一、直线与平面平行
二、直线与平面相交
三、直线与平面垂直
第五章
直线与平面、平面与平面的
相互关系
§ ５－１ 平行关系
一、直线与平面平行
１,若直线平行于平面内
某一直线，则直线与该平面
平行。
L K
LA
B
D
C
１,若直线平行于平面内某一直
线，则直线与该平面平行
Ｏ
c′
aＸ
c
b
a′
b′
m
m′
例５－１,过Ｍ点作直线与已知三角形平面平行
Ｏ
c′
aＸ
c
b
a′
b′
d
d′
例５－２,判别直线ＤＥ与平面ＡＢＣ是否平行。
e′
e
直线ＤＥ与平面ＡＢＣ不平行。
一、平面与平面平行
１,若一平面内的相交两
直线对应地平行于另一平面
内相交两直线，则该两平面
相互平行。
Ｍ
Ｎ
Ｂ
ＣＡ
Ｋ
两平面平行的几何条件
Ｏ
c′
aＸ
c
b
a′
b′
d′
例５－ 3,过点Ｄ作已知平面的平行面。
e
e′
d
f
f′
Ｏ
c′
a
Ｘ
c
b
a′ b′
d
d′
例５－ 4,判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与
平行直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。
e′
e
f′
k′g′
g k
f
两平面不平行
§ ５－２ 相交关系
直线与平面、平面与平面若
不平行，则一定相交。直线与平
面的交点是 直线与平面的共有点；两平面相交的交线直线,是两
平面的共有线。
c
a b
Ｂ
Ｃ
Ａ
一、直线与特殊位置平面的交点
三角形ＡＢＣ是铅垂面；
直线ＥＦ是一般位置直线。
e
f
k
K
Ｅ
Ｆ
Ｏ
c′
aＸ
c
b
a′
b′
例 5-５,直线与特殊位置平面的交点
e′
e
f
f′
k′
k
例 5-6,
求投影图
中直线 EF
与三角形
ABC 的交
点 K, 并
判别可见
性 。
题解：从正面
投影中开始解
题，因正垂线
在正面投影中
积聚为一点，
三角形平面与
直线ＥＦ的交
点也积聚在直
线的正面投影
上。
c
a b
Ｂ
Ｃ
Ａ
e
f
k
K
Ｅ
Ｆ
二、一般位置平面与特殊位置平面相交
三角形 ABC是铅垂面
g
G
M
m
Ｏ
c′
aＸ
c
b
a′
b′
直线与特殊位置平面的交点
e′
e
f
f′
k′
k
m′
m
g
g′
三、一般位置直线与一般
位置平面相交
由于一般位置直线和一
般位置平面的投影都没有 积
聚性，因此，在投影图上不
能直接确定交点的投影，需
要通过作 辅助平面 来解决。
PH
一
般
位
置
直
线
与
一
般
位
置
平
面
的
交
点
例 5-7,
求投影图
中直线 MN
与四边形
ABCD的交
点 K, 并
判别可见
性 。
m′
n′
n
m
a′
b′
c′
d′
a
b
c
d
X o oX
d
c
b
a
d′
c′
b′
a′
m
n
n′
m′
P V
m′
n′
n
m
a′
b′
c′
d′
a
b
c
d
X o oX
d
c
b
a
d′
c′
b′
a′
m
n
n′
m′
P V
题解：
k
k′
ca
b
x o
a′
b′
c′
例 5-8,求作
圆平面与三
角形平面的
交线
A
B
C
Ｖ
空间分析：
水平圆
三角形平面
题解：
ca
b
nm
x o
m′
a′
b′
c′
n′
例 5-9,求三角形
ABC和四边形 P的
交线, 并判别可
见性 (只在 V／ H投
影面内求 )。
X o
c
a
b
c′
a′
b′
P V
p
a
b
c
p
a′
c′
o
P V
b′
X
X o
c
a
b
c′
a′
b′
P V
p
a
b
c
p
a′
c′
o
P V
b′
X
题解：
例 5-10,求
三角形 ABC和
三角形 EFG的
交线 MN,并
判别可见性 (
只在 V／ H投
影面内求 )。
c′
f
c
b′
oX
a′
a
b
f′
g′
e′
e
g
na
e
m
g
c
n′
a′
X
e′
b
m′
b′
g′
f
o
f′
c′
c′
f
c
b′
oX
a′
a
b
f′
g′
e′
e
g
na
e
m
g
c
n′
a′
X
e′
b
m′
b′
g′
f
o
f′
c′
题解：
四、两个一般位置平面相交
１,用一般位置线面交点的
方法作两平面的交线。
２,用三面共点法作两平面
的交线。
两一般位置平面的交线
a
b
f
c
g′
b′
e′
a′
c′
f′
g
e
例 5-11,求三角形
ＡＢＣ和三角形
ＧＦＥ两一般位
置平面的交线
a′
b′
c′
e′
f′
g′
a
b
c
e
f
g
Q V
P V P V
Q V
g
f
e
c
b
a
g′
f′
e′
c′
b′
a′
求三角
形ＡＢＣ和
三角形ＧＦ
Ｅ两一般位
置平面的交
线
例 5-12,求
三角形Ａ
ＢＣ和三
角形ＧＦ
Ｅ两平面
的交线。
分析,在
三角形ＥＦ
Ｇ中，边线
ＥＦ为侧垂
线，故三角
形ＥＦＧ为
侧垂面。
（ ）
题
解
三面共点法作两平面的交线
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
Ⅳ
M
N
A
C
D
B
a′
b′
c′
e′
f′
g′
a
b
c
e
f
g
Q V
P V
§ ５－３ 垂直关系
若直线垂直于某一平面
，则该直线必垂直于平面内
的一切直线。
a
b′
c′
b
c
a′ A
B
C
k′
k
L
K
l?
