第九章 两立体相交
在建筑形体中常常会见到由两
个或两个以上的基本形体相交（或
称相贯）而形成的组合形体，它们
的表面交线称为 相贯线 。相贯线是
两相交立体表面的 共有线,相贯线
上的点是两相交立体的 共有点 。
new
由于基本立体有平面立
体与曲面立体之分，所以相
交的情况有以下三种：
1.平面立体与平面立体相交；
2.平面立体与曲面立体相交；
3.曲面立体与曲面立体相交。
１,平面立体与平面立体相交
２,平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体相交
相切无交线
平面立体与曲面立体相交
曲面立体与平面立体相交
内表面相贯线
外表面相贯线
3.两曲面立体相交
相贯线
相贯线
§ ９－１ 两平面立体相交
两平面立体相交，其相贯线在
一般情况下是封闭的空间曲线，但
有时也会是平面多边形。
求作两平面立体相贯线，实质
上仍归结为求直线与平面的交点，
以及求平面与平面交线的问题。
例 9 － 1,
两个三棱
柱相贯,
补全其正
面投影 。
V
空间分析,
两平面立体相交，交
线为封闭的 空间折线 。
题解：
去
掉
投
射
线
后
§ ９－２ 平面立体与
曲面立体相交
平面立体与曲面立体相交的
表面交线，一般是由数段平面曲
线组合而成的空间曲线，每一段
平面曲线都是平面立体的棱面与
曲面立体表面的交线，相邻两段
平面曲线的连接点是平面立体的
棱线与曲面立体表面的交点。
双曲线（平面曲线）
截平面都平行于圆锥的轴心线
例 9－４,求
作四棱柱与
圆锥的相贯
线 。
题解：
１,求特殊点：
２,求一般点：
３,联接相贯线
４,连接可见
轮廓线
VW
题解：
１,求特殊点：
２,求一般点：
３,联接相贯线
４,连接可见
轮廓线
扩展,（ 例 9
－４ ） 求作
圆锥与四棱
柱孔的相贯
线 。
空间分析：
求作圆锥与四
棱柱孔的相贯线 。
在圆锥穿孔的
内表面有四条棱线
题解：
１,求特殊点：
２,求一般点：
３,联接相贯线
４,连接轮廓线
VW
题解：
１,求特殊点：
２,求一般点：
３,联接相贯线
４,连接轮廓线
§ ９－３ 两曲面立体相交
两曲面立体相交，在一般情况下
其相贯线是封闭的空间曲线，特殊情
况下也可能是平面曲线或直线。
在解决相贯线作图时，必须首先
分清楚两相交曲面的几何形状、相对
位置及其大小，并对相贯线形成的情
况（一般情况、特殊情况）进行初步
的判断。
空间曲线曲线
两圆柱轴心线垂直相交
一、利用投影积聚性求作相贯线
在两曲面立体相交时，两圆柱和圆
柱与其它回转体相交的情况很多，但只
要有一个圆柱体的轴线垂直于某一投影
面时，则相贯线在该投影面上的投影就
一定积聚在圆柱的投影（圆）上，使相
贯线的这一投影成为已知，利用这一已
知投影，就可在另一曲面上用取点、取
线的方法作出相贯线的其它投影。
立体表面交线
相贯线
相贯线
两圆柱轴心线垂直
相交（直径不相等）。
表面交线
为空间曲线。
例 9－ 5,求两轴心线正交的圆柱体的相贯线
轴心线垂直的二圆柱相贯，其轴心
线相对位置变化与相贯线之间的关系
其相贯线由原来的 两条空间曲线
逐渐变化为 一条空间曲线 的情况。
轴心线垂直的二圆柱相贯，其轴心线相
对位置变化与相贯线之间的关系（投影图）。
