同
学
们
好
光栅常数,
N
l
bad ???
)cm10~10( 43 ??
透射光栅, 刻痕玻璃 a
b d
刻痕，遮光
未刻，缝，
透光 N
l
▲ 三, 光栅夫琅和费衍射
单缝衍射,
a
?? 2??
中央 a
?? ??
其它 ???? Ia ;,?
解决办法,采用一系列平行单缝
光栅（ grating),大量等宽的平行狭缝等距离地排列
而形成的光学器件
思路 讨论 N个几何线光源的干涉
? 计及缝宽：加上 N个单缝衍射的影响
?先不计缝宽，将每缝光强各集中于一线光源
1、装置,
光栅衍射成象特点
? 光栅衍射成象是单缝衍射和多缝干涉合成的结果
? 各缝相同衍射角的光线在成象屏上汇聚于同一点
2,N 缝干涉
)2/s i n (
)2/s i n (
?
?N
AA
i
?
式中 Ai为每一缝在 P点的振幅,?为相邻两束光在 P点
的相位差
它们在 P点的合成的合振幅为
这 N条光线是同振幅、
同频率、相位依次相差 ?
的相干光。
2
s i n21 ?RA ?
2
s in2
?N
RA ?
?
?
?
?
s i n
s i n
2
s i n
2
s i n
11
N
A
N
AA ????
1A
?
NA
?
2A
?
O
?
?
?
?
?
x
R
C
?
?N A?
用多边形法则进行 N个大小相等,
两两依次相差为 ? 的光振动的叠加
2
1 )
s in
s in
(
?
?N
II ?
（ 1）光强分布
?s ind??
?
??? s in2 d?
?
???? s i n
2
d??
暗纹中心
0?I
?
1A
?
0?A?
NA
?
2A
?
一般情况
2
1 )
s in
s in
(
?
?N
II ?
1a
?
na
?
2a
?
O
?
?
?
?
?
M
P x
R
?
?n A?
明纹中心（主明纹、主极大）
1
2 INI ?
1NAA ?
1A
?
2A
?
NA
?
A?
（ 2） 条纹特点（半定量讨论）
? 明纹中心（主明纹、主极大）条件
?? kd ??? s in
)210( ????,，k 1NAA ?
1A
?
2A
?
NA
?
A?
位置,
d
k ?? ?s in
亮度,
1
2 INI ?
最高级次,
1|s in| ???
?
d
k ?? m )3,4;4,24( mm ????? kdkd
??
例：
k,-2 -1 0 1 2
sin? 0
a
?
a
??
a
?2?
a
?2
位置,
dN
k ?? ???s in )( Nkk ??
，不是暗纹的整数，否则为主极大为不等于 Nkk ?
取值：k ?
k,0 1 2
???,12,2,12,2,1,,1,2,1,0 ???????? NNNNNNN:k?
相邻两条主明纹间有 N-1条暗纹
? 暗纹条件
kN ?? ?? 2
kdN ??? ?
?
?? 2s i n2
?
1A
?
0?A?
NA
?
2A
?
每条主明纹的角宽度：在 kN-1和 kN+1两条暗纹之间，
对应 2???k
? 次极大条件,
对应按多边形法则叠加,
不正好为直线，也不正
好闭合的其余位置
N-1条暗纹由 N-2个
次极大隔开
相邻两条主明纹
间有 N-1条暗纹和
N-2个次极大。
sin? 0
a
?
a
??
1A
?
2A
?
NA
?
A?
(N-1)个极小
(N-2)次极小
由暗纹条件
dN
k ?
? ?
?
?s i n
k
Nd
?????? ???c o s
2??? k
NdNd
?
?
?
?
2
c o s
2
???
栅分辨本领越高主明纹越细窄明亮，光?N
? 主明纹角宽度
每条主明纹的角宽度：在 kN-1和 kN+1两条暗纹之间，
对应 2??? k
)1c o s0( ?? ??,用于低级次
?光栅分辨本领
：级主明纹恰能分辨条件光第，由瑞利判据,k21 ??
相邻最近的暗纹处的主极大在 21 ??
1s in ?? kd ?
2
2
)
1
(
1
s i n
?
??
???
?
?
?
N
k
N
kN
d
kN
1
2
12 ????
?
??
?
?
分辨本领,
kNR ?
?
?
?
? 无关与 dNR,?
Nd
kN 2)1( ??
sin?
d
k 1?
d
k 2?
