第七章 时变电磁场
主 要 内 容
位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数，
能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。
1,位移电流
位移电流 不是电荷 的运动，而是一种 人为定义 的概念。
对于静态场, 由于电荷分布与时间无关, 因此获得电流连续性
原理, 即
0d ???S SJ 0??? J
电荷守恒原理表明
t
q
S ?
????? SJ d
t?
????? ?J
对于 时变 电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推
出电流连续性原理。但是电流连续是 客观存在 的物理现象，为此必须扩
充前述的电流概念。
静电场的高斯定律 同样适用于时变电场。代入上述电
荷守恒定律，得
qS ??? d SD
0d ???????? ???? S StDJ
相应的微分形式为
0??????? ????? tDJ
不是由电子运动形成的 传导 电流或 运流
电流，而是人为定义的 位移电流 。
?
真空 电容器中通过的 时变 电流是什么？
显然, 上式中 具有电流密度量纲 。
t?
?D
t?
?? DJ
d
0d)( d ???? S SJJ 0)( d ???? JJ
那么，求得
英围物理学家麦克斯韦将 称为 位移电流密度, 以 Jd 表示, 即
t?
?D
引入位移电流以后, 时变电流仍然是连续的 。 由于此时包括了 传
导 电流, 运流 电流及 位移 电流, 因此, 上式称为 全 电流连续性原理 。
由定义可见, 位移电流密度 是 电通密度 的时间变化率, 或者说是
电场 的时间变化率 。
在 静 电场中, 由于, 自然 不 存在位移电流 。
0???tD
在 时变 电场中, 电场变化 愈快, 产生的位移电流密度也 愈大 。
在电导率较低的媒质中,
cd JJ ??
cd JJ ??
在良导体中,
在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为 位移电流 也可产
生 磁场,因此前述的安培环路定律变为
SJJlH d)(d d ???? ?? Sl
SDJlH d)(d ?????? ?? Sl t t?????? DJH
即
上两式称为 全电流定律 。它表明，时变磁场是由 传导 电流,运流 电流以
及 位移 电流共同产生的。
已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见,时变电场 可以产生
时变磁场 。
电磁感应定律表明,时变磁场 可以产生 时变电场 。因此，麦克斯韦
引入位移电流概念以后，预见 时变电场 与 时变磁场 相互转化的特性可能
会在空间形成 电磁波 。
2,麦克斯韦方程
静态场中的 高斯定理 及 磁通连续性原理 对于时变电磁场 仍然成立。
那么，对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为 四 个方程，其积分形式和微
分形式分别如下：
SDJlH d)(d ?????? ?? Sl t
SBlE dd ?????? ?? Sl t
0d ??? S SB
qS ??? d SD
积分形式
t?
????? DJH
t?
????? BE
0??? B
???? D
微分形式
全电流定律
电磁感应定律
磁通连续性原理
高斯定律
可见，时变 电场 是 有旋有散的,时变 磁场 是 有旋无散的 。但是，
时变电磁场中的电场与磁场是 不可分割 的，因此，时变电磁场 是有旋
有散场 。
SDJlH d)(d ?????? ?? Sl t
SBlE dd ?????? ?? Sl t
0d ??? S SB
qS ??? d SD
积分形式
t?
????? DJH
t?
????? BE
0??? B
???? D
微分形式
在电荷及电流均不存在的 无源区 中，时变电磁场是有旋 无 散的。
电场线与磁场线 相互交链, 自行闭合,从而在空间形成 电磁波 。
时变 电场 的方向与时变 磁场 的方向处处 相互垂直 。
为了 完整 地描述时变电磁场的特性, 麦克斯韦方程还应包括 电荷
守恒 方程以及说明 场量 与 媒质 特性关系的方程, 即
t?
????? ?J ED ?? HB ?? JEJ ??? ?
麦克斯韦方程组中各个方程 不是 完全独立的。可以由第 1,2 方程
导出第 3,4 方程，或反之。
对于不随时间变化的静态场，则
0???????????? tttt BHDE
那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程,电
场 与 磁场 不再相关,彼此独立 。
式中 代表产生时变电磁场的 电流 源或非电的 外 源 。J?
在简单的形式下隐藏着 深奥 的内容, 这些内容
只有 仔细 的研究才能显示出来, 方程是表示场的 结构 的定律 。 它不像
牛顿定律那样, 把此处发生的事件与彼处的条件联系起来, 而是把 此
处 的 现在 的场只与最 邻近 的刚 过去 的场发生联系 。
爱因斯坦 （ 1879-1955） 在他所著的, 物理学演变, 一书中关于麦
克斯韦方程的一段评述：, 这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上
的一个 重要事件, 它是关于场的 定量 数学描述, 方程所包含的意义比
我们指出的要丰富得多 。
假使我们已知 此处
的 现在 所发生的事件, 藉助这些方程便可 预测 在 空间 稍为远一些, 在
时间 上稍为迟一些所发生的事件, 。
麦克斯韦方程除了对于 科学技术 的发展具有 重大 意义外，对于
人类历史 的进程也起了 重要 作用。
正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的, 弗曼物理学讲义,
中写道, 从人类历史的漫长远景来看 ── 即使过 一万年 之后回头来
看 ── 毫无疑问，在十九世纪中发生的 最有意义 的事件将判定是麦
克斯韦对于电磁定律的发现,与这一重大科学事件相比之下,同
一个十年中发生的 美国内战 （ 1861-1865）将会降低为一个 地区性
琐事而黯然失色, 。
处于信息时代的今天, 从婴儿 监控 器到各种 遥控 设备, 从 雷达 到
微波炉, 从 地面 广播电视到 太空卫星 广播电视, 从地面 移动 通信到
宇宙 星际 通信, 从室外 无线 局域网到室内 蓝牙 技术, 以及 全球卫星
定位导航系统 等, 无不利用 电磁波 作为 传播媒体 。
无线 信息高速公路更使人们能在 任何地点, 任何时间 同 任何人 取
得联系, 发送所需的文本, 声音或图象信息 。 电磁波的传播还能制
造一种身在远方的感觉, 形成无线 虚拟现实 。
电磁波获得如此广泛的应用, 更使我们深刻地体会到 19世纪的麦
克斯韦和赫兹对于人类 文明 和 进步 的伟大贡献 。
3,时变 电磁场的边界条件
适合 静态 场的各种边界条件 原则上 可以直接推广到 时变 电磁场 。
第一,在 任何 边界上 电场强度 的 切向 分量是连续的,即
因为只要 磁感应强度 的 时间变化率 是 有限 的，那么由电磁感应定
律的积分形式
2t1t EE ?
或写成矢量形式 0)( 12n ??? EEe
SBlE dd ?????? ?? Sl t
即可获得上面结果。
对于 各向同性 的 线性 媒质，上式又可写为
2
t2
1
t1
??
DD ?
①
② en
第二,在 任何 边界上,磁感应强度 的 法向 分量是连续的。
由磁通连续性原理，即可证明
2nn1 BB ?
或写成矢量形式 0)( 12n ??? BBe
第三，电通密度 的 法向 分量边界条件与 媒质 特性有关。
在 一般 情况下，由高斯定律求得
SDD 1n2n ???
或写成矢量形式 S???? )( 12n DDe
式中 ?s 为边界表面上 自由 电荷的面密度 。
对于 各向同性 的 线性 媒质, 上式又可表示为
n22 n11 HH ?? ?
对于两种 理想介质 形成的边界, 由于不可能存在 表面 自由电荷,
因此
可见,两种 理想 介质形成的边界上, 电通密度的法向分量是 连续 的 。
2n1n DD ?
第四,磁场强度 的 切向分量边界条件也与媒质 特性有关 。
在一般情况下，由于边界上不可能存在 表面电流,根据全电流定
律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得
t21t HH ?
0)( 12n ??? HHe或写成矢量形式
在 理想导电 体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分
量是不连续的。
对于 各向同性 的 线性 介质, 上式又可写为
2n2 n11 EE ?? ?
在 理想导电体内部 不可能存在 时变电磁场 及 时变的传导电流, 它
们只可能分布在理想导电体的 表面 。
已知在 任何 边界上,电场 强度的 切向 分量及 磁感应 强度的 法向 分
量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在 电场切向 分量及 磁场法
向 分量，即 时变电场 必须 垂直 于理想导电体的表面，而时变 磁场 必须
与其表面 相切 。
? ? ?
E(t),B (t),J (t) = 0
E ≠ 0 ? J = ?E ??
H ≠ 0 ? E ≠ 0
J ≠ 0 ? H ≠ 0
因,由前式得0
1n ?D
SD ??2n
或
S??? De n
由于理想导电体表面存在 表面电流 Js,设表面电流密度的方向与
积分回路构成 右旋 关系，因,求得0
1t ?H
SH J?2t SJHe ??n
或
E
H?,?
???
en
et ①②
H1t
H2t JS
例 已知内截面为 a ?b 的 矩形 金属波导中的时变电磁场的各分量为
) s in (πc o s0 zktxaHH zzz ???????? ?
