同学们好 ！
o a
U0
x
入射波 +反射波
透射波
U
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达,
“波粒二象性” —— 借用经典语言进行互补性描述。
对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免借
用经典语言引起的表观矛盾。
量子力学 包含一套计算规则及对数学程式的物理解释，
是建立在基本假设之上的构造性理论，其正确性由实
践检验 。
量子力学用 波函数 描述微观粒子的运动状态,波函数所
遵从的方程 —— 薛定谔方程 是量子力学的基本方程。
波函数和薛定谔方程是量子力学的基本假设之一 。
例,一维自由粒子的波函数
经典描述,沿 x 轴匀速直线运动
量子描述,确定，守恒； ??pE ?,
类比,单色平面波
??,一定 沿直线传播
一,物质波的波函数及其统计解释
1,波函数, 描述微观客体的运动状态，是概率波的
数学表达形式。
),,,(),( tzyxtr ?? ?? 一般表示为复指数函数形式
§ 17.3 波函数 薛定谔方程
)(2c o s)(c o s 00
?
?????? xt
u
xt ????
)(2c o s0
ph
x
t
h
E
?? ?? )(
1c o s
0 xpEt x ??? ??
以坐标原点为参考点,
方向传播。沿，波以速率设 xu ?? 0?
)(
0),(
xpEt
i
x
etx
???
? ???
（取实部）
推广, 三维自由粒子波函数 )(
0),(
rpEt
i
etr
??
??
???
? ??
2,波函数的强度 —— 模的平方
3,波函数的统计解释
光栅衍射 电子衍射
类
比
*2|| ΨΨΨ ??
波函数与其共轭复数的积
例,一维自由粒子,
)(
0
)(
0
*2|),(| xptEh
i
xptEi xx
eΨeΨΨΨtxΨ
??????
???? ?
2
0Ψ?
2
0EI ?
2||ΨI ?
NNhI ?? ? NI ?
I大处 到达光子数多
I小处 到达光子数少
I=0 无光子到达
各光子起点、终点、路
径均不确定
用 I 对屏上光子数分布
作概率性描述
各电子起点、终点、路径
均不确定
2||Ψ用
对屏上电子数分布
作概率性描述
电子到达该处概率大
电子到达该处概率为零
电子到达该处概率小
光栅衍射 电子衍射
VΨNN d||d 2 ???
VN
NΨΨtzyxΨ
d
d*|),,,(| 2
?
???
? t 时刻，出现在空间（ x,y,z）点附近单位体积内的
粒子数与总粒子数之比
? t 时刻，粒子出现在空间（ x,y,z）点附近单位体积
内的概率
? t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
2|),,,(| tzyxΨ 的物理意义,
一般,t 时刻,到达空间 r（ x,y,z） 处某体积 dV内的粒子数
? 物质波的波函数不描述介质中运动
状态（相位）传播的过程,
?,本身，而是有意义的不是 2|| ΨΨ
:|| 2?
概率密度，描述粒子在空间的统计分布
:? 概率幅
注意,
?
描述同一概率波和的相对大小（比值），
在空间各点的绝对大小，而是重要的不是
Ψc Ψ
ΨΨ 22 ||||
遵从叠加原理Ψ
21 ??? ??
212122112212 ****|||| ??????????? ??????????
?
干涉项
4.波函数的归一化条件和标准条件
粒子在整个空间出现的概率为 1
1
d
d
d
d
d||
2
?????
?
?? N
N
N
N
V
VN
N
V
VV
?
? 归一化条件
对微观客体的量子力学描述,
脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的
表观矛盾，将波粒二象性统一到一起。
。是单值、有限、连续的Ψ
? 标准条件
二、薛定谔方程,
,量子力学的基本方程—所遵从的方程是波函数 Ψ
是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1,建立 （简单 → 复杂,特殊 → 一般）
? 一维自由粒子的振幅方程
tEitEixpixptEi
exeeΨeΨtxΨ xx ????
???????
????? )(),( 0
)(
0 ?
