第十四章 波的产生和传播
波动的特点,
（ 1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。
（ 2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
（ 3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。
（ 4）振动状态、波形、能量向前传播。
波源处质点的振动通过弹
性介质中的弹性力将振动传
播开去，从而形成 机械波 。
（ 4学时）
一 有关机械波的基本概念
1.机械波,机械振动在介质中的传播过程称为机械波
A.前提条件,
存在波源；存在传播振动的弹性介质
B.波动产生的物理机制,
波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远
向外传递振动的结果；是振动的向外传递,不是介
质质点自身向外运动的结果 。
波动 (wave) (或行波 )是振动状态的传播，是能
量的传播，而不是质点的传播。
纵波,振动方向与波的传播方向 平行 的波，称为纵波
2.机械波的种类,纵波和横波
纵波依靠介质纵向的弹性使振动由近及远向外传播。
纵波可在固体、液体、气体中传播
横波的特征是有凹凸的波峰、波谷。
横波依靠介质切向的弹性使振动由近及远向外传播
横波,振动方向与传播方向 垂直 的波称为横波
横波只能在固体中传播。
纵波的特征是有稀密相间的不同介质区域。
最近朝鲜核问题成为世界瞩目
的焦点，对于战略武器限制条约的检查，
困难之一是对地下原子弹试验和自然地震
不易区分，这是,( ) 错
问题
3.不知道。
1.对
2.错
另方面,爆炸只发出一种纵波 。仅有纵波
的“地震”，总是人为的“地震”，这是无法
保守的秘密。
世界上有两种波 ——横波 和 纵波,当岩体
突然断裂产生切变时发生地震。断裂减轻了切
变，同时岩矿体发生短暂的颤动，颤动时发出
波。 一次地震能发出所有类型的波。
二 波动过程的描述
描述波的空间周期性
?
1?k 空间频率
描述波动的时间周期性
T
1?? 时间频率
?描述波动性的几个物理量
(2).频率 ( )：单位时间内给定的完整波的个数。
周期 (T)：传递一个完整波所需的时间。或：频
率的倒数
?
(1).波长 ( )：沿波传播直线上两个相邻同相点
（相位差为 2π）之间的距离。
一个波长范围内包含了一个“完整的波”，即包
含了质点振动的各种可能振动步调 (相位 )
?
波的传播速度等
于振动的相位传
播速度
(3) 单位时间波向外传播完整波数对应的距离
u波速
时间周期性
空间周期性
在一个周期内，某一个确定的振动状态
（相位）在空间正好传播一个波长。
振动相位传播的速度,
??
?
???
T
u
?
u
注意,相位传播速度：在各向同性介质中为常数
质点振动速度,
)s i n (
d
d
0??? ???? tAt
yv
u
v
二者在同一直线上,纵波
二者互相垂直,横波
波速由介质的性质决定,
介质密度
弹性模量
?u
教材第 415页
固体,
?
?
?
T
u
G
u
Y
u
?
?
?
弦上波
横波
纵波
流体,
?
Bu ?纵波
?波动性的几何描述
波线,由波源出发，沿波传播方向的线,其上任一
点切线方向为该点波传播方向。
波面,某时刻介质中同相点的集合。（球面波,柱
面波,平面波,..）
波前,传在最前面的波面
在各向同性均匀介质中，波线为直线，波线与波面垂直
波
面
波
线 波面
波 线
?波动性的数学描述 ——平面简谐波的波函数
波源及介质中各质点均作谐振动
简谐振动 简谐波
最基本、最简单、最重要的是平面简谐波！
简谐波是单一频率的理想化的波，它在空间和
时间上都是无限重复变化着的；
任何实际的波与之有着极大的区别，但它总可以
看成是多个不同频率和振幅的简谐波的叠加。
三、波形曲线
思考,对纵波，波形曲线是不是实际波形？
波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点
的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？
对横波,直观给出波峰、波谷位置，该时刻波形
?
2
? ?
x O
描述某时刻，波线上各点位移的分布 (广义 )
注意,波形曲线与振动曲线比较 (见下页表 )
? x u
?