l
直线与平面垂直正平线
水平线
l?
l
k′
k
a′
b′
c′
a
c
b
PV
直
线
与
平
面
垂
直水平线
正平线
例 5-13,判定下列图中直线与平面的相对
位置（从属、平行、相交、垂直相交）
1.( ) 2.( ) 3.(
)相交两直线（几何元素）表示的平面
判定下列图中直线与平面的相对位置
（从属、平行、相交、垂直相交）
1,(相交 ) 2,(平行 ) 3,(平行 )
例 5-14,判定下列图中直线与平面的相对位
置（从属、平行、相交、垂直相交）
平行 从属 垂直相交
§ ５－４ 综合作图问题
解决综合作图问题的一般步骤如下：
１,空间分析
２,投影作图
３,对答案进行讨论，确定有几解。
二．点线面综合作图题型
要求：
１．应用点的投影规律
２．应用直线投影规律
３．应用一边平行于投影面的
直角投影定理
例 5-15, 以
AB线为底边
作等腰三角
形 ABC,使顶
点 C在 DE上 。
e
d
b
e′
d′
b′
oX
e
b
d
b′
X
e′
d′
o
c′
d
d
a
a′
e
d
b
e′
d′
b′
oX
c′
c
d
d′
例 5-16,题解
PV
二、直线与平面相交
三、直线与平面垂直
第五章
直线与平面、平面与平面的
相互关系
§ ５－１ 平行关系
一、直线与平面平行
１,若直线平行于平面内
某一直线，则直线与该平面
平行。
L K
LA
B
D
C
１,若直线平行于平面内某一直
线，则直线与该平面平行
Ｏ
c′
aＸ
c
b
a′
b′
m
m′
例５－１,过Ｍ点作直线与已知三角形平面平行
Ｏ
c′
aＸ
c
b
a′
b′
d
d′
例５－２,判别直线ＤＥ与平面ＡＢＣ是否平行。
e′
e
直线ＤＥ与平面ＡＢＣ不平行。
一、平面与平面平行
１,若一平面内的相交两
直线对应地平行于另一平面
内相交两直线，则该两平面
相互平行。
Ｍ
Ｎ
Ｂ
ＣＡ
Ｋ
两平面平行的几何条件
Ｏ
c′
aＸ
c
b
a′
b′
d′
例５－ 3,过点Ｄ作已知平面的平行面。
e
e′
d
f
f′
Ｏ
c′
a
Ｘ
c
b
a′ b′
d
d′
例５－ 4,判别平行直线ＣＤ与ＡＢ所确定的平面与
平行直线ＥＦ和ＧＫ所决定的平面是否相互平行。
e′
e
f′
k′g′
g k
f
两平面不平行
§ ５－２ 相交关系
直线与平面、平面与平面若
不平行，则一定相交。直线与平
面的交点是 直线与平面的共有点；两平面相交的交线直线,是两
平面的共有线。
c
a b
Ｂ
Ｃ
Ａ
一、直线与特殊位置平面的交点
三角形ＡＢＣ是铅垂面；
直线ＥＦ是一般位置直线。
e
f
k
K
Ｅ
Ｆ
Ｏ
c′
aＸ
c
b
a′
b′
例 5-５,直线与特殊位置平面的交点
e′
e
f
f′
k′
k
例 5-6,
求投影图
中直线 EF
与三角形
ABC 的交
点 K, 并
判别可见
性 。
题解：从正面
投影中开始解
题，因正垂线
在正面投影中
积聚为一点，
三角形平面与
直线ＥＦ的交
点也积聚在直
线的正面投影
上。
c
a b
Ｂ
Ｃ
Ａ
e
f
k
K
Ｅ
Ｆ
二、一般位置平面与特殊位置平面相交
三角形 ABC是铅垂面
g
G
M
m
Ｏ
c′
aＸ
c
b
a′
b′
直线与特殊位置平面的交点
e′
e
f
f′
k′
k
m′
m
g
g′
三、一般位置直线与一般
位置平面相交
由于一般位置直线和一
般位置平面的投影都没有 积
聚性，因此，在投影图上不
能直接确定交点的投影，需
要通过作 辅助平面 来解决。
PH
一
般
位
置
直
线
与
一
般
位
置
平
面
的
交
点
例 5-7,
求投影图
中直线 MN
与四边形
ABCD的交
点 K, 并
判别可见
性 。
m′
n′
n
m
a′
b′
c′
d′
a
b
c
d
X o oX
d
c
b
a
d′
c′
b′
a′
m
n