小结 不计缝宽,N个几何线光源干涉的结果,
角宽度,
?
??
c o s
2
Nd
??
亮度,
1
2 INI ?
分辨本领,
kNR ?
光栅公式,
?? kd ?s in )2,1,0( ????k
暗区（ N-1条暗纹,N-2条次级大）背景上出现
细窄明亮的主明纹
sin?
I
d
? d?2 ??
0
d
?3
N2I1
波场中能量分布与加入相干叠加的波的个数之间
的关系,
相干波数目越多，波场中能量向狭窄范围集中的
趋势越明显
出现干涉加强的条件越苛刻，越难以满足
能量守恒
为什么？ 思考
3.N 个单缝衍射的影响
讨论,N 个单缝衍射的影响彼此是否一致？
每条缝的单缝衍射
条纹彼此重合
I
L
f
教材 490页,15.4.3
缝宽,* 分为偶数个半波带,
缝内光线自身干涉相消 01 ?I
即使缝间干涉相长 0
1
2 ?? INI
该主明纹不出现 ——缺级
* 分为奇数个半波带,
缝内光线部分干涉相消，条纹级次越高，
光强越弱；
N 缝叠加后，光栅主明纹光强非均匀
分布 ——亮度调制
考虑缝宽后 会带来什么影响？ 讨论,
? 22
0 )s i n
s i n
()
s i n
(
?
?
?
? N
II ??
单缝衍射因子 多 (N)缝干涉因子
?
??? s ina?
?
??? s ind?
:a 缝宽,d 光栅常数 a+b,? 衍射角
2
1 )s i n
s i n
(
?
?N
II ?
光强分布,
（单缝衍射） 2
01 )
s in(
?
?II ?
?
??? s ina?
其中,；
（ 1） 亮度调制,
同一缝中子波相干影响亮度分布
?? Ik,
?主明纹测
一般采用 1?k
22
0 )s i n
s i n
()
s i n
(
?
?
?
? N
II ??
（ 2） 缺级条件,
光栅主明纹,??? kbad ??? s in)(s in )2,1,0( ????k
单缝暗纹,?? ka ??s in )2,1( ?????k
若同时满足，则第 k 级主明纹消失。
（ 3） 单缝衍射中央明纹区主极大条数
1)(221)(2 ????
a
d
a
d
进整 进整
k
k
a
ba
a
d
?
?
?
?
（为整数比）
缺级,
k
a
d
k ???
)2,1( ?????k
即：当
4.总结,光栅衍射是 N缝干涉和 N个单缝衍射的总效果
光强分布
22
0 )s i n
s i n()s i n(
?
?
?
? NII ??
?
??? s ina?
?
??? s ind?
零级主明纹光强:0I
式中,
（ 1） 细窄明亮的主明纹
位置,?? kd ?s in ),1,0( ???k ——光栅公式
缺级,?? ka ??s in
)2,1( ?????kk
a
dk ??
角宽度,
?
?
?
c o s
2
Nd
??
最高级次,
?
dk ?
m
单缝中央明纹区主明纹条数,
1)(2 ?
a
d
进整
（ 2） 相邻主明纹间较宽暗区
（ N-1条暗纹,N-2条次极大）
（ 3） 白光入射中央零级主明纹为白色，其余各级
为彩色光谱，高级次重叠
分辨本领,
NkR ? )2,1,0( ????k
教材 488页：例 5、例 6
例,一平行衍射光栅，每厘米刻 1000条，用可见光垂
直入射，缝后透镜焦距 f = 100cm
1、光栅衍射第一级完整可见光谱所占宽度
2、证明第二、三级光谱重叠
3,
最多看到主明纹条数入射，用红光,37000 abA ??
?
?
解,1,
m10 5???? bad ?? kd ?s in
:1?k m104 71 ???? 040s in 1
1 ??? d
??
m107 72 ????
070s in 22 ???
d
??
)cm(3)s i n( s i n)tgtg( 1212 ?????? ???? ffx
2,红光 2?k 1402s i n 1 ???
d
??
紫光
3?k 1401203s i n 2 ??????
d
??
? 二、三级红光重迭
3,
2.14m ??
?
dk 14
m a x ?k
缺级
abad 4???
?? kd ?s in
?? ka ??s in
kk ?? 4
3,2,1 ?????k
最多可见主明纹 条2361142 ????
第 12,8,4,-4,-8,-12 级主明纹缺级
解, ?