式中,
xpi x
ex
?
? ?0)( ??
振幅函数
与驻波类比
2*
**2
|)(|)()(
)()(|),(|
xxx
exexΨΨtxΨ
tE
i
tE
i
???
??
???
????
?
??
tEi
extxΨ ??
?
?? )(),( ?
要求波函数 Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数 ?(x)的模方。
? 建立关于振幅函数 ?(x)的方程 —— 振幅方程
)(
d
)(d
0 xp
i
ep
i
x
x
x
xp
i
x
x ???
??
? ??
)(
d
)(d
2
2
2
2
x
p
x
x x
?
?
?
?
?
*
xpi x
ex
?
? ?0)( ??
振幅函数
非相对论考虑
自由粒子,
m
p
mvEE xx
22
1 22
k ???
mEp x 22 ?
0?U势函数
)(
d
)(d
2
2
2
2
x
p
x
x x
?
?
?
?
?
* 代入
得
0)(2
d
)(d
22
2
?? xmE
x
x ??
?
即 一维自由粒子的振幅方程
? 一维定态薛定谔方程
)(2
2
2
2
pk
UEmp
U
m
p
EEE
x
x
??
????
粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
0)()(
2
d
)(d
22
2
??? xUE
m
x
x
?
?
?
即 一维定态薛定谔方程
得
)(
d
)(d
2
2
2
2
x
p
x
x x
?
?
?
?
?
* 代入
? 三维定态薛定谔方程
0)(
2
22
2
2
2
2
2
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
UE
m
zyx ?
拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
?
?
?
?
?
?
?
??
0),,()(2),,( 22 ???? zyxUEmzyx ??
?
即 三维定态薛定谔方程
),,( zyx?? ?
振幅函数
? 一般形式薛定谔方程
),,,( tzyx?? ?
哈密顿算符
U
m
???? 2
2
2
H?
?
t
i
?
?
?
?
? ?H?
本课程只要求定态问题,
一维,
三维,
0)(2
d
d
22
2
??? ?? UEm
x ?
0)(2 22 ???? ?? UEm
?
求解问题的思路,
1,写出具体问题中势函数 U(r)的形式代入方程
2,用分离变量法求解
3,用归一化条件和标准条件确定积分常数
只有 E取某些特定值时才有解
本征值 本征函数
4,讨论解的物理意义,
即求 |? |2,得出粒子在空间的概率分布。
§ 17.4 薛定谔方程应用举例 (一维问题 )
一、一维无限深势阱
模型的建立,微观粒子被局限于某区域中，并在该
区域内可以自由运动的问题 ?? 简化模型。
例如,金属中自由电子
简
化
受规则排列的晶格点阵作用
相互碰撞 (简化：交换动量 )
只考虑边界上突然升高的势
能墙的阻碍 —— 势阱
认为金属中自由电子不能逸出表面
—— 无限深势阱
可解释金属导热、导电、顺磁性 …..,
U
o a
U
o a
? U
1,写出具体问题中势函数 U(r)的形式，代入一维定态
薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。
求解问题的步骤,
U(x) = 0 (0 < x < a)
? ? ?axx ??,0
势函数
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
0)(
2
d
d
22
2
??? ?
?
UE
m
x ?
o a
? U 设粒子在一维无限深势阱运动
x
得本问题中的薛定谔方程,
0 < x < a
0
2
d
d
22
2
?? ?
?
E
m
x ?
0?? （粒子不能逸出势阱）
axx ??,0
? ? 02
d
d
22
2
???? ?
?
E
m
x ?
o a
? U
x
2,求解波函数
kxBkxAx co ss i n)( ???通解,
? ?axmE
x
???? 00
2
d
d
22
2
?
?
?
令
2
2 2
?
mE
k ?
得
0
d
d 2
2
2
?? ?
?
k
x
由
积分常数
x
a
nAx ?? s i n)( ?,.,.)3,2,1( ?n
0)( ?a?由
得
0s in ?kaA
a
n
k
?
