同学们好！
k
本学期教学内容及特点
实物与场的共同运动形式和性质
单粒子 —— 多粒子体系
量子现象
与
量子规律
实物运动规律 基
本
粒
子 相互作用和场
振动
与
波动
多粒子
体系的
热运 动
? 物理概念、物理思想深化
? 更加贴近物理前沿和高新科技
? 对自学能力的要求提高
第四篇 振动和波动
第 13章 振 动
简谐振
动
摆动 *混沌
振动的
合成
*频谱
分析
*电磁振荡
阻尼振动
受迫振动
共振
学时,6
力学量（如位移）
最基本,最简单、最重要的振动是简谐振动 。
电磁量（如 I, V,E,B）
共同特征,运动在时间、空间上的周期性
?振动, 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
?波动, 振动在空间的传播
一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
§ 13.1 简谐振动
一, 运动方程
集中弹性 集中惯性
回复力 和 物体惯性 交互作用形成谐振动
F = -kx (平衡位置为坐标原点）
轻弹簧 k + 刚体 m (平动 ~质点）
1,理想模型：弹簧振子
F = - k x
准弹性力
系统本身决定的常数
离系统平衡位置的位移
扩展,
下册 P.373 [例 1]
kxF ??
以弹簧振子为例得出普遍结论,
动力学特征
2
2
d
d
t
x
mF
xkF
?
??
0
d
d
2
2
?? x
m
k
t
x
2,运动方程
令 2??
m
k 得
0
d
d 2
2
2
?? x
t
x
?*
线性微分方程
若某物理量满足 *，则其运动方程可用时间 t 的正、
余弦函数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。
求解得运动方程,
)c o s ( 0?? ?? tAx
0,?A
为积分常数
x可代表任意物理量
简谐振动 1：物体所受回复力与位移之间的关系满足
称物体所作的运动为简谐振动
kxF ??
简谐振动 3：如果物体的运动学方程可以写为
称物体所作的运动为简谐振动 )co s ( ?? ?? tAx
简谐振动 2：如果物体的动力学方程可以写为
称物体所作的运动为简谐振动 xdt xd 222 ???
例：证明匀速圆周运动在 x轴上的分量是一简谐振动
xx
?
A
v
)c o s ( ?? ?? tAx
由简谐振动定义 3，匀速圆周运动在 x轴上的分量是一简谐振动
讨论：正因为在圆周运动中 ?代表物体运动的角速度，因此,
简谐振动运动学方程中的 ?称为简谐振动的角速度或角频率
(代表 2?秒内物体完成完全振动的次数 )。代表物体振动的快慢
证明：设物体以 ?的角速度作匀
速圆周运动，初始时刻的位置与
x轴夹角为,则任意时刻 t物体
在 x轴上的位移为 ?
3,
2
2
d
d,
d
d,
t
x
t
xx 均随时间周期性变化
由
)c o s ( 0?? ?? tAx 得
)c o s (
d
d
)s i n (
d
d
0
2
2
2
0
???
???
????
????
tA
t
x
a
tA
t
x
v
?
?0?
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
固有角频率 由谐振动周期性特征看 ? 的物理意义,
?????
????
2)(
)c o s (])(c o s [
)()(
00
00
?????
????
??
tTt
tATtA
txTtx
描述谐振运动的快慢
二, 简谐振动的特征量
?1,角频率, mk??
?
?2?T
?
??
2
1 ??
T
周期
频率
在 SI制中,单位分别为 周期 S (秒 )、频率 Hz (赫
兹 )、角频率 rad·s-1 (弧度 / 秒 )
2,振幅 A,
|| m a xxA ?
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
解得
2
2
02
0
?
v
xA ??
2
2
2
?
v
x ??
由
在 t = 0 时刻
00
00
s in
co s
??
?
Av
Ax
??
?
)s i n (
)c o s (
0
0
???
??
???
??
tAv
tAx
(1)
与状态参量)( 0?? ?t x,v有一一对应的关系
)s i n ();c o s ( 00 ????? ????? tAvtAx例,
当
30
??? ??t 时,
方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
,
2
Ax ?
?Av
2
3??
当
???
3
5
0 ??t
时,
,
2
Ax ? ?Av
2
3?
方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
*3,相位 ?t + ?0,初相 ?0
相位是描述振动状态的物理量
(2)
?2每变化 整数倍, x,v重复
原来的值（回到原 状态），最能直观、方便地
反映出谐振动的周期性特征。
(3) 可以方便地比较同频率谐振动的 步调
)( 0?? ?t
?
