同学们好！
一、简谐振动 (simple harmonic vibration )的基本特征
kx
t
x
mmaF -=
d
d
== 2
2
§ 13.1 简谐振动
令 2??
m
k 得
0
d
d 2
2
2
?? x
t
x
?*
线性微分方程
1,理想模型：弹簧振子
弹簧的弹力 kxF -=
根据牛顿第二定律有
或 )s in ( ?? ?? tAx
求解得运动方程,
)c o s ( 0?? ?? tAx
0,?A
为积分常数
x可代表任意物理量
任何物理量 x 的变化规律若满足方程式,
并且 ω是决定于系统自身的常量，则其运动方程可用
时间 t 的正、余弦函数形式描述，则该物理量的变化
过程就是简谐振动。
0
d
d 2
2
2
?? x
t
x ?
简谐振动,物体所受回复力与位移之间的关系满足
称物体所作的运动为简谐振动
kxF ??
3,
2
2
d
d,
d
d,
t
x
t
xx 均随时 A间周期性变
化
由
)c o s ( 0?? ?? tAx 得
)c o s (
d
d
)s i n (
d
d
0
2
2
2
0
???
???
????
????
tA
t
x
a
tA
t
x
v
?
?0?
二、描述简谐振动的特征量
2,周期和频率
周期 T 振动物体完成一次振动所需的时间
频率 n 振动物体在 1 秒内所完成振动的次数
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
固有角频率
?1,角频率,
mk??
? ---- 描述谐振运动的快慢
?
?2?T ?
?n
2
1 ??
T
在 SI制中,单位分别为 周期 S (秒 )、频率 Hz (赫
兹 )、角频率 rad·s-1 (弧度 / 秒 )
振动物体离开平衡位
置的最大幅度在 SI制中，
单位为 m(米 )
3,振幅 A,
|| m a xxA ?
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
解得
2
2
02
0
?
v
xA ??
2
2
2
?
v
x ??
由
在 t = 0 时刻
00
00
s in
co s
??
?
Av
Ax
??
?
)s i n (
)c o s (
0
0
???
??
???
??
tAv
tAx
(1)
与状态参量)( 0?? ?t x,v有一一对应的关系
)s i n ();c o s ( 00 ????? ????? tAvtAx
*4,相位 ?t + ?0,初相 ?0
相位是描述振动状态的物理量
可用以方便地比较同频率谐振动的步调
初相,
0?
描述 t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
00
00
s in
co s
??
?
Av
Ax
??
?
)(a r c t g
0
0
0 x
v
?
? ??
或
?
?
?
A
v
A
x
0
0
0
0
s in
c os
?
?
?
000 s i nc o s ??? 的符号决定大小和由
三, 旋转矢量法 (几何表示方法 )
x
y
o
m A
?
0?
简谐振动可以用旋转矢量来描绘
t=0时刻,投影点位移 ?c o s0 Ax ?
在任意时刻,投影点的位移
)c o s ( ?? ?? tAx
由 x,v 的符号确定 所在 的象限,A?
四, 孤立 谐振动系统的能量
)(s i n
2
1)(s i n
2
1
2
1
0
22
0
2222
k ????? ????? tkAtmAmvE
恒量???? 2
2
1
kAEEE kp
孤立谐振动系统机械能守恒
?水平放置的弹簧振子
{
)s i n (
)c o s (
0
0
???
??
???
??
tAv
tAx以平衡位置为坐标原点
)(c o s
2
1
2
1
0
222
p ?? ??? tkAkxΕ
由以上两式可见,当位移最
大时，速度为零，动能也为
零，而势能达到最大值；当
在平衡位置时，势能为零，
而速度为最大值，所以动能
也达到最大值。
由公式
E mv k x kA? ? ?1
2
1
2
1
2
2 2 2
得
v
k
m
A x A x? ? ? ? ? ?( )2 2 2 2?
此式表明,在平衡位置处,x
= 0,速度为最大；在最大位
移处,x = ? A,速度为零 。
§ 13.2 摆动 混沌现象
研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆
??? mlmaF ??
2
2
d
d
s i n
t
mlmg
?
? ??
切向运动方程
0s i n
d
d
2
2
?? ??
l
g
t
一、单摆,无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动
l
m
建立如图自然坐标
受力分析如图
?
n ?
N
mg
0s i n
d
d
2
2
?? ??
l
g
t
0s in
d
d 2
2
2
?? ???
t
???????
