第四章
平面的投影
new
§ ４－１ 平面的表示法
一、用几何元素表示平面
１,不在同一线上的三点；
２,一直线及直线外一点；
３,相交二直线；
４,平行二直线；
５,任一平面图形。
new
1.不在同一线上的三点表示平面在空间的位置
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
new
2.一直线及直线外一点表示平面在空间的位置
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
new
３,相交二直线表示平面在空间的位置
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
new
4.平行二直线表示平面在空间的位置
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
new
５,任一平面图形表示平面在空间的位置
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
new
二、用迹线表示平面
平面与投影面的交线称为平面迹线。
１,水平迹线,平面与Ｈ面的交线。
２,正面迹线,平面与Ｖ面的交线。
３,侧面迹线,平面与Ｗ面的交线。
new
PV PW
PH
水平迹线 PH
正面迹线 PV
侧面迹线 PW
用迹线表示的
一般位置的平面：
new
Ｏ YW
PV
PH
用迹线表示的一般位
置平面Ｐ的投影图：
Ｘ
YＨ
Ｚ
PW
new
PV
PH
PW
用迹线表示的铅垂面Ｐ：
new
ＯＸ
PV
PH
用迹线表示的铅垂面Ｐ的投影图：
?
?
new
Ｑ V Q
W
用迹线表示的水平面 Q：
new
Ｏ
Ｘ
Ｑ V Ｑ Ｗ
用迹线表示的水平面 Q的投影图：
new
Ｒ V
Ｒ H
用迹线表示的侧平面 Ｒ,
new
ＯＸ
Ｒ V
Ｒ H
用迹线表示的侧平面 R的投影图：
new
一、投影面垂直面
二、投影面平行面
三、一般位置平面
§ ４－２ 平面对投影面的相对位置
new
垂直于一个投影面, 倾斜
于另外两个投影面的平面称为
投影面垂直面 ；
平行于一个投影面的平面,
称为 投影面平行面 。
倾斜于三个投影面的平面
称为 一般位置平面 。
new
一、投影面垂直面
１,铅垂面
２,正垂面
３,侧垂面
new
铅垂面Ｐ的投影
Ｐ
new
投影面垂直面的投影特性
铅垂面Ｐ
??
new
铅垂面Ｐ
?
?
new
正垂面 Ｑ 的投影
Ｑ
q′ q″
q
投影面垂直面的投影特性
?
?
?
?
new
正垂面 Ｑ
q
q″q′ ?
new
?
侧垂面 R的投影
Ｒ
r′ r″
r
投影面垂直面的投影特性
??
??
r″
侧垂面 Ｒ的投影
r
r′ ??
new
投影面垂直面的投影特性
在所垂直的投影面上投
影积聚为一直线, 倾斜与投
影轴 。
另外两投影为平面图形
的类似形 。
new
水平面 Ｑ的投影
Ｑ
q′ q″
q
投影面平行面的投影特性
new
(２ ) 投影面平行面的投影特性
水平面 Ｑ
q
Ｑ q″
q′
new
q′
q
q″
水平面 Ｑ 的三面投影
new
(２ ) 投影面平行面的投影特性
正平面Ｐ
new
正平面 Ｐ 的三面投影
new
侧平面 Ｒ的投影
R
r′
r″
r
投影面平行面的投影特性
new
r′ r″
r
new
例如：在该平面立体中 Q为水平面
，Ｐ为侧垂面，ＡＢ为侧平线，ＣＤ为
侧垂线。
new
投影面平行面的投影特性
在所平行的投影面上的
投影反映实形, 另外两投影
积聚为直线且平行于相应投
影轴 。
new
例４－１,已知平面
的两投影，求第三投影。
new
例４－１,已知平面的两投影，求第三投影。
new
例４－２,找出图中
所标各面的第三投影，
并判断它们的空间位置。
new
1"
3"
2
2"
Ⅱ Ⅲ
水平面
侧平面
铅垂平面
实形
new
P
Q
B
F
E
C
p?
例４－３,找出投影图中所标的Ｐ平面、Ｑ平面
及ＣＢ、ＦＥ直线的三投影，并判断它们的空间位置。
q?
q
q?
p?
