第十章 电磁辐射及原理
主 要 内 容
电流元辐射，天线方向性，线天线，天线阵，对偶
原理，镜像原理，互易原理，惠更斯原理，面天线辐射。
1,电流元辐射
一段载有 均匀同相 的时变电流的导线称为
电流元,电流元的 d << l,且 l << ?,l << r。
I l
d
均匀同相 电流是指导线上各点电流的 振幅
相等, 且 相位 相同 。
任何 线天线 均可看成是由很多电流元 连续分布 形成的，电流元是线
天线的 基本单元 。很多 面天线 也可直接根据面上的 电流分布 求解其辐射
特性。
电流元具备的很多电磁辐射特性是任何其它天线所共有的。
设电流元周围媒质是 无限大 的 均匀线
性 且 各向同性 的 理想 介质。建立的坐标如
左图示。
利用矢量磁位 A计算其辐射场。该线
电流 I 产生的矢量磁位 A 为
? ???? ???l rrkI lrrrA d|| eπ4)( ||j?
式中 r 为场点,r' 为源点。
r
Il
z
y
x
?,? P(x,y,z)
o
由于, 可以认为上式中, 又因电流仅具有 z
分量, 即, 因此
rll ????,? r??? || rr
lz ??? dd el
zz AerA ?)( krz rlIA jeπ4 ?? ?
为了讨论天线的电磁 辐射 特性，使用 球 坐标系较为方便。那么，上
述矢量位 A 在球坐标系中的各分量为
?c o szr AA ? ?? sinzAA ?? 0??A
?
r
Il
z
y
x
?
?,?
A?
Az
Ar?
-A?
再利用关系式, 求得 磁场强度
各个分量为
AH ??? ?1
kr
rkkr
lIkH j
22
2 e1j
4 π
s i n ??
?
??
?
? ?? ?
?
0?? rHH ?
由,或者直接利用,根据已知的
磁场强度即可计算 电场强度,其结果为
? ? ?? j j
AAE ?????? EH j?????
e1j2 π c o s j j33223 krr rkrklIkE ??????? ??? ?? ?
kr
rkrkkr
lIkE j
3322
3 e1j1
4 π
s i n j ??
?
??
?
? ?????
??
?
?
0??E
上述结果表明，在球坐标中,z 向电流元场强具有, 及 三个分量，
而 。由此可见，可以认为电流元产生的电磁场为 TM波。
?H rE ?E
0??? ?? EHH r
通常, r << ? 的区域称为 近区 ；反之, r >> ? 的区域称为 远区 。
在电磁场中，物体的绝对几何尺寸是无关紧要的。具有重要意义的
是物体的尺寸相对于波长的大小，以波长度量的几何尺寸称为物体的 波
长尺寸 。
kr
rkkr
lIkH j
22
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4 π
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?
??
?
? ?? ?
?
e1j2 π c o s j j33223 krr rkrklIkE ??????? ??? ?? ?
kr
rkrkkr
lIkE j
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?
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?
? ?????
??
?
?
0??? rHHE ??
?
r
Il
z
y
x
?
?,?
E?
Er
H?
位于坐标原点的 z 方向电流元的电磁场
r << ?的区域称为 近区 ；反之, r >> ? 的区域称为 远区 。
近区中的电磁场称为 近区场,远区中的电磁场称为 远区场 。
近区场 。因,,则上式中的低次项 可以忽
略，且令,那么
???r 1π2 ??? rkr
? ??
??
?
?kr1
1e j ?? kr
π4 s i n 2rlIH ?? ? 3 2 π c o s j rlIE r ?? ??? 3 π4 s i n j rlIE ?? ?? ??
将上式与静态场比较可见, 它们分别是恒定电流元 Il 产生的磁场及
电偶极子 ql 产生的静电场 。 场与源的相位完全相同, 两者之间没有时差 。
可见，近区场与静态场的特性完全相同,无滞后 现象，所以近区场
称为 似稳场 。
电场与磁场的时间相位差为,能流密度的实部为零，只存在虚部。
可见近区场中没有能量的单向流动，近区场的能量完全被束缚在源的周
围，因此近区场又称为 束缚 场 。
2
π
远区场 。 因,, 则上式中的高次项可以忽略,
结果只剩下两个分量 和, 得
???r 1π2 ??? rkr
?
?H ?E
krrlIH je2s i n j ?? ? ?? krrlZIE je2 s i n j ?? ? ??
式中 为周围媒质的波阻抗。
?
??Z
上式表明，电流元的远区场具有以下特点：
（ 1） 远区场为向 r 方向传播的电磁波。电场及磁场均与传播方向 r
垂直，可见远区场为 TEM波,电场与磁场的关系为 。Z
H
E ?
?
?
（ 2） 电场与磁场同相, 复能流密度仅具有实部 。 能流密度矢量的方向
为传播方向 r 。 这就表明, 远区中只有不断向外辐射的能量, 所以远
区场又称为 辐射场 。
看录像补充的
（ 3） 远区场强振幅与距离 r 一次方 成反比，场强随距离增加不断衰减。
这种衰减不是媒质的损耗引起的，而是 球面波 固有的 扩散 特性导致的。
（ 4） 远区场强振幅不仅与距离有关，而且与观察点所处的 方位 也有关，
这种特性称为天线的 方向性 。场强公式中与方位角 ?及 ? 有关的函数称为
方向性因子,以 f (?,? ) 表示。
由于电流元沿 Z轴放臵，具有 轴对称 特点，场强与方位角 ?无关，方
向性因子仅为方位角 ?的函数，即 。可见，电流元在 ?= 0 的
轴线方向上辐射为零，在与轴线垂直的 ?= 90?方向上辐射最强。
??? s in),( ?f
（ 5） 电场及磁场的方向与 时间 无关。可见，电流元的辐射场具有 线极化
特性。当然在不同的方向上，场强的极化方向是不同的。
krrlIH je2s i n j ?? ? ?? krrlZIE je2 s i n j ?? ? ??
除了上述线极化特性外，其余 四 种特性是一切 尺寸有限 的天线远区
场的 共性,即一切 有限尺寸 的天线，其远区场为 TEM波,是一种 辐射场,
其场强振幅不仅 与距离 r 成反比,同时也 与方向有关 。
当然，严格说来,远区场中也有电磁能量的交换部分。但是由于形
成能量交换部分的场强振幅至少与距离 r2 成反比，而构成能量辐射部分
的场强振幅与距离 r成反比，因此,远区 中能量的 交换 部分所占的比重
很小。相反,近区 中能量的 辐射 部分可以忽略。
天线的极化特性和天线的 类型 有关。天线可以产生 线极化, 圆极化
或 椭圆极化 。当天线接收电磁波时，天线的极化特性必须与被接收的电
磁波的极化特性 一致 。否则只能收到部分能量，甚至完全不能接收。
为了计算电流元向外的 辐射功率 Pr,可将 远区 中的复能流密度矢量
的 实部 沿半径为 r的球面进行积分, 即
? ?? SP cr d)R e ( SS
式中 Sc为远区中的复能流密度矢量, 即
ZHZEHE rrr 22*c |||||||| ?????? eeeHES ?????
代入前式, 得
)R e (4 s in c22 222c SeS ?? rlZIr ? ?
那么，若周围为真空，波阻抗 Z = Z0 = 120??，则辐射功率 为rP
2
22
r π80 ??
??
?
??
?
lIP
式中 I 为电流强度的有效值。
为了衡量天线辐射功率的大小，以 辐射电阻 Rr表述天线的辐射功率
的能力，其定义为
2rr I
PR ?
那么, 电流元的辐射电阻 为
rR
2
2
r π80 ??
??
?
??
?
lR
由此可见，电流元长度越长，则电磁辐射能力越强。
例 若位于坐标原点的电流元沿 x 轴放臵，试求其远区场公式。
因,,lII
xel ? xAxeA ? krx rlIA jeπ4 ?? ?
相应的各球面坐标分量为
????? ?? s i n ; c o sc o s ; c o ss i n xxxr AAAAAA ????
对于 远区场 仅需考虑与距离 r 一次方
成反比的分量, 因此, 求得远区磁场强度
为
krrlI je)c o sc o ss in( 2 j ???? ???? ?? eeH
又知远区场是向正 r 方向传播的 TEM波, 因此, 电场强度 E 为
krr rlZIZ je)s i nc o sc o s( 2 j ?????? ???? ?? eeeHE
解
r
Il
z
y
x
?,? P(x,y,z)
o
由此可见, 对于 x 方向电流元, 不同 场分量 具有不同的方向性
因子 。 此结果与 z 方向电流元的方向性因子完全不同 。 由此可见,
改变天线相对于坐标系的 方位, 其方向性因子的表示式 随之改变 。
但是，并不以为意味天线的 辐射特性 发生变化，只是 数学表达
式 不同而已。
2,天线的方向性
天线的方向性是天线的重要特性之一。 任何天线都具有方向性,
本节将介绍如何定量地描述天线的方向性。
正如前述, 电流元在其轴线方向上辐射为 零, 在与轴线垂直的
方向上辐射 最强 。 电流元的辐射场强与方位角 ? 无关 。
实际中使用 归一化 方向性因子 比较方便, 其定义为),( ??F
m
),(),(
f
fF ???? ?
式中 fm为方向性因子的 最大值 。
显然，归一化方向因子的最大值 Fm= 1。这样，任何天线的 辐射场 的
振幅 可用归一化方向性因子表示为
),(|||| m ??FEE ?
式中 为 最强 辐射方向上的场强振幅。
m||E
利用归一化方向性因子可用 图形 描绘天线的方向性。通常以 直角坐标
或 极坐标 绘制天线在 某一平面内 的方向图。
使用计算机绘制的 三维空间 的立体方向图更能形象地描述天线辐射
场强的空间分布 。
已知电流元的方向性因子为,其最大值,所以该
电流元的归一化方向性因子为
??? sin),( ?f 1m?f
??? sin),( ?F
若采用 极坐标,以 ?为变量在任何 ?等于 常数的平面内，函数
的变化轨迹为两个圆，如左上图示。
),( ??F
y
z
y
x
x
y
z
r
?
?
E
E
H
H
电流元 将左上图围绕 z
轴旋转一周，即构成
三维空间 方向图。
由于与 ?无关，在 的平面内，以 ?
为变量的函数的轨迹为一个圆，如左下图
示。
2
π??
下图以极坐标绘出了典型的雷达天线的方向图。方向图中辐射最强
的方向称为 主射方向,辐射为零的方向称为 零射方向 。具有主射方向的
方向叶称为 主叶,其余称为 副叶 。
为了定量地描述主叶的宽窄程度，通常定义：场强为主射方向上场
强振幅的 倍的两个方向之间的夹角称为 半功率角,以 表示；两个
零射方向之间的夹角称为 零功率角,以 表示。
2
1 5.02?
02?
2? 0 主射方向
主叶
后叶
副叶 零射方向
零射方向
1
2? 0.5
21
21
x
z
y
方向性系数, 以 D 表示 。
0m||r
0r
EEP
PD
?
?
定义：当 有向 天线在 主射方向 上与 无向 天线在 同一距离 处获得相等
场强时, 无向天线所需的 辐射 功率 与有向天线的 辐射 功率 之比值,
即
0rP rP
式中 为有向天线主射方向上的场强振幅,为无向天线的场强振幅。m||E || 0E
已知有向天线的辐射功率主要集中在主射方向。因此，有向天线所需
的辐射功率一定小于无向天线的辐射功率，即 。可见,。方向
性愈强，方向性系数 D 值愈高。
0rr PP? 1?D
方向性系数通常以分贝表示, 即 DD lg10
dB ?