5?N
0.25
?sin
I
0 ? ?? kd ?s in
4?k 250s in ???
4108
250
5 0 0 04 ??
?
??d
或由缺级
4?
a
d 41084 ??? ad ?
?
? ?? ka ??s in
1??k 250s in ???
4102
250
5 0 0 0 ??
?
?a ?
例, 入射光 ? =500nm,由图中衍射光强分布确定
? 缝数 N=? ? 缝宽 a =? ?光栅常数 d=a+b=?
四、晶格衍射（ X光衍射）
(W.C.Rontgen,1845－ 1923)
1895年德国的伦琴发现 X射线。
原子内壳层电子跃迁产生的
一种辐射和高速电子，在靶上
骤然减速时伴随的辐射，称为
X 射线。
其 特点 是,1.在电磁场中不发生偏转。
2,穿透力强 3,波长较短的电磁波,
范围在 0.001nm~10nm之间。
劳厄斑 X射线管
? X 射线晶体衍射
天然晶体可看作是光栅常量很小的空间三维衍射光栅 。
每个微粒（原子、分子、离子）都是散射子波的波
源，这些子波的 干涉 加强形成了 乳胶板上对称分布的
若干衍射斑点称为 劳厄斑（ 1912年）。
1913年英国物理学家布喇格父子提出一种简化了的
研究 X射线衍射的方法，与劳厄理论结果一致。
1
2
3
X射线以掠射角 θ射
到一组晶面上，晶
面间距为 d，来自不
同晶面的“反射线”
为 1和 2。它们的光
程差为,
A
B
C D
?
1
?
2
?? kd ?? s in2 当 时各层面上的反射光相干加强,
形成亮点，为 k 级干涉主极大。该式称 布喇格公式 。
?,3,2,1,s i n2 ???? kdBDBCΔ ?
因为晶体有很多组平行晶面，晶面间的距离 d 各
不相同所以,劳厄斑是由空间分布的亮斑组成。
晶体已知，可测 x 射线波长。
已知，可由衍射图分析晶体结构。
?
应用,
布拉格公式,
?? kd ?s in2
晶格常数
用此式可解释劳厄斑的形成。
DNA双螺旋结构的发现 — 分子生物学诞生
,物理学家看生命, P.47,解开核酸的双螺旋之谜”
DNA分子的双螺旋结构：大部分为右旋的。
2.已知 波长 ? = 5000?以 ? = 30?
照射到光栅常数 d = 2.5a = 2?m
的光栅上,
求,? 中央主极大位置
? 屏中心 F处条纹级次
? 屏上可见到哪几级主明纹？
解,由
??? kdd ???? s i ns i n
? 中央主极大 0??
?? s ins in ? ?30?? ??
F
?
L
P
?
?
得上方取
2
F ?? ? 2
)s i n1( ???
?
?dk 1max ?k
得下方取
2
F ?? ?? 6)s i n1( ?????? ? ?dk 5m a x ???k
考虑缺级,
kk
a
dk ????
2
5 )4,2( ?????k
屏上级次,
4,3,2,1,0,1 ????? 共 6条主明纹（ k = -5级缺级）
? 屏中心 F 处 0??
?? kd ?? s in
2
105000
5.0102s i n
10
6
??
?
??????
?
?
?
?dk
F
?
L
P
?
??? kdd ???? s i ns i n
用 mm0.1 内有 500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱,
)5 8 9( nm??
设透镜焦距 mf 00.1?
问,(1)光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱；
（ 2）光线以入射角 030 入射时，最多能看到第几级光谱；
（ 3）若用白光垂直照射光栅，求第一级光谱的线宽度。
学
们
好
光栅常数,
N
l
bad ???
)cm10~10( 43 ??
透射光栅, 刻痕玻璃 a
b d
刻痕，遮光
未刻，缝，
透光 N
l
▲ 三, 光栅夫琅和费衍射
单缝衍射,
a
?? 2??
中央 a
?? ??
其它 ???? Ia ;,?
解决办法,采用一系列平行单缝
光栅（ grating),大量等宽的平行狭缝等距离地排列
而形成的光学器件
思路 讨论 N个几何线光源的干涉
? 计及缝宽：加上 N个单缝衍射的影响
?先不计缝宽，将每缝光强各集中于一线光源
1、装置,
光栅衍射成象特点
? 光栅衍射成象是单缝衍射和多缝干涉合成的结果
? 各缝相同衍射角的光线在成象屏上汇聚于同一点
2,N 缝干涉
)2/s i n (
)2/s i n (
?
