第八章 平面电磁波
主 要 内 容
理想介质中的平面波，平面波极化特性，平面边界
上的正投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边界
上的斜投射，各向异性媒质中的平面波。
1,波动方程
在 无限大 的 各向同性 的 均匀线性 媒质中，时变电磁场的方程为
?
?
?
??
?
?
????
?
?
??
??
?
?
?
?
?
??
),(
),(
),(
),(
1),(),(
),(
2
2
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
rJ
rH
rH
r
rJrE
rE
??
?
?
???
上式称为 非齐次波动方程 。
式中 ),,(),(),( ttt rErJrJ ????
其中 是外源。电荷体密度 ?(r,t)与传导电流 (?E ) 的关系为),( trJ?
t?
????? ?? )( E
若所讨论的区域中没有 外源, 即 J ' = 0, 且媒质为理想介质,
即 ? = 0,此时传导电流为零, 自然也不存在体分布的时变电荷,
即 ? = 0,则上述波动方程变为
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
0
),(
),(
0
),(
),(
2
2
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
rH
rH
rE
rE
??
??
此式称为 齐次波动方程 。
对于研究平面波的 传播 特性，仅需求解 齐次 波动方程。
若所讨论的时变场为 正弦 电磁场，则上式变为
??
???
???
???
0)()(
0)()(
22
22
rHrH
rErE
k
k
此式称为 齐次矢量亥姆霍兹方程,式中 ????k
在直角坐标系中，可以证明，电场强度 E 及磁场强度 H 的各个分
量分别满足下列方程：
?
?
?
?
?
???
???
???
0)()(
0)()(
0)()(
22
22
22
rr
rr
rr
zz
yy
xx
EkE
EkE
EkE
?
?
?
?
?
???
???
???
0)()(
0)()(
0)()(
22
22
22
rr
rr
rr
zz
yy
xx
HkH
HkH
HkH
这些方程称为 齐次 标量 亥姆霍兹方程 。
由于各个分量方程 结构 相同，它们的解具有 同一 形式。
在直角坐标系中，若时变电磁场的场量 仅 与 一个 坐标变量有关，
则该时变电磁场的场量不可能具有 该 坐标分量。
例如，若场量仅与 z 变量有关，则可证明,因为若场
量与变量 x 及 y 无关，则
0?? zz HE
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
z
H
z
H
y
H
x
H
z
E
z
E
y
E
x
E
zzyx
zzyx
H
E
因在给定的区域中，,由上两式得 0,0 ?????? HE 0?
?
??
?
?
z
H
z
E zz
代入 标量亥姆霍兹 方程，即知 z 坐标分量 。0??
zz HE
考虑到
0222222222 ?????????????? zHzHyHxHH zzzzz
0222222222 ?????????????? zEzEyExEE zzzzz
2,理想介质中的平面波
已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量
亥姆霍兹方程
??
???
???
???
0)()(
0)()(
22
22
rHrH
rErE
k
k
若电场强度 E仅与坐标变量 z 有关，与 x,y 无关，则电场强度不可
能存在 z 分量。
令电场强度方向为 x方向，即,则磁场强度 H 为
xExeE ?
)(jj xExeEH ?????? ????
xxx eee ????????? )(
j])[(j
xxx EEE ????
z
E
z
E
y
E
x
EE x
zxzxyxx ?
??
?
??
?
??
?
??? eeee
x
因
z
EH x
y ?
??
??
j
yyxy Hz
E eeH ?
?
??
??
j得
已知电场强度分量 Ex 满足齐次 标量 亥姆霍兹方程，考虑到 0?
?
??
?
?
y
E
x
E xx
0dd 222 ?? xx EkzE得
这是一个二阶 常微分方程, 其通解为
kzxkzxx EEE j0j0 ee ??? ?
上式 第一项 代表向 正 z 轴方向传播的波，第二项反之。
首先仅考虑向 正 z 轴方向传播的波，即
kzxx EzE j0 e)( ??
式中 Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值。
Ex(z) 对应的瞬时值为 ) s i n (2),(
0 kztEtzE xx ?? ?
电场强度随着时间 t 及空间 z 的
变化波形如图示。
Ez(z,t)
zO
?
?
2
? ?23
t1 = 0
上式中 ?t 称为 时间相位 。 kz 称
为 空间相位 。空间相位相等的点组成
的曲面称为 波面 。
由上式可见,z = 常数的平面为
波面。因此，这种电磁波称为 平面波 。
因 Ex(z) 与 x,y 无关, 在 z = 常
数的波面上, 各点场强振幅相等 。
因此, 这种平面波又称为 均匀平面
波 。
42
Tt ?
23
Tt ?
可见，电磁波向正 z 方向传播。
fT
1π2 ??
?
时间相位 变化 2? 所经历的时间称为电磁波的 周期,以 T 表示，而
一秒内相位变化 2? 的次数称为 频率,以 f 表示。那么由 的关系
式，得
π2?T?
空间相位 kz 变化 2?所经过的距离称为 波长,以 ?表示。那么由关
系式,得π2??k
k
π2??
由上可见,电磁波的 频率 是描述相位随 时间 的变化特性, 而 波长 描述相
位随 空间 的变化特性 。
由上式又可得
?
π2?k
因空间相位变化 2? 相当于一个 全波, k 的大小又可衡量单位长度
内具有的全波数目，所以 k 又称为 波数 。
根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这
种相位速度以 vp表示。令 常数，得,则 相位速
度 vp 为
?? kzt ? 0dd ?? zkt?
kt
zv ???
d
d
p
考虑到,得????k
cc ???
rrrr00
11
??????
相位速度 又简称为 相速 。
考虑到一切媒质相对介电常数,又通常相对磁导率,
因此，理想介质中均匀平面波的相速通常 小于 真空中的光速。
1?r? 1r ??
注意,电磁波的相速有时可以 超过 光速。因此，相速不一定代表
能量 传播速度。
在理想介质中，均匀平面波的 相速 与 媒质 特性有关。
??
? 1
p ?? kv
fv p ??由上述关系可得
平面波的 频率 是由 波源 决定的，但是平面波的 相速 与 媒质 特性有关。
因此，平面波的 波长与媒质特性有关 。
rr
0
rr00
p 1
??
?
????? ??? ff
v
由上述关系还可求得
式中
00
0
1
??? f?
?0 是频率为 f 的平面波在真空中传播时的波长。
在真空中,3 0 0)M H z( )m( ?f?
0???
由上式可见，,即平面波在媒质的波长 小于 真空中波长。这
种现象称为 波长缩短 效应，或简称为 缩波 效应。
kz
y
kz
xy HEH
j
0
j
0 ee
?? ??
?
?
由关系式 可得
z
EH x
y ?
??
??
j
00 xy EH ?
??式中
可见, 在 理想 介质中, 均匀平面波的电场与磁场 相位相同, 且两者
空间相位均与变量 z 有关, 但振幅不会改变 。
左图表示 t = 0 时刻, 电场及磁场随
空间的变化情况 。
Hy
Ex
z
电场强度与磁场强度之比称为电磁波的 波阻抗, 以 Z 表示, 即
?
???
y
x
H
EZ
可见, 平面波在 理想 介质中传播时, 其波阻抗为 实数 。
当平面波在真空中传播时, 其波阻抗以 Z0表示, 则
)Ω(π120377
0
0
0 ??? ?
?Z
上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式
表示为
xzy Z EeH ??
1
zyx Z eHE ??
或
Ex
Hy
z
对于 传播方向 而言, 电场及磁场仅具有 横向 分量, 因此这种电
磁波称为 横 电磁波, 或称为 TEM波 。 以后我们将会遇到在传播方向
上具有电场或磁场分量的 非 TEM波 。
由上可见,均匀 平面波是 TEM波，只有 非均匀 平面波才可形成 非
TEM波，但是 TEM波也可以是 非 均匀平面波。
根据电场强度及磁场强度，即可求得复能流密度矢量 Sc
2
0
2
0*c yzxzyx ZH
Z
E eeHES ????
可见，此时复能流密度矢量为 实数,虚部为零。这就表明，电磁波能
量仅向正 z 方向 单向 流动，空间 不存在 来回流动的 交换 能量。
若沿能流方向取出长度为 l,截面为 A 的圆柱体，如图示。
l
S A
设圆柱体中能量均匀分布, 且平均能
量密度为 wav, 能流密度的平均值为 Sav,
则柱体中总平均储能为 （ wav A l ）, 穿过
端面 A 的总能量为 （ Sav A ） 。
t
lAw
t
lAwAS
avavav ??
式中 比值显然代表 单位时间 内的能量 位移, 因此该比值称为 能量速度,
以 ve 表示 。 由此求得
t
l
av
ave wSv ?
若圆柱体中 全部 储能在 t 时间内全部穿
过端面 A，则
lAwAtS avav ?
已知,,代入上式得
Z
ES x20
av ?
20e a vav 2 xEww ???
pe
1 vv ??
??
由此可见,在 理想 介质中，平面波的能量速度 等于 相位速度 。
均匀平面波的波面是 无限大 的平面，而波面上各点的场强振幅又 均
匀分布,因而波面上各点的 能流密度相同,可见这种均匀平面波具有无
限大的能量。显然，实际中 不可能 存在这种均匀平面波。
当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者仅限于局部区域，
则可以 近似 作为均匀平面波。
利用空间傅里叶变换，可将非平面波展开为很多平面波之和，这种
展开有时是非常有用的。
kzxx EzE j0 e)( ??
fT
1π2 ??
? k
π2??
?
π2?k
??
? 1
p ?? kv
rr
0
rr00
p 1
??
?
????? ??? ff
v
?
???
y
x
H
EZ
2
0
2
0*c yzxzyx ZH
Z
E eeHES ????
pe
1 vv ??
??
kz
y
kz
xy HEH
j
0
j
0 ee
?? ??
?
?