?
?
?
?
????
0
0
12
???
12 xx 振动超前
12 xx 振动落后
初相,
0?
描述 t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
00
00
s in
co s
??
?
Av
Ax
??
?
)(a r c t g
0
0
0 x
v
?
? ??
或
?
?
?
A
v
A
x
0
0
0
0
s in
c os
?
?
?
000 s i nc o s ??? 的符号决定大小和由
m
h
m
k
[例 1] 教材 P.410 13-8
解, 振动系统为（ 2 m,k)
?
,
2 m
k??
k
mT 22 ??
0?t
0v
?
0x
确定初始条件：以物块和平板共同运动时刻为 t = 0
0
0
22
0
mvghm
k
mg
x
?
???
0
20
??
gh
v
{ 有,
已知,k,m,h,完全非弹性碰撞
求,T,A,
0?
以平衡位置为坐标原点，向下为正。 x
o
?
??
?
? ?????
mg
kh
x
v
a r c t g)(a r c t g
0
0
0
mg
kh
k
mg
k
m g h
k
gmv
xA ?????? 1
2
22
2
2
02
0
?
得,
又,
0s i n
0c o s
00
0
0
???
??
??
?
Av
A
x
0s in 0 ??
0?
} 为三象限角
[例 2] 由振动曲线决定初相
?
A
x 0
0 a r c c o s??
为四象限角
(2) 与标准余弦函数比较
???
0
0
0
2 t
T
t
?????
(1)
0sin 0 ??
0s in
0c o s
00
0
0
???
??
??
?
Av
A
x
t 0
x
x0
t0
A 0v?
三, 旋转矢量法 (几何表示方法 )
写出质点 m 以角速率 ? 沿半径 A 的圆周匀速运动
的参数方程 思考,
x,y 方向分运动均为简谐振动
)c o s ( 0?? ?? tAx
)s i n ( 0?? ?? tAy
x
y
o
m A
?
0?
简谐振动可以用旋转矢量来描绘
t=0时刻,投影点位移 ?c o s0 Ax ?
在任意时刻,投影点的位移
)c o s ( ?? ?? tAx
模 振幅 A
角速度 角频率 ?
旋转周期 振动周期 T=2?/ ?
上的投影 在 ox A ?
上的投影 端点速度在 ox A ?
上的投影 端点加速度在 ox A ?
位移
速度
加速度
x =Acos(?t+? 0)
v =- ? Asin(?t+? 0)
a =- ? 2Acos(?t+? 0)
旋转矢量 简谐振动 符号或表达式 A?
初相 ? 0 t=0时,与 ox夹角 A?
相位 ?t+? 0 t时刻,与 ox夹角 A?
旋转矢量 与谐振动的对应关系（教材 P.378 表 13.1.2） A?
旋转矢量法优点,
直观地表达谐振动的各特征量
便于解题,特别是确定初相位
便于振动合成
由 x,v 的符号确定 所在 的象限,A?
)cm(x24 o
练习 教材 P.410 13-6
解,作 t = 0时刻的旋转矢量
0A
?
求,质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
已知,A = 24cm,T = 3s,t = 0时
,00 ?vc m,120 ?x
作 x = -12cm处的旋转矢量 A?
12 -12
0A
?A?
s5.0
6
1
m i n ??? Tt
利用旋转矢量法作 x-t 图,
x x(cm)
t(s)
t=0
O O T
A?
12
Tt ?
6
Tt? 2
Tt?
四, 孤立 谐振动系统的能量
)(s i n
2
1)(s i n
2
1
2
1
0
22
0
2222
k ????? ????? tkAtmAmvE
恒量???? 2
2
1
kAEEE kp
孤立谐振动系统机械能守恒
?水平放置的弹簧振子
{
)s i n (
)c o s (
0
0
???
??
???
??
tAv
tAx以平衡位置为坐标原点
不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼
不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
)(c o s
2
1
2
1
0
222
p ?? ??? tkAkxΕ
由以上两式可见,当位移最大时，速度为零，动能也
为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为
零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。
由公式
E mv k x kA? ? ?1
2
1
2
1
2
2 2 2
得
v
k
m
A x A x? ? ? ? ? ?( )2 2 2 2?
