第 9章 正弦稳态 电路的 分析
2,正弦稳态电路的分析；
3,正弦稳态电路的功率分析；
? 重点：
1,阻抗和导纳；
4,串、并联谐振的概念；
9.1 阻抗和导纳
1,阻抗
正弦激励下 I?
ZU?
+
-
无源
线性
I?
U?
+
-
φZ
I
UZ ???
?
?
||
定义阻抗
iu ??? ??
单位,?I
UZ ? 阻抗模
阻抗角
欧姆定律的
相量形式
当无源网络内为单个元件时有：
RIUZ ?? ??
LjXLjI
UZ ??? ?
?
?
CjXCjI
UZ ????
1
??
?
I?
RU?
+
-
I?
CU?
+
-
I?
LU?
+
-
Z可以是实数，也可以是虚数
2,RLC串联电路
由 KVL,,1j,j.,,,, ICILIRUUUU CLR ????????
IXXjRICLjR CL ?? )]([)]1([ ???????? IjXR ?)( ??
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
??? ???????? ZjXRCjLjRIUZ 1?
?
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ -+ -
RU
,
Z— 复阻抗； R— 电阻 (阻抗的实部 )； X— 电抗 (阻抗的虚部 )；
|Z|— 复阻抗的模； ?— 阻抗角。
关系,
ar c t g
| | 22
??
?
?
?
?
??
R
X
φ
XRZ
或 R=|Z|cos?
X=|Z|sin?
阻抗三角形 |Z|
R
X?
iu
I
U
Z
?????
?
分析 R,L,C 串联电路得出：
（ 1） Z=R+j(?L-1/?C)=|Z|∠ ?为复数，故称复阻抗
（ 2） ?L > 1/?C, X>0,? >0,电路为感性，电压领先电流；
?L<1/?C,X<0,? <0,电路为容性，电压落后电流；
?L=1/?C,X=0,? =0,电路为电阻性，电压与电流同相。
（ 3）相量图,选电流为参考向量，设 ?L > 1/?C
三角形 UR, UX, U 称为电压三
角形，它和阻抗三角形相似。即
CU?
I?RU?
LU?
U?
? UX
22
XR UUU ??
0?i?
例 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103
)60c o s (25
4??
??
f
tu ??
求 i,uR,uL,uC,
解 其相量模型为：
V ?605 ???U
CLRZ ??
1jj ???
Ωjjj 5.56103.01032 34 ?????? ??? L
Ωjπj1j 5.26102.01032 1 64 ????????? ?C?
5.265.5615 jj ??? Ω o4.6354.33 ??
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ -+ -
RU
,
A oo
o
4.3149.04.6354.33 605 ???????
?
?
Z
UI
则 A )4.3(c o s2149.0 o?? ti ω
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
U?
LU?
CU?
I?RU?
? -3.4°
相量图
V oo 4.3235.24.3149.015 ???????? ?? IRU R
V j ooo 4.8642.84.3149.0905.56 ???????? ?? ILU L ?
V C1j ooo 4.9395.34.3149.0905.26 ?????????? ?? IU C ?
V)4.3c o s (22 3 5.2 o?? tωu R
V)6.86c o s (242.8 o?? tωu L
V)4.93c o s (295.3 o?? tωu C
注
3,导纳
正弦激励下
I?
YU?
+
-
无源
线性
I?
U?
+
-
φY
U
IY ????
?
?
||
定义导纳
ui ??? ???
单位,SUIY ? 导纳模
导纳角
Z
Y
Y
Z 1,1 ??
对同一二端网络,
当无源网络内为单个元件时有：
GRUIY ??? 1??
LjBLjU
IY ??? /1 ?
?
?
CjB
Cj
U
I
Y
?
?
?
?
?
?
I?
RU?
+
-
I?
CU?
+
-
I?
LU?
+
-
Y可以是实数，也可以是虚数
4,RLC并联电路
由 KCL,CLR IIII,,,, ???
i
L CRu
iL iC+
-
iL
,
j
,
j
,
UCULUG ?? ??? 1
,
jj UCLG )1( ?? ???, j( UBBG CL )[ ???, j UBG )( ??
,I
j? L,U
LI
,
CI
,
Cωj
1
RI
,
R
+
-
??? ????????? YjBGLjCjGU IY 1?
