第十五章 波的干涉、衍射和偏振
两条原理 波的叠加原理
惠更斯 -菲涅耳原理
三种现象
应用于光波
干涉
衍射
偏振
主要内容,
第十五章 波的干涉、衍射和偏振
结构框图
波的叠加原理
惠更斯 -菲涅耳原理
光的干涉
光的衍射
光的偏振
*傅立叶光学
简介
光的横波性
学时,14
1,波传播的独立性与叠加原理
波传播的独立性,
波的叠加原理,
?波的强度过大 ?叠加原理不成立。
§ 15.1 波的叠加原理 干涉
每列波传播时，不会因与其它波相遇而改变自己原
有的特性 (传播方向、振动方向、频率、波长等）。
当几列波在传播过程中相遇时，相遇区域每一点的振
动等于各列波单独传播时在该点引起的振动的矢量和。
条件,波源：线性振动
波：线性波
介质中各质点均线性振动
波相遇,相遇区域合成，然后保持各自
特征继续传播。
粒子相遇,碰撞，各自运动状态改变。 比较,
实质,振动的叠加
2,波的干涉
最简单、最重要的波动叠加情况
二、波的干涉 ——波叠加中最简单、重要的特例
2、干涉现象
设相干波源
:o1
)c o s ( 111 ???? tAΨ
:2o )c o s (
222 ???? tAΨ o
2
r2
r1 p
o1
两个 振动方向相同, 频率相同, 位相差恒定 的波源
称相干波源，它们发出的波叫相干波。
相干波叠加后，空间形成稳定的合振动加强、减弱
的分布 这种现象称波的干涉。
在 P点引起的振动
式中
)](2c o s [2 1212212221 rrAAAAA ??????
?
???
)
2
c o s ()
2
c o s (
)2s i n ()
2
s i n (
a r c t g
2
22
1
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1
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?
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r
A
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?
P点的合振动
? ?????? ???? tApp c o s21
o2
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r1 p
o1
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??? 1111 2c o s
r
tAΨ p
??
?
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? ???
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??? 2212 2c o s
r
tAΨ p
)c o s (2 12212221 ?? ???? AAAAA
2211
2211
c o sc o s
s i ns i n
a r c t g
??
??
?
AA
AA
?
?
?
1A
?
2A
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?
?
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2?
xO
1,同频率 )c o s (
111 ?? ?? tAx )c o s ( 222 ?? ?? tAx
A?
21 AAA
??? ??
?
?
)c o s (
21
?? ??
??
tA
xxx
合振动仍为该直线上同
一频率的谐振动
1x
2x
x
一 在同一条直线上、同频率的简谐振动的合成
令
?
?
???
)(2 12
12
rr ?
????
得
????? cos2 212221 AAAAA
,2AI ?由 P点合振动强度,
????? c os2 2121 IIIII
干涉项
由
12 ?? ?
恒定
?? 取决于两波传至相遇点的 波程差,
12 rr ???
对空间确定点
有确定值有确定值,I?
对空间不同点
彼此不等彼此不同,I?
能量在空间稳定的非均匀分布 — 干涉现象
合振动最强（干涉相长）
合振动最弱（干涉相消） 的位置？
讨论,
o2
r2
r1 p
o1
相同的点，振动强度相同,其集合为 双曲面
12 rr ???
特例,
（ 1）
?
????? 2
21 ???
3,干涉相长和相消的条件
212 AAAk ???
2121 2 IIIII ???
相长 相
间
排
列
||)12( 21 AAAk ??? ?
2121 2 IIIII ???
相消
?,2,1,0 ???k
21
2 ??
? ? ?
?
? ? ? ? ?
2
)12(
?
?k
相长
相消
?,2,1,0 ???k
21rr? ? ? ?
2 k?
（ 2）
2121 IIAA ??
相长处,
11 42 IIAA ??
相消处,00 ?? IA
212 AAAk ???
2121 2 IIIII ???
相长 相
间
排
列
||)12( 21 AAAk ??? ?
2121 2 IIIII ???
相消
?,2,1,0 ???k
21
2 ??
? ? ?
?
? ? ? ? ?
练习,
1、是非题
(1) 两列不满足相干条件的波不能叠加
(3) 两振幅相等的相干波在空间某点相遇时，
某时刻该点合振动位移既不是两波振幅之
和,又不是零，则该点既不是振动最强点，
又不是振动最弱点,
两列波相遇区域中 P点，某时刻位移值恰好
等于两波振幅之和。这两列波为相干波,
(2)
(4) 在波的干涉现象中，波动相长各点或波动
相消各点的集合的形状为双曲面族
?
