上讲内容,
一、平面简谐行波
二、波的特征量
三、波形曲线
*四,波函数（波动方程的积分形式）
五,波动方程的微分形式
六,波的能量 介质元振动能量（ Ek,EP）的总和
1,介质元的能量
设弹性细棒中有纵波
)(c os
u
xtAy ?? ?
的介质元取长 xd xsVm ddd ?? ??
以平面简谐纵波为例，如图。
y表示质元偏离平衡位置的位移
振动速度
)(s i n
u
x
tA
t
y
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d
d
动能
22
k )(d2
1d
2
1d
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V
u
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2
1 222 ??? ???
势能
两端质点的相对位移）取决于介质元的形变（pd E
2
p )d(2
1
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2
1
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介质元振动能量
V
u
x
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2
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2
1 222 ??? ???
比较,
谐振动质点
孤立系统，机械能守恒
反相变化pk,EE
波动介质元能量 非孤立系统,dE不守恒
同相变化pk d,d EE
随, 变，不守恒 ！ E t x 能量传输！
最大位移 平衡位置,能量增大，从前面输入；
平衡位置 最大位移, 能量减小，向后面输出。
介质元振动能量
V
u
x
tAEEE d)(s i nddd 222pk ????? ???
介质中所有参与波动的质点都在不断地接受来
自波源的能量，又不断把能量释放出去 。
波动动能与势能数值相同，位相相同。同时变
大，同时变小。
2,能量密度
由介质元振动能量
V
u
x
tAEEE d)(s i nddd 222pk ????? ???
)(s i n
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V
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得能量密度,介质中单位体积的波动能量
平均能量密度,
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T
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0
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22
2
1 ?? A?
波的能量密度在一个周期内的平均值
3,能流密度,
单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能量
的能量内通过 st ??
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uAuw
st
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2
1 ????
???
??
能流密度 —— 波的强度
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22
2
1 ???
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能量传播方向与 方向相同
例,P.448 14.14
已知,柱面波、均匀介质、不计吸收
求,A 与 r, I 与 r关系,柱面波波函数
解,取半径分别为,,
21 rr
高 h 的柱面
21,SS
单位时间内通过 S1和 S2能量相等
2
22
21
22
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柱面波波函数
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教材 P.424[例 5]
球面波波函数
])(c os [ 00 ??? ???
u
rt
r
A
频率高于 20 000 Hz的波叫做 超声波 。
20到 20 000 Hz之间能引起听
觉的称为 可闻声波,简称声波。
频率低于 20 Hz的叫做 次声波 ； 声波
20 000 Hz 20Hz
一、声 波 (sound wave)
1,声波在空气中的传播
固体中传播的声波既可
以是纵波，也可以是横波，
而在流体中传播的声波却
只能是纵波。
§ 14.3 声波、超声、次声
2.声强 (intensity of sound)和声强级 (sound level)
声强就是声波的能流密度,即单位时间内通过垂
直于波线的单位面积的声波平均能流。
声强表达式
I A u? 1
2
2 2? ?
由此知声波声强与振幅的平方、频率的平方成正比。
人的听觉存在一定的
声强范围，下限称为 听
觉阈,上限称为 痛觉阈 。
听觉阈和痛觉阈都与声
波的频率有关。
引起人们听觉的声波，有一定的声强
范围。大约为 (10－ 12 ～ 1)W/m2，声强太
小，人耳听不见，太大会引起痛觉。
定义声强级 L为,
0I
I
L I lg?
(Bel ) 单位为贝尔
1 Bel=10 dB
)( l g
0
10
I
I
L I ?