此式表明,在平衡位置处,x = 0,速度为最大；在
最大位移处,x = ? A,速度为零 。
E-t 曲线 E - x 曲线
倍的变化频率为 2,pk xEE
彼此变化步调相反pk,EE
?竖直悬挂的弹簧振子
以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点
以平衡位置为坐标原点
)()(
2
1
)0
2
0p xxmgxxkE ????
)()(
2
1
00
2
0 xxkxxxk ????
2
0
2
2
1
2
1 kxkx ??
2
0
22
KP
2
1
)
2
1
2
1
( kxmvkxEEE ????? 恒量???
2
0
2
2
1
2
1 kxkA
k
m O
x
k
x0 EP=0
mg-kx0=0
x
k
恰当选择零势点，可去掉第二项。
如何选？ 以平衡位置为坐标原点和势能零点
2
0
2
0p 2
1)(
2
1 kxm g xxxkE ????
2
00
2
0 2
1)(
2
1 kxxkxxxk ????
2
2
1 kx?
222
pk 2
1
2
1
2
1 kAkxmvEEE ?????
k
m O
x
k
x0
mg-kx0=0
x
k
0?PE
注意,
只要以平衡位置为坐标原点和零势点
2
2
1
kxE p ?
准弹性势能,
（包括重力势能、弹性势能）
2
2
1
kAE ?
振动系统总能量
? 能量法求谐振动的振幅和周期
自学 教材 P.381 [例 6] [例 7]
§ 13.2 摆动 混沌现象
研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆
??? mlmaF ??
2
2
d
d
s i n
t
mlmg
?
? ??
切向运动方程
0s i n
d
d
2
2
?? ??
l
g
t
一、单摆,无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动
l
m
建立如图 自然坐标
受力分析如图
?
n ?
N
mg
0s i n
d
d
2
2
?? ??
l
g
t
0s in
d
d 2
2
2
?? ???
t
???????
!5!3
s in
53 ??
??
单摆运动的微分方程
非线性微分方程
无解析解
令
l
g?2? 得,
? 很小时当 ? ?? ?sin
0
d
d 2
2
2
?? ???
t
角谐振动
g
l
T ?
?
?
2
2
??
)c o s (m ???? ?? t
由初始条件决定
运动
方程,
周期,
二、复摆,绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体
由刚体定轴转动定律
?JM ?
2
2
d
d
s i n
t
Jm g h
?
? ??
0s i n
d
d
2
2
?? ??
J
m g h
t
令
J
m g h?2?
0s i n
d
d 2
2
2
?? ??
?
t
—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
mg
J
C
o
h
?
? 很小时当 ? ?? ?sin
0
d
d 2
2
2
?? ???
t
角谐振动
由小角度摆动都是谐振动，可推广到
一切微振动均可用谐振动模型处理。 例如晶体中原子
或离子在晶格点平衡位置附近的振动。
m g h
J
T ?
?
?
2
2
??)c o s (m ???? ?? t
由初始条件决定
运动
方程,
周期,
大角度摆动不是谐振动！
大多数非线性系统都会出现“混沌”现象。
世界本质是非线性的,因而才表现出如此的
丰富多彩和无限的复杂性。
非线性系统（描述系统运动状态的方程为非线性方程），
当其非线性程度足够高时，系统出现混沌状态。
四、混沌
运动方程是完全确定的（ 非线性微分方程 ）
由方程自身演化出来，在一定条件下行为不完全
确定（内在随机性） 取决于初始条件的细微差别
决定性动力学系统中出现的貌似随机的运动。
二、混沌现象
（一）湍流
(1)雷诺实验
流速达一定值
互不混杂的层流 湍流
木星大红斑
（ 2）燃烧烟柱的湍流
（ 3）木星上的大气湍流
?（二）洛仑兹水轮
水轮顶端有水流恒定的冲下来，注入挂在轮边缘的
水桶中。每只桶底部均有一小孔能恒定的漏水。
?（三）滴水龙头
混
沌
现
象
水流速较高时，滴水间隔时间出现混沌。
?（四 )计算机迭代
o
50.
50.?
01.?
5 10 15 20 25 30
迭代次数
x 的迭代12 ?x
迭代指重复一系列运算操作而逐次得到愈来愈接近结果的过
程。非线性方程一般无解析通解，常用迭代法获得数值解。
非线性系统（描述系统运动状态的方程为
非线性方程），当其非线性程度足够高时，系
统将出现混沌状态。
问题,混沌系统状态有何特征？如何描述?