?
Y— 复导纳； G— 电导 (导纳的实部 )； B— 电纳 (导纳的虚部 )；
|Y|— 复导纳的模； ?'— 导纳角。
关系：
ar c t g'
| | 22
??
?
?
?
?
??
G
B
φ
BGY
或 G=|Y|cos? '
B=|Y|sin? '
导纳三角形 |Y|
G
B
??
ui
U
I
Y
????? ?
?
（ 1） Y=G+j(?C-1/?L)=|Y|∠ ??为复数，故称复导纳；
（ 2） ?C > 1/?L, B>0,? ‘>0,电路为容性，电流超前电压
?C<1/?L, B<0,? ‘<0,电路为感性，电流落后电压；
?C=1/?L, B=0,? ? =0，电路为电阻性,电流与电压同相
（ 3） 相量图：选电压为参考向量，设 ?C < 1/?L,??<0
2222 )(
CLGBG IIIIII ?????
U?
GI,
LI
,
I?
? '
CI
,
0??u
分析 R,L,C 并联电路得出：
三角形 IR, IB,I 称为电流三角
形，它和导纳三角形相似。即
RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象
5,复阻抗和复导纳的等效互换
j φZXRZ ???? ||
一般情况 G?1/R B?1/X。 若 Z为感性，
X>0，则 B<0，即仍为感性。
j '|| φYBGY ?????
BGXR XRXRZY jjj ???????? 2211
2222 XR XBXR RG ??????,φ φZY ??? ',||
1||
注
G jBYZ R jX
同样，若由 Y变为 Z，则有：
',
||
1
||
,
j
j
j
11
||j,'||j
2222
22
φ φ
Z
Y
BG
B
X
BG
G
R
XR
BG
BG
BGY
Z
φZXRZφYBGY
???
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
????????
G jBY Z
R
jX
例 RL串联电路如图，求在 ?＝ 106rad/s时的等效并联电路 。
解 RL串联电路的阻抗为：
??????? 02.501.786050 jjXRZ L
?????? ? 601006.010 36LX L ? 0.06mH
50?
L’R’
Sj
Z
Y
0098.00082.0
2.500128.0
2.501.78
11 0
0
??
????
?
??
???? 1220082.0 11 '' GR
mHL 1 0 2.00 0 9 8.0 1' ?? ?
9.2 阻抗（导纳）的串联和并联
ZIZZZIUUUU nn ???????? ????????? )( 2121
Z
+
-
U?
I?
UZZU ii ?? ?分压公式? ?
? ?
???
n
k
n
k
kkk jXRZZ
1 1
)(
Z1
+
Z2 Zn
－U?
I?
1,阻抗的串联
? ?
? ?
???
n
k
n
k
kkk jBGYY
1 1
)(分流公式 IYYI ii ???
2,导纳的并联
Y1+ Y2 Yn
－U
?
I?
Y
+
-
U?
I?
YUYYYUIIII nn ???????? ????????? )( 2121
两个阻抗 Z1,Z2的并联等效阻抗为：
21
21
ZZ
ZZZ
??
例 求图示电路的等效阻抗, ?＝ 105rad/s 。
解 感抗和容抗为：
???
??
??
??
?
??
100130
100
)100100(100
30
)(
2
2
1
j
jj
jXRjX
jXRjX
RZ
CL
CL
?????? ? 1 0 010110 35LX L ?
?????? ? 1 0 0101.010 11 65CX C ?
1mH
30? 100?
0.1?F
R1
R2
例 图示为 RC选频网络，试求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1 ?
U
U
?
?
-jXC
－
R
－
＋
＋
R uo
u1
-jXC
解 设,Z1=R－ jXC,Z2=R//(-jXC)
21
21
ZZ
ZUU
o ??
??
2
1
2
211 1
Z
Z
Z
ZZ
U
U
o
?????
?
实数?
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
?
C
C
C
CC
C
C
CC
C
RX
XR
j
j R X
RXjXR
j R X
jXR
jXRj R X
jXR
Z
Z
2222
2
2
1
2
2
)(
)(
CXR ? 321
1 ???
oU
U
?
?