(dB ) 单位为分贝
* 声强级
通常用声强级来描述声强的强弱。
规定声强,I0=10-12 W/m2 作为测定声强的标准。
（频率为 1 000 Hz的声波能引起听觉的最弱声强）
声音的响度 是人对声音的主观感觉。
如,树叶沙沙声约 10 dB,大炮的声强级约 120 dB。 有的地
方规定户外声音不得大于 70分贝。
二, 超声波 (supersonic wave)和次声波
* 超声波：频率高，波长短，定向传播性好,
穿透性好，在液体、固体中传播时，衰减很小,
能量高等。
定位、测距、探伤、显象，随着激光全息
的发展，声全息也日益发展，它在地质、医
学等领域有重要的意义；
由于能量大而集中,可用来切削、焊接、钻孔、
清洗机件，还可用来处理种子和催化。
特点
用途
超声波的传播速度对于介质的密度、浓度、成
分、温度、压力的变化很敏感。利用这些可间接
测量其他有关物理量。这种非声量的声测法具有
测量精密度高、速度快的优点,
频率在 10－ 4～ 20 Hz之间
的机械波，人耳听不到。
*次声波 (infrasonic wave)
因为大气湍流、火山爆发、地震,
陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自
然活动中，都有次声波产生，因此,
它是研究地球、海洋、大气等大规
模运动的有力的工具。
特点一
用途
由于它具有衰减极小的特
点，具有远距离传播的突出
特点。已形成现代声学的一
个新的分支 ——次声学 。
特点二
§ 14.4 多普勒效应
一、多普勒效应 (Doppler effect)
当波源和观察者中之一，或两者以不同速度同时相
对于介质运动时，观察者所观测到的波的频率将高于
或低于波源的振动频率,这种现象称为 多普勒效应 。
观察者所观测到的频率,
取决于单位时间内通过观察
者的 完整波的数目,即 ? ?? u
波源静止，观察者以速率
Vo向着波源运动
? ? ? ?
?
?
?
?
? ?
?
?
u V u V
u
u V
u
o o o
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S
0?sV
0V
u
频率升高
波源静止，观察者以
Vo离开波源运动时 ? ? ?? ? u V
u
o
? ?
?
? ?
u V
u
o
总之,波源静止，观察者以速率 Vo运动时
观察者静止，波源以
Vs向着观察者运动时
? ?
?
?
?
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?
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u V
u
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观察者静止，波源以
Vs离开观察者运动时
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u
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频率降低
频率升高
频率降低
总之,观察者静止，
波源以速率 Vo运动时 ? ?? ? uu V? s
以上两种情况综合起来，即 波源、观察者都运动 时有
? ?
?
? ?
u V
u V
o
s?
频率改变的原因, 在观察者运动的情况下, 频率改变
是由于观察者观测到的波数增加或减少 ； 在波源运动
的情况下, 频率改变是由于波长的缩短或伸长。
注意：弹性波不存在横向多普勒效应。
根据相对性原理和光速不变原理推得
Vc
Vc
?
?
?? ??
光波多普勒效应
光波存在 横向多普勒效应,当光源和观察者的相对速
度 V 垂直于它们的连线时
2
2
1
c
V
??? ??
分子、原子或离子由于热运动而使它们发射或吸收
的光谱线频率范围变宽，这称为 谱线多普勒增宽 。
当光源远离接收器时，接收到的频率变小，因而波
长变长，这种 现象叫做,红移, 。如将来自星球的
和地面的同一元素的光谱比较，发现几乎都发生红移
。这是,大爆炸”宇宙学理论的重要依据。
例,静止不动的超声波探测器能发射频率为 100 kHz
的超声波。有一车辆迎面驶来，探测器接收到从车辆
反射回的超声波频率为 112 kHz。如果空气中的声速为
340 m?s?1,试求车辆的行驶速度。
解：超声波传向车辆时
u
Vu ?
?? ??
超声波反射回探测器时
Vu
u
?
???? ??
所以
Vu
Vu
?
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解得
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100112
100112
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???
?,
??
??
uV
练习,
公路检查站上警察用雷达测速仪测来往汽车的速度,
所用雷达波的频率为 。发出的雷达波被一
迎面开来的汽车反射回来，与入射波形成了频率为
的拍频。此汽车是否已超过了限定车速
Hz100.5 10?
Hz101.1 4?
-1hkm100 ?？
解,
雷达波传播速率,
设汽车速率为 v
-18 sm103 ???u
测速仪发射的雷达波频率为
Hz100.5 10??s?
发射波与接收波形成的拍频为
Hz101.1 4??? ?
由多普勒效应，测速仪接收到的由汽车反射的雷达波
频率为
ss vu
vu
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?
?
??
发射波与接收波形成的拍频为
ssss vu
v
vu
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u
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得汽车速率,
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u
v
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?
