形波导中的相速 为
pv
vv
f
f
v
k
v
z
?
???
?
???
??
?
???
?
???
??
??
2
c
2
c
p
11
?
?
?
式中 。 当波导中为真空时, 。
??
1?v cv ??
00
1
??
不同波导 尺寸 及 模式,其相速也不同。
波导中的相速与 频率 有关 。 因此, 电磁波在波导中传播时会出现
色散现象 。
波导中的相速不代表能速 。 已知,, 由上式可见, 真空
波导中 。
cff ? c???
cv ?p
根据波长与相位常数的关系, 求得波导中电磁波的波长 为
g?
2
c
2
c
g
11
π2
???
?
???
??
?
???
?
???
??
??
?
?
???
f
fk z
式中 ? 为 工作波长 。 称为 波导波长 。
g?
已知,,故 。
cff ? ?? ?c ?? ?g
波导中的 横向 电场与磁场之比称为 波导的波阻抗, 那么对于 TM波,
其波阻抗为
x
y
y
x
H
E
H
EZ ???
TM
2
c
2
c
TM 11 ???
?
???
???
???
?
???
???
?
?Z
f
fZZ ???Z
将前面结果代入，求得
同理可得 TE波的波阻抗为
2
c
2
c
TE
11 ??
?
?
???
?
?
?
???
?
???
??
?
?
?
Z
f
f
ZZ
由上两式可见，当, 时,及 均为 虚数,表明横向电场
与横向磁场相位相差,因此，沿 z 方向没有能量单向流动，这就意
味着电磁波的传播被 截止 。
cff ? c??? TMZ TEZ
2
π
例 某一内部为真空的矩形金属波导，其截面尺寸为 25mm?10mm,
当频率 的电磁波进入波导中以后，该波导能够传输的模式
是什么？当波导中填充介电常数 的理想介质后，能够传输的模
式有无改变？
MH z10 4?f
4r ??
解 当内部为真空时, 工作波长为
m m )( 30?? fc?
波导的截止波长为
2222c 25.6
502
nm
b
n
a
m ?
?
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
因为,TE10波的, TE20波的,更高次模的截止
波长更短，可见，当该波导中为 真空 时,仅 能传输的模式为 TE10波 。
)mm(50c ?? )mm(25c ??
若填充 的 理想介质, 则工作波长为4r ??
)mm(15
r
?? ???
因此，可以传输 TE10波及 TE20波，而且还可能存在其它模式。详细计算
表明,TE01,TE30,TE11,TM11,TE21,TM21等模式均可传输。
矩形波导 仅 可传输 TM波和 TE波。
矩形波导中的电磁波具有 多模 特性,TMmn 和 TEmn 。
不同 模式 具有不同 截止波长,
22
c
c
2π2
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
b
n
a
mk
?
为了实现 TE10波的 单一 模式传播，波导 尺寸 应该满足：
?? ?? a2 2??b
TE10波的截止波长 最长 （ ），适当地设计波导尺寸即可
实现 TE10波的 单一 模式传播。
a2??
TE10波为 矩形 波导中的 常用模式 或称为 主模 。
4,矩形波导中的 TE10波
令, 求得矩形波导中的常用模式 TE10波方程为0,1 ?? nm
zkz zxaHH j0 eπc o s ??
?
??
?
??
zkzx zxaak HkH j
2c 0 e
πs inπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??
zky zxaak HE j
2c 0 e
πs i nπj ??
?
??
?
??
?
??
?
??? ??
其余分量为零 。
)s in (πc o s2),( 0 zktxaHtH zz ???????? ?r
)2πs i n (πs i nπ2),( 2
c
0 ???
?
??
?
??
?
??
?
?? zktx
aak
HktH
zzx ?r
)2πs i n (πs i nπ2),( 2
c
0 ???
?
??
?
??
?
??
?
??? zktx
aak
HtE
zy ?
??r对应的瞬时值为
?g
Hz
Hx
Ey
z
y
y Hx
Ey
Hz
x
a
t = 0 时刻,TE10波沿 z 方向及 x 方
向的场分布如左图。
沿 x 方向为 驻波, 沿 z 方向为 行波 。
Hz 的振辐沿 x 按 余弦 分布,Hx 及 Ez 的振幅沿 x 按 正弦 分布，但是
其振幅均与 y 无关 。
)s in (πc o s),( zktxaCtH zz ???????? ?r
)2πs in (πs in),( ????????? zktxaBtH zx ?r
)2πs i n (πs i n),( ?????????? zktxaAtE zy ?r
上式简化为
式中 A,B,C为正实数。
？
x
z y
x
y
z
?g
b
a
磁场线
电场线
??