? )3,2,1( ??n
3,用归一化条件和标准条件确定积分常数
kxBkxAx co ss i n)( ???通解,
00 ?）（由 ?
得 B = 0
kxAx s i n)( ??
0)()0( ?? a??
由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件,
o a
? U
x
Et
i
e
a
xn
a
txΨ ?
?
??
?
s i n
2
),( )3,2,1( ??n
注意,解为 驻波 形式
于是,
a
xn
a
x
?
? s i n
2
)( ?,.,.)3,2,1( ?n
x
a
n
Ax
?
? s i n)( ?,.,.)3,2,1( ?n
由归一化条件
1d|| 2 ??
?
??
x?
1ds i nd 2
0
2* ???
??
?
??
x
a
xn
Ax
a ?
??
a
A
2
?
4.讨论 解的物理意义
1) 无限深势阱中粒子的能量量子化
,1 即零点能最小能量 E
满足不确定关系 粒子不可能静止不动,
2
2 2
?
mEk ?
a
nk ??
由
得
,...)3,2,1( ?n
1
2
2
22222
22
En
ma
n
m
k
E ???
?? ?
式中
2
22
1 2 maE
??
?
1
2 EnE 只能取一系列分离值
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
? ? 2
22
1 212 manEEE nn
??
????? ?
由
,...)3,2,1( ?n
1
2
2
22222
22
En
ma
n
m
k
E ???
?? ?
022 ????? Ema ?
回到经典情况，能量连续。
???? En
???? Ea
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
2) 粒子在势阱中的概率分布
经典,势阱中 U = 0,粒子匀速直线运动
粒子在势阱内各处出现的概率相等
量子,
振幅函数
a
xn
a
x ?? s i n2)( ?
波函数
Et
i
e
a
xn
a
tx ?
?
?
?
? s i n
2
),(
概率密度
a
xn
a
xtxΨ ?? 222 s i n2|)(||),(| ??
,...)3,2,1( ?n
波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒
子出现的概率不相同。
Et
i
e
a
xn
a
txΨ ?
?
?
?
s i n
2
),(
a
xn
a
xtxΨ
?
? 222 s i n
2
|)(||),(| ??
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE ?
13 9 EE ?
14 16 EE ?
? ?txΨ,? ? 2x?
x
粒子不能逸出势阱，两端为波节,0|| 2 ?Ψ
归一化条件，曲线下面积相等
阱内各位置粒子出现概率不同,2||Ψ 峰值处较大
能级越高，驻波波长越短，峰值数增多
经典相同，量子 ?2|| Ψ
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE ?
13 9 EE ?
14 16 EE ?
? ?txΨ,? ?2x?
x
练习, 粒子在宽度为 a的一维无限深势阱中运动，处于
n=1状态,
。区间发现该粒子的概率求在
4
~0 a
解,
a
x
a
?? 22 s i n2|| ?
)d(s i n
2 24
0
a
x
a
xa
a
a
??
??
?
2
4
0
1008.9)
2
s i n
4
12
1
(
2 ?
????
a
a
x
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x
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?
?
xp
a
d||
4
0
2
?? ? xa
x
a
a
ds i n
2 24
0
?
??
解,由归一化条件
1
30
1
d)(d|| 5222
0
2
0
2 ???? ?? LcxxLxcx
LL
?
得
5
30
L
c ? )(30
5 xLxL ???
21.0
81
17
d)(
30
d|| 22
3
0
5
3
0
2 ?????
?? xxLxLxp
LL
?
P.574 17-17 已知,
)( xLcx ???
L,无限深势阱宽度,c 待定
求,
区间发现粒子的概率。3~0 L
练习,
1.将此波函数归一化；
2.求出粒子按坐标的概率分布函数；
3.在何处找到粒子的概率最大？
解,1,由归一化条件
1a r c t gd
1
d
1
22
2
22
???
?
?
?
?
??
?
??
?
??
? ? ?AxAxx
A
x
ix
A
得,
?
1
?A
? ?