p
Ｐ平面为一般位置平面；
Ｑ平面为正平面。
ＣＢ直线为正平线；
ＦＥ直线为水平线。
实
形
实
长
new
三,一般位置平面的投影
与投影面即不垂直又不
平行的平面，称为 一般位置
平面。
new
c
ba
a′ b′
c′
b″
a″
c″
A
C
B
一般位置平面的投影
投影为空间平面的类似形
new
Ｏ YW
c′
a
Ｘ
YＨ
Ｚ
PW
一般位置平面的投影
c
b
a′
b′
a〞
b〞
c〞
投影为小于三角形实形的类似形 new
直线在平面内的几何条件：
如果直线通过已知平面内
的两点，则该直线必在已知平
面内，如果直线通过已知平面
内一点，且平行于已知平面内
一直线，则该直线也在平面内 。
§ ４－３ 平面内的点和直线
new
c
ba
a′ b′
c′
b″
a″
c″
A
C
B
平面内的点和直线
M
m′ m″
m
若一直线
通过平面上的
两点，则此直
线在该平面上
。此直线上的
任意点都在该
平面在上。
new
Ｏ YW
c′
a
Ｘ
YＨ
Ｚ
c
b
a′
b′
a〞
b〞
c〞
m
m〞m′
例４ -４,已知点Ｍ在平面三角形ＡＢＣ
上，作出Ｍ点的三面投影。
new
3 ·求作平面梯形 ABCD 的梯形 EFGH 的水平投影。
例４ -５,求作平面梯形 ABCD上的梯
形 EFGH的水平投影。
题解：
a′
d′
e′
g′
f′
h′
1′ c′
2′
b′
d
e f
c1
a g
2
h b
new
例４－６,已知平面四
边形 ABCD的水平投影 abcd和
正面投影 a?b?d?,试完成四边
形的正面投影 。
new
new
§ ４－４平面内的特殊位置直线
一、平面内的投影面平行线
１,平面内的水平线
２,平面内的正平线
３,平面内的侧平线
new
PV PW
PH
平面内的水平线
平面内的
正平线
平面内的
侧平线
平面内的投影面平行线
new
例４－７,在平面内作一条距 H面为 20mm的水平线 。
水平线
new
例４－８,在水平面内作一条距Ｖ面为 20mm的正平线 。
正平线
new
例 4- ８,过 N点作一正平线 MN与已知平面 ABC
平行 。
c′
oX
a′
a
b′
b
c
n′
n na
b
c
a′
X
b′
c′
n′
o
m′
m
new
c′
oX
a′
a
b′
b
c
n′
n na
b
c
a′
X
b′
c′
n′
o
m′
m
题解：
new
例４－９,求作直线 AB的水平投影, 并在直线
AB上求一点 C,使 C点距 H,V面等距离 。
Y H
X
Z
Yw
o
b′
b″
a″
a′
a″
b
Y H
a′
X
o
b′ Z
b″
Yw
p
w
a
c
c′
c″
45°
new
空间分析
?45
?45C
c?
c?
c
V/H的中垂面
中垂
面上所有
的点距 V
面和Ｈ在
的距离相
等。
new
Y H
X
Z
Yw
o
a′
a″
a″
a′
a″
b
Y H
a′
X
o
b′ Z
b″
Yw
p
w
a
c
c′
c″
45°
题解：
new
例４－１０,求
作直线 MN,使其
与直线 AB,CD、
EF相交, 并与直
线 CD垂直 。
c
(b)a
d
f
e′
a′
X
e
c′
b′
f′
d′
o
P Hc
d
(b)a
f
X
a′
c′
e
d′
b′
e′
f′
o
m′
n′
m
n
new
c
(b)
a
d
f
e′
a′
X
e
c′
b′
f′
d′
o
P H
c
d
(b)
a
f
X
a′
c′
e
d′
b′
e′
f′
o
m′
n′
m
n
题解：
new
例４－ 11,完成正方形 ABCD的两面投影 。
new
题解：
▽ y
new
二、平面内对投影面的最大斜度线 。
平面内垂直于该投影面内任
意一条投影面平行线的直线，称
为平面内对相应投影面的最大斜
度线。 new
平面内对投影面的最大斜度线有三种
１,垂直于平面内水平线的直线，是平面
内 对水平面的最大斜度线。
２,垂直于平面内正平线的直线，是平面
内 对正平面的最大斜度线。
３,垂直于平面内侧平线的直线，是平面
内 对侧平面的最大斜度线。
new
平面内对投影面的最
大斜度线用 于一般位置平
面对投影面倾角的求法
new
Ｂ 1 Ｂ
PH
Ｍ
Ｎ
a1? ?
平面 P对水平面 H
的最大斜度线
A
new
1.作平面内的水平线；
2.作对 H面的最大斜度线；
3.用直角三角形法求最大
斜度线对 H面的倾角。
求一般位置平面对 H面倾角
new
例４－９,求三角形ＡＢＣ对Ｈ面的倾角
最大斜度
线实长
最大斜度线
水平投影
new
例４－ 10,求三角形ＡＢＣ对Ｖ面的倾角
?
?