?? ??
?? ??
?
?
?
?
?
?
z
y
x
内壁电流
TE10波的 电场线 及
磁场线 。
几种高次模的场分布
TE10 TE11
TE20 TE21
TM21TM11
电场线 磁场线
TE10波的 截止波长, 相速, 波导波长 及 能速 。
令 m = 1,n = 0,求得 TE10波的截止波长为
a2c ??
此式表明,TE10波的截止波长 与窄壁尺寸无关 。
根据 截止波长, 利用前式即可 分别求得相速及波导波长为
2p
2
1 ?
?
??
?
??
?
a
vv
? 2
g
2
1 ?
?
??
?
??
?
a
?
??
为了说明 TE10波的相速、波导波长及能速的 物理意义 以及它们之间
关系,将电场分量 Ey 改写为
zkxaxay zEE jπjπj0 e)ee( ?? ?? ??
?
?
???
? ???
?
??
?
? )ee(
j2
1πs in πj-πj xaxax
a
)s i nco s(j0)s i nco s(j0 ee ???? zxkzxky EEE ????? ??
再利用一些三角公式，可将上式改写为
上式可看成是传播常数为 k, 但传播方向不同的 两个均匀平面波 。
x
z
a ①②??
两个平面波的传播途径如左图示。
可见，两个平面波的传播方向位
于 xz 平面,而且 两个 均匀平面波又
可合并为在两个 窄壁 之间来回反射的
一个 均匀平面波。
当 时,。那么，该均匀平面波在两个窄壁之间垂直来回
反射。因此，无法传播而被截止。
c??? 0??
???
?
???
? ??
c2
c o s ???? a
两个均匀平面波的 波峰相遇 处形成 合成波 的 波峰, 而两个均匀平
面波的 波谷相遇 处形成合成波的 波谷 。
左图中以 实线 表示均匀平面波 ① 的
波峰, 以 虚线 表示均匀平面波 ② 波峰 。
x
z
a ?
AB
C
D?
若波导为真空, 则 AC长度等于真空中波长 。 由图可得
显然，线段 AB长度等于波导波长,AC
长度等于工作波长。
?
?
?
??
2g c o s1s in ???
②
①
2
c
g
1 ??
?
?
???
??
?
?
?
?? 同前
另外，由图可见，平面波 ① 由 A 点至 C 点的 相位 变化为 2?，而合
成波的空间相位变化时经过距离为 AB。可见，合成波的相速大于均匀
平面波的相速，由图求出
x
z
a ?
AB
C
D?
②
① ?sinp
vv ?
2
c
p
1 ??
?
?
???
??
?
?
?
vv
再从 能量 传播的观点来看, 当平面波 ① 的能量由 A 传播到 C时,
就传播方向 Z 而言, 此能量传输的距离仅为 AD长度, 可见波导中能速
小于均匀平面波的能速, 由图求出 TE10波的能速为
?sine vv ?
2
c
e 1 ???
?
???
???
?
?vv
例 若内充 空气 的矩形波导尺寸为, 工作频率为 3GHz。 如果
要求工作频率至少高于主模 TE10波的截止频率的 20%,且至少低于
TE01波的截止频率的 20%。 试求,① 波导尺寸 a及 b； ② 根据所设计的
波导, 计算工作波长, 相速, 波导波长及波阻抗 。
?? 2?? a
解 ① TE10波的截止波长, 对应的截止频率 。 TE01波
的截止波长, 对应的截止频率, 按题意要求, 应该满足
a2c ??
a
ccf
2cc ?? ?
b2c ?? bcf 2c ?
2.12103 9 ??? ac 8.02103 9 ??? bc
由此求得,, 取, 。m06.0?a m04.0?b m06.0?a m04.0?b
② 工作波长, 相速, 波导波长及波阻抗分别为 m1.0??
f
c?
3
2p
1042.5
21
??
???????
?
a
cv
?