已知 有向天线 的辐射功率 Pr 为
SFZEP S d),(|| 2 2mr ????
式中 S代表以天线为中心的闭合球面 。
无向天线 的辐射功率应为
2200r π4|| rZEP ?
??? π0 2π2 0 d s i n),(d
π4
????? FD
求得
那么，若已知天线的方向性因子，根据上式即可计算方向性系数。
已知电流元的归一化方向性因子,代入上式，求得
电流元 的方向性系数 D = 1.5。
??? sin),( ?F
实际使用的天线均具有一定的损耗 。 因此, 实际天线的 输入 功率
大于 辐射 功率 。 天线的辐射功率 Pr与输入功率 PA 之比称为天线的 效
率, 以 ?表示, 即
A
rPP??
描述实际天线性能的另一个参数是 增益, 以 G表示 。 其定义与方
向性系数类似 。 但是, 增益是在相同的场强下, 无向天线的 输入 功率
PA0与有向天线的 输入 功率 PA 之比, 即
||||A
0A
0m EE
P
PG
?
?
若假定 无向 天线的效率, 那么由上述关系, 得10??
DG ??
天线增益通常也以分贝表示, 即 GG lg10
dB ?
目前卫星通讯地面站使用的大型抛物面天线，方向性很强，且效率
也很高，其增益通常高达 50dB以上。
3,对称天线辐射
对称天线是一根中心馈电的, 长度可与波长相比拟的载流导线,
如下图示 。
L
L
d
z
y
x
Im
其 电流 分布以导线中点为对称，因此被称
为 对称天线 。
若导线直径 d << ?，电流沿线分布可以近
似认为具有 正弦驻波 特性。
因为对称天线两端开路, 电流为零, 形成
电流驻波的波节 。 电流驻波的波腹位臵取决于
对称天线的长度 。
设对称天线的 半长 为 L,在直角坐标系中沿 z 轴放臵, 中点位于坐
标原点, 则电流空间分布函数可以表示为
L
L
d
z
y
x
Im
|)|(s i nm zLkII ??
式中 Im 为电流驻波的 空间 最大值或称为 波腹
电流, 常数 。
?π2?k
既然对称天线的电流分布为正弦 驻波,对
称天线可以看成是由很多电流振幅不等但 相位
相同 的电流元排成一条直线形成的。
这样，利用 电流元 的远区场公式即可直接
计算对称天线的辐射场。
已知电流元 产生的远区电场强度应为zI ?d
rkrzZIE ????? je2 s i ndjd ? ??
由于观察距离,可以认为组成对称
天线的每个电流元对于观察点 P 的 指向 是相同
的，即,如左图示。
Lr??
rr //?
z
y
x
P
r?
dz'
z'
z'cos?
r'
那么，各个电流元
在 P 点产生的远区 电场方向 相同，合成电场为
各个电流元远区电场的标量和，即
rkL
L r
zZIE ??
? ?
?? ? j
e2
s i ndj
?
?
?
考虑到, 可以近似认为 。 但是含在相位因子中的不能以 r
代替 r?,由于, 可以认为
rL ???
rr 11??
rr //?
?co szrr ????
z
y
x
P
r?
dz'
z'
z'cos?
r'
对称天线
若周围媒质为 理想 介质, 那么
远区 辐射电场为
krkLkLr IE jm es i n c o s)c o sc o s (60j ??? ???
方向性因子为
?
??
si n
c o s)c o sc o s()( kLkLf ??
由此可见，对称天线的方向性因子与方位角 ? 无关，仅为方位
角 ? 的函数。
|)|(s i nm zLkII ??
L
L
d
z
y
x
Im
电流分布
2L = ?/2 2L = ?
2L = 2?2L = 3?/2
四种长度的对称天线方向图
?
?
? s i n
c o s2πc o s
)(
??????
?f
?
??
s i n
1)c o sπc o s ()( ??f
?
?
? s i n
c o s23 πc o s
)(
??????
?f ? ?? ?? s i n 1c o sπ2c o s)( ??f
?半波天线 全波天线
例 根据辐射电阻及方向性系数的定义, 计算半波天线的辐射电阻及
方向性系数 。
解 根据半波天线的远区电场公式, 求得半波天线的辐射功率为
SZEP S d||
0
2
r ?? ? ?
??????
? π
0
2
2
m ds i n
c o s2πc o s
60 ??
?
I
若定义半波天线的辐射电阻为, 则
2m
rr IPR ?
Ω1.73ds i n
c o s2πc o s
60 π
0
2
r ?
??????
? ? ??
?
R
半波天线
对称天线的电流分布是 不均匀 的, 因此选取不同的电流作为参考
电流, 辐射电阻的数值将不同 。 通常选取 波腹电流 或 输入端电流 作为
辐射电阻的 参考电流, 分别称为以波腹电流或输入端电流为参考的辐
射电阻 。
求得半波天线的方向性系数 D = 1.64。
将半波天线的归一化方向性因子代入下式
??? ?? ????? 0 22 0 d s in),(d
π4
F
D
电流元
半波天线 的输入端电流 等于 波腹电流, 因此上述辐射电阻可以认为
是以波腹电流 或者 以输入端电流为参考的辐射电阻 。
4,天线阵辐射
为了 改善 和 控制 天线的方向性, 通常使用多个简单天线构成复合天
线, 这种复合天线称为 天线阵 。
适当地设计各个单元天线的 类型, 数目, 电流 振幅 及 相位, 单元天
线的 取向 及 间隔, 可以形成所需的方向性 。
若天线阵中各个单元天线的 类型 和 取
向 均相同, 且以相等的 间隔 d 排列在一条
直线 上 。 各单元天线的电流 振幅 均为 I,
但相位依次逐一滞后 同一 数值 ?, 那么,
这种天线阵称为 均匀直线式天线阵 。I
x
z
y
?
d
d
d
?
?
?
?
n
4
3
1
2I e- j?
I e- j2?
I e- j3?
I e- j(n-1)?
dcos?
r1
r4
r3
r2
rn P
若仅考虑 远区场, 且观察 距离 远大于天线阵的 尺寸, 那么可以认为
各个单元天线对于观察点 P的 取向 是相同的 。
又因各单元天线的取向一致, 因此, 各个单元天线在 P 点产生的场强
方向相同, 这样, 天线阵的合成场强等于各个单元天线场强的 标量和, 即
nEEEE ???? ?21
根据天线远区辐射场的特性, 第 i 个单元天线的辐射场可以表示为
ikri
i
iii fr ICE je),( ?? ??
式中 Ci决定于天线类型 。 对于均匀直线式天线阵, 因各单元天线类型相
同, 则 。
nCCC ??? ?21
nfff ??? ?21
又因取向一致, 故 。
与前同理, 对于远区可以认为
将上述结果代入前式, 求得 n 元天线阵的合成场强的振幅为
??
?
??
? ?
??
?
??
? ?
?
)c o s(
2
1s i n
)c o s(
2
s i n
),(1
1
11
??
??
??
kd
kdn
f
r
ICE
??
?
??
? ?
??
?
??
? ?
?
)c o s(
2
1s in
)c o s(
2
s in
),(
??
??
??
kd
kdn
f n令
nrrr
111
21
???
?c o sjjj eee 12 kdkrkr ?? ?
?c o s2jjj eee 13 dkkrkr ?? ?
?c o s)1(jjj eee 1 dnkkrkr n ??? ?
?
则 n 元天线阵场强的振幅可以表示为
),(),(|| 1
1
11 ???? nffr ICE ?
式中 称为 阵因子 。),( ??
nf
上述均匀直线式天线阵沿 z 轴放臵, 因此方向性因子仅为方位角 ?
的函数 。
若以 表示天线阵的方向性因子, 则),( ??f
),(),(),( 1 ?????? nfff ?
式中 为 单元天线 的方向性因子, 为阵因子 。),( ??nf),(1 ??f
由此可见, 均匀直线式天线阵的方向性因子等于单元天线的方向
性因子与阵因子的乘积, 这一规则称为 方向图乘法规则 。
可见, 阵因子与单元天线的 数目 n,间距 d 及电流 相位差 ?有关 。
已知天线阵的阵因子为
??
?
??
? ?
??
?
??
? ?
?
)c o s(
2
1s in
)c o s(
2
s in
),(
??
??
??
kd
kdn
f n
适当地变更单元天线的 数目, 间距 及 电流相位, 即可改变天线
阵的方向性 。
阵因子达到最大值的条件为 ?? ?coskd
该条件意味着各单元天线场强的 空间相位差 (kdcos? )恰好抵消
了电流的 时间相位差 ?。 因此, 阵因子达到最大值 。
根据给定的方向性, 确定天线阵的结构, 这是天线阵的 综合 问
题 。
由上式求得阵因子达到最大值的角度 为
m?
)(,a r c c o sm kdkd ?? ???
可见, 阵因子的主射方向决定于单元天线之间的 电流相位差 及其
间距 。
连续地 改变单元天线之间的电流相位差, 即可连续地改变天线阵
的主射方向 。 这样, 无须转动天线, 即可实现在一定范围内的方向性
扫描, 这就是 相控阵天线 的工作原理 。
各个单元天线电流 相位相同 的天线阵称为 同相阵 。 因, 由
上式得
0??
2m
?? ?
此结果表明, 若不考虑 单元天线 的方向性, 则天线阵的主射方向垂直
于天线阵的轴线, 这种天线阵称为 边射式天线阵 。
若单元天线之间的电流相位差, 由前式得kd??
0m ??
此结果表明, 若不考虑 单元天线 的方向性, 则天线阵的主射方向指向
电流相位滞后的一端 。 这种天线阵称为 端射式天线阵 。
下图给出了由两个半波天线构成的几种二元阵的方向图 。
0 ??
d = ?/2
00
d = ?/2
0 –??2
d = ?/4
根据方向图乘法规则即可理解这些二元阵方向图的形成原因 。
例 某直线式四元天线阵, 由四个相互平行的半波天线构成, 如左下
图示 。 单元天线之间的间距为半波长, 单元天线的电流同相, 但电流
振幅分别为,, 试求与单元天线垂直的 平面内
的方向性因子 。
III ?? 41 III 232 ?? 0?x
y
z
1
2
3
4
?
z
y
x
1
2
3
4
解 这是一个 非均匀 的直线式天
线阵, 不能直接应用前述的 均匀
直线式天线阵公式 。
该四元天线阵可以分解为 两个 均匀直线式 三元 同相阵 。
但是单元天线 ② 和 ③ 可以
分别分解为两个电流均为 I 的半
波天线 。
两个三元阵又构成一个均匀直线式二元同相阵 。
那么, 根据 方向图乘法规则, 上述四元天线阵在 yz 平面内
的方向性因子应等于均匀直线式三元同相阵的阵因子与二元同
相阵的阵因子的乘积, 即
),(),(),( 23 ?????? fff ?
式中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
c o s
2
πs i n
c o s
2
π3s i n
),(3f ?
?
??
?
?? ??? c o s
2
πc o s2),(
2f
基 站 天 线
小
灵
通
天
线
5,电流环辐射
电流环 是一个载有 均匀同相 时变电流的导线圆环, 其圆环
半径 a << ?, 且 a << r 。
设电流环位于 无限大 的空间, 周
围媒质是 均匀线性且各向同性 的 。 建
立直角坐标系, 令电流环的中心位于
坐标原点, 且电流环所在平面与 xy
平面一致, 如左图示 。
z
y
x
a
P.
r
?
?
因结构对称于 z 轴, 电流环的场强
一定与角度 ? 无关 。 为了简单起见, 令
观察点 P 位于 xz 平面 。
? ???? ???l rrkI |rrlrA | edπ4)( )|j?