) c o s (πs in0 zktxaHH zxx ???????? ?
) c o s (πs in0 zktxaEE zyy ???????? ?
其坐标如图示。试求
波导中的 位移电流 分
布和波导 内壁 上的 电
荷 及 电流 分布。波导
内部为真空 。
a
z
y
x
b
x
z y
x
y
z
?g
b
a
磁场线
电场线
??
?? ??
?? ??
?
?
?
?
?
?
解 ① 由前式求得位移电流为
t?
?? DJ
d ) s in (
πs in
0 zktxaEe zyy ???
??
?
??? ???
② 在 y = 0 的内壁上
yyyS E ) ( ??? ??? Ee
zxxzzxyS HH eeHHeJ ?????? )(
在 y = b 的内壁上
yyyS E ) ( ??? ????? Ee
zxxzzxyS HH eeHHeJ ?????? )(
在 x = 0 的侧壁上,0?
xH
) s i n () s i n ( 00 zktHzktH zzyzzzxS ?????? ?? eeeJ
) s i n ()) s i n (( 00 zktHzktH zzyzzzxS ???????? ?? eeeJ
0?xH在 x = a 的侧壁上，
在 x = 0 及 x = a 的侧壁上，因,所以 。0?
yE 0?S?
z
y
x
内壁电流
4,标量位与矢量位
JHH ?????????? 22 t??
设媒质是 线性均匀 且 各向同性 的, 那么由 Maxwell 方程可得
tt ?
???
?
?????? JEE ???
2
2
利用矢量恒等式,同时考到 及
，那么上述两式变为
AAA 2?????????? 0??? B
???? D
JHH ???????? 222 t??
????? ????????? 1222 tt JEE
JHH ???????? 222 t??
????? ????????? 1222 tt JEE
由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂。为了简化求解过
程，引入 标量位 与 矢量位 作为 求解 时变电磁场的两个 辅助函数 将是行之
有效的。
AB ???
式中 A 称为 矢量位 。将上式代入式 中，得
t?
????? BE
)( AE ???????? t
已知,因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度，即可令0??? B
上式又可改写为
0??????? ????? tAE
由此可见, 矢量场 为 无旋 场 。 因此它可以用一个标量
场 ? 的 梯度 来表示, 即可令
?????? ??? tAE
??????? tAE
式中 ? 称为 标量位 。 由此得
??????? tAE
注意，这里的矢量位 A及标量位 ? 均是 时间 及 空间 函数。
当它们与 时间无关 时，矢量位 A 及标量位 ? 与场量的关系和 静
态场 完全相同。因此矢量位 A 又称为 矢量磁位,标量位 ? 又称为 标
量电位 。
为了导出 位函数 与 源 的关系，根据位函数定义式及 麦克斯韦方程,
求得
?
?
?
?
???
???????
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??????
t
tt
A
A
JA
2
2
JAAA ???? ???
?
?
???
?
?
???
?
???????
tt 2
2
2 )(
?
?? ????
?
??? )(2 A
t
利用矢量恒等式, 上两式又可写为 AAA 2??????????
已经规定了矢量场 A 的 旋度,,必须再规定其 散度 。BA ???
t
Φ
?
????? ??A
则前两式可以简化为
JAA 222 ??? ?????? t
?
??? ??
?
???
2
22
t
ΦΦ
罗伦兹条件
由上可见，按照罗伦兹条件规定 A 的散度后，原来两个相互 关联 的方
程变为两个 独立 方程。 矢量位 A仅与电流 J 有关，标量位 ? 仅与电
荷 ? 有关。
原则上，其散度值可以 任意 给定，但是为了 简化 计算，由上式可
知，若令
由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A和标量位 ?。
求出 A及 ? 以后，即可求出电场与磁场。
原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程, 在三维空间中需要
求解 6 个坐标分量
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
JHH ???????? 222 t?? ????? ????????? 1222 tt JEE
这样,麦克斯韦方程 的求解归结为 位函数方程 的求解，而且求解过
程显然得到了 简化 。
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量 。 在直角坐标系中, 实际上等于
求解 1 个标量方程 。
JAA 222 ??? ?????? t ???? ?????? 222 tΦΦ
根据静态场的结果, 采用类比的方法, 推出其解 。
5,位函数方程的求解
当时变点电荷位于坐标 原点 时, 其场分布一定具有 球对称 特点, 即
场量 仅 为变量 r 的函数, 与球坐标变量 ? 及 ?无关 。 那么, 在 除 坐标原
点以外整个 无源 （ ?= 0） 空间, 位函数满足的方程式为
首先求解位于坐标原点的时变 点电荷 产生的矢量位，然后利用 叠加
原理 导出任意分布的时变 体电荷 的解。
????????? rt rvr r 0 0) (1) ( 22222 ??
??
1?v
式中
上式为函数（ ?r）的齐次 波动 方程，其通解为
?????? ???????? ?? vrtfvrtfr 21 ?
由后面分析可以获知, 式中第二项不符合实际的 物理条件, 应该
舍去 。 因此, 求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为
r
v
rtf
tΦ
?
?
??
?
? ?
?
1
),( r
已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为Vq d ??
r
V
π4
d )(
?
?? ?r
将此式同上式比较, 可见函数 f1 为
Vv
rt
v
rtf d
π4
1 ?
? ?
?
??
?
? ?
??
?
??
?
? ?
因此, 求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为
Vrv
rt
t d π4
),( d ?
?
?
?????? ?
?r
式中 r为体元 dV 至场点的距离。 对于位于 V? 中的 任意 体分布
电荷, 如图示 。
V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ????
? ?
?
d
π4
1),(
rr
rr,r
r
?
?
?
r' r
z
y
x
? (r,t)
V '
dV'
???
?
???
? ????
vt
rrr,?
r' - r
0
在 r 处产生的电位由上式积分
求得
为了求出矢量位函数 A,可将矢量位函数方程在直角坐标系中展
开, 则各个分量均满足 结构相同 的非齐次标量波动方程式, 即
x
x
x Jt
AA
2
2
2 ??? ??
?
???
y
y
y Jt
AA
2
2
2 ??? ??
?
???
zzz Jt
AA
2
22 ??? ??
?
???
显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，
矢量位 A的解为
V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ????
? ?
?
d
,
π4
),(
rr
rrrJ
rA ?
式中 V ' 为电流 J 的分布区域 。
V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ????
? ?
?
d
π4
1),(
rr
rr,r
r
?
?
? V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ????
? ?
?
d
,
π4
),(
rr
rrrJ
rA ?
上两式表明，空间某点在时刻 t 产生的位必须根据时刻
的场源分布函数进行求积。换言之，位于 r 处 t 时刻的场强 不是 由同一
时刻 t 的源的分布决定的，而是取决于比 t 时刻 导前 的时刻
的源分布。
???
?
???
? ???
vt
rr
???
?
???
? ???
vt
rr
v
rr ??
这就意味着，位于 r? 处的源产生的场传到 r 处需要一段时间，这段
时差就是 。
已知 ( r – r ' )为源点至场点的距离，因此 v 代表电磁波的 传播速度 。
由式 可见, 电磁波的 传播速度 与 媒质特性 有关 。 在真空
中, 最新测得的数据为
??
1?v
)m / s( 1032 9 9 7 9 2 4 5 81 8
00
???? ??v
这就是光波在真空中的传播速度，或简称为 光速 。光速通常以 c 表示。
值得注意的是, 即使在某一时刻 源 已消失, 只要前一时刻源还存
在, 它们原来产生的空间 场 仍然存在, 这就表明源已将电磁能量释放
到空间, 而空间电磁能量可以脱离源单独存在, 这种现象称为 电磁辐
射 。
当 静止 电荷或 恒定 电流一旦消失, 它们所产生的静电场或恒定磁场
也随之失去, 因而静态场又称为 束缚场, 没有辐射作用 。
若源随时间变化 很快,空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附
近也会有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取
决于空间距离，也与源的 变化快慢 有关。
位于时变源 附近 的时变电磁场, 时差很小, 场强随时间的变化基本
上与源的变化 同步, 所以 近处 的时变场称为 似稳场 。
离开时变源很远的地方，由于时差很大，辐射效应显著，所以 远处 的
时变场称为 辐射场 。
为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的 高频 电流激励发射
天线，而通常 50Hz 交流电 不可能有效地辐射电磁能量。
由于标量电位 ? 和矢量磁位 A 随着时间的变化总是 落后 于源, 因
此, 位函数 ?及 A 通常称为 滞后位 。
前式中的第二项 不符合实际的物理条件。因为 意味
着场比源 导前,这就不符合先有源后有场的 因果关系 。
?????? ? vrtf2 ?????? ?vrt
那么，它又可理解为向 负 r 方向传播的波，也就是来自无限远处的 反射
波。
?????? ?vrt当然，因子 又可写为
v
rt
v
rt )(????