?
x O
密部中心 疏部中心
形变最大 形变为零
振动曲线 波形曲线
图形
研究
对象
物理
意义
特征
某质点位移随时间
变化规律
某时刻，波线上各质点
位移随位置变化规律
对确定质点曲线形状一定 曲线形状随 t 向前平移
v?
由振动曲线可知
某时刻
方向参看下一时刻
初相 周期 T,振幅 A
0?
由波形曲线可知
该时刻各质点位移
只有 t=0时刻波形才能提供初相
波长 ?,振幅 A
某质点 方向参看前一质点 v?
A y x
P t0
?
v?
u
o
A y t P
t0
T
v?
o
? 建立波函数的依据
波的空间、时间 周期性
沿波传播方向各质元振动状态 (相位 )相继落后
（滞后效应）
讨论一维情况，平面简谐行波
）的数学形式、（建立 txΨΨ ?
四,波函数（波动方程的积分形式）
）tzyxΨΨ,,,(?? 振动量 ? 随时间、空间的变化规律
已知,波线上任一点 O的振动方程
波速 u,向右传播
)c o s ( 0?? ?? tAΨ o
求,该平面简谐波波函数
),( txΨΨ ?
即
)()( 0 ttΨtΨ p ???
])(c o s [ 0?? ???
u
xtA
])(c o s [),( 0?? ???
u
xtAtxΨ (1)
解,以参考点 O为坐标原点，波速 u的方向为 +x,建立一
维坐标。 设 P为波线上任意一点，坐标 x
已知坐标原点振动方程 )c o s (
00 ?? ?? tAΨ
u
O P(x) x
方法 1 O点的振动状态传到 P所需时间
u
xt ??
时刻相位相同点（点相位与时刻 )ttOPt ??
由于
?
?? 2uuT ?? (1),(2)是一致的
?
)2c o s ( 0 ?
?
?? ???? xtAΨ p
即
)2c o s (),( 0 ?
?
?? ???? xtAtxΨ
(2)
?? 2，相位落后波线上每间隔
P点相位比 O落后
?
?
2?
x
方法 2
u
O P(x) x
? 平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
])(c o s [),( 0?? ???
u
xtAtxΨ
)2c o s ( 0
?
??? xtA ???
])(2c os [ 0?
?
? ??? x
T
tA
?????? ])(2c o s [ 0?
?
? xutA
])(c o s [)(),( 000 ?? ????
u
x
tAtΨtxΨ
1) 当 x 给定 (x = x0) 时
x0 处质点 在不同时刻的位移，即 振动方程
称为 波数,表
示在 2?米内所
包含的完整波
的数目。
?
π2?k
波函数表示了给定时刻 Ox轴上各质点的位移分
布情况,即 t0 时刻的 波形曲线方程
])(c o s [)(),( 000 ?? ????
u
xtAxΨtxΨ
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
对应跑动的波形
3) 当 x,t 均变化时
?(x,t)即是振动量随时间、空间的变化规律
波函数表示了所有质点的位移随时间变化的整体情况。
)2c o s (])(c o s [),( 00
?
????? xtA
u
xtAtxΨ ??????
建立向 -x方向传播的简谐行波波函数
以参考点为原点
)c o s ( 00 ?? ?? tAΨ
P相位比 O超前
? ? ? ?ttΨtΨ P ??? 0
练习 1
u? x
po
任意点比参考点晚振动，减去传播时间；
任意点比参考点早振动，加上传播时间。
“-”沿 正向 x
“+”沿 负向 x ])(c o s [),( 0?? ?? uxtAtxΨ ?
练习 2 移动坐标原点后如何建立波函数
（即参考点不作为坐标原点）
已知,
)c o s ( ?? ?? tAΨ C xu ?沿波速
m8,m5 ???? BCCOOC
求,
u?
)m(x
B O A O?
55
8
C
分别以 O,O?为坐标原点建立波函数，并写出 B
点的振动方程。
（ 1） 以 O为坐标原点
P离参考点 C距离 5??? xx
])5(c o s [])(c o s [ ???? ????????
u
xtA
u
xtAΨ
代入将 3??Bx
])8(c o s [])53(c o s [ ???? ????????
u
tA
u
tAΨ B
解,
C为参考点,
)c o s ( ?? ?? tAΨ C
，设 P为波线上任意一点
u?
