多粒子体系的热运动
§ 19.2 近独立子系的统计规律
一, 研究对象,大量近独立粒子组成的体系
子 系,体系内的粒子
经典描述
量子描述
近独立,?? iEE 不计入 相互作用势能
但粒子间微弱相互作用可以使系统实现平衡
难点,近独立子系的最概然分布
经典粒子,麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布
费米子,费米 - 狄拉克分布
玻色子,玻色 - 爱因斯坦分布
了解
子系模型
经典粒子,用确定的
pr ??,描述其运动状态
彼此可以区分
量子粒子,用全同波函数描述其运动状态
彼此不可以区分（例：势阱中粒子）
费米子
玻色子
（例：电子）
自旋为半整数，遵从泡利不相容原理
（例：光子）
自旋为整数，不遵从泡利不相容原理
§ 19.3 M-B 统计在理想气体中的应用
重点：将 M-B统计应用于理想气体得出的几个统计规律
tnp ?3
2?理想气体压强公式,
为分子平均平动动能 式中 2
2
1 mv
t ??
tnp
n k Tp
?
3
2
?
?
kTt
2
3??
理想气体温度公式
kT
2
3
?2
2
1
vm ?r m sv m
kTv 32 ?由 得
实际上，每个分子的速率可以具有 从零到无限大 之
间任意可能的值。
个别分子的速率是偶然的，大量分子的速率是有
一定分布规律的。
对给定气体，当温度恒定时
方均根速率也是恒定的,
m
kT
v
32
?
一、麦克斯韦分子速率分布定律
条件,理想气体，平衡态（热动平衡）
宏观,有确定值Tpn,,
微观,各分子不停运动且频繁碰撞,
无规运动不断变化,v?
1,内容,
平衡态下,无外力场作用时,理想气体分子速率在
v — v + dv 间的概率为,
vve
kT
m
N
N
W kT
mv
d)
2
(4
d
d 222
3
2
?
??
?
?
分布函数,分子速率在 v 附近单位速率区间的概率
222
3
2
)
2
(4
d
d
)( ve
kT
m
vN
N
vf kT
mv
?
??
?
?
处在温度为 T 的平衡态下的气体，处于 v 附近的单
位速率区间的分子数占总分子数的比率（百分比）。
2,麦克斯韦速率分布曲线
讨论,
1） 气体分子速率可取 ??0
的一切值，但 v 很小和 v
很大的分子所占比率小，
具有中等速率分子所占比
率大。
令
解得0
d
)(d ?
v
vf
?
RT
mN
TkN
m
kT
v
A
A
p
222
???
数量级,
132 sm10~10 ??室温下,,最概然速率
pv
O v
f(v)
vp
物理意义,
?
RT
mN
TkN
m
kT
v
A
A
p
222
???
,,最概然速率pv
O v
f(v)
vp
若将 分为相等的速率间隔，则在包含 的
间隔中的分子数最多。
v
pv
最概然速率是速率分布曲线极大值所对应的速率。
问,是不是速率 恰好等于最概然速率的分子数最多
？与总分子数的百分比是多少？
解,速率分布是连续的，谈论速率恰好为某一值
的分子数或概率都是毫无意义的。
零
? ? vNvfN
vN
Nvf dd,
d
d)( ??
0d0d ?? Nv 则若
窄条,
N
N
v
vN
N
vvf
d
d
d
d
d)( ???
分子速率在 v——v+dv 区间内的概率
部分,
N
N
N
N
vvf
vv
v
v
v
v
21
2
1
2
1
d
d)(
?
???
?
区间的概率—分子速率在 21 vv
2) 曲线下的面积 讨论,
v v
f(v)
O O
f(v)
v+dv O v v
f(v)
v1 v2
总面积,
1
d
d)(
0
0
????
??
?
N
N
N
N
vvf 归一化条件
O v
f(v)
v+dv v
f(v)
v
f(v)
O O v v1 v2
练习,
?
?
p
v
vvf
vvNf
d)(
d)(
?
p
v
vvNf
vvnf
0
d)(
d)( 的物理意义?
vvv d??单位体积内，处于 速率间隔内的分子数；
v 附近 速率间隔内的分子数 vvv d??
:d)( vvnf
:d)(
0
?
pv
vvNf
:d)(?