什么样的系统会出现混沌现象？ 问题,
混沌是决定性动力学系统中出现的一种貌似随
机的运动。“决定性”是指描述系统运动状态的
方程和初始条件都是确定的，因此行为也应确定。
混沌运动的特点,
（ 1）非定点、非周期运动 —运动具有不确定性；
（ 2）不确定性来自于系统自身 —内禀随机性；
（ 3）由内禀随机性引起的不确定性运动 —混沌运动；
（ 4）混沌运动的初值敏感依赖性 —蝴蝶效应 。
k
本学期教学内容及特点
实物与场的共同运动形式和性质
单粒子 —— 多粒子体系
量子现象
与
量子规律
实物运动规律 基
本
粒
子 相互作用和场
振动
与
波动
多粒子
体系的
热运 动
? 物理概念、物理思想深化
? 更加贴近物理前沿和高新科技
? 对自学能力的要求提高
第四篇 振动和波动
第 13章 振 动
简谐振
动
摆动 *混沌
振动的
合成
*频谱
分析
*电磁振荡
阻尼振动
受迫振动
共振
学时,6
力学量（如位移）
最基本,最简单、最重要的振动是简谐振动 。
电磁量（如 I, V,E,B）
共同特征,运动在时间、空间上的周期性
?振动, 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
?波动, 振动在空间的传播
一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
§ 13.1 简谐振动
一, 运动方程
集中弹性 集中惯性
回复力 和 物体惯性 交互作用形成谐振动
F = -kx (平衡位置为坐标原点）
轻弹簧 k + 刚体 m (平动 ~质点）
1,理想模型：弹簧振子
F = - k x
准弹性力
系统本身决定的常数
离系统平衡位置的位移
扩展,
下册 P.373 [例 1]
kxF ??
以弹簧振子为例得出普遍结论,
动力学特征
2
2
d
d
t
x
mF
xkF
?
??
0
d
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2
2
?? x
m
k
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2,运动方程
令 2??
m
k 得
0
d
d 2
2
2
?? x
t
x
?*
线性微分方程
若某物理量满足 *，则其运动方程可用时间 t 的正、
余弦函数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。
求解得运动方程,
)c o s ( 0?? ?? tAx
0,?A
为积分常数
x可代表任意物理量
简谐振动 1：物体所受回复力与位移之间的关系满足
称物体所作的运动为简谐振动
kxF ??
简谐振动 3：如果物体的运动学方程可以写为
称物体所作的运动为简谐振动 )co s ( ?? ?? tAx
简谐振动 2：如果物体的动力学方程可以写为
称物体所作的运动为简谐振动 xdt xd 222 ???
例：证明匀速圆周运动在 x轴上的分量是一简谐振动
xx
?
A
v
)c o s ( ?? ?? tAx
由简谐振动定义 3，匀速圆周运动在 x轴上的分量是一简谐振动
讨论：正因为在圆周运动中 ?代表物体运动的角速度，因此,
简谐振动运动学方程中的 ?称为简谐振动的角速度或角频率
(代表 2?秒内物体完成完全振动的次数 )。代表物体振动的快慢
证明：设物体以 ?的角速度作匀
速圆周运动，初始时刻的位置与
x轴夹角为,则任意时刻 t物体
在 x轴上的位移为 ?
3,
2
2
d
d,
d
d,
t
x
t
xx 均随时间周期性变化
由
)c o s ( 0?? ?? tAx 得
)c o s (
d
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2
2
2
0
???
???
????
????
tA
t
x
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t
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v
?
?0?
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
固有角频率 由谐振动周期性特征看 ? 的物理意义,
?????
????
2)(
)c o s (])(c o s [
)()(
00
00
?????
????
??
tTt
tATtA
txTtx
描述谐振运动的快慢
二, 简谐振动的特征量
?1,角频率, mk??
?
?2?T
?
??
2
1 ??
T
周期
频率
在 SI制中,单位分别为 周期 S (秒 )、频率 Hz (赫
兹 )、角频率 rad·s-1 (弧度 / 秒 )
2,振幅 A,
|| m a xxA ?
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
解得
2
2
02
0
?
v
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2
2
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由
在 t = 0 时刻
00
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s in
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???
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(1)
与状态参量)( 0?? ?t x,v有一一对应的关系
)s i n ();c o s ( 00 ????? ????? tAvtAx例,
当
30
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方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
,
2
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???
3
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时,
,
2
Ax ? ?Av
2
3?