对于点电荷所在的 无限大 的自由空间，这种反射波是不可能存在的 。
对于 面 分布及 线 分布的电荷及电流, 可以类似推出它们产生的标
量位和矢量位 。 其结果分别如下：
? ? ???
???
?
???
? ????
?
S
S
Sv
t
t d
,
π4
1),(
rr
rrr
r
?
?
? ?
?
?
??
???
?
???
? ????
?
S
S
Sv
t
t d
,
π4
),(
rr
rrrJ
rA ?
? ? ???
???
?
???
? ????
?
l
l
l
v
t
t d
,
π4
1),(
rr
rrr
r
?
?
? ?
?
?
??
???
?
???
? ????
?
l
l
v
tI
t d
,
π4
),(
rr
rrr
rA ?
应注意上述公式仅可用于 均匀、线性、各向同性 的媒质。
6,能量密度与能流密度矢量
静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变
电磁场。
),( 21),( 2e tEtw rr ??电场能量密度
),( 21),( 2m tHtw rr ??磁场能量密度
),( ),( 2 tEtp l rr ??损耗功率密度
因此，时变电磁场的能量密度为
? ?),( ),( 21),( 22 tHtEtw rrr ?? ??
对于 各向同性 的 线性 媒质
可见，时变场的能量密度是 空间 及 时间 的函数，而且时变电磁场
的能量还会 流动 。
为了衡量这种能量流动的 方向 及 强度,引入 能量流动密度矢量,
其 方向 表示能量 流动 方向，其 大小 表示 单位 时间内 垂直 穿过单位面
积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的 功率,所以能量流动密度
矢量又称为 功率 流动密度矢量。
能量流动密度矢量在英美书刊中称为 坡印亭 矢量，在俄罗斯书
刊中称为 乌莫夫 矢量。
能量流动密度矢量或简称为 能流密度 矢量以 S 表示,单位为
W/m2。
能流密度矢量 S 与电场强度 E 及磁场强度 H 的关系如何？
设 无外源 (J ' = 0,? = 0) 的区域 V 中, 媒质是 线性 且 各向同性 的,
则此区域中麦克斯韦方程为
t?
????? EEH ??
t?
????? HE ?
0) ( ??? H?
0) ( ??? E?
利用矢量恒等式, 将上式代入, 整理
后求得
HEEHHE ??????????? )(
222 2 2 )( EEtHt ??? ??
?
??
?
?
?
???
?
??
?
?
?
?????? HE
将上式两边对区域 V 求积，得
? ? ??????????V V V VEVHEtV 222 d d) (21d)( ???HE
?,?,?
E,H V
考虑到,那么? ? ??????
V SV d)(d)( SHEHE
? ?? ???????? V VS VHEtVE 222 d) (21d d)( ???SHE
根据能量密度的定义，上式又可表示为
??? ??????? VSHE dd )(d VpVwt lSV
上式称为时变 电磁场的能量定理 。 任何满足上述麦克斯韦方程的时变
电磁场均必须服从该能量定理 。
矢量 （ ） 代表垂直穿
过单位面积的功率, 因此, 就
是前述的能流密度矢量 S,
即
HE?
?,?,?
E,H
HES ??
S
HES ??
此式表明, S 与 E 及 H 垂直 。 又知, 因此, S,E 及 H 三者
在空间是 相互垂直 的, 且由 E 至 H 与 S 构成 右旋 关系, 如图示 。
HE?
S
E
H
能流密度矢量的 瞬时值 为
),(),(),( tHtEtS rrr ?
可见，能流密度矢量的 瞬时值 等于电场强度
和磁场强度的瞬时值的 乘积 。
只有当两者 同时 达到最大值时，能流密度才达到 最大 。若某一时刻
电场强度 或 磁场强度为 零,则在该时刻能流密度矢量为 零 。
7,惟一性定理
在 闭合面 S 包围的区域 V 中, 当 t = 0时刻的电场强度 E 及磁场强
度 H 的 初始值 给定时, 又在 t > 0 的时间内, 只要 边界 S 上的电场强度
切向 分量 Et 或 磁场强度的 切向 分量 Ht给定后, 那么在 t > 0 的 任一时
刻, 体积 V 中 任一点 的电磁场由麦克斯韦方程 惟一地 确定 。
利用麦克斯韦方程导出的 能量定理, 采用 反证法 即可证明这个定理 。
V
S
E t (r,t)
or
H t (r,t)
E(r,0)
&
H(r,0 )
E( r,t),H(r,t )
8,正弦电磁场
一种特殊的时变电磁场, 其场强的 方向 与时间无关, 但其 大小
随时间的变化规律为 正弦函数, 即
))( s i n ()(),( em rrErE ?? ?? tt
式中 Em(r) 仅 为空间函数, 它是正弦时间函数的 振幅 。 ? 为 角频率 。
?e(r)为正弦函数的 初始相位 。
由傅里叶变换得知, 任一周期性或非周期性的时间函数在一定
条件下均可分解为很多正弦函数之和 。 因此, 我们 着重 讨论正弦电
磁场是具有 实际意义 的 。
正弦 电磁场又称为 时谐 电磁场。
正弦电磁场是由随 时间 按 正弦 变化的时变 电荷 与 电流 产生的 。 虽
然场的变化 落后 于源, 但是 场 与 源 随时间的变化 规律 是 相同 的, 所以
正弦电磁场的 场 和 源 具有 相同 的 频率 。
对于这些 相同频率 的正弦量之间的运算可以采用 复数方法, 即 仅
须考虑正弦量的 振幅 和 空间 相位, 而略去 时间 相位 ? t 。 那么,
对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量 表示为
)(e r?
)(m rE?
)(jmm ee )()( rrErE ???
原来的 瞬时 矢量和 复 矢量的关系为
]e )(I m [),( jm tt ?rErE ??
实际中, 通常 测得 的是正弦量的 有效值 （ 即平方的周期平均值 ）,
以 表示正弦量的有效值, 则)(rE?
)(j e)()( rrErE ?e??
)(2)(m rErE ?? ?
2
)()( m rErE ?式中
所以 最大值 表示复矢量和 有效值 表示复矢量的之间的关系为
无论何种表示方法, 复 矢量 仅 为 空间 函数, 与 时间 无关 。
有的书刊将正弦电磁场表示为
) c o s ()(),( em ?? ?? tt rErE
则瞬时矢量与复矢量的关系为 ))(R e(),( j
m tet ?rErE ??
只有 频率相同 的正弦量之间才能使用 复 矢量的方法进行运算。
9,麦克斯韦方程的复数形式
已知 正弦 电磁场的 场 与 源 的 频率相同, 因此可用 复矢量 形式表
示麦克斯韦方程 。
)e)( jI m (),( jm tt t ?? rErE ???? )e)(2jI m ( j t?? rE??
考虑到正弦时间函数的时间导数为
? ? ? ? ? ?ttt DJH ??? ? jjj e2 jIme2Im)e2I m ( ??? ????
? ? ? ?? ?tt DJH ?? ? jj e2 j2Im)e2(Im ??? ????或写为
因为上式对于 任何时刻 均成立, 故 虚部 符号可以 消去 。 那么
DJH ??? 2 j22 ?????
因此, 麦克斯韦第一方程 可表示为
t?
????? EEH ??
DJH ??? j?????
同理可得
BE ?? j?????
0??? B?
??? ??? D
?? ?? j???? J
ED ?? ??
HB ?? ??
JEJ ??? ??? ?
以及
上述方程称为麦克斯韦方程的 复数形式, 式中各量均为 有效值 。
当 t = 0 时,得 ? ? ? ?DJH ??? 2 j2Im)2(Im ?????
? ? ? ?? ?j2 j2Imj)2(Im DJH ??? ?????
当, 时,得
4
Tt ?
2
?? ?t
? ? ? ?? ?DJH ??? 2 j2Re)2(Re ?????即
? ? ? ?? ?tt DJH ?? ? jj e2 j2Im)e2(Im ??? ????已知
例 已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为
) s i n () π10s i n (2),( zktxt zy ?? ?erE
试求其磁场强度的复数形式 。
解 根据时变电场瞬时值, 求得其有效值的复数形式为
zky zx je) π10s i n ()( ?? erE
由于电场仅有 y 分量，且与变量 y 无关，即 。那么0?
?
?
y
Ey
x
E
z
E y
z
y
x ?
??
?
????? eeE zkzzkzx zz xxk jj e ) π10c o s ( π10e) π10s i n (j ?? ?? ee
zk
z
z
x zxx
k- j
0 0
e) π10c o s ( π10j) π10s in ( ??
?
??
?
? ??
???? eeH
又知
HBE 0jj ??? -- ???? EH ???
0
j
??
麦克斯韦方程的复数形式
t?
????? ?J
ED ??
HB ??
JEJ ??? ?
t?
????? DJH
t?
????? BE
0??? B
???? D
DJH ??? j?????
BE ?? j?????
0??? B?
??? ??? D
?? ?? j???? J
ED ?? ??