已知线电流产生的矢量位为
kr
krrk
ISk j
22
2 e s i n1j1
π4)(
??
?
??
?
? ?? ??
?erA
根据几何关系以及近似计算, 求得
式中 为电流环的面积 。2πaS ?
z
y
x
r ?
a
?? r?
e??
)0,,( ?rP
y
x
a
??
?? e??
e??
e?-ex
r?
)0,,( ?rP
利用关系式, 求得电流环产生的磁场为
AH ??? ?1
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
0
e s in
11
j
1
π4
e c o s
11
j
π2
j
3322
3
j
3322
3
?
?
?
?
H
rkrkkr
S I k
H
rkrk
I S k
H
kr
kr
r
再利用关系式, 求得电流环产生的电场为HE ???
??j
1
??
?
?
?
??
?
?
??
?
? ??? ?
0
e s i n11j
π4
j j
22
2
?
? ?
??
EE
rkkr
S I kE
r
kr
由此可见, 电流环产生的电磁场为 TE波 。
对于远区场, 因, 则只剩下 及 两个分量, 它们分别为1??kr ?H
?E
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
kr
kr
r
SIZ
E
r
SI
H
j
2
j
2
e s i n
π
e s i n
π
?
?
?
?
?
?
上式表明, 电流环的 方向性因子 为
??? sin),( ?f
可见, 与位于坐标原点的 z 向 电流元 的
方向性因子完全一样, 如左图示 。
电流环所在平面内辐射最强, 垂直
于电流环平面的 z 轴方向为零射方向 。
z
y
(-)? S
?
r
IS
z
y
x
?
?,?
H?
E?
与前类似, 可以求得电流环的 辐射功率 Pr 和 辐射电阻 Rr分别为
2
4
6
r π320 ?? ??
??
?
?? aP 46
r π3 2 0 ??
??
?
??
?
aR
电流元及电流环的场强公式 非常类似 。
H?(电流元 ) ~ E?(电流环 ); E?(电流元 ) ~ H? (电流环 )。
?
r
Il
z
y
x
?
?,?
E?
H?
?
r
IS
z
y
x
?
?,?
H?
E?
例 某复合天线由电流元及电流环流构成 。 电流元的轴线垂直于电流
环的平面, 如下图示 。 试求该复合天线的方向性因子及辐射场的极化
特性 。
解 令复合天线位于坐标原点, 且电流
元轴线与 z 轴一致 。
krrlZI j111 e2 s inj ?? ? ??eE
? E
?= E1
?
y
x
I1
z
I2
电流环 产生的远区电场为
krrlSIZ j
2 222 e
s i nπ ??
?
?
?eE
E? = E2
则 电流 元产生的远区电场强度为
那么, 合成的远区电场为
??? ?? s i neπ2j j2 21 rSIZlZI kr??????? ?? eeE
若 I1与 I2的相位差为, 则合成场为 线 极化 。
2π
因, 可见上式中两个分量相互垂直, 振幅不等, 相位相差 。
因此, 若 I1与 I2相位相同, 合成场为 椭圆 极化 。
?? ee ? 2π
该复合天线的方向因子仍为 。?sin
E? = E2
? E?= E1
?
y
x
I1
z
I2
6,对偶原理
前已指出, 电荷与 电流 是产生电磁场的 惟一 源 。 自然界中至今尚
未发现任何 磁荷 与 磁流 存在 。 但是对于某些电磁场问题, 引入 假想的
磁荷 与 磁流 是有益的 。
引入磁荷与磁流后, 描述正弦电磁场的麦克斯韦方程修改如下：
? ? ? ?rBrE ?j???? ? ? ? ? ? ?rBrJrE ?jm ????
? ? ? ? ? ?rDrJrH ?j????
? ? ? ?rrD ????
? ? 0??? rB ? ? ? ?rrB m???
式中 J m(r) —— 磁流密度； ? m(r) —— 磁荷密度。
? ? ? ?rrJ mm j??????磁荷守恒定律,
)()()( me rErErE ?? )()()( me rHrHrH ??
现将电场及磁场分为两部分：一部分是由 电荷 及 电流 产生的电
场 及磁场 ；另一部分是由 磁荷 及 磁流 产生的电场 及
磁场, 即
)(e rE )(e rH )(m rE
)(m rH
由于麦克斯韦方程是 线性 的, 那么他们分别满足的电磁场方程
如下：
?
?
?
?
?
?
?
???
???
????
????
?
??
??
e
e
ee
ee
0
j
j
D
B
HE
EJH
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?????
???
0
j
j
m
mm
mmm
mm
D
B
HJE
EH
?
??
??
比较上述两组方程, 获得以下对应关系：
??
?
?
??
me
me
HE
EH
??
?
?
?
??
??
??
?
?
?
m
m
??
JJ
这个对应关系称为 对偶原理 或 二重性原理 。
这样, 如果我们已经求出某种 电荷 及 电流 产生的电磁场, 只要将
其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系 臵换 以后, 所获得的
表示式即是具有 相同分布 特性的 磁荷 与 磁流 产生的电磁场 。
例如, 已知 z 向电流元 Il 的远区场公式为
krrlIE jmm e2 s i n j ??? ? ?? kr
rZ
lIH jm
m e2
s i n j ??
?
?
?
位于 xy 平面内的电流环即可看作为一个 z 向磁流元 。
那么, z 向磁流元 Ilm产生的远区场应为
krrlIH je2s i n j ?? ? ?? krrlZIE je2 s i n j ?? ? ??
由此可见, 虽然实际中并不存在磁荷及磁流, 但是类似电流环
的天线可以看作为磁流元 。
?
r
Il
z
y
x
?
?,?
E?
H?
电流元
?
r
Im l
z
y
x
?
?,?
H?
E?
磁流元
?
r
IS
z
y
x
?
?,?
H?
E?
电流环
引入磁荷 ? m 及磁流 J m 以后, 两个积分形式的麦克斯韦方程应该
修改为
? ? Sm12n JEEe ???? ? ? Sm12n ???? BBe
SBJlE djd m ????? ?? Sl ? m d ???? S SB
那么, 前述边界条件也必须加以修正 。 但是, 仅涉及电场强度的切向分
量和磁场强度的法向分量, 即
式中 为表面磁流密度, 为表面磁荷密度, 由媒质 ① 指向媒质
②, 如下图示 。
)(m rJ S )(m rS? ne
??
1,?1
?2,?2 e
t
en
E1t
E2t
B1n
B2n
SmJ
??
?
???
??
Smn
n 0
JEe
He
??
?
??
??
0n
mn
De
Be S?
已知磁导率 ??? 的 理想导磁体, 其内部不可能存在任何电磁场,
但其表面可以存在假想的表面磁荷与磁流 。 那么, 理想导磁体的边
界条件为
H
HE
E
???
理想导 磁 体
???
理想导 电 体
7,镜像原理
静态场的镜像原理同样也适用于求解时变电磁场的 边值问题,
但是也仅能应用于某些 特殊 的边界 。
设时变 电流元 Il 位于无限大的理想导电平面附近, 且 垂直 于
该平面, 如下图示 。
??
???
Il
无限大 的 理想导电平面 和无限大的理想 导磁 平面 。
镜像法的 实质 是以镜像源代替 边界 的影响, 整个空间变为
媒质参数为 ?,?的 均匀无限大 空间 。
Il
??
??
I'l'
引入的镜像源必须 保持 原有的边界条件 。
E0
r0
E+
?r
E-?r
令镜像电流元, 且令, 。l??I II ?? ll ??
正弦时变 电流 与时变 电荷 的关系为 。 时变电流元的电荷积
累在电流元的两端, 上端电荷, 下端电荷, 如 下左图 。
qI ?j?
?j
Iq? ?jIq ??
??
-q
q
???
E
Il
??
??
Il
-q
q
-q'
q'
I'l'
0E?
0r?
??E
??r
??E
??r
这些 电荷 及 电流 分别在边界上产生的 电场强度, 如上右图 。
由于引入镜像源以后, 整个空间变为 均匀无限大 的空间, 因此可以
通过 矢量位 A及 标量位 ?计算场强 。
电流元 Il 产生的电场强度为
0j
0
eπ4 krrI ?? lA ? ??
?
? ?
kr
r
qΦ je
π4 ? ?
?
?
?
?? kr
r
qΦ je
π4 ?
式中
???? ????????? ΦΦAEEEE ?j0
类似地, 可以求得镜像电流元 产生的电场为l??I
???? ??????????????? ΦΦAEEEE ?j0
式中
0j
0
e π4 rkrI ??????? lA ? ???
?
? ?
??? rk
r
qΦ je
π4 ?
???
?
? ?
???? rk
r
q je
π4 ??
对于边界平面上任一点，
,。已设,故 。
又,因此，各电场的 水平分量 相
互抵消，合成电场 的方向垂直
于边界平面。 因此，引入的镜像电流
元满足原有的边界条件。
00 rr ??
?? ??rr ?? ??rr II ?? qq ??
ll ??
)( EE ??
由于镜像电流元的方向与原来的电流元方向相同, 这种镜像电流
元称为 正像 。
类似地, 可以证明位于无限大理想导电平面附近的 水平 电流元的
镜像电流元为 负像 。
E0
r0
E+
?r
E-?r??
??
Il
-q
q
-q'
q'
I'l'
0E?
0r?
??E
??r
??E
??r
位于无限大的理想导电平面附近的 磁流元 的镜像关系恰好与电流
元情况 完全相反, 如下图示 。
???
电流元 磁流元
???
从天线阵的角度来看, 镜像法的求解可归结为 二元天线阵 的求解 。
实际地面 对天线的影响, 也可应用镜像原理 。 但是, 由于地面为
非理想的导体, 严格理论分析表明, 只有当天线的 架空高度 以及 观察
点离开地面的高度 远大于波长时, 且仅对于 远区场 的计算才可应用镜
像法 。
？？
上半空间任一点场强可以认为是 直接波 E1 与来自镜像的地面 反射波
E2 之合成, 且认为 E1 与 E2 的方向一致 。 因此, 合成场为直接波与反射
波的标量和, 即
直接波
反射波
r1
r2 地面
E1
E2 2
j
0
1
j
021
21 ee
rRErEEEE
krkr ??
????
由于地面处于天线的远区范围, 天线的远区场具有 TEM波性质,
反射系数 R 可以近似看成是 平面波 在 平面 边界上的反射系数, 它与天线
远区场的 极化特性, 反射点的地面 电磁参数 以及观察点所处的 方位 有关 。
式中 R为地面反射系数 。
实际地面对天线的影响可以归结为一个 非均匀 二元天线阵的求解 。
例 利用镜像原理, 计算垂直接地的长度为 l,电流为 I 的电流元的辐
射场强, 辐射功率及辐射电阻 。 地面当作无限大的理想导电平面 。
Il
Il
?
E?
?0,?0
?0,?0
解 按照镜像原理, 对于无限大的理想导电平面, 垂直电流元的镜像
为 正像 。 因此, 上半空间的场强等于长度为 2l 的电流元产生的辐射
场, 即
kr
r
lIZE j0 es i n j ??
?
?
?
可见, 长度为 l的垂直电流元接地以后, 其场强振幅提高一倍 。
Il ?
E?
???
?0,?0
接地的电流元仅向 上半空间 辐射, 计算辐射功率时应仅沿上半
球面进行积分 。 即辐射功率为
2
222
π
0
2π2
0 r π1 6 0d s i nd ??
??
?
??? ??
????
lISrP
对应的辐射电阻 Rr为
2
2
r π160 ??
??
?
??