轴心线垂直的二圆柱相贯，其轴心
线相对位置变化与相贯线之间的关系
其相贯线由原来的 两条空间曲线
逐渐变化为 一条空间曲线 (孔 )的情况。
其相贯线由原来的两条空间曲线
逐渐变化为一条空间曲线 (孔 )的情况 。
例 9－ 6,圆柱和半圆柱相贯, 求画正面和补全
侧面投影图 。
空间曲线
直素线
V
空间分析：
例８－４,题解
圆柱和圆锥两轴心
线正交，两表面相交的
共有线（相贯线）。
二、利用辅助面法求作相贯线
空间曲线
辅助平面
直素线
水平圆
三面共点
空间分析：
辅
助
平
面
法
例 8-7,求圆柱与圆锥的相贯线
扩展分析：
空间曲线
三、两曲面立体相贯线特殊情况
两曲面立体的相贯线，在一般情况
下是封闭的空间曲线；但在某些特殊情
况下，相贯线可能是平面曲（圆或者椭
圆）或直线。如果此时两曲面立体对投
影面恰又处于特殊位置，则它们的相贯
线在该投影面上的投影就具有一定的特
点和规律。了解和掌握这些特点和规律
有助于判断和绘制相贯线的投影，并可
以简化作图过程。
两圆柱表面共有的直素线
两圆柱轴心线平行
圆锥和圆柱同轴心线
圆锥和圆柱表面共有的水平圆
回转体同轴心线实例
同轴心线的圆锥和球的相贯线
水平圆
同轴心线的回
转体的相贯线。 水平圆
同轴心线
的圆柱和半球
(图中玻璃罩 )
相切无交线
半球和板的交线
（水平圆）
两轴心线正交，直径相等的圆柱
体的相贯线
椭圆曲线
例 9－ 8,根据已知的投影，完成其
水平投影图。
空间分析：
两相互垂直的铅垂面
内的半椭圆曲线
Ｈ
例 9－ 9,题解
V
例 9－ 10,根据已知的投影，完成其
正投影图。
Ｖ
空间分析, 两
圆柱体轴心线正交，
直径相等（两孔的
直径也相等）；内
外表面都有相贯线 。
椭圆曲线
题解,
两轴心线正交，直径相等的圆柱
体的相贯线
大小相等的两个椭圆
两轴心线斜交，直径相等的圆柱
体的相贯线
大小不等的两个椭圆
圆柱和圆锥两轴心线正交，且公
切于一个球面而相交的相贯线。
大小相等的两个椭圆
圆柱和圆锥两轴心线斜交，且公
切于一个球面而相交的相贯线。
大小不等的两个椭圆
圆柱和圆锥两轴心线平行，相交
的相贯线。
空间曲线
3,补出视图中所缺的线。
例 9-11,补出视图中所缺的投影线
由已知的三视图投影，可
分析出空间物体的形状。
基本
体为轴心
线正交的
两直径相
等的圆柱
体公切于
一个球。
圆柱体
被
公
切
的
球
椭圆曲线
空间分析：,
被公切的球
椭圆曲线在Ｖ面投影积聚为一直线
4,求圆柱穿孔后的水平投影及侧面投影。
例８－９,求圆柱穿孔后（方孔和圆孔
在轴心线上相交）的水平投影及侧面投
影。
圆 柱 中 孔 的 挖 切
V
空间分析,体的投影方向
及孔的挖切
Ｖ
后视图
题解：
5 ·已知三棱柱和圆锥相交的主．俯视图；求完成其左视
图并判明可见性，要求标明特殊点，保留作图线。
例 9－ 12,已知两体相交的Ｖ／Ｈ投影，
求Ｗ的投影及两体表面的交线。
Ｖ
根据已知投影想出空间形体
三棱柱
圆锥
水平圆
双曲线
空间分析：
V
椭圆曲线
题解：
6,根据主．俯视图，求作左视图。
例 9－ 13,求左侧立面图
两内圆柱面直
径相等
6,根据主．俯视图，求作左视图。
空间分析,
空间曲线
椭圆曲线
直线
根
据
投
影
关
系
找