9,3 正弦稳态电路的分析
电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Gui
Riu
u
i
,
0,K V L
0,K C L
:
或
元件约束关系
电阻电路
,
0,K V L
0,K C L
:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
UYI
IZU
U
I
或
元件约束关系
正弦电路相量分析
可见, 二者依据的电路定律是相似的 。 只要作出正弦
电流电路的相量模型, 便可将电阻电路的分析方法推广应
用于正弦稳态的相量分析中 。
结论
1,引入相量法, 把求正弦稳态电路微分方程的特解
问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入电路的相量模型, 不必列写时域微分方程,
而直接列写相量形式的代数方程 。
3,引入阻抗以后, 可将所有网络定理和方法都应用
于交流, 直流 （ f =0)是一个特例 。
例 1:
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u Z
1
Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j ?? 1
Lj?
画出电路的相量模型
??????
??
???
?
?
??
?
?
?
?
13.28911.923.7245.303
7.175.1049
901047.318
47.3181000
)47.318(1000
1
)1( 3
1
1
1
j
j
j
C
jR
C
jR
Z
?
?
?
?
?
,/314,100
,10,500,10,1000 21
sr a dVU
FCmHLRR
???
???????
求,各支路电流。
已知：
解
?????? 1 5 71022 jLjRZ
????
??
????
??
?
3.5299.166
13.13211.102
1571013.28911.92
21
j
jj
ZZZ
AZUI ??
???
3.526.03.5299.166 01001 ???? ???
A
j
I
C
jR
CjI ??
?
?? 20181.03.526.0
7.175.1049
47.318
1
1
1
1
2 ???????
?
?
?
?
???
AI
C
jR
RI ??
?
?? 7057.03.526.0
7.175.1049
1000
1 1
1
1
3 ???????
?
?
?
Z1 Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j ?? 1
Lj?
列写电路的回路电流方程和节点电压方程例 2,
解
+_ su
siL R1
R2
R3R
4
C SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
1I?
2I?
4I?
3I?
回路法,
SUIRILjRILjRR ???? ?????? 3221121 )()( ??
0)()( 33112431 ??????? IRILjRILjRRR ??? ??
01)1( 42312332 ?????? ICjIRIRICjRR ???? ??
SII ?? ??4
1nU?
2nU?
3nU?
节点法,
Sn UU ?? ?1
011)111( 3
3
1
2
2
321
?????? nnn URURURRLjR ????
Snnn IUCjURUCjRR
???? ??????
12
3
3
43
1)11( ??
SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
,
45,30
30j,A904
3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
?
?
求：
已知：
ΩΩ
Ω
??
?????
方法一：电源变换
?????? 15153030 )30(30// 31 jjjZZ
解
例 3,Z
2
SI? Z1 ZZ3
I?
S31 )//( IZZ ?
Z2
Z1??Z3
Z
I?
+
-
ZZZZ
ZZII
???
?
231
31// )//(S
?
45301515
)1515(4
???
??
jj
jj
o
o
3 6, 9-5
455, 6 5 7
?
?? A o9.8113.1 ??
方法二：戴维南等效变换
V4586.84
)//(
o
310
??
? ZZIU S??
Zeq
Z
0
?U
? I
+
-
Z2
SI? Z1 Z3 0U?
求开路电压：
求等效电阻：
Ω45j15
// 231
??
?? ZZZZ eq
A9.8113.1
454515
4586.84
o
0
0
??
??
?
?
?
?
jZZ
U
I
??
?
例 4 求图示电路的戴维南等效电路。
603003006030060100200 0111 ?????????? j UIIIU o ?????
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1
4?I
1
?I
50?50? j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1200I?
1
?I
100?
＋ _
解
045230
1
60 ??
?? jU o
?
求短路电流：
SCI?
006.01 0 060 ???SCI?
0
0
0 45250
6.0
45230 ?????
SC
eq I
UZ
?
?
例 5 用叠加定理计算电流 2 ?I
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
?U
+
-
,3050
,3050
A,04
V,451 00,
o
3
o
31
o
S
o
S
Ω
Ω
???
???
??
??
?
Z
ZZ
I
U
?
已知
解,)( )1( SS 短路单独作用 ?? UI
32
3S
2
'
ZZ
ZII
??
??
oo
o
o
30503050
305004
????
????
A3031.2350 30200 o
o
????