182.0
21
2g
?
???????
?
a
?
?? )Ω(682
21
2TE 10
?
???????
?
a
ZZ
?
5,电磁波的群速
电磁波在色散媒质中传播时，各个频率分量以不同的相速进行传播，
因此，相速无法描述含有多种频率分量的电磁波在色散媒质中的传播速
度。本节介绍的 群速,可以用来描述 窄带信号 在色散媒质中的传播特性。
设 z 向传播的电磁波信号仅具有两个频率 非常接近 的频率分量如下：
??
?
??
??
)c o s (),(
)c o s (),(
2202
1101
zktAtzA
zktAtzA
?
?
其合成信号为
21 AAA ?? )c o s ()Δ Δc o s (2 000 zktkztA ??? ??
式中
?
?
?
??
?
?
??
??
? )(2
1
Δ
)(
2
1
1
210
???
???
?
?
?
??
?
?
??
??
? )(2
1
Δ
)(
2
1
10
210
kkk
kkk
由于,, 因而在一个足够小的时间间隔内, 上式中的
第一个余弦项尚未发生明显变化时, 第二个余弦项已经历了几个周期的
变化, 所以 代表载频, 代表调制频率 。
21 ~?? 0Δ ????
0? ?Δ
若媒质是非色散的, 振幅形成的 波包 随 载波 一起运动, 在运动过程
中, 载波及波包都保持正弦波形 。 因此可以根据波包上的等相位点求出
波包 的移动速度, 该速度称为 群速, 以 表示 。 由, 求得
群速 为gv
常数?? kzΔtΔ?gv
这是一个幅度变化缓慢的 调幅信号 。
kt
zv
Δ
Δ
d
d
g
???
21 AAA ?? )c o s ()Δ Δc o s (2 000 zktkztA ??? ??
对于非色散媒质, k 与 ?的关系是线性的, 因此, 求得
群速 为
kk ddΔΔ ?? ?
kv d
d
g
??
再由 =常数, 求得 载波 相速 为zkt
00 ?? pv
0
0p
kv
??
已知非色散媒质中, 传播常数, 求得????k
???
? 1
d
d
d
d 1
g ???
??
?
??? ?k
kv p
v?
由此可见,非 色散媒质中群速 等于 相速 。
对于 色散 媒质, 由前式可见, k 与 ? 的关系为非线性 。 此时, 对于
给定的 工作频率, 可将 k 作为频率 ? 的函数在 附近展开为泰勒级数,
即
0? 0?
)(dd)( 00
0
????
?
????????? kkk ??????
?
?
???
?? 2
02
2
)(dd21
0
???
?
k
对于 窄带 信号, 可仅取前两项, 即
)(dd)( 00
0
????
?
????????? kkk
同时由于频带很窄, 可以认为, 将上式代入, 得
kkv ddΔΔg ?? ??
00 d
d
d
d 1
g
??
?
? ??
??
?
???
?
??
?
?? ?
k
kv
由于色散媒质的传播常数 k 与频率 ?的关系是 非线性 的，不同的载
波频率，其群速不同。群速 不再 等于相速。
上图给出了当 时，上述窄带信号在三个 不同时刻 的波形。
载波 以 相速 传播,波包 以 群速 传播。 为波包等相位点,P 为载波等相
位点。当 P 点 位移为 d 时，由于波包速度较慢,点仅位移 。
gp 2vv ?
P?
P? )(,ddd ???
因此，经过一段时间传播后,波包变形,导致信号失真。
对于色散媒质中的 窄带 信号, 上式应为
0
d
d
1 p
p
p
g
??
?
???
?
???
??
? v
v
v
v
若相速 与频率 ? 无关，,则,即 无 色散时相速 等于 群速。
pv 0
d
d p ?
?
v pg vv ?
若,则,这种情况称为 正常色散 。0
d
d p ?
?
v pg vv ?
若,则,这种情况称为 非正常色散 。0
d
d p ?
?
v pg vv ?
?
?
d
d1 p
p
p
g v
v
vv
?
?
根据上述关系，求得
矩形 波导中的相速, 可见电磁波发生 正常 色散 。 而
且群速
0dd p ??v
e
2
c
2
c
g 11 vvf
fvv ?
???
?
???
???
???
?
???
???
?
?