Hy
Ex
z
在无限大的各向同性的均匀线性 理想 介质中
0)()(,0)()( 2222 ?????? rHrHrErE kk
例 已知均匀平面波在真空中向正 Z 方向传播，其电场强度的瞬时值为
)V / m( )π210π6s i n (220),( 8 zttz ??? xeE
试求,① 频率及波长； ② 电场强度及磁场强度的复矢量表示式；
③ 复能流密度矢量； ④ 相速及能速。
解 ① 频率 ( H z ) 103
π2
10π6
π2 8
8 ????? ?f
( m ) 1π2 π2π2 ??? k?波长
? ?V / m e20)( π2j zz ?? xeE② 电场强度
? ?A /m eπ6 11)( π2j
0
zyz
Zz
???? eEeH
磁场强度
? ?2*c W/ m π310zeHES ???③ 复能流密度
? ?m / s 103 8ep ???? kvv ?④ 相速及能速
电磁波的波段划分及其应用
名 称 频率范围 波长范围 典型业务
甚低频 VLF[超长波 ] 3~30KHz 100~10km 导航，声纳
低频 LF[长波,LW] 30~300KHz 10~1km 导航，频标
中频 MF[中波,MW] 300~3000KHz 1km~100m AM,海上通信
高频 HF[短波,SW] 3~30MHz 100m~10m AM,通信
甚高频 VHF[超短波 ] 30~300MHz 10~1m TV,FM,MC
特高频 UHF[微波 ] 300~3000MHz 100~10cm TV,MC,GPS
超高频 SHF[微波 ] 3~30GHz 10~1cm SDTV,通信,雷达
极高频 EHF[微波 ] 30~300GHz 10~1mm 通信,雷达
光频 [光波 ] 1~50THz 300~0.006?m 光纤通信
中波调幅广播 （ AM）, 550KHz~1650KHz
短波调幅广播 （ AM）, 2MHz~30MHz
调频广播 （ FM）, 88MHz~108MHz
电视频道 （ TV）, 50MHz~100MHz ; 170MHz~220MHz
470MHz~870MHz
无绳电话 (Cordless Phone),50MHz; 900MHz; 2.4GHz
蜂窝电话 (Cellular Phone),900MHz; 1.8GHz; 1.9GHz
卫星 TV直播 （ SDTV）, 4GHz~6GHz; 12GHz~14GHz
全球卫星定位系统 （ GPS）, L1 =1575.42MHz
L2 =1227.60MHz,L3 =1176.45MHz
光纤通信,1.55?m,1.33?m, 0.85?m
ISM波段,902~928MHz,2.4~2.4835GHz,5.725~5.850GHz
美国有 1.4万家以上广播电台，巴西有 5000家，亚洲和非洲有
几千家。印尼有三家全国性电台和 700多家地方台。尼日尼亚有 70
多家。欧洲有 3000个台，德国有 40多家，斯洛文尼亚有 20家。全
世界的合法电台总共有 5万家。英国有 5个全国台,40多个地方台
,500多个商业性的电台。
3,导电媒质中的平面波
若 ? ?0,则在 无源 区域中
EEH ??? j????
若令
?
??? j
e ??
EH ej?????则上式可写为
式中 ?e 称为 等效介电常数 。
由此推知 导电 媒质中正弦电磁场应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程
??
???
???
???
0
0
e
22
e
22
HH
EE
???
???
E)j(j ???? ??
)j(ec ???????? ???k若令
则上述齐次矢量亥姆霍兹方程可写为
??
???
???
???
0
0
2
c
2
2
c
2
HH
EE
k
k
若仍然令,且,则上式的解与前完全相同，
只要以 kc 代替 k 即可，即
xeE xE? 0?????? yExE xx
zkxx cEE j0 e ??
因常数 kc为 复数,令 kkk ????? j
c
112
2
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
????
??
????k
求得
112
2
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?????
??
????k
zkzkxx EE ?????? j0 ee
这样，电场强度的解可写为
式中第一个指数表示电场强度的 振幅 随 z 增加按指数规律不断 衰减,第
二个指数表示 相位 变化。因此,k?称为 相位常数,单位为 rad/m； k? 称
为 衰减常数,单位为 Np/m，而 kc 称为 传播常数 。
导电媒质中的相速为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
11
2
1
2
p
??
???
?
k
v
此式表明, 其相速不仅与媒质参数有关, 而且还与 频率 有关 。
各个频率分量的电磁波以 不同的 相速传播, 经过一段距离后, 各个
频率分量之间的相位关系将发生变化, 导致信号失真, 这种现象称为 色
散 。 所以导电媒质又称为 色散媒质 。
导电媒质中平面波的波长为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
11
2
π2π2
2
??
???
?
?
k
可见，此时波长不仅与媒质特性有关，而且与频率的关系是 非线性 的。
导电媒质中的波阻抗 Zc为
e
c
j1 ?
?
??
??
? ?
?
?
??
?
? ?
?Z
可见，波阻抗为 复数 。
因为波阻抗为复数，电场强度与磁场强度的 相位不同 。
导电媒质中磁场强度为
z
EH x
y ?
??
??
j zk
xE
k cj
0c e
??
?? zkzkxE ??????? j0 ee)j1( ??
?
?
?
可见，磁场的振幅也不断 衰减,且磁场强度与电场强度的 相位不同 。
Ex
Hy
z
因为电场强度与磁场强度的 相位
不同，复能流密度的实部及虚部均不
会为零，这就意味着平面波在导电媒
质中传播时，既有单向流动的 传播 能
量，又有来回流动的 交换 能量。
两种 特殊 情况：
第一, 若, 具有 低 电导率的介质属于这种情况 。 此时, 可以
近似认为
?????
22
2
111 ?
?
??
?
????
?
??
?
??
??
?
??
?
?????k
?
??
2???k c ?
??Z那么
这些结果表明, 电场强度与磁场强度 同相, 但两者振幅仍不断 衰减 。 电
导率 ? 愈大, 则振幅衰减愈大 。
第二,若, 良 导体属于这种情况。此时可以近似认为?????
??
?
??
? ??
?
??
?
?? 21
π2 ??? ? ? fkk ?????? ????? fZ π)j1(jc ???
那么
此式表明, 电场强度与磁场强度 不同相, 且因 ? 较大, 两者振幅发
生 急剧衰减, 以致于电磁波无法进入良导体深处, 仅可存在其表面
附近, 这种现象称为 集肤效应 。
场强振幅衰减到表面处振幅 的深度称为 集肤深度, 以 ? 表
示, 则由
e1
1ee ???? ??k
??? fk π
11 ?
???
可见，集肤深度与频率 f 及电导率 ?成反比。
三种频率时 铜 的集肤深度
4103?f /MHz 0.05 1
? /mm 29.8 0.066 0.00038
可见，随着 频率升高,集肤深度 急剧地 减小。
因此，具有一定厚度的金属板即
可 屏蔽 高频时变电磁场。
对应于比值 的频率称为 界
限频率, 它是划分媒质属于低耗介质
或导体的界限 。
1????
31015?
41011?
16109.16 ?
16104.104 ?
媒 质 频 率 （ MHz）
干 土 2.6 （ 短波 ）
湿 土 6.0 （ 短波 ）
淡 水 0.22 （ 中波 ）
海 水 890 （ 超短波 ）
硅 （ 微波 ）
锗 （ 微波 ）
铂 （ 光波 ）
铜 （ 光波 ）
比值的大小实际上反映了传导电
流与位移电流的幅度之比 。 可见, 非
理想介质中以位移电流为主, 良导体
中以传导电流为主 。
平面波在导电媒质中传播时, 振幅不断衰减的物理原因是由于电
导率 ? 引起的 热 损耗, 所以 导电媒质 又称为 有耗媒质, 而电导率为零
的 理想介质 又称为 无耗媒质 。
一般说来, 媒质的损耗除了由于电导率引起的热损失以外, 媒质的
极化 和 磁化 现象也会产生损耗 。 考虑到这类损耗时, 媒质的介电常数及
磁导率皆为 复数, 即, 。??? ????? j ??? ????? j
复介电常数和复磁导率的 虚部 代表 损耗, 分别称为 极化损耗 和 磁
化损耗 。
非铁磁性物质可以不计 磁化 损耗 。
波长大于微波的电磁波, 媒质的 极化 损耗也可不计 。
例 已知向正 z 方向传播的均匀平面波的频率为 5 MHz, z = 0 处
电场强度为 x方向，其有效值为 100(V/m)。若 区域为海水，
其电磁特性参数为,试求, ① 该平面波
在海水中的相位常数、衰减常数、相速、波长、波阻抗和集肤深度。
② 在 z = 0.8m 处的电场强度和磁场强度的瞬时值以及复能流密度。
0?z
( S / m ) 4,1,80 rr ??? ???
解 ① π10 Hz105 76 ??? ?f
1180
8010
π36
1π10
4
97
???
?
?
??
?
? ?
?
???
?
( r a d / m) 89.8π ??? ??fk
可见, 对于 5MHz 频率的电磁波, 海水可以当作 良导体, 其相位常数为
( N p / m ) 89.8π ???? ??fk衰减常数为
(m ) 707.0π2 ???? k?
波长为
)Ω( πe)j1(2ππ)j1( 4
πj
c ????? ?
?fZ波阻抗 Zc为
( m / s ) 1053.3 6p ????? kv ?
相速为
( m )1 1 2.0π 1 ?? ??? f
集肤深度 ?为
( V / m ) ee1 0 0)( j zkzkxz ?????? eE
② 根据以上参数获知, 海水中电场强度的复振幅为
)(1)(
c
zZz z EeH ?? ( A /m ) ee100 j
c
zkzk
y Z
?????? e
磁场强度复振幅为
根据上述结果求得, 在 z = 0.8m处, 电场强度及磁场强度的瞬时值为
)8.089.8π10s i n (e2100),8.0( 78.089.8 ??? ?? tt xeE
)11.7π10s i n (115.0 7x ?? te
)411.7π10s i n (π1 1 5.0),8.0( 7 ???? tt yeH
)70.7π10s i n (0 3 6 6.0 7 ?? tye复能流密度为
)( W / m e106644e100 24j62
*
c
2
*
c zz
zk
Z eeHES
?
???? ????
?
?
???
????
可见，频率为 5MHz 的电磁波在海水中被强烈地衰减，因此位于
海水中的潜艇之间,不可能 通过海水中的直接波进行无线通信。必须
将其收发天线移至海水表面附近，利用海水表面的导波作用形成的 表
面波,或者利用电离层对于电磁波的,反射,作用形成的反射波作为
传输媒体实现无线通信。
电场 强度的 方向 随 时间 变化的规律称为电磁波的 极化特性 。
4,平面波的极化特性
设某一平面波的电场强度的瞬时值为
) s i n (),( m kztEtz xx ?? ?xeE
显然，在 空间 任一 固定点,电场强度矢量的端点随时间的变化轨
迹为与 x 轴平行的直线。因此，这种平面波的极化特性称为 线极化,
其 极化方向 为 x 方向。
设另一 同频率 的 y 方向极化的线极化 平面波的瞬时值为
) s i n (),( m kztEtz yyy ?? ?eE
上述两个 相互正交 的 线 极化平面波 Ex 及 Ey 具有 不同振幅,但具
有 相同的相位,它们合成后，其瞬时值的大小为
),(),(),( 22 tzEtzEtzE yx ?? ) ( s in2 m2 m kztEE yx ??? ?
可见，合成波的大小随时间的变化仍为正弦函数，合成波的方向与 x
轴的夹角 ?为
m
m
),(
),(t a n
x
y
x
y
E
E
tzE
tzE ???
可见，合成波的极化方向与时间无
关，电场强度矢量端点的变化轨迹是与 x
轴夹角为 ? 的一条直线。因此，合成波
仍然是 线极化波 。
Ey
Ex
E
Y
X?0
Ey
Ex
E
?
Ey
Ex
E
y
x? 0
由上可见,两个 相位相同, 振幅不等 的空间相互正交的线极化平面
波, 合成后仍然形成一个 线极化 平面波 。 反之, 任一线极化波可以分解
为两个相位相同, 振幅不等的空间相互正交的线极化波 。
若上述两个线极化波 Ex 及 Ey 的相位差为,但振幅皆为 Em,即
2π
) s i n (),( m kztEtzx ?? ?xeE
)2π s i n (),( m ??? kztEtz yy ?eE ) c o s (m kztEy ?? ?e
则合成波瞬时值的大小为
m22 ),(),(),( EtzEtzEtzE yx ???
