第三章
直线的投影
直线的投影
直线的投影一般仍为直
线，特殊情况为一点。
将直线上任意两点的同
面投影连接，即为直线的投
影。
§ ３－１
直线对投影面的相对位置
一, 投影面垂直线
二, 投影面平行线
三, 一般位置直线
一,投影面垂直线
垂直于投影面的直线称为投
影面垂直线。
垂直于 H面的直线称为 铅垂线
垂直于 V面的直线称为 正垂线
垂直于 W面的直线称为 侧垂线
投影面垂直线的投影特性 铅垂线
水平投影积
聚为 一点；其
它两个投影平行
于ＯＺ轴，并反
映直线ＡＢ实长；直线ＡＢ与 H
面的夹角 ?? 90?
实长
NEWNEW
投影面垂直线的投影特性
铅垂线
NEW
铅垂线的投影
NEW
投影面垂直线的
投影特性
正垂线
)(dc ??
d
c
c?
d??C
D
NEW
正垂线的投影
)(dc ??
c?
c
d
d?
NEW
投影面垂直线的投
影特性
侧垂线
Ｅ
Ｆ
e
f
)( fe ????
e?
f?
NEW
NEW
侧垂线的投影
e? f?
e f
)( fe ????
NEW
投影面垂直线的投影特性
在所垂直的投影面上积聚
为一点；
其它两投影垂直于相应的
投影轴 。
NEW
二,投影面平行线
平行于一个投影面, 倾斜于另外两
个投影面的直线, 称为投影面平行线 。
平行于 H面的直线称为 水平线
平行于 V面的直线称为 正平线
平行于 W面的直线称为 侧平线
NEW
投影面平行线的投影特性
反映ＡＢ实长
?
?
?
?
A
A
正平线
NEW
反映ＡＢ实长
正平线投影图
? ?
NEW
投影面平行线的
投影特性
水平线
Ｆ
e f
f?
e?
f?
e?
Ｅ
反映ＥＦ实长
??
? ?
abc
NEW
EF实长
f?
e
f
e?? f?e?
水平线投影图
NEW
投影面平行线的
投影特性
侧平线
反映ＣＤ实长
D
C
c?
d?
c??
d??
c
d
NEW
ＣＤ实长
d?
c
d
c??
d?
c?
侧平线投影图
NEW
投影面平行线的投影特性
在所平行的投影面上的投影
反映实长；
其它两投影平行于相应的投
影轴, 且小于实长 。 NEW
§ ３－２
线段的 实长 及其对投
影面的 倾角
一般位置直线的投影特性
NEW
NEW
一般位置直线的投影特点
三个投影都倾斜于投影轴；
各投影均不反映实长 。
NEW
例 3-1,已
知点 A的 V/H投
影和点 B的 H投
影, B 点的 Z
坐标为 0,求
线段 AB的三面
投影 。
a
a
Y
Z
X
H
W
Y
b
Z
Y
a
b
a
X
Y
W
H
a
b
′ ″
″b
′O O
a
a
Y
Z
X
H
W
Y
b
Z
Y
a
b
a
X
Y
W
H
a
b
′ ″
″b
′O O
关于一般位置直线实
长和倾角的求法
一般位置直线
如果直线既不平行也不
垂直任一投影面，即对三个
投影面都处于倾斜位置，那
么这条直线叫 一般位置直线 。
NEW
一般位置直线
ＡＢ对Ｈ面的倾
角 ?
?
A
B
b?
a?
a??
b??
b
a
NEW
NEW
例３－２, （ 在Ｖ／Ｈ投影中）在直线ＡＢ上求
距Ａ点为２０ mm的Ｃ点
NEW
一般位置直
线ＡＢ对Ｖ面的
倾角
a?
b?
a??
b??
a
b
B
A
?
?
NEW
例３－ 3,求 一般位置直线ＡＢ对Ｖ面的倾角
?
y?
y?