即矩形波导中电磁波的 群速等于能速, 这也是正常色散媒质的
共性 。
根据上面结果，求得波导中的相速 vp 与群速 vg满足下列方
程
2gp vvv ?
当电磁波在 导电 媒质中传播时，电磁波发生 非 正常色散。
此时，群速不再等于能速，上述关系也不再成立。
6,圆波导
圆波导的 惟一 尺寸是内半径 a。选用 圆柱 坐标系，令圆波导的轴线
为 z 轴，如左图示。
与矩形波导类似，采用 纵向场法,
即先求出纵向分量 Ez 或 Hz,然后再导
出其余分量,Er,E?,Hr,H?。
x
y
z
a
?,?
zk zrzr j0 e),(),,( ?? ?? EE
zk zrzr j0 e),(),,( ?? ?? HH
圆波导中电场和磁场可分别表示为
zkzz zrEzrE j0 e),(),,( ?? ??
zkzz zrHzrH j0 e),(),,( ?? ??
对应的纵向分量为
对于 TM波, Hz = 0,先求出 Ez 分量, 然后再计算各个横向分量 。
在无源区中, Ez分量满足下列标量齐次亥姆霍兹方程
022 ??? zz EkE
将其在圆柱坐标系中展开, 再将 Ez分量 的表示式代入, 得
011 02c2 022202 02 ?????????? zzz EkErrErrE ?
采用 分离变量法, 令
)()(),(0 ??? rRrE z ?
代入上式, 得
?
? ????????? 22
c
2 rk
R
Rr
R
Rr
式中 及 分别为 R 对 r 的二阶和一阶导数,为 ? 对 ? 的二阶导数。R?R? ??
类似以前步骤，首先求出函数满足的方程为
02 ???? ?? m
??? mAmA s i nco s 21 ??此方程的通解为
由于波导中的场分布随角度 ?的变化应以 2?为周期，因此上式中 m
一定为 整数,即
??2,1,0 ???m
圆波导具有 轴对称性, 的坐标平面可以任意确定 。 那么, 总
可以适当地选择坐标平面, 使上式中的第一项或第二项消失, 因此,
? 的解可以表示为
0??
??
??
?
??
m
mA
s in
c o s
那么求得
0)(dddd 222c222 ???? RmrkrRrr Rr
令, 则上式变为标准的柱贝塞尔方程, 即xrk ?
c
0)(dddd 22222 ???? RmxxRxx Rx
此式的通解为 )(N)(J xCxBR
mm ??
式中 为第一类 m 阶柱贝塞尔函数, 为第二类 m 阶柱贝塞尔函
数 。 当 时,, 。 但是波导中的场总是 有限 的, 因此,
常数, 上式的解应为
)(J xm )(N xm
0?r 0?x ???)0(N m
0?C
)(J c rkBR m?
zk
mz zm
mrkEE j
c0 es i n
c o s)(J ?
??
??
?
?
将上述结果代入，求得纵向分量 Ez 的通解为
zk
mzr zm
mrk
k
EkE j
c
c
0 e
s i n
c o s)(Jj ?
??
????
?
?
zk
mz zm
mrk
rk
mEkE j
c2
c
0 e
c o s
s i n)(Jj ?
??
?
?? ?
?
?
zk
mr zm
mrk
rk
mEH j
c2
c
0 e
c o s
s i n)(Jj ?
??
? ??
?
???
zk
m zm
mrk
k
EH j
c
c
0 e
s i n
c o s)(Jj ?
??
????
?
???
?
各个横向分量分别为
式中 为柱贝塞尔函数 的一阶导数。常数 决定于边界条
件。
)(J crkm? )(J crkm ck
已知分量 Ez 及 与圆波导内壁平行，因此，当 时,。
?E ar? 0?? ?EE z
根据这个边界条件，求得常数 为ck 2
2
c ??
??
?
??
a
Pk mn
为第一类 m 阶贝塞尔函数的第 n 个根。mnP
值mnP
14.8011.628.4175.1362
13.3210.177.0163.8321
11.798.6545.5202.4050
4321m n
每一组 m, n 值对应于一个 值，从而形成一种场分布或称为一种模式。
可见，电磁波在圆波导中也具有 多模特性 。
mnP
对于 TE波, Ez= 0。 采用上述同样方法, 先求出 Hz 分量, 然后再
计算各个横向分量, 其结果为
zk
mz zm
mrkJHH j
c0 es i n
c o s)( ?