?N
AA
i
?
式中 Ai为每一缝在 P点的振幅,?为相邻两束光在 P点
的相位差
它们在 P点的合成的合振幅为
这 N条光线是同振幅、
同频率、相位依次相差 ?
的相干光。
2
s i n21 ?RA ?
2
s in2
?N
RA ?
?
?
?
?
s i n
s i n
2
s i n
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11
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用多边形法则进行 N个大小相等,
两两依次相差为 ? 的光振动的叠加
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（ 1）光强分布
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一般情况
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（ 2） 条纹特点（半定量讨论）
? 明纹中心（主明纹、主极大）条件
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最高级次,
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，不是暗纹的整数，否则为主极大为不等于 Nkk ?
取值：k ?
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相邻两条主明纹间有 N-1条暗纹
? 暗纹条件
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每条主明纹的角宽度：在 kN-1和 kN+1两条暗纹之间，
对应 2???k
? 次极大条件,
对应按多边形法则叠加,
不正好为直线，也不正
好闭合的其余位置
N-1条暗纹由 N-2个
次极大隔开
相邻两条主明纹
间有 N-1条暗纹和
N-2个次极大。
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栅分辨本领越高主明纹越细窄明亮，光?N
? 主明纹角宽度
每条主明纹的角宽度：在 kN-1和 kN+1两条暗纹之间，
对应 2??? k
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?光栅分辨本领
：级主明纹恰能分辨条件光第，由瑞利判据,k21 ??
相邻最近的暗纹处的主极大在 21 ??
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小结 不计缝宽,N个几何线光源干涉的结果,
角宽度,
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分辨本领,
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光栅公式,
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细窄明亮的主明纹
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N2I1
波场中能量分布与加入相干叠加的波的个数之间
的关系,
相干波数目越多，波场中能量向狭窄范围集中的
趋势越明显
出现干涉加强的条件越苛刻，越难以满足
能量守恒
为什么？ 思考
3.N 个单缝衍射的影响
讨论,N 个单缝衍射的影响彼此是否一致？
每条缝的单缝衍射
条纹彼此重合
I
L
f
教材 490页,15.4.3
缝宽,* 分为偶数个半波带,
缝内光线自身干涉相消 01 ?I
即使缝间干涉相长 0
1
2 ?? INI
该主明纹不出现 ——缺级
* 分为奇数个半波带,
缝内光线部分干涉相消，条纹级次越高，
光强越弱；
N 缝叠加后，光栅主明纹光强非均匀
分布 ——亮度调制
考虑缝宽后 会带来什么影响？ 讨论,
? 22
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()
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单缝衍射因子 多 (N)缝干涉因子
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:a 缝宽,d 光栅常数 a+b,? 衍射角
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光强分布,
（单缝衍射） 2
01 )
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其中,；
（ 1） 亮度调制,
同一缝中子波相干影响亮度分布
?? Ik,
?主明纹测
一般采用 1?k
22
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II ??
（ 2） 缺级条件,
光栅主明纹,??? kbad ??? s in)(s in )2,1,0( ????k
单缝暗纹,?? ka ??s in )2,1( ?????k
若同时满足，则第 k 级主明纹消失。
（ 3） 单缝衍射中央明纹区主极大条数
1)(221)(2 ????
a
d
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k
k
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a
d
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?
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（为整数比）
缺级,
k
a
d
k ???
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即：当
4.总结,光栅衍射是 N缝干涉和 N个单缝衍射的总效果
光强分布
22
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?
?
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? NII ??
?
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??? s ind?
零级主明纹光强:0I
式中,
（ 1） 细窄明亮的主明纹
位置,?? kd ?s in ),1,0( ???k ——光栅公式
缺级,?? ka ??s in
)2,1( ?????kk
a
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角宽度,
?
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c o s
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Nd
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最高级次,
?
dk ?
m
单缝中央明纹区主明纹条数,
1)(2 ?
a
d
进整
（ 2） 相邻主明纹间较宽暗区
（ N-1条暗纹,N-2条次极大）
（ 3） 白光入射中央零级主明纹为白色，其余各级
为彩色光谱，高级次重叠
分辨本领,
NkR ? )2,1,0( ????k
教材 488页：例 5、例 6
例,一平行衍射光栅，每厘米刻 1000条，用可见光垂
直入射，缝后透镜焦距 f = 100cm
1、光栅衍射第一级完整可见光谱所占宽度
2、证明第二、三级光谱重叠
3,
最多看到主明纹条数入射，用红光,37000 abA ??
