第八章
平面与立体相交
平面与立体相交，可设想为
立体被平面所截。这个平面称为
截平面 。截平面与立体表面的交
线称为 截交线,截交线所围成的
图形称为 截断面。 研究平面与立
体相交，其主要目的是求出截交
线。
平面与立体相交
截平面
截交线
截断面
截平面
平面与立体相交
截断体
截交线
截交线 的基本性质：
１,截交线既然是截平面与 立
体表面 的交线，那么它必然是属
于截平面和立体表面的 共有线 。
截交线上所有的点也必然是立体
表成和截平面上的 共有点；
截交线 的基本性质：
２,由二立体的表面都是封闭的，
因此截交线也必定是一个或若干个封
闭的平面图形；
３,截交线的形状取决于立体本身
的形状和截平面和立体的相对位置。
平面立体的截交线是平面多边形；而
曲面立体的截交线在一般情况下则是
平面曲线。
从 截交线 是截平面和立
体表面的 共有线 （交线）这
一基本性质出发，我们可以
把截交线的投影作图归结为
求出截平面与立体表面一系
例 共有点 的作图问题。
§ ８－１ 平面与立体相交
平面与立体相交，其交线是平面
多边形。
平面与立体相交
截平面
截交线
平面与立体相交
截断面
平面与平面立体相交
截平面
截交线
求平面立体截交线的步骤
1.分析 截交线形状
及投影形状；
2.求点 利用截平面
积聚性求棱线与截平面的
交点；
3.连线 按一定顺序
并根据可见性连线。
例８－１,画出截头三棱锥的截交线
求截交线各顶点
Ⅱ
小 结
求平面立体截交线的两种方法
１,交点法 首先求出平面
立体上参与相交的各棱线（或底
边）与截平面的交点；
２,交线法 分别作出平面立体
上参与相交的各棱线（或底面）与
截平面的交线，各段交线所连成的
多边形即为截交线。
三、求体表面的截交、相贯线类题型：
1,求三角形平面与三棱柱的表面交线。
例８－２,求三角形平面与三棱柱表
面的交线。
空间分析：
空间分析：
三棱柱
三角形平面
（截平面）
截交线
求截交线：
例８－３,补全六
棱柱被截切后的
水平投影, 并求
其侧面投影图 。
空间分析：
题解：
扩展：
Ｘ
Ｏ截平面实形
§ ８－２ 平面与曲面立体相交
平面与曲面立体相交，其截交线
在一般情况下是平面曲线或平面曲线
与直线段的组合图形。
当截平面为特殊位置平面时，其
投影至少有一个必具有积聚性。
素线法
纬圆法
平面曲线
曲面立体的截交线
求曲面立体截交线
1.分析
截交线的形状及投影形状
求曲面立体截交线
2.求点
（ 1）求特殊点
（ 2）求一般点
3.连线
特殊点确定截交线
形状和范围，包括：
1.曲面外形轮廓线上的点
3.反映截交线特征的点
2.曲面边界上的点
4.极限位置点
一、平面与圆柱相交
平面截圆柱时，由
于截平面与圆柱的轴线
相对位置不同，其截线
有三种不同的形状。
平面与圆柱相交有三种不同的形状
１,当截平面平行于圆柱轴线时，
它与圆柱面的截交线为两条直素线；
２,当截平面垂直于圆柱轴线时，
它与圆柱面的截交线为一纬圆；
３,当截平面倾斜于圆柱轴线时，
它与圆柱面的截交线为一椭圆。
两条
素线
纬圆 椭圆
平面截圆柱的三种情况
例８－５,求圆柱截交线（特殊点）
求中间点
1?
2?
3?(4? )
1
2
3
4
1?
3?4?
2?
(8? )7?
5?(6? )
7
8
5
6
7?8?
5?6?
1?
2?
3?(4? )
1 2
3
4
1?
3?4?
2?(8? )
7?
5? (6? )
7
8
5
6
7?8?
5?6?