方向运动向处以速率质点在 xvAx ?? 2
*3,相位 ?t + ?0,初相 ?0
相位是描述振动状态的物理量
(2)
?2每变化 整数倍, x,v重复
原来的值（回到原 状态），最能直观、方便地
反映出谐振动的周期性特征。
(3) 可以方便地比较同频率谐振动的 步调
)( 0?? ?t
?
?
?
?
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????
0
0
12
???
12 xx 振动超前
12 xx 振动落后
初相,
0?
描述 t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
00
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?
?
?
000 s i nc o s ??? 的符号决定大小和由
m
h
m
k
[例 1] 教材 P.410 13-8
解, 振动系统为（ 2 m,k)
?
,
2 m
k??
k
mT 22 ??
0?t
0v
?
0x
确定初始条件：以物块和平板共同运动时刻为 t = 0
0
0
22
0
mvghm
k
mg
x
?
???
0
20
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gh
v
{ 有,
已知,k,m,h,完全非弹性碰撞
求,T,A,
0?
以平衡位置为坐标原点，向下为正。 x
o
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mg
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2
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又,
0s i n
0c o s
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0
0
???
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0?
} 为三象限角
[例 2] 由振动曲线决定初相
?
A
x 0
0 a r c c o s??
为四象限角
(2) 与标准余弦函数比较
???
0
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T
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(1)
0sin 0 ??
0s in
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x0
t0
A 0v?
三, 旋转矢量法 (几何表示方法 )
写出质点 m 以角速率 ? 沿半径 A 的圆周匀速运动
的参数方程 思考,
x,y 方向分运动均为简谐振动
)c o s ( 0?? ?? tAx
)s i n ( 0?? ?? tAy
x
y
o
m A
?
0?
简谐振动可以用旋转矢量来描绘
t=0时刻,投影点位移 ?c o s0 Ax ?
在任意时刻,投影点的位移
)c o s ( ?? ?? tAx
模 振幅 A
角速度 角频率 ?
旋转周期 振动周期 T=2?/ ?
上的投影 在 ox A ?
上的投影 端点速度在 ox A ?
上的投影 端点加速度在 ox A ?
位移
速度
加速度
x =Acos(?t+? 0)
v =- ? Asin(?t+? 0)
a =- ? 2Acos(?t+? 0)
旋转矢量 简谐振动 符号或表达式 A?
初相 ? 0 t=0时,与 ox夹角 A?
相位 ?t+? 0 t时刻,与 ox夹角 A?
旋转矢量 与谐振动的对应关系（教材 P.378 表 13.1.2） A?
旋转矢量法优点,
直观地表达谐振动的各特征量
便于解题,特别是确定初相位
便于振动合成
由 x,v 的符号确定 所在 的象限,A?
)cm(x24 o
练习 教材 P.410 13-6
解,作 t = 0时刻的旋转矢量
0A
?
求,质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
已知,A = 24cm,T = 3s,t = 0时
,00 ?vc m,120 ?x
作 x = -12cm处的旋转矢量 A?
12 -12
0A
?A?
s5.0
6
1
m i n ??? Tt
利用旋转矢量法作 x-t 图,
x x(cm)
t(s)
t=0
O O T
A?
12
Tt ?
6
Tt? 2
Tt?
四, 孤立 谐振动系统的能量
)(s i n
2
1)(s i n
2
1
2
1
0
22
0
2222
k ????? ????? tkAtmAmvE
恒量???? 2
2
1
kAEEE kp
孤立谐振动系统机械能守恒
?水平放置的弹簧振子
{
)s i n (
)c o s (
0
0
???
??
???
??
tAv
tAx以平衡位置为坐标原点
不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼
不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
)(c o s
2
1
2
1
0
222
p ?? ??? tkAkxΕ
由以上两式可见,当位移最大时，速度为零，动能也
为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为
零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。
由公式
E mv k x kA? ? ?1
2
1
2
1
2
2 2 2
得
v
k
m
A x A x? ? ? ? ? ?( )2 2 2 2?
此式表明,在平衡位置处,x = 0,速度为最大；在
最大位移处,x = ? A,速度为零 。
E-t 曲线 E - x 曲线
倍的变化频率为 2,pk xEE
彼此变化步调相反pk,EE
?竖直悬挂的弹簧振子
以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点
以平衡位置为坐标原点
)()(
2
1
)0
2
0p xxmgxxkE ????
)()(
2
1
00
2
0 xxkxxxk ????
2
0
2
2
1
2
1 kxkx ??
2
0
22
KP
2
1
)
2
1
2
1
( kxmvkxEEE ????? 恒量???