合成波矢量与 x 轴的夹角 ?为
) (c o t),( ),(t a n kzttzE tzE
x
y ??? ?? )] (
2
πta n [ kz??? ?
) (2π kzta ??? ?
即
由此可见，对于某一固定的 z 点，夹角 ?为时间 t 的函数。电场强度矢
量的方向随时间不断地 旋转,但其 大小不变 。因此，合成波的电场强度
矢量的端点轨迹为一个 圆,这种变化规律称为 圆极化,如下图示。
上式表明，当 t 增加时，夹角 ?不断地减小，合成波矢量随着时间的旋转
方向与传播方向构成左旋关系，这种圆极化波称为 左旋 圆极化波。
Ey
Ex
E
y
x?0
左旋
右旋
z
y
x
0
若 Ey 比 Ex 滞后, 则合成波矢量与 x 轴的夹角 。
可见, 对于空间任一固定点, 夹角 ? 随时间增加而增加, 合成波矢量随
着时间的旋转方向与传播方向 ez 构成右旋关系, 因此, 这种极化波称为
右旋圆极化波 。
2π )2π( kzt ??? ??
由上可见，两个振幅相等，相位相差 的空间相互正交的 线 极化波，
合成后形成一个 圆 极化波。反之，一个 圆 极化波也可以分解为两个振幅
相等，相位相差 的空间相互正交的 线 极化波。
2
π
2
π
还可证明，一个 线 极化波可以分解为两个 旋转方向相反 的 圆 极化波。
反之亦然。
若上述两个相互正交的线极化波 Ex 和 Ey 具有 不同 振幅及 不同 相位,
即
??
?
???
??
)s in (),(
)s in (),(
m
m
??
?
kztEtz
kztEtz
yyy
xx
eE
eE x
则合成波的 Ex分量及 Ey分量满足下列方程
?? 2
mm
2
m
2
m
s i nc o s2)()( ???
yx
yx
y
y
x
x
EE
EE
E
E
E
E
这是一个椭圆方程，它表示合成波矢量的端
点轨迹是一个椭圆，因此，这种平面波称为 椭圆
极化波 。
?
y
x
E
x '
y '
Ey?m
Ex?m
当 ? < 0 时,Ey分量比 Ex滞后，与传播方向
ez 形成 右旋 椭圆极化波；当 ? > 0 时,Ey分量比
Ex导前，与传播方向 ez 形成 左旋 椭圆极化波。
前述的线极化波, 圆极化波均可看作为椭圆极化波的特殊情况 。 由
于各种极化波可以分解为线极化波的合成, 因此, 仅讨论 线极化 平面波
的传播特性 。
电磁波的极化特性获得 非常广泛 的实际应用 。 例如, 由于圆极化波穿
过雨区时受到的吸收衰减较小, 全天候雷达宜用圆极化波 。
在微波设备中，有些器件的功能就是利用了电磁波的极化特性获得的，
例如，铁氧体环行器及隔离器等。
在无线通信中, 为了有效地接收电磁波的能量, 接收天线的极化特性
必须与被接收电磁波的 极化特性一致 。
在移动卫星通信和卫星导航定位系统中，由于卫星姿态随时变更，应
该使用 圆极化 电磁波。
众所周知，光波也是电磁波。但是光波不具有固定的极化
特性，或者说，其极化特性是 随机 的。光学中将光波的极化称
为 偏振,因此，光波通常是 无偏振 的。
为了获得偏振光必须采取特殊方法。
立体电影是利用两个相互垂直的偏振镜头从不同的角度拍
摄的。因此，观众必须佩带一副左右相互垂直的偏振镜片，才
能看到立体效果。
5,平面边界上平面波的正投射
平面波在边界上的反射及透射规
律与 媒质特性 及 边界形状 有关 。 本教
材仅讨论平面波在 无限大的平面边界
上的反射及透射特性 。
边界
透射波
反射波入射波
正投射
边界
斜投射
首先讨论平面波向平面边界垂直
入射的 正投射 。
再讨论平面波以任意角度向平面
边界的 斜投射 。
?1?1?1 ?2?2?2
z
x
Y
设两种均匀媒质形成一个 无限大 的平面边界，两种媒质的参数分别
为 及,如下图示。)( 111 ??? )( 222 ???
建立直角坐标系,且令边界位
于 z = 0 平面。 当 x 方向极化的 线
极化 平面波由媒质 ① 向边界正投射
时，边界上发生反射波及透射波。S ttxE
tyH
S r
rxE
ryH
S i
ixE
iyH
已知电场的 切向分量 在任何边界上必须保持连续，因此，入射波
的电场切向分量与反射波的切向分量之和必须等于透射波的电场切向
分量。
发生反射与透射时，平面波的 极化特性 不会发生改变。
设入射波、反射波及透射波电场
强度的正方向如左图示。根据传播方
向，它们可以表示如下：
?1?1?1 ?2?2?2
z
x
y
S i
ixE
iyH
S r
rxE
ryH
反射波
zkxx EE 1cjr 0r e?
zkxx EE c1ji 0i e ??入射波
S t
txE
tyH
zkxx EE 2cjt 0t e ??
透射波
式中,, 分别为 z = 0 边界处 各波的振幅。i
0xE r0xE t0xE
因为当反射波为零时，入射波电场的切向分量等于透射波电场的切
向分量；当透射波为零时，反射波的电场切向分量 等于 入射波电场切向
分量的负值。可见，反射波及透射波仅可 与入射波 具有 相同的分量 。
相应的磁场强度分量为
zkx
y Z
EH 1cj
1c
i
0i e ??
入射波
zkx
y Z
EH 1cj
1c
r
0r e??
反射波
zkx
y Z
EH c2j
2c
t
0t e ??
透射波
已知电场强度的 切向分量 在任何边界上均是连续的，同时考虑到所
讨论的有限电导率边界上不可能存在表面电流，因而 磁场强度 的切向分
量也是连续的，于是在 z = 0 的边界上下列关系成立
zkx
y Z
EH 1cj
1c
r
0r e??
2c
t
0
1c
r
0
1c
i
0
Z
E
Z
E
Z
E xxx ??
边界上 反射波电场分量与入射波的电场分量之比称为 边界上 的
反射系数,以 R 表示。 边界上 的透射波电场分量与入射波电场分量
之比称为 边界上 的 透射系数,以 T 表示。那么，由上式求得
1c2c
1c2c
i
0
r
0
ZZ
ZZ
E
ER
x
x
?
???
c1c2
2c
i
0
t
0 2
ZZ
Z
E
ET
x
x
???
媒质 ① 中任一点的合成电场强度与磁场强度可以分别表示为
)e e()( 1c1c jji 0 zkzkxx REzE ?? ?
)e e()( c1c1 jj
1c
i
0 zkzkx
y RZ
EzH ?? ?
c12c
1c2ci
0
r
0 ZZ
ZZEE
xx ?
??
1c2c
2ci
0
t
0
2
ZZ
ZEE
xx ??
求得
第一,若媒质 ① 为理想介质,媒质 ② 为理想导体,
则两种媒质的波阻抗分别为
)0( 1 ?? )( 2 ???
1
1
1
c1 ZZ ?? ?
?
下面讨论两种特殊的边界 。
1??R 0?T求得
此结果表明，全部电磁能量被边界反射，无任何能量进入媒质②中，
这种情况称为 全反射 。
显然，这是完全符合 理想导电体 应具有的边界条件。
反射系数 R = ?1 表明，在边界上,即边界上反射波电场
与入射波电场 等值反相,因此边界上合成电场为 零 。
i 0r0 xx EE ??
0jc2 ?? ???Z
因媒质 ① 的传播常数,第一种媒质中任一点合成电
场 为
11c kk ?? ???
)(zEx
)ee()( 11 jji 0 zkzkxx EzE ?? ? zkE x 1i 0 s in2j?? 2πj1i 0 es i n2 ?? zkE x
对应的瞬时值为
)2π s i n (s i n22),( 1i 0 ?? tzkEtzE xx ? tzkE x c o ss i n22 1i 0 ???
此式表明, 媒质 ① 中合成 电场的相位仅与时间有关, 而 振幅随 z 的变
化为正弦函数 。 由上式可见, 在 处, 对于任何
时刻, 电场为零 。 在 处, 任何时刻的电场振幅总是最
大 。 这就意味着 空间各点合成波的相位相同, 同时达到最大或最小 。
平面波在空间没有移动, 只是在原处上下波动, 具有这种特点的电
磁波称为 驻波, 如下图示 。
21
?nz ??
4)12( 1
???? nz
)2 1,0,( ??n
Ex 0>0 t1 = 0
?1
21?
Z
?1 = 0 ?2 = ?
0
42
Tt ?
Tt 833 ?
zO
24
Tt ?
前述的无限大理想介质中传播
的平面波称为 行波 。 行波与驻波的
特性截然不同, 行波的相位沿传播
方向不断变化, 而 驻波的相位与空
间无关 。
Ex 0>0
z
?1
O
?1 = 0 ?2 = ?
42
Tt ?
24
Tt ?
Tt 833 ?
t1 = 0
21
?
振幅始终为零的地方称为驻波的
波节,而振幅始终为最大值的地方称
为驻波的 波腹 。
Ez(z,t)
zO
t1 = 0
42
Tt ?
23
Tt ?
?
?
2
? ?23
zkZEZEzH xzkzkxy 1
1
i
0jj
1
i
0 c o s2)ee()( 11 ??? ?
媒质 ① 中的合成磁场为
tzkZ EtzH xy s i nc o s22),( 1
1
i
0 ??
对应的瞬时值为
由此可见，媒质 ① 中的合成
磁场也形成驻波，但其零值及最
大值位臵与电场驻波的分布情况
恰好 相反,如左图示。 磁场 驻波
的波 腹 恰是 电场 驻波的波 节,而
磁场 驻波的波 节 恰是 电场 驻波的
波 腹 。
Hy 0
z
?1
O
?1 = 0 ?2 = ?
y
01?t
Tt 433 ?
42 Tt ?
此外，比较两种驻波分布还可见，电场与磁场的相位差为 。
因此，复能流密度的 实部为零,只存在虚部。这就意味着媒质 ①
中没有能量单向流动。能量仅在电场与磁场之间不断地进行交换，
这种能量的存在形式与处于谐振状态下的谐振电路中的能量交换
极为相似。
2
π
在 z = 0边界上, 媒质 ① 中的合成磁场分量为,
但媒质 ② 中, 所以在边界上此时发生磁场强度的切向分
量不连续, 因此边界上存在表面电流 JS,且
1
i
02)0(
Z
EH x
y ?
0)0(t ?yH
1
i
0
n
2)(
Z
EH x
xyzyS eHeeJ ??????
第二, 若媒质 ① 为理想介质 ? = 0, 媒质 ② 为一般导体, 则媒质
① 的波阻抗及传播常数分别为
1
1
1
1c ZZ ?? ?
? 1111c kk ?? ???
