第六篇 多粒子体系的热运
动
单粒子 多粒子体系 研究对象,
热学是研究物体热运动的性质和规律的学科,
宏观物体,由大量微观粒子组成。
热运动,宏观物体内大量微观粒子在作永不停息
的无规则的运动。
研究热运动的方法,
宏观：实验的方法 热力学
微观：统计的方法 分子物理 ( 统计物理学）
第十九章 近独立子系的统计规律
第二十一章 熵
第二十章 热力学第一定律和第二定律
第十九章 近独立子系的统计规律
研究对象,大量粒子组成的体系
近独立,粒子相互作用能 <<粒子自身能量
?? iEE
粒子间微弱相互作用能使其在足够长时间内实现平衡
例,理想气体 ;金属中的自由电子
子系
难点,近独立子系的最概然分布
经典粒子,麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布
费米子,费米 - 狄拉克分
布 玻色子,玻色 - 爱因斯坦分布
了解
2、两个基本概念,p,T
3、四个统计规律,
麦克斯韦分子速率分布
玻尔兹曼粒子按势能分布
能均分定律
分子平均碰撞频率和平均自由程
重点,
1,M— B统计在理想气体中的应用
§ 19.1 统计方法的一般概念
要点,① 基本概念,统计规律 概率 分布函数
统计平均值 涨落
② 推导理想气体 p,T公式
一、统计规律 —— 大量偶然事件整体所遵从的规律
不能预测 多次重复
掷骰子
抛硬币
伽尔顿板实验 例,
伽尔顿板实验
每个小球落入哪个槽是偶然的
少量小球按狭槽分布有明显偶然性
大量小球按狭槽分布呈现规律性
掷骰子
每掷一次出现点数是偶然的
掷少数次，点数分布有明显偶然性
掷大量次数，每点出现次数约 1/6，呈现规律
抛硬币
每抛一次出现正反面是偶然的
抛少数次，正反数分布有明显偶然性
抛大量次数，正反数约各 1/2,呈现规律性
共同特点,
1.群体规律,只能通过大量偶然事件总体显示出来,
对少数事件不适用。
近似规律统计规律 ?
个体规律简单叠加统计规律 ?
2.量变 — 质变,整体特征占主导地位
3,与宏观条件相关
如,伽尔顿板中钉的分布
4,伴有涨落
二, 统计规律的数学形式 —— 概率理论
1.定义,总观测次数,N 出现结果 A次数,
AN
A出现的概率
N
NW A
A lin? ??N
2,意义,描述事物出现可能性的大小
3.性质
1)叠加定理 不可能同时出现的事件 —— 互斥事件
出现几个互斥事件的总概率等于每个事件单独出
现的概率之和,
BABA WWW ???
出现所有可能的互斥事件的总概率为 1
归一化条件,
1d ??
??
??
W
出现 例：掷骰子
6
1:3
6
1:2
3
2
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W
W
3
1
32 ??W
出现 1— 6,W =1
2) 乘法定理
同时发生两个相容独立事件的概率是两个事件单
独发生时的概率之积
BABA WWW ???
相容统计独立事件,彼此独立，可以同时发生的事件
例,同时掷两枚骰子
同时发生
36
1
6
1
6
1
32 ????W
其一出现 2,
6
1
2 ?W
其二出现 3,
6
1
3 ?W
三、几个基本概念
1,分布函数
粒子出现在第 i 槽 内的概率为,
N
NW i
i ?
例,伽尔顿板实验
槽, 1,2,3,…,.,
粒子数, N1,N2,N3 …,.,
??
i i
NN
1,2,3,4,..,
该槽内小球数
小球总数 (大量 )
成正比变化，与槽宽随槽的位置 xx
N
NW i
i ??
小球在 x 附近，单位宽度区间出现的概率
xN
N i
?
?
概率
密度
分布曲线
L
f(x)
o x
x xx d?
概率密度
xN
N i
?
是 x 的函数 —— 分布函数
曲线下窄条面积
W
N
NxxfS ddd)( ?????
xN
N
x
W
xf
d
d
d
d
)( ??N
NW dd ?一般情况,
曲线下总面积
? ? ? ????
L
L L
Wx
x
W
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0
0 0
1dd
d
d
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2,统计平均值
分数平均值 ?? ??
g
g
g
g gN
N
gN
N
g
1
分数 g出现的概率
N
Ng
总人数
??
g
gNN
人数按分数的分布 Ng
例,图示 100人参加测试的成绩分布（满分 50）
222 1 g
N
N
gN
N
g
g
g
g
g ?? ??
分数平方平均值
一般情况 测量值,?? iMMM,,21
出现次数,
?? iNNN,,21
总次数,?? ?????
iNNNN 21
出现概率,
??,,,2211
N
NW
N
NW
N
NW i
i ???
