第八章静电场8 – 7 电 势
）（ 0p ?BE
)(d
0
p
0
p
q
E
q
E
lE AB
AB
?????
?? (积分大小与 无关 )
0q
一 电势
E?0q
A
B
BABA VlEV ??? ?
?? d
0
p
q
E
V AA ?
点电势A
0
p
q
E
V BB ?
点电势B
)(d pp0 ABAB EElEq ????? ??
? ?? ABA lEqE ?? d0p
（ 为参考电势，值任选）
BV
第八章静电场8 – 7 电 势
BABA VlEV ??? ?
?? d
令 0?
BV ? ??
ABA lEV
?? d
电势零点选择方法,有限带电体以无穷远为电势
零点，实际问题中常选择地球电势为零,
? ? ?? AA lEV ?? d
? ???? ABBAAB lEVVU ?? d
电势差
lEV
V
A
A
??
d
0
?? ?
? 点
物理意义 把单位正试验电荷从点 移到无穷远
时，静电场力所作的功,
A
第八章静电场8 – 7 电 势
(将单位正电荷从 移到 电场力作的功,)A B
? ???? ABBAAB lEVVU ?? d
电势差
电势差是绝对的，与电势零点的选择无关；
电势大小是相对的，与电势零点的选择有关,
注意
BABAAB UqVqVqW 000 ????
静电场力的功
J106 0 2.1eV1 19???原子物理中能量单位
单位,伏特 ）（ V
第八章静电场8 – 7 电 势
q r
?
l?d
?
E?
二 点电荷的电势
r
r
qE ??
3
0π 4 ?
?
令
0??V
?
?
??
r
lr
r
q
V
??
d
π 4 30?
r
qV
0π 4 ?
?
rd
0,0
0,0
??
??
Vq
Vq
?
?
?
r r
rqr
3
0π 4
d
?
第八章静电场8 – 7 电 势
1q
2q
3q
三 电势的叠加原理
点电荷系
??
i
iEE
??
?
? ??
A
A lEV
?? d
lE
i A
i
??
d?? ? ?
?
?? ??
i i
i
i
AiA r
qVV
0π4 ?
电荷连续分布
?? rqV P
0π 4
d
?
A
1r
?
1E
?
2r
?
3r
?
2E
?
3E
?
?
?
??
? ?
?
?
?
?
??
?
? ?
?
q
E?dr?
P
Vq dd ??qd
?
第八章静电场8 – 7 电 势
求电势
的方法
?? r
q
V P
0π 4
d
?
? 利用
? 若已知在积分路径上 的函数表达式，
则
E?
lEV
V
A
A
??
d
0
?? ?
? 点
（利用了点电荷电势,
这一结果已选无限远处为电势零点，即使
用此公式的前提条件为 有限大 带电体且选
无限远 处为电势零点,）
rqV 0π 4/ ??
讨论
第八章静电场8 – 7 电 势
R
lq
r
V P
π 2
d
π 4
1d
0?
?
r
q
R
lq
r
V P
00 π 4π 2
d
π 4
1
??
?? ? 22
0π 4 Rx
q
?
?
?
+ +
+
+
+
+
+
++
++
++ +
R r
例 1 正电荷 均匀分布在半径为 的细圆环上,
求 圆环 轴线上距环心为 处点 的电势,
q R
x P
ld
x
P
R
lqlq
π 2
ddd ?? ?
o
y
z
x
第八章静电场8 – 7 电 势
R
qVx
0
0 π 40 ???,
x
qVRx
P
0π 4 ?
???,
22
0π 4 Rx
q
V P
?
?
?
讨 论
R
q
0π4 ?
xo
V
2122
0 )(π 4 Rx
q
??
第八章静电场8 – 7 电 势
R
o x
)(
2
22
0
xRx ???
?
?
22 rx ?
x
P
rrq dπ 2d ??
r
rd
? ??
R
P
rx
rrV
0 22
0
dπ 2
π 4
1 ?
?
Rx ?? x
RxRx
2
2
22 ??? xQV 0π 4 ??
（ 点 电荷电势）
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
第八章静电场8 – 7 电 势
例 2 均匀带电球壳的电势,
+ ++
+ +
+
+ +
+
++
Q
R
真空中，有一带电为,半径为 的带电球壳,Q R
试求（ 1）球壳外两点间的电势差；（ 2）球壳内两点
间的电势差；（ 3）球壳外任意点的电势；（ 4）球壳
内任意点的电势,
解
rer
qERr ??
2
0
2 π 4 ???,
01 ?? ERr ?，
（ 1）
? ??? BABA rr rEVV ?? d2
? ?? B
A
rr
r
r eer
rQ ??
2
0
d
π 4 ? )
11(
π 4 0 BA rr
Q ??
?
ro re?
r?dA B
Ar
r
Br
第八章静电场8 – 7 电 势
0d1 ???? ? B
A
BA
r
r rEVV
??
（ 3） Rr ?
,??Br 0?
?V
令
r
Q
0π 4 ?
?rr r
Q d
π 4 20?
??
?
)11(
π 4 0 BABA rr
QVV ???
?
由
r
QrV
0π 4
)(
?
?外
可得
?? ?? r rErV ?? d)( 2外
或
（ 2） Rr ? + ++
+ +
+
+ +
+
++
Q
R
ro re?
r?dA B
Ar
r
Br
第八章静电场8 – 7 电 势
内V?
（ 4） Rr ?
r
QrV
0π 4
)(
?
?外
由
R
QRV
0π 4
)(
?
?
可得
或
?? ? ???? R rERr rErV ???? dd)( 21内 RQ
0π 4 ?
?
r
QrV
0π 4
)(
?
?外
R
QrV
0π 4
)(
?
?内
R
Q
0π 4 ?
R ro
V
r
Q
0π 4 ?
第八章静电场8 – 7 电 势
例 3,无限长”带电直导线的电势
解
BABA VlEV ??? ?
?? d
o
r
B
Br
P
r
令
0?BV
? ?? BP rr rEV ?? d ? ?? B r
r
r rer
?? d
π2 0?
?
r
r Bln
π2 0?
??
能否选？0?
?V