反射系数为 ?j
12c
12c || eR
ZZ
ZZR ?
?
??
式中 为 R 的振幅,?为 R 的相位。代入前述电场强度公式求得||R
)e||e()( )(jji 0 11 zkzkxx REzE ?? ?? ? zkzkx RE 11 j)2(ji 0 e)e||1( ???? ?
由此可见, 当 时, 处,
电场振幅取得 最大值, 即
π22 1 nzk ??? ),2,1 0,( ????n 1)π42( ???? nz
|)|1(|| i 0m a x REE xx ??
当 时,处，
电场振幅取得 最小值,即
π)12(2 1 ??? nzk? ),2,1 0,( ????n
1)π44
1
2( ?
???? nz
|)|1(|| i 0m i n REE xx ??
由于,因此，电场振幅位
于 0 与 之间，即,
此时电场驻波的空间分布如左图。
两个相邻振幅最大值或最小值之间
的距离为 半波长 。
1||0 ?? R
i02 xE i 02||0 xx EE ??
0
?1
z21?
maxE
minE
电场振幅的最大值与最小值之比称为 驻波比,以 S 表示 。那么
||1
||1
||
||
m i n
m a x
R
R
E
ES
?
???
可以证明，若两种媒质均是理想介质，当 时，边界处为电场
驻波的最大点；当 时，边界处为电场驻波的最小点。这个特性通
常用于微波测量。
12 ZZ ?
12 ZZ ?
上述情况不同于前述的完全驻波。此时媒质中既有向前传播的行波，
又包含能量交换的驻波。
||1
||1
||
||
m i n
m a x
R
R
E
ES
?
???
1,0|| ?? SR由此可见，当发生全反射时,。当 时，
此时反射消失。这种无反射的边界称为 匹配边界 。可见，驻波比的范围
是 。
??? SR,1|| 12c ZZ ?
??? S1
例 已知形成无限大平面边界的两种媒质的参为, ；
,当一右旋圆极化平面波由媒质①向媒质②垂直入射
时，试求反射波和折射波及其极化特性。
01 4?? ? 01 ?? ?
02 9?? ? 02 ?? ?
解 建立直角坐标系, 令边界平面
位于平面, 如左图示 。 已知入射波
为右旋圆极化, 因此入射波, 反射
波和入射波可以分别表示为
?1?1?1 ?2?2?2
z
x
Y
S t
txE
tyE
S r
rxE
ryE
S i
ixE
iyE
zkyxE 1j0i e)j( ??? eeE
zkyxRE 1j0r e)j( eeE ??
zkyxTE 3j0t e)j( ??? eeE
反射系数和透射系数分别为
5
1
2
1
3
1
2
1
3
1
12
12 ???
?
??
?
? ??
?
??
?
? ??
?
??
ZZ
ZZR
5
4
2
1
3
1
3
122
12
2 ??
?
??
?
? ??
?
??
?
??
?? ZZ
ZT
由于反射波及透射波的 y 分量仍然 滞后 于 x 分量,但反射波
的传播方向为负 z方向，因此变为 左旋 圆极化波。透射波的传播方
向仍沿正 z 方向，因此 还 是 右 旋圆极化波。
6,多层边界上平面波的正投射
先以三种媒质形成的多层媒质为例，说明平面波在多层媒质中的
传播过程及其求解方法。
Zc1 Zc2 Zc3
-l 0 z
① ② ③
?1xE ?3xE
?2xE
?2xE
?1xE
由此可见，在两条边界上发生 多次 反射与透射现象。
根据一维波动方程解的特性, 可以认为媒质 ① 和 ② 中仅存在 两种
平面波, 其一是向正 z 方向传播的波, 以 及 表示；另一是向负
z 方向传播的波, 以 及 表示 。 在媒质 ③ 中仅存在 一种 向正 z 方
向传播的波 。 那么各个媒质中的电场强度可以分别表示为
?1xE
?3xE
?2xE
?2xE
?1xE
lzEzE lzkxx c ?????? ??? e)( )(j101 1
lzEzE lzkxx c ?????? ???? e)( )(j101 1
0 e)( 2j202 ???? ?? zlEzE zkxx c
???? ??? zEzE zkxx c 0 e)( 3j303
0 e)( 2j202 ???? ??? zlEzE zkxx c
lzZEzH lzkxy ?????? ???? e)( )(j
1c
101 1c
lzZEzH lzkxy c ??????? ??? e)( )(j
1c
101 1
0 e)( 2cj
2c
202 ???? ?
?? zl
Z
EzH zkx
y
0 e)( 2cj
2c
202 ?????
?? zl
Z
EzH zkx
y
???? ??? zZEzH zkxy 0 e)( c3j
3c
303
相应的磁场强度分别为
??
???
???
?????
???
?????
)0(
)( ee
302020
j
20
j
201010
2c2c
zEEE
lzEEEE
xxx
lk
x
lk
xxx
根据 z = 0 和 z = ?l 两条边界上 电场切向分量 必须连续的边界条件，
得
根据两条边界上 磁场切向分量 必须连续的边界条件, 得
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
???
?
????
)0(
)( ee
3
30
2c
20
2c
20
j
2c
20j
2c
20
1c
10
1c
10 2c2c
z
Z
E
Z
E
Z
E
lz
Z
E
Z
E
Z
E
Z
E
c
xxx
lkxlkxxx
上述两组方程中 是给定的, 四个方程中只有,, 及 等
四个未知数, 因此完全可以求解 。
?1xE ?3xE?2xE?2xE?1xE
对于 n 层媒质, 由于入射波是给定的, 且第 n 层媒质中只存在透
射波, 因此, 总共只有 (2n – 2) 个待求的未知数 。 但根据 n 层媒质形
成的 (n – 1) 条边界可以建立 2(n – 1) 个方程, 可见这个方程组足以求
解全部的未知数 。
如果仅需计算第一条边界上的总反射系数, 引入 输入波阻抗 概
念可以简化求解过程 。 在上述例子中, 我们定义媒质 ② 中 任一点 的
合成 电场与 合成 磁场之比称为 该点 的输入波阻抗, 以 Zin 表示, 即
)(
)()(
2
2
in zH
zEzZ
y
x?
已知媒质 ② 中合成电场为
zkxzkxx EEzE 2c2c j20j202 ee)( ??? ?? )ee( 2c2c j23j20 zkzkx RE ?? ??
式中 R23 为媒质 ② 和 ③ 之间的边界上反射系数。
根据前述反射系数定义, 求得
2c3c
2c3c
20
20
23 ZZ
ZZ
E
ER
x
x
?
???
?
?
那么，媒质 ② 中的合成磁场可以表示为
)ee()( c2c2 j23j
2c
20
2
zkzkx
y RZ
EzH ?? ??
zkZZ
zkZZZzZ
2cc3c2
2cc2c32cin
t a nj
t a nj)(
?
??
将上述结果代入输入波阻抗定义式中，得
已知在边界上两侧合成电场及合成磁场应该是连续的, 求得
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
??
)(
)(
)(
in
2
1c
10
1c
10
21010
lZ
lE
Z
E
Z
E
lEEE
xxx
xxx
?
?
?
10
10
x
x
E
ER第一条边界上 总 反射系数定义为
1cin
1cin
)(
)(
ZlZ
ZlZR
??
???则由上述结果求得
lkZZ
lkZZZlZ
c23c2c
2c2c3c2cin
t a nj
t a nj)(
?
???式中
由此可见, 引入输入波阻抗以后, 对第一层媒质来说, 第二层及
第三层媒质可以看作为波阻抗为 Zin(?l) 的一种媒质 。 已知第二层媒质
的厚度和电磁参数以及第三媒质的电磁参数即可求出输入波阻抗 Zin(?l) 。
上述方法实质上是电路中经常采用的 网络分析 方法, 即只需考虑后
臵媒质的总体影响, 不必关心后臵媒质的内部结构 。
对于 n 层媒质, 如下图示 。
其过程是，首先求出第 (n?2) 条边界处向右看的输入波阻抗,则
对于第 (n?2) 层媒质来说，可用波阻抗为 的媒质代替第 (n?1)层及第 n
层媒质。
)2(in?nZ
)2(in?nZ
Zc1 Zc2 Zc3
(n-2) (n-1)(3)(2)(1)
Zc(n-2) Zc(n-1) Zc n
)2(in?nZ(2)inZ)1(inZ
依次类推，自右向左逐一计算各条边界上向右看的输入波阻抗，直至
求得第一条边界上向右看的输入波阻抗后，即可计算 总 反射系数。
Z1 ZnZ3Z2 Zn-1Zn-2
1
)1(
in
1
)1(
in
ZZ
ZZR
?
??
(1)inZ
Z1
)2(in?nZ
Z1 Z3Z2 Zn-2
)2(inZ
Z1 Z2
)3(inZ
Z3Z1 Z2
例 设两种理想介质的波阻抗分别为 Z1 与 Z2, 为了消除边界反射, 可
在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长 （ 该波长是指平面波在
夹层中的波长 ） 的理想介质夹层, 试求夹层的波阻抗 Z 。
解 如左图示, 首先求出第一条边界
上向右看的输入波阻抗 。 考虑到
4
??l
Z1 Z Z2
②①
4? 2
π
2 ?lk
2
2
2
in Z
Z
Z
ZZZ ??求得第一条边界上输入波阻抗为
为了消除反射, 必须要求, 那么由上式得
1in ZZ ?
2
2
1 Z
ZZ ? 21 ZZZ ?
由上例可见, 输入波阻抗的方法是一种 阻抗变换 方法 。 利用四
分之一波长夹层的阻抗变换作用消除了边界反射, 达到 匹配 。
当然, 这种变换仅在给定的 单一频率 点完全匹配, 因此仅适用于
窄带系统 。
由微波电路的传输线理论得知, 利用 四分之一 波长的传输线可以
实现阻抗变换, 此时既可变更传输线的 长度 又能保证 匹配 。
可见输入波阻抗的变化与 正切函数 的变化规律一致, 每当 l 增加半个
波长, 其值不变, 即厚度为 半波长 或 半波长整数倍 的介质夹层没有
阻抗变换作用 。
已知输入波阻抗公式为
lkZZ
lkZZZlZ
2c3c2c
2c2c3c2cin
t a nj
t a nj)(
?
???
此外, 如果该例中夹层媒质的相对介电常数 等于 相对磁导率, 即
? r = ?r, 那么, 夹层媒质的波阻抗等于真空的波阻抗 。
由此可见, 若使用这种媒质制成保护天线的 天线罩, 其电磁特性十
分优越 。 但是, 由前获悉, 普通媒质的磁导率很难与介电常数达到同一
数量级 。 近来研发的 新型磁性材料 可以接近这种需求 。
当这种夹层臵于空气中, 平面波向其表面正投射时, 无论夹层的厚
度如何, 反射现象均不可能发生 。 换言之, 这种媒质对于电磁波似乎是
完全, 透明, 的 。
主 要 内 容
理想介质中的平面波，平面波极化特性，平面边界
上的正投射，任意方向传播的平面波的表示，平面边界
上的斜投射，各向异性媒质中的平面波。
1,波动方程
在 无限大 的 各向同性 的 均匀线性 媒质中，时变电磁场的方程为
?