)m(x
B O A O?
55
8
C
代入将 13??Bx
])8(c o s [])513(c o s [ ???? ????????
u
tA
u
tAΨ B
原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定点振
动方程不变。
])5(c o s [])(c o s [ ???? ?????????
u
xtA
u
xtAΨ
P离参考点距离 5???? xx
(2) 以 O?为坐标原点
u?
)m(x
B O A O?
55
8
C
代入原波函数,
)]050(44[co s040' ?????? txΨ ?
]
2
)
52
(10c os [040
?
? ?
?
????
x
t
原函数
)
52
(10c o s040
?
???
x
tΨ ?
时间变换，移动计时起点 —— 改变初相
更换计时起点后如何建立波函数
已知, )104(co s040 txΨ ??? ?
求,将计时起点延后 0.05s 情况下的波函数
练习 3
解,设新的时间坐标为 t?
t?与 t 的关系 t?= t – 0.05,即 t = t ? + 0.05
解,时间变换 2??? tt令
时刻波形该波形为 0??t
原点处 00
00 ?? vy
得
20
?? ??
即原点振动方程
)
2
2c os (0 ?
?
? ??? tuAy
将 代入2??? tt
]
2
)2(2c os [ ?
?
? ????
u
xtuAy (SI)
]
2
)(2c os [ ?
?
? ????
u
xtuAy波函数,
)( txy,
已知平面简谐 练习 4
波在 t = 2s 时波形,
求波函数
x(m)
y(m) A
O ? ?/2
u
由波形曲线和振动曲线建立波函数 练习 5
已知,平面简谐波 t =0 时波形和
波线上 x =1m 处 P点振动曲线
求, 波函数 (1) 以 O 为参考点
(2) 以 P 为参考点
t (s)
?P(m)
0.2
O 0.2 0.1
x (m)
?(m)
0.2
O 2 1 P
t = 0
解,由图可知,m20 ??A m2?? s20 ??T
则
)s(102 1??? ???
T
)sm(10 1????
T
u ?
（ 1） 以 O为参考点，先写 O的振动方程
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左传
t (s)
?P(m)
0.2
O 0.2 0.1
x (m)
?(m)
0.2
O 2 1 P
t = 0
O在 t = 0 时刻过平衡位置向正向运动 ??
2
3
0 ?
)
2
310c o s (2.0
0 ?? ??? tΨ
]
2
3)
10
(10c o s [2.0 ?? ??? xtΨ
波向 -x方向传播
t (s)
?P(m)
0.2
O 0.2 0.1
x (m)
?(m)
0.2
O 2 1 P
t = 0
（ 2） 以 P 为参考点，先写 P 的振动方程
P的初相
2
?
? ?p )
2
10c o s (20 ?? ??? tΨ p
波向 -x方向传播
]
2
)
10
1(10c o s [20 ?? ????? xtΨ ]
2
)
10
(10c o s [20 ?? ???? xt
t (s)
?P(m)
0.2
O 0.2 0.1
x (m)
?(m)
0.2
O 2 1 P
t = 0
五, 波动方程的微分形式
1,一维情况
由
])(c o s [ ?? ???
u
xtAΨ
])(s i n [ ??? ???
?
?
u
xt
u
A
x
Ψ
])(c o s [2
2
2
2
??? ????
?
?
u
xt
u
A
x
Ψ
得
])(s i n [ ??? ????
?
?
u
xtA
t
Ψ
])(c o s [22
2
??? ????
?
?
u
xtA
t
Ψ
2
2
22
2 1
t
Ψ
ux
Ψ
?
?
?
?
?
2,三维情况
2
2
22
2
2
2
2
2 1
t
Ψ
uz
Ψ
y
Ψ
x
Ψ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
线性微分方程
拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
波动微分方程
2
2
2
2 1
t
Ψ
u
Ψ
?
?
??