HB ?? ??
JEJ ??? ??? ?
瞬时形式 (r,t) 复数形式 (r)
10,位函数的复数形式
对于 正弦 电磁场, 位函数也可用 复矢量 表示 。
考虑到 时间滞后 因子, 对于 正弦 函数, 表现的 相位滞后 为
。
???
?
???
? ???
v
rr
???
?
???
? ???
v
rr?
令
vk
???? ??
rrrr ??????? kv?
则
JAA 222 ??? ?????? t
?
??? ??
?
???
2
22
t
ΦΦ JAA ??? 22 ???? ????
?
?????? ??? ???? 22
那么, 位函数方程解 的复数形式
罗伦兹条件的复数形式
正弦电磁场与位函数的关系
V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ??
??
? ?
?
d
π4
1),(
rr
rr
,r
r
?
?
?
V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ??
??
? ?
?
d
,
π4
),(
rr
rr
rJ
rA ?
VV
k
????? ?
?
??
de)(π4)(
j
rr
rJrA r-r?? ?
VV
k
????? ?
?
??
de)( π4 1)(
j
rr
rr r-r?
??
??
t
Φ
?
????? ??A )( j)( rrA ???? ?? ????
??????? tAE
AB ??? AB ?? ???
?????? j j j
AAAE ????? ??????????
11,能量密度与能流密度矢量的复数形式
已知时变电磁场的电场及磁场能量密度
),( 21),( 2e tEtw rr ??
),( 21),( 2m tHtw rr ??
以 最大值 表示的复数形式
)( 21)( 2mem rr Ew ??
)( 21)( 2mmm rr Hw ??
*EEr mmem
2
1)( ?? ?? ?w *HHr
mmmm 2
1)( ?? ?? ?w
或者表示为
式中 及 分别为复矢量 及 的 共轭值 。*E
m? *Hm? mE? mH?
瞬时形式
正弦量的有效值为瞬时值 平方 的周期平均值，所以正弦电磁场
的能量密度的 周期 平均值为
ttwTw T d ),(1 0 av ?? r ?????????????? ?? ttHTttET TT d ),( 12d),( 12 0 2 0 2 rr ??
)( 21)( 21 22av rr HEw ?? ??
即
式中 E(r)及 H(r) 均为 有效值 。
或者以场强的 最大值 表示为
** HHEE mmmmav
4
1
4
1 ???? ???? ??w
)(21 mmemav www ??
或者表示为
*HHEE ???? ????
2
1
2
1 *
av ??w
上式又可写为
)(21 mmemav www ??
上式表明，正弦电磁场能量密度的周期 平均值 等于电场能量密度
与磁场能量密度的 最大值 之和的 一半 。
同样，损耗功率密度也可用复矢量表示。其最大值为
*EErr mm2mm )()( ?? ??? ?? Ep l
*mm2av 21 )( )( EEEErr * ???? ????? ??? Ep l
平均值为
可见，损耗功率密度的平均值也是最大值之半。
),(),(),( ttt rHrErS ?? ? ? ) s i n () s i n ()()( hemm ???? ???? ttrHrE
已知能流密度矢量 S 的 瞬时值 为
其 周期平均值 为
ttT d ),(1)( 0 av ?? T rSrS ? ? )c o s ()()(21 h emm ?? ??? rHrE
复 能流密度矢量 Sc，令
)()()( *c rHrErS ?? ??
式中 及 均为 有效值 。)(rE? )(rH*?
)()(21)( mmc rHrErS *?? ??
又可用场强 最大值 表示为
那么, 复 能流密度矢量 Sc的 实 部及 虚 部分别为
? ? )c o s ()()(21)R e ( hemmc ?? ??? rHrES
? ? )s i n ()()(21)I m ( hemmc ?? ??? rHrES
可见,复 能流密度矢量的 实部 就是能流密度矢量的 平均值,即
)()R e( avc rSS ?
同时表明，复能流密度矢量的 实部 及 虚部 不仅取决于电场及磁场的
振幅 大小，而且与电场及磁场的 相位 密切相关。
t
t
t
t
电场强度
磁场强度
当电场与磁场 同相 时，即
π2he n?? ??
当电场与磁场 反相 时，即
π)12(he ??? n??
当电场与磁场的相位差为 的
奇数倍，即,则 实 部
为 零, 虚 部为最大正值 或 负值。
2
π
2π)12(he ??? n??
? ? )c o s ()()(21)R e ( hemmc ?? ??? rHrES
? ? )s i n ()()(21)I m ( hemm ?? ??? rHrES c
若电场与磁场的相位差为 任意值 时，则虚部及实部均 不 为零。
则 实 部为 最大正值, 虚 部为 零 。
则实部为最大 负 值，虚部仍然为 零 。
V
V
V
VS
d) ( j
d d)(
*
**
*
EEHH
EESHE
????
???
????
?????
?
??
???
?
能量定理 也可用 复 矢量表示为
? ? Vww
V
V
V lS
d )()(2 j
d )( d)(
eavm a v
c
rr
rPSrS
??
???
?
??
?
即
此式称为 复能量定理 。由此可见,流进 S 内的复能流密度矢量通量的
实部等于 S 内 消耗 的功率，这就表明,Sc 的 实部 的确代表 单向 流动的
能量。
由此可见，复能流密度矢量的 实部 表示能量 流动, 虚部 表示能量
交换 。
正弦电磁场的惟一性定理
后面各章 仅 研究 正弦 电磁场，为了书写简便起见，今后均以
E(r),H (r)或者 E,H 表示正弦电磁场 复矢量 的有效值，而略去
顶标, ·” 号。以 E(r,t),H (r,t)或 E(t),H (t)表示正弦电磁场的
瞬时值。
初始条件 不再需要,无源区中的正弦电磁场被其 边界 上的电
场切向分量或磁场切向分量惟一地确定 。
V
S
E(r,0)
&
H(r,0 )
E( r,t),H(r,t )E( r),(r) E
t (r,t)
or
Ht (r,t)
Et (r)
or
Ht (r)
例 已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为
) s i n () π10s i n (2),( zktxt zy ?? ?erE
试求其能流密度矢量的平均值 。
解 根据时变电场瞬时值, 求得其有效值的复数形式为
zky zx je) π10s i n ()( ?? erE
EH ???
0
j
??
又知
由于时变电场仅有 y 分量，且与变量 y 无关，即 。那么0?
?
?
y
Ey
x
E
z
E y
z
y
x ?
??
?
????? eeE zkzzkzx zz xxk jj e ) π10c o s ( π10e) π10s i n (j ?? ?? ee
zk
z
z
x zxx
k- j
0 0
e) π10c o s ( π10j) π10s in ( ??
?
??
?
? ??
???? eeH
*c HES ?? ) π20s i n (
2
π10j) π10(s i n
0
2
0
xxk xzz ???? ee ??
) π10(s in 2
0
av x
k z
z ??eS ?
求得 复 能流密度矢量为
其实部就是平均值，即
zk
z
z
x zxx
k- j
0 0
e) π10c o s ( π10j) π10s in ( ??
?
??
?
? ??
???? eeH
zky zx je) π10s i n ()( ?? erE
由
解题思路
要求电场和磁场强度的复值
已知电场强度的瞬时值
求出电场强度的复值
再求磁场强度的复值
复能流密度矢量
？
？
？
？
能流密度矢量瞬时值？
电场和磁场的瞬时值
？
已知电场强度的瞬时值
求出磁场强度的瞬时值
？
？
？？
例 若真空中正弦电磁场的电场复矢量为
试求电场强度的瞬时值 E (r,t)，磁感应强度的复矢量 B (r ) 及复能流密
度矢量 Sc。
)3(π05.0 je)3j2j()( zxzyx ?????? eeerE
解 π1.01)3(π05.0
2 ???k 7
00
1042.9 ???? ??? kkv
)]3(π05.01042.9s i n [)3j2j(2)( 7 zxt,t zyx ??????? eeerE
EB ???? ?j1 )3(π05.0je)3j2(10 π zxzyx ????? eee?
? ?zx eeHES ???? 35 2
0
*
c ??
?
位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数
能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。
主 要 内 容
位移电流,麦克斯韦方程,边界条件，位函数
能流密度矢量,正弦电磁场, 复能流密度矢量 。
主 要 概 念
瞬时形式和复数形式 最大值和有效值位移电流
能流密度矢量
主 要 内 容
位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数，
能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。
1,位移电流
位移电流 不是电荷 的运动，而是一种 人为定义 的概念。
对于静态场, 由于电荷分布与时间无关, 因此获得电流连续性
原理, 即
0d ???S SJ 0??? J
电荷守恒原理表明
t
q
S ?
????? SJ d
t?
????? ?J
对于 时变 电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推
出电流连续性原理。但是电流连续是 客观存在 的物理现象，为此必须扩
充前述的电流概念。
静电场的高斯定律 同样适用于时变电场。代入上述电
荷守恒定律，得
qS ??? d SD
0d ???????? ???? S StDJ
相应的微分形式为
0??????? ????? tDJ
不是由电子运动形成的 传导 电流或 运流
电流，而是人为定义的 位移电流 。
?