32
S
2
''
ZZ
UI
???
?
?
oo
222
1 3 51 5 5.13031.2
'''
?????
?? ??? III
A135155.1350 45100 o
o
??????
A9.1523.1 o???
:)( )2( SS 开路单独作用 ?? IU
'2I"
已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+j?L3。
求,Zx=Rx+j?Lx。
平衡条件, Z1 Z3=Z2 Zx 得
R1(R3+j?L3)=R2(Rx+j ?Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2,Lx=L3 R1/R2
例 6
解
Z1 Z2
Zx Z3
?
|Z1|??1?|Z3|??3 = |Z2|??2?|Zx|??x
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
?1 +?3 = ?2 +?x
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时，问,SUIβ ??
11111S )1( IZIβZIZIZU ????? ?????
例 7
解
? I
1 ?I
1 ?Iβ
Z
Z1
+
_S ?U,90,
o
11
相位差为实部为零
，关系：和分析：找出
转
转
Z
IZUUI SS ???? ?
)10005050(j10410)1( 1
1
S ???????? ββZZβ
I
U
?
?
41 0104 1 0 ???? ββ,令
.90 1 0 0 0j o
1
S 故电流领先电压??
I
U
?
?
I?
已知,U=115V,U1=55.4V,
U2=80V,R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
方法－,画相量图分析 。
例 8
解
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
1U?
LU?
2RU?
2U??
2
U?
?
???? c o s2 2122212 UUUUU
A73.132/4.55/ 11 ??? RUI
LR UUUUUU ?????? ????? 121
?
?1.1 1 54 2 3 7.0c o s ??????
?? 9.641 8 02 ?????
H133.0)2/( 8.41s i n ||
6.19c o s || 2.4673.1/80/||
2222
22222
????
?????
fXLθZX
ZRIUZ
πΩ
ΩΩ ?
方法二、
?? ???????? 1158004.55 021 UUU ???
?? c o s1 1 5c o s804.55 ??
?? s i n1 1 5s i n80 ?
093.64
4 2 4.0c o s
?
?
?
?
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
其余步骤同解法一。
U?
用相量图分析
oo 0~180 为移相角，移相范围θ
例 9 移相桥电路。当 R2由 0??时,?ab 如何变化?U
解
1U?
CU?
CI?
CU??
CI??;,21,,ab2 相位改变不变改变当由相量图可知 UUR ?
当 R2=0,? ?180?；
当 R2 ??,? ?0?。
o oa b
1U?
2U? CU?
CI?
R2R1
R1
+
_U?
abU?
+
-
+
-
+
-
RU?
2U?
RU?
RU??
1
2121
2
,
UUUUUU
U
UUUUU
RabCR
??????
?
?????
????
????
? abU
???
abU??
a
bb
3I?
例 10 图示电路,
。、、、求：
、、、、
212
132
,
520021010
RXXIXR
RVUAIAI
LCL?
?????
R1
R2jXL
+
_
CU?
U?
+ _1 ?I jXC
3
?I
2
?I
解 2RU?
045
CU?
LU?090
2I?
1I?
用相量图分析
AIIII 10451013510210 100321 ????????? ???
VUUUUU CCCR 1501052001 ???????? ???
2752 22 22 ??????? LRRCLRC UUUUUUU ???
??????? 5.7
210
275 15
10
150
2 LC XRX
1RU?
例 11 求 RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
L
+
_Su L
u
+
_
Li
R
解
)c o s (2 uS tUu ?? ??已知：
应用三要素法：
0)0()0( ?? ?? LL ii
iZu ILR
U
LjR
UI ???
??
????
?
?
?
?
22 )(
??
RL??
用相量法求正弦稳态解
? ? ?tLLLL eiiiti ?? ?????? 0)()0()()(
????
t
imimL eItIti
???? c o s)c o s ()(
过渡过程与接入时刻有关
讨论几种情况：
2） 合闸 时 ?i = 0,或 ?
电路直接进入稳态，不产生过渡过程。
1） ?i= ± ?/2
tIi m ?s i n?
则 无暂态分量
?
t
m eIi
" ?? ?
暂态分量
???
t
mim eItIi
)c o s ( ??? ?
?i = ?时波形为
???
t
mm eItIi
)c o s ( ????
iI
m
i?