??
??
?
?
zk
mzr zm
mrkJ
k
HkH j
c
c
0 e
s i n
c o s)(j ?
??
????
?
?
zk
mz zm
mrkJ
rk
mHkH j
c2
c
0 e
c o s
s i n)(j ?
??
?
?? ?
?
?
zk
mr zm
mrkJ
rk
mHE j
c2
c
0 e
c o s
s i n)(j ?
??
?
?? ?
???
zk
m zm
mrkJ
k
HE j
c
c
0 e
s i n
c o s)(j ?
??
???
?
???
?
2.
2
c ???
?
???
? ??
a
Pk mn再根据边界条件，求得常数 kc 为
式中 为第一类柱贝塞尔函数的一阶导数根，其数值如下表。
mnP?
13.179.9656.7053.0542
11.718.5265.3321.8411
13.3210.177.0163.8320
4321m n
值
mnP?
和矩形波导一样, 当 时, 传播常数 表示传播被截止 。 那
么, 由, 求得圆波导 中 TM波的 截止频率 和 截止波长
为
ckk? 0?zk
c
cc
π2π2
??? ?? fk
mn
mn
P
a
a
Pf π2
π2 cc ?? ???
TE波的截止频率和截止波长为
mn
mn
P
a
a
Pf
??
?? π2
π2 cc ???
下图给出了圆波导中各种模式的截止波长分布图。
由图可见,TE11波具有 最长的 截
止波长，其次是 TM01波。
0 a 2a
TE01
TE21
TM01
TE11
3a 4a ?c
截
止
区
根据前面结果，求得 TE11及 TM01
波的截止波长分分别为
a
a
62.2 TM
41.3 TE
c01
c11
?
?
?
?
由此可见, 若工作波长 ?满足, 即可实现 TE11波
的 单模传输 。
aa 41.362.2 ?? ?
因此, TE11波是圆波导中的 常用模式 或称为 主模 。
反之, 若工作波长 ? 给定, 为了实现 TE11波单模传输, 圆波导半
径 a 必须满足
62.241.3
?? ?? a
根据截止频率和截止波长, 即可求出 相速, 群速, 波导波长 及 波阻
抗, 其公式与矩形波导的相应公式 完全相同 。
下图给出了圆波导中 TE11,TE01及 TM01波的 电场线 及磁场线分布。
?
????? ?
?
??
?
????
??
?TE01
??? ???TM
01
??????
电场线
磁场线
?TE11 ? ????
?
??? ?
???
??
?
?
解 已知为了保证工作于 TE11主模，其工作波长必须满足
例 已知圆波导的半径 a = 5mm，内充 理想介质 的相对介质常数 ?r = 9 。
若要求工作于 TE11主模，试求最大允许的频率范围。
aa 41.362.2 ?? ?
mm1.17541.3m a x ???? mm1.13562.2m i n ????即
对应的频率范围为
M Hz7 6 3 41
0mi nmi n
ma x ??? ????
vf
M H z58481
0ma xma x
mi n ??? ????
vf
7,波导中的传输功率与传输损耗
根据波导中电场及磁场的 横向 分量，计算复能流密度矢量，再将 复
能流密度的 实部 沿波导的 横 截面进行积分，即可求得波导中的 传输功率 。
以矩形波导为例。当其传输主模 TE10波时，求得的传输功率为
TE
2
0
2Z
abEP ?
若波导中介质的击穿场强为, 则矩形波导能够传输的最大功率为
bE
TE
2
bb
4Z
abEP ?
实际中，为了安全起见，通常取传输功率 。
b5
1~
3
1 PP ?
?
??
?
??
波导中的损耗主要来自两个方面，其一是波导中的 填充介质 引起的
损耗，其二是实际 波导壁 的有限电导率产生的损耗。
对于 填充介质 产生的损耗，仅以有耗介质的 等效介电常数 代替原来
的介电常数即可，
波导壁 损耗的严格计算非常复杂，通常仍然利用 理想导电壁 情况下
的场强公式计算波导壁的损耗。
设衰减常数为, 则向正 z 方向传播的电场振幅可以表示k?
zkEE ???? e0
因此, 传输功率 可以表示为 zkPP ???? 2
0e
将上式对 z 求导, 得单位长度内的功率衰减为
PkzP ?????? 2
显然, 此功率衰减就是单位长度内的功率损耗, 即
PkPl ??? 21
? ?2EP ?