真空 电容器中通过的 时变 电流是什么？
显然, 上式中 具有电流密度量纲 。
t?
?D
t?
?? DJ
d
0d)( d ???? S SJJ 0)( d ???? JJ
那么，求得
英围物理学家麦克斯韦将 称为 位移电流密度, 以 Jd 表示, 即
t?
?D
引入位移电流以后, 时变电流仍然是连续的 。 由于此时包括了 传
导 电流, 运流 电流及 位移 电流, 因此, 上式称为 全 电流连续性原理 。
由定义可见, 位移电流密度 是 电通密度 的时间变化率, 或者说是
电场 的时间变化率 。
在 静 电场中, 由于, 自然 不 存在位移电流 。
0???tD
在 时变 电场中, 电场变化 愈快, 产生的位移电流密度也 愈大 。
在电导率较低的媒质中,
cd JJ ??
cd JJ ??
在良导体中,
在时变电场中，由于位移电流存在，麦克斯韦认为 位移电流 也可产
生 磁场,因此前述的安培环路定律变为
SJJlH d)(d d ???? ?? Sl
SDJlH d)(d ?????? ?? Sl t t?????? DJH
即
上两式称为 全电流定律 。它表明，时变磁场是由 传导 电流,运流 电流以
及 位移 电流共同产生的。
已知位移电流是由时变电场形成的，由此可见,时变电场 可以产生
时变磁场 。
电磁感应定律表明,时变磁场 可以产生 时变电场 。因此，麦克斯韦
引入位移电流概念以后，预见 时变电场 与 时变磁场 相互转化的特性可能
会在空间形成 电磁波 。
2,麦克斯韦方程
静态场中的 高斯定理 及 磁通连续性原理 对于时变电磁场 仍然成立。
那么，对于时变电磁场，麦克斯韦归纳为 四 个方程，其积分形式和微
分形式分别如下：
SDJlH d)(d ?????? ?? Sl t
SBlE dd ?????? ?? Sl t
0d ??? S SB
qS ??? d SD
积分形式
t?
????? DJH
t?
????? BE
0??? B
???? D
微分形式
全电流定律
电磁感应定律
磁通连续性原理
高斯定律
可见，时变 电场 是 有旋有散的,时变 磁场 是 有旋无散的 。但是，
时变电磁场中的电场与磁场是 不可分割 的，因此，时变电磁场 是有旋
有散场 。
SDJlH d)(d ?????? ?? Sl t
SBlE dd ?????? ?? Sl t
0d ??? S SB
qS ??? d SD
积分形式
t?
????? DJH
t?
????? BE
0??? B
???? D
微分形式
在电荷及电流均不存在的 无源区 中，时变电磁场是有旋 无 散的。
电场线与磁场线 相互交链, 自行闭合,从而在空间形成 电磁波 。
时变 电场 的方向与时变 磁场 的方向处处 相互垂直 。
为了 完整 地描述时变电磁场的特性, 麦克斯韦方程还应包括 电荷
守恒 方程以及说明 场量 与 媒质 特性关系的方程, 即
t?
????? ?J ED ?? HB ?? JEJ ??? ?
麦克斯韦方程组中各个方程 不是 完全独立的。可以由第 1,2 方程
导出第 3,4 方程，或反之。
对于不随时间变化的静态场，则
0???????????? tttt BHDE
那么，上述麦克斯韦方程变为前述的静电场方程和恒定磁场方程,电
场 与 磁场 不再相关,彼此独立 。
式中 代表产生时变电磁场的 电流 源或非电的 外 源 。J?
在简单的形式下隐藏着 深奥 的内容, 这些内容
只有 仔细 的研究才能显示出来, 方程是表示场的 结构 的定律 。 它不像
牛顿定律那样, 把此处发生的事件与彼处的条件联系起来, 而是把 此
处 的 现在 的场只与最 邻近 的刚 过去 的场发生联系 。
爱因斯坦 （ 1879-1955） 在他所著的, 物理学演变, 一书中关于麦
克斯韦方程的一段评述：, 这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上
的一个 重要事件, 它是关于场的 定量 数学描述, 方程所包含的意义比
我们指出的要丰富得多 。
假使我们已知 此处
的 现在 所发生的事件, 藉助这些方程便可 预测 在 空间 稍为远一些, 在
时间 上稍为迟一些所发生的事件, 。
麦克斯韦方程除了对于 科学技术 的发展具有 重大 意义外，对于
人类历史 的进程也起了 重要 作用。
正如美国著名的物理学家弗曼在他所著的, 弗曼物理学讲义,
中写道, 从人类历史的漫长远景来看 ── 即使过 一万年 之后回头来
看 ── 毫无疑问，在十九世纪中发生的 最有意义 的事件将判定是麦
克斯韦对于电磁定律的发现,与这一重大科学事件相比之下,同
一个十年中发生的 美国内战 （ 1861-1865）将会降低为一个 地区性
琐事而黯然失色, 。
处于信息时代的今天, 从婴儿 监控 器到各种 遥控 设备, 从 雷达 到
微波炉, 从 地面 广播电视到 太空卫星 广播电视, 从地面 移动 通信到
宇宙 星际 通信, 从室外 无线 局域网到室内 蓝牙 技术, 以及 全球卫星
定位导航系统 等, 无不利用 电磁波 作为 传播媒体 。
无线 信息高速公路更使人们能在 任何地点, 任何时间 同 任何人 取
得联系, 发送所需的文本, 声音或图象信息 。 电磁波的传播还能制
造一种身在远方的感觉, 形成无线 虚拟现实 。
电磁波获得如此广泛的应用, 更使我们深刻地体会到 19世纪的麦
克斯韦和赫兹对于人类 文明 和 进步 的伟大贡献 。
3,时变 电磁场的边界条件
适合 静态 场的各种边界条件 原则上 可以直接推广到 时变 电磁场 。
第一,在 任何 边界上 电场强度 的 切向 分量是连续的,即
因为只要 磁感应强度 的 时间变化率 是 有限 的，那么由电磁感应定
律的积分形式
2t1t EE ?
或写成矢量形式 0)( 12n ??? EEe
SBlE dd ?????? ?? Sl t
即可获得上面结果。
对于 各向同性 的 线性 媒质，上式又可写为
2
t2
1
t1
??
DD ?
①
② en
第二,在 任何 边界上,磁感应强度 的 法向 分量是连续的。
由磁通连续性原理，即可证明
2nn1 BB ?
或写成矢量形式 0)( 12n ??? BBe
第三，电通密度 的 法向 分量边界条件与 媒质 特性有关。
在 一般 情况下，由高斯定律求得
SDD 1n2n ???
或写成矢量形式 S???? )( 12n DDe
式中 ?s 为边界表面上 自由 电荷的面密度 。
对于 各向同性 的 线性 媒质, 上式又可表示为
n22 n11 HH ?? ?
对于两种 理想介质 形成的边界, 由于不可能存在 表面 自由电荷,
因此
可见,两种 理想 介质形成的边界上, 电通密度的法向分量是 连续 的 。
2n1n DD ?
第四,磁场强度 的 切向分量边界条件也与媒质 特性有关 。
在一般情况下，由于边界上不可能存在 表面电流,根据全电流定
律，只要电通密度的时间变化率是有限的，可得
t21t HH ?
0)( 12n ??? HHe或写成矢量形式
在 理想导电 体表面上可以形成表面电流，此时磁场强度的切向分
量是不连续的。
对于 各向同性 的 线性 介质, 上式又可写为
2n2 n11 EE ?? ?
在 理想导电体内部 不可能存在 时变电磁场 及 时变的传导电流, 它
们只可能分布在理想导电体的 表面 。
已知在 任何 边界上,电场 强度的 切向 分量及 磁感应 强度的 法向 分
量是连续的，因此理想导体表面上不可能存在 电场切向 分量及 磁场法
向 分量，即 时变电场 必须 垂直 于理想导电体的表面，而时变 磁场 必须
与其表面 相切 。
? ? ?
E(t),B (t),J (t) = 0
E ≠ 0 ? J = ?E ??
H ≠ 0 ? E ≠ 0
J ≠ 0 ? H ≠ 0
因,由前式得0
1n ?D
SD ??2n
或
S??? De n
由于理想导电体表面存在 表面电流 Js,设表面电流密度的方向与
积分回路构成 右旋 关系，因,求得0
1t ?H
SH J?2t SJHe ??n
或
E
H?,?
???
en
et ①②
H1t
H2t JS
例 已知内截面为 a ?b 的 矩形 金属波导中的时变电磁场的各分量为
) s in (πc o s0 zktxaHH zzz ???????? ?
) c o s (πs in0 zktxaHH zxx ???????? ?
) c o s (πs in0 zktxaEE zyy ???????? ?