-Im
i?
T/2 t
i
0
最大电流出现在 t = T/2时刻。
mIi 2m a x ?
9.5 正弦稳态电路的功率
无源一端口网络吸收的功率 ( u,i 关联 )
iu
ΨΨφiuφ
φtIti
tUtu
??
??
?
)c o s (2)(
c o s2)(
的相位差和为
?
?
1,瞬时功率 (instantaneous power)
tUItφUI
φtφUI
φtItUuitp
???
?
??
2s i ns i n)2c o s1(c o s
)]2c o s ([ c o s
)c o s (2c o s2)(
???
???
????
无
源
+
u
i
_
第一种分解方法；
第二种分解方法。
第一种分解方法：
? tO
UIcos? (1＋ cos2? t)
UIsin? sin2? t
第二种分解方法：
? p有时为正,有时为负；
? p>0,电路吸收功率：
? p<0,电路发出功率；
UIcos?(1＋ cos2? t)为不可逆分量 。
UIsin? sin2? t为可逆分量。
? tO
p
i
u UIcos?
UIcos(2? t－ ? )
)]2c o s ([ c o s )( φtφUItp ??? ?
tUItφUItp ??? 2s i ns i n)2c o s1(c o s)( ???
2.平均功率 (average power)P
?? T tpTP 0 d1
? =?u-?i,功率因数角 。 对无源网络, 为其等效
阻抗的阻抗角 。
cos ?,功率因数。
P 的单位,W（瓦）
? ??? T ttUIUIT 0 d)]c o s (c o s[1 ???
φUI c o s? φUIP c o s?
一般地,有 0??cos???1
X>0,? >0,感性 X<0,? <0,容性
cos? 1,纯电阻
0,纯电抗
平均功率实际上是电阻消耗的功率, 亦称为有功功率 。
表示电路实际消耗的功率, 它不仅与电压电流有效值有关,
而且与 cos?有关, 这是交流和直流的很大区别,主要由
于电压, 电流存在相位差 。
22 c o sc o s RIZIφUIP ??? ?
4,视在功率 S
反映电气设备的容量。
3,无功功率 (reactive power) Q
φUIQ s i nd e f?
表示交换功率的最大值，单位, var (乏 )。
Q>0，表示网络吸收无功功率； Q<0，表示网络发出无功功率
Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件 L、
C的性质决定的
)( VA, d e f 伏安单位UIS ?
22 s i ns i n XIZIφUIQ ??? ?
有功，无功，视在功率的关系：
有功功率, P=UIcos? 单位,W
无功功率, Q=UIsin? 单位,var
视在功率, S=UI 单位,VA
22 QPS ??
?
S
P
Q ?Z
R
X ?U
UR
UX R X+
_
+ _
o
o
+
_U?
RU?
XU?
功率三角形 阻抗三角形 电压三角形
电压、电流的有功分量和无功分量,(以感性负载为例 )
R
X
+
_
+ _
+
_U?
RU?
XU?
? I IUUIP R?? ?c o s
GUIφUIP ?? c o s
?
? I
? U
BI
?
GI
?
G B
+
_
GI
?
? I
BI
?
? U
?
? I
? U
RU
?
XU
?
IUUIQ X?? ?s i n
的无功分量为称
的有功分量为称
??
??
UU
UU
X
R
BUIφUIQ ?? s i n
的无功分量为称
的有功分量为称
??
??
II
II
B
G
5,R,L,C元件的有功功率和无功功率
u
i
R
+
-
PR =UIcos? =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
QR =UIsin? =UIsin0? =0
i
u L
+
-
PL=UIcos? =UIcos90? =0
QL =UIsin? =UIsin90? =UI
i
u C
+
-
PC=UIcos? =Uicos(-90?)=0
QC =UIsin? =UIsin (-90?)= -UI
吸收无功为负
吸收无功为正
0)90s i n (
090s i n
2
2o
2
2o
???????
?????
C
CC
L
LL
X
UXIUIUIQ
X
UXIUIUIQ
(发出无功 )
反映电源和负载之间交换能量的速率 。
m a xm a x
2
m
222
2π2
2
1
)2(21
WTfWLIω
ILωLIXIQ LL
?????
????
π
?