课堂练习 P.447, 14 ~11 14~13
波动的特点,
（ 1）每个质点只在平衡位置附近振动，不向前运动。
（ 2）后面质点重复前面质点的振动状态，有位相落后。
（ 3）所有质点同一时刻位移不同，形成一个波形。
（ 4）振动状态、波形、能量向前传播。
波源处质点的振动通过弹
性介质中的弹性力将振动传
播开去，从而形成 机械波 。
（ 4学时）
一 有关机械波的基本概念
1.机械波,机械振动在介质中的传播过程称为机械波
A.前提条件,
存在波源；存在传播振动的弹性介质
B.波动产生的物理机制,
波是振动质点带动邻近质点振动，由近及远
向外传递振动的结果；是振动的向外传递,不是介
质质点自身向外运动的结果 。
波动 (wave) (或行波 )是振动状态的传播，是能
量的传播，而不是质点的传播。
纵波,振动方向与波的传播方向 平行 的波，称为纵波
2.机械波的种类,纵波和横波
纵波依靠介质纵向的弹性使振动由近及远向外传播。
纵波可在固体、液体、气体中传播
横波的特征是有凹凸的波峰、波谷。
横波依靠介质切向的弹性使振动由近及远向外传播
横波,振动方向与传播方向 垂直 的波称为横波
横波只能在固体中传播。
纵波的特征是有稀密相间的不同介质区域。
最近朝鲜核问题成为世界瞩目
的焦点，对于战略武器限制条约的检查，
困难之一是对地下原子弹试验和自然地震
不易区分，这是,( ) 错
问题
3.不知道。
1.对
2.错
另方面,爆炸只发出一种纵波 。仅有纵波
的“地震”，总是人为的“地震”，这是无法
保守的秘密。
世界上有两种波 ——横波 和 纵波,当岩体
突然断裂产生切变时发生地震。断裂减轻了切
变，同时岩矿体发生短暂的颤动，颤动时发出
波。 一次地震能发出所有类型的波。
二 波动过程的描述
描述波的空间周期性
?
1?k 空间频率
描述波动的时间周期性
T
1?? 时间频率
?描述波动性的几个物理量
(2).频率 ( )：单位时间内给定的完整波的个数。
周期 (T)：传递一个完整波所需的时间。或：频
率的倒数
?
(1).波长 ( )：沿波传播直线上两个相邻同相点
（相位差为 2π）之间的距离。
一个波长范围内包含了一个“完整的波”，即包
含了质点振动的各种可能振动步调 (相位 )
?
波的传播速度等
于振动的相位传
播速度
(3) 单位时间波向外传播完整波数对应的距离
u波速
时间周期性
空间周期性
在一个周期内，某一个确定的振动状态
（相位）在空间正好传播一个波长。
振动相位传播的速度,
??
?
???
T
u
?
u
注意,相位传播速度：在各向同性介质中为常数
质点振动速度,
)s i n (
d
d
0??? ???? tAt
yv
u
v
二者在同一直线上,纵波
二者互相垂直,横波
波速由介质的性质决定,
介质密度
弹性模量
?u
教材第 415页
固体,
?
?
?
T
u
G
u
Y
u
?
?
?
弦上波
横波
纵波
流体,
?
Bu ?纵波
?波动性的几何描述
波线,由波源出发，沿波传播方向的线,其上任一
点切线方向为该点波传播方向。
波面,某时刻介质中同相点的集合。（球面波,柱
面波,平面波,..）
波前,传在最前面的波面
在各向同性均匀介质中，波线为直线，波线与波面垂直
波
面
波
线 波面
波 线
?波动性的数学描述 ——平面简谐波的波函数
波源及介质中各质点均作谐振动
简谐振动 简谐波
最基本、最简单、最重要的是平面简谐波！
简谐波是单一频率的理想化的波，它在空间和
时间上都是无限重复变化着的；
任何实际的波与之有着极大的区别，但它总可以
看成是多个不同频率和振幅的简谐波的叠加。
三、波形曲线
思考,对纵波，波形曲线是不是实际波形？
波形曲线如何反映纵波传播过程中介质质点
的疏密情况？疏部中心、密部中心各在何处？
对横波,直观给出波峰、波谷位置，该时刻波形
?
2
? ?
x O
描述某时刻，波线上各点位移的分布 (广义 )
注意,波形曲线与振动曲线比较 (见下页表 )
? x u
?