连线
求全圆柱与截
平面Ｐ交线 （ 补全
水平投影, 且求其
侧面投影图 ） 。
P V
空间分析：
V
P V
二、平面与圆锥相交
平面截切圆锥时，
根据截平面与圆锥轴线
相对位置不同，圆锥面
上产生五种不同形状的
截交线。
圆锥的截交线
１,截平面垂直于圆锥轴心
线
水平圆
2.截平面倾斜于圆锥轴心线
椭圆
３,截平面平行于圆锥母线
（倾斜于圆锥轴心线的特殊情况）
抛物线
４,截平面平行于圆锥轴心线时
双曲 线
５,截平面过圆锥顶时
过锥顶的相交两直线
平面与圆锥相交
例８－６,已知圆
锥被平行于轴线的平面
所截,求其截交线。
空间分析：
双曲 线
例８－７：
已知圆锥的正面
投影图，试完成
其Ｖ／Ｗ投影图 。
空间分析,
水平圆
直素线
题解：
RR为水平圆
半径
球的截交线
P V P V P
V P V
O
x
例８－８：
求正垂面Ｐ
与球面的截
交线。
P V P V P
V P V
O
x
求特殊点：
P V P V P
V P V
O
x
题解：
P V
O
x
求
球
截
面
实
形
扩展：
多个截平面截立体时
截交线的求法
例８－９,求
作五棱柱被截切
后的水平及侧面
投影图 。
空间分析,
题解：
例８－ 10,求作三棱柱截切圆柱后的水平及侧面
投影图 。
空间分析,
水平圆
直线
椭圆
1
2
1' (2') (1")(2")
3
4
5' (6')
3' (4') 3"4"
5
6
5"6"
例８－ 10,求作三棱柱截切圆柱后的水平及侧面
投影图 。
5"6"
1
2
1' (2') (1")(2")
3
4
5' (6')
3' (4') 3"4"
5
6
§ ８－３ 用辅助平面法求截交线
求平面与曲面立体的交线，除了可
以利用求曲面上的素线或纬圆与截平面
的共有点的方法解决外，还可以利用三
面共点的方法求出截交线上的共有点。
三面共点法通常称作辅助平面法，其基
本作图原理如下：
辅助平面
辅助交线 Ⅰ
辅助交线 Ⅱ
相交
交点（三面共点）
辅助平面法基本作图原理
曲面
截平面相交
相交
用辅助面法求截交线
N
Ｍ
辅助面
Ｖ
1
2
PV
用辅助面法求截交线
RV
3 4
)2(1 ??
3′
４ ′
用辅助平面
RV求出椭圆的四
个特殊点。
n
m
正垂面 PV倾斜于
圆锥的轴心线，截交
线为一椭圆曲线。
§ ８－４带切口体的投影
立体被几个相交的平面截切时，
就会在立体上形成不同形状的切口。
粗实线表示留下的部分。
画这种带有切口形体的投影时，
，关键是要把切口轮廓线的投影表达
清楚。
画切口轮廓线的投影，其实
质就是求作切口平面与立体的截
交线，不过此时截平面不是一个
，而是数个，切口的截交线就是
由数条切交线组合而成。因此需
要对数个截平面逐个进行分析，
求出它们与立体的交线，才能逐
步画出切口的投影。
带切口体的投影
例８－ 12,已知半球体的Ｖ面投影
，求其Ｈ／Ｗ投影
空间分析,
水平圆
侧平圆
W V
H
PV
水平圆半径Q
V
侧平圆半径
W
题解：
W
2,补画俯视图。
例８－ 11,补绘出Ｈ面投影图
空间分析：
空间分析：
侧平圆
双曲线
直线
平面与立体相交
平面与立体相交，可设想为
立体被平面所截。这个平面称为
截平面 。截平面与立体表面的交
线称为 截交线,截交线所围成的
图形称为 截断面。 研究平面与立
体相交，其主要目的是求出截交
线。
平面与立体相交
截平面
截交线
截断面
截平面
平面与立体相交
截断体
截交线
截交线 的基本性质：
１,截交线既然是截平面与 立
体表面 的交线，那么它必然是属
于截平面和立体表面的 共有线 。
截交线上所有的点也必然是立体
表成和截平面上的 共有点；
截交线 的基本性质：
２,由二立体的表面都是封闭的，
因此截交线也必定是一个或若干个封
闭的平面图形；
３,截交线的形状取决于立体本身
的形状和截平面和立体的相对位置。
平面立体的截交线是平面多边形；而
曲面立体的截交线在一般情况下则是
平面曲线。
从 截交线 是截平面和立
体表面的 共有线 （交线）这
一基本性质出发，我们可以
把截交线的投影作图归结为
求出截平面与立体表面一系
例 共有点 的作图问题。
§ ８－１ 平面与立体相交
平面与立体相交，其交线是平面
多边形。
平面与立体相交
截平面
截交线
平面与立体相交
截断面
平面与平面立体相交
截平面
截交线
求平面立体截交线的步骤
1.分析 截交线形状
及投影形状；
2.求点 利用截平面
积聚性求棱线与截平面的
交点；
3.连线 按一定顺序
并根据可见性连线。
例８－１,画出截头三棱锥的截交线
求截交线各顶点
Ⅱ
小 结
求平面立体截交线的两种方法
１,交点法 首先求出平面
立体上参与相交的各棱线（或底
边）与截平面的交点；
２,交线法 分别作出平面立体
上参与相交的各棱线（或底面）与
截平面的交线，各段交线所连成的
多边形即为截交线。
三、求体表面的截交、相贯线类题型：
1,求三角形平面与三棱柱的表面交线。
例８－２,求三角形平面与三棱柱表
面的交线。
空间分析：
空间分析：
三棱柱
三角形平面
（截平面）
截交线
求截交线：
例８－３,补全六
棱柱被截切后的
水平投影, 并求
其侧面投影图 。
空间分析：
题解：
扩展：
Ｘ
Ｏ截平面实形
§ ８－２ 平面与曲面立体相交
平面与曲面立体相交，其截交线
在一般情况下是平面曲线或平面曲线
与直线段的组合图形。
当截平面为特殊位置平面时，其
投影至少有一个必具有积聚性。
素线法
纬圆法
平面曲线
曲面立体的截交线
求曲面立体截交线
1.分析
截交线的形状及投影形状
求曲面立体截交线
2.求点
（ 1）求特殊点
（ 2）求一般点
3.连线
特殊点确定截交线
形状和范围，包括：
1.曲面外形轮廓线上的点
3.反映截交线特征的点
2.曲面边界上的点
4.极限位置点
一、平面与圆柱相交
平面截圆柱时，由
于截平面与圆柱的轴线
相对位置不同，其截线
有三种不同的形状。
平面与圆柱相交有三种不同的形状
１,当截平面平行于圆柱轴线时，
它与圆柱面的截交线为两条直素线；
２,当截平面垂直于圆柱轴线时，
它与圆柱面的截交线为一纬圆；
３,当截平面倾斜于圆柱轴线时，
它与圆柱面的截交线为一椭圆。
两条
素线
纬圆 椭圆
平面截圆柱的三种情况
例８－５,求圆柱截交线（特殊点）
求中间点
1?
