第六章
投 影 变 换
§ ６－１ 投影变换的目的和方法
在解决一般度量和定
位时，如果能把给出的一
般位置直线或平面 变成对
投影面平行或垂直的特殊
位置,则解题就可简化。
实长
一般位置直线与 正平线 投影图比较
一般位置直线 特殊位置直线
a′
b′
c′
b
a
c
b
c′
b′
a′
a
c
一般位置平面 特殊位置平面
一般位置平面与 水平面 投影图比较
实形
a′
b′
c′
c′
b′
a
a′
b
c
a
(e)
(c)
b
e′
一般位置投影图 特殊位置投影图
求Ａ点到直线ＢＣ的距离
实距离
一般位置投影图 特殊位置投影图
线面求交点投影图比较
a′
c′
b′
c
a
b
a′
b′
c′
a
b
c
e′
f′ e′
f′
e
f e
f
k′
k
§ ６－２ 变换投影面法
变换投影面法简称 换面法：
空间几何元素保持不动，用增设
投影面的方法，使空间元素对新
投影面处于有利于解题的位置。
一,点的投影变换
空间点Ａ的三面投影
a?
a
a??
A
基本原理
１,新投影面的设置必须符合以
下两个基本条件：
（１）新投影面必须使空间几何元素
有利于解题的位置；
（２）新投影面必须垂直一个不变的
投影面。
a?
a
a??
A
在旧投影面 Ｖ 和新投影面 Ｖ １ 中
它们的 Ｚ 坐标相等。
点的投影变换规律
（１）点的新投影和不变的投
影连线垂直于新投影轴；
（２）点的新投影到新投影轴
的距离等于被替换的投影到旧
投影轴的距离。
a?
a??
a
在旧投
影面 Ｖ 和新
投影面 Ｖ １
中它们的Ｚ
坐标相等。
拿走空间点
Ａ后，将投
影板展开。
ＯＸ
Ｘ １
Ｏ １
a′
a
Ｈ
Ｖ １
a1′
Z坐标
Z坐标
点Ａ的投影变换
二,直 线的投影变换
如何将一般位置直线变
成投影面平行线呢？
用变换投影面法。
一般位置直
线在三面投影
板的投影
a′
b′ a
b
a1′
b1
B
Ａ
A
B
b
a
a′
b′
b1′
a1′
ＡＢ线
段为新投影
面Ｖ １ 的投
影面平行线
，在新投影
面Ｖ １ 的投
影反映ＡＢ
线段实长
小于实长的直线
投影变换的规律：
（１）点的新投影和不变的投影连线
垂直于新投影轴；
（２）点的新投影到新投影轴的距离
等于被替换的投影到投影轴的距离。
注：新投影面Ｖ １ 面离Ａ点的远近与解
题无关
在该投
影图中新投
影面 V1和旧
投影面 Ｖ 的
Ｚ坐标相等
a′
b′
a
b
A
B
a1′
b1′
A
B
b
b′
b1
a1′
ＡＢ实长小于实长
a′
a
投影板的展开
１,新投影面使空间直线处于有利的位置，使
空间直线平行于新投影面。
2.新投影面垂
直于一个不变
的投影面Ｈ。
直线实长
X1
V1
V1面离直线 AB的远近与解题无关
a?
b?
a
b
1a?
1b?
A
B
b
a
ＯＸ
a′
b′
例６－ 1
将一般位置直线变换为投影面平行线
ＯＸ
Ｘ １
Ｏ １
a′
b
a
b′
a1′
b1′
将一般位置直线变换为投影面平行线
Ｈ
Ｖ １
ＡＢ实长
三、平面的投影变换
如何将一般位置平面变
成投影面平行面呢？
用变换投影面法。
a′
c′
c
b X
1
A
C a
Z1
O1
B
b′
a′1
c′1
b′1
将一般位置平面变
换为投影面垂直面
a′
b′
c′
b
a
c
b
c′
b′
a′
a
c
① 先将一般位置平面变
换成投影面垂直面。
水平线
X1
O1
1a?
1b?
1c?
新旧投影Ｚ坐标相等
X1把投影面垂直
面变换为
投影面平
行面。
平面实形
a′
b′
c′
b
a
c
b
c′
b′
a′
a
c
② 再将投影面垂直面变
换成投影面平行面。
实形
X1
O1O
2
X2
1b?
1c?
1a?
2b
2c
2a
四、投影变换
综合作图问题
如何 求点到一般位
置直线的距离 呢？
用变换投影面法，
简单！
距离
垂直于铅垂线的是一条水平线
铅垂线
X1
Y1
把投
影面平行
线变换为
投影面垂
直线。
例６－２,求点 C到直线 AB的距离实长 CD及投影。
Ｘ O
题解：
ＣＤ实长
哦！我知道了,如果 求一
般位置直线与一般位置平面的
交点,是把一般位置平面变成
投影面垂直面。是吗？
Yes.
例６－３,求三角形 ABC与直线ＭＮ的交点。
b′
c′
n′
m′ a′
e′
n
a
m c
b
e
1b?
1a?
1c?
1m?
1n?
1e?