?
??? j
e ??
即
z
y
1
1
?
1
x
因此, 衰减常数 为k?
P
Pk l
2 1???
为了计算波导壁损耗，在宽壁上取一小块导体，其长度及宽度均为
单位长度,深度等于 集肤厚度,如下图示。
???
??
当 电流为 z 方向时, 该小块导体的
电阻为
?
?
???
f
S
lR
S
π1 ???
式中 ?为波导壁的电导率,RS 称为 表面
电阻率 。f
71052.2 ??
f71061.2 ??
f71026.3 ??铝
铜
银
RS金属
左表给出了三种金属的表面电阻率 。
已知表面电流密度为通过 单位宽度 的电流强度, 因此单位 宽度 且
单位 长度 波导壁内的损耗功率 为lSP
SSlS RJP 2?
式中表面电流,这里 为波导壁表面的磁场强度。
SS HeJ ?? n SH
由左图可见，当矩形
波导尺寸一定时,TE10 波
的 损耗最小 。当宽壁尺寸
一定时，窄壁愈窄，衰减
愈大。
TM11
将 沿单位长度波导内壁进行积分，即可求得单位长度内波导壁
引起的损耗功率 。
lSP
1lP
由左图可见，在高频端,圆波导中
TE01波 损耗最小 。
椭圆波导 既可避免场型偏转，又可获
得较小的损耗。
当横截面的面积相等时，矩形的周长
大于圆的周长，因此,圆波导损耗较小 。
但是圆波导传输 TE11波时，其场分布
会发生横向 偏转 。
但是 TE01 波的截止波长并不是最长。
若要实现 TE01 波 单模 传输，必须设法 抑
制 TM01,TE21及 TE11波。
例 计算矩形波导中传输 TE10波时, 波导壁产生的衰减 。
?????? ?? ? ?a a SSxSSzla xRJxRJP 0 0 22 dd2
解 已知当矩形波导传输 TE10 波时,波
导 宽壁 上的电流具有 x 分量及 z 分量，而
窄壁上只有 y 分量。因此，单位长度内，
宽壁上的损耗功率为
式中, 。
xSz HeJ y ?? zSx HeJ y ??
单位长度内 窄壁 上的损耗功率为 ?? b
SySlb yRJP
0
2 d2
式中,则单位长度内总损耗功率为
zxSy HeJ ?? lblal PPP ??1
为了减少波导壁的损耗，应提高表面的 光洁度,可以镀 银 或 金 。
还可在波导中充入干燥的 惰性 气体以防止表面氧化。
z
y
x
再算出传输功率 P，然后考虑上述,即可求得 TE10波 衰减常数 为1lP
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
??
?
??
????
2
2
1
2
21
2
1
2 aab
a
R
P
Pk Sl ?
?
?
?
8,谐振腔
在米波以上的微波波段,集中参数 的 LC 谐振电路无法使用，经常
使用相应波段的传输线形成谐振器件，这种谐振器件称为 谐振腔 。
因为随着频率升高，必须减小电感量和电容量，但是当 LC 很小时，
分布参数 的影响不可忽略。电容器的 引线电感,线圈之间以及器件之间
的 分布电容 必须考虑。这就意味着，在米波以上波段，很难制造 单纯 的
电容及电感元件。
本节介绍由金属波导形成的谐振腔的原理及特性。
此外，随着频率升高，回路的 电磁辐射 效应也较显著，电容器中的
介质损耗 也随之增加，这些因素导致集中参数的谐振电路的品质因素 Q
值显著下降。
当矩形波导终端 短路 时，电磁波将被全部反射，在波导中形成 驻波 。
若矩形波导工作于 主模, TE10波的电场仅有横向分量,短路端 形成 电场驻
波 的 波节 。在离短路端半个 波导波长 处，又形成 第二个 电场驻波的波节。
若在此处放臵一块横向短路片，仍然满足电场边界条件，如下图示。
d
?g /2
b
a
x
y
z
这样, 电磁波在短路端及短路片
之间来回反射形成 驻波 。 根据 TE10波
的场强公式及边界条件, 求得该金属
腔中电磁场方程式为
???????? ? xaHH zkzkz zz πc o s)ee( jj0
???????? ? xaaHkH zkzkzx zz πs in)ee(πj jj0
????????? ? xaaHE zkzky zz πs in)ee(πj jj0??