?
NEW
一般位置直
线ＡＢ对Ｗ面的
倾角
?
?
a?
b?
b
a
A
a??
b??
B
NEW
例３－ 4,求 一般位置直线ＡＢ对Ｗ面的倾角
x?
?
x?
?
b??
a??
NEW
例３－ 5,找出 AB,CD、
DE直线的第三投影，判断
空间位置。
铅垂线
正垂线
正平线
NEW
NEW
§ ３－３
直线与点的相对位置
一、点在直线上
二、点不在直线上
三、直线的迹点
一,C点在
直线ＡＢ上
A
B
a??
b?
a?
b??
b
a
C
c? c??
c
NEW
点Ｃ在直线上ＡＢ上。
NEW
a?
b?
c? c??
c
a??
b??
b
a
点 Ｃ 的投影在直线的同面投影上, 并
符合点的投影规律 。
C点在直线ＡＢ上
NEW
直线上点的投影特性
1.点在直线上, 点的投
影在直线的同面投影上, 并
符合点的投影规律；
2.直线上一点把直线分
成两段, 两段长度之比等于
投影长度之比 。
A
B
a??
b?
a?
b??
b
a
二、Ｄ点不在
直线ＡＢ上。
d? d??
d
D
NEW
例３－６,判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
解法１：
点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律,
故Ｍ点不在直线ＣＤ上 。
NEW
d0
M0
解法２
例３－６,判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
O
点Ｍ的投影不符合直线上点定比性, 故Ｍ点
不在直线ＣＤ上 。
NEW
B
b?
a?
b
a
三、直线的迹点。
m?
nN ??
Mm ?
ＡＢ直线的正
面迹点Ｎ。
ＡＢ
直线的
水平迹
点Ｍ。
n
A
NEW
nN ??
m?
Mm ?
n
直线的迹点
ＡＢ直线的正
面迹点Ｎ。
ＡＢ直线的水平迹点Ｍ。
NEW
§ ３－４
两直线的相对位置
空间两直线的相对
位置有平行、相交和交
叉三种。
一、两直线平行
若空间两直线平行，则此两直
线的各同面投影必定相互平行。
如果两直线各同面投影相互平
行，则此两直线在空间也必定相互
平行。
2,已知直线 AB 平行直线 CD,试完成直线
AB 和 CD 的三面投影。
例３－ 7,已知直线 AB平行直线 CD，试完成直
线 AB和 CD的三面投影。
题解：
ac
b
b″
〝
d
a″
〝
c″ 〝
d″ 〝d′ 〝
a′ 〝c′ 〝
b′ 〝
NEW
二、两直线相交
若空间两直线相交，
则此两直线各同面投影也
必定相交，并且交点的规
律符合点的投影规律 。
两相交直线
交点为两
直线共有点
NEW
二、两直线交叉
空间两直线即不平行
又不相交的二直线为交叉
直线。
两交叉直线
正面投影重影点
水平投影重影点
d?
c
d
c??
d?
c?
交叉两直线的投影
g?
g
h?
h
g??
h?
两侧
平线
的投
影反
映Ｃ
Ｄ和
ＨＤ
的线
段实
长
NEW
§ ３－５
一边平行于投影面的直角投影
相交成直角的两直线，只要其
中有一条直线平行于某投影面，则
它们在该投影面上的投影仍反映直
角。
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b
c
水平线
NEW
a
b
b′a′
例３－ 8：,过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,
ＢＣ为任意长度。
X O
NEW
a
b
b′a′
题意分析：
X O
水平线（实长）
有无穷多解，可任意做一解。
NEW
a
b
c
b′
c′
a′
解,例 3-9,过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于Ａ
Ｂ,ＢＣ为任意长度。
X O
NEWNEW
例 3-10:判定下列图中两直线的相对位置（
平行、相交、垂直相交、交叉）。
1.交叉 2.垂直相交 3.相交
NEW
直线的投影
直线的投影
直线的投影一般仍为直
线，特殊情况为一点。
将直线上任意两点的同
面投影连接，即为直线的投
影。
§ ３－１
直线对投影面的相对位置
一, 投影面垂直线
二, 投影面平行线
三, 一般位置直线
一,投影面垂直线
垂直于投影面的直线称为投
影面垂直线。
垂直于 H面的直线称为 铅垂线
垂直于 V面的直线称为 正垂线
垂直于 W面的直线称为 侧垂线
投影面垂直线的投影特性 铅垂线
水平投影积
聚为 一点；其
它两个投影平行
于ＯＺ轴，并反
映直线ＡＢ实长；直线ＡＢ与 H
面的夹角 ?? 90?