最大斜度线
正面投影
最大斜度
线实长
new
平面的投影
new
§ ４－１ 平面的表示法
一、用几何元素表示平面
１,不在同一线上的三点；
２,一直线及直线外一点；
３,相交二直线；
４,平行二直线；
５,任一平面图形。
new
1.不在同一线上的三点表示平面在空间的位置
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
new
2.一直线及直线外一点表示平面在空间的位置
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
new
３,相交二直线表示平面在空间的位置
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
new
4.平行二直线表示平面在空间的位置
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
new
５,任一平面图形表示平面在空间的位置
Ｘ Ｏ
a′
a
b′
b
c
c′
new
二、用迹线表示平面
平面与投影面的交线称为平面迹线。
１,水平迹线,平面与Ｈ面的交线。
２,正面迹线,平面与Ｖ面的交线。
３,侧面迹线,平面与Ｗ面的交线。
new
PV PW
PH
水平迹线 PH
正面迹线 PV
侧面迹线 PW
用迹线表示的
一般位置的平面：
new
Ｏ YW
PV
PH
用迹线表示的一般位
置平面Ｐ的投影图：
Ｘ
YＨ
Ｚ
PW
new
PV
PH
PW
用迹线表示的铅垂面Ｐ：
new
ＯＸ
PV
PH
用迹线表示的铅垂面Ｐ的投影图：
?
?
new
Ｑ V Q
W
用迹线表示的水平面 Q：
new
Ｏ
Ｘ
Ｑ V Ｑ Ｗ
用迹线表示的水平面 Q的投影图：
new
Ｒ V
Ｒ H
用迹线表示的侧平面 Ｒ,
new
ＯＸ
Ｒ V
Ｒ H
用迹线表示的侧平面 R的投影图：
new
一、投影面垂直面
二、投影面平行面
三、一般位置平面
§ ４－２ 平面对投影面的相对位置
new
垂直于一个投影面, 倾斜
于另外两个投影面的平面称为
投影面垂直面 ；
平行于一个投影面的平面,
称为 投影面平行面 。
倾斜于三个投影面的平面
称为 一般位置平面 。
new
一、投影面垂直面
１,铅垂面
２,正垂面
３,侧垂面
new
铅垂面Ｐ的投影
Ｐ
new
投影面垂直面的投影特性
铅垂面Ｐ
??
new
铅垂面Ｐ
?
?
new
正垂面 Ｑ 的投影
Ｑ
q′ q″
q
投影面垂直面的投影特性
?
?
?
?
new
正垂面 Ｑ
q
q″q′ ?
new
?
侧垂面 R的投影
Ｒ
r′ r″
r
投影面垂直面的投影特性
??
??
r″
侧垂面 Ｒ的投影
r
r′ ??
new
投影面垂直面的投影特性
在所垂直的投影面上投
影积聚为一直线, 倾斜与投
影轴 。
另外两投影为平面图形
的类似形 。
new
水平面 Ｑ的投影
Ｑ
q′ q″
q
投影面平行面的投影特性
new
(２ ) 投影面平行面的投影特性
水平面 Ｑ
q
Ｑ q″
q′
new
q′
q
q″
水平面 Ｑ 的三面投影
new
(２ ) 投影面平行面的投影特性
正平面Ｐ
new
正平面 Ｐ 的三面投影
new
侧平面 Ｒ的投影
R
r′
r″
r
投影面平行面的投影特性
new
r′ r″
r
new
例如：在该平面立体中 Q为水平面
，Ｐ为侧垂面，ＡＢ为侧平线，ＣＤ为
侧垂线。
new
投影面平行面的投影特性
在所平行的投影面上的
投影反映实形, 另外两投影
积聚为直线且平行于相应投
影轴 。
new
例４－１,已知平面
的两投影，求第三投影。
new
例４－１,已知平面的两投影，求第三投影。
new
例４－２,找出图中
所标各面的第三投影，
并判断它们的空间位置。
new
1"
3"
2
2"
Ⅱ Ⅲ
水平面
侧平面
铅垂平面
实形
new
P
Q
B
F
E
C
p?