???????? xazkHH zz πc o s)s in (j2 0
??????? xazkaHkH zzx πs in)c o s (πj2 0
???????? xazkaHE zy πs in)s in (π2 0??
利用三角公式，上式又可写为
此式表明，金属腔中的电场及磁场在 x 及 z 方向上均形成驻波，但
电场驻波及磁场驻波的时间相位差为 。当电场能量达到最大值时，磁
场能量为零；反之，当磁场能量达到最大值时，电场能量为零。电磁能
量在电场与磁场之间不断地交换，而且无须外界输入能量一直存在，这
种现象称为 谐振 。因此这种金属腔称为 谐振腔,它可作为微波电路中的
谐振器件。
2π
对于 尺寸一定 的谐振腔，仅对 特定的频率 出现谐振现象。发生谐振
的频率称为 谐振频率,对应的波长称为 谐振波长 。
显然，只要谐振腔的长度为
,3,2,1,2 g ??????????? lld ?
均可满足边界条件，即发生谐振。因此，谐振腔的谐振频率具有 多值性 。
又因波导波长还与模式有关，因此,模式 不同,谐振频率 也不同。
已知矩形波导中 z 向传播常数为
22
22 ππ ?
?
??
?
???
?
??
?
???
b
n
a
mkk
z
当 时，,,代入上式，得
2g
?ld ? πldkz ?
dlkz π?
222 πππ
????????????????????? dlbnamk
考虑到,求得谐振波长 及谐振频率 分别为
??? fk π2π2 ?? mnl? mnlf
222
2
?
?
??
?
???
?
??
?
???
?
??
?
?
?
d
l
b
n
a
m
m n l?
222
2
1 ?
?
??
?
???
?
??
?
???
?
??
?
??
d
l
b
n
a
mf
m n l ??
可见，谐振波长或谐振频率不仅与谐振腔的 尺寸 有关，还与波导中的工
作 模式 有关，每组（ mnl）对应于一种模式。例如 TE101模式代表矩形波
导谐振腔工作于 TE10波，腔长为半个波导波长。
为了有效地设计谐振腔的耦合及调谐装臵，必须了解谐振腔中的场
分布。
下图给出了矩形谐振腔工作于 TE101模式时的场结构。
x
z y
x
y
z b
a
d
磁场线
电场线
和一切谐振器件一样，实际的
谐振腔总存在一定的 损耗 。为了衡
量谐振器件的损耗大小，通常使用
品质因素 Q 值，其定义为
lP
WQ 0??
式中 ?0 为谐振角频率,W为腔中 总储能,也就是 电场 储能的 时间最大值
或 磁场 储能的时间最大值,Pl 为腔中的 损耗功率 。
根据前述 TE10波的 场强公式，求出电场储能的时间最大值为
2
2
0
22
0
3
π2
|| HbdaW ????
???????? ? 2gd
?
与计算 波导壁 的损耗方法相同，可以求出矩形谐振腔中 TE101模式
的损耗功率为
20
2
3333 ||222 HR
d
bdaddabaP
Sl
????
)22(π4 33332
3323
0
bdaddabaR
bdaQ
S ???
? ???
将这些结果代入 值公式，求得矩形波导谐振腔工作于 TE101模
式时的 值为Q
Q
TE101模式的谐振角频率为 22
101101
11ππ2 ?
?
??
?
???
?
??
?
???
daf ???
那么,TE101模式的 Q值可表示为
)22(4
)(π
3333
322
101 bdaddabaR
daZbQ
S ???
??
式中
?
??Z
波导谐振腔可以获得很高的 Q 值。由于 圆波导 的腔壁损耗较小，圆
柱谐振腔的 Q值更高，它比矩形腔获得更加广泛的应用。
圆柱谐振腔的谐振频率及其 Q 值计算，方法同前，其结果如下：
对于 TM波
22
TM
π
π2
1 ?
?
??
?
???