其坐标如图示。试求
波导中的 位移电流 分
布和波导 内壁 上的 电
荷 及 电流 分布。波导
内部为真空 。
a
z
y
x
b
x
z y
x
y
z
?g
b
a
磁场线
电场线
??
?? ??
?? ??
?
?
?
?
?
?
解 ① 由前式求得位移电流为
t?
?? DJ
d ) s in (
πs in
0 zktxaEe zyy ???
??
?
??? ???
② 在 y = 0 的内壁上
yyyS E ) ( ??? ??? Ee
zxxzzxyS HH eeHHeJ ?????? )(
在 y = b 的内壁上
yyyS E ) ( ??? ????? Ee
zxxzzxyS HH eeHHeJ ?????? )(
在 x = 0 的侧壁上,0?
xH
) s i n () s i n ( 00 zktHzktH zzyzzzxS ?????? ?? eeeJ
) s i n ()) s i n (( 00 zktHzktH zzyzzzxS ???????? ?? eeeJ
0?xH在 x = a 的侧壁上，
在 x = 0 及 x = a 的侧壁上，因,所以 。0?
yE 0?S?
z
y
x
内壁电流
4,标量位与矢量位
JHH ?????????? 22 t??
设媒质是 线性均匀 且 各向同性 的, 那么由 Maxwell 方程可得
tt ?
???
?
?????? JEE ???
2
2
利用矢量恒等式,同时考到 及
，那么上述两式变为
AAA 2?????????? 0??? B
???? D
JHH ???????? 222 t??
????? ????????? 1222 tt JEE
JHH ???????? 222 t??
????? ????????? 1222 tt JEE
由此可见，时变电磁场的场强与场源的关系比较复杂。为了简化求解过
程，引入 标量位 与 矢量位 作为 求解 时变电磁场的两个 辅助函数 将是行之
有效的。
AB ???
式中 A 称为 矢量位 。将上式代入式 中，得
t?
????? BE
)( AE ???????? t
已知,因此 B 可以表示为矢量场 A 的旋度，即可令0??? B
上式又可改写为
0??????? ????? tAE
由此可见, 矢量场 为 无旋 场 。 因此它可以用一个标量
场 ? 的 梯度 来表示, 即可令
?????? ??? tAE
??????? tAE
式中 ? 称为 标量位 。 由此得
??????? tAE
注意，这里的矢量位 A及标量位 ? 均是 时间 及 空间 函数。
当它们与 时间无关 时，矢量位 A 及标量位 ? 与场量的关系和 静
态场 完全相同。因此矢量位 A 又称为 矢量磁位,标量位 ? 又称为 标
量电位 。
为了导出 位函数 与 源 的关系，根据位函数定义式及 麦克斯韦方程,
求得
?
?
?
?
???
???????
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
??????
t
tt
A
A
JA
2
2
JAAA ???? ???
?
?
???
?
?
???
?
???????
tt 2
2
2 )(
?
?? ????
?
??? )(2 A
t
利用矢量恒等式, 上两式又可写为 AAA 2??????????
已经规定了矢量场 A 的 旋度,,必须再规定其 散度 。BA ???
t
Φ
?
????? ??A
则前两式可以简化为
JAA 222 ??? ?????? t
?
??? ??
?
???
2
22
t
ΦΦ
罗伦兹条件
由上可见，按照罗伦兹条件规定 A 的散度后，原来两个相互 关联 的方
程变为两个 独立 方程。 矢量位 A仅与电流 J 有关，标量位 ? 仅与电
荷 ? 有关。
原则上，其散度值可以 任意 给定，但是为了 简化 计算，由上式可
知，若令
由上可见，已知电流及电荷分布，即可求出矢量位 A和标量位 ?。
求出 A及 ? 以后，即可求出电场与磁场。
原来电磁场方程为两个结构复杂的矢量方程, 在三维空间中需要
求解 6 个坐标分量
位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程
JHH ???????? 222 t?? ????? ????????? 1222 tt JEE
这样,麦克斯韦方程 的求解归结为 位函数方程 的求解，而且求解过
程显然得到了 简化 。
在三维空间中仅需求解 4 个坐标分量 。 在直角坐标系中, 实际上等于
求解 1 个标量方程 。
JAA 222 ??? ?????? t ???? ?????? 222 tΦΦ
根据静态场的结果, 采用类比的方法, 推出其解 。
5,位函数方程的求解
当时变点电荷位于坐标 原点 时, 其场分布一定具有 球对称 特点, 即
场量 仅 为变量 r 的函数, 与球坐标变量 ? 及 ?无关 。 那么, 在 除 坐标原
点以外整个 无源 （ ?= 0） 空间, 位函数满足的方程式为
首先求解位于坐标原点的时变 点电荷 产生的矢量位，然后利用 叠加
原理 导出任意分布的时变 体电荷 的解。
????????? rt rvr r 0 0) (1) ( 22222 ??
??
1?v
式中
上式为函数（ ?r）的齐次 波动 方程，其通解为
?????? ???????? ?? vrtfvrtfr 21 ?
由后面分析可以获知, 式中第二项不符合实际的 物理条件, 应该
舍去 。 因此, 求得位于原点的时变点电荷产生的标量电位为
r
v
rtf
tΦ
?
?
??
?
? ?
?
1
),( r
已知位于原点的静止点电荷 产生的电位为Vq d ??
r
V
π4
d )(
?
?? ?r
将此式同上式比较, 可见函数 f1 为
Vv
rt
v
rtf d
π4
1 ?
? ?
?
??
?
? ?
??
?
??
?
? ?
因此, 求得位于原点的时变点电荷产生的标量位为
Vrv
rt
t d π4
),( d ?
?
?
?????? ?
?r
式中 r为体元 dV 至场点的距离。 对于位于 V? 中的 任意 体分布
电荷, 如图示 。
V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ????
? ?
?
d
π4
1),(
rr
rr,r
r
?
?
?
r' r
z
y
x
? (r,t)
V '
dV'
???
?
???
? ????
vt
rrr,?
r' - r
0
在 r 处产生的电位由上式积分
求得
为了求出矢量位函数 A,可将矢量位函数方程在直角坐标系中展
开, 则各个分量均满足 结构相同 的非齐次标量波动方程式, 即
x
x
x Jt
AA
2
2
2 ??? ??
?
???
y
y
y Jt
AA
2
2
2 ??? ??
?
???
zzz Jt
AA
2
22 ??? ??
?
???
显然，对于每一个分量均可求得结构如同前式的解。三个分量合成后，
矢量位 A的解为
V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ????
? ?
?
d
,
π4
),(
rr
rrrJ
rA ?
式中 V ' 为电流 J 的分布区域 。
V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ????
? ?
?
d
π4
1),(
rr
rr,r
r
?
?
? V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ????
? ?
?
d
,
π4
),(
rr
rrrJ
rA ?
上两式表明，空间某点在时刻 t 产生的位必须根据时刻
的场源分布函数进行求积。换言之，位于 r 处 t 时刻的场强 不是 由同一
时刻 t 的源的分布决定的，而是取决于比 t 时刻 导前 的时刻
的源分布。
???
?
???
? ???
vt
rr
???
?
???
? ???
vt
rr
v
rr ??
这就意味着，位于 r? 处的源产生的场传到 r 处需要一段时间，这段
时差就是 。
已知 ( r – r ' )为源点至场点的距离，因此 v 代表电磁波的 传播速度 。
由式 可见, 电磁波的 传播速度 与 媒质特性 有关 。 在真空
中, 最新测得的数据为
??
1?v
)m / s( 1032 9 9 7 9 2 4 5 81 8
00
???? ??v
这就是光波在真空中的传播速度，或简称为 光速 。光速通常以 c 表示。
值得注意的是, 即使在某一时刻 源 已消失, 只要前一时刻源还存
在, 它们原来产生的空间 场 仍然存在, 这就表明源已将电磁能量释放
到空间, 而空间电磁能量可以脱离源单独存在, 这种现象称为 电磁辐
射 。
当 静止 电荷或 恒定 电流一旦消失, 它们所产生的静电场或恒定磁场
也随之失去, 因而静态场又称为 束缚场, 没有辐射作用 。
若源随时间变化 很快,空间场强的滞后现象更加显著，即使在源附
近也会有显著的电磁辐射现象。所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取
决于空间距离，也与源的 变化快慢 有关。
位于时变源 附近 的时变电磁场, 时差很小, 场强随时间的变化基本
上与源的变化 同步, 所以 近处 的时变场称为 似稳场 。
离开时变源很远的地方，由于时差很大，辐射效应显著，所以 远处 的
时变场称为 辐射场 。
为了向空间辐射电磁能量，必须使用变化很快的 高频 电流激励发射
天线，而通常 50Hz 交流电 不可能有效地辐射电磁能量。
由于标量电位 ? 和矢量磁位 A 随着时间的变化总是 落后 于源, 因
此, 位函数 ?及 A 通常称为 滞后位 。
前式中的第二项 不符合实际的物理条件。因为 意味
着场比源 导前,这就不符合先有源后有场的 因果关系 。
?????? ? vrtf2 ?????? ?vrt
那么，它又可理解为向 负 r 方向传播的波，也就是来自无限远处的 反射
波。
?????? ?vrt当然，因子 又可写为
v
rt
v
rt )(????