?
pv
vvf
:d)( vvNf
区间的概率分子速率在 ??pv
区间的分子数分子速率在 pv?0
m一定,
???
m
kT
vT p
2
3) 分布曲线随 m,T 变化 讨论,
曲线峰值右移，总面积不变，曲线变平坦
T 一定,
???
m
kT
vm p
2
曲线峰值左移，总面积不
变，曲线变尖锐。
3.分子速率的三种统计平均值
一般情况,
O v
f(v)
vp2 vp1
m1
m2> m1
T一定
iii WMM ?? iii WMM
22 ??
同理,
? ? 变量间隔分布函数物理量 ????? ? ?? xxMfWMM dd
1） 平均速率
2） 方均根速率
3） 最概然速率（最可几速率 )
????
RTRT
m
kT
vvvfv 60.1
88
d)(
0
???? ?
?
??
RTRT
m
kT
v p 41.1
22
???
m
kT
vvfvv
3
d)(
0
22 ??
?
?
??
RTRT
m
kT
v 73.1
332
???
三者关系,
2vvv
p ?? O v
f(v)
vp v
2v
④
练习,
则若,BA SS ?
① vv ?
0
②
pvv ?0
③ 2
0 vv ?
NNN vv
2
1
000
??
?——
(1) 下列答案中正确的是,
O v
f(v)
v0
SA SB
? ? vvf
N
N v
v
vv d2
1
21 ??
? ?
解,因为
? ? ? ? vvfvvf
v
v
dd
0
0
0 ??
?
?
由题意
NNN vv
2
1
000
???? ???
说明
O v
f(v)
v0
SA SB
（ 2）
区间的分子的平均速率—求速率在 21 vv
解一,
??
2
1
21
d)(
v
v
vv vvvfv —
解二,
?
?
?
?
?
?
???
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
d)(
d)(
d)(
d)(
d
d
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
vv
vvf
vvvf
vvNf
vvv N f
N
Nv
v
—
哪一种解法对？;
d
d
d
d
d)(
21
2
1
2
1
2
1
vv
v
v
v
v
v
v
v
N
Nv
v
vN
N
vvvvf ????? ?
?
? ?
? ?
? ?
? ??
?
?
??
??
?
?
2
1
2
1
2
1
2
1
21 d
d
d
dd
v
v
v
v
v
v
v
v
vv vvf
vvvf
vvfN
vvvfN
N
Nv
21 ~ vv ? ?
vvfNN
v
vvv
d2
1
21 ~ ?
??
解, 区间的分子数为
NNv ?? d ? ? vvvf
v
v
d
2
1
?
该区间内分子速率之和为
所以该区间分子的平均速率为
4,实验验证 （高真空技术的发展促进验证精度的提高）
教材, 1955年 密勒,库什实验
介绍, 1934年 葛正权实验
不同 v分子到达 P所用时间不等,沉淀于玻片上不同位置,
用光学方法测玻片上铋厚度分布可推知分子速率分布。
实验结果验证了麦氏分子速率分布定律。
O,铋蒸汽源
平行狭缝:,,321 SSS
P, 绕中心轴转动的圆筒
内贴玻片
O
?
例题
,Fv
处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于
金属中自由电子 (“电子气, 模型 ),设导体中自由电
子 数为 N,电子速率最大值为费米速率 且已知电子
速率在 v — v + dv 区间概率为,
?
N
Nd
0
d2 vAv
)(
)0(
F
F
vv
Avv
?
?? 为常数
① 画出电子气速率分布曲线
② Av
F 定出由
③ 2,,vvv
p求
解,
② 由归一化条件
3
3
0 0
2 3,1
3
dd)(
F
F
v
v
Av
A
vAvvvf
F
????? ?
?
③
F
v
F
Fp vvvvvvvvfvvv
F
75.0d
3
d)(; 2
0 0
3
?????? ? ?
?
FFF
F
v
vvvvvv
v
vv
F
77.06.06.0d
3 222
0
22 ???? ?
??
vN
Nvf
d
d)(
)(0
)0(2
F
F
vv
vvAv
?
??
①
O v
f(v)
vF
无外力场存在时,麦氏分子速率分布定律
vve
kT
m
N
N
W kT
mv
d)
2
(4
d
d 222
3
2
?
??
?
?
麦氏分子速度分布定律
zyx
vvv
kT
m
vvve
kT
m
N
N
W
zyx
ddd)
2
(
d
d
)(
22
3 222
???
???
?
保守力场中，粒子不再均匀分布
二,玻尔兹曼分布
重力场中粒子按高度分布规律
粒子按势能分布规律 或,
在空间小体积
中zzzyyyxxx d,d,d ??????
速度在 区间
zzzyyyxxx vvvvvvvvv d,d,d ??????
的分子数,
zyxvvve
kT
m
CN zyxkT
EE
dddddd)
2
(d
pk
2
3
?