?
lR
可见, 其辐射电阻也提高一倍 。
中波广播电台, 为了使电台周围听众均能收到信号, 其天线通
常是一根悬挂的 垂直导线 或 自立式 铁塔 。 它可以看成是一种垂直接
地天线, 在水平面内没有方向性 。
对于中波波段的电磁波, 地面可以近似当作 导电体 。 为了提高
电导率天线附近的地面可以铺设 导电网 。
已知中波收音机的磁棒天线接收电台信号时, 磁棒应与电磁波
的到达方向垂直, 而且磁棒必须 水平放臵 。 如果磁棒垂直于地面,
接收效果显著变坏 。
短波波段通常使用高悬的水平放臵的 半波天线 。 由于天线的架
空高度能与波长达到同一量级, 地面的影响归结为一个 二元天线阵 。
？
调整天线的架空高度, 即可在
与半波天线轴线垂直的铅垂面内形
成具有 一定仰角 的主射方向, 以便
将电磁波射向地面上空的电离层,
依靠电离层反射进行远距离传播 。
?
8,互易原理
V
neS
bbaa HEHE ;
bb
bV
m,
JJ
bS
aa
aV
m,
JJ
aS
设区域 V 内充满 各向同性 的 线性 媒质, 其中两组 同频 源 及
分别位于有限区域 Va 及 Vb 内, 如下图示 。
bb m,JJaa m,JJ
??
?
?????
????
aaa
aaa
HJE
EJH
j
j
m ??
??
??
?
?????
????
bbb
bbb
HJE
EJH
j
j
m ??
??
两组源与其产生的场量满足的麦克斯韦方程分别为
abbabaababba mm)]()[( JHJHJEJEHEHE ?????????????
V( V abbabaababba d][d)])[( mmS ?? ???????????? JHJHJEJESEEHE
利用矢量恒等式, 由麦克斯韦方
程可以求得下面两个方程：
BAABBA ??????????? )(
上两式分别称为互易原理的 微分 形式和 积分 形式 。
?? ???????? bb V babaS abba Vd][d)]()[( m JEJHSHEHE
若闭合面 S 仅包围源 a 或源 b，则分别得到下列结果：
?? ???????? aa V ababS abba Vd][d)]()[( mJHJESHEHE
互易原理描述了两组 同频 源及其产生的场强之间的关系 。 因此,
若已知一组源与其场的关系, 利用互易原理可以建立另一组源与其场
的关系 。
若闭合面 S 不包括任何源, 则上述面积分为零, 即
0d)]()[( ??????S abba SHEHE
若闭合面 S 包括了全部源，则上述面积分也为零。
显然，无论 S 的 大小 如何，只要 S 包围了全部源，它都应等于右端
对 的积分。)(
ba VV ?
由此可见, 前式左端的面积分应为 常量 。
为了求出这个常量, 令 S 面无限地扩大至远区范围, 由于其远区
场具有 TEM波特性, 即 。 将此结果代入前式, 则左端面积分
被积函数中 两项相互抵消, 导致面积分为零, 即上式成立 。
reHE ?? Z
V( V abbabaababba d][d)])[( mmS ?? ???????????? JHJHJEJESEEHE
？
因此, 只要闭合面 S 包围了 全部源, 或者是全部源位于闭合面 S 之 外,
则下式均会成立
该式称为 罗仑兹互易定理 。
0d)]()[( ??????S abba SHEHE
既然上式成立, 那么前式右端体积分为零, 即
0d][ mm ?????????V abbabaab VJHJHJEJE
VV babaVV abab
ba
d][d][ mm JHJEJHJE ??????? ??
或者写为
此式称为 卡森互易定理 。
上述互易定理成立并 不 要求空间媒质是 均匀 的, 那么可以证明, 当
V中局部区域内存在 理想导电体 或 理想导磁体 时, 卡森互易定理应该仍
然成立 。
baabba HESESHSHE ???????? )d()d(d)(
abbaab HESESHSHE ???????? )d()d(d)(
根据矢量混合积公式, 可得
上两式中 及 均表示相应场强的切向分量 。)d( SH ? )d( ES ?
那么, 在远区闭合面
S? 与理想导电体表面或理
想导磁体表面包围的区域
中, 卡森互易定理仍然成
立 。
??? ???
S?
例 利用互易定理, 证明位于有限尺寸的理想导 电 体表面附近的切向
电流元 没有辐射作用 。
??? aaI l
bE bbI l
aE
解
假定 可以产生电场强度 Ea,可以证明 Ea = 0 。
aaIl
VV babaVV abab
ba
d][d][ mm JHJEJHJE ??????? ??
镜像法 是否可用？
VV
ba V baV ab
dd ?? ??? JEJE
令电流元 与 Ea平行, 在电流元 附近产生的电场为 Eb 。
应用卡森互易原理
bbIl aaIl
bbaaab II lElE ???
故只可能 。0?aE
但是 0??
aab I lE bbabba lIEI ?? lE
考虑到电流元 Il = (JdS)l = JdV,求得
??? aaI l
bE bbI l
aE
得 。0?
bba lIE
但,0?
bblI
9,惠更斯原理
包围波源的 闭合面 上各点场都可作为 二次波源, 它们共同决定了面
外任一点场, 这就是 惠更斯原理 。 这些二次波源称为 惠更斯元 。
S
源
ES HS P
EP HP
设包围波源的闭合面 S上场为 ES 及 HS,
闭合面外 P点的场强 EP 及 HP 是由整个闭
合面上全部 ES,HS 共同决定的 。
为了导出 EP,HP 与 ES,HS 之间的定量
关系, 以一个半径为无限大的球面 S?包围
整个区域 。 场点 P 位于闭合面 S 与 S? 之
间的无源区 V中 。
x
V
S
S?
r
P
源
z
yO
en
en
r'
r – r '
通过严格的数学推演, 求得闭合面 S 外任一点场强 与闭合面
上的场强 的关系式如下：
PE PH
SE SH
? ??????? ? ????? ???? S SSP SnGnG d )(),(),()( )( 00 rErrrrrErE
? ??????? ? ????? ???? S SSP SnGnG d )(),(),()( )( 00 rHrrrrrHrH
上式称为 基尔霍夫公式 。 因为它是通过直角 坐标分量 利用标量
格林定理导出的, 故又称为 标量绕射公式 。
rrrr
rr
????
???
π4
e),( j
0
k
G
式中 —— 自由空间格林函数 。
还有其它数学公式描述惠更斯原理 。
前已指出, 闭合面外任一点场强取决于
闭合面上 全部 惠更斯元 。
惠更斯原理意味着电磁能量由波源到达场点的过程中 电磁波传播
占据一定的 空间, 而不是沿一条线传播 。
但是, 闭合面上各点的惠更斯元对于空
间某点场强的贡献有所不同 。 显然, 主要贡
献 来自于闭合面上 面对 场点的惠更斯源 。
认为到达场点的电磁能量仅 沿一条线 传播的观点即是 几何光学的
射线原理 。
理论证明, 只有当电磁波的波长为 零 时, 其传播轨迹才是一条曲
线 。 因此, 几何光学原理又称为 几何光学近似 。
S
源
ES HS P
EP HP
10,面天线辐射 几种微波天线
口
径
抛物面天线
口
径
透镜天线喇叭天线
口
径
这类天线都是通过一个 平面口径 向外辐射电磁能量, 因此, 这类天
线称为 面天线 。
面天线辐射场的求解可以分为 两步,首先求出口径场, 然后, 根据
口径场再求解空间场 。 口径场的求解称为面天线的 内部 问题, 空间场的
求解称为 外部 问题 。
前已指出, 任何描述惠更斯原理的数学公式中的积分表面必须
是闭合的 。 对于有限口径场的辐射, 一种补救的办法是同时考虑口
径 边缘电荷 的辐射作用 。 但是对于口径正前方主叶内的场强, 忽略
边缘电荷所产生误差是允许的 。
首先计算惠更斯元的辐射场 。
图示的惠更斯元的 辐射 场可以表示为
? z
P
y
x
r
kzSS ψψ j0 e ??
式中 ?S 0 为 z = 0 处的惠更斯元 。
下面我们 忽略边缘电荷 的辐射作用, 使用基尔霍夫公式计算有
限口径场的辐射 。
对于远区场, 可取 ?c o s
π4
ej
π4
e jj
rkn
krk ???? ??
???
?
???
?
???
?
rr
rr
求得惠更斯元的远区辐射场为
krSP r Sψψ j0 e)c o s1(2 dj ???? ??
可见, 惠更斯元的方向性因子为 。 ??? c o s1),( ??f
z
?
2
1
1
任意平面口径场 可以归结为很多 振幅不等, 相位不同 的惠更斯元
的辐射场的合成 。
若以 代表口径场的某一直角坐标分量, 由于口径为 平面, 因此,
各面元产生的远区场强 方向一致, 直接积分求得
0S?
Srψψ S krSP ????? ? ? d)c o s1(e2 j j0 ??
例 计算边长为 2a 及 2b 的 均匀同相 矩形口径场的辐射场强 。
解
X
a
x
y
zO
b
r0
P(x,y,z)
r P(r0,?,?)
?
ES 0 -a
-b??
(x?,y ?,0)
口径场的某一直角坐标分量为
kzSS EE j0e ??
式中 与坐标无关, 则0SE
SrEE S krSP ????? ? ? d)c o s1(e2j j0 ??
对于远区,,, 可取xr ???
0 yr ???0
0
0 r
yyxxrr ?????
而且可以认为观察点 P 对于各个面元 均处于同一方位, 即,
故, 且可取 。
S?d ????
?? co s1co s1 ????
0
11 rr ?
求得
?? ? ????? ????? a a yxkb bkrSP xyrEE )s i nc o s(s i nj
0
j
0 de d )c o s1(
2
ej 0 ????
?
0j
0
0 e
s ins in
)s ins ins in (
c o ss in
)c o ss ins in ()c o s1(2j krS
P kb
kb
ka
ka
r
a b EE ????
??
??
??
???
?
可见, 均匀同相矩形口径场的方向性因子为
??
??
??
?????
s ins in
)s ins ins in (
c o ss in
)c o ss ins in ()c o s1(),(
kb
kb
ka
kaf ??
实际中, 通常仅以 及 两个主平面内的方向图表示这种口
径场辐射的方向性 。
2
π??0??
?
???
si n
)si nsi n ()c o s1()0,(
ka
kaf ?? ? ??? s i n )s i ns i n ()c o s1()2π,( kb kbf ??
若, 则两个主平面内的方向图如下：?? 52,32 ?? ba
由于, 导致 平面内的主叶 较窄 。
2
π??ab?
ba
??? 442.0o r 442.02
5.0 ? ba
??? o r 2
0 ?
主叶半功率角 2?0.5和零功率角 2?0分别近似计算为
方向性系数为
2
π4
?
AD ?
可见, 口径的 波长尺寸 越大, 主叶 越窄, 方向性系数 越大 。
式中 abA 4?
f (?,0)
f (?,)
2?
X
a
x
y
z
O
b -a
-b
若口径场的 振幅不均匀, 但其 相位相同 或以口径中心为 对称分
布, 则其主射方向仍然为 正前方, 但其方向性系数 低于 上式的计算
值 。 再考虑到天线的损耗, 通常面天线的 增益 可以表示为
1,π4 2 ?? ??? AG
式中 ?称为 口径利用系数 。
由于口径场 振幅 的不均匀性, 相位 畸变, 天线 损耗 以及馈源 阻
挡 等因素均使 ?值下降 。 通常 左右 。5.0??
卫星通信地面站常用的 30m直径的抛物面天线 。 若工作波
长 cm,则 dB。
6.0??