2?
3?(4? )
1
2
3
4
1?
3?4?
2?
(8? )7?
5?(6? )
7
8
5
6
7?8?
5?6?
1?
2?
3?(4? )
1 2
3
4
1?
3?4?
2?(8? )
7?
5? (6? )
7
8
5
6
7?8?
5?6?
连线
求全圆柱与截
平面Ｐ交线 （ 补全
水平投影, 且求其
侧面投影图 ） 。
P V
空间分析：
V
P V
二、平面与圆锥相交
平面截切圆锥时，
根据截平面与圆锥轴线
相对位置不同，圆锥面
上产生五种不同形状的
截交线。
圆锥的截交线
１,截平面垂直于圆锥轴心
线
水平圆
2.截平面倾斜于圆锥轴心线
椭圆
３,截平面平行于圆锥母线
（倾斜于圆锥轴心线的特殊情况）
抛物线
４,截平面平行于圆锥轴心线时
双曲 线
５,截平面过圆锥顶时
过锥顶的相交两直线
平面与圆锥相交
例８－６,已知圆
锥被平行于轴线的平面
所截,求其截交线。
空间分析：
双曲 线
例８－７：
已知圆锥的正面
投影图，试完成
其Ｖ／Ｗ投影图 。
空间分析,
水平圆
直素线
题解：
RR为水平圆
半径
球的截交线
P V P V P
V P V
O
x
例８－８：
求正垂面Ｐ
与球面的截
交线。
P V P V P
V P V
O
x
求特殊点：
P V P V P
V P V
O
x
题解：
P V
O
x
求
球
截
面
实
形
扩展：
多个截平面截立体时
截交线的求法
例８－９,求
作五棱柱被截切
后的水平及侧面
投影图 。
空间分析,
题解：
例８－ 10,求作三棱柱截切圆柱后的水平及侧面
投影图 。
空间分析,
水平圆
直线
椭圆
1
2
1' (2') (1")(2")
3
4
5' (6')
3' (4') 3"4"
5
6
5"6"
例８－ 10,求作三棱柱截切圆柱后的水平及侧面
投影图 。
5"6"
1
2
1' (2') (1")(2")
3
4
5' (6')
3' (4') 3"4"
5
6
§ ８－３ 用辅助平面法求截交线
求平面与曲面立体的交线，除了可
以利用求曲面上的素线或纬圆与截平面
的共有点的方法解决外，还可以利用三
面共点的方法求出截交线上的共有点。
三面共点法通常称作辅助平面法，其基
本作图原理如下：
辅助平面
辅助交线 Ⅰ
辅助交线 Ⅱ
相交
交点（三面共点）
辅助平面法基本作图原理
曲面
截平面相交
相交
用辅助面法求截交线
N
Ｍ
辅助面
Ｖ
1
2
PV
用辅助面法求截交线
RV
3 4
)2(1 ??
3′
４ ′
用辅助平面
RV求出椭圆的四
个特殊点。
n
m
正垂面 PV倾斜于
圆锥的轴心线，截交
线为一椭圆曲线。
§ ８－４带切口体的投影
立体被几个相交的平面截切时，
就会在立体上形成不同形状的切口。
粗实线表示留下的部分。
画这种带有切口形体的投影时，
，关键是要把切口轮廓线的投影表达
清楚。
画切口轮廓线的投影，其实
质就是求作切口平面与立体的截
交线，不过此时截平面不是一个
，而是数个，切口的截交线就是
由数条切交线组合而成。因此需
要对数个截平面逐个进行分析，
求出它们与立体的交线，才能逐
步画出切口的投影。
带切口体的投影
例８－ 12,已知半球体的Ｖ面投影
，求其Ｈ／Ｗ投影
空间分析,
水平圆
侧平圆
W V
H
PV
水平圆半径Q
V
侧平圆半径
W
题解：
W
2,补画俯视图。
例８－ 11,补绘出Ｈ面投影图
空间分析：
空间分析：
侧平圆
双曲线
直线