? ?ix
x
?
?
1
1
?
?
练习,
设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ? ?
ix
Ax
?
?
1
?P.574
17-17
2,概率密度为,
3,令,
? ? 0
d
d 2 ?x
x
?
得,
0?x
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
? ?
? ? ? ?2
2
2
1
1
1
1
d xix
x
x
p
?
?
?
??
??
?
o a
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入射波 +反射波
透射波
U
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切表达,
“波粒二象性” —— 借用经典语言进行互补性描述。
对微观客体的数学描述可以脱离日常生活经验，避免借
用经典语言引起的表观矛盾。
量子力学 包含一套计算规则及对数学程式的物理解释，
是建立在基本假设之上的构造性理论，其正确性由实
践检验 。
量子力学用 波函数 描述微观粒子的运动状态,波函数所
遵从的方程 —— 薛定谔方程 是量子力学的基本方程。
波函数和薛定谔方程是量子力学的基本假设之一 。
例,一维自由粒子的波函数
经典描述,沿 x 轴匀速直线运动
量子描述,确定，守恒； ??pE ?,
类比,单色平面波
??,一定 沿直线传播
一,物质波的波函数及其统计解释
1,波函数, 描述微观客体的运动状态，是概率波的
数学表达形式。
),,,(),( tzyxtr ?? ?? 一般表示为复指数函数形式
§ 17.3 波函数 薛定谔方程
)(2c o s)(c o s 00
?
?????? xt
u
xt ????
)(2c o s0
ph
x
t
h
E
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1c o s
0 xpEt x ??? ??
以坐标原点为参考点,
方向传播。沿，波以速率设 xu ?? 0?
)(
0),(
xpEt
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x
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???
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（取实部）
推广, 三维自由粒子波函数 )(
0),(
rpEt
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??
??
???
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2,波函数的强度 —— 模的平方
3,波函数的统计解释
光栅衍射 电子衍射
类
比
*2|| ΨΨΨ ??
波函数与其共轭复数的积
例,一维自由粒子,
)(
0
)(
0
*2|),(| xptEh
i
xptEi xx
eΨeΨΨΨtxΨ
??????
???? ?
2
0Ψ?
2
0EI ?
2||ΨI ?
NNhI ?? ? NI ?
I大处 到达光子数多
I小处 到达光子数少
I=0 无光子到达
各光子起点、终点、路
径均不确定
用 I 对屏上光子数分布
作概率性描述
各电子起点、终点、路径
均不确定
2||Ψ用
对屏上电子数分布
作概率性描述
电子到达该处概率大
电子到达该处概率为零
电子到达该处概率小
光栅衍射 电子衍射
VΨNN d||d 2 ???
VN
NΨΨtzyxΨ
d
d*|),,,(| 2
?
???
? t 时刻，出现在空间（ x,y,z）点附近单位体积内的
粒子数与总粒子数之比
? t 时刻，粒子出现在空间（ x,y,z）点附近单位体积
内的概率
? t 时刻，粒子在空间的概率密度分布
2|),,,(| tzyxΨ 的物理意义,
一般,t 时刻,到达空间 r（ x,y,z） 处某体积 dV内的粒子数
? 物质波的波函数不描述介质中运动
状态（相位）传播的过程,
?,本身，而是有意义的不是 2|| ΨΨ
:|| 2?
概率密度，描述粒子在空间的统计分布
:? 概率幅
注意,
?
描述同一概率波和的相对大小（比值），
在空间各点的绝对大小，而是重要的不是
Ψc Ψ
ΨΨ 22 ||||
遵从叠加原理Ψ
21 ??? ??
212122112212 ****|||| ??????????? ??????????
?
干涉项
4.波函数的归一化条件和标准条件
粒子在整个空间出现的概率为 1
1
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2
?????