5.7?? 59?G
教 学 时 光 短 暂
友 情 地 久 天 长
主 要 内 容
电流元辐射，天线方向性，线天线，天线阵，对偶
原理，镜像原理，互易原理，惠更斯原理，面天线辐射。
1,电流元辐射
一段载有 均匀同相 的时变电流的导线称为
电流元,电流元的 d << l,且 l << ?,l << r。
I l
d
均匀同相 电流是指导线上各点电流的 振幅
相等, 且 相位 相同 。
任何 线天线 均可看成是由很多电流元 连续分布 形成的，电流元是线
天线的 基本单元 。很多 面天线 也可直接根据面上的 电流分布 求解其辐射
特性。
电流元具备的很多电磁辐射特性是任何其它天线所共有的。
设电流元周围媒质是 无限大 的 均匀线
性 且 各向同性 的 理想 介质。建立的坐标如
左图示。
利用矢量磁位 A计算其辐射场。该线
电流 I 产生的矢量磁位 A 为
? ???? ???l rrkI lrrrA d|| eπ4)( ||j?
式中 r 为场点,r' 为源点。
r
Il
z
y
x
?,? P(x,y,z)
o
由于, 可以认为上式中, 又因电流仅具有 z
分量, 即, 因此
rll ????,? r??? || rr
lz ??? dd el
zz AerA ?)( krz rlIA jeπ4 ?? ?
为了讨论天线的电磁 辐射 特性，使用 球 坐标系较为方便。那么，上
述矢量位 A 在球坐标系中的各分量为
?c o szr AA ? ?? sinzAA ?? 0??A
?
r
Il
z
y
x
?
?,?
A?
Az
Ar?
-A?
再利用关系式, 求得 磁场强度
各个分量为
AH ??? ?1
kr
rkkr
lIkH j
22
2 e1j
4 π
s i n ??
?
??
?
? ?? ?
?
0?? rHH ?
由,或者直接利用,根据已知的
磁场强度即可计算 电场强度,其结果为
? ? ?? j j
AAE ?????? EH j?????
e1j2 π c o s j j33223 krr rkrklIkE ??????? ??? ?? ?
kr
rkrkkr
lIkE j
3322
3 e1j1
4 π
s i n j ??
?
??
?
? ?????
??
?
?
0??E
上述结果表明，在球坐标中,z 向电流元场强具有, 及 三个分量，
而 。由此可见，可以认为电流元产生的电磁场为 TM波。
?H rE ?E
0??? ?? EHH r
通常, r << ? 的区域称为 近区 ；反之, r >> ? 的区域称为 远区 。
在电磁场中，物体的绝对几何尺寸是无关紧要的。具有重要意义的
是物体的尺寸相对于波长的大小，以波长度量的几何尺寸称为物体的 波
长尺寸 。
kr
rkkr
lIkH j
22
2 e1j
4 π
s i n ??
?
??
?
? ?? ?
?
e1j2 π c o s j j33223 krr rkrklIkE ??????? ??? ?? ?
kr
rkrkkr
lIkE j
3322
3 e1j1
4 π
s i n j ??
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? ?????
??
?
?
0??? rHHE ??
?
r
Il
z
y
x
?
?,?
E?
Er
H?
位于坐标原点的 z 方向电流元的电磁场
r << ?的区域称为 近区 ；反之, r >> ? 的区域称为 远区 。
近区中的电磁场称为 近区场,远区中的电磁场称为 远区场 。
近区场 。因,,则上式中的低次项 可以忽
略，且令,那么
???r 1π2 ??? rkr
? ??
??
?
?kr1
1e j ?? kr
π4 s i n 2rlIH ?? ? 3 2 π c o s j rlIE r ?? ??? 3 π4 s i n j rlIE ?? ?? ??
将上式与静态场比较可见, 它们分别是恒定电流元 Il 产生的磁场及
电偶极子 ql 产生的静电场 。 场与源的相位完全相同, 两者之间没有时差 。
可见，近区场与静态场的特性完全相同,无滞后 现象，所以近区场
称为 似稳场 。
电场与磁场的时间相位差为,能流密度的实部为零，只存在虚部。
可见近区场中没有能量的单向流动，近区场的能量完全被束缚在源的周
围，因此近区场又称为 束缚 场 。
2
π
远区场 。 因,, 则上式中的高次项可以忽略,
结果只剩下两个分量 和, 得
???r 1π2 ??? rkr
?
?H ?E
krrlIH je2s i n j ?? ? ?? krrlZIE je2 s i n j ?? ? ??
式中 为周围媒质的波阻抗。
?
??Z
上式表明，电流元的远区场具有以下特点：
（ 1） 远区场为向 r 方向传播的电磁波。电场及磁场均与传播方向 r
垂直，可见远区场为 TEM波,电场与磁场的关系为 。Z
H
E ?
?
?
（ 2） 电场与磁场同相, 复能流密度仅具有实部 。 能流密度矢量的方向
为传播方向 r 。 这就表明, 远区中只有不断向外辐射的能量, 所以远
区场又称为 辐射场 。
看录像补充的
（ 3） 远区场强振幅与距离 r 一次方 成反比，场强随距离增加不断衰减。
这种衰减不是媒质的损耗引起的，而是 球面波 固有的 扩散 特性导致的。
（ 4） 远区场强振幅不仅与距离有关，而且与观察点所处的 方位 也有关，
这种特性称为天线的 方向性 。场强公式中与方位角 ?及 ? 有关的函数称为
方向性因子,以 f (?,? ) 表示。
由于电流元沿 Z轴放臵，具有 轴对称 特点，场强与方位角 ?无关，方
向性因子仅为方位角 ?的函数，即 。可见，电流元在 ?= 0 的
轴线方向上辐射为零，在与轴线垂直的 ?= 90?方向上辐射最强。
??? s in),( ?f
（ 5） 电场及磁场的方向与 时间 无关。可见，电流元的辐射场具有 线极化
特性。当然在不同的方向上，场强的极化方向是不同的。
krrlIH je2s i n j ?? ? ?? krrlZIE je2 s i n j ?? ? ??
除了上述线极化特性外，其余 四 种特性是一切 尺寸有限 的天线远区
场的 共性,即一切 有限尺寸 的天线，其远区场为 TEM波,是一种 辐射场,
其场强振幅不仅 与距离 r 成反比,同时也 与方向有关 。
当然，严格说来,远区场中也有电磁能量的交换部分。但是由于形
成能量交换部分的场强振幅至少与距离 r2 成反比，而构成能量辐射部分
的场强振幅与距离 r成反比，因此,远区 中能量的 交换 部分所占的比重
很小。相反,近区 中能量的 辐射 部分可以忽略。
天线的极化特性和天线的 类型 有关。天线可以产生 线极化, 圆极化
或 椭圆极化 。当天线接收电磁波时，天线的极化特性必须与被接收的电
磁波的极化特性 一致 。否则只能收到部分能量，甚至完全不能接收。
为了计算电流元向外的 辐射功率 Pr,可将 远区 中的复能流密度矢量
的 实部 沿半径为 r的球面进行积分, 即
? ?? SP cr d)R e ( SS
式中 Sc为远区中的复能流密度矢量, 即
ZHZEHE rrr 22*c |||||||| ?????? eeeHES ?????
代入前式, 得
)R e (4 s in c22 222c SeS ?? rlZIr ? ?
那么，若周围为真空，波阻抗 Z = Z0 = 120??，则辐射功率 为rP
2
22
r π80 ??
??
?
??
?
lIP
式中 I 为电流强度的有效值。
为了衡量天线辐射功率的大小，以 辐射电阻 Rr表述天线的辐射功率
的能力，其定义为
2rr I
PR ?
那么, 电流元的辐射电阻 为
rR
2
2
r π80 ??
??
?
??
?
lR
由此可见，电流元长度越长，则电磁辐射能力越强。
例 若位于坐标原点的电流元沿 x 轴放臵，试求其远区场公式。
因,,lII
xel ? xAxeA ? krx rlIA jeπ4 ?? ?
相应的各球面坐标分量为
????? ?? s i n ; c o sc o s ; c o ss i n xxxr AAAAAA ????
对于 远区场 仅需考虑与距离 r 一次方
成反比的分量, 因此, 求得远区磁场强度
为
krrlI je)c o sc o ss in( 2 j ???? ???? ?? eeH
又知远区场是向正 r 方向传播的 TEM波, 因此, 电场强度 E 为
krr rlZIZ je)s i nc o sc o s( 2 j ?????? ???? ?? eeeHE
解
r
Il
z
y
x
?,? P(x,y,z)
o
由此可见, 对于 x 方向电流元, 不同 场分量 具有不同的方向性
因子 。 此结果与 z 方向电流元的方向性因子完全不同 。 由此可见,
改变天线相对于坐标系的 方位, 其方向性因子的表示式 随之改变 。
但是，并不以为意味天线的 辐射特性 发生变化，只是 数学表达
式 不同而已。
2,天线的方向性
天线的方向性是天线的重要特性之一。 任何天线都具有方向性,
本节将介绍如何定量地描述天线的方向性。
正如前述, 电流元在其轴线方向上辐射为 零, 在与轴线垂直的
方向上辐射 最强 。 电流元的辐射场强与方位角 ? 无关 。
实际中使用 归一化 方向性因子 比较方便, 其定义为),( ??F
m
),(),(
f
fF ???? ?
式中 fm为方向性因子的 最大值 。
显然，归一化方向因子的最大值 Fm= 1。这样，任何天线的 辐射场 的
振幅 可用归一化方向性因子表示为
),(|||| m ??FEE ?
式中 为 最强 辐射方向上的场强振幅。
m||E
利用归一化方向性因子可用 图形 描绘天线的方向性。通常以 直角坐标
或 极坐标 绘制天线在 某一平面内 的方向图。
使用计算机绘制的 三维空间 的立体方向图更能形象地描述天线辐射
场强的空间分布 。
已知电流元的方向性因子为,其最大值,所以该
电流元的归一化方向性因子为
??? sin),( ?f 1m?f
??? sin),( ?F
若采用 极坐标,以 ?为变量在任何 ?等于 常数的平面内，函数
的变化轨迹为两个圆，如左上图示。
),( ??F
y
z
y
x
x
y
z
r
?
?
E
E
H
H
电流元 将左上图围绕 z
轴旋转一周，即构成
三维空间 方向图。
由于与 ?无关，在 的平面内，以 ?
为变量的函数的轨迹为一个圆，如左下图
示。
2
π??
下图以极坐标绘出了典型的雷达天线的方向图。方向图中辐射最强
的方向称为 主射方向,辐射为零的方向称为 零射方向 。具有主射方向的
方向叶称为 主叶,其余称为 副叶 。
为了定量地描述主叶的宽窄程度，通常定义：场强为主射方向上场
强振幅的 倍的两个方向之间的夹角称为 半功率角,以 表示；两个
零射方向之间的夹角称为 零功率角,以 表示。
2
1 5.02?
02?
2? 0 主射方向
主叶
后叶
副叶 零射方向
零射方向
1
2? 0.5
21
21
x
z
y
方向性系数, 以 D 表示 。
0m||r
0r
EEP
PD
?
?
定义：当 有向 天线在 主射方向 上与 无向 天线在 同一距离 处获得相等
场强时, 无向天线所需的 辐射 功率 与有向天线的 辐射 功率 之比值,
即
0rP rP
式中 为有向天线主射方向上的场强振幅,为无向天线的场强振幅。m||E || 0E
已知有向天线的辐射功率主要集中在主射方向。因此，有向天线所需
的辐射功率一定小于无向天线的辐射功率，即 。可见,。方向
性愈强，方向性系数 D 值愈高。
0rr PP? 1?D
方向性系数通常以分贝表示, 即 DD lg10
dB ?