?
??
?
??
d
l
a
Pf mn
??
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
d
a
d
al
P
Q
mn
2
1π2
π
2
2
TM ?
?
对于 TE波
22
TE
π
π2
1 ?
?
??
?
???
?
??
?
? ??
d
l
a
Pf mn
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
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??
?
?
?
?
?
22
2
3
2
2
2
TE
π2
1
π2
)(π2
π
)(1
dP
aml
d
a
d
al
d
a
P
al
P
P
m
Q
mn
mn
mn
mn ?
?
?
左图给出了圆柱腔的 Q
值与尺寸的关系，由图可见，
TE01l 模式具有较高的 Q值。
TE011模式的最大 Q 值发生在
d ? 2a 附近。若 ?= 3cm，则
Q 值可达 104~4?104。
提高谐振腔 Q 值的方法
与减小 波导壁损耗 的方法相
同。此外,体积 应尽可能大
一些，以增加储能。腔壁 面
积 应尽可能小一些，以减小
损耗。
例 试证波导谐振腔对于 任何模式 的谐振波长 均可表示为r?
??,3,2,1
2
1
2
c
c
r ?
?
?
??
?
??
? l
d
l ?
??
式中 为截止波长,d 为谐振腔的长度。
c?
解 已知无论何种波导，其传播常数 均为
zk 2c22 kkk z ??
2
c
2
r
2 π2π2π
???
?
???
??
???
?
???
???
?
??
?
?
??dl
已知当 时，,,均可发生谐振,将其代入上式，且考
虑到 及,得
r
π2
??k cc π2??k
2g
?ld ? πldkz ?
dlkz π?
将上式整理后，即求得上述一般公式。
9,同轴线
同轴线的结构如下图示，其主要尺寸是 内导体 的半径 a 和 外导体 的
内 半径 b。内外导体之间可以填充介质或为空气，电磁波存在于内外导
体之间。
y
z a
b x
同轴线是一种性能良好的微波传
输线，它具有与波导一样完全电磁屏
蔽的优点，而且 工作频带较宽 。
同轴线中 电场线 为沿半径方向的
径向线, 磁场线 为沿角度方向的 闭合
圆,如左图示。
电场线
磁场线 同轴线是一种典型的 TEM传输线。
同轴线中的波长如何？
同轴线也可看作为一种 圆波导,因此除了传输 TEM波以外，还可存
在 TE波及 TM波。但是，根据工作频率适当地设计同轴线的尺寸，即可
抑制这些 非 TEM波成分。
同轴线中非 TEM波的波型分析方法与圆波导类似。但是由于同轴线
具有 内导体,变量 r 的范围是,可见 。所以，在 r = 0处为
无限大的 第二类 柱贝塞耳函数也应作为柱贝塞耳方程的解，即
bra ?? 0?r
)(N)(J xCxBR mm ??
对于 TM波及 TE波, 分别利用 边
界条件 即可求出传播常数 kc,然后再
计算各个模式的截止波长 。0
TE10
TM01
TE11
?(a + b) ?c?(b - a)
TEM
波
0
TE10
TM01
TE11
?(a + b) ?c?(b - a)
由图可见, TE11波具有 最长的 截止
波长, 其值为 。)(π ba ?
)(π ba ???
因此, 为了 抑制 同轴线中的 非 TEM
波, 工作波长 ?必须满足
或者说, 同轴线的尺寸应满足
3π ?? ??? ba
由此可见，为了消除同轴线中的高次模，随着 频率升高,同轴线的
尺寸 必须相应地 减小 。但尺寸过小，损耗增加，且限制了传输功率。因
此，同轴线的使用频率一般 低于 3GHz 。但是，同轴线的传输频率并 无
下限,这也 TEM波传输线的共性。
和金属波导一样，同轴线也可构成同轴谐振腔，其设计方法同前。
主 要 内 容
主 要 概 念
几种常用的导波系统及其主要特性,金属波导的传输特性，
矩形波导中的 TE10波，波导和同轴线的尺寸设计，波导的传输功率
及损耗，谐振腔的特性。
TEM 波,TE波和 TM波,纵向场方法，多模特性，截止传播
常数，截止波长和频率，工作波长和波导波长，波导中的相速、能
速和群速，谐振腔的谐振频率和波长