?
???
?
对所有速度积分得体积元 内总分子数zyx ddd
zyxCeN kT
E
dddd
p
??
?
两点
修正
)(
2
222
kpk zyx vvv
mEEEE ????? 取代用
变量间隔改为
zyxvvv zyx dddddd
分子数密度,
kT
E
Ce
zyx
N
n
p
ddd
d ?
??
00p,0 nCnE ?? 则分子密度为处设
RT
gh
kT
m g h
kT
E
enenenn
????
??? 000
p
重力场中，热运动与重力作用相互影响，实现热动平衡
时，气体分子数密度随高度上升，按指数规律下降。
恒温气压公式
RT
gh
RT
gh
epk T enn k Tp
?? ??
??? 00
p
p
g
RT
h 0ln
?
?
高度计原理
)(106.1ln 30 m
p
p
g
RT
h ???
?
解,一般取海平面处气压为 760mmHg
讨论：由该例题可以看出，当高度上升 12.4m时，
气压平均下降 1mmHg。
例,测得黄山玉屏楼气压为 625mmHg，气温 17?C，空
气的平均摩尔质量 ?=28.9?10-3kg?mol-1，气温恒定
求：此处海拔高度
三, 能均分定律 理想气体内能
各种平均能量按自由度均分
1,模型的改进
推导压强公式,理想气体分子 —— 质点
讨论能量问题,考虑分子内部结构 —— 质点组
大量分子系统,
各种运动形式的能量分布、平均总能量均遵守统计规律。
分子热运动
平动
转动
分子内原子间振动
2.自由度
确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数
srti ???
总自由度数 =平动自由度 +转动自由度 +振动自由度
3?? ti
1） 质点,只有平动，最多三个自由度 ),,( zyx
受限制时自由度减少
飞机 t =3
轮船 t =2
火车 t =1
例,
决定质心位置 ),,( zyx
t =3
过质心转轴方位 之二）???,,(
刚体相对于轴的方位 )(?
r =3
最多 6个自由度, i = t + r = 6
定轴刚体, i = r = 1 )(?
2） 刚体
?
xz
o
y
? ?zyxc,,
?
?
?
3）气体分子
单原子分子 —自由质点 i = t = 3
质心位置 t = 3
2,21 ?rmm 连线方位
1,21 ?smm 相对于质心的位置
6???? srti
双原子分子 — 轻弹簧联系
的两个质点
x
y
z
O
C
m2
m1
多原子分子（原子数 n )
最多可能自由度 i=3n
平动 t =3
转动 r =3
振动 s =3n-6
刚性多原子分子 t = 3
r = 3
s = 0
i = 6
3,能均分定律
分子的平均总动能,
kT
i
2k
??
由 M-B统计得,在温度 T的平衡态下，物质 (固，液，气 )
分子的每一个可能的自由度都有相同的平均动能
kT
2
1
定性说明,由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式,
各自由度之间转移，平衡时，各种平均动能按自由
度均分。
由能均分定律，其它各自由度上平均动能均为
kT
2
1
由温度公式
kTvvvmvm zyxt
2
3
)(
2
1
2
1 2222
??????
kTvmvmvm zyx
2
1
2
1
2
1
2
1 222 ???
每个自由度上的平均平动动能,
平均平动动能
kT
t
2
平均转动动能
kTr
2
平均振动动能
kTs
2
平均总动能
kTikTsrt
2
)(
2
1
k ?????
注意,
能均分定律是统计规律，反映大量分子系统的整
体性质，对个别分子或少数分子不适用。
2） 理想气体内能：（分子数 N）
模型,分子间无相互作用 ~无分子相互作用势能
分子动能,kTiN
2
?
原子振动势能,
kTsN
2
?
kTsrtN )2(
2
1 ???
4,理想气体的内能
1）实际气体 的内能,（分子数 N）
所有分子的动能,
kTiNkTsrtN
2
)(
2
1 ?????
微振动：采用谐振动模型
所有分子内原子振动势能,
pk EE ?
kTsN
2
?
分子间相互作用势能,与体积 V 有关
与 T,V
有关
模型,刚性分子 ~无振动自由度
分子数为 N 的理想气体的内能为
kTiNNE
2k
??? ?
对 1mol 刚性分子理想气体
RTikTiNE A
22
???
刚性分子理想气体对 m o l
?
M
RT
iM
E
2?
?
单原子分子
RT
M
E
2
3
?
?
RT
M
E
2
5
?
?
刚性双原子分子
刚性多原子分子
RT
M
E 3
?
