第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
一 电场线 （电场的图示法）
1） 曲线上每一点 切线 方向为该点电场方向,
2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为
该点电场强度的大小, SNEE d/d???
规 定
E?
S
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
点电荷的电场线
正 点 电 荷
+
负 点 电 荷
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
一对等量异号点电荷的电场线
+
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
++
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
q?q2
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷 (或来自无穷远,去
向无穷远 ).
2） 电场线不相交,
3） 静电场电场线不闭合,
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
E?
S
二 电场强度通量
通过电场中某一个面的电场线数叫做通过这个面
的电场强度通量,
均匀电场, 垂直平面E?
ESΦ ?e
?co se ESΦ ?
均匀电场, 与平面夹角E? ?
?
ne
?
?
SEΦ ?? ??e
E?
S
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
E?
E?
非均匀电场强度电通量
?? ?? s SEΦΦ dc o sd ee ?
? ?? s SEΦ ?? de
0d,
2
π
e22 ?? Φ?
0d,2π e11 ?? Φ?
SEΦ ?? dd e ??
ndd eSS
?? ??
为封闭曲面S
S?d
E??
ne
?
1dS
?
2dS
?
2?
2E
?
1?
1E
?
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
?? ??? SS SESEΦ dc o sde ???
闭合曲面的电场强度通量
SEΦ ?? dd e ??
例 1 如图所示,有一
个三棱柱体放置在电场强度
的匀强电
场中, 求通过此三棱柱体的
电场强度通量,
1CN200 ??? iE ??
x
y
z
E?
o
E? S?d
?
E?S
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
x
y
z
E?
o
P
Q
R
N
M
解
下右左
后前
eee
eee
ΦΦΦ
ΦΦ Φ
???
??
下后前 eee ΦΦΦ ??
0d ??? ?s SE ??
左左左左 ESESs SEΦ ????? ? πc o sd e
??
ne
?
ne
?
ne
?
?
左右右右 ESESs SEΦ ???? ? ?c o sd e
??
0 eeeeee ?????? 下右左后前 ΦΦΦΦΦΦ
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
三 高斯定理
??
?
???
n
i
i
S
qSEΦ
10
e
1
d
?
??
在真空中,通过任一 闭合 曲面的电场强度通量,
等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以,
0?（与 面外 电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
请思考,1） 高斯面上的 与那些电荷有关？E?
s2） 哪些电荷对闭合曲面 的 有贡献？eΦ
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
+
S?d
点电荷位于球面中心
2
0π 4 r
qE
?
?
?? ??? SS SrqSEΦ dπ 4d 2
0
e ?
??
0
e ?
qΦ ?
r
高斯定理的导出 高斯定理
库仑定律
电场强度叠加原理
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
+
点电荷在任意封闭曲面内
?
?
c o sd
π 4
d 2
0
e Sr
qΦ ?
2
0
d
π 4 r
Sq ＇
?
?
00
e d π4 ??
qΩqΦ ?? ?
S?d＇S
?d
S?d
?
r
＇S?d
Ω
r
S dd
2 ?
＇
其中立体角
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
q
点电荷在封闭曲面之外
2dS
?
2E
?
0dd 111 ??? SEΦ ??
0dd 222 ??? SEΦ ??
0dd 21 ?? ΦΦ
0d ???
S
SE ??
1dS
?
1E
?
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
由多个点电荷产生的电场
???? ??? 21 EEE
? ?? ???? S
i
iS SESEΦ
???? dd
e
? ?? ? ????
（外）内） i S
i
i S
i SESE
???? dd
(
?? ? ????
内）（内） (0
e
1d
i
i
i S
i qSEΦ ?
??
0d ??? ?
（外）i S
i SE
???
1q
iq
2q
s
S?d
E?
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
??
?
???
n
i
iS qSEΦ
10
e
1
d
?
??高斯定理
1） 高斯面上的电场强度为 所有 内外电荷的总电场强度,
4） 仅高斯面 内 的电荷对高斯面的电场强度 通量 有贡献,
2） 高斯面为封闭曲面,
5） 静电场是 有源场,
3） 穿进高斯面的电场强度通量为正，穿出为负,
总 结
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
1S 2S 3S
q? q?
0
1e
1
d
?
qSEΦ
S
??? ?
??
02e ?Φ
0
3e ?
qΦ ??
在点电荷 和 的静电场中，做如下的三
个闭合面 求 通过各闭合面的电通量,,,,
321 SSS
q? q?
讨论 将 从 移到
2q A B
eΦ
P
s
点 电场强度是否变化？
穿过高斯面 的 有否变化？
2q
2q
A
B
s
1q
P *
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
四 高斯定理的应用
其步骤为
对称性分析；
根据对称性选择合适的高斯面；
应用高斯定理计算,
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的 对称性 ）
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
++ +
+
+
+
+
+
+ + +
+
O
R
例 2 均匀带电球壳的电场强度
0d
1
???
S
SE ??
0?E?
02
d
?
QSE
S
???
??
r
1S
2
0π 4 r
QE
?
?
0
2π 4
?
QEr ?
r
2s
一半径为,均匀带电 的薄
球壳, 求球壳内外任意点的电场强
度,
R Q
2
0π 4 R
Q
?
rRo
E
解（ 1） Rr ??0
Rr ?（ 2）
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
+
+
+
+
+
o
x
y
z
例 3 无限长均匀带电直线的电场强度
??? ?????
下底）上底）柱面） (((
dd d
sss
SESESE
??????
选取闭合的柱形高斯面
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即
电荷线密度为,求距直线为 处的电场强度,? r
对称性分析,轴对称解
h
???S SE ?? d
? ??
柱面）(
d
s
SE
??
ne
?
ne
?
ne
?
E?
r
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
0?
?h
?
r
E
0π 2 ?
?
?
0
π 2
?
? h
r h E ?
?? ??
柱面）(
dd
sS
SESE
??
+
+
+
+
+
o
x
y
z
h
ne
?
E?
r
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
例 4 无限大均匀带电平面的电场强度
?
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电
荷面密度为,求距平面为 处的电场强度,
r
选取闭合的柱形高斯面
02 ???E
对称性分析,垂直平面E?解
0
d
?
? ＇SSE
S
???
??
底面积
＇S
E?
E?
＇S?
＇S?
＇S2
0?
? ＇SE ?
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
02 ?
?
?E
E?
??
E? E?
??
E?
x
E
O
)0( ??
第八章静电场8 – 4 电场强度通量 高斯定理
?? ??
0
0?
?
0?
?
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0?
?
00
讨 论
无
限
大
带
电
平
面
的
电
场
叠
加
问
题