汽车超速行驶。
*二、冲击波 (shock wave)
波源相对于介质的运动速率 vs超过波在该介质中的
传播速率 u，波源总是跑在波的前面，在各相继瞬间
产生的波面的包络为一圆锥面，称为 马赫锥,如图,
这个以波速传播的圆锥波面称为 冲击波,简称 击波 。
马赫锥的半顶角，称为 马赫角,
Mv
u 1
s
???s i n
式中 M = vs /u称为 马赫数 。
,冲击波, 虽然以波来称呼，
但实际上它不同于一般意义的波，
它只是一个以波速向外扩展的、
聚集了一定能量的圆锥面。
§ 14.5 非线性波简介
一、非线性效应对波动的影响
理想弹性
介质
波动方程 线性微
分方程
解 线性波
实际介质
非线性
微分方程 非线性波
强度较小时
略去非线性效应
波动方程 解
二,实例：孤波
发现,1834年 英国 罗素（运河中发现，水槽中重现）
稳定性,
完整性,
传播中波形不变
两孤波相遇分开后保持原波速，波形。
具有经典粒子和波的大部分性质
——孤立子
定域性,处在空间有限范围
特性
成因,非线性效应,改变波形
色散效应,改变波形
一定条件下相
互抵消，使波
形不变
1。波的产生和传播
振动质点引起邻近质点的振动
波源及介质中各质点均作谐振动
简谐振动 简谐波
§ 2 波动方程
2、波的特征量
波的特征,空间、时间上的周期性
由波源振动情况决定
描述波动的时间周期性
T
1?? 时间频率
1) 周期 T、频率 ?
2） ?波长
同一波线上，相邻的相位差
为
?2 的两点间的距
离
描述波的空间周期性
?
1?k 空间频率
3) u波速
在一个周期内，某一个确定的振动状态（相位）
在空间正好传播一个波长。
振动相位传播的速度,
??
?
???
T
u
波速由介质的性质决定
注意 相位传播速度：在各向同性介质中为常数
质点振动速度,
)s i n (
d
d
0??? ???? tAt
yv
u
v
? 建立波函数的依据
波的空间、时间 周期性
沿波传播方向各质元振动状态 (相位 )相继落后
（滞后效应）
已知,波线上任一点 O的振动方程
波速 u,向右传播
)c o s ( 0?? ?? tAΨ o
求,该平面简谐波波函数
),( txΨΨ ?
])(c o s [),( 0?? ???
u
xtAtxΨ
)2c os ( 0
?
??? xtA ???
])(2c os [ 0?
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T
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])(c o s [ 0
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??? xutA
? 平面简谐波波函数的数学形式
向 -x方向传播的简谐行波波函数
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])(c o s [),(
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x
tA
u
x
tAtxΨ
2
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???
])(c o s [)(),( 000 ?? ????
u
x
tAtΨtxΨ
1) 当 x 给定 (x = x0) 时
即 x0 处质点的振动方程
平面简谐波波函数的物理意义
])(c o s [)(),( 000 ?? ????
u
xtAxΨtxΨ
即 t0 时刻的波形曲线方程
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
3。波的能量
介质元振动能量（ Ek,EP）的总和
比较,
谐振动质点
孤立系统，机械能守恒
反相变化pk,EE
波动介质元能量 非孤立系统,dE不守恒
同相变化pk d,d EE
波的传播是能量的传播
平衡位置处,
最大最大、速度最大、
最大、疏部或密部中心、形变
kp dd EE
最大位移处,
0dd pk ?? EE形变为零、速度为零、
4,能流密度,
单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能量
u?
能量传播方向与 方向相同
能流密度 —— 波的强度
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22
2
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平均能量密度
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一、平面简谐行波
二、波的特征量
三、波形曲线
*四,波函数（波动方程的积分形式）
五,波动方程的微分形式
六,波的能量 介质元振动能量（ Ek,EP）的总和
1,介质元的能量
设弹性细棒中有纵波
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孤立系统，机械能守恒
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波动介质元能量 非孤立系统,dE不守恒
同相变化pk d,d EE
随, 变，不守恒 ！ E t x 能量传输！
最大位移 平衡位置,能量增大，从前面输入；
平衡位置 最大位移, 能量减小，向后面输出。
介质元振动能量
V
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介质中所有参与波动的质点都在不断地接受来
自波源的能量，又不断把能量释放出去 。
波动动能与势能数值相同，位相相同。同时变
大，同时变小。
2,能量密度
由介质元振动能量
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平均能量密度,
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波的能量密度在一个周期内的平均值
3,能流密度,
单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能量
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能流密度 —— 波的强度
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能量传播方向与 方向相同
例,P.448 14.14
已知,柱面波、均匀介质、不计吸收
求,A 与 r, I 与 r关系,柱面波波函数
解,取半径分别为,,
21 rr
高 h 的柱面
21,SS
单位时间内通过 S1和 S2能量相等
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频率高于 20 000 Hz的波叫做 超声波 。
20到 20 000 Hz之间能引起听
觉的称为 可闻声波,简称声波。
频率低于 20 Hz的叫做 次声波 ； 声波
20 000 Hz 20Hz
一、声 波 (sound wave)
1,声波在空气中的传播
固体中传播的声波既可
以是纵波，也可以是横波，
而在流体中传播的声波却
只能是纵波。
§ 14.3 声波、超声、次声
2.声强 (intensity of sound)和声强级 (sound level)
声强就是声波的能流密度,即单位时间内通过垂
直于波线的单位面积的声波平均能流。
声强表达式
I A u? 1
2
2 2? ?