统计平均值,
??
??
????
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?
i
ii
NNN
NMNMNM
M
21
2211
?? ????? iiWMWMWM 2211
iii WMM ?? iii WMM
22 ??
同理,
? ? 变量间隔分布函数物理量 ????? ? ?? xxMfWMM dd
3,涨落
实际出现的情况与统计平均值的偏差
例, 伽尔顿板：某槽中小球数各次不完全相同，在平均
值附近起伏。
掷骰子：出现 4，概率 1/6，每掷 600次，统计平均
实际,??,98,102,100,99
4 次次次次?N
次1004 ?N;,很大时，涨落可忽略，涨落 NN ??
意义。太小时，统计规律失去，涨落 NN ??,
定量描述,误差理论
前沿研究,控制论、（噪声、灵敏度 … ）
非线性、非平衡态热力学（耗散结构）
例,均方涨落 (标准误差 )
i
N
i
i Wxxx ? ??
? 1
22 )()( ?
22 )( xx ??
i
N
i
ii Wxxxx?
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1
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N
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i
N
i i
N
i
iii WxWxxWx
1
22 2
222 )()(2 xxx ???
4.微观量和宏观量
对多粒子体系的两种描述,
关系,宏观量是大量粒子运动的集体表现，是微观
量的统计平均值
以系统整体为研究对象，表征整体特征的
物理量
如,??cmVTp
i、、、,?
宏观量,
微观量,以系统内各子系为研究对象,
表征个别子系特征的物理量
???? iiii Emvp,、、
如,
5,平衡态,
四、理想气体的压强公式和温度公式
从公式推导中领会经典气体分子动理论的典型思想方法,
① 提出模型
② 统计平均
③ 建立宏观量与微观量的联系
④ 阐明宏观量的微观实质
不受外界影响时，宏观量不随时间变化的状态。
（不传热、不做功，内部无热核反应、化学反应）
注意：热动平衡
1.理想气体的压强公式
(1) 建立模型
宏观模型,严格遵守三条实验定律
不计大小
不计重量
分子 分子 器壁 除相撞外无相互作用
微观模型,无规则运动的弹性质点的集合
质点,
自由质点,理想气体
分 子
弹性质点,弹性碰撞
分子 器壁
分子 分子
(2) 统计性假设 （平衡态下）
⑴ 分子处于容器内任一位置处的概率相同 (均匀分布 )
分子数密度
处处相等
V
N
n ?
(2) 分子沿各方向运动的概率相同
? 任一时刻向各方向运动的分子数相同
xxzyx NNNNN ?? ???,
? 分子速率在各个方向分量的各种平均值相同
222,
zyxzyx vvvvvv ????
N
v
v
N
v
v
N
ix
x
N
ix
x
??
?? 1
2
21
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N
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2
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v
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v
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222
222
zyx vvv ???
2222
3
1
vvvv zyx ????
(3) 公式推导 （建立宏观量与微观量的联系）
出发点,
? 气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果
? 压强等于器壁单位时间内，单位面积上所受的
平均冲量
St
I
S
F
p i
??
?
?
?
?
??
?
? 个别分子服从经典力学定律
? 大量分子整体服从统计规律
(1)利用理想气体分子微观模型，考虑一个分子
对器壁的一次碰撞而产生的冲量
推导思路,的分子考虑速度
iii vvv
??? d??
设分子质量为 m,
一个分子 一次碰撞对 dS 的冲量的大小,
ixi mvI 2?
kvjvivv iziyixi
????
???
方向相反
不变，
ix
iziy
v
vv,
弹性碰撞,
x
z
Sd
iv
?iv?
iv?
?
iv?
?
ixi vv 2??
?
iii vvv
??? d??速度 的分子数密度
)( nn
i
i ??
in为
Stvnmv ixiix dd2 ???
该速度区间所有分子在 dt 时
间内给予 器壁 dS 的总冲量为,
该速度区间，在 dt时间内，与
器壁相撞的分子数为,
Stvn ixi dd ??
x
Sd
tvix d??
iv
?
z
tvid x
y
o
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iv
?
(2) 该速度区间 所有分子 在 dt时间内给予 器壁的总冲量
分子求和对所有 0?xv
??
?
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i
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2
1
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2
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3
2
3
1 222
?????
得理想气体压强公式,
为分子平均平动动能 式中
21
2t
mv? ?
(4) 阐述宏观量的微观实质
? 压强 是单位时间内所有气体分子施于单位面积容
器壁的平均冲量。
? 压强公式 是一个统计规律，离开“大量”、“平
均”,p 失去意义，少数分子不能产生稳定，持续的
压强。
观测时间足够长（宏观小，微观大）
dS足够大（宏观小，微观大）
分子数足够多
tnp ?3
2
?