例４－３,找出投影图中所标的Ｐ平面、Ｑ平面
及ＣＢ、ＦＥ直线的三投影，并判断它们的空间位置。
q?
q
q?
p?
p
Ｐ平面为一般位置平面；
Ｑ平面为正平面。
ＣＢ直线为正平线；
ＦＥ直线为水平线。
实
形
实
长
new
三,一般位置平面的投影
与投影面即不垂直又不
平行的平面，称为 一般位置
平面。
new
c
ba
a′ b′
c′
b″
a″
c″
A
C
B
一般位置平面的投影
投影为空间平面的类似形
new
Ｏ YW
c′
a
Ｘ
YＨ
Ｚ
PW
一般位置平面的投影
c
b
a′
b′
a〞
b〞
c〞
投影为小于三角形实形的类似形 new
直线在平面内的几何条件：
如果直线通过已知平面内
的两点，则该直线必在已知平
面内，如果直线通过已知平面
内一点，且平行于已知平面内
一直线，则该直线也在平面内 。
§ ４－３ 平面内的点和直线
new
c
ba
a′ b′
c′
b″
a″
c″
A
C
B
平面内的点和直线
M
m′ m″
m
若一直线
通过平面上的
两点，则此直
线在该平面上
。此直线上的
任意点都在该
平面在上。
new
Ｏ YW
c′
a
Ｘ
YＨ
Ｚ
c
b
a′
b′
a〞
b〞
c〞
m
m〞m′
例４ -４,已知点Ｍ在平面三角形ＡＢＣ
上，作出Ｍ点的三面投影。
new
3 ·求作平面梯形 ABCD 的梯形 EFGH 的水平投影。
例４ -５,求作平面梯形 ABCD上的梯
形 EFGH的水平投影。
题解：
a′
d′
e′
g′
f′
h′
1′ c′
2′
b′
d
e f
c1
a g
2
h b
new
例４－６,已知平面四
边形 ABCD的水平投影 abcd和
正面投影 a?b?d?,试完成四边
形的正面投影 。
new
new
§ ４－４平面内的特殊位置直线
一、平面内的投影面平行线
１,平面内的水平线
２,平面内的正平线
３,平面内的侧平线
new
PV PW
PH
平面内的水平线
平面内的
正平线
平面内的
侧平线
平面内的投影面平行线
new
例４－７,在平面内作一条距 H面为 20mm的水平线 。
水平线
new
例４－８,在水平面内作一条距Ｖ面为 20mm的正平线 。
正平线
new
例 4- ８,过 N点作一正平线 MN与已知平面 ABC
平行 。
c′
oX
a′
a
b′
b
c
n′
n na
b
c
a′
X
b′
c′
n′
o
m′
m
new
c′
oX
a′
a
b′
b
c
n′
n na
b
c
a′
X
b′
c′
n′
o
m′
m
题解：
new
例４－９,求作直线 AB的水平投影, 并在直线
AB上求一点 C,使 C点距 H,V面等距离 。
Y H
X
Z
Yw
o
b′
b″
a″
a′
a″
b
Y H
a′
X
o
b′ Z
b″
Yw
p
w
a
c
c′
c″
45°
new
空间分析
?45
?45C
c?
c?
c
V/H的中垂面
中垂
面上所有
的点距 V
面和Ｈ在
的距离相
等。
new
Y H
X
Z
Yw
o
a′
a″
a″
a′
a″
b
Y H
a′
X
o
b′ Z
b″
Yw
p
w
a
c
c′
c″
45°
题解：
new
例４－１０,求
作直线 MN,使其
与直线 AB,CD、
EF相交, 并与直
线 CD垂直 。
c
(b)a
d
f
e′
a′
X
e
c′
b′
f′
d′
o
P Hc
d
(b)a
f
X
a′
c′
e
d′
b′
e′
f′
o
m′
n′
m
n
new
c
(b)
a
d
f
e′
a′
X
e
c′
b′
f′
d′
o
P H
c
d
(b)
a
f
X
a′
c′
e
d′
b′
e′
f′
o
m′
n′
m
n
题解：
new
例４－ 11,完成正方形 ABCD的两面投影 。
new
题解：
▽ y
new
二、平面内对投影面的最大斜度线 。
平面内垂直于该投影面内任
意一条投影面平行线的直线，称
为平面内对相应投影面的最大斜
度线。 new
平面内对投影面的最大斜度线有三种
１,垂直于平面内水平线的直线，是平面
内 对水平面的最大斜度线。
２,垂直于平面内正平线的直线，是平面
内 对正平面的最大斜度线。
３,垂直于平面内侧平线的直线，是平面
内 对侧平面的最大斜度线。
new
平面内对投影面的最
大斜度线用 于一般位置平
面对投影面倾角的求法
new
Ｂ 1 Ｂ
PH
Ｍ
Ｎ
a1? ?
平面 P对水平面 H
的最大斜度线
A
new
1.作平面内的水平线；
2.作对 H面的最大斜度线；
3.用直角三角形法求最大
斜度线对 H面的倾角。
求一般位置平面对 H面倾角
new
例４－９,求三角形ＡＢＣ对Ｈ面的倾角
最大斜度
线实长
最大斜度线
水平投影
new
例４－ 10,求三角形ＡＢＣ对Ｖ面的倾角
?
?
最大斜度线
正面投影
最大斜度
线实长
new