由此知声波声强与振幅的平方、频率的平方成正比。
人的听觉存在一定的
声强范围，下限称为 听
觉阈,上限称为 痛觉阈 。
听觉阈和痛觉阈都与声
波的频率有关。
引起人们听觉的声波，有一定的声强
范围。大约为 (10－ 12 ～ 1)W/m2，声强太
小，人耳听不见，太大会引起痛觉。
定义声强级 L为,
0I
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(Bel ) 单位为贝尔
1 Bel=10 dB
)( l g
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10
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(dB ) 单位为分贝
* 声强级
通常用声强级来描述声强的强弱。
规定声强,I0=10-12 W/m2 作为测定声强的标准。
（频率为 1 000 Hz的声波能引起听觉的最弱声强）
声音的响度 是人对声音的主观感觉。
如,树叶沙沙声约 10 dB,大炮的声强级约 120 dB。 有的地
方规定户外声音不得大于 70分贝。
二, 超声波 (supersonic wave)和次声波
* 超声波：频率高，波长短，定向传播性好,
穿透性好，在液体、固体中传播时，衰减很小,
能量高等。
定位、测距、探伤、显象，随着激光全息
的发展，声全息也日益发展，它在地质、医
学等领域有重要的意义；
由于能量大而集中,可用来切削、焊接、钻孔、
清洗机件，还可用来处理种子和催化。
特点
用途
超声波的传播速度对于介质的密度、浓度、成
分、温度、压力的变化很敏感。利用这些可间接
测量其他有关物理量。这种非声量的声测法具有
测量精密度高、速度快的优点,
频率在 10－ 4～ 20 Hz之间
的机械波，人耳听不到。
*次声波 (infrasonic wave)
因为大气湍流、火山爆发、地震,
陨石落地、雷暴、磁暴等大规模自
然活动中，都有次声波产生，因此,
它是研究地球、海洋、大气等大规
模运动的有力的工具。
特点一
用途
由于它具有衰减极小的特
点，具有远距离传播的突出
特点。已形成现代声学的一
个新的分支 ——次声学 。
特点二
§ 14.4 多普勒效应
一、多普勒效应 (Doppler effect)
当波源和观察者中之一，或两者以不同速度同时相
对于介质运动时，观察者所观测到的波的频率将高于
或低于波源的振动频率,这种现象称为 多普勒效应 。
观察者所观测到的频率,
取决于单位时间内通过观察
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以上两种情况综合起来，即 波源、观察者都运动 时有
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频率改变的原因, 在观察者运动的情况下, 频率改变
是由于观察者观测到的波数增加或减少 ； 在波源运动
的情况下, 频率改变是由于波长的缩短或伸长。
注意：弹性波不存在横向多普勒效应。
根据相对性原理和光速不变原理推得
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光波存在 横向多普勒效应,当光源和观察者的相对速
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当光源远离接收器时，接收到的频率变小，因而波
长变长，这种 现象叫做,红移, 。如将来自星球的
和地面的同一元素的光谱比较，发现几乎都发生红移
。这是,大爆炸”宇宙学理论的重要依据。
例,静止不动的超声波探测器能发射频率为 100 kHz
的超声波。有一车辆迎面驶来，探测器接收到从车辆
反射回的超声波频率为 112 kHz。如果空气中的声速为
340 m?s?1,试求车辆的行驶速度。
解：超声波传向车辆时
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超声波反射回探测器时
Vu
u
?
???? ??
所以
Vu
Vu
?
?
??? ??
解得
1-1- sm219sm
100112
100112
340 ???
?
?
??
???
???
?,
??
??
uV
练习,
公路检查站上警察用雷达测速仪测来往汽车的速度,
所用雷达波的频率为 。发出的雷达波被一
迎面开来的汽车反射回来，与入射波形成了频率为
的拍频。此汽车是否已超过了限定车速
Hz100.5 10?
Hz101.1 4?