? 压强公式 反映了宏观量 p与微观量统计平均值
的相互关系。 tn ?,
2
2
1
vm
V
N
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t
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宏观量是微观量
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理想气体状态方程
RT
N
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M
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A
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kTnT
N
R
V
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p
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J / K1038.1 23????
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玻尔兹曼常数
t
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n k Tp
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3
2
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kTt
2
3
??
? 理想气体温度 T 是分子平均平动动能的量度，
是分子热运动剧烈程度的标志。
? 温度 是大量分子热运动的集体表现，是统计性概
念，对个别分子无温度可言。
与气体种类无关,Tt ?? ?
热运动停止，意味着0,0 ??? tT ?
? 热力学认为 绝对零度只能逼近，不能达到。
练习,
1,半径 R的球形容器内储有某种理想气体，每个分子
质量为 m，平衡时分子数密度为 n，推导压强公式。
?一个分子一次碰撞给器壁的冲量
?该分子连续两次碰撞器壁的时间间隔
?单位时间内该分子与器壁相撞次数
?单位时间内该分子对器壁的冲量
?单位时间内所有分子对器壁冲量
?单位时间内、单位面积器壁所受平均冲量
p =？
m
iv
?
i?
R o
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?单位时间内所有分子对器壁冲量
?单位时间内、单位面积器壁所受平均冲量 p =？
动
单粒子 多粒子体系 研究对象,
热学是研究物体热运动的性质和规律的学科,
宏观物体,由大量微观粒子组成。
热运动,宏观物体内大量微观粒子在作永不停息
的无规则的运动。
研究热运动的方法,
宏观：实验的方法 热力学
微观：统计的方法 分子物理 ( 统计物理学）
第十九章 近独立子系的统计规律
第二十一章 熵
第二十章 热力学第一定律和第二定律
第十九章 近独立子系的统计规律
研究对象,大量粒子组成的体系
近独立,粒子相互作用能 <<粒子自身能量
?? iEE
粒子间微弱相互作用能使其在足够长时间内实现平衡
例,理想气体 ;金属中的自由电子
子系
难点,近独立子系的最概然分布
经典粒子,麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布
费米子,费米 - 狄拉克分
布 玻色子,玻色 - 爱因斯坦分布
了解
2、两个基本概念,p,T
3、四个统计规律,
麦克斯韦分子速率分布
玻尔兹曼粒子按势能分布
能均分定律
分子平均碰撞频率和平均自由程
重点,
1,M— B统计在理想气体中的应用
§ 19.1 统计方法的一般概念
要点,① 基本概念,统计规律 概率 分布函数
统计平均值 涨落
② 推导理想气体 p,T公式
一、统计规律 —— 大量偶然事件整体所遵从的规律
不能预测 多次重复
掷骰子
抛硬币
伽尔顿板实验 例,
伽尔顿板实验
每个小球落入哪个槽是偶然的
少量小球按狭槽分布有明显偶然性
大量小球按狭槽分布呈现规律性
掷骰子
每掷一次出现点数是偶然的
掷少数次，点数分布有明显偶然性
掷大量次数，每点出现次数约 1/6，呈现规律
抛硬币
每抛一次出现正反面是偶然的
抛少数次，正反数分布有明显偶然性
抛大量次数，正反数约各 1/2,呈现规律性
共同特点,
1.群体规律,只能通过大量偶然事件总体显示出来,
对少数事件不适用。
近似规律统计规律 ?
个体规律简单叠加统计规律 ?
2.量变 — 质变,整体特征占主导地位
3,与宏观条件相关
如,伽尔顿板中钉的分布
4,伴有涨落
二, 统计规律的数学形式 —— 概率理论
1.定义,总观测次数,N 出现结果 A次数,
AN
A出现的概率
N
NW A
A lin? ??N
2,意义,描述事物出现可能性的大小
3.性质
1)叠加定理 不可能同时出现的事件 —— 互斥事件
出现几个互斥事件的总概率等于每个事件单独出
现的概率之和,
BABA WWW ???
出现所有可能的互斥事件的总概率为 1
归一化条件,
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出现 例：掷骰子
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出现 1— 6,W =1
2) 乘法定理
同时发生两个相容独立事件的概率是两个事件单
独发生时的概率之积
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相容统计独立事件,彼此独立，可以同时发生的事件
例,同时掷两枚骰子
同时发生
36
1
6
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其一出现 2,
6
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其二出现 3,
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三、几个基本概念
1,分布函数
粒子出现在第 i 槽 内的概率为,
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例,伽尔顿板实验
槽, 1,2,3,…,.,
粒子数, N1,N2,N3 …,.,
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1,2,3,4,..,
该槽内小球数
小球总数 (大量 )
成正比变化，与槽宽随槽的位置 xx
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小球在 x 附近，单位宽度区间出现的概率
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概率
密度
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L
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曲线下总面积
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分数 g出现的概率
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例,图示 100人参加测试的成绩分布（满分 50）
222 1 g
N
N
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分数平方平均值
一般情况 测量值,?? iMMM,,21
出现次数,
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总次数,?? ?????