?
?
??
?
?
????
?
?
??
??
?
?
?
?
?
??
),(
),(
),(
),(
1),(),(
),(
2
2
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
rJ
rH
rH
r
rJrE
rE
??
?
?
???
上式称为 非齐次波动方程 。
式中 ),,(),(),( ttt rErJrJ ????
其中 是外源。电荷体密度 ?(r,t)与传导电流 (?E ) 的关系为),( trJ?
t?
????? ?? )( E
若所讨论的区域中没有 外源, 即 J ' = 0, 且媒质为理想介质,
即 ? = 0,此时传导电流为零, 自然也不存在体分布的时变电荷,
即 ? = 0,则上述波动方程变为
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
0
),(
),(
0
),(
),(
2
2
2
2
2
2
t
t
t
t
t
t
rH
rH
rE
rE
??
??
此式称为 齐次波动方程 。
对于研究平面波的 传播 特性，仅需求解 齐次 波动方程。
若所讨论的时变场为 正弦 电磁场，则上式变为
??
???
???
???
0)()(
0)()(
22
22
rHrH
rErE
k
k
此式称为 齐次矢量亥姆霍兹方程,式中 ????k
在直角坐标系中，可以证明，电场强度 E 及磁场强度 H 的各个分
量分别满足下列方程：
?
?
?
?
?
???
???
???
0)()(
0)()(
0)()(
22
22
22
rr
rr
rr
zz
yy
xx
EkE
EkE
EkE
?
?
?
?
?
???
???
???
0)()(
0)()(
0)()(
22
22
22
rr
rr
rr
zz
yy
xx
HkH
HkH
HkH
这些方程称为 齐次 标量 亥姆霍兹方程 。
由于各个分量方程 结构 相同，它们的解具有 同一 形式。
在直角坐标系中，若时变电磁场的场量 仅 与 一个 坐标变量有关，
则该时变电磁场的场量不可能具有 该 坐标分量。
例如，若场量仅与 z 变量有关，则可证明,因为若场
量与变量 x 及 y 无关，则
0?? zz HE
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
z
H
z
H
y
H
x
H
z
E
z
E
y
E
x
E
zzyx
zzyx
H
E
因在给定的区域中，,由上两式得 0,0 ?????? HE 0?
?
??
?
?
z
H
z
E zz
代入 标量亥姆霍兹 方程，即知 z 坐标分量 。0??
zz HE
考虑到
0222222222 ?????????????? zHzHyHxHH zzzzz
0222222222 ?????????????? zEzEyExEE zzzzz
2,理想介质中的平面波
已知正弦电磁场在无外源的理想介质中应满足下列齐次矢量
亥姆霍兹方程
??
???
???
???
0)()(
0)()(
22
22
rHrH
rErE
k
k
若电场强度 E仅与坐标变量 z 有关，与 x,y 无关，则电场强度不可
能存在 z 分量。
令电场强度方向为 x方向，即,则磁场强度 H 为
xExeE ?
)(jj xExeEH ?????? ????
xxx eee ????????? )(
j])[(j
xxx EEE ????
z
E
z
E
y
E
x
EE x
zxzxyxx ?
??
?
??
?
??
?
??? eeee
x
因
z
EH x
y ?
??
??
j
yyxy Hz
E eeH ?
?
??
??
j得
已知电场强度分量 Ex 满足齐次 标量 亥姆霍兹方程，考虑到 0?
?
??
?
?
y
E
x
E xx
0dd 222 ?? xx EkzE得
这是一个二阶 常微分方程, 其通解为
kzxkzxx EEE j0j0 ee ??? ?
上式 第一项 代表向 正 z 轴方向传播的波，第二项反之。
首先仅考虑向 正 z 轴方向传播的波，即
kzxx EzE j0 e)( ??
式中 Ex0 为 z = 0 处电场强度的有效值。
Ex(z) 对应的瞬时值为 ) s i n (2),(
0 kztEtzE xx ?? ?
电场强度随着时间 t 及空间 z 的
变化波形如图示。
Ez(z,t)
zO
?
?
2
? ?23
t1 = 0
上式中 ?t 称为 时间相位 。 kz 称
为 空间相位 。空间相位相等的点组成
的曲面称为 波面 。
由上式可见,z = 常数的平面为
波面。因此，这种电磁波称为 平面波 。
因 Ex(z) 与 x,y 无关, 在 z = 常
数的波面上, 各点场强振幅相等 。
因此, 这种平面波又称为 均匀平面
波 。
42
Tt ?
23
Tt ?
可见，电磁波向正 z 方向传播。
fT
1π2 ??
?
时间相位 变化 2? 所经历的时间称为电磁波的 周期,以 T 表示，而
一秒内相位变化 2? 的次数称为 频率,以 f 表示。那么由 的关系
式，得
π2?T?
空间相位 kz 变化 2?所经过的距离称为 波长,以 ?表示。那么由关
系式,得π2??k
k
π2??
由上可见,电磁波的 频率 是描述相位随 时间 的变化特性, 而 波长 描述相
位随 空间 的变化特性 。
由上式又可得
?
π2?k
因空间相位变化 2? 相当于一个 全波, k 的大小又可衡量单位长度
内具有的全波数目，所以 k 又称为 波数 。
根据相位不变点的轨迹变化可以计算电磁波的相位变化速度，这
种相位速度以 vp表示。令 常数，得,则 相位速
度 vp 为
?? kzt ? 0dd ?? zkt?
kt
zv ???
d
d
p
考虑到,得????k
cc ???
rrrr00
11
??????
相位速度 又简称为 相速 。
考虑到一切媒质相对介电常数,又通常相对磁导率,
因此，理想介质中均匀平面波的相速通常 小于 真空中的光速。
1?r? 1r ??
注意,电磁波的相速有时可以 超过 光速。因此，相速不一定代表
能量 传播速度。
在理想介质中，均匀平面波的 相速 与 媒质 特性有关。
??
? 1
p ?? kv
fv p ??由上述关系可得
平面波的 频率 是由 波源 决定的，但是平面波的 相速 与 媒质 特性有关。
因此，平面波的 波长与媒质特性有关 。
rr
0
rr00
p 1
??
?
????? ??? ff
v
由上述关系还可求得
式中
00
0
1
??? f?
?0 是频率为 f 的平面波在真空中传播时的波长。
在真空中,3 0 0)M H z( )m( ?f?
0???
由上式可见，,即平面波在媒质的波长 小于 真空中波长。这
种现象称为 波长缩短 效应，或简称为 缩波 效应。
kz
y
kz
xy HEH
j
0
j
0 ee
?? ??
?
?
由关系式 可得
z
EH x
y ?
??
??
j
00 xy EH ?
??式中
可见, 在 理想 介质中, 均匀平面波的电场与磁场 相位相同, 且两者
空间相位均与变量 z 有关, 但振幅不会改变 。
左图表示 t = 0 时刻, 电场及磁场随
空间的变化情况 。
Hy
Ex
z
电场强度与磁场强度之比称为电磁波的 波阻抗, 以 Z 表示, 即
?
???
y
x
H
EZ
可见, 平面波在 理想 介质中传播时, 其波阻抗为 实数 。
当平面波在真空中传播时, 其波阻抗以 Z0表示, 则
)Ω(π120377
0
0
0 ??? ?
?Z
上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可用矢量形式
表示为
xzy Z EeH ??
1
zyx Z eHE ??
或
Ex
Hy
z
对于 传播方向 而言, 电场及磁场仅具有 横向 分量, 因此这种电
磁波称为 横 电磁波, 或称为 TEM波 。 以后我们将会遇到在传播方向
上具有电场或磁场分量的 非 TEM波 。
由上可见,均匀 平面波是 TEM波，只有 非均匀 平面波才可形成 非
TEM波，但是 TEM波也可以是 非 均匀平面波。
根据电场强度及磁场强度，即可求得复能流密度矢量 Sc
2
0
2
0*c yzxzyx ZH
Z
E eeHES ????
可见，此时复能流密度矢量为 实数,虚部为零。这就表明，电磁波能
量仅向正 z 方向 单向 流动，空间 不存在 来回流动的 交换 能量。
若沿能流方向取出长度为 l,截面为 A 的圆柱体，如图示。
l
S A
设圆柱体中能量均匀分布, 且平均能
量密度为 wav, 能流密度的平均值为 Sav,
则柱体中总平均储能为 （ wav A l ）, 穿过
端面 A 的总能量为 （ Sav A ） 。
t
lAw
t
lAwAS
avavav ??
式中 比值显然代表 单位时间 内的能量 位移, 因此该比值称为 能量速度,
以 ve 表示 。 由此求得
t
l
av
ave wSv ?
若圆柱体中 全部 储能在 t 时间内全部穿
过端面 A，则
lAwAtS avav ?
已知,,代入上式得
Z
ES x20
av ?
20e a vav 2 xEww ???
pe
1 vv ??
??
由此可见,在 理想 介质中，平面波的能量速度 等于 相位速度 。
均匀平面波的波面是 无限大 的平面，而波面上各点的场强振幅又 均
匀分布,因而波面上各点的 能流密度相同,可见这种均匀平面波具有无
限大的能量。显然，实际中 不可能 存在这种均匀平面波。
当观察者离开波源很远时，因波面很大，若观察者仅限于局部区域，
则可以 近似 作为均匀平面波。
利用空间傅里叶变换，可将非平面波展开为很多平面波之和，这种
展开有时是非常有用的。
kzxx EzE j0 e)( ??
fT
1π2 ??
? k
π2??
?
π2?k
??
? 1
p ?? kv
rr
0
rr00
p 1
??
?
????? ??? ff
v
?
???
y
x
H
EZ
2
0
2
0*c yzxzyx ZH
Z
E eeHES ????
pe
1 vv ??
??
kz
y
kz
xy HEH
j
0
j
0 ee
?? ??
?
?