?
x O
密部中心 疏部中心
形变最大 形变为零
振动曲线 波形曲线
图形
研究
对象
物理
意义
特征
某质点位移随时间
变化规律
某时刻，波线上各质点
位移随位置变化规律
对确定质点曲线形状一定 曲线形状随 t 向前平移
v?
由振动曲线可知
某时刻
方向参看下一时刻
初相 周期 T,振幅 A
0?
由波形曲线可知
该时刻各质点位移
只有 t=0时刻波形才能提供初相
波长 ?,振幅 A
某质点 方向参看前一质点 v?
A y x
P t0
?
v?
u
o
A y t P
t0
T
v?
o
? 建立波函数的依据
波的空间、时间 周期性
沿波传播方向各质元振动状态 (相位 )相继落后
（滞后效应）
讨论一维情况，平面简谐行波
）的数学形式、（建立 txΨΨ ?
四,波函数（波动方程的积分形式）
）tzyxΨΨ,,,(?? 振动量 ? 随时间、空间的变化规律
已知,波线上任一点 O的振动方程
波速 u,向右传播
)c o s ( 0?? ?? tAΨ o
求,该平面简谐波波函数
),( txΨΨ ?
即
)()( 0 ttΨtΨ p ???
])(c o s [ 0?? ???
u
xtA
])(c o s [),( 0?? ???
u
xtAtxΨ (1)
解,以参考点 O为坐标原点，波速 u的方向为 +x,建立一
维坐标。 设 P为波线上任意一点，坐标 x
已知坐标原点振动方程 )c o s (
00 ?? ?? tAΨ
u
O P(x) x
方法 1 O点的振动状态传到 P所需时间
u
xt ??
时刻相位相同点（点相位与时刻 )ttOPt ??
由于
?
?? 2uuT ?? (1),(2)是一致的
?
)2c o s ( 0 ?
?
?? ???? xtAΨ p
即
)2c o s (),( 0 ?
?
?? ???? xtAtxΨ
(2)
?? 2，相位落后波线上每间隔
P点相位比 O落后
?
?
2?
x
方法 2
u
O P(x) x
? 平面简谐波波函数的数学形式和物理意义
])(c o s [),( 0?? ???
u
xtAtxΨ
)2c o s ( 0
?
??? xtA ???
])(2c os [ 0?
?
? ??? x
T
tA
?????? ])(2c o s [ 0?
?
? xutA
])(c o s [)(),( 000 ?? ????
u
x
tAtΨtxΨ
1) 当 x 给定 (x = x0) 时
x0 处质点 在不同时刻的位移，即 振动方程
称为 波数,表
示在 2?米内所
包含的完整波
的数目。
?
π2?k
波函数表示了给定时刻 Ox轴上各质点的位移分
布情况,即 t0 时刻的 波形曲线方程
])(c o s [)(),( 000 ?? ????
u
xtAxΨtxΨ
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
对应跑动的波形
3) 当 x,t 均变化时
?(x,t)即是振动量随时间、空间的变化规律
波函数表示了所有质点的位移随时间变化的整体情况。
)2c o s (])(c o s [),( 00
?
????? xtA
u
xtAtxΨ ??????
建立向 -x方向传播的简谐行波波函数
以参考点为原点
)c o s ( 00 ?? ?? tAΨ
P相位比 O超前
? ? ? ?ttΨtΨ P ??? 0
练习 1
u? x
po
任意点比参考点晚振动，减去传播时间；
任意点比参考点早振动，加上传播时间。
“-”沿 正向 x
“+”沿 负向 x ])(c o s [),( 0?? ?? uxtAtxΨ ?
练习 2 移动坐标原点后如何建立波函数
（即参考点不作为坐标原点）
已知,
)c o s ( ?? ?? tAΨ C xu ?沿波速
m8,m5 ???? BCCOOC
求,
u?
)m(x
B O A O?
55
8
C
分别以 O,O?为坐标原点建立波函数，并写出 B
点的振动方程。
（ 1） 以 O为坐标原点
P离参考点 C距离 5??? xx
])5(c o s [])(c o s [ ???? ????????
u
xtA
u
xtAΨ
代入将 3??Bx
])8(c o s [])53(c o s [ ???? ????????
u
tA
u
tAΨ B
解,
C为参考点,
)c o s ( ?? ?? tAΨ C
，设 P为波线上任意一点
u?