H
V
1V
H
1X
1O
X O
水平线
题解,Z
Z1
建立一
个垂直于三
角形ＡＢＣ
的新投影面
Ｖ １, Ｖ和
Ｖ １ 投影面
每个点的Ｚ
坐标相等。
O2
X2
把一般
位置直线变
换为投影面
垂直线
X1
O1
X2
O2
b1 a
2b2
O
a
b
X
a′
c
a1
把一般位置
直线变换为投影
面平行线（二次
换面）。
如果 求两平面的夹角，
只要将两平面的交线变换成
投影面垂直线，是吧？
OK！
?
求两平面的夹角
两平面的交线
例６－４,试用换面法求作两平面的夹角
3,试用换面法求作两平面的夹角 ? 。
X1
O1
X2
O2
a1 c
1
a2c2
b1
d2
b2
d1
O
d
a
bX
a′
c
c′
d′
b′
?
将两平面的
交线ＡＣ换成投
影面垂直线
c
ba
a′ b′
c′
b″
a″
c″
A
C
B
一般位置平面的投影
投影为空间平面的类似形
a′
c′
c
b X
1
A
C a
Z1
O1
B
b′
a′1
c′1
b′1
将一般位置平面变
换为投影面垂直面
V1
X1
平面实形
Z1
b?
a?
c?
a
b
c
a?
b?
c?
A
B
C
把投
影面垂直
面变换为
投影面平
行面。
oX
a′
b
c
a
b′
c′
c′
1
a′
1
b′
1
c
2
a
2
2
b
c′
b
c
b′
oX
a′
a
α
X 1
o 1
o 2
X 2
求
三
角
形
A
B
C
实
形
例６－３
实形
例６－４,在平面三角形 ABC内作一直线 EF
，使 EF与直线 MN垂直相交。
题解：,
水平线
O1
X1
X2
O2
X O
例６－５,求点 P到
三角形平面 ABC的
距离 。
a′
c′
b′
p′
b
a
c
p
b
a
p
b′
p′
a′
c′
1
c
b′
1
1
p′
c′
1
b
a
p
b′
p′
a′
c′
1
c
b′
1
a′
1
p′
c′
1
题解：
例６－６,正方
形ＡＢＣＤ的Ａ
Ｂ边在ＡＥ线上
,D点在ＭＮ线上
,完成该正方形
的Ｖ／Ｈ投影 。
题解：
正方形ＡＢＣＤ
的ＡＢ边在ＡＥ
线上, D点在ＭＮ
线上, 完成该正
方形的Ｖ／Ｈ投
影 。
投 影 变 换
§ ６－１ 投影变换的目的和方法
在解决一般度量和定
位时，如果能把给出的一
般位置直线或平面 变成对
投影面平行或垂直的特殊
位置,则解题就可简化。
实长
一般位置直线与 正平线 投影图比较
一般位置直线 特殊位置直线
a′
b′
c′
b
a
c
b
c′
b′
a′
a
c
一般位置平面 特殊位置平面
一般位置平面与 水平面 投影图比较
实形
a′
b′
c′
c′
b′
a
a′
b
c
a
(e)
(c)
b
e′
一般位置投影图 特殊位置投影图
求Ａ点到直线ＢＣ的距离
实距离
一般位置投影图 特殊位置投影图
线面求交点投影图比较
a′
c′
b′
c
a
b
a′
b′
c′
a
b
c
e′
f′ e′
f′
e
f e
f
k′
k
§ ６－２ 变换投影面法
变换投影面法简称 换面法：
空间几何元素保持不动，用增设
投影面的方法，使空间元素对新
投影面处于有利于解题的位置。
一,点的投影变换
空间点Ａ的三面投影
a?
a
a??
A
基本原理
１,新投影面的设置必须符合以
下两个基本条件：
（１）新投影面必须使空间几何元素
有利于解题的位置；
（２）新投影面必须垂直一个不变的
投影面。
a?
a
a??
A
在旧投影面 Ｖ 和新投影面 Ｖ １ 中
它们的 Ｚ 坐标相等。
点的投影变换规律
（１）点的新投影和不变的投
影连线垂直于新投影轴；
（２）点的新投影到新投影轴
的距离等于被替换的投影到旧
投影轴的距离。
a?
a??
a
在旧投
影面 Ｖ 和新
投影面 Ｖ １
中它们的Ｚ
坐标相等。
拿走空间点
Ａ后，将投
影板展开。
ＯＸ
Ｘ １
Ｏ １
a′
a
Ｈ
Ｖ １
a1′
Z坐标
Z坐标
点Ａ的投影变换
二,直 线的投影变换
如何将一般位置直线变
成投影面平行线呢？
用变换投影面法。
一般位置直
线在三面投影
板的投影
a′
b′ a
b
a1′
b1
B
Ａ
A
B
b
a
a′
b′
b1′
a1′
ＡＢ线
段为新投影
面Ｖ １ 的投
影面平行线
，在新投影
面Ｖ １ 的投
影反映ＡＢ
线段实长
小于实长的直线
投影变换的规律：
（１）点的新投影和不变的投影连线
垂直于新投影轴；
（２）点的新投影到新投影轴的距离
等于被替换的投影到投影轴的距离。
注：新投影面Ｖ １ 面离Ａ点的远近与解
题无关
在该投
影图中新投
影面 V1和旧
投影面 Ｖ 的
Ｚ坐标相等
a′
b′
a
b
A
B
a1′
b1′
A
B
b
b′
b1
a1′
ＡＢ实长小于实长
a′
a
投影板的展开
１,新投影面使空间直线处于有利的位置，使
空间直线平行于新投影面。
2.新投影面垂
直于一个不变
的投影面Ｈ。
直线实长
X1
V1
V1面离直线 AB的远近与解题无关
a?
b?
a
b
1a?