对于点电荷所在的 无限大 的自由空间，这种反射波是不可能存在的 。
对于 面 分布及 线 分布的电荷及电流, 可以类似推出它们产生的标
量位和矢量位 。 其结果分别如下：
? ? ???
???
?
???
? ????
?
S
S
Sv
t
t d
,
π4
1),(
rr
rrr
r
?
?
? ?
?
?
??
???
?
???
? ????
?
S
S
Sv
t
t d
,
π4
),(
rr
rrrJ
rA ?
? ? ???
???
?
???
? ????
?
l
l
l
v
t
t d
,
π4
1),(
rr
rrr
r
?
?
? ?
?
?
??
???
?
???
? ????
?
l
l
v
tI
t d
,
π4
),(
rr
rrr
rA ?
应注意上述公式仅可用于 均匀、线性、各向同性 的媒质。
6,能量密度与能流密度矢量
静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变
电磁场。
),( 21),( 2e tEtw rr ??电场能量密度
),( 21),( 2m tHtw rr ??磁场能量密度
),( ),( 2 tEtp l rr ??损耗功率密度
因此，时变电磁场的能量密度为
? ?),( ),( 21),( 22 tHtEtw rrr ?? ??
对于 各向同性 的 线性 媒质
可见，时变场的能量密度是 空间 及 时间 的函数，而且时变电磁场
的能量还会 流动 。
为了衡量这种能量流动的 方向 及 强度,引入 能量流动密度矢量,
其 方向 表示能量 流动 方向，其 大小 表示 单位 时间内 垂直 穿过单位面
积的能量。或者说，垂直穿过单位面积的 功率,所以能量流动密度
矢量又称为 功率 流动密度矢量。
能量流动密度矢量在英美书刊中称为 坡印亭 矢量，在俄罗斯书
刊中称为 乌莫夫 矢量。
能量流动密度矢量或简称为 能流密度 矢量以 S 表示,单位为
W/m2。
能流密度矢量 S 与电场强度 E 及磁场强度 H 的关系如何？
设 无外源 (J ' = 0,? = 0) 的区域 V 中, 媒质是 线性 且 各向同性 的,
则此区域中麦克斯韦方程为
t?
????? EEH ??
t?
????? HE ?
0) ( ??? H?
0) ( ??? E?
利用矢量恒等式, 将上式代入, 整理
后求得
HEEHHE ??????????? )(
222 2 2 )( EEtHt ??? ??
?
??
?
?
?
???
?
??
?
?
?
?????? HE
将上式两边对区域 V 求积，得
? ? ??????????V V V VEVHEtV 222 d d) (21d)( ???HE
?,?,?
E,H V
考虑到,那么? ? ??????
V SV d)(d)( SHEHE
? ?? ???????? V VS VHEtVE 222 d) (21d d)( ???SHE
根据能量密度的定义，上式又可表示为
??? ??????? VSHE dd )(d VpVwt lSV
上式称为时变 电磁场的能量定理 。 任何满足上述麦克斯韦方程的时变
电磁场均必须服从该能量定理 。
矢量 （ ） 代表垂直穿
过单位面积的功率, 因此, 就
是前述的能流密度矢量 S,
即
HE?
?,?,?
E,H
HES ??
S
HES ??
此式表明, S 与 E 及 H 垂直 。 又知, 因此, S,E 及 H 三者
在空间是 相互垂直 的, 且由 E 至 H 与 S 构成 右旋 关系, 如图示 。
HE?
S
E
H
能流密度矢量的 瞬时值 为
),(),(),( tHtEtS rrr ?
可见，能流密度矢量的 瞬时值 等于电场强度
和磁场强度的瞬时值的 乘积 。
只有当两者 同时 达到最大值时，能流密度才达到 最大 。若某一时刻
电场强度 或 磁场强度为 零,则在该时刻能流密度矢量为 零 。
7,惟一性定理
在 闭合面 S 包围的区域 V 中, 当 t = 0时刻的电场强度 E 及磁场强
度 H 的 初始值 给定时, 又在 t > 0 的时间内, 只要 边界 S 上的电场强度
切向 分量 Et 或 磁场强度的 切向 分量 Ht给定后, 那么在 t > 0 的 任一时
刻, 体积 V 中 任一点 的电磁场由麦克斯韦方程 惟一地 确定 。
利用麦克斯韦方程导出的 能量定理, 采用 反证法 即可证明这个定理 。
V
S
E t (r,t)
or
H t (r,t)
E(r,0)
&
H(r,0 )
E( r,t),H(r,t )
8,正弦电磁场
一种特殊的时变电磁场, 其场强的 方向 与时间无关, 但其 大小
随时间的变化规律为 正弦函数, 即
))( s i n ()(),( em rrErE ?? ?? tt
式中 Em(r) 仅 为空间函数, 它是正弦时间函数的 振幅 。 ? 为 角频率 。
?e(r)为正弦函数的 初始相位 。
由傅里叶变换得知, 任一周期性或非周期性的时间函数在一定
条件下均可分解为很多正弦函数之和 。 因此, 我们 着重 讨论正弦电
磁场是具有 实际意义 的 。
正弦 电磁场又称为 时谐 电磁场。
正弦电磁场是由随 时间 按 正弦 变化的时变 电荷 与 电流 产生的 。 虽
然场的变化 落后 于源, 但是 场 与 源 随时间的变化 规律 是 相同 的, 所以
正弦电磁场的 场 和 源 具有 相同 的 频率 。
对于这些 相同频率 的正弦量之间的运算可以采用 复数方法, 即 仅
须考虑正弦量的 振幅 和 空间 相位, 而略去 时间 相位 ? t 。 那么,
对于电场强度可用一个与时间无关的复矢量 表示为
)(e r?
)(m rE?
)(jmm ee )()( rrErE ???
原来的 瞬时 矢量和 复 矢量的关系为
]e )(I m [),( jm tt ?rErE ??
实际中, 通常 测得 的是正弦量的 有效值 （ 即平方的周期平均值 ）,
以 表示正弦量的有效值, 则)(rE?
)(j e)()( rrErE ?e??
)(2)(m rErE ?? ?
2
)()( m rErE ?式中
所以 最大值 表示复矢量和 有效值 表示复矢量的之间的关系为
无论何种表示方法, 复 矢量 仅 为 空间 函数, 与 时间 无关 。
有的书刊将正弦电磁场表示为
) c o s ()(),( em ?? ?? tt rErE
则瞬时矢量与复矢量的关系为 ))(R e(),( j
m tet ?rErE ??
只有 频率相同 的正弦量之间才能使用 复 矢量的方法进行运算。
9,麦克斯韦方程的复数形式
已知 正弦 电磁场的 场 与 源 的 频率相同, 因此可用 复矢量 形式表
示麦克斯韦方程 。
)e)( jI m (),( jm tt t ?? rErE ???? )e)(2jI m ( j t?? rE??
考虑到正弦时间函数的时间导数为
? ? ? ? ? ?ttt DJH ??? ? jjj e2 jIme2Im)e2I m ( ??? ????
? ? ? ?? ?tt DJH ?? ? jj e2 j2Im)e2(Im ??? ????或写为
因为上式对于 任何时刻 均成立, 故 虚部 符号可以 消去 。 那么
DJH ??? 2 j22 ?????
因此, 麦克斯韦第一方程 可表示为
t?
????? EEH ??
DJH ??? j?????
同理可得
BE ?? j?????
0??? B?
??? ??? D
?? ?? j???? J
ED ?? ??
HB ?? ??
JEJ ??? ??? ?
以及
上述方程称为麦克斯韦方程的 复数形式, 式中各量均为 有效值 。
当 t = 0 时,得 ? ? ? ?DJH ??? 2 j2Im)2(Im ?????
? ? ? ?? ?j2 j2Imj)2(Im DJH ??? ?????
当, 时,得
4
Tt ?
2
?? ?t
? ? ? ?? ?DJH ??? 2 j2Re)2(Re ?????即
? ? ? ?? ?tt DJH ?? ? jj e2 j2Im)e2(Im ??? ????已知
例 已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为
) s i n () π10s i n (2),( zktxt zy ?? ?erE
试求其磁场强度的复数形式 。
解 根据时变电场瞬时值, 求得其有效值的复数形式为
zky zx je) π10s i n ()( ?? erE
由于电场仅有 y 分量，且与变量 y 无关，即 。那么0?
?
?
y
Ey
x
E
z
E y
z
y
x ?
??
?
????? eeE zkzzkzx zz xxk jj e ) π10c o s ( π10e) π10s i n (j ?? ?? ee
zk
z
z
x zxx
k- j
0 0
e) π10c o s ( π10j) π10s in ( ??