)m(x
B O A O?
55
8
C
代入将 13??Bx
])8(c o s [])513(c o s [ ???? ????????
u
tA
u
tAΨ B
原点不同时，波函数形式变化，但波线上确定点振
动方程不变。
])5(c o s [])(c o s [ ???? ?????????
u
xtA
u
xtAΨ
P离参考点距离 5???? xx
(2) 以 O?为坐标原点
u?
)m(x
B O A O?
55
8
C
代入原波函数,
)]050(44[co s040' ?????? txΨ ?
]
2
)
52
(10c os [040
?
? ?
?
????
x
t
原函数
)
52
(10c o s040
?
???
x
tΨ ?
时间变换，移动计时起点 —— 改变初相
更换计时起点后如何建立波函数
已知, )104(co s040 txΨ ??? ?
求,将计时起点延后 0.05s 情况下的波函数
练习 3
解,设新的时间坐标为 t?
t?与 t 的关系 t?= t – 0.05,即 t = t ? + 0.05
解,时间变换 2??? tt令
时刻波形该波形为 0??t
原点处 00
00 ?? vy
得
20
?? ??
即原点振动方程
)
2
2c os (0 ?
?
? ??? tuAy
将 代入2??? tt
]
2
)2(2c os [ ?
?
? ????
u
xtuAy (SI)
]
2
)(2c os [ ?
?
? ????
u
xtuAy波函数,
)( txy,
已知平面简谐 练习 4
波在 t = 2s 时波形,
求波函数
x(m)
y(m) A
O ? ?/2
u
由波形曲线和振动曲线建立波函数 练习 5
已知,平面简谐波 t =0 时波形和
波线上 x =1m 处 P点振动曲线
求, 波函数 (1) 以 O 为参考点
(2) 以 P 为参考点
t (s)
?P(m)
0.2
O 0.2 0.1
x (m)
?(m)
0.2
O 2 1 P
t = 0
解,由图可知,m20 ??A m2?? s20 ??T
则
)s(102 1??? ???
T
)sm(10 1????
T
u ?
（ 1） 以 O为参考点，先写 O的振动方程
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左传
t (s)
?P(m)
0.2
O 0.2 0.1
x (m)
?(m)
0.2
O 2 1 P
t = 0
O在 t = 0 时刻过平衡位置向正向运动 ??
2
3
0 ?
)
2
310c o s (2.0
0 ?? ??? tΨ
]
2
3)
10
(10c o s [2.0 ?? ??? xtΨ
波向 -x方向传播
t (s)
?P(m)
0.2
O 0.2 0.1
x (m)
?(m)
0.2
O 2 1 P
t = 0
（ 2） 以 P 为参考点，先写 P 的振动方程
P的初相
2
?
? ?p )
2
10c o s (20 ?? ??? tΨ p
波向 -x方向传播
]
2
)
10
1(10c o s [20 ?? ????? xtΨ ]
2
)
10
(10c o s [20 ?? ???? xt
t (s)
?P(m)
0.2
O 0.2 0.1
x (m)
?(m)
0.2
O 2 1 P
t = 0
五, 波动方程的微分形式
1,一维情况
由
])(c o s [ ?? ???
u
xtAΨ
])(s i n [ ??? ???
?
?
u
xt
u
A
x
Ψ
])(c o s [2
2
2
2
??? ????
?
?
u
xt
u
A
x
Ψ
得
])(s i n [ ??? ????
?
?
u
xtA
t
Ψ
])(c o s [22
2
??? ????
?
?
u
xtA
t
Ψ
2
2
22
2 1
t
Ψ
ux
Ψ
?
?
?
?
?
2,三维情况
2
2
22
2
2
2
2
2 1
t
Ψ
uz
Ψ
y
Ψ
x
Ψ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
线性微分方程
拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
??
?
??
?
???
波动微分方程
2
2
2
2 1
t
Ψ
u
Ψ
?
?
??
课堂练习 P.447, 14 ~11 14~13