出
特
殊
点
。
与
水平面
倾斜
45° 的
椭圆曲
线在侧
面 投影
为圆 的
圆心。
题解：
画出的左侧立面图
例 9－ 14,求作圆柱被
穿孔后的左侧立面图。
基本形体
是圆柱体
孔的挖切
空间分析：
空间分析,
空间曲线
直素线
水平圆
w
补出左侧立面图题解,
例 9－ 15,补出左侧立面图
由已知的正立面图投影和
平面图的投影，可想出体的形
状。
v
（ 图中箭头方向
为体的正立面图
投影方向）
v
对应平面图用形体分析法分析：
外圆柱面
外圆柱面
内圆柱面
空间分析
:
V
椭圆曲线
空间曲线
直素线
空间曲线
水平圆W
补出左侧立面图
W
四、多个形体相交的
相贯线
例 9－ 16,补画第三视图。
相切无交线
平曲混交体作图步骤,
1.可用堆积组合法先画大的四个形体。
2.用挖切法挖去五个孔。
第三视图底板位置的确定
题目：补画第三视图 。
题目：补画第三视图。
组合体的形体分析
圆筒
底板
支撑板 托架
题目：补画第三视图
五个孔的挖切
题目：补画第三视图
空间分析：四个简单形体的分割
题目：补画第三视图。
绘制底板
题目：补画第三视图。
绘制托架
题目：补画第三视图。
绘制圆筒
题目：补画第三视图
绘制支撑板
题目：补画第三视图
完成补画第三视图
小 结
该题是用形体分析法读图和画图的典型
题目,即将组合体假想分成若干基本形体,然
后一个一个形体分析,想象出简单形体的形状
和彼此之间的位置及组合关系,看图和画图的
步骤是,
(一 )假想分割形体 (二 )对投影
(三 )判形体 (四 )明确位置。
只有反复多次练习,才能掌握该分析方法．
在建筑形体中常常会见到由两
个或两个以上的基本形体相交（或
称相贯）而形成的组合形体，它们
的表面交线称为 相贯线 。相贯线是
两相交立体表面的 共有线,相贯线
上的点是两相交立体的 共有点 。
new
由于基本立体有平面立
体与曲面立体之分，所以相
交的情况有以下三种：
1.平面立体与平面立体相交；
2.平面立体与曲面立体相交；
3.曲面立体与曲面立体相交。
１,平面立体与平面立体相交
２,平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体相交
平面立体与曲面立体相交
相切无交线
平面立体与曲面立体相交
曲面立体与平面立体相交
内表面相贯线
外表面相贯线
3.两曲面立体相交
相贯线
相贯线
§ ９－１ 两平面立体相交
两平面立体相交，其相贯线在
一般情况下是封闭的空间曲线，但
有时也会是平面多边形。
求作两平面立体相贯线，实质
上仍归结为求直线与平面的交点，
以及求平面与平面交线的问题。
例 9 － 1,
两个三棱
柱相贯,
补全其正
面投影 。
V
空间分析,
两平面立体相交，交
线为封闭的 空间折线 。
题解：
去
掉
投
射
线
后
§ ９－２ 平面立体与
曲面立体相交
平面立体与曲面立体相交的
表面交线，一般是由数段平面曲
线组合而成的空间曲线，每一段
平面曲线都是平面立体的棱面与
曲面立体表面的交线，相邻两段
平面曲线的连接点是平面立体的
棱线与曲面立体表面的交点。
双曲线（平面曲线）
截平面都平行于圆锥的轴心线
例 9－４,求
作四棱柱与
圆锥的相贯
线 。
题解：
１,求特殊点：
２,求一般点：
