第二章 点的投影
S
A
B
a
1.点的单面投影
(b)
new
new
§ ２－１
点的两面投影
一、两面投影体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
new
第一角投影的二面投影板
ＯＺ轴
ＯＹ轴ＯＸ轴
正面投影Ｖ
坐标圆点Ｏ
水平投影 H
new
二面投影板的展开
new
二、点的两面投影
A
a′
a
ax
new
点的正面投影 a′
点的水平
投影 a
a′
a
A
空间点Ａ
new
a′
a
X O
点的两面投影图
ax
a′a投影连线垂直于 ＯＸ 轴
new
a′
a
b′
b ≡B
c′≡C
c
d ′ ≡d ≡D
X O
特殊位置点的两面投影
点Ｃ在 V面上
点Ｂ在Ｈ面上
点Ｄ在投影轴ＯＸ上
ax
new
点的两面投影规律：
(１ ） 点的正面投影和水平投影的
连线垂直于 OX轴；即,aa′ ⊥Aa ′
(２ )点的水平投影到 OX轴的距离
等于空间点到Ｖ面的距离；点的正
面投影到ＯＸ轴的距离等于空间点
到Ｈ面的距离, 即：
aax = Aa′,axa′ = Aa 。
new
§ ２－ 2
点的三面投影
OⅡ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵ
Ⅳ
一、三投影面体系
X
Y
Z
new
从三面投影面体系中取出我国所用
的第一角投影 。
new
三面投影板的展开（第一角投影）
new
Ｖ W
Ｈ
Ｚ
YH
YWX
展开后的投影板
new
Ａ
a??a?
a
二、点的三面投影
new
点的三面投影
new
点的三投影面展开
ayH
new
点的三面投影规律：
(1)点的正面投影和水平投影
的连线垂直于 OX轴；
(2)点的正面投影和侧面投影
的连线垂直于 OZ轴；
(3)点水平投影到 OX轴的距离
等于侧面投影到 OZ轴的距离 。
new
例 2-1,已知 A点的两
个投影 a和 a′,求 a″ 。
new
§ ２－ 3
两点的相对位置和重影点
一、两点的相对位置：
两点的相对位置：是指空间两
点的上下、左右和前后的关系。可
由两点的三面投影反映出来。
这种位置关系也可由坐标的大
小来判别。按Ｘ坐标判别两点的左、
右关系；按Ｙ坐标判别两点的前后
关系；按Ｚ坐标判别两点的上下关
系；坐标大的在左、在前、在上。
例 2－２,在下图中Ｂ点、Ｃ点和Ｄ点在Ａ点
之下；Ｂ点在Ａ点的正下方； Ｄ点和Ｃ点在Ａ点
之右；Ｃ点在ＡＢＤ点之前。
new
二、重影点
当空间的两点位于同一投射线
上时，它们在该投射线所垂直的投
影面上的投影重合为一点，称这样
的两点为对该投影面上的重影点。
C点,D点为正面投影重影点；
B点、Ｄ点为侧面投影重影点,
Ａ点、Ｂ点为水平投影重影点；
c?
new
Ａ点、Ｂ点、Ｃ点、Ｄ点四点的投影图
b ″ (d″) c" new
1 ·由立体图画出 A, B, C, D 的三面投影，并从
图中量取各点坐标，填入括号内。
A, ( ) B, ( ) E, ( )
例 2－ 3,根据立体图画出 A,B,E点的三面投
影，并从图中量取各点坐标，填入括号内。
Ａ（ ） Ｂ（ ） E（ ）
A (19,21,23) B (31,33,0) E (31,33,31)
Ａ (18,20,25 ） Ｂ（ 30,35,0） Ｃ（ 30,33,30）
画出 A,B,E点的三面投影，量取各点坐标
，填入括号内。
例 2－３,已知点 A和点 B的 H投影,
B点的 Z坐标为 20mm,且 A点和 B点是
正面投影重影点 ；已知点 C和点 D的
V投影, C点的 Y坐标为 30mm,且 C点
和 D点是水平投影重影点 ；
（ 1） 求点 A和点 B的正面投影 。
（ 2） 求点 C和点 D的水平投影 。
a
d′
b
X
c′
o
(d)
d′
c′
oX
a′
a
(b′)
b
c
a
d′
b
X
c′
o
题解：
20
30
例２－４,两交叉直线的重影点问题
Ⅰ 点的Ｙ坐标大于 Ⅱ 点，故
Ⅰ 点在 Ⅱ 点的正前方。
正面投影重影点
水平投影重影点
Ⅲ 点的
Ｚ坐标
大于 Ⅳ
点，故
Ⅲ 点在
Ⅳ 点的
正上 方
。
S
A
B
a
1.点的单面投影
(b)
new
new
§ ２－１
点的两面投影
一、两面投影体系
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
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第一角投影的二面投影板
ＯＺ轴
ＯＹ轴ＯＸ轴
正面投影Ｖ
坐标圆点Ｏ
水平投影 H
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二面投影板的展开
new
二、点的两面投影
A
a′
a
ax
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点的正面投影 a′
点的水平
投影 a
a′
a
A