实长
NEWNEW
投影面垂直线的投影特性
铅垂线
NEW
铅垂线的投影
NEW
投影面垂直线的
投影特性
正垂线
)(dc ??
d
c
c?
d??C
D
NEW
正垂线的投影
)(dc ??
c?
c
d
d?
NEW
投影面垂直线的投
影特性
侧垂线
Ｅ
Ｆ
e
f
)( fe ????
e?
f?
NEW
NEW
侧垂线的投影
e? f?
e f
)( fe ????
NEW
投影面垂直线的投影特性
在所垂直的投影面上积聚
为一点；
其它两投影垂直于相应的
投影轴 。
NEW
二,投影面平行线
平行于一个投影面, 倾斜于另外两
个投影面的直线, 称为投影面平行线 。
平行于 H面的直线称为 水平线
平行于 V面的直线称为 正平线
平行于 W面的直线称为 侧平线
NEW
投影面平行线的投影特性
反映ＡＢ实长
?
?
?
?
A
A
正平线
NEW
反映ＡＢ实长
正平线投影图
? ?
NEW
投影面平行线的
投影特性
水平线
Ｆ
e f
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Ｅ
反映ＥＦ实长
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NEW
EF实长
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水平线投影图
NEW
投影面平行线的
投影特性
侧平线
反映ＣＤ实长
D
C
c?
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d??
c
d
NEW
ＣＤ实长
d?
c
d
c??
d?
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侧平线投影图
NEW
投影面平行线的投影特性
在所平行的投影面上的投影
反映实长；
其它两投影平行于相应的投
影轴, 且小于实长 。 NEW
§ ３－２
线段的 实长 及其对投
影面的 倾角
一般位置直线的投影特性
NEW
NEW
一般位置直线的投影特点
三个投影都倾斜于投影轴；
各投影均不反映实长 。
NEW
例 3-1,已
知点 A的 V/H投
影和点 B的 H投
影, B 点的 Z
坐标为 0,求
线段 AB的三面
投影 。
a
a
Y
Z
X
H
W
Y
b
Z
Y
a
b
a
X
Y
W
H
a
b
′ ″
″b
′O O
a
a
Y
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X
H
W
Y
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Z
Y
a
b
a
X
Y
W
H
a
b
′ ″
″b
′O O
关于一般位置直线实
长和倾角的求法
一般位置直线
如果直线既不平行也不
垂直任一投影面，即对三个
投影面都处于倾斜位置，那
么这条直线叫 一般位置直线 。
NEW
一般位置直线
ＡＢ对Ｈ面的倾
角 ?
?
A
B
b?
a?
a??
b??
b
a
NEW
NEW
例３－２, （ 在Ｖ／Ｈ投影中）在直线ＡＢ上求
距Ａ点为２０ mm的Ｃ点
NEW
一般位置直
线ＡＢ对Ｖ面的
倾角
a?
b?
a??
b??
a
b
B
A
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NEW
例３－ 3,求 一般位置直线ＡＢ对Ｖ面的倾角
?
y?
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NEW
一般位置直
线ＡＢ对Ｗ面的
倾角
?