３,联接相贯线
４,连接可见
轮廓线
VW
题解：
１,求特殊点：
２,求一般点：
３,联接相贯线
４,连接可见
轮廓线
扩展,（ 例 9
－４ ） 求作
圆锥与四棱
柱孔的相贯
线 。
空间分析：
求作圆锥与四
棱柱孔的相贯线 。
在圆锥穿孔的
内表面有四条棱线
题解：
１,求特殊点：
２,求一般点：
３,联接相贯线
４,连接轮廓线
VW
题解：
１,求特殊点：
２,求一般点：
３,联接相贯线
４,连接轮廓线
§ ９－３ 两曲面立体相交
两曲面立体相交，在一般情况下
其相贯线是封闭的空间曲线，特殊情
况下也可能是平面曲线或直线。
在解决相贯线作图时，必须首先
分清楚两相交曲面的几何形状、相对
位置及其大小，并对相贯线形成的情
况（一般情况、特殊情况）进行初步
的判断。
空间曲线曲线
两圆柱轴心线垂直相交
一、利用投影积聚性求作相贯线
在两曲面立体相交时，两圆柱和圆
柱与其它回转体相交的情况很多，但只
要有一个圆柱体的轴线垂直于某一投影
面时，则相贯线在该投影面上的投影就
一定积聚在圆柱的投影（圆）上，使相
贯线的这一投影成为已知，利用这一已
知投影，就可在另一曲面上用取点、取
线的方法作出相贯线的其它投影。
立体表面交线
相贯线
相贯线
两圆柱轴心线垂直
相交（直径不相等）。
表面交线
为空间曲线。
例 9－ 5,求两轴心线正交的圆柱体的相贯线
轴心线垂直的二圆柱相贯，其轴心
线相对位置变化与相贯线之间的关系
其相贯线由原来的 两条空间曲线
逐渐变化为 一条空间曲线 的情况。
轴心线垂直的二圆柱相贯，其轴心线相
对位置变化与相贯线之间的关系（投影图）。
轴心线垂直的二圆柱相贯，其轴心
线相对位置变化与相贯线之间的关系
其相贯线由原来的 两条空间曲线
逐渐变化为 一条空间曲线 (孔 )的情况。
其相贯线由原来的两条空间曲线
逐渐变化为一条空间曲线 (孔 )的情况 。
例 9－ 6,圆柱和半圆柱相贯, 求画正面和补全
侧面投影图 。
空间曲线
直素线
V
空间分析：
例８－４,题解
圆柱和圆锥两轴心
线正交，两表面相交的
共有线（相贯线）。
二、利用辅助面法求作相贯线
空间曲线
辅助平面
直素线
水平圆
三面共点
空间分析：
辅
助
平
面
法
例 8-7,求圆柱与圆锥的相贯线
扩展分析：
空间曲线
三、两曲面立体相贯线特殊情况
两曲面立体的相贯线，在一般情况
下是封闭的空间曲线；但在某些特殊情
况下，相贯线可能是平面曲（圆或者椭
圆）或直线。如果此时两曲面立体对投
影面恰又处于特殊位置，则它们的相贯
线在该投影面上的投影就具有一定的特
点和规律。了解和掌握这些特点和规律
有助于判断和绘制相贯线的投影，并可
以简化作图过程。
两圆柱表面共有的直素线
两圆柱轴心线平行
圆锥和圆柱同轴心线
圆锥和圆柱表面共有的水平圆
回转体同轴心线实例
同轴心线的圆锥和球的相贯线
水平圆
同轴心线的回
转体的相贯线。 水平圆
同轴心线
的圆柱和半球
(图中玻璃罩 )
相切无交线
半球和板的交线
（水平圆）
两轴心线正交，直径相等的圆柱
体的相贯线
椭圆曲线
例 9－ 8,根据已知的投影，完成其
水平投影图。
空间分析：
两相互垂直的铅垂面
内的半椭圆曲线
Ｈ
例 9－ 9,题解
V
例 9－ 10,根据已知的投影，完成其
正投影图。