?
?
?
解,点外侧）对 PS
11
?
?
???
?
???? ?????????? 42
2
2 121020 rr
干涉相消，合成波
0,0 ???? IA
即 S1 外侧不动
2,教材 P.509 15-3
已知,
2
,4 201002121 ???? ???? IIISS,为相干波源，相距、
求, 外侧合成波强度外侧，连线上，、
2121 SSSS
S1 S2
u u
p p?
? ??
干涉相长、合成波
01 4,2 IIAA ??????
外侧各点振动最强。即 2S
思考, 之间如何？21,SS
两相干波，振幅相同，沿同一直线向相反方向传播
点外侧）对 PS ?22
042
2
2 121020 ??????????
?
???
?
???? rr
S1 S2
u u
p p?
???
三、驻波 (standing wave)
1、驻波的形成
条件, 相干波,振幅相等,在同一直线上反向传播。
u u
驻波是由振幅相同，传播方向相反的两列相干波
叠加而成，合成的波形不随时间变化,它是一种特
殊的干涉现象。
适当选择计时起点和原点，使原点处 0
21 ?? ??
右行波,
?
?
?
?
?
?
??
?
??
x
tAΨ 2c o s11
左行波,
?
?
?
?
?
?
??
?
??
x
tAΨ 2c o s22
合成波,
t
x
A ?
?
?
??? c o s
2
c o s2 121 ???
振幅随 x 变化 谐振因子
a,c,e,g..,
始终不振动 A=0，称 波节
o,b,d,f,.,
振动最强,2
1AA ?
称 波腹
其余点
120 AA ??
合成波,
振幅随 x 变化
t
x
A ?
?
?
??? c o s
2
c o s2 121 ???
2,驻波的特征
(2) 振幅最强 位置：
12 AA ?
波腹
振动相消 A=0 位置,波节
2
?相距
两相邻波腹（或波节）
驻波的特点,没有振动状态或相位的传播，而是介质中各质
点作稳定的振动或段与段之间的相位突变，与行波完全不同。
(1) 波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前一
质点的振动。
驻波的能量,在驻波中，波腹附近的动能与波节附近的势能
之间不断进行着互相转换和转移，却没有能量的定向传播 。
0min ?A 02c os ?
?
? x由
2)12(
2 ?
?
? ?? kx
得波节位置,
4
)12(
?
?? kx ),2,1,0( ????k
求 波腹和波节的位置
得波腹位置,
2
?
?? kx ),2,1,0( ????k
1m a x 2 AA ?由 1|
2c o s| ?
?
? x ?
?
? kx ?2解,
例,合成波,
t
x
A ?
?
?
??? c o s
2
c o s2 121 ???
(3)相邻波节之间各点同相
同一波节两侧的点反相 稳定的分段振动
(4)能流密度
0
)
2
1
(
2
1 22
1
22
1
?
??? uAuAI
???
????
不向前传播能量
附近周期性转移，
在波腹、波节、
pk
EE
:
2
,0
T
t ?
最大）集中于波节附近（形变
各质点最大位移
p
k,0,0
EE
Ev
?
??
:
4
3
,
4
T
T
t ?
,,0
,
kp EEE ??
变为零各质点达平衡位置，形
)( 速率最大集中于波腹附近
(5) 驻波系统的固有频率,
2
nnL ???
n
L
n
2??
L
nuu
v
n
n 2?? ?
),3,2,1( ??n 所有可能的振动方式,简正模式
基频 谐频
总之,
外形象波,具有空间、时间周期性；
波形、能量不向前传播、无滞后效应,驻”波
3,半波损失 (half-wave loss)
自由端反射
波密 波疏界面反射
特征阻抗, 大uz ?? 小uz ??
波在两种不同介质界面上的反射
全波反射
半波反射
反射波与入射波
在反射点同相
波腹
反射波与入射波
在反射点反相
固定端反射
波疏 波密界面反射
波节 ?相位突变 半波损失
4,驻波 应用举例,
弦乐发声：一维驻波；
鼓面：二维驻波；
微波振荡器,
激光器谐振腔
量子力学：一维无限深势阱波函数为驻波 …..,
2.教材 P.509 15-8
t = 0 时 原点处
为反射点Pv,0,0 00 ???
已知,平面简谐行波 A、, u 沿 +x 传播
?
求,1) 入射波函数；
2) 反射波函数；
3) x 轴上干涉静止点（驻波波节）位置。
密 疏
O P
4
3?
x 入u
20
?
? ??原点初相
)
2
2c o s (0
?
??? ?? tA
]
2
)(2c o s [ ??? ???
u
xtAΨ
入
解,1)
t = 0 时 原点处
,0,0 00 ?? v?