!5!3
s in
53 ??
??
单摆运动的微分方程
非线性微分方程
无解析解
令
l
g?2? 得,
? 很小时当 ? ?? ?sin
0
d
d 2
2
2
?? ???
t
角谐振动
g
l
T ?
?
?
2
2
??
)c o s (m ???? ?? t
由初始条件决定
运动
方程,
周期,
二、复摆,绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体
由刚体定轴转动定律
?JM ?
2
2
d
d
s i n
t
Jm g h
?
? ??
0s i n
d
d
2
2
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J
m g h
t
令
J
m g h?2?
0s i n
d
d 2
2
2
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?
t
—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
mg
J
C
o
h
?
? 很小时当 ? ?? ?sin
0
d
d 2
2
2
?? ???
t
角谐振动
由小角度摆动都是谐振动，可推广到
一切微振动均可用谐振动模型处理。 例如晶体中原子
或离子在晶格点平衡位置附近的振动。
m g h
J
T ?
?
?
2
2
??)c o s (m ???? ?? t
由初始条件决定
运动
方程,
周期,
大角度摆动不是谐振动！
大多数非线性系统都会出现“混沌”现象。
非线性系统（描述系统运动状态的方程为非线
性方程），当其非线性程度足够高时，系统将出现
混沌状态。
四、混沌
运动方程是完全确定的（ 非线性微分方程 ）由
方程自身演化出来,
决定性动力学系统中出现的貌似随机的运动。
在一定条件下行为不完全确定（内在随机性）
取决于初始条件的细微差别
例 1,任意摆角的无阻尼单摆
系统运动的描述 (微分方程 )完全确定
系统运行中一定条件下 ( ? ? ? )
出现随机性状态
0s i n2 ?? ??? ??
例 2,湍流
雷诺实验
流速达一定值 层流 湍流
例 2,湍流
多节摆（演示） 例 5,
水流速较高时，滴水间隔时间出现混沌。
例 4,滴水龙头
2,混沌的特征和意义
世界本质上是非线性的，线性系统只是理想
模型。混沌是自然界的普遍现象。
物理、化学、生物、气象、农业、工程、经济 …..,
无所不在 （稳定与突变）
(1) 普遍性
(2) 对初始条件的极端敏感
混沌的发现
1963年：美国气象学家 洛仑兹 研究天气预报
构建大气动力学模型
系统状态
演变对初值极
端敏感，由于
实际上对初值
的测量不可能
绝对精确，这
种不确定性在
一定条件下被
放大，导致不
可预测的结果
—— 蝴蝶效应
。
推荐读物,
1,梁美灵、王则柯,
童心与发现 —— 混沌与均衡纵横谈
（三联书店,1996）
2,（美）米歇尔 ·沃尔德罗普,
复杂 —— 诞生与秩序与混沌边沿的科学
（ 三联书店,1997）
练习 1,
1,宇航员在月球表面用一轻弹簧秤称岩石样品，此
弹簧秤在 10cm长的刻度尺上读数从 0 —— 10N,他称
一块月球岩石时读数为 4N,让岩石上下自由振动时的
周期为 0.98s，试由此估算月球表面的重力加速度。
解,
m
k
T
kxmg
x
?
?
?
?
?
?
?2
m04.0
0
0
问题,用竖直悬挂的弹簧振子测重力加速度
2
2
2
2
0
2
20
98.0
404.04
)
2
(
??
??
?
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???
T
xg
g
Tg
k
mg
x
2ms64.1 ??
练习 2
2,图中水平面光滑。两弹簧完全相同，
且最初处于原长状态。令 m沿水平面振动，
经过平衡位置 O时，另一质点 M恰自由落
下粘在 m上，求 M粘上前后，振动系统 角
频率比 及 振幅比 。
M
m k k
x
O
解,粘上 M以前
运动微分方程
2
2
d
d
22
t
x
mkxFF x ???? 0
2
d
d
2
2
?? x
m
k
t
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系统作简谐振动
m
k2
1 ??粘上 M以后
Mm
k
?
? 22?
m
mM ?
?
2
1
?
?
m
k k
x
O
F
F
M与 m粘接过程水平方向动量守恒
21 )( vMmmv ??
12 vMm
m
v
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11m a x1 ?Avv ??
1
1
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v
A ?
2
2
2
?
v
A ?同理：
m
mM
v
v
A
A ?
???
1
2
2
1
2
1
?
?