Ｖ
空间分析, 两
圆柱体轴心线正交，
直径相等（两孔的
直径也相等）；内
外表面都有相贯线 。
椭圆曲线
题解,
两轴心线正交，直径相等的圆柱
体的相贯线
大小相等的两个椭圆
两轴心线斜交，直径相等的圆柱
体的相贯线
大小不等的两个椭圆
圆柱和圆锥两轴心线正交，且公
切于一个球面而相交的相贯线。
大小相等的两个椭圆
圆柱和圆锥两轴心线斜交，且公
切于一个球面而相交的相贯线。
大小不等的两个椭圆
圆柱和圆锥两轴心线平行，相交
的相贯线。
空间曲线
3,补出视图中所缺的线。
例 9-11,补出视图中所缺的投影线
由已知的三视图投影，可
分析出空间物体的形状。
基本
体为轴心
线正交的
两直径相
等的圆柱
体公切于
一个球。
圆柱体
被
公
切
的
球
椭圆曲线
空间分析：,
被公切的球
椭圆曲线在Ｖ面投影积聚为一直线
4,求圆柱穿孔后的水平投影及侧面投影。
例８－９,求圆柱穿孔后（方孔和圆孔
在轴心线上相交）的水平投影及侧面投
影。
圆 柱 中 孔 的 挖 切
V
空间分析,体的投影方向
及孔的挖切
Ｖ
后视图
题解：
5 ·已知三棱柱和圆锥相交的主．俯视图；求完成其左视
图并判明可见性，要求标明特殊点，保留作图线。
例 9－ 12,已知两体相交的Ｖ／Ｈ投影，
求Ｗ的投影及两体表面的交线。
Ｖ
根据已知投影想出空间形体
三棱柱
圆锥
水平圆
双曲线
空间分析：
V
椭圆曲线
题解：
6,根据主．俯视图，求作左视图。
例 9－ 13,求左侧立面图
两内圆柱面直
径相等
6,根据主．俯视图，求作左视图。
空间分析,
空间曲线
椭圆曲线
直线
根
据
投
影
关
系
找
出
特
殊
点
。
与
水平面
倾斜
45° 的
椭圆曲
线在侧
面 投影
为圆 的
圆心。
题解：
画出的左侧立面图
例 9－ 14,求作圆柱被
穿孔后的左侧立面图。
基本形体
是圆柱体
孔的挖切
空间分析：
空间分析,
空间曲线
直素线
水平圆
w
补出左侧立面图题解,
例 9－ 15,补出左侧立面图
由已知的正立面图投影和
平面图的投影，可想出体的形
状。
v
（ 图中箭头方向
为体的正立面图
投影方向）
v
对应平面图用形体分析法分析：
外圆柱面
外圆柱面
内圆柱面
空间分析
:
V
椭圆曲线
空间曲线
直素线
空间曲线
水平圆W
补出左侧立面图
W
四、多个形体相交的
相贯线
例 9－ 16,补画第三视图。
相切无交线
平曲混交体作图步骤,
1.可用堆积组合法先画大的四个形体。
2.用挖切法挖去五个孔。
第三视图底板位置的确定
题目：补画第三视图 。
题目：补画第三视图。
组合体的形体分析
圆筒
底板
支撑板 托架
题目：补画第三视图
五个孔的挖切
题目：补画第三视图
空间分析：四个简单形体的分割
题目：补画第三视图。
绘制底板
题目：补画第三视图。
绘制托架
题目：补画第三视图。
绘制圆筒
题目：补画第三视图
绘制支撑板
题目：补画第三视图
完成补画第三视图
小 结
该题是用形体分析法读图和画图的典型
题目,即将组合体假想分成若干基本形体,然
后一个一个形体分析,想象出简单形体的形状
和彼此之间的位置及组合关系,看图和画图的
步骤是,
(一 )假想分割形体 (二 )对投影
(三 )判形体 (四 )明确位置。
只有反复多次练习,才能掌握该分析方法．