?
温度 T 的
单值函数
rti ??
练习,P.636 19.3.8；
平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能
平衡态下，物质分子的平均平动动能
平衡态下，物质分子的平均总动能
平衡态下,1mol理想气体内能
19,10 指出下列各量的物理意义
:
2
1 kT
:
2
3 kT
:
2
kTi
:
2
RTi
:
2
RT
iM
?
理想气体内能m o l
?
M
P639
19-12,
m m H g105K300cm10 63 ????? pTV
刚性双原子分子气体
1) N=?
121061.1 ?????
kT
pV
NkT
V
N
n k Tp
)Pa10013.1m m H g760a t m1( 5???
2)
)J(10
2
3
2
3 8?
???? pVkTNN t?
3)
)J(1066.6
2
2 9?
????? pVkTNN r?
4)
)J(1067.1
2
5
)( 8?????? pVNN rt ???
四, 分子碰撞的统计规律
只能求统计平均值，寻求其统计规律。
分子速率分布
平均动能按自由度分布
都是依赖分子间
频繁碰撞实现的
每个分子 1秒内与其它分子相撞次数
连续两次相撞间经过的时间间隔
连续两次相撞间通过的路程
均不确定
1,分子平均碰撞频率 z
1) 模型的改变,
是否需要象计算 E 那样考虑内部结构？
思考,是否可以象求 p 那样视为质点？
单位时间 内每个分子 平均 与其它分子相撞次数
分析分子碰撞的过程 ?分子间相互作用
斥力00 ?? Frr
00 ?? Frr
引力00 ?? Frr
00 ??? Frr
r
F
O r0
斥力
引力
合
力
分子间最小距离 d 与分子初动能有关，其统计平均
值 —分子的有效直径 。 )m10( 10?一般
分子相撞 ——视为直径为 d 的刚性小球的弹性碰撞
? 两分子相碰过程（经典模型）
匀速直线运动0rr ??
加速0rr ?
m a x0 vvrr ??
减速0rr ?
返回0?? vdr
r
F
O r0
斥力
引力
合
力
2) 推导公式,
“跟踪”一个分子 A，认为其它分子不动,A以 平均相对
速率 相对其它分子运动。 u
碰撞截面:2d? 时间 t 内,A通过的折线长 tu
以折线为轴的曲折圆柱体积
2dtu ??
圆柱内分子数
2dtun ???
A球心轨迹：折线
质心与折线距离 < d 的
分子将与 A相碰；
质心与折线距离 >d 的
分子将不与 A相碰
单位时间内平均碰撞次数 2dun ??
平均碰撞频率
vdnz 22 ??
一般,1109 s10~10 ?
平均相对速率
vu 2?
A v
?
B
vu 2?
v?A v? B v?
0?u
v?
v?
A B
vu 2?
u?
1) 定义
分子在连续两次碰撞间通过的自由路程的平均值。
2)
2
1
2
v
z dn
?
?
??
pd
kT
22 ?
? ?
n k Tp ?
常温常压下,
m10~10 78 ??
为分子有效直径的数百倍
注意,容器线度很小时，算出的很小，当 ??np
容器线度这时 ??
2.分子平均自由程 ?
练习, P.639 19-18
在气体放电管中，电子不断与气体分子碰撞。因为
电子速率远大于气体分子的平均速率，所以可以认
为气体分子不动。设气体分子的有效直径为 d, 电
子的“有效直径”比起气体分子来可以忽略不计，
求,
1.电子与气体分子的碰撞截面
2,电子与气体分子碰撞的平均自由程
（气体分子数密度为 n ）
1) 碰撞截面
222
4
1
)
2
()( d
d
rRs e ??? ????
2) 设气体分子不动，电子平均速率
ev
单位时间内与电子相碰的气体分子数,
evdnz ???
2
4
?
平均自由程,
2
4
dnz
v e
?
?
?
??