Hy
Ex
z
在无限大的各向同性的均匀线性 理想 介质中
0)()(,0)()( 2222 ?????? rHrHrErE kk
例 已知均匀平面波在真空中向正 Z 方向传播，其电场强度的瞬时值为
)V / m( )π210π6s i n (220),( 8 zttz ??? xeE
试求,① 频率及波长； ② 电场强度及磁场强度的复矢量表示式；
③ 复能流密度矢量； ④ 相速及能速。
解 ① 频率 ( H z ) 103
π2
10π6
π2 8
8 ????? ?f
( m ) 1π2 π2π2 ??? k?波长
? ?V / m e20)( π2j zz ?? xeE② 电场强度
? ?A /m eπ6 11)( π2j
0
zyz
Zz
???? eEeH
磁场强度
? ?2*c W/ m π310zeHES ???③ 复能流密度
? ?m / s 103 8ep ???? kvv ?④ 相速及能速
电磁波的波段划分及其应用
名 称 频率范围 波长范围 典型业务
甚低频 VLF[超长波 ] 3~30KHz 100~10km 导航，声纳
低频 LF[长波,LW] 30~300KHz 10~1km 导航，频标
中频 MF[中波,MW] 300~3000KHz 1km~100m AM,海上通信
高频 HF[短波,SW] 3~30MHz 100m~10m AM,通信
甚高频 VHF[超短波 ] 30~300MHz 10~1m TV,FM,MC
特高频 UHF[微波 ] 300~3000MHz 100~10cm TV,MC,GPS
超高频 SHF[微波 ] 3~30GHz 10~1cm SDTV,通信,雷达
极高频 EHF[微波 ] 30~300GHz 10~1mm 通信,雷达
光频 [光波 ] 1~50THz 300~0.006?m 光纤通信
中波调幅广播 （ AM）, 550KHz~1650KHz
短波调幅广播 （ AM）, 2MHz~30MHz
调频广播 （ FM）, 88MHz~108MHz
电视频道 （ TV）, 50MHz~100MHz ; 170MHz~220MHz
470MHz~870MHz
无绳电话 (Cordless Phone),50MHz; 900MHz; 2.4GHz
蜂窝电话 (Cellular Phone),900MHz; 1.8GHz; 1.9GHz
卫星 TV直播 （ SDTV）, 4GHz~6GHz; 12GHz~14GHz
全球卫星定位系统 （ GPS）, L1 =1575.42MHz
L2 =1227.60MHz,L3 =1176.45MHz
光纤通信,1.55?m,1.33?m, 0.85?m
ISM波段,902~928MHz,2.4~2.4835GHz,5.725~5.850GHz
美国有 1.4万家以上广播电台，巴西有 5000家，亚洲和非洲有
几千家。印尼有三家全国性电台和 700多家地方台。尼日尼亚有 70
多家。欧洲有 3000个台，德国有 40多家，斯洛文尼亚有 20家。全
世界的合法电台总共有 5万家。英国有 5个全国台,40多个地方台
,500多个商业性的电台。
3,导电媒质中的平面波
若 ? ?0,则在 无源 区域中
EEH ??? j????
若令
?
??? j
e ??
EH ej?????则上式可写为
式中 ?e 称为 等效介电常数 。
由此推知 导电 媒质中正弦电磁场应满足下列齐次矢量亥姆霍兹方程
??
???
???
???
0
0
e
22
e
22
HH
EE
???
???
E)j(j ???? ??
)j(ec ???????? ???k若令
则上述齐次矢量亥姆霍兹方程可写为
??
???
???
???
0
0
2
c
2
2
c
2
HH
EE
k
k
若仍然令,且,则上式的解与前完全相同，
只要以 kc 代替 k 即可，即
xeE xE? 0?????? yExE xx
zkxx cEE j0 e ??
因常数 kc为 复数,令 kkk ????? j
c
112
2
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
????
??
????k
求得
112
2
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?????
??
????k
zkzkxx EE ?????? j0 ee
这样，电场强度的解可写为
式中第一个指数表示电场强度的 振幅 随 z 增加按指数规律不断 衰减,第
二个指数表示 相位 变化。因此,k?称为 相位常数,单位为 rad/m； k? 称
为 衰减常数,单位为 Np/m，而 kc 称为 传播常数 。
导电媒质中的相速为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
11
2
1
2
p
??
???
?
k
v
此式表明, 其相速不仅与媒质参数有关, 而且还与 频率 有关 。
各个频率分量的电磁波以 不同的 相速传播, 经过一段距离后, 各个
频率分量之间的相位关系将发生变化, 导致信号失真, 这种现象称为 色
散 。 所以导电媒质又称为 色散媒质 。
导电媒质中平面波的波长为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??
11
2
π2π2
2
??
???
?
?
k
可见，此时波长不仅与媒质特性有关，而且与频率的关系是 非线性 的。
导电媒质中的波阻抗 Zc为
e
c
j1 ?
?
??
??
? ?
?
?
??
?
? ?
?Z
可见，波阻抗为 复数 。
因为波阻抗为复数，电场强度与磁场强度的 相位不同 。
导电媒质中磁场强度为
z
EH x
y ?
??
??
j zk
xE
k cj
0c e
??
?? zkzkxE ??????? j0 ee)j1( ??
?
?
?
可见，磁场的振幅也不断 衰减,且磁场强度与电场强度的 相位不同 。
Ex
Hy
z
因为电场强度与磁场强度的 相位
不同，复能流密度的实部及虚部均不
会为零，这就意味着平面波在导电媒
质中传播时，既有单向流动的 传播 能
量，又有来回流动的 交换 能量。
两种 特殊 情况：
第一, 若, 具有 低 电导率的介质属于这种情况 。 此时, 可以
近似认为
?????
22
2
111 ?
?
??
?
????
?
??
?
??
??
?
??
?
?????k
?
??
2???k c ?
??Z那么
这些结果表明, 电场强度与磁场强度 同相, 但两者振幅仍不断 衰减 。 电
导率 ? 愈大, 则振幅衰减愈大 。
第二,若, 良 导体属于这种情况。此时可以近似认为?????
??
?
??
? ??
?
??
?
?? 21
π2 ??? ? ? fkk ?????? ????? fZ π)j1(jc ???
那么
此式表明, 电场强度与磁场强度 不同相, 且因 ? 较大, 两者振幅发
生 急剧衰减, 以致于电磁波无法进入良导体深处, 仅可存在其表面
附近, 这种现象称为 集肤效应 。
场强振幅衰减到表面处振幅 的深度称为 集肤深度, 以 ? 表
示, 则由
e1
1ee ???? ??k
??? fk π
11 ?
???
可见，集肤深度与频率 f 及电导率 ?成反比。
三种频率时 铜 的集肤深度
4103?f /MHz 0.05 1
? /mm 29.8 0.066 0.00038
可见，随着 频率升高,集肤深度 急剧地 减小。
因此，具有一定厚度的金属板即
可 屏蔽 高频时变电磁场。
对应于比值 的频率称为 界
限频率, 它是划分媒质属于低耗介质
或导体的界限 。
1????
31015?
41011?
16109.16 ?
16104.104 ?
媒 质 频 率 （ MHz）
干 土 2.6 （ 短波 ）
湿 土 6.0 （ 短波 ）
淡 水 0.22 （ 中波 ）
海 水 890 （ 超短波 ）
硅 （ 微波 ）
锗 （ 微波 ）
铂 （ 光波 ）
铜 （ 光波 ）
比值的大小实际上反映了传导电
流与位移电流的幅度之比 。 可见, 非
理想介质中以位移电流为主, 良导体
中以传导电流为主 。
平面波在导电媒质中传播时, 振幅不断衰减的物理原因是由于电
导率 ? 引起的 热 损耗, 所以 导电媒质 又称为 有耗媒质, 而电导率为零
的 理想介质 又称为 无耗媒质 。
一般说来, 媒质的损耗除了由于电导率引起的热损失以外, 媒质的
极化 和 磁化 现象也会产生损耗 。 考虑到这类损耗时, 媒质的介电常数及
磁导率皆为 复数, 即, 。??? ????? j ??? ????? j
复介电常数和复磁导率的 虚部 代表 损耗, 分别称为 极化损耗 和 磁
化损耗 。
非铁磁性物质可以不计 磁化 损耗 。
波长大于微波的电磁波, 媒质的 极化 损耗也可不计 。
例 已知向正 z 方向传播的均匀平面波的频率为 5 MHz, z = 0 处
电场强度为 x方向，其有效值为 100(V/m)。若 区域为海水，
其电磁特性参数为,试求, ① 该平面波
在海水中的相位常数、衰减常数、相速、波长、波阻抗和集肤深度。
② 在 z = 0.8m 处的电场强度和磁场强度的瞬时值以及复能流密度。
0?z
( S / m ) 4,1,80 rr ??? ???
解 ① π10 Hz105 76 ??? ?f
1180
8010
π36
1π10
4
97
???
?
?
??
?
? ?
?
???
?
( r a d / m) 89.8π ??? ??fk
可见, 对于 5MHz 频率的电磁波, 海水可以当作 良导体, 其相位常数为
( N p / m ) 89.8π ???? ??fk衰减常数为
(m ) 707.0π2 ???? k?
波长为
)Ω( πe)j1(2ππ)j1( 4
πj
c ????? ?
?fZ波阻抗 Zc为
( m / s ) 1053.3 6p ????? kv ?
相速为
( m )1 1 2.0π 1 ?? ??? f
集肤深度 ?为
( V / m ) ee1 0 0)( j zkzkxz ?????? eE
② 根据以上参数获知, 海水中电场强度的复振幅为
)(1)(
c
zZz z EeH ?? ( A /m ) ee100 j
c
zkzk
y Z
?????? e
磁场强度复振幅为
根据上述结果求得, 在 z = 0.8m处, 电场强度及磁场强度的瞬时值为
)8.089.8π10s i n (e2100),8.0( 78.089.8 ??? ?? tt xeE
)11.7π10s i n (115.0 7x ?? te
)411.7π10s i n (π1 1 5.0),8.0( 7 ???? tt yeH
)70.7π10s i n (0 3 6 6.0 7 ?? tye复能流密度为
)( W / m e106644e100 24j62
*
c
2
*
c zz
zk
Z eeHES
?
???? ????
?
?
???
????
可见，频率为 5MHz 的电磁波在海水中被强烈地衰减，因此位于
海水中的潜艇之间,不可能 通过海水中的直接波进行无线通信。必须
将其收发天线移至海水表面附近，利用海水表面的导波作用形成的 表
面波,或者利用电离层对于电磁波的,反射,作用形成的反射波作为
传输媒体实现无线通信。
电场 强度的 方向 随 时间 变化的规律称为电磁波的 极化特性 。
4,平面波的极化特性
设某一平面波的电场强度的瞬时值为
) s i n (),( m kztEtz xx ?? ?xeE
显然，在 空间 任一 固定点,电场强度矢量的端点随时间的变化轨
迹为与 x 轴平行的直线。因此，这种平面波的极化特性称为 线极化,
其 极化方向 为 x 方向。
设另一 同频率 的 y 方向极化的线极化 平面波的瞬时值为
) s i n (),( m kztEtz yyy ?? ?eE
上述两个 相互正交 的 线 极化平面波 Ex 及 Ey 具有 不同振幅,但具
有 相同的相位,它们合成后，其瞬时值的大小为
),(),(),( 22 tzEtzEtzE yx ?? ) ( s in2 m2 m kztEE yx ??? ?
可见，合成波的大小随时间的变化仍为正弦函数，合成波的方向与 x
轴的夹角 ?为
m
m
),(
),(t a n
x
y
x
y
E
E
tzE
tzE ???
可见，合成波的极化方向与时间无
关，电场强度矢量端点的变化轨迹是与 x
轴夹角为 ? 的一条直线。因此，合成波
仍然是 线极化波 。
Ey
Ex
E
Y
X?0
Ey
Ex
E
?
Ey
Ex
E
y
x? 0
由上可见,两个 相位相同, 振幅不等 的空间相互正交的线极化平面
波, 合成后仍然形成一个 线极化 平面波 。 反之, 任一线极化波可以分解
为两个相位相同, 振幅不等的空间相互正交的线极化波 。
若上述两个线极化波 Ex 及 Ey 的相位差为,但振幅皆为 Em,即
2π
) s i n (),( m kztEtzx ?? ?xeE
)2π s i n (),( m ??? kztEtz yy ?eE ) c o s (m kztEy ?? ?e
则合成波瞬时值的大小为
m22 ),(),(),( EtzEtzEtzE yx ???