?
?
解,1,
m10 5???? bad ?? kd ?s in
:1?k m104 71 ???? 040s in 1
1 ??? d
??
m107 72 ????
070s in 22 ???
d
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2,红光 2?k 1402s i n 1 ???
d
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紫光
3?k 1401203s i n 2 ??????
d
??
? 二、三级红光重迭
3,
2.14m ??
?
dk 14
m a x ?k
缺级
abad 4???
?? kd ?s in
?? ka ??s in
kk ?? 4
3,2,1 ?????k
最多可见主明纹 条2361142 ????
第 12,8,4,-4,-8,-12 级主明纹缺级
解, ?
5?N
0.25
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I
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250
5 0 0 04 ??
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或由缺级
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d 41084 ??? ad ?
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1??k 250s in ???
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250
5 0 0 0 ??
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?a ?
例, 入射光 ? =500nm,由图中衍射光强分布确定
? 缝数 N=? ? 缝宽 a =? ?光栅常数 d=a+b=?
四、晶格衍射（ X光衍射）
(W.C.Rontgen,1845－ 1923)
1895年德国的伦琴发现 X射线。
原子内壳层电子跃迁产生的
一种辐射和高速电子，在靶上
骤然减速时伴随的辐射，称为
X 射线。
其 特点 是,1.在电磁场中不发生偏转。
2,穿透力强 3,波长较短的电磁波,
范围在 0.001nm~10nm之间。
劳厄斑 X射线管
? X 射线晶体衍射
天然晶体可看作是光栅常量很小的空间三维衍射光栅 。
每个微粒（原子、分子、离子）都是散射子波的波
源，这些子波的 干涉 加强形成了 乳胶板上对称分布的
若干衍射斑点称为 劳厄斑（ 1912年）。
1913年英国物理学家布喇格父子提出一种简化了的
研究 X射线衍射的方法，与劳厄理论结果一致。
1
2
3
X射线以掠射角 θ射
到一组晶面上，晶
面间距为 d，来自不
同晶面的“反射线”
为 1和 2。它们的光
程差为,
A
B
C D
?
1
?
2
?? kd ?? s in2 当 时各层面上的反射光相干加强,
形成亮点，为 k 级干涉主极大。该式称 布喇格公式 。
?,3,2,1,s i n2 ???? kdBDBCΔ ?
因为晶体有很多组平行晶面，晶面间的距离 d 各
不相同所以,劳厄斑是由空间分布的亮斑组成。
晶体已知，可测 x 射线波长。
已知，可由衍射图分析晶体结构。
?
应用,
布拉格公式,
?? kd ?s in2
晶格常数
用此式可解释劳厄斑的形成。
DNA双螺旋结构的发现 — 分子生物学诞生
,物理学家看生命, P.47,解开核酸的双螺旋之谜”
DNA分子的双螺旋结构：大部分为右旋的。
2.已知 波长 ? = 5000?以 ? = 30?
照射到光栅常数 d = 2.5a = 2?m
的光栅上,
求,? 中央主极大位置
? 屏中心 F处条纹级次
? 屏上可见到哪几级主明纹？
解,由
??? kdd ???? s i ns i n
? 中央主极大 0??
?? s ins in ? ?30?? ??
F
?
L
P
?
?
得上方取
2
F ?? ? 2
)s i n1( ???
?
?dk 1max ?k
得下方取
2
F ?? ?? 6)s i n1( ?????? ? ?dk 5m a x ???k
考虑缺级,
kk
a
dk ????
2
5 )4,2( ?????k
屏上级次,
4,3,2,1,0,1 ????? 共 6条主明纹（ k = -5级缺级）
? 屏中心 F 处 0??
?? kd ?? s in
2
105000
5.0102s i n
10
6
??
?
??????
?
?
?
?dk
F
?
L
P
?
??? kdd ???? s i ns i n
用 mm0.1 内有 500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱,
)5 8 9( nm??
设透镜焦距 mf 00.1?
问,(1)光线垂直入射时，最多能看到第几级光谱；
（ 2）光线以入射角 030 入射时，最多能看到第几级光谱；
（ 3）若用白光垂直照射光栅，求第一级光谱的线宽度。