空间点Ａ
new
a′
a
X O
点的两面投影图
ax
a′a投影连线垂直于 ＯＸ 轴
new
a′
a
b′
b ≡B
c′≡C
c
d ′ ≡d ≡D
X O
特殊位置点的两面投影
点Ｃ在 V面上
点Ｂ在Ｈ面上
点Ｄ在投影轴ＯＸ上
ax
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点的两面投影规律：
(１ ） 点的正面投影和水平投影的
连线垂直于 OX轴；即,aa′ ⊥Aa ′
(２ )点的水平投影到 OX轴的距离
等于空间点到Ｖ面的距离；点的正
面投影到ＯＸ轴的距离等于空间点
到Ｈ面的距离, 即：
aax = Aa′,axa′ = Aa 。
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§ ２－ 2
点的三面投影
OⅡ
Ⅲ
Ⅰ
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵ
Ⅳ
一、三投影面体系
X
Y
Z
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从三面投影面体系中取出我国所用
的第一角投影 。
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三面投影板的展开（第一角投影）
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Ｖ W
Ｈ
Ｚ
YH
YWX
展开后的投影板
new
Ａ
a??a?
a
二、点的三面投影
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点的三面投影
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点的三投影面展开
ayH
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点的三面投影规律：
(1)点的正面投影和水平投影
的连线垂直于 OX轴；
(2)点的正面投影和侧面投影
的连线垂直于 OZ轴；
(3)点水平投影到 OX轴的距离
等于侧面投影到 OZ轴的距离 。
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例 2-1,已知 A点的两
个投影 a和 a′,求 a″ 。
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§ ２－ 3
两点的相对位置和重影点
一、两点的相对位置：
两点的相对位置：是指空间两
点的上下、左右和前后的关系。可
由两点的三面投影反映出来。
这种位置关系也可由坐标的大
小来判别。按Ｘ坐标判别两点的左、
右关系；按Ｙ坐标判别两点的前后
关系；按Ｚ坐标判别两点的上下关
系；坐标大的在左、在前、在上。
例 2－２,在下图中Ｂ点、Ｃ点和Ｄ点在Ａ点
之下；Ｂ点在Ａ点的正下方； Ｄ点和Ｃ点在Ａ点
之右；Ｃ点在ＡＢＤ点之前。
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二、重影点
当空间的两点位于同一投射线
上时，它们在该投射线所垂直的投
影面上的投影重合为一点，称这样
的两点为对该投影面上的重影点。
C点,D点为正面投影重影点；
B点、Ｄ点为侧面投影重影点,
Ａ点、Ｂ点为水平投影重影点；
c?
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Ａ点、Ｂ点、Ｃ点、Ｄ点四点的投影图
b ″ (d″) c" new
1 ·由立体图画出 A, B, C, D 的三面投影，并从
图中量取各点坐标，填入括号内。
A, ( ) B, ( ) E, ( )
例 2－ 3,根据立体图画出 A,B,E点的三面投
影，并从图中量取各点坐标，填入括号内。
Ａ（ ） Ｂ（ ） E（ ）
A (19,21,23) B (31,33,0) E (31,33,31)
Ａ (18,20,25 ） Ｂ（ 30,35,0） Ｃ（ 30,33,30）
画出 A,B,E点的三面投影，量取各点坐标
，填入括号内。
例 2－３,已知点 A和点 B的 H投影,
B点的 Z坐标为 20mm,且 A点和 B点是
正面投影重影点 ；已知点 C和点 D的
V投影, C点的 Y坐标为 30mm,且 C点
和 D点是水平投影重影点 ；
（ 1） 求点 A和点 B的正面投影 。
（ 2） 求点 C和点 D的水平投影 。
a
d′
b
X
c′
o
(d)
d′
c′
oX
a′
a
(b′)
b
c
a
d′
b
X
c′
o
题解：
20
30
例２－４,两交叉直线的重影点问题
Ⅰ 点的Ｙ坐标大于 Ⅱ 点，故
Ⅰ 点在 Ⅱ 点的正前方。
正面投影重影点
水平投影重影点
Ⅲ 点的
Ｚ坐标
大于 Ⅳ
点，故
Ⅲ 点在
Ⅳ 点的
正上 方
。