练习, P.639 19-18
4．讨论理想气体的 分子模型 在压强与温度公式推导
、能均分定律和分子平均碰撞自由程中有何区别？
在压强与温度公式的推导中，我们是将气体
分子视为有质量而无大小的质点；
在能均分定律中，我们是将理想气体分子视为
有结构的物体，可以发生转动和振动。
在分子平均碰撞自由程的推导中，我们是将理
想气体视为一有一定大小 (体积 )的刚性小球。
由此可见，对不同的问题，我们采用不同的理
想模型来进行研究，只要抓住问题的本质即可。
§ 19.2 近独立子系的统计规律
一, 研究对象,大量近独立粒子组成的体系
子 系,体系内的粒子
经典描述
量子描述
近独立,?? iEE 不计入 相互作用势能
但粒子间微弱相互作用可以使系统实现平衡
难点,近独立子系的最概然分布
经典粒子,麦克斯韦 - 玻尔兹曼分布
费米子,费米 - 狄拉克分布
玻色子,玻色 - 爱因斯坦分布
了解
子系模型
经典粒子,用确定的
pr ??,描述其运动状态
彼此可以区分
量子粒子,用全同波函数描述其运动状态
彼此不可以区分（例：势阱中粒子）
费米子
玻色子
（例：电子）
自旋为半整数，遵从泡利不相容原理
（例：光子）
自旋为整数，不遵从泡利不相容原理
§ 19.3 M-B 统计在理想气体中的应用
重点：将 M-B统计应用于理想气体得出的几个统计规律
tnp ?3
2?理想气体压强公式,
为分子平均平动动能 式中 2
2
1 mv
t ??
tnp
n k Tp
?
3
2
?
?
kTt
2
3??
理想气体温度公式
kT
2
3
?2
2
1
vm ?r m sv m
kTv 32 ?由 得
实际上，每个分子的速率可以具有 从零到无限大 之
间任意可能的值。
个别分子的速率是偶然的，大量分子的速率是有
一定分布规律的。
对给定气体，当温度恒定时
方均根速率也是恒定的,
m
kT
v
32
?
一、麦克斯韦分子速率分布定律
条件,理想气体，平衡态（热动平衡）
宏观,有确定值Tpn,,
微观,各分子不停运动且频繁碰撞,
无规运动不断变化,v?
1,内容,
平衡态下,无外力场作用时,理想气体分子速率在
v — v + dv 间的概率为,
vve
kT
m
N
N
W kT
mv
d)
2
(4
d
d 222
3
2
?
??
?
?
分布函数,分子速率在 v 附近单位速率区间的概率
222
3
2
)
2
(4
d
d
)( ve
kT
m
vN
N
vf kT
mv
?
??
?
?
处在温度为 T 的平衡态下的气体，处于 v 附近的单
位速率区间的分子数占总分子数的比率（百分比）。
2,麦克斯韦速率分布曲线
讨论,
1） 气体分子速率可取 ??0
的一切值，但 v 很小和 v
很大的分子所占比率小，
具有中等速率分子所占比
率大。
令
解得0
d
)(d ?
v
vf
?
RT
mN
TkN
m
kT
v
A
A
p
222
???
数量级,
132 sm10~10 ??室温下,,最概然速率
pv
O v
f(v)
vp
物理意义,
?
RT
mN
TkN
m
kT
v
A
A
p
222
???
,,最概然速率pv
O v
f(v)
vp
若将 分为相等的速率间隔，则在包含 的
间隔中的分子数最多。
v
pv
最概然速率是速率分布曲线极大值所对应的速率。
问,是不是速率 恰好等于最概然速率的分子数最多
？与总分子数的百分比是多少？
解,速率分布是连续的，谈论速率恰好为某一值
的分子数或概率都是毫无意义的。
零
? ? vNvfN
vN
Nvf dd,
d
d)( ??
0d0d ?? Nv 则若
窄条,
N
N
v
vN
N
vvf
d
d
d
d
d)( ???
分子速率在 v——v+dv 区间内的概率
部分,
N
N
N
N
vvf
vv
v
v
v
v
21
2
1
2
1
d
d)(
?
???
?
区间的概率—分子速率在 21 vv
2) 曲线下的面积 讨论,
v v
f(v)
O O
f(v)
v+dv O v v
f(v)
v1 v2
总面积,
1
d
d)(
0
0
????
??
?
N
N
N
N
vvf 归一化条件
O v
f(v)
v+dv v
f(v)
v
f(v)
O O v v1 v2
练习,
?
?
p
v
vvf
vvNf
d)(
d)(
?
p
v
vvNf
vvnf
0
d)(
d)( 的物理意义?
vvv d??单位体积内，处于 速率间隔内的分子数；
v 附近 速率间隔内的分子数 vvv d??
:d)( vvnf
:d)(
0
?
pv
vvNf
:d)(?
?
pv
vvf
:d)( vvNf
区间的概率分子速率在 ??pv
区间的分子数分子速率在 pv?0
m一定,
???
m
kT
vT p
2
3) 分布曲线随 m,T 变化 讨论,
曲线峰值右移，总面积不变，曲线变平坦
T 一定,
???
m
kT
vm p
2
曲线峰值左移，总面积不
变，曲线变尖锐。
3.分子速率的三种统计平均值
一般情况,
O v
f(v)
vp2 vp1
m1
m2> m1
T一定
iii WMM ?? iii WMM
22 ??