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? 归一化条件
对微观客体的量子力学描述,
脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的
表观矛盾，将波粒二象性统一到一起。
。是单值、有限、连续的Ψ
? 标准条件
二、薛定谔方程,
,量子力学的基本方程—所遵从的方程是波函数 Ψ
是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。
1,建立 （简单 → 复杂,特殊 → 一般）
? 一维自由粒子的振幅方程
tEitEixpixptEi
exeeΨeΨtxΨ xx ????
???????
????? )(),( 0
)(
0 ?
式中,
xpi x
ex
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? ?0)( ??
振幅函数
与驻波类比
2*
**2
|)(|)()(
)()(|),(|
xxx
exexΨΨtxΨ
tE
i
tE
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?
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要求波函数 Ψ(x,t)的模方，只需求振幅函数 ?(x)的模方。
? 建立关于振幅函数 ?(x)的方程 —— 振幅方程
)(
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2
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*
xpi x
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振幅函数
非相对论考虑
自由粒子,
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1 22
k ???
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0?U势函数
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* 代入
得
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即 一维自由粒子的振幅方程
? 一维定态薛定谔方程
)(2
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粒子在力场中运动，且势能不随时间变化
0)()(
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即 一维定态薛定谔方程
得
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* 代入
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拉普拉斯算符
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0),,()(2),,( 22 ???? zyxUEmzyx ??
?
即 三维定态薛定谔方程
),,( zyx?? ?
振幅函数
? 一般形式薛定谔方程
),,,( tzyx?? ?
哈密顿算符
U
m
???? 2
2
2
H?
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t
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本课程只要求定态问题,
一维,
三维,
0)(2
d
d
22
2
??? ?? UEm
x ?
0)(2 22 ???? ?? UEm
?
求解问题的思路,
1,写出具体问题中势函数 U(r)的形式代入方程
2,用分离变量法求解
3,用归一化条件和标准条件确定积分常数
只有 E取某些特定值时才有解
本征值 本征函数
4,讨论解的物理意义,
即求 |? |2,得出粒子在空间的概率分布。
§ 17.4 薛定谔方程应用举例 (一维问题 )
一、一维无限深势阱
模型的建立,微观粒子被局限于某区域中，并在该
区域内可以自由运动的问题 ?? 简化模型。
例如,金属中自由电子
简
化
受规则排列的晶格点阵作用
相互碰撞 (简化：交换动量 )
只考虑边界上突然升高的势
能墙的阻碍 —— 势阱
认为金属中自由电子不能逸出表面
—— 无限深势阱
可解释金属导热、导电、顺磁性 …..,
U
o a
U
o a
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1,写出具体问题中势函数 U(r)的形式，代入一维定态
薛定谔方程的一般形式，得本问题中的薛定谔方程。
求解问题的步骤,
U(x) = 0 (0 < x < a)
? ? ?axx ??,0
势函数
代入一维定态薛定谔方程的一般形式
0)(
2
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2
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UE
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? U 设粒子在一维无限深势阱运动
x
得本问题中的薛定谔方程,
0 < x < a
0
2
d
d
22
2
?? ?
?
E
m
x ?
0?? （粒子不能逸出势阱）
axx ??,0
? ? 02
d
d
22
2
???? ?
?
E
m
x ?
o a
? U
x
2,求解波函数
kxBkxAx co ss i n)( ???通解,
? ?axmE
x
???? 00
2
d
d
22
2
?
?
?
令
2
2 2
?
mE
k ?
得
0
d
d 2
2
2
?? ?
?
k
x
由
积分常数
x
a
nAx ?? s i n)( ?,.,.)3,2,1( ?n
0)( ?a?由
得
0s in ?kaA
a
n
k
?
? )3,2,1( ??n
3,用归一化条件和标准条件确定积分常数
kxBkxAx co ss i n)( ???通解,
00 ?）（由 ?
得 B = 0
kxAx s i n)( ??
0)()0( ?? a??
由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件,
o a
? U
x
Et
i
e
a
xn
a
txΨ ?
?
??
?
s i n
2
),( )3,2,1( ??n
注意,解为 驻波 形式
于是,
a
xn
a
x
?
? s i n
2
)( ?,.,.)3,2,1( ?n
x
a
n
Ax
?