?
??
?
? ??
???? eeH
又知
HBE 0jj ??? -- ???? EH ???
0
j
??
麦克斯韦方程的复数形式
t?
????? ?J
ED ??
HB ??
JEJ ??? ?
t?
????? DJH
t?
????? BE
0??? B
???? D
DJH ??? j?????
BE ?? j?????
0??? B?
??? ??? D
?? ?? j???? J
ED ?? ??
HB ?? ??
JEJ ??? ??? ?
瞬时形式 (r,t) 复数形式 (r)
10,位函数的复数形式
对于 正弦 电磁场, 位函数也可用 复矢量 表示 。
考虑到 时间滞后 因子, 对于 正弦 函数, 表现的 相位滞后 为
。
???
?
???
? ???
v
rr
???
?
???
? ???
v
rr?
令
vk
???? ??
rrrr ??????? kv?
则
JAA 222 ??? ?????? t
?
??? ??
?
???
2
22
t
ΦΦ JAA ??? 22 ???? ????
?
?????? ??? ???? 22
那么, 位函数方程解 的复数形式
罗伦兹条件的复数形式
正弦电磁场与位函数的关系
V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ??
??
? ?
?
d
π4
1),(
rr
rr
,r
r
?
?
?
V
v
t
t
V
?
??
???
?
???
? ??
??
? ?
?
d
,
π4
),(
rr
rr
rJ
rA ?
VV
k
????? ?
?
??
de)(π4)(
j
rr
rJrA r-r?? ?
VV
k
????? ?
?
??
de)( π4 1)(
j
rr
rr r-r?
??
??
t
Φ
?
????? ??A )( j)( rrA ???? ?? ????
??????? tAE
AB ??? AB ?? ???
?????? j j j
AAAE ????? ??????????
11,能量密度与能流密度矢量的复数形式
已知时变电磁场的电场及磁场能量密度
),( 21),( 2e tEtw rr ??
),( 21),( 2m tHtw rr ??
以 最大值 表示的复数形式
)( 21)( 2mem rr Ew ??
)( 21)( 2mmm rr Hw ??
*EEr mmem
2
1)( ?? ?? ?w *HHr
mmmm 2
1)( ?? ?? ?w
或者表示为
式中 及 分别为复矢量 及 的 共轭值 。*E
m? *Hm? mE? mH?
瞬时形式
正弦量的有效值为瞬时值 平方 的周期平均值，所以正弦电磁场
的能量密度的 周期 平均值为
ttwTw T d ),(1 0 av ?? r ?????????????? ?? ttHTttET TT d ),( 12d),( 12 0 2 0 2 rr ??
)( 21)( 21 22av rr HEw ?? ??
即
式中 E(r)及 H(r) 均为 有效值 。
或者以场强的 最大值 表示为
** HHEE mmmmav
4
1
4
1 ???? ???? ??w
)(21 mmemav www ??
或者表示为
*HHEE ???? ????
2
1
2
1 *
av ??w
上式又可写为
)(21 mmemav www ??
上式表明，正弦电磁场能量密度的周期 平均值 等于电场能量密度
与磁场能量密度的 最大值 之和的 一半 。
同样，损耗功率密度也可用复矢量表示。其最大值为
*EErr mm2mm )()( ?? ??? ?? Ep l
*mm2av 21 )( )( EEEErr * ???? ????? ??? Ep l
平均值为
可见，损耗功率密度的平均值也是最大值之半。
),(),(),( ttt rHrErS ?? ? ? ) s i n () s i n ()()( hemm ???? ???? ttrHrE
已知能流密度矢量 S 的 瞬时值 为
其 周期平均值 为
ttT d ),(1)( 0 av ?? T rSrS ? ? )c o s ()()(21 h emm ?? ??? rHrE
复 能流密度矢量 Sc，令
)()()( *c rHrErS ?? ??
式中 及 均为 有效值 。)(rE? )(rH*?
)()(21)( mmc rHrErS *?? ??
又可用场强 最大值 表示为
那么, 复 能流密度矢量 Sc的 实 部及 虚 部分别为
? ? )c o s ()()(21)R e ( hemmc ?? ??? rHrES
? ? )s i n ()()(21)I m ( hemmc ?? ??? rHrES
可见,复 能流密度矢量的 实部 就是能流密度矢量的 平均值,即
)()R e( avc rSS ?
同时表明，复能流密度矢量的 实部 及 虚部 不仅取决于电场及磁场的
振幅 大小，而且与电场及磁场的 相位 密切相关。
t
t
t
t
电场强度
磁场强度
当电场与磁场 同相 时，即
π2he n?? ??
当电场与磁场 反相 时，即
π)12(he ??? n??
当电场与磁场的相位差为 的
奇数倍，即,则 实 部
为 零, 虚 部为最大正值 或 负值。
2
π
2π)12(he ??? n??
? ? )c o s ()()(21)R e ( hemmc ?? ??? rHrES
? ? )s i n ()()(21)I m ( hemm ?? ??? rHrES c
若电场与磁场的相位差为 任意值 时，则虚部及实部均 不 为零。
则 实 部为 最大正值, 虚 部为 零 。
则实部为最大 负 值，虚部仍然为 零 。
V
V
V
VS
d) ( j
d d)(
*
**
*
EEHH
EESHE
????
???
????
?????
?
??
???
?
能量定理 也可用 复 矢量表示为
? ? Vww
V
V
V lS
d )()(2 j
d )( d)(
eavm a v
c
rr
rPSrS
??
???
?
??
?
即
此式称为 复能量定理 。由此可见,流进 S 内的复能流密度矢量通量的
实部等于 S 内 消耗 的功率，这就表明,Sc 的 实部 的确代表 单向 流动的
能量。
由此可见，复能流密度矢量的 实部 表示能量 流动, 虚部 表示能量
交换 。
正弦电磁场的惟一性定理
后面各章 仅 研究 正弦 电磁场，为了书写简便起见，今后均以
E(r),H (r)或者 E,H 表示正弦电磁场 复矢量 的有效值，而略去
顶标, ·” 号。以 E(r,t),H (r,t)或 E(t),H (t)表示正弦电磁场的
瞬时值。
初始条件 不再需要,无源区中的正弦电磁场被其 边界 上的电
场切向分量或磁场切向分量惟一地确定 。
V
S
E(r,0)
&
H(r,0 )
E( r,t),H(r,t )E( r),(r) E
t (r,t)
or
Ht (r,t)
Et (r)
or
Ht (r)
例 已知某真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为
) s i n () π10s i n (2),( zktxt zy ?? ?erE
试求其能流密度矢量的平均值 。
解 根据时变电场瞬时值, 求得其有效值的复数形式为
zky zx je) π10s i n ()( ?? erE
EH ???
0
j
??
又知
由于时变电场仅有 y 分量，且与变量 y 无关，即 。那么0?
?
?
y
Ey
x
E
z
E y
z
y
x ?
??
?
????? eeE zkzzkzx zz xxk jj e ) π10c o s ( π10e) π10s i n (j ?? ?? ee
zk
z
z
x zxx
k- j
0 0
e) π10c o s ( π10j) π10s in ( ??
?
??
?
? ??
???? eeH
*c HES ?? ) π20s i n (
2
π10j) π10(s i n
0
2
0
xxk xzz ???? ee ??
) π10(s in 2
0
av x
k z
z ??eS ?
求得 复 能流密度矢量为
其实部就是平均值，即
zk
z
z
x zxx
k- j
0 0
e) π10c o s ( π10j) π10s in ( ??
?
??
?
? ??
???? eeH
zky zx je) π10s i n ()( ?? erE
由
解题思路
要求电场和磁场强度的复值
已知电场强度的瞬时值
求出电场强度的复值
再求磁场强度的复值
复能流密度矢量
？
？
？
？
能流密度矢量瞬时值？
电场和磁场的瞬时值
？
已知电场强度的瞬时值
求出磁场强度的瞬时值
？
？
？？
例 若真空中正弦电磁场的电场复矢量为
试求电场强度的瞬时值 E (r,t)，磁感应强度的复矢量 B (r ) 及复能流密
度矢量 Sc。
)3(π05.0 je)3j2j()( zxzyx ?????? eeerE
解 π1.01)3(π05.0
2 ???k 7
00
1042.9 ???? ??? kkv
)]3(π05.01042.9s i n [)3j2j(2)( 7 zxt,t zyx ??????? eeerE
EB ???? ?j1 )3(π05.0je)3j2(10 π zxzyx ????? eee?
? ?zx eeHES ???? 35 2
0
*
c ??
?
位移电流，麦克斯韦方程，边界条件，位函数
能流密度矢量，正弦电磁场，复能流密度矢量。
主 要 内 容
位移电流,麦克斯韦方程,边界条件，位函数
能流密度矢量,正弦电磁场, 复能流密度矢量 。
主 要 概 念
瞬时形式和复数形式 最大值和有效值位移电流
能流密度矢量