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出现概率,
??,,,2211
N
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iii WMM ?? iii WMM
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同理,
? ? 变量间隔分布函数物理量 ????? ? ?? xxMfWMM dd
3,涨落
实际出现的情况与统计平均值的偏差
例, 伽尔顿板：某槽中小球数各次不完全相同，在平均
值附近起伏。
掷骰子：出现 4，概率 1/6，每掷 600次，统计平均
实际,??,98,102,100,99
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次1004 ?N;,很大时，涨落可忽略，涨落 NN ??
意义。太小时，统计规律失去，涨落 NN ??,
定量描述,误差理论
前沿研究,控制论、（噪声、灵敏度 … ）
非线性、非平衡态热力学（耗散结构）
例,均方涨落 (标准误差 )
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4.微观量和宏观量
对多粒子体系的两种描述,
关系,宏观量是大量粒子运动的集体表现，是微观
量的统计平均值
以系统整体为研究对象，表征整体特征的
物理量
如,??cmVTp
i、、、,?
宏观量,
微观量,以系统内各子系为研究对象,
表征个别子系特征的物理量
???? iiii Emvp,、、
如,
5,平衡态,
四、理想气体的压强公式和温度公式
从公式推导中领会经典气体分子动理论的典型思想方法,
① 提出模型
② 统计平均
③ 建立宏观量与微观量的联系
④ 阐明宏观量的微观实质
不受外界影响时，宏观量不随时间变化的状态。
（不传热、不做功，内部无热核反应、化学反应）
注意：热动平衡
1.理想气体的压强公式
(1) 建立模型
宏观模型,严格遵守三条实验定律
不计大小
不计重量
分子 分子 器壁 除相撞外无相互作用
微观模型,无规则运动的弹性质点的集合
质点,
自由质点,理想气体
分 子
弹性质点,弹性碰撞
分子 器壁
分子 分子
(2) 统计性假设 （平衡态下）
⑴ 分子处于容器内任一位置处的概率相同 (均匀分布 )
分子数密度
处处相等
V
N
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(2) 分子沿各方向运动的概率相同
? 任一时刻向各方向运动的分子数相同
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? 分子速率在各个方向分量的各种平均值相同
222,
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(3) 公式推导 （建立宏观量与微观量的联系）
出发点,
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平均冲量
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? 个别分子服从经典力学定律
? 大量分子整体服从统计规律
(1)利用理想气体分子微观模型，考虑一个分子
对器壁的一次碰撞而产生的冲量
推导思路,的分子考虑速度
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设分子质量为 m,
一个分子 一次碰撞对 dS 的冲量的大小,
ixi mvI 2?
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间内给予 器壁 dS 的总冲量为,
该速度区间，在 dt时间内，与
器壁相撞的分子数为,
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(2) 该速度区间 所有分子 在 dt时间内给予 器壁的总冲量
分子求和对所有 0?xv
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(4) 阐述宏观量的微观实质
? 压强 是单位时间内所有气体分子施于单位面积容
器壁的平均冲量。
? 压强公式 是一个统计规律，离开“大量”、“平
均”,p 失去意义，少数分子不能产生稳定，持续的
压强。
观测时间足够长（宏观小，微观大）
dS足够大（宏观小，微观大）
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玻尔兹曼常数
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2
3
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? 理想气体温度 T 是分子平均平动动能的量度，
是分子热运动剧烈程度的标志。
? 温度 是大量分子热运动的集体表现，是统计性概
念，对个别分子无温度可言。
与气体种类无关,Tt ?? ?
热运动停止，意味着0,0 ??? tT ?
? 热力学认为 绝对零度只能逼近，不能达到。
练习,
1,半径 R的球形容器内储有某种理想气体，每个分子
质量为 m，平衡时分子数密度为 n，推导压强公式。
?一个分子一次碰撞给器壁的冲量
?该分子连续两次碰撞器壁的时间间隔
?单位时间内该分子与器壁相撞次数
?单位时间内该分子对器壁的冲量
?单位时间内所有分子对器壁冲量
?单位时间内、单位面积器壁所受平均冲量
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?一个分子一次碰撞给器壁的冲量
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?单位时间内该分子与器壁相撞次数
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?单位时间内该分子对器壁的冲量
m
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?单位时间内所有分子对器壁冲量
?单位时间内、单位面积器壁所受平均冲量 p =？