? s i n)( ?,.,.)3,2,1( ?n
由归一化条件
1d|| 2 ??
?
??
x?
1ds i nd 2
0
2* ???
??
?
??
x
a
xn
Ax
a ?
??
a
A
2
?
4.讨论 解的物理意义
1) 无限深势阱中粒子的能量量子化
,1 即零点能最小能量 E
满足不确定关系 粒子不可能静止不动,
2
2 2
?
mEk ?
a
nk ??
由
得
,...)3,2,1( ?n
1
2
2
22222
22
En
ma
n
m
k
E ???
?? ?
式中
2
22
1 2 maE
??
?
1
2 EnE 只能取一系列分离值
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
? ? 2
22
1 212 manEEE nn
??
????? ?
由
,...)3,2,1( ?n
1
2
2
22222
22
En
ma
n
m
k
E ???
?? ?
022 ????? Ema ?
回到经典情况，能量连续。
???? En
???? Ea
E
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
2) 粒子在势阱中的概率分布
经典,势阱中 U = 0,粒子匀速直线运动
粒子在势阱内各处出现的概率相等
量子,
振幅函数
a
xn
a
x ?? s i n2)( ?
波函数
Et
i
e
a
xn
a
tx ?
?
?
?
? s i n
2
),(
概率密度
a
xn
a
xtxΨ ?? 222 s i n2|)(||),(| ??
,...)3,2,1( ?n
波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒
子出现的概率不相同。
Et
i
e
a
xn
a
txΨ ?
?
?
?
s i n
2
),(
a
xn
a
xtxΨ
?
? 222 s i n
2
|)(||),(| ??
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE ?
13 9 EE ?
14 16 EE ?
? ?txΨ,? ? 2x?
x
粒子不能逸出势阱，两端为波节,0|| 2 ?Ψ
归一化条件，曲线下面积相等
阱内各位置粒子出现概率不同,2||Ψ 峰值处较大
能级越高，驻波波长越短，峰值数增多
经典相同，量子 ?2|| Ψ
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
o a
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
x
1E
12 4 EE ?
13 9 EE ?
14 16 EE ?
? ?txΨ,? ?2x?
x
练习, 粒子在宽度为 a的一维无限深势阱中运动，处于
n=1状态,
。区间发现该粒子的概率求在
4
~0 a
解,
a
x
a
?? 22 s i n2|| ?
)d(s i n
2 24
0
a
x
a
xa
a
a
??
??
?
2
4
0
1008.9)
2
s i n
4
12
1
(
2 ?
????
a
a
x
a
x
?
?
?
xp
a
d||
4
0
2
?? ? xa
x
a
a
ds i n
2 24
0
?
??
解,由归一化条件
1
30
1
d)(d|| 5222
0
2
0
2 ???? ?? LcxxLxcx
LL
?
得
5
30
L
c ? )(30
5 xLxL ???
21.0
81
17
d)(
30
d|| 22
3
0
5
3
0
2 ?????
?? xxLxLxp
LL
?
P.574 17-17 已知,
)( xLcx ???
L,无限深势阱宽度,c 待定
求,
区间发现粒子的概率。3~0 L
练习,
1.将此波函数归一化；
2.求出粒子按坐标的概率分布函数；
3.在何处找到粒子的概率最大？
解,1,由归一化条件
1a r c t gd
1
d
1
22
2
22
???
?
?
?
?
??
?
??
?
??
? ? ?AxAxx
A
x
ix
A
得,
?
1
?A
? ?
? ?ix
x
?
?
1
1
?
?
练习,
设粒子沿 x 方向运动，其波函数为 ? ?
ix
Ax
?
?
1
?P.574
17-17
2,概率密度为,
3,令,
? ? 0
d
d 2 ?x
x
?
得,
0?x
即在 x = 0 处粒子的概率密度最大。
? ?
? ? ? ?2
2
2
1
1
1
1
d xix
x
x
p
?
?
?
??
??
?