已知 有向天线 的辐射功率 Pr 为
SFZEP S d),(|| 2 2mr ????
式中 S代表以天线为中心的闭合球面 。
无向天线 的辐射功率应为
2200r π4|| rZEP ?
??? π0 2π2 0 d s i n),(d
π4
????? FD
求得
那么，若已知天线的方向性因子，根据上式即可计算方向性系数。
已知电流元的归一化方向性因子,代入上式，求得
电流元 的方向性系数 D = 1.5。
??? sin),( ?F
实际使用的天线均具有一定的损耗 。 因此, 实际天线的 输入 功率
大于 辐射 功率 。 天线的辐射功率 Pr与输入功率 PA 之比称为天线的 效
率, 以 ?表示, 即
A
rPP??
描述实际天线性能的另一个参数是 增益, 以 G表示 。 其定义与方
向性系数类似 。 但是, 增益是在相同的场强下, 无向天线的 输入 功率
PA0与有向天线的 输入 功率 PA 之比, 即
||||A
0A
0m EE
P
PG
?
?
若假定 无向 天线的效率, 那么由上述关系, 得10??
DG ??
天线增益通常也以分贝表示, 即 GG lg10
dB ?
目前卫星通讯地面站使用的大型抛物面天线，方向性很强，且效率
也很高，其增益通常高达 50dB以上。
3,对称天线辐射
对称天线是一根中心馈电的, 长度可与波长相比拟的载流导线,
如下图示 。
L
L
d
z
y
x
Im
其 电流 分布以导线中点为对称，因此被称
为 对称天线 。
若导线直径 d << ?，电流沿线分布可以近
似认为具有 正弦驻波 特性。
因为对称天线两端开路, 电流为零, 形成
电流驻波的波节 。 电流驻波的波腹位臵取决于
对称天线的长度 。
设对称天线的 半长 为 L,在直角坐标系中沿 z 轴放臵, 中点位于坐
标原点, 则电流空间分布函数可以表示为
L
L
d
z
y
x
Im
|)|(s i nm zLkII ??
式中 Im 为电流驻波的 空间 最大值或称为 波腹
电流, 常数 。
?π2?k
既然对称天线的电流分布为正弦 驻波,对
称天线可以看成是由很多电流振幅不等但 相位
相同 的电流元排成一条直线形成的。
这样，利用 电流元 的远区场公式即可直接
计算对称天线的辐射场。
已知电流元 产生的远区电场强度应为zI ?d
rkrzZIE ????? je2 s i ndjd ? ??
由于观察距离,可以认为组成对称
天线的每个电流元对于观察点 P 的 指向 是相同
的，即,如左图示。
Lr??
rr //?
z
y
x
P
r?
dz'
z'
z'cos?
r'
那么，各个电流元
在 P 点产生的远区 电场方向 相同，合成电场为
各个电流元远区电场的标量和，即
rkL
L r
zZIE ??
? ?
?? ? j
e2
s i ndj
?
?
?
考虑到, 可以近似认为 。 但是含在相位因子中的不能以 r
代替 r?,由于, 可以认为
rL ???
rr 11??
rr //?
?co szrr ????
z
y
x
P
r?
dz'
z'
z'cos?
r'
对称天线
若周围媒质为 理想 介质, 那么
远区 辐射电场为
krkLkLr IE jm es i n c o s)c o sc o s (60j ??? ???
方向性因子为
?
??
si n
c o s)c o sc o s()( kLkLf ??
由此可见，对称天线的方向性因子与方位角 ? 无关，仅为方位
角 ? 的函数。
|)|(s i nm zLkII ??
L
L
d
z
y
x
Im
电流分布
2L = ?/2 2L = ?
2L = 2?2L = 3?/2
四种长度的对称天线方向图
?
?
? s i n
c o s2πc o s
)(
??????
?f
?
??
s i n
1)c o sπc o s ()( ??f
?
?
? s i n
c o s23 πc o s
)(
??????
?f ? ?? ?? s i n 1c o sπ2c o s)( ??f
?半波天线 全波天线
例 根据辐射电阻及方向性系数的定义, 计算半波天线的辐射电阻及
方向性系数 。
解 根据半波天线的远区电场公式, 求得半波天线的辐射功率为
SZEP S d||
0
2
r ?? ? ?
??????
? π
0
2
2
m ds i n
c o s2πc o s
60 ??
?
I
若定义半波天线的辐射电阻为, 则
2m
rr IPR ?
Ω1.73ds i n
c o s2πc o s
60 π
0
2
r ?
??????
? ? ??
?
R
半波天线
对称天线的电流分布是 不均匀 的, 因此选取不同的电流作为参考
电流, 辐射电阻的数值将不同 。 通常选取 波腹电流 或 输入端电流 作为
辐射电阻的 参考电流, 分别称为以波腹电流或输入端电流为参考的辐
射电阻 。
求得半波天线的方向性系数 D = 1.64。
将半波天线的归一化方向性因子代入下式
??? ?? ????? 0 22 0 d s in),(d
π4
F
D
电流元
半波天线 的输入端电流 等于 波腹电流, 因此上述辐射电阻可以认为
是以波腹电流 或者 以输入端电流为参考的辐射电阻 。
4,天线阵辐射
为了 改善 和 控制 天线的方向性, 通常使用多个简单天线构成复合天
线, 这种复合天线称为 天线阵 。
适当地设计各个单元天线的 类型, 数目, 电流 振幅 及 相位, 单元天
线的 取向 及 间隔, 可以形成所需的方向性 。
若天线阵中各个单元天线的 类型 和 取
向 均相同, 且以相等的 间隔 d 排列在一条
直线 上 。 各单元天线的电流 振幅 均为 I,
但相位依次逐一滞后 同一 数值 ?, 那么,
这种天线阵称为 均匀直线式天线阵 。I
x
z
y
?
d
d
d
?
?
?
?
n
4
3
1
2I e- j?
I e- j2?
I e- j3?
I e- j(n-1)?
dcos?
r1
r4
r3
r2
rn P
若仅考虑 远区场, 且观察 距离 远大于天线阵的 尺寸, 那么可以认为
各个单元天线对于观察点 P的 取向 是相同的 。
又因各单元天线的取向一致, 因此, 各个单元天线在 P 点产生的场强
方向相同, 这样, 天线阵的合成场强等于各个单元天线场强的 标量和, 即
nEEEE ???? ?21
根据天线远区辐射场的特性, 第 i 个单元天线的辐射场可以表示为
ikri
i
iii fr ICE je),( ?? ??
式中 Ci决定于天线类型 。 对于均匀直线式天线阵, 因各单元天线类型相
同, 则 。
nCCC ??? ?21
nfff ??? ?21
又因取向一致, 故 。
与前同理, 对于远区可以认为
将上述结果代入前式, 求得 n 元天线阵的合成场强的振幅为
??
?
??
? ?
??
?
??
? ?
?
)c o s(
2
1s i n
)c o s(
2
s i n
),(1
1
11
??
??
??
kd
kdn
f
r
ICE
??
?
??
? ?
??
?
??
? ?
?
)c o s(
2
1s in
)c o s(
2
s in
),(
??
??
??
kd
kdn
f n令
nrrr
111
21
???
?c o sjjj eee 12 kdkrkr ?? ?
?c o s2jjj eee 13 dkkrkr ?? ?
?c o s)1(jjj eee 1 dnkkrkr n ??? ?
?
则 n 元天线阵场强的振幅可以表示为
),(),(|| 1
1
11 ???? nffr ICE ?
式中 称为 阵因子 。),( ??
nf
上述均匀直线式天线阵沿 z 轴放臵, 因此方向性因子仅为方位角 ?
的函数 。
若以 表示天线阵的方向性因子, 则),( ??f
),(),(),( 1 ?????? nfff ?
式中 为 单元天线 的方向性因子, 为阵因子 。),( ??nf),(1 ??f
由此可见, 均匀直线式天线阵的方向性因子等于单元天线的方向
性因子与阵因子的乘积, 这一规则称为 方向图乘法规则 。
可见, 阵因子与单元天线的 数目 n,间距 d 及电流 相位差 ?有关 。
已知天线阵的阵因子为
??
?
??
? ?
??
?
??
? ?
?
)c o s(
2
1s in
)c o s(
2
s in
),(
??
??
??
kd
kdn
f n
适当地变更单元天线的 数目, 间距 及 电流相位, 即可改变天线
阵的方向性 。
阵因子达到最大值的条件为 ?? ?coskd
该条件意味着各单元天线场强的 空间相位差 (kdcos? )恰好抵消
了电流的 时间相位差 ?。 因此, 阵因子达到最大值 。
根据给定的方向性, 确定天线阵的结构, 这是天线阵的 综合 问
题 。
由上式求得阵因子达到最大值的角度 为
m?
)(,a r c c o sm kdkd ?? ???
可见, 阵因子的主射方向决定于单元天线之间的 电流相位差 及其
间距 。
连续地 改变单元天线之间的电流相位差, 即可连续地改变天线阵
的主射方向 。 这样, 无须转动天线, 即可实现在一定范围内的方向性
扫描, 这就是 相控阵天线 的工作原理 。
各个单元天线电流 相位相同 的天线阵称为 同相阵 。 因, 由
上式得
0??
2m
?? ?
此结果表明, 若不考虑 单元天线 的方向性, 则天线阵的主射方向垂直
于天线阵的轴线, 这种天线阵称为 边射式天线阵 。
若单元天线之间的电流相位差, 由前式得kd??
0m ??
此结果表明, 若不考虑 单元天线 的方向性, 则天线阵的主射方向指向
电流相位滞后的一端 。 这种天线阵称为 端射式天线阵 。
下图给出了由两个半波天线构成的几种二元阵的方向图 。
0 ??
d = ?/2
00
d = ?/2
0 –??2
d = ?/4
根据方向图乘法规则即可理解这些二元阵方向图的形成原因 。
例 某直线式四元天线阵, 由四个相互平行的半波天线构成, 如左下
图示 。 单元天线之间的间距为半波长, 单元天线的电流同相, 但电流
振幅分别为,, 试求与单元天线垂直的 平面内
的方向性因子 。
III ?? 41 III 232 ?? 0?x
y
z
1
2
3
4
?
z
y
x
1
2
3
4
解 这是一个 非均匀 的直线式天
线阵, 不能直接应用前述的 均匀
直线式天线阵公式 。
该四元天线阵可以分解为 两个 均匀直线式 三元 同相阵 。
但是单元天线 ② 和 ③ 可以
分别分解为两个电流均为 I 的半
波天线 。
两个三元阵又构成一个均匀直线式二元同相阵 。
那么, 根据 方向图乘法规则, 上述四元天线阵在 yz 平面内
的方向性因子应等于均匀直线式三元同相阵的阵因子与二元同
相阵的阵因子的乘积, 即
),(),(),( 23 ?????? fff ?
式中
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
c o s
2
πs i n
c o s
2
π3s i n
),(3f ?
?
??
?
?? ??? c o s
2
πc o s2),(
2f
基 站 天 线
小
灵
通
天
线
5,电流环辐射
电流环 是一个载有 均匀同相 时变电流的导线圆环, 其圆环
半径 a << ?, 且 a << r 。
设电流环位于 无限大 的空间, 周
围媒质是 均匀线性且各向同性 的 。 建
立直角坐标系, 令电流环的中心位于
坐标原点, 且电流环所在平面与 xy
平面一致, 如左图示 。
z
y
x
a
P.
r
?
?
因结构对称于 z 轴, 电流环的场强
一定与角度 ? 无关 。 为了简单起见, 令
观察点 P 位于 xz 平面 。
? ???? ???l rrkI |rrlrA | edπ4)( )|j?