-1hkm100 ?？
解,
雷达波传播速率,
设汽车速率为 v
-18 sm103 ???u
测速仪发射的雷达波频率为
Hz100.5 10??s?
发射波与接收波形成的拍频为
Hz101.1 4??? ?
由多普勒效应，测速仪接收到的由汽车反射的雷达波
频率为
ss vu
vu
??
?
?
??
发射波与接收波形成的拍频为
ssss vu
v
vu
vu ?????
?
??
?
??
?
? ?
?
?????? 21
u
vvu s?? 2??????
得汽车速率,
1-1-
10
48
hkm119sm33
1052
101.1103
2
????
??
???
?
?
?
s
u
v
?
?
汽车超速行驶。
*二、冲击波 (shock wave)
波源相对于介质的运动速率 vs超过波在该介质中的
传播速率 u，波源总是跑在波的前面，在各相继瞬间
产生的波面的包络为一圆锥面，称为 马赫锥,如图,
这个以波速传播的圆锥波面称为 冲击波,简称 击波 。
马赫锥的半顶角，称为 马赫角,
Mv
u 1
s
???s i n
式中 M = vs /u称为 马赫数 。
,冲击波, 虽然以波来称呼，
但实际上它不同于一般意义的波，
它只是一个以波速向外扩展的、
聚集了一定能量的圆锥面。
§ 14.5 非线性波简介
一、非线性效应对波动的影响
理想弹性
介质
波动方程 线性微
分方程
解 线性波
实际介质
非线性
微分方程 非线性波
强度较小时
略去非线性效应
波动方程 解
二,实例：孤波
发现,1834年 英国 罗素（运河中发现，水槽中重现）
稳定性,
完整性,
传播中波形不变
两孤波相遇分开后保持原波速，波形。
具有经典粒子和波的大部分性质
——孤立子
定域性,处在空间有限范围
特性
成因,非线性效应,改变波形
色散效应,改变波形
一定条件下相
互抵消，使波
形不变
1。波的产生和传播
振动质点引起邻近质点的振动
波源及介质中各质点均作谐振动
简谐振动 简谐波
§ 2 波动方程
2、波的特征量
波的特征,空间、时间上的周期性
由波源振动情况决定
描述波动的时间周期性
T
1?? 时间频率
1) 周期 T、频率 ?
2） ?波长
同一波线上，相邻的相位差
为
?2 的两点间的距
离
描述波的空间周期性
?
1?k 空间频率
3) u波速
在一个周期内，某一个确定的振动状态（相位）
在空间正好传播一个波长。
振动相位传播的速度,
??
?
???
T
u
波速由介质的性质决定
注意 相位传播速度：在各向同性介质中为常数
质点振动速度,
)s i n (
d
d
0??? ???? tAt
yv
u
v
? 建立波函数的依据
波的空间、时间 周期性
沿波传播方向各质元振动状态 (相位 )相继落后
（滞后效应）
已知,波线上任一点 O的振动方程
波速 u,向右传播
)c o s ( 0?? ?? tAΨ o
求,该平面简谐波波函数
),( txΨΨ ?
])(c o s [),( 0?? ???
u
xtAtxΨ
)2c os ( 0
?
??? xtA ???
])(2c os [ 0?
?
? ??? x
T
tA
])(c o s [ 0
2
?
?
?
??? xutA
? 平面简谐波波函数的数学形式
向 -x方向传播的简谐行波波函数
)c o s (
])(c o s [),(
?
???
??
x
tA
u
x
tAtxΨ
2
0
0
???
???
])(c o s [)(),( 000 ?? ????
u
x
tAtΨtxΨ
1) 当 x 给定 (x = x0) 时
即 x0 处质点的振动方程
平面简谐波波函数的物理意义
])(c o s [)(),( 000 ?? ????
u
xtAxΨtxΨ
即 t0 时刻的波形曲线方程
2) 当 t 给定 (t = t0) 时
3。波的能量
介质元振动能量（ Ek,EP）的总和
比较,
谐振动质点
孤立系统，机械能守恒
反相变化pk,EE
波动介质元能量 非孤立系统,dE不守恒
同相变化pk d,d EE
波的传播是能量的传播
平衡位置处,
最大最大、速度最大、
最大、疏部或密部中心、形变
kp dd EE
最大位移处,
0dd pk ?? EE形变为零、速度为零、
4,能流密度,
单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能量
u?
能量传播方向与 方向相同
能流密度 —— 波的强度
uAI ?
?
22
2
1 ???
22
2
1
AωuρuωI ??
平均能量密度
平均能流密度