合成波矢量与 x 轴的夹角 ?为
) (c o t),( ),(t a n kzttzE tzE
x
y ??? ?? )] (
2
πta n [ kz??? ?
) (2π kzta ??? ?
即
由此可见，对于某一固定的 z 点，夹角 ?为时间 t 的函数。电场强度矢
量的方向随时间不断地 旋转,但其 大小不变 。因此，合成波的电场强度
矢量的端点轨迹为一个 圆,这种变化规律称为 圆极化,如下图示。
上式表明，当 t 增加时，夹角 ?不断地减小，合成波矢量随着时间的旋转
方向与传播方向构成左旋关系，这种圆极化波称为 左旋 圆极化波。
Ey
Ex
E
y
x?0
左旋
右旋
z
y
x
0
若 Ey 比 Ex 滞后, 则合成波矢量与 x 轴的夹角 。
可见, 对于空间任一固定点, 夹角 ? 随时间增加而增加, 合成波矢量随
着时间的旋转方向与传播方向 ez 构成右旋关系, 因此, 这种极化波称为
右旋圆极化波 。
2π )2π( kzt ??? ??
由上可见，两个振幅相等，相位相差 的空间相互正交的 线 极化波，
合成后形成一个 圆 极化波。反之，一个 圆 极化波也可以分解为两个振幅
相等，相位相差 的空间相互正交的 线 极化波。
2
π
2
π
还可证明，一个 线 极化波可以分解为两个 旋转方向相反 的 圆 极化波。
反之亦然。
若上述两个相互正交的线极化波 Ex 和 Ey 具有 不同 振幅及 不同 相位,
即
??
?
???
??
)s in (),(
)s in (),(
m
m
??
?
kztEtz
kztEtz
yyy
xx
eE
eE x
则合成波的 Ex分量及 Ey分量满足下列方程
?? 2
mm
2
m
2
m
s i nc o s2)()( ???
yx
yx
y
y
x
x
EE
EE
E
E
E
E
这是一个椭圆方程，它表示合成波矢量的端
点轨迹是一个椭圆，因此，这种平面波称为 椭圆
极化波 。
?
y
x
E
x '
y '
Ey?m
Ex?m
当 ? < 0 时,Ey分量比 Ex滞后，与传播方向
ez 形成 右旋 椭圆极化波；当 ? > 0 时,Ey分量比
Ex导前，与传播方向 ez 形成 左旋 椭圆极化波。
前述的线极化波, 圆极化波均可看作为椭圆极化波的特殊情况 。 由
于各种极化波可以分解为线极化波的合成, 因此, 仅讨论 线极化 平面波
的传播特性 。
电磁波的极化特性获得 非常广泛 的实际应用 。 例如, 由于圆极化波穿
过雨区时受到的吸收衰减较小, 全天候雷达宜用圆极化波 。
在微波设备中，有些器件的功能就是利用了电磁波的极化特性获得的，
例如，铁氧体环行器及隔离器等。
在无线通信中, 为了有效地接收电磁波的能量, 接收天线的极化特性
必须与被接收电磁波的 极化特性一致 。
在移动卫星通信和卫星导航定位系统中，由于卫星姿态随时变更，应
该使用 圆极化 电磁波。
众所周知，光波也是电磁波。但是光波不具有固定的极化
特性，或者说，其极化特性是 随机 的。光学中将光波的极化称
为 偏振,因此，光波通常是 无偏振 的。
为了获得偏振光必须采取特殊方法。
立体电影是利用两个相互垂直的偏振镜头从不同的角度拍
摄的。因此，观众必须佩带一副左右相互垂直的偏振镜片，才
能看到立体效果。
5,平面边界上平面波的正投射
平面波在边界上的反射及透射规
律与 媒质特性 及 边界形状 有关 。 本教
材仅讨论平面波在 无限大的平面边界
上的反射及透射特性 。
边界
透射波
反射波入射波
正投射
边界
斜投射
首先讨论平面波向平面边界垂直
入射的 正投射 。
再讨论平面波以任意角度向平面
边界的 斜投射 。
?1?1?1 ?2?2?2
z
x
Y
设两种均匀媒质形成一个 无限大 的平面边界，两种媒质的参数分别
为 及,如下图示。)( 111 ??? )( 222 ???
建立直角坐标系,且令边界位
于 z = 0 平面。 当 x 方向极化的 线
极化 平面波由媒质 ① 向边界正投射
时，边界上发生反射波及透射波。S ttxE
tyH
S r
rxE
ryH
S i
ixE
iyH
已知电场的 切向分量 在任何边界上必须保持连续，因此，入射波
的电场切向分量与反射波的切向分量之和必须等于透射波的电场切向
分量。
发生反射与透射时，平面波的 极化特性 不会发生改变。
设入射波、反射波及透射波电场
强度的正方向如左图示。根据传播方
向，它们可以表示如下：
?1?1?1 ?2?2?2
z
x
y
S i
ixE
iyH
S r
rxE
ryH
反射波
zkxx EE 1cjr 0r e?
zkxx EE c1ji 0i e ??入射波
S t
txE
tyH
zkxx EE 2cjt 0t e ??
透射波
式中,, 分别为 z = 0 边界处 各波的振幅。i
0xE r0xE t0xE
因为当反射波为零时，入射波电场的切向分量等于透射波电场的切
向分量；当透射波为零时，反射波的电场切向分量 等于 入射波电场切向
分量的负值。可见，反射波及透射波仅可 与入射波 具有 相同的分量 。
相应的磁场强度分量为
zkx
y Z
EH 1cj
1c
i
0i e ??
入射波
zkx
y Z
EH 1cj
1c
r
0r e??
反射波
zkx
y Z
EH c2j
2c
t
0t e ??
透射波
已知电场强度的 切向分量 在任何边界上均是连续的，同时考虑到所
讨论的有限电导率边界上不可能存在表面电流，因而 磁场强度 的切向分
量也是连续的，于是在 z = 0 的边界上下列关系成立
zkx
y Z
EH 1cj
1c
r
0r e??
2c
t
0
1c
r
0
1c
i
0
Z
E
Z
E
Z
E xxx ??
边界上 反射波电场分量与入射波的电场分量之比称为 边界上 的
反射系数,以 R 表示。 边界上 的透射波电场分量与入射波电场分量
之比称为 边界上 的 透射系数,以 T 表示。那么，由上式求得
1c2c
1c2c
i
0
r
0
ZZ
ZZ
E
ER
x
x
?
???
c1c2
2c
i
0
t
0 2
ZZ
Z
E
ET
x
x
???
媒质 ① 中任一点的合成电场强度与磁场强度可以分别表示为
)e e()( 1c1c jji 0 zkzkxx REzE ?? ?
)e e()( c1c1 jj
1c
i
0 zkzkx
y RZ
EzH ?? ?
c12c
1c2ci
0
r
0 ZZ
ZZEE
xx ?
??
1c2c
2ci
0
t
0
2
ZZ
ZEE
xx ??
求得
第一,若媒质 ① 为理想介质,媒质 ② 为理想导体,
则两种媒质的波阻抗分别为
)0( 1 ?? )( 2 ???
1
1
1
c1 ZZ ?? ?
?
下面讨论两种特殊的边界 。
1??R 0?T求得
此结果表明，全部电磁能量被边界反射，无任何能量进入媒质②中，
这种情况称为 全反射 。
显然，这是完全符合 理想导电体 应具有的边界条件。
反射系数 R = ?1 表明，在边界上,即边界上反射波电场
与入射波电场 等值反相,因此边界上合成电场为 零 。
i 0r0 xx EE ??
0jc2 ?? ???Z
因媒质 ① 的传播常数,第一种媒质中任一点合成电
场 为
11c kk ?? ???
)(zEx
)ee()( 11 jji 0 zkzkxx EzE ?? ? zkE x 1i 0 s in2j?? 2πj1i 0 es i n2 ?? zkE x
对应的瞬时值为
)2π s i n (s i n22),( 1i 0 ?? tzkEtzE xx ? tzkE x c o ss i n22 1i 0 ???
此式表明, 媒质 ① 中合成 电场的相位仅与时间有关, 而 振幅随 z 的变
化为正弦函数 。 由上式可见, 在 处, 对于任何
时刻, 电场为零 。 在 处, 任何时刻的电场振幅总是最
大 。 这就意味着 空间各点合成波的相位相同, 同时达到最大或最小 。
平面波在空间没有移动, 只是在原处上下波动, 具有这种特点的电
磁波称为 驻波, 如下图示 。
21
?nz ??
4)12( 1
???? nz
)2 1,0,( ??n
Ex 0>0 t1 = 0
?1
21?
Z
?1 = 0 ?2 = ?
0
42
Tt ?
Tt 833 ?
zO
24
Tt ?
前述的无限大理想介质中传播
的平面波称为 行波 。 行波与驻波的
特性截然不同, 行波的相位沿传播
方向不断变化, 而 驻波的相位与空
间无关 。
Ex 0>0
z
?1
O
?1 = 0 ?2 = ?
42
Tt ?
24
Tt ?
Tt 833 ?
t1 = 0
21
?
振幅始终为零的地方称为驻波的
波节,而振幅始终为最大值的地方称
为驻波的 波腹 。
Ez(z,t)
zO
t1 = 0
42
Tt ?
23
Tt ?
?
?
2
? ?23
zkZEZEzH xzkzkxy 1
1
i
0jj
1
i
0 c o s2)ee()( 11 ??? ?
媒质 ① 中的合成磁场为
tzkZ EtzH xy s i nc o s22),( 1
1
i
0 ??
对应的瞬时值为
由此可见，媒质 ① 中的合成
磁场也形成驻波，但其零值及最
大值位臵与电场驻波的分布情况
恰好 相反,如左图示。 磁场 驻波
的波 腹 恰是 电场 驻波的波 节,而
磁场 驻波的波 节 恰是 电场 驻波的
波 腹 。
Hy 0
z
?1
O
?1 = 0 ?2 = ?
y
01?t
Tt 433 ?
42 Tt ?
此外，比较两种驻波分布还可见，电场与磁场的相位差为 。
因此，复能流密度的 实部为零,只存在虚部。这就意味着媒质 ①
中没有能量单向流动。能量仅在电场与磁场之间不断地进行交换，
这种能量的存在形式与处于谐振状态下的谐振电路中的能量交换
极为相似。
2
π
在 z = 0边界上, 媒质 ① 中的合成磁场分量为,
但媒质 ② 中, 所以在边界上此时发生磁场强度的切向分
量不连续, 因此边界上存在表面电流 JS,且
1
i
02)0(
Z
EH x
y ?
0)0(t ?yH
1
i
0
n
2)(
Z
EH x
xyzyS eHeeJ ??????
第二, 若媒质 ① 为理想介质 ? = 0, 媒质 ② 为一般导体, 则媒质
① 的波阻抗及传播常数分别为
1
1
1
1c ZZ ?? ?