1b?
A
B
b
a
ＯＸ
a′
b′
例６－ 1
将一般位置直线变换为投影面平行线
ＯＸ
Ｘ １
Ｏ １
a′
b
a
b′
a1′
b1′
将一般位置直线变换为投影面平行线
Ｈ
Ｖ １
ＡＢ实长
三、平面的投影变换
如何将一般位置平面变
成投影面平行面呢？
用变换投影面法。
a′
c′
c
b X
1
A
C a
Z1
O1
B
b′
a′1
c′1
b′1
将一般位置平面变
换为投影面垂直面
a′
b′
c′
b
a
c
b
c′
b′
a′
a
c
① 先将一般位置平面变
换成投影面垂直面。
水平线
X1
O1
1a?
1b?
1c?
新旧投影Ｚ坐标相等
X1把投影面垂直
面变换为
投影面平
行面。
平面实形
a′
b′
c′
b
a
c
b
c′
b′
a′
a
c
② 再将投影面垂直面变
换成投影面平行面。
实形
X1
O1O
2
X2
1b?
1c?
1a?
2b
2c
2a
四、投影变换
综合作图问题
如何 求点到一般位
置直线的距离 呢？
用变换投影面法，
简单！
距离
垂直于铅垂线的是一条水平线
铅垂线
X1
Y1
把投
影面平行
线变换为
投影面垂
直线。
例６－２,求点 C到直线 AB的距离实长 CD及投影。
Ｘ O
题解：
ＣＤ实长
哦！我知道了,如果 求一
般位置直线与一般位置平面的
交点,是把一般位置平面变成
投影面垂直面。是吗？
Yes.
例６－３,求三角形 ABC与直线ＭＮ的交点。
b′
c′
n′
m′ a′
e′
n
a
m c
b
e
1b?
1a?
1c?
1m?
1n?
1e?
H
V
1V
H
1X
1O
X O
水平线
题解,Z
Z1
建立一
个垂直于三
角形ＡＢＣ
的新投影面
Ｖ １, Ｖ和
Ｖ １ 投影面
每个点的Ｚ
坐标相等。
O2
X2
把一般
位置直线变
换为投影面
垂直线
X1
O1
X2
O2
b1 a
2b2
O
a
b
X
a′
c
a1
把一般位置
直线变换为投影
面平行线（二次
换面）。
如果 求两平面的夹角，
只要将两平面的交线变换成
投影面垂直线，是吧？
OK！
?
求两平面的夹角
两平面的交线
例６－４,试用换面法求作两平面的夹角
3,试用换面法求作两平面的夹角 ? 。
X1
O1
X2
O2
a1 c
1
a2c2
b1
d2
b2
d1
O
d
a
bX
a′
c
c′
d′
b′
?
将两平面的
交线ＡＣ换成投
影面垂直线
c
ba
a′ b′
c′
b″
a″
c″
A
C
B
一般位置平面的投影
投影为空间平面的类似形
a′
c′
c
b X
1
A
C a
Z1
O1
B
b′
a′1
c′1
b′1
将一般位置平面变
换为投影面垂直面
V1
X1
平面实形
Z1
b?
a?
c?
a
b
c
a?
b?
c?
A
B
C
把投
影面垂直
面变换为
投影面平
行面。
oX
a′
b
c
a
b′
c′
c′
1
a′
1
b′
1
c
2
a
2
2
b
c′
b
c
b′
oX
a′
a
α
X 1
o 1
o 2
X 2
求
三
角
形
A
B
C
实
形
例６－３
实形
例６－４,在平面三角形 ABC内作一直线 EF
，使 EF与直线 MN垂直相交。
题解：,
水平线
O1
X1
X2
O2
X O
例６－５,求点 P到
三角形平面 ABC的
距离 。
a′
c′
b′
p′
b
a
c
p
b
a
p
b′
p′
a′
c′
1
c
b′
1
1
p′
c′
1
b
a
p
b′
p′
a′
c′
1
c
b′
1
a′
1
p′
c′
1
题解：
例６－６,正方
形ＡＢＣＤ的Ａ
Ｂ边在ＡＥ线上
,D点在ＭＮ线上
,完成该正方形
的Ｖ／Ｈ投影 。
题解：
正方形ＡＢＣＤ
的ＡＢ边在ＡＥ
线上, D点在ＭＮ
线上, 完成该正
方形的Ｖ／Ｈ投
影 。