无功的物理意义,
例
电感、电容的无功补偿作用
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
? t
i
0 uL
uC
pL pC
当 L发出功率时, C刚好吸收功率, 则与外电路交换
功率为 pL+pC。 因此, L,C的无功具有互相补偿的作用 。
交流电路功率的测量
u
i
Z
+
-
W
*
*
i1
i2
R 电流线圈
电压线圈
单相功率表原理：
电 流 线 圈 中 通 电 流 i1=i ； 电 压 线 圈 串 一 大 电 阻
R(R>>?L),加上电压 u,则电压线圈中的电流近似为
i2?u/R。
)c o s (2 ),c o s (2 21 tRURuiφtIii ?? ?????设
PKφUIKφIRUKM 'c o s'c o s ???则
指针偏转角度 (由 M 确定 )与 P 成正比, 由偏转角 (校
准后 )即可测量平均功率 P。
使用功率表应注意：
(1) 同名端：在负载 u,i关联方向下, 电流 i从电流线圈
,*” 号端流入, 电压 u正端接电压线圈, *” 号端,
此时 P表示负载吸收的功率 。
(2) 量程,P 的量程 = U 的量程 ? I 的量程 ?cos? (表的 )
测量时,P,U,I 均不能超量程。
例 1 三表法测线圈参数。 已知 f=50Hz,且测得 U=50V
,I=1A,P=30W。
解
R
L
+
_
U?
? I
ZV
A W
*
* 方法一
VAUIS 50150 ????
V A R
PSQ
40
3050 2222
?
????
???? 301302IPR ???? 401402IQX L
HXL L 1 2 7.01 0 040 ??? ??
Ω30130 222 ????? IPRRIP方法二
Ω50150|| ??? IUZ 又 22 )(|| LRZ ???
H127.03144030501||1 2222 ?????? 314RZL ?
方法三 c o s ?UIP ? 6.0
150
30c o s ?
??? UI
P?
Ω50150|| ??? IUZ
????? 300, 650c o sZ ?R
Ω408.050s i n||L ???? ?ZX
已知：电动机 PD=1000W，
功率因数为 0.8,U=220,f
=50Hz,C =30?F。
求负载电路的功率因数 。
A68.58.0220 1000c o s
D
D
D ???? φU
PI
+
_ D CU?
I? CI?
DI?
例 2
解
oDD 8.36,0, 8 (c o s ??? φφ 滞后）?
o02 2 0 ??U?设
082C0220I836685I C,jj,.,
oo
D ??????? ???
oD 3.1673.433.1j54.4 ??????? CIII ???
96.0)3.16c o s (c o s o ???φ
6,功率因数提高
设备容量 S (额定 )向负载送多少
有功要由负载的阻抗角决定。
P=UIcos?=Scos?
S
75kVA
负载
cos? =1,P=S=75kW
cos? =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cos? =0.2~0.3
满载 cos? =0.7~0.85
日光灯 cos? =0.45~0.6
(1) 设备不能充分利用, 电流到了额定值, 但功率容量还有；
(2) 当 输 出 相 同 的 有 功 功 率 时, 线 路 上 电 流 大
I=P/(Ucos?),线路损耗大 。
功率因数低带来的问题：
解决办法,并联电容，提高功率因数 (改进自身设备 )。
分析
CI?
U?
LI?
?1
I?
?2
L
R
CU?
I?
LI?
CI?
+
_
并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功
功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但
电路的功率因数提高了。
特点：
并联电容的确定：
21 s i ns i n ?? III LC ??
补偿容
量不同 全 —— 不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠
过 —— 使功率因数又由高变低 (性质不同 )
CI?
U?
LI?
?1
I?
?2
代入得将 c o s,c o s
12 ?? U
PIU PI L ??
)tgtg( 212 ??? ??? UPCUI C
)tgtg( 212 ??? ?? UPC
并联电容也可以用功率三角形确定：
?1 ?2
P
QC
QL
Q )tgtg(
)tgtg(
212
2
21
φφ
U
PC
CUQ
φφPQQQ
C
CL
???
?
????
?
?