n′
m′
P V
m′
n′
n
m
a′
b′
c′
d′
a
b
c
d
X o oX
d
c
b
a
d′
c′
b′
a′
m
n
n′
m′
P V
题解：
k
k′
ca
b
x o
a′
b′
c′
例 5-8,求作
圆平面与三
角形平面的
交线
A
B
C
Ｖ
空间分析：
水平圆
三角形平面
题解：
ca
b
nm
x o
m′
a′
b′
c′
n′
例 5-9,求三角形
ABC和四边形 P的
交线, 并判别可
见性 (只在 V／ H投
影面内求 )。
X o
c
a
b
c′
a′
b′
P V
p
a
b
c
p
a′
c′
o
P V
b′
X
X o
c
a
b
c′
a′
b′
P V
p
a
b
c
p
a′
c′
o
P V
b′
X
题解：
例 5-10,求
三角形 ABC和
三角形 EFG的
交线 MN,并
判别可见性 (
只在 V／ H投
影面内求 )。
c′
f
c
b′
oX
a′
a
b
f′
g′
e′
e
g
na
e
m
g
c
n′
a′
X
e′
b
m′
b′
g′
f
o
f′
c′
c′
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c
b′
oX
a′
a
b
f′
g′
e′
e
g
na
e
m
g
c
n′
a′
X
e′
b
m′
b′
g′
f
o
f′
c′
题解：
四、两个一般位置平面相交
１,用一般位置线面交点的
方法作两平面的交线。
２,用三面共点法作两平面
的交线。
两一般位置平面的交线
a
b
f
c
g′
b′
e′
a′
c′
f′
g
e
例 5-11,求三角形
ＡＢＣ和三角形
ＧＦＥ两一般位
置平面的交线
a′
b′
c′
e′
f′
g′
a
b
c
e
f
g
Q V
P V P V
Q V
g
f
e
c
b
a
g′
f′
e′
c′
b′
a′
求三角
形ＡＢＣ和
三角形ＧＦ
Ｅ两一般位
置平面的交
线
例 5-12,求
三角形Ａ
ＢＣ和三
角形ＧＦ
Ｅ两平面
的交线。
分析,在
三角形ＥＦ
Ｇ中，边线
ＥＦ为侧垂
线，故三角
形ＥＦＧ为
侧垂面。
（ ）
题
解
三面共点法作两平面的交线
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ
Ⅳ
M
N
A
C
D
B
a′
b′
c′
e′
f′
g′
a
b
c
e
f
g
Q V
P V
§ ５－３ 垂直关系
若直线垂直于某一平面
，则该直线必垂直于平面内
的一切直线。
a
b′
c′
b
c
a′ A
B
C
k′
k
L
K
l?
l
直线与平面垂直正平线
水平线
l?
l
k′
k
a′
b′
c′
a
c
b
PV
直
线
与
平
面
垂
直水平线
正平线
例 5-13,判定下列图中直线与平面的相对
位置（从属、平行、相交、垂直相交）
1.( ) 2.( ) 3.(
)相交两直线（几何元素）表示的平面
判定下列图中直线与平面的相对位置
（从属、平行、相交、垂直相交）
1,(相交 ) 2,(平行 ) 3,(平行 )
例 5-14,判定下列图中直线与平面的相对位
置（从属、平行、相交、垂直相交）
平行 从属 垂直相交
§ ５－４ 综合作图问题
解决综合作图问题的一般步骤如下：
１,空间分析
２,投影作图
３,对答案进行讨论，确定有几解。
二．点线面综合作图题型
要求：
１．应用点的投影规律
２．应用直线投影规律
３．应用一边平行于投影面的
直角投影定理
例 5-15, 以
AB线为底边
作等腰三角
形 ABC,使顶
点 C在 DE上 。
e
d
b
e′
d′
b′
oX
e
b
d
b′
X
e′
d′
o
c′
d
d
a
a′
e
d
b
e′
d′
b′
oX
c′
c
d
d′
例 5-16,题解
PV