设粘上 M前,m经过平衡位置 O时的速率为 v1
设粘上 M后,(M+m)经过平衡位置 O时的速率为 v2
思考和讨论,
21
21
kk
kk
k
?
?
串
)
111
(
21 kkk
??
21 kkk ??并
（ 1） 如果 M是在 m运动到最大位移处，垂直落在 m上
的，情况如何？
（ 2） 如果两弹簧串接在一起，再联结 m，情况又如何？
k
m
k1 k2
x
O
m k x
练习 3 为减小安装在楼板上的空调鼓风机引起的震
动，将鼓风机安装在有 4个弹簧的底座上。设鼓风机和
底座的总质量为 576 kg,鼓风机转速为 1800r?min-1 。
经验指出，驱动频率为振动系统固有频率 5倍时，可减
震 90%以上。若按 5倍计算，所用每个弹簧的劲度系数
应多大？
解,驱动频率 Hz30m i nr1800 -1 ???
dn
并联弹簧等效劲度系数
振动系统固有频率
????
?
n m
k
m
k
m
k 11
0
0
2
4
22
????
由,
?
nn m
k
d
1
0
5
5 ?? 得,1-522
1 mN1005.225 ????
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一、简谐振动 (simple harmonic vibration )的基本特征
kx
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§ 13.1 简谐振动
令 2??
m
k 得
0
d
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2
2
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线性微分方程
1,理想模型：弹簧振子
弹簧的弹力 kxF -=
根据牛顿第二定律有
或 )s in ( ?? ?? tAx
求解得运动方程,
)c o s ( 0?? ?? tAx
0,?A
为积分常数
x可代表任意物理量
任何物理量 x 的变化规律若满足方程式,
并且 ω是决定于系统自身的常量，则其运动方程可用
时间 t 的正、余弦函数形式描述，则该物理量的变化
过程就是简谐振动。
0
d
d 2
2
2
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x ?
简谐振动,物体所受回复力与位移之间的关系满足
称物体所作的运动为简谐振动
kxF ??
3,
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d,
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xx 均随时 A间周期性变
化
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二、描述简谐振动的特征量
2,周期和频率
周期 T 振动物体完成一次振动所需的时间
频率 n 振动物体在 1 秒内所完成振动的次数
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
固有角频率
?1,角频率,
mk??
? ---- 描述谐振运动的快慢
?
?2?T ?
?n
2
1 ??
T
在 SI制中,单位分别为 周期 S (秒 )、频率 Hz (赫
兹 )、角频率 rad·s-1 (弧度 / 秒 )
振动物体离开平衡位
置的最大幅度在 SI制中，
单位为 m(米 )
3,振幅 A,
|| m a xxA ?
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
解得
2
2
02
0
?
v
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2
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由
在 t = 0 时刻
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s in
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0
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(1)
与状态参量)( 0?? ?t x,v有一一对应的关系
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*4,相位 ?t + ?0,初相 ?0
相位是描述振动状态的物理量
可用以方便地比较同频率谐振动的步调
初相,
0?
描述 t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
00
00
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co s
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000 s i nc o s ??? 的符号决定大小和由
三, 旋转矢量法 (几何表示方法 )
x
y
o
m A
?
0?
简谐振动可以用旋转矢量来描绘
t=0时刻,投影点位移 ?c o s0 Ax ?
在任意时刻,投影点的位移
)c o s ( ?? ?? tAx
由 x,v 的符号确定 所在 的象限,A?
四, 孤立 谐振动系统的能量
)(s i n
2
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kAEEE kp
孤立谐振动系统机械能守恒
?水平放置的弹簧振子
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tAx以平衡位置为坐标原点
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由以上两式可见,当位移最
大时，速度为零，动能也为
零，而势能达到最大值；当
在平衡位置时，势能为零，
而速度为最大值，所以动能
也达到最大值。
由公式
E mv k x kA? ? ?1
2
1
2
1
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得
v
k
m
A x A x? ? ? ? ? ?( )2 2 2 2?
此式表明,在平衡位置处,x
= 0,速度为最大；在最大位
移处,x = ? A,速度为零 。
§ 13.2 摆动 混沌现象
研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆
??? mlmaF ??
2
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d
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t
mlmg
?
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切向运动方程
0s i n
d
d
2
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t
一、单摆,无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动
l
m
建立如图自然坐标
受力分析如图
?
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N
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0s i n
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!5!3
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53 ??