从功率这个角度来看,
并 联 电 容 后, 电 源 向 负 载 输 送 的 有 功 UIL
cos?1=UI cos?2不变, 但是电源向负载输送的无功
UIsin?2<UILsin?1减少了, 减少的这部分无功就由电
容, 产生, 来补偿, 使感性负载吸收的无功不变, 而
功率因数得到改善 。
已知,f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos?1=0.6，要使功率
因数提高到 0.9,求并联电容 C,并联前后电路的总电流
各为多大？
o11 13.53 6.0c o s ??? φφ
例
解
o22 84.25 9.0c o s ??? φφ
F 557 )84.25tg13.53tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
?
?
??
?
?
?
??
??
φφ
U
P
C L
R
CU?
I?
LI?
CI?
+
_
AU PII L 8.756.02 2 0 1010c o s
3
1
?????? ?未并电容时：
并联电容后,A
U
PI 5.50
9.02 2 0
1010
c o s
3
2
????? ?
若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95,试问还应增加多少
并联电容, 此时电路的总电流是多大？
o22 19.18 95.0c o s ??? φφ解 o
11 84.25 9.0c o s ??? φφ
F 103 )8, 1 91tg5, 8 42tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
?
?
??
?
?
?
??
??
φφ
U
P
C
AI 8.4795.02 2 0 1010
3
????
显然功率因数提高后，线路上总电流减少，但继
续提高功率因数所需电容很大，增加成本，总电流减
小却不明显。因此一般将功率因数提高到 0.9即可。
（ 2）能否用串联电容的方法来提高功率因数 cos??
思考题
（ 1）是否并联电容越大，功率因数越高？
9.6 复功率
1,复功率
功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 IU ??
VA * 单位IUS ???
U?
I?
负
载
+
_
定义：
js i njc o s
)(
QPφUIφUI
φSφUIΨΨUIS iu
????
???????
j X IRIj X ) I(RZIIIZIUS 2222** ???????? ????
复功率也可表示为：
)(*o r *2***
YUYUUYUUIUS ?????
??
????
（ 3） 复功率满足守恒定理：在正弦稳态下, 任一电路的所
有支路吸收的复功率之和为零 。 即
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
1
1
b
k
k
b
k
k
Q
P
2.结论
0)j(
11
??
??
???
b
k
k
b
k
kk SQP
.,不等于视在功率守恒复功率守恒注：
21
21
SSS
UUU
???
???
（ 1） 是复数, 而不是相量, 它不对应任意正弦量；S
（ 2） 把 P,Q,S联系在一起，它的实部是平均功率，虚部
是 无功功率，模是视在功率；
S
电路如图，求各支路的复功率。
V )1.37(236 010 oo ?????? ZU ?
例 +
_
U?
10∠ 0o A
10?
j25?
5?
-j15?
1I? 2I?
解一 )15j5//()2510( ??? jZ
VA 1 4 2 4j1 8 8 2010)1.37(236 oo ???????发S
VA 1920j768)2510 1(236 *2*121 ????? jYUS 吸
VA 3345j1113 *222 ??? YUS 吸
发吸吸 SSS ?? 21
A)3.105(77.815j525j10 15j5010 oo1 ?????? ????I?解二
A5.3494.14
o
12 ???? III S ???
VA 1923j769)25j10(77.8 21211 ?????? ZIS 吸
VA 3 3 4 8j1 1 1 6)15j5(94.14 22222 ?????? ZIS 吸
VA 1 4 2 3j1 8 8 5
)25j10)(3.105(77.810 o11*
??
??????? ZIIS S ??发
+
_
U?
10∠ 0o A
10?
j25?
5?
-j15?
1I? 2I?
9.7 最大功率传输
S
?U
ZL
Zi
I?
+
-
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
UI
ZZ
UI
???
?
?
?
?
?
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
?????有功功率
负
载
有
源
网
络
等效电路
讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 Pmax的条件。
(1) ZL= RL + jXL可任意改变
(a) 先 设 RL不变,XL改变
显然，当 Xi + XL=0，即 XL =-Xi时,P获得 最大 值
(b) 再讨论 RL改变时,P的最大值
当 RL= Ri 时,P获得最大值
i
2
S
m a x
4 R
U
P ?
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
2
Li
2
Li
2
SL
)()( XXRR
URP
????
ZL= Zi*RL= RiX
L =-Xi 最佳匹配
2
Li
2
SL
)( RR
URP
??