已知线电流产生的矢量位为
kr
krrk
ISk j
22
2 e s i n1j1
π4)(
??
?
??
?
? ?? ??
?erA
根据几何关系以及近似计算, 求得
式中 为电流环的面积 。2πaS ?
z
y
x
r ?
a
?? r?
e??
)0,,( ?rP
y
x
a
??
?? e??
e??
e?-ex
r?
)0,,( ?rP
利用关系式, 求得电流环产生的磁场为
AH ??? ?1
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
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?
?
?
??
?
?
0
e s in
11
j
1
π4
e c o s
11
j
π2
j
3322
3
j
3322
3
?
?
?
?
H
rkrkkr
S I k
H
rkrk
I S k
H
kr
kr
r
再利用关系式, 求得电流环产生的电场为HE ???
??j
1
??
?
?
?
??
?
?
??
?
? ??? ?
0
e s i n11j
π4
j j
22
2
?
? ?
??
EE
rkkr
S I kE
r
kr
由此可见, 电流环产生的电磁场为 TE波 。
对于远区场, 因, 则只剩下 及 两个分量, 它们分别为1??kr ?H
?E
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
kr
kr
r
SIZ
E
r
SI
H
j
2
j
2
e s i n
π
e s i n
π
?
?
?
?
?
?
上式表明, 电流环的 方向性因子 为
??? sin),( ?f
可见, 与位于坐标原点的 z 向 电流元 的
方向性因子完全一样, 如左图示 。
电流环所在平面内辐射最强, 垂直
于电流环平面的 z 轴方向为零射方向 。
z
y
(-)? S
?
r
IS
z
y
x
?
?,?
H?
E?
与前类似, 可以求得电流环的 辐射功率 Pr 和 辐射电阻 Rr分别为
2
4
6
r π320 ?? ??
??
?
?? aP 46
r π3 2 0 ??
??
?
??
?
aR
电流元及电流环的场强公式 非常类似 。
H?(电流元 ) ~ E?(电流环 ); E?(电流元 ) ~ H? (电流环 )。
?
r
Il
z
y
x
?
?,?
E?
H?
?
r
IS
z
y
x
?
?,?
H?
E?
例 某复合天线由电流元及电流环流构成 。 电流元的轴线垂直于电流
环的平面, 如下图示 。 试求该复合天线的方向性因子及辐射场的极化
特性 。
解 令复合天线位于坐标原点, 且电流
元轴线与 z 轴一致 。
krrlZI j111 e2 s inj ?? ? ??eE
? E
?= E1
?
y
x
I1
z
I2
电流环 产生的远区电场为
krrlSIZ j
2 222 e
s i nπ ??
?
?
?eE
E? = E2
则 电流 元产生的远区电场强度为
那么, 合成的远区电场为
??? ?? s i neπ2j j2 21 rSIZlZI kr??????? ?? eeE
若 I1与 I2的相位差为, 则合成场为 线 极化 。
2π
因, 可见上式中两个分量相互垂直, 振幅不等, 相位相差 。
因此, 若 I1与 I2相位相同, 合成场为 椭圆 极化 。
?? ee ? 2π
该复合天线的方向因子仍为 。?sin
E? = E2
? E?= E1
?
y
x
I1
z
I2
6,对偶原理
前已指出, 电荷与 电流 是产生电磁场的 惟一 源 。 自然界中至今尚
未发现任何 磁荷 与 磁流 存在 。 但是对于某些电磁场问题, 引入 假想的
磁荷 与 磁流 是有益的 。
引入磁荷与磁流后, 描述正弦电磁场的麦克斯韦方程修改如下：
? ? ? ?rBrE ?j???? ? ? ? ? ? ?rBrJrE ?jm ????
? ? ? ? ? ?rDrJrH ?j????
? ? ? ?rrD ????
? ? 0??? rB ? ? ? ?rrB m???
式中 J m(r) —— 磁流密度； ? m(r) —— 磁荷密度。
? ? ? ?rrJ mm j??????磁荷守恒定律,
)()()( me rErErE ?? )()()( me rHrHrH ??
现将电场及磁场分为两部分：一部分是由 电荷 及 电流 产生的电
场 及磁场 ；另一部分是由 磁荷 及 磁流 产生的电场 及
磁场, 即
)(e rE )(e rH )(m rE
)(m rH
由于麦克斯韦方程是 线性 的, 那么他们分别满足的电磁场方程
如下：
?
?
?
?
?
?
?
???
???
????
????
?
??
??
e
e
ee
ee
0
j
j
D
B
HE
EJH
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?????
???
0
j
j
m
mm
mmm
mm
D
B
HJE
EH
?
??
??
比较上述两组方程, 获得以下对应关系：
??
?
?
??
me
me
HE
EH
??
?
?
?
??
??
??
?
?
?
m
m
??
JJ
这个对应关系称为 对偶原理 或 二重性原理 。
这样, 如果我们已经求出某种 电荷 及 电流 产生的电磁场, 只要将
其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系 臵换 以后, 所获得的
表示式即是具有 相同分布 特性的 磁荷 与 磁流 产生的电磁场 。
例如, 已知 z 向电流元 Il 的远区场公式为
krrlIE jmm e2 s i n j ??? ? ?? kr
rZ
lIH jm
m e2
s i n j ??
?
?
?
位于 xy 平面内的电流环即可看作为一个 z 向磁流元 。
那么, z 向磁流元 Ilm产生的远区场应为
krrlIH je2s i n j ?? ? ?? krrlZIE je2 s i n j ?? ? ??
由此可见, 虽然实际中并不存在磁荷及磁流, 但是类似电流环
的天线可以看作为磁流元 。
?
r
Il
z
y
x
?
?,?
E?
H?
电流元
?
r
Im l
z
y
x
?
?,?
H?
E?
磁流元
?
r
IS
z
y
x
?
?,?
H?
E?
电流环
引入磁荷 ? m 及磁流 J m 以后, 两个积分形式的麦克斯韦方程应该
修改为
? ? Sm12n JEEe ???? ? ? Sm12n ???? BBe
SBJlE djd m ????? ?? Sl ? m d ???? S SB
那么, 前述边界条件也必须加以修正 。 但是, 仅涉及电场强度的切向分
量和磁场强度的法向分量, 即
式中 为表面磁流密度, 为表面磁荷密度, 由媒质 ① 指向媒质
②, 如下图示 。
)(m rJ S )(m rS? ne
??
1,?1
?2,?2 e
t
en
E1t
E2t
B1n
B2n
SmJ
??
?
???
??
Smn
n 0
JEe
He
??
?
??
??
0n
mn
De
Be S?
已知磁导率 ??? 的 理想导磁体, 其内部不可能存在任何电磁场,
但其表面可以存在假想的表面磁荷与磁流 。 那么, 理想导磁体的边
界条件为
H
HE
E
???
理想导 磁 体
???
理想导 电 体
7,镜像原理
静态场的镜像原理同样也适用于求解时变电磁场的 边值问题,
但是也仅能应用于某些 特殊 的边界 。
设时变 电流元 Il 位于无限大的理想导电平面附近, 且 垂直 于
该平面, 如下图示 。
??
???
Il
无限大 的 理想导电平面 和无限大的理想 导磁 平面 。
镜像法的 实质 是以镜像源代替 边界 的影响, 整个空间变为
媒质参数为 ?,?的 均匀无限大 空间 。
Il
??
??
I'l'
引入的镜像源必须 保持 原有的边界条件 。
E0
r0
E+
?r
E-?r
令镜像电流元, 且令, 。l??I II ?? ll ??
正弦时变 电流 与时变 电荷 的关系为 。 时变电流元的电荷积
累在电流元的两端, 上端电荷, 下端电荷, 如 下左图 。
qI ?j?
?j
Iq? ?jIq ??
??
-q
q
???
E
Il
??
??
Il
-q
q
-q'
q'
I'l'
0E?
0r?
??E
??r
??E
??r
这些 电荷 及 电流 分别在边界上产生的 电场强度, 如上右图 。
由于引入镜像源以后, 整个空间变为 均匀无限大 的空间, 因此可以
通过 矢量位 A及 标量位 ?计算场强 。
电流元 Il 产生的电场强度为
0j
0
eπ4 krrI ?? lA ? ??
?
? ?
kr
r
qΦ je
π4 ? ?
?
?
?
?? kr
r
qΦ je
π4 ?
式中
???? ????????? ΦΦAEEEE ?j0
类似地, 可以求得镜像电流元 产生的电场为l??I
???? ??????????????? ΦΦAEEEE ?j0
式中
0j
0
e π4 rkrI ??????? lA ? ???
?
? ?
??? rk
r
qΦ je
π4 ?
???
?
? ?
???? rk
r
q je
π4 ??
对于边界平面上任一点，
,。已设,故 。
又,因此，各电场的 水平分量 相
互抵消，合成电场 的方向垂直
于边界平面。 因此，引入的镜像电流
元满足原有的边界条件。
00 rr ??
?? ??rr ?? ??rr II ?? qq ??
ll ??
)( EE ??
由于镜像电流元的方向与原来的电流元方向相同, 这种镜像电流
元称为 正像 。
类似地, 可以证明位于无限大理想导电平面附近的 水平 电流元的
镜像电流元为 负像 。
E0
r0
E+
?r
E-?r??
??
Il
-q
q
-q'
q'
I'l'
0E?
0r?
??E
??r
??E
??r
位于无限大的理想导电平面附近的 磁流元 的镜像关系恰好与电流
元情况 完全相反, 如下图示 。
???
电流元 磁流元
???
从天线阵的角度来看, 镜像法的求解可归结为 二元天线阵 的求解 。
实际地面 对天线的影响, 也可应用镜像原理 。 但是, 由于地面为
非理想的导体, 严格理论分析表明, 只有当天线的 架空高度 以及 观察
点离开地面的高度 远大于波长时, 且仅对于 远区场 的计算才可应用镜
像法 。
？？
上半空间任一点场强可以认为是 直接波 E1 与来自镜像的地面 反射波
E2 之合成, 且认为 E1 与 E2 的方向一致 。 因此, 合成场为直接波与反射
波的标量和, 即
直接波
反射波
r1
r2 地面
E1
E2 2
j
0
1
j
021
21 ee
rRErEEEE
krkr ??
????
由于地面处于天线的远区范围, 天线的远区场具有 TEM波性质,
反射系数 R 可以近似看成是 平面波 在 平面 边界上的反射系数, 它与天线
远区场的 极化特性, 反射点的地面 电磁参数 以及观察点所处的 方位 有关 。
式中 R为地面反射系数 。
实际地面对天线的影响可以归结为一个 非均匀 二元天线阵的求解 。
例 利用镜像原理, 计算垂直接地的长度为 l,电流为 I 的电流元的辐
射场强, 辐射功率及辐射电阻 。 地面当作无限大的理想导电平面 。
Il
Il
?
E?
?0,?0
?0,?0
解 按照镜像原理, 对于无限大的理想导电平面, 垂直电流元的镜像
为 正像 。 因此, 上半空间的场强等于长度为 2l 的电流元产生的辐射
场, 即
kr
r
lIZE j0 es i n j ??
?
?
?
可见, 长度为 l的垂直电流元接地以后, 其场强振幅提高一倍 。
Il ?
E?
???
?0,?0
接地的电流元仅向 上半空间 辐射, 计算辐射功率时应仅沿上半
球面进行积分 。 即辐射功率为
2
222
π
0
2π2
0 r π1 6 0d s i nd ??
??
?
??? ??
????
lISrP
对应的辐射电阻 Rr为
2
2
r π160 ??
??
?
??