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a?
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b
a
A
a??
b??
B
NEW
例３－ 4,求 一般位置直线ＡＢ对Ｗ面的倾角
x?
?
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b??
a??
NEW
例３－ 5,找出 AB,CD、
DE直线的第三投影，判断
空间位置。
铅垂线
正垂线
正平线
NEW
NEW
§ ３－３
直线与点的相对位置
一、点在直线上
二、点不在直线上
三、直线的迹点
一,C点在
直线ＡＢ上
A
B
a??
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a?
b??
b
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C
c? c??
c
NEW
点Ｃ在直线上ＡＢ上。
NEW
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a
点 Ｃ 的投影在直线的同面投影上, 并
符合点的投影规律 。
C点在直线ＡＢ上
NEW
直线上点的投影特性
1.点在直线上, 点的投
影在直线的同面投影上, 并
符合点的投影规律；
2.直线上一点把直线分
成两段, 两段长度之比等于
投影长度之比 。
A
B
a??
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a?
b??
b
a
二、Ｄ点不在
直线ＡＢ上。
d? d??
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D
NEW
例３－６,判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
解法１：
点Ｍ的投影不符合点在直线上的投影规律,
故Ｍ点不在直线ＣＤ上 。
NEW
d0
M0
解法２
例３－６,判断点Ｍ是否在直线ＣＤ 上
O
点Ｍ的投影不符合直线上点定比性, 故Ｍ点
不在直线ＣＤ上 。
NEW
B
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b
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三、直线的迹点。
m?
nN ??
Mm ?
ＡＢ直线的正
面迹点Ｎ。
ＡＢ
直线的
水平迹
点Ｍ。
n
A
NEW
nN ??
m?
Mm ?
n
直线的迹点
ＡＢ直线的正
面迹点Ｎ。
ＡＢ直线的水平迹点Ｍ。
NEW
§ ３－４
两直线的相对位置
空间两直线的相对
位置有平行、相交和交
叉三种。
一、两直线平行
若空间两直线平行，则此两直
线的各同面投影必定相互平行。
如果两直线各同面投影相互平
行，则此两直线在空间也必定相互
平行。
2,已知直线 AB 平行直线 CD,试完成直线
AB 和 CD 的三面投影。
例３－ 7,已知直线 AB平行直线 CD，试完成直
线 AB和 CD的三面投影。
题解：
ac
b
b″
〝
d
a″
〝
c″ 〝
d″ 〝d′ 〝
a′ 〝c′ 〝
b′ 〝
NEW
二、两直线相交
若空间两直线相交，
则此两直线各同面投影也
必定相交，并且交点的规
律符合点的投影规律 。
两相交直线
交点为两
直线共有点
NEW
二、两直线交叉
空间两直线即不平行
又不相交的二直线为交叉
直线。
两交叉直线
正面投影重影点
水平投影重影点
d?
c
d
c??
d?
c?
交叉两直线的投影
g?
g
h?
h
g??
h?
两侧
平线
的投
影反
映Ｃ
Ｄ和
ＨＤ
的线
段实
长
NEW
§ ３－５
一边平行于投影面的直角投影
相交成直角的两直线，只要其
中有一条直线平行于某投影面，则
它们在该投影面上的投影仍反映直
角。
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b
c
水平线
NEW
a
b
b′a′
例３－ 8：,过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于ＡＢ,
ＢＣ为任意长度。
X O
NEW
a
b
b′a′
题意分析：
X O
水平线（实长）
有无穷多解，可任意做一解。
NEW
a
b
c
b′
c′
a′
解,例 3-9,过Ｂ点作直线ＢＣ垂直于Ａ
Ｂ,ＢＣ为任意长度。
X O
NEWNEW
例 3-10:判定下列图中两直线的相对位置（
平行、相交、垂直相交、交叉）。
1.交叉 2.垂直相交 3.相交
NEW