同理,
? ? 变量间隔分布函数物理量 ????? ? ?? xxMfWMM dd
1） 平均速率
2） 方均根速率
3） 最概然速率（最可几速率 )
????
RTRT
m
kT
vvvfv 60.1
88
d)(
0
???? ?
?
??
RTRT
m
kT
v p 41.1
22
???
m
kT
vvfvv
3
d)(
0
22 ??
?
?
??
RTRT
m
kT
v 73.1
332
???
三者关系,
2vvv
p ?? O v
f(v)
vp v
2v
④
练习,
则若,BA SS ?
① vv ?
0
②
pvv ?0
③ 2
0 vv ?
NNN vv
2
1
000
??
?——
(1) 下列答案中正确的是,
O v
f(v)
v0
SA SB
? ? vvf
N
N v
v
vv d2
1
21 ??
? ?
解,因为
? ? ? ? vvfvvf
v
v
dd
0
0
0 ??
?
?
由题意
NNN vv
2
1
000
???? ???
说明
O v
f(v)
v0
SA SB
（ 2）
区间的分子的平均速率—求速率在 21 vv
解一,
??
2
1
21
d)(
v
v
vv vvvfv —
解二,
?
?
?
?
?
?
???
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
21
d)(
d)(
d)(
d)(
d
d
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
vv
vvf
vvvf
vvNf
vvv N f
N
Nv
v
—
哪一种解法对？;
d
d
d
d
d)(
21
2
1
2
1
2
1
vv
v
v
v
v
v
v
v
N
Nv
v
vN
N
vvvvf ????? ?
?
? ?
? ?
? ?
? ??
?
?
??
??
?
?
2
1
2
1
2
1
2
1
21 d
d
d
dd
v
v
v
v
v
v
v
v
vv vvf
vvvf
vvfN
vvvfN
N
Nv
21 ~ vv ? ?
vvfNN
v
vvv
d2
1
21 ~ ?
??
解, 区间的分子数为
NNv ?? d ? ? vvvf
v
v
d
2
1
?
该区间内分子速率之和为
所以该区间分子的平均速率为
4,实验验证 （高真空技术的发展促进验证精度的提高）
教材, 1955年 密勒,库什实验
介绍, 1934年 葛正权实验
不同 v分子到达 P所用时间不等,沉淀于玻片上不同位置,
用光学方法测玻片上铋厚度分布可推知分子速率分布。
实验结果验证了麦氏分子速率分布定律。
O,铋蒸汽源
平行狭缝:,,321 SSS
P, 绕中心轴转动的圆筒
内贴玻片
O
?
例题
,Fv
处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于
金属中自由电子 (“电子气, 模型 ),设导体中自由电
子 数为 N,电子速率最大值为费米速率 且已知电子
速率在 v — v + dv 区间概率为,
?
N
Nd
0
d2 vAv
)(
)0(
F
F
vv
Avv
?
?? 为常数
① 画出电子气速率分布曲线
② Av
F 定出由
③ 2,,vvv
p求
解,
② 由归一化条件
3
3
0 0
2 3,1
3
dd)(
F
F
v
v
Av
A
vAvvvf
F
????? ?
?
③
F
v
F
Fp vvvvvvvvfvvv
F
75.0d
3
d)(; 2
0 0
3
?????? ? ?
?
FFF
F
v
vvvvvv
v
vv
F
77.06.06.0d
3 222
0
22 ???? ?
??
vN
Nvf
d
d)(
)(0
)0(2
F
F
vv
vvAv
?
??
①
O v
f(v)
vF
无外力场存在时,麦氏分子速率分布定律
vve
kT
m
N
N
W kT
mv
d)
2
(4
d
d 222
3
2
?
??
?
?
麦氏分子速度分布定律
zyx
vvv
kT
m
vvve
kT
m
N
N
W
zyx
ddd)
2
(
d
d
)(
22
3 222
???
???
?
保守力场中，粒子不再均匀分布
二,玻尔兹曼分布
重力场中粒子按高度分布规律
粒子按势能分布规律 或,
在空间小体积
中zzzyyyxxx d,d,d ??????
速度在 区间
zzzyyyxxx vvvvvvvvv d,d,d ??????
的分子数,
zyxvvve
kT
m
CN zyxkT
EE
dddddd)
2
(d
pk
2
3
?