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单摆运动的微分方程
非线性微分方程
无解析解
令
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? 很小时当 ? ?? ?sin
0
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角谐振动
g
l
T ?
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由初始条件决定
运动
方程,
周期,
二、复摆,绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体
由刚体定轴转动定律
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—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
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0
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2
2
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t
角谐振动
由小角度摆动都是谐振动，可推广到
一切微振动均可用谐振动模型处理。 例如晶体中原子
或离子在晶格点平衡位置附近的振动。
m g h
J
T ?
?
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2
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由初始条件决定
运动
方程,
周期,
大角度摆动不是谐振动！
大多数非线性系统都会出现“混沌”现象。
非线性系统（描述系统运动状态的方程为非线
性方程），当其非线性程度足够高时，系统将出现
混沌状态。
四、混沌
运动方程是完全确定的（ 非线性微分方程 ）由
方程自身演化出来,
决定性动力学系统中出现的貌似随机的运动。
在一定条件下行为不完全确定（内在随机性）
取决于初始条件的细微差别
例 1,任意摆角的无阻尼单摆
系统运动的描述 (微分方程 )完全确定
系统运行中一定条件下 ( ? ? ? )
出现随机性状态
0s i n2 ?? ??? ??
例 2,湍流
雷诺实验
流速达一定值 层流 湍流
例 2,湍流
多节摆（演示） 例 5,
水流速较高时，滴水间隔时间出现混沌。
例 4,滴水龙头
2,混沌的特征和意义
世界本质上是非线性的，线性系统只是理想
模型。混沌是自然界的普遍现象。
物理、化学、生物、气象、农业、工程、经济 …..,
无所不在 （稳定与突变）
(1) 普遍性
(2) 对初始条件的极端敏感
混沌的发现
1963年：美国气象学家 洛仑兹 研究天气预报
构建大气动力学模型
系统状态
演变对初值极
端敏感，由于
实际上对初值
的测量不可能
绝对精确，这
种不确定性在
一定条件下被
放大，导致不
可预测的结果
—— 蝴蝶效应
。
推荐读物,
1,梁美灵、王则柯,
童心与发现 —— 混沌与均衡纵横谈
（三联书店,1996）
2,（美）米歇尔 ·沃尔德罗普,
复杂 —— 诞生与秩序与混沌边沿的科学
（ 三联书店,1997）
练习 1,
1,宇航员在月球表面用一轻弹簧秤称岩石样品，此
弹簧秤在 10cm长的刻度尺上读数从 0 —— 10N,他称
一块月球岩石时读数为 4N,让岩石上下自由振动时的
周期为 0.98s，试由此估算月球表面的重力加速度。
解,
m
k
T
kxmg
x
?
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?
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?2
m04.0
0
0
问题,用竖直悬挂的弹簧振子测重力加速度
2
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20
98.0
404.04
)
2
(
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T
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g
Tg
k
mg
x
2ms64.1 ??
练习 2
2,图中水平面光滑。两弹簧完全相同，
且最初处于原长状态。令 m沿水平面振动，
经过平衡位置 O时，另一质点 M恰自由落
下粘在 m上，求 M粘上前后，振动系统 角
频率比 及 振幅比 。
M
m k k
x
O
解,粘上 M以前
运动微分方程
2
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d
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22
t
x
mkxFF x ???? 0
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2
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系统作简谐振动
m
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Mm
k
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m
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M与 m粘接过程水平方向动量守恒
21 )( vMmmv ??
12 vMm
m
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1
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A ?同理：
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A
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设粘上 M前,m经过平衡位置 O时的速率为 v1
设粘上 M后,(M+m)经过平衡位置 O时的速率为 v2
思考和讨论,
21
21
kk
kk
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串
)
111
(
21 kkk
??
21 kkk ??并
（ 1） 如果 M是在 m运动到最大位移处，垂直落在 m上
的，情况如何？
（ 2） 如果两弹簧串接在一起，再联结 m，情况又如何？
k
m
k1 k2
x
O
m k x
练习 3 为减小安装在楼板上的空调鼓风机引起的震
动，将鼓风机安装在有 4个弹簧的底座上。设鼓风机和
底座的总质量为 576 kg,鼓风机转速为 1800r?min-1 。
经验指出，驱动频率为振动系统固有频率 5倍时，可减
震 90%以上。若按 5倍计算，所用每个弹簧的劲度系数
应多大？
解,驱动频率 Hz30m i nr1800 -1 ???
dn
并联弹簧等效劲度系数
振动系统固有频率
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