密 疏
O P
4
3?
x 入u
2) 入射波在反射点 P引起的振动
]
2
)(2c o s [ ??? ???
u
xtAΨ
入
半波
损失 反射波在 P点振动 )2c o s ( ??? ?? vtAp反
0??? ppp 反入 ???
密 疏
O P
4
3?
x 入u
vtA
u
tvAΨ p ?
??
? 2c o s
2
4/3
2c o s ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??
入
反射波函数,
?
?
?
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??
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?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
??
?
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?
? ???
2
2c o s
4/3
2c o s
?
??
?
?
u
x
tvA
u
x
tvAΨ 反
3) 入射波、反射波干涉静止条件,
即所求波节位置,?,
4
5,
4
3,
4
,
4
,
4
3 ????? ????x
]
2
)(2c o s [ ??? ???
u
xtAΨ
入
]
2
)(2c o s [
?
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u
x
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密 疏
O P
4
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x 入u
由
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44
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x
u
vx
得
又
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4
3?x ? ??,2,1,0,1 ???k
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)12(
?
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两条原理 波的叠加原理
惠更斯 -菲涅耳原理
三种现象
应用于光波
干涉
衍射
偏振
主要内容,
第十五章 波的干涉、衍射和偏振
结构框图
波的叠加原理
惠更斯 -菲涅耳原理
光的干涉
光的衍射
光的偏振
*傅立叶光学
简介
光的横波性
学时,14
1,波传播的独立性与叠加原理
波传播的独立性,
波的叠加原理,
?波的强度过大 ?叠加原理不成立。
§ 15.1 波的叠加原理 干涉
每列波传播时，不会因与其它波相遇而改变自己原
有的特性 (传播方向、振动方向、频率、波长等）。
当几列波在传播过程中相遇时，相遇区域每一点的振
动等于各列波单独传播时在该点引起的振动的矢量和。
条件,波源：线性振动
波：线性波
介质中各质点均线性振动
波相遇,相遇区域合成，然后保持各自
特征继续传播。
粒子相遇,碰撞，各自运动状态改变。 比较,
实质,振动的叠加
2,波的干涉
最简单、最重要的波动叠加情况
二、波的干涉 ——波叠加中最简单、重要的特例
2、干涉现象
设相干波源
:o1
)c o s ( 111 ???? tAΨ
:2o )c o s (
222 ???? tAΨ o
2
r2
r1 p
o1
两个 振动方向相同, 频率相同, 位相差恒定 的波源
称相干波源，它们发出的波叫相干波。
相干波叠加后，空间形成稳定的合振动加强、减弱
的分布 这种现象称波的干涉。
在 P点引起的振动
式中
)](2c o s [2 1212212221 rrAAAAA ??????
?
???
)
2
c o s ()
2
c o s (
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2
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1,同频率 )c o s (
111 ?? ?? tAx )c o s ( 222 ?? ?? tAx
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21
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xxx
合振动仍为该直线上同
一频率的谐振动
1x
2x
x
一 在同一条直线上、同频率的简谐振动的合成
令
?
?
???
)(2 12
12
rr ?
????
得
????? cos2 212221 AAAAA
,2AI ?由 P点合振动强度,
????? c os2 2121 IIIII
干涉项
由
12 ?? ?
恒定
?? 取决于两波传至相遇点的 波程差,
12 rr ???
对空间确定点
有确定值有确定值,I?
对空间不同点
彼此不等彼此不同,I?
能量在空间稳定的非均匀分布 — 干涉现象
合振动最强（干涉相长）
合振动最弱（干涉相消） 的位置？
讨论,
o2
r2
r1 p
o1
相同的点，振动强度相同,其集合为 双曲面
12 rr ???
特例,
（ 1）
?
????? 2
21 ???
3,干涉相长和相消的条件
212 AAAk ???
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相长 相
间
排
列
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2121 2 IIIII ???
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相长
相消
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21rr? ? ? ?
2 k?
（ 2）
2121 IIAA ??
相长处,
11 42 IIAA ??
相消处,00 ?? IA
212 AAAk ???
2121 2 IIIII ???
相长 相
间
排
列
||)12( 21 AAAk ??? ?
2121 2 IIIII ???
相消
?,2,1,0 ???k
21
2 ??
? ? ?
?
? ? ? ? ?