?
???
?
对所有速度积分得体积元 内总分子数zyx ddd
zyxCeN kT
E
dddd
p
??
?
两点
修正
)(
2
222
kpk zyx vvv
mEEEE ????? 取代用
变量间隔改为
zyxvvv zyx dddddd
分子数密度,
kT
E
Ce
zyx
N
n
p
ddd
d ?
??
00p,0 nCnE ?? 则分子密度为处设
RT
gh
kT
m g h
kT
E
enenenn
????
??? 000
p
重力场中，热运动与重力作用相互影响，实现热动平衡
时，气体分子数密度随高度上升，按指数规律下降。
恒温气压公式
RT
gh
RT
gh
epk T enn k Tp
?? ??
??? 00
p
p
g
RT
h 0ln
?
?
高度计原理
)(106.1ln 30 m
p
p
g
RT
h ???
?
解,一般取海平面处气压为 760mmHg
讨论：由该例题可以看出，当高度上升 12.4m时，
气压平均下降 1mmHg。
例,测得黄山玉屏楼气压为 625mmHg，气温 17?C，空
气的平均摩尔质量 ?=28.9?10-3kg?mol-1，气温恒定
求：此处海拔高度
三, 能均分定律 理想气体内能
各种平均能量按自由度均分
1,模型的改进
推导压强公式,理想气体分子 —— 质点
讨论能量问题,考虑分子内部结构 —— 质点组
大量分子系统,
各种运动形式的能量分布、平均总能量均遵守统计规律。
分子热运动
平动
转动
分子内原子间振动
2.自由度
确定一个物体的空间位置所需的独立坐标数
srti ???
总自由度数 =平动自由度 +转动自由度 +振动自由度
3?? ti
1） 质点,只有平动，最多三个自由度 ),,( zyx
受限制时自由度减少
飞机 t =3
轮船 t =2
火车 t =1
例,
决定质心位置 ),,( zyx
t =3
过质心转轴方位 之二）???,,(
刚体相对于轴的方位 )(?
r =3
最多 6个自由度, i = t + r = 6
定轴刚体, i = r = 1 )(?
2） 刚体
?
xz
o
y
? ?zyxc,,
?
?
?
3）气体分子
单原子分子 —自由质点 i = t = 3
质心位置 t = 3
2,21 ?rmm 连线方位
1,21 ?smm 相对于质心的位置
6???? srti
双原子分子 — 轻弹簧联系
的两个质点
x
y
z
O
C
m2
m1
多原子分子（原子数 n )
最多可能自由度 i=3n
平动 t =3
转动 r =3
振动 s =3n-6
刚性多原子分子 t = 3
r = 3
s = 0
i = 6
3,能均分定律
分子的平均总动能,
kT
i
2k
??
由 M-B统计得,在温度 T的平衡态下，物质 (固，液，气 )
分子的每一个可能的自由度都有相同的平均动能
kT
2
1
定性说明,由于分子频繁碰撞，动能在各运动形式,
各自由度之间转移，平衡时，各种平均动能按自由
度均分。
由能均分定律，其它各自由度上平均动能均为
kT
2
1
由温度公式
kTvvvmvm zyxt
2
3
)(
2
1
2
1 2222
??????
kTvmvmvm zyx
2
1
2
1
2
1
2
1 222 ???
每个自由度上的平均平动动能,
平均平动动能
kT
t
2
平均转动动能
kTr
2
平均振动动能
kTs
2
平均总动能
kTikTsrt
2
)(
2
1
k ?????
注意,
能均分定律是统计规律，反映大量分子系统的整
体性质，对个别分子或少数分子不适用。
2） 理想气体内能：（分子数 N）
模型,分子间无相互作用 ~无分子相互作用势能
分子动能,kTiN
2
?
原子振动势能,
kTsN
2
?
kTsrtN )2(
2
1 ???
4,理想气体的内能
1）实际气体 的内能,（分子数 N）
所有分子的动能,
kTiNkTsrtN
2
)(
2
1 ?????
微振动：采用谐振动模型
所有分子内原子振动势能,
pk EE ?
kTsN
2
?
分子间相互作用势能,与体积 V 有关
与 T,V
有关
模型,刚性分子 ~无振动自由度
分子数为 N 的理想气体的内能为
kTiNNE
2k
??? ?
对 1mol 刚性分子理想气体
RTikTiNE A
22
???
刚性分子理想气体对 m o l
?
M
RT
iM
E
2?
?
单原子分子
RT
M
E
2
3
?
?
RT
M
E
2
5
?
?