(2) 若 ZL= RL + jXL只允许 XL改变
获得最大功率的条件是,Xi + XL=0,即 XL =-Xi
2
Li
2
SL
m a x )( RR
URP
??
最大功率为
(3) 若 ZL= RL为纯电阻
负载获得的功率为：
2
i
2
Li
S
Li
S
)(
,
XRR
UI
RZ
UI
??
?
?
?
?
?电路中的电流为：
2
i
2
Li
2
SL
)( XRR
URP
???
iiiL
L
ZXRRdRdP ????? 22 0 获得最大功率条件：令
模匹配
电路如图，求（ 1） RL=5?时其消耗的功率；
（ 2） RL=?能获得最大功率，并求最大功率；
（ 3）在 RL两端并联一电容，问 RL和 C为多大时能与内
阻抗最佳匹配，并求最大功率。
AjI )6.26(89.0555 010 ( 1 ) o
o
????? ???
例
解
???????
??
? 551050105 65 jj
jXRZ Li
+
_U?
10∠ 0o V
50?H
RL
5? I?
?=105rad/s WRIP LL 4589.0 22 ????
获最大功率＋当 07.755 )2( 2222 ????? iiL XRR
AjI )5.22(7 6 6.007.755 010 o
o
????? ???
WRIP LL 15.407.77 6 6.0 22 ????
+
_U?
10∠ 0o V
50?H
RL
5? I?
?=105rad/s
C
CjRY
L
1 ( 3 ) ???
2
2
2
L
)(1)(1
1
1
L
L
L
L
L
L
CR
CR
j
CR
R
CRj
R
Y
Z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
5
)(1
5
)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
?
?
?
当
获最大功率 1 10 ??? ? ?? FCR L ?
AI 110 010
o
???? WRIP i 5512m a x ????
电路如图，求 ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率,例
I?
1∠ 90o A
ZL
－ j30?
30?-j30?
S
?U
ZL
Zi
I?
+
-
解 ??????? 4515)30//30(30 jjjZ
i
045260)30//30(4 ????? jjU S?
???? 4515 * jZZ iL当
WP 120154 )260(
2
m a x ???有
2,正弦稳态电路的分析；
3,正弦稳态电路的功率分析；
? 重点：
1,阻抗和导纳；
4,串、并联谐振的概念；
9.1 阻抗和导纳
1,阻抗
正弦激励下 I?
ZU?
+
-
无源
线性
I?
U?
+
-
φZ
I
UZ ???
?
?
||
定义阻抗
iu ??? ??
单位,?I
UZ ? 阻抗模
阻抗角
欧姆定律的
相量形式
当无源网络内为单个元件时有：
RIUZ ?? ??
LjXLjI
UZ ??? ?
?
?
CjXCjI
UZ ????
1
??
?
I?
RU?
+
-
I?
CU?
+
-
I?
LU?
+
-
Z可以是实数，也可以是虚数
2,RLC串联电路
由 KVL,,1j,j.,,,, ICILIRUUUU CLR ????????
IXXjRICLjR CL ?? )]([)]1([ ???????? IjXR ?)( ??
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
??? ???????? ZjXRCjLjRIUZ 1?
?
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ -+ -
RU
,
Z— 复阻抗； R— 电阻 (阻抗的实部 )； X— 电抗 (阻抗的虚部 )；
|Z|— 复阻抗的模； ?— 阻抗角。
关系,
ar c t g
| | 22
??
?
?
?
?
??
R
X
φ
XRZ
或 R=|Z|cos?
X=|Z|sin?
阻抗三角形 |Z|
R
X?
iu
I
U
Z
?????
?
分析 R,L,C 串联电路得出：
（ 1） Z=R+j(?L-1/?C)=|Z|∠ ?为复数，故称复阻抗
（ 2） ?L > 1/?C, X>0,? >0,电路为感性，电压领先电流；
?L<1/?C,X<0,? <0,电路为容性，电压落后电流；
?L=1/?C,X=0,? =0,电路为电阻性，电压与电流同相。
（ 3）相量图,选电流为参考向量，设 ?L > 1/?C
三角形 UR, UX, U 称为电压三
角形，它和阻抗三角形相似。即
CU?
I?RU?
LU?
U?
? UX
22