? 1111c kk ?? ???
反射系数为 ?j
12c
12c || eR
ZZ
ZZR ?
?
??
式中 为 R 的振幅,?为 R 的相位。代入前述电场强度公式求得||R
)e||e()( )(jji 0 11 zkzkxx REzE ?? ?? ? zkzkx RE 11 j)2(ji 0 e)e||1( ???? ?
由此可见, 当 时, 处,
电场振幅取得 最大值, 即
π22 1 nzk ??? ),2,1 0,( ????n 1)π42( ???? nz
|)|1(|| i 0m a x REE xx ??
当 时,处，
电场振幅取得 最小值,即
π)12(2 1 ??? nzk? ),2,1 0,( ????n
1)π44
1
2( ?
???? nz
|)|1(|| i 0m i n REE xx ??
由于,因此，电场振幅位
于 0 与 之间，即,
此时电场驻波的空间分布如左图。
两个相邻振幅最大值或最小值之间
的距离为 半波长 。
1||0 ?? R
i02 xE i 02||0 xx EE ??
0
?1
z21?
maxE
minE
电场振幅的最大值与最小值之比称为 驻波比,以 S 表示 。那么
||1
||1
||
||
m i n
m a x
R
R
E
ES
?
???
可以证明，若两种媒质均是理想介质，当 时，边界处为电场
驻波的最大点；当 时，边界处为电场驻波的最小点。这个特性通
常用于微波测量。
12 ZZ ?
12 ZZ ?
上述情况不同于前述的完全驻波。此时媒质中既有向前传播的行波，
又包含能量交换的驻波。
||1
||1
||
||
m i n
m a x
R
R
E
ES
?
???
1,0|| ?? SR由此可见，当发生全反射时,。当 时，
此时反射消失。这种无反射的边界称为 匹配边界 。可见，驻波比的范围
是 。
??? SR,1|| 12c ZZ ?
??? S1
例 已知形成无限大平面边界的两种媒质的参为, ；
,当一右旋圆极化平面波由媒质①向媒质②垂直入射
时，试求反射波和折射波及其极化特性。
01 4?? ? 01 ?? ?
02 9?? ? 02 ?? ?
解 建立直角坐标系, 令边界平面
位于平面, 如左图示 。 已知入射波
为右旋圆极化, 因此入射波, 反射
波和入射波可以分别表示为
?1?1?1 ?2?2?2
z
x
Y
S t
txE
tyE
S r
rxE
ryE
S i
ixE
iyE
zkyxE 1j0i e)j( ??? eeE
zkyxRE 1j0r e)j( eeE ??
zkyxTE 3j0t e)j( ??? eeE
反射系数和透射系数分别为
5
1
2
1
3
1
2
1
3
1
12
12 ???
?
??
?
? ??
?
??
?
? ??
?
??
ZZ
ZZR
5
4
2
1
3
1
3
122
12
2 ??
?
??
?
? ??
?
??
?
??
?? ZZ
ZT
由于反射波及透射波的 y 分量仍然 滞后 于 x 分量,但反射波
的传播方向为负 z方向，因此变为 左旋 圆极化波。透射波的传播方
向仍沿正 z 方向，因此 还 是 右 旋圆极化波。
6,多层边界上平面波的正投射
先以三种媒质形成的多层媒质为例，说明平面波在多层媒质中的
传播过程及其求解方法。
Zc1 Zc2 Zc3
-l 0 z
① ② ③
?1xE ?3xE
?2xE
?2xE
?1xE
由此可见，在两条边界上发生 多次 反射与透射现象。
根据一维波动方程解的特性, 可以认为媒质 ① 和 ② 中仅存在 两种
平面波, 其一是向正 z 方向传播的波, 以 及 表示；另一是向负
z 方向传播的波, 以 及 表示 。 在媒质 ③ 中仅存在 一种 向正 z 方
向传播的波 。 那么各个媒质中的电场强度可以分别表示为
?1xE
?3xE
?2xE
?2xE
?1xE
lzEzE lzkxx c ?????? ??? e)( )(j101 1
lzEzE lzkxx c ?????? ???? e)( )(j101 1
0 e)( 2j202 ???? ?? zlEzE zkxx c
???? ??? zEzE zkxx c 0 e)( 3j303
0 e)( 2j202 ???? ??? zlEzE zkxx c
lzZEzH lzkxy ?????? ???? e)( )(j
1c
101 1c
lzZEzH lzkxy c ??????? ??? e)( )(j
1c
101 1
0 e)( 2cj
2c
202 ???? ?
?? zl
Z
EzH zkx
y
0 e)( 2cj
2c
202 ?????
?? zl
Z
EzH zkx
y
???? ??? zZEzH zkxy 0 e)( c3j
3c
303
相应的磁场强度分别为
??
???
???
?????
???
?????
)0(
)( ee
302020
j
20
j
201010
2c2c
zEEE
lzEEEE
xxx
lk
x
lk
xxx
根据 z = 0 和 z = ?l 两条边界上 电场切向分量 必须连续的边界条件，
得
根据两条边界上 磁场切向分量 必须连续的边界条件, 得
?
?
?
?
?
?
?
???
?????
???
?
????
)0(
)( ee
3
30
2c
20
2c
20
j
2c
20j
2c
20
1c
10
1c
10 2c2c
z
Z
E
Z
E
Z
E
lz
Z
E
Z
E
Z
E
Z
E
c
xxx
lkxlkxxx
上述两组方程中 是给定的, 四个方程中只有,, 及 等
四个未知数, 因此完全可以求解 。
?1xE ?3xE?2xE?2xE?1xE
对于 n 层媒质, 由于入射波是给定的, 且第 n 层媒质中只存在透
射波, 因此, 总共只有 (2n – 2) 个待求的未知数 。 但根据 n 层媒质形
成的 (n – 1) 条边界可以建立 2(n – 1) 个方程, 可见这个方程组足以求
解全部的未知数 。
如果仅需计算第一条边界上的总反射系数, 引入 输入波阻抗 概
念可以简化求解过程 。 在上述例子中, 我们定义媒质 ② 中 任一点 的
合成 电场与 合成 磁场之比称为 该点 的输入波阻抗, 以 Zin 表示, 即
)(
)()(
2
2
in zH
zEzZ
y
x?
已知媒质 ② 中合成电场为
zkxzkxx EEzE 2c2c j20j202 ee)( ??? ?? )ee( 2c2c j23j20 zkzkx RE ?? ??
式中 R23 为媒质 ② 和 ③ 之间的边界上反射系数。
根据前述反射系数定义, 求得
2c3c
2c3c
20
20
23 ZZ
ZZ
E
ER
x
x
?
???
?
?
那么，媒质 ② 中的合成磁场可以表示为
)ee()( c2c2 j23j
2c
20
2
zkzkx
y RZ
EzH ?? ??
zkZZ
zkZZZzZ
2cc3c2
2cc2c32cin
t a nj
t a nj)(
?
??
将上述结果代入输入波阻抗定义式中，得
已知在边界上两侧合成电场及合成磁场应该是连续的, 求得
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
??
)(
)(
)(
in
2
1c
10
1c
10
21010
lZ
lE
Z
E
Z
E
lEEE
xxx
xxx
?
?
?
10
10
x
x
E
ER第一条边界上 总 反射系数定义为
1cin
1cin
)(
)(
ZlZ
ZlZR
??
???则由上述结果求得
lkZZ
lkZZZlZ
c23c2c
2c2c3c2cin
t a nj
t a nj)(
?
???式中
由此可见, 引入输入波阻抗以后, 对第一层媒质来说, 第二层及
第三层媒质可以看作为波阻抗为 Zin(?l) 的一种媒质 。 已知第二层媒质
的厚度和电磁参数以及第三媒质的电磁参数即可求出输入波阻抗 Zin(?l) 。
上述方法实质上是电路中经常采用的 网络分析 方法, 即只需考虑后
臵媒质的总体影响, 不必关心后臵媒质的内部结构 。
对于 n 层媒质, 如下图示 。
其过程是，首先求出第 (n?2) 条边界处向右看的输入波阻抗,则
对于第 (n?2) 层媒质来说，可用波阻抗为 的媒质代替第 (n?1)层及第 n
层媒质。
)2(in?nZ
)2(in?nZ
Zc1 Zc2 Zc3
(n-2) (n-1)(3)(2)(1)
Zc(n-2) Zc(n-1) Zc n
)2(in?nZ(2)inZ)1(inZ
依次类推，自右向左逐一计算各条边界上向右看的输入波阻抗，直至
求得第一条边界上向右看的输入波阻抗后，即可计算 总 反射系数。
Z1 ZnZ3Z2 Zn-1Zn-2
1
)1(
in
1
)1(
in
ZZ
ZZR
?
??
(1)inZ
Z1
)2(in?nZ
Z1 Z3Z2 Zn-2
)2(inZ
Z1 Z2
)3(inZ
Z3Z1 Z2
例 设两种理想介质的波阻抗分别为 Z1 与 Z2, 为了消除边界反射, 可
在两种理想介质中间插入厚度为四分之一波长 （ 该波长是指平面波在
夹层中的波长 ） 的理想介质夹层, 试求夹层的波阻抗 Z 。
解 如左图示, 首先求出第一条边界
上向右看的输入波阻抗 。 考虑到
4
??l
Z1 Z Z2
②①
4? 2
π
2 ?lk
2
2
2
in Z
Z
Z
ZZZ ??求得第一条边界上输入波阻抗为
为了消除反射, 必须要求, 那么由上式得
1in ZZ ?
2
2
1 Z
ZZ ? 21 ZZZ ?
由上例可见, 输入波阻抗的方法是一种 阻抗变换 方法 。 利用四
分之一波长夹层的阻抗变换作用消除了边界反射, 达到 匹配 。
当然, 这种变换仅在给定的 单一频率 点完全匹配, 因此仅适用于
窄带系统 。
由微波电路的传输线理论得知, 利用 四分之一 波长的传输线可以
实现阻抗变换, 此时既可变更传输线的 长度 又能保证 匹配 。
可见输入波阻抗的变化与 正切函数 的变化规律一致, 每当 l 增加半个
波长, 其值不变, 即厚度为 半波长 或 半波长整数倍 的介质夹层没有
阻抗变换作用 。
已知输入波阻抗公式为
lkZZ
lkZZZlZ
2c3c2c
2c2c3c2cin
t a nj
t a nj)(
?
???
此外, 如果该例中夹层媒质的相对介电常数 等于 相对磁导率, 即
? r = ?r, 那么, 夹层媒质的波阻抗等于真空的波阻抗 。
由此可见, 若使用这种媒质制成保护天线的 天线罩, 其电磁特性十
分优越 。 但是, 由前获悉, 普通媒质的磁导率很难与介电常数达到同一
数量级 。 近来研发的 新型磁性材料 可以接近这种需求 。
当这种夹层臵于空气中, 平面波向其表面正投射时, 无论夹层的厚
度如何, 反射现象均不可能发生 。 换言之, 这种媒质对于电磁波似乎是
完全, 透明, 的 。