刚性双原子分子
刚性多原子分子
RT
M
E 3
?
?
温度 T 的
单值函数
rti ??
练习,P.636 19.3.8；
平衡态下，物质分子每个自由度上的平均动能
平衡态下，物质分子的平均平动动能
平衡态下，物质分子的平均总动能
平衡态下,1mol理想气体内能
19,10 指出下列各量的物理意义
:
2
1 kT
:
2
3 kT
:
2
kTi
:
2
RTi
:
2
RT
iM
?
理想气体内能m o l
?
M
P639
19-12,
m m H g105K300cm10 63 ????? pTV
刚性双原子分子气体
1) N=?
121061.1 ?????
kT
pV
NkT
V
N
n k Tp
)Pa10013.1m m H g760a t m1( 5???
2)
)J(10
2
3
2
3 8?
???? pVkTNN t?
3)
)J(1066.6
2
2 9?
????? pVkTNN r?
4)
)J(1067.1
2
5
)( 8?????? pVNN rt ???
四, 分子碰撞的统计规律
只能求统计平均值，寻求其统计规律。
分子速率分布
平均动能按自由度分布
都是依赖分子间
频繁碰撞实现的
每个分子 1秒内与其它分子相撞次数
连续两次相撞间经过的时间间隔
连续两次相撞间通过的路程
均不确定
1,分子平均碰撞频率 z
1) 模型的改变,
是否需要象计算 E 那样考虑内部结构？
思考,是否可以象求 p 那样视为质点？
单位时间 内每个分子 平均 与其它分子相撞次数
分析分子碰撞的过程 ?分子间相互作用
斥力00 ?? Frr
00 ?? Frr
引力00 ?? Frr
00 ??? Frr
r
F
O r0
斥力
引力
合
力
分子间最小距离 d 与分子初动能有关，其统计平均
值 —分子的有效直径 。 )m10( 10?一般
分子相撞 ——视为直径为 d 的刚性小球的弹性碰撞
? 两分子相碰过程（经典模型）
匀速直线运动0rr ??
加速0rr ?
m a x0 vvrr ??
减速0rr ?
返回0?? vdr
r
F
O r0
斥力
引力
合
力
2) 推导公式,
“跟踪”一个分子 A，认为其它分子不动,A以 平均相对
速率 相对其它分子运动。 u
碰撞截面:2d? 时间 t 内,A通过的折线长 tu
以折线为轴的曲折圆柱体积
2dtu ??
圆柱内分子数
2dtun ???
A球心轨迹：折线
质心与折线距离 < d 的
分子将与 A相碰；
质心与折线距离 >d 的
分子将不与 A相碰
单位时间内平均碰撞次数 2dun ??
平均碰撞频率
vdnz 22 ??
一般,1109 s10~10 ?
平均相对速率
vu 2?
A v
?
B
vu 2?
v?A v? B v?
0?u
v?
v?
A B
vu 2?
u?
1) 定义
分子在连续两次碰撞间通过的自由路程的平均值。
2)
2
1
2
v
z dn
?
?
??
pd
kT
22 ?
? ?
n k Tp ?
常温常压下,
m10~10 78 ??
为分子有效直径的数百倍
注意,容器线度很小时，算出的很小，当 ??np
容器线度这时 ??
2.分子平均自由程 ?
练习, P.639 19-18
在气体放电管中，电子不断与气体分子碰撞。因为
电子速率远大于气体分子的平均速率，所以可以认
为气体分子不动。设气体分子的有效直径为 d, 电
子的“有效直径”比起气体分子来可以忽略不计，
求,
1.电子与气体分子的碰撞截面
2,电子与气体分子碰撞的平均自由程
（气体分子数密度为 n ）
1) 碰撞截面
222
4
1
)
2
()( d
d
rRs e ??? ????
2) 设气体分子不动，电子平均速率
ev
单位时间内与电子相碰的气体分子数,
evdnz ???
2
4
?
平均自由程,
2
4
dnz
v e
?
?
?
??
练习, P.639 19-18
4．讨论理想气体的 分子模型 在压强与温度公式推导
、能均分定律和分子平均碰撞自由程中有何区别？
在压强与温度公式的推导中，我们是将气体
分子视为有质量而无大小的质点；
在能均分定律中，我们是将理想气体分子视为
有结构的物体，可以发生转动和振动。
在分子平均碰撞自由程的推导中，我们是将理
想气体视为一有一定大小 (体积 )的刚性小球。
由此可见，对不同的问题，我们采用不同的理
想模型来进行研究，只要抓住问题的本质即可。