?
lR
可见, 其辐射电阻也提高一倍 。
中波广播电台, 为了使电台周围听众均能收到信号, 其天线通
常是一根悬挂的 垂直导线 或 自立式 铁塔 。 它可以看成是一种垂直接
地天线, 在水平面内没有方向性 。
对于中波波段的电磁波, 地面可以近似当作 导电体 。 为了提高
电导率天线附近的地面可以铺设 导电网 。
已知中波收音机的磁棒天线接收电台信号时, 磁棒应与电磁波
的到达方向垂直, 而且磁棒必须 水平放臵 。 如果磁棒垂直于地面,
接收效果显著变坏 。
短波波段通常使用高悬的水平放臵的 半波天线 。 由于天线的架
空高度能与波长达到同一量级, 地面的影响归结为一个 二元天线阵 。
？
调整天线的架空高度, 即可在
与半波天线轴线垂直的铅垂面内形
成具有 一定仰角 的主射方向, 以便
将电磁波射向地面上空的电离层,
依靠电离层反射进行远距离传播 。
?
8,互易原理
V
neS
bbaa HEHE ;
bb
bV
m,
JJ
bS
aa
aV
m,
JJ
aS
设区域 V 内充满 各向同性 的 线性 媒质, 其中两组 同频 源 及
分别位于有限区域 Va 及 Vb 内, 如下图示 。
bb m,JJaa m,JJ
??
?
?????
????
aaa
aaa
HJE
EJH
j
j
m ??
??
??
?
?????
????
bbb
bbb
HJE
EJH
j
j
m ??
??
两组源与其产生的场量满足的麦克斯韦方程分别为
abbabaababba mm)]()[( JHJHJEJEHEHE ?????????????
V( V abbabaababba d][d)])[( mmS ?? ???????????? JHJHJEJESEEHE
利用矢量恒等式, 由麦克斯韦方
程可以求得下面两个方程：
BAABBA ??????????? )(
上两式分别称为互易原理的 微分 形式和 积分 形式 。
?? ???????? bb V babaS abba Vd][d)]()[( m JEJHSHEHE
若闭合面 S 仅包围源 a 或源 b，则分别得到下列结果：
?? ???????? aa V ababS abba Vd][d)]()[( mJHJESHEHE
互易原理描述了两组 同频 源及其产生的场强之间的关系 。 因此,
若已知一组源与其场的关系, 利用互易原理可以建立另一组源与其场
的关系 。
若闭合面 S 不包括任何源, 则上述面积分为零, 即
0d)]()[( ??????S abba SHEHE
若闭合面 S 包括了全部源，则上述面积分也为零。
显然，无论 S 的 大小 如何，只要 S 包围了全部源，它都应等于右端
对 的积分。)(
ba VV ?
由此可见, 前式左端的面积分应为 常量 。
为了求出这个常量, 令 S 面无限地扩大至远区范围, 由于其远区
场具有 TEM波特性, 即 。 将此结果代入前式, 则左端面积分
被积函数中 两项相互抵消, 导致面积分为零, 即上式成立 。
reHE ?? Z
V( V abbabaababba d][d)])[( mmS ?? ???????????? JHJHJEJESEEHE
？
因此, 只要闭合面 S 包围了 全部源, 或者是全部源位于闭合面 S 之 外,
则下式均会成立
该式称为 罗仑兹互易定理 。
0d)]()[( ??????S abba SHEHE
既然上式成立, 那么前式右端体积分为零, 即
0d][ mm ?????????V abbabaab VJHJHJEJE
VV babaVV abab
ba
d][d][ mm JHJEJHJE ??????? ??
或者写为
此式称为 卡森互易定理 。
上述互易定理成立并 不 要求空间媒质是 均匀 的, 那么可以证明, 当
V中局部区域内存在 理想导电体 或 理想导磁体 时, 卡森互易定理应该仍
然成立 。
baabba HESESHSHE ???????? )d()d(d)(
abbaab HESESHSHE ???????? )d()d(d)(
根据矢量混合积公式, 可得
上两式中 及 均表示相应场强的切向分量 。)d( SH ? )d( ES ?
那么, 在远区闭合面
S? 与理想导电体表面或理
想导磁体表面包围的区域
中, 卡森互易定理仍然成
立 。
??? ???
S?
例 利用互易定理, 证明位于有限尺寸的理想导 电 体表面附近的切向
电流元 没有辐射作用 。
??? aaI l
bE bbI l
aE
解
假定 可以产生电场强度 Ea,可以证明 Ea = 0 。
aaIl
VV babaVV abab
ba
d][d][ mm JHJEJHJE ??????? ??
镜像法 是否可用？
VV
ba V baV ab
dd ?? ??? JEJE
令电流元 与 Ea平行, 在电流元 附近产生的电场为 Eb 。
应用卡森互易原理
bbIl aaIl
bbaaab II lElE ???
故只可能 。0?aE
但是 0??
aab I lE bbabba lIEI ?? lE
考虑到电流元 Il = (JdS)l = JdV,求得
??? aaI l
bE bbI l
aE
得 。0?
bba lIE
但,0?
bblI
9,惠更斯原理
包围波源的 闭合面 上各点场都可作为 二次波源, 它们共同决定了面
外任一点场, 这就是 惠更斯原理 。 这些二次波源称为 惠更斯元 。
S
源
ES HS P
EP HP
设包围波源的闭合面 S上场为 ES 及 HS,
闭合面外 P点的场强 EP 及 HP 是由整个闭
合面上全部 ES,HS 共同决定的 。
为了导出 EP,HP 与 ES,HS 之间的定量
关系, 以一个半径为无限大的球面 S?包围
整个区域 。 场点 P 位于闭合面 S 与 S? 之
间的无源区 V中 。
x
V
S
S?
r
P
源
z
yO
en
en
r'
r – r '
通过严格的数学推演, 求得闭合面 S 外任一点场强 与闭合面
上的场强 的关系式如下：
PE PH
SE SH
? ??????? ? ????? ???? S SSP SnGnG d )(),(),()( )( 00 rErrrrrErE
? ??????? ? ????? ???? S SSP SnGnG d )(),(),()( )( 00 rHrrrrrHrH
上式称为 基尔霍夫公式 。 因为它是通过直角 坐标分量 利用标量
格林定理导出的, 故又称为 标量绕射公式 。
rrrr
rr
????
???
π4
e),( j
0
k
G
式中 —— 自由空间格林函数 。
还有其它数学公式描述惠更斯原理 。
前已指出, 闭合面外任一点场强取决于
闭合面上 全部 惠更斯元 。
惠更斯原理意味着电磁能量由波源到达场点的过程中 电磁波传播
占据一定的 空间, 而不是沿一条线传播 。
但是, 闭合面上各点的惠更斯元对于空
间某点场强的贡献有所不同 。 显然, 主要贡
献 来自于闭合面上 面对 场点的惠更斯源 。
认为到达场点的电磁能量仅 沿一条线 传播的观点即是 几何光学的
射线原理 。
理论证明, 只有当电磁波的波长为 零 时, 其传播轨迹才是一条曲
线 。 因此, 几何光学原理又称为 几何光学近似 。
S
源
ES HS P
EP HP
10,面天线辐射 几种微波天线
口
径
抛物面天线
口
径
透镜天线喇叭天线
口
径
这类天线都是通过一个 平面口径 向外辐射电磁能量, 因此, 这类天
线称为 面天线 。
面天线辐射场的求解可以分为 两步,首先求出口径场, 然后, 根据
口径场再求解空间场 。 口径场的求解称为面天线的 内部 问题, 空间场的
求解称为 外部 问题 。
前已指出, 任何描述惠更斯原理的数学公式中的积分表面必须
是闭合的 。 对于有限口径场的辐射, 一种补救的办法是同时考虑口
径 边缘电荷 的辐射作用 。 但是对于口径正前方主叶内的场强, 忽略
边缘电荷所产生误差是允许的 。
首先计算惠更斯元的辐射场 。
图示的惠更斯元的 辐射 场可以表示为
? z
P
y
x
r
kzSS ψψ j0 e ??
式中 ?S 0 为 z = 0 处的惠更斯元 。
下面我们 忽略边缘电荷 的辐射作用, 使用基尔霍夫公式计算有
限口径场的辐射 。
对于远区场, 可取 ?c o s
π4
ej
π4
e jj
rkn
krk ???? ??
???
?
???
?
???
?
rr
rr
求得惠更斯元的远区辐射场为
krSP r Sψψ j0 e)c o s1(2 dj ???? ??
可见, 惠更斯元的方向性因子为 。 ??? c o s1),( ??f
z
?
2
1
1
任意平面口径场 可以归结为很多 振幅不等, 相位不同 的惠更斯元
的辐射场的合成 。
若以 代表口径场的某一直角坐标分量, 由于口径为 平面, 因此,
各面元产生的远区场强 方向一致, 直接积分求得
0S?
Srψψ S krSP ????? ? ? d)c o s1(e2 j j0 ??
例 计算边长为 2a 及 2b 的 均匀同相 矩形口径场的辐射场强 。
解
X
a
x
y
zO
b
r0
P(x,y,z)
r P(r0,?,?)
?
ES 0 -a
-b??
(x?,y ?,0)
口径场的某一直角坐标分量为
kzSS EE j0e ??
式中 与坐标无关, 则0SE
SrEE S krSP ????? ? ? d)c o s1(e2j j0 ??
对于远区,,, 可取xr ???
0 yr ???0
0
0 r
yyxxrr ?????
而且可以认为观察点 P 对于各个面元 均处于同一方位, 即,
故, 且可取 。
S?d ????
?? co s1co s1 ????
0
11 rr ?
求得
?? ? ????? ????? a a yxkb bkrSP xyrEE )s i nc o s(s i nj
0
j
0 de d )c o s1(
2
ej 0 ????
?
0j
0
0 e
s ins in
)s ins ins in (
c o ss in
)c o ss ins in ()c o s1(2j krS
P kb
kb
ka
ka
r
a b EE ????
??
??
??
???
?
可见, 均匀同相矩形口径场的方向性因子为
??
??
??
?????
s ins in
)s ins ins in (
c o ss in
)c o ss ins in ()c o s1(),(
kb
kb
ka
kaf ??
实际中, 通常仅以 及 两个主平面内的方向图表示这种口
径场辐射的方向性 。
2
π??0??
?
???
si n
)si nsi n ()c o s1()0,(
ka
kaf ?? ? ??? s i n )s i ns i n ()c o s1()2π,( kb kbf ??
若, 则两个主平面内的方向图如下：?? 52,32 ?? ba
由于, 导致 平面内的主叶 较窄 。
2
π??ab?
ba
??? 442.0o r 442.02
5.0 ? ba
??? o r 2
0 ?
主叶半功率角 2?0.5和零功率角 2?0分别近似计算为
方向性系数为
2
π4
?
AD ?
可见, 口径的 波长尺寸 越大, 主叶 越窄, 方向性系数 越大 。
式中 abA 4?
f (?,0)
f (?,)
2?
X
a
x
y
z
O
b -a
-b
若口径场的 振幅不均匀, 但其 相位相同 或以口径中心为 对称分
布, 则其主射方向仍然为 正前方, 但其方向性系数 低于 上式的计算
值 。 再考虑到天线的损耗, 通常面天线的 增益 可以表示为
1,π4 2 ?? ??? AG
式中 ?称为 口径利用系数 。
由于口径场 振幅 的不均匀性, 相位 畸变, 天线 损耗 以及馈源 阻
挡 等因素均使 ?值下降 。 通常 左右 。5.0??
卫星通信地面站常用的 30m直径的抛物面天线 。 若工作波
长 cm,则 dB。
6.0??
5.7?? 59?G
教 学 时 光 短 暂
友 情 地 久 天 长