2
0
2
2
1
2
1 kxkA
k
m O
x
k
x0 EP=0
mg-kx0=0
x
k
恰当选择零势点，可去掉第二项。
如何选？ 以平衡位置为坐标原点和势能零点
2
0
2
0p 2
1)(
2
1 kxm g xxxkE ????
2
00
2
0 2
1)(
2
1 kxxkxxxk ????
2
2
1 kx?
222
pk 2
1
2
1
2
1 kAkxmvEEE ?????
k
m O
x
k
x0
mg-kx0=0
x
k
0?PE
注意,
只要以平衡位置为坐标原点和零势点
2
2
1
kxE p ?
准弹性势能,
（包括重力势能、弹性势能）
2
2
1
kAE ?
振动系统总能量
? 能量法求谐振动的振幅和周期
自学 教材 P.381 [例 6] [例 7]
§ 13.2 摆动 混沌现象
研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆
??? mlmaF ??
2
2
d
d
s i n
t
mlmg
?
? ??
切向运动方程
0s i n
d
d
2
2
?? ??
l
g
t
一、单摆,无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动
l
m
建立如图 自然坐标
受力分析如图
?
n ?
N
mg
0s i n
d
d
2
2
?? ??
l
g
t
0s in
d
d 2
2
2
?? ???
t
???????
!5!3
s in
53 ??
??
单摆运动的微分方程
非线性微分方程
无解析解
令
l
g?2? 得,
? 很小时当 ? ?? ?sin
0
d
d 2
2
2
?? ???
t
角谐振动
g
l
T ?
?
?
2
2
??
)c o s (m ???? ?? t
由初始条件决定
运动
方程,
周期,
二、复摆,绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体
由刚体定轴转动定律
?JM ?
2
2
d
d
s i n
t
Jm g h
?
? ??
0s i n
d
d
2
2
?? ??
J
m g h
t
令
J
m g h?2?
0s i n
d
d 2
2
2
?? ??
?
t
—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
mg
J
C
o
h
?
? 很小时当 ? ?? ?sin
0
d
d 2
2
2
?? ???
t
角谐振动
由小角度摆动都是谐振动，可推广到
一切微振动均可用谐振动模型处理。 例如晶体中原子
或离子在晶格点平衡位置附近的振动。
m g h
J
T ?
?
?
2
2
??)c o s (m ???? ?? t
由初始条件决定
运动
方程,
周期,
大角度摆动不是谐振动！
大多数非线性系统都会出现“混沌”现象。
世界本质是非线性的,因而才表现出如此的
丰富多彩和无限的复杂性。
非线性系统（描述系统运动状态的方程为非线性方程），
当其非线性程度足够高时，系统出现混沌状态。
四、混沌
运动方程是完全确定的（ 非线性微分方程 ）
由方程自身演化出来，在一定条件下行为不完全
确定（内在随机性） 取决于初始条件的细微差别
决定性动力学系统中出现的貌似随机的运动。
二、混沌现象
（一）湍流
(1)雷诺实验
流速达一定值
互不混杂的层流 湍流
木星大红斑
（ 2）燃烧烟柱的湍流
（ 3）木星上的大气湍流
?（二）洛仑兹水轮
水轮顶端有水流恒定的冲下来，注入挂在轮边缘的
水桶中。每只桶底部均有一小孔能恒定的漏水。
?（三）滴水龙头
混
沌
现
象
水流速较高时，滴水间隔时间出现混沌。
?（四 )计算机迭代
o
50.
50.?
01.?
5 10 15 20 25 30
迭代次数
x 的迭代12 ?x
迭代指重复一系列运算操作而逐次得到愈来愈接近结果的过
程。非线性方程一般无解析通解，常用迭代法获得数值解。
非线性系统（描述系统运动状态的方程为
非线性方程），当其非线性程度足够高时，系
统将出现混沌状态。
问题,混沌系统状态有何特征？如何描述?
什么样的系统会出现混沌现象？ 问题,
混沌是决定性动力学系统中出现的一种貌似随
机的运动。“决定性”是指描述系统运动状态的
方程和初始条件都是确定的，因此行为也应确定。
混沌运动的特点,
（ 1）非定点、非周期运动 —运动具有不确定性；
（ 2）不确定性来自于系统自身 —内禀随机性；
（ 3）由内禀随机性引起的不确定性运动 —混沌运动；
（ 4）混沌运动的初值敏感依赖性 —蝴蝶效应 。