练习,
1、是非题
(1) 两列不满足相干条件的波不能叠加
(3) 两振幅相等的相干波在空间某点相遇时，
某时刻该点合振动位移既不是两波振幅之
和,又不是零，则该点既不是振动最强点，
又不是振动最弱点,
两列波相遇区域中 P点，某时刻位移值恰好
等于两波振幅之和。这两列波为相干波,
(2)
(4) 在波的干涉现象中，波动相长各点或波动
相消各点的集合的形状为双曲面族
?
?
?
?
解,点外侧）对 PS
11
?
?
???
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2
2 121020 rr
干涉相消，合成波
0,0 ???? IA
即 S1 外侧不动
2,教材 P.509 15-3
已知,
2
,4 201002121 ???? ???? IIISS,为相干波源，相距、
求, 外侧合成波强度外侧，连线上，、
2121 SSSS
S1 S2
u u
p p?
? ??
干涉相长、合成波
01 4,2 IIAA ??????
外侧各点振动最强。即 2S
思考, 之间如何？21,SS
两相干波，振幅相同，沿同一直线向相反方向传播
点外侧）对 PS ?22
042
2
2 121020 ??????????
?
???
?
???? rr
S1 S2
u u
p p?
???
三、驻波 (standing wave)
1、驻波的形成
条件, 相干波,振幅相等,在同一直线上反向传播。
u u
驻波是由振幅相同，传播方向相反的两列相干波
叠加而成，合成的波形不随时间变化,它是一种特
殊的干涉现象。
适当选择计时起点和原点，使原点处 0
21 ?? ??
右行波,
?
?
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x
tAΨ 2c o s11
左行波,
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合成波,
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A ?
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2
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振幅随 x 变化 谐振因子
a,c,e,g..,
始终不振动 A=0，称 波节
o,b,d,f,.,
振动最强,2
1AA ?
称 波腹
其余点
120 AA ??
合成波,
振幅随 x 变化
t
x
A ?
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??? c o s
2
c o s2 121 ???
2,驻波的特征
(2) 振幅最强 位置：
12 AA ?
波腹
振动相消 A=0 位置,波节
2
?相距
两相邻波腹（或波节）
驻波的特点,没有振动状态或相位的传播，而是介质中各质
点作稳定的振动或段与段之间的相位突变，与行波完全不同。
(1) 波线上各点振幅不等，不是后一质点重复前一
质点的振动。
驻波的能量,在驻波中，波腹附近的动能与波节附近的势能
之间不断进行着互相转换和转移，却没有能量的定向传播 。
0min ?A 02c os ?
?
? x由
2)12(
2 ?
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? ?? kx
得波节位置,
4
)12(
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?? kx ),2,1,0( ????k
求 波腹和波节的位置
得波腹位置,
2
?
?? kx ),2,1,0( ????k
1m a x 2 AA ?由 1|
2c o s| ?
?
? x ?
?
? kx ?2解,
例,合成波,
t
x
A ?
?
?
??? c o s
2
c o s2 121 ???
(3)相邻波节之间各点同相
同一波节两侧的点反相 稳定的分段振动
(4)能流密度
0
)
2
1
(
2
1 22
1
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???
????
不向前传播能量
附近周期性转移，
在波腹、波节、
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2
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最大）集中于波节附近（形变
各质点最大位移
p
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,
4
T
T
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,,0
,
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变为零各质点达平衡位置，形
)( 速率最大集中于波腹附近
(5) 驻波系统的固有频率,
2
nnL ???
n
L
n
2??
L
nuu
v
n
n 2?? ?
),3,2,1( ??n 所有可能的振动方式,简正模式
基频 谐频
总之,
外形象波,具有空间、时间周期性；
波形、能量不向前传播、无滞后效应,驻”波
3,半波损失 (half-wave loss)
自由端反射
波密 波疏界面反射
特征阻抗, 大uz ?? 小uz ??
波在两种不同介质界面上的反射
全波反射
半波反射
反射波与入射波
在反射点同相
波腹
反射波与入射波
在反射点反相
固定端反射
波疏 波密界面反射
波节 ?相位突变 半波损失
4,驻波 应用举例,
弦乐发声：一维驻波；
鼓面：二维驻波；
微波振荡器,
激光器谐振腔
量子力学：一维无限深势阱波函数为驻波 …..,
2.教材 P.509 15-8
t = 0 时 原点处
为反射点Pv,0,0 00 ???
已知,平面简谐行波 A、, u 沿 +x 传播
?
求,1) 入射波函数；
2) 反射波函数；
3) x 轴上干涉静止点（驻波波节）位置。
密 疏
O P
4
3?
x 入u
20
?
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)
2
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解,1)
t = 0 时 原点处
,0,0 00 ?? v?
密 疏
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2) 入射波在反射点 P引起的振动
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2
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0??? ppp 反入 ???
密 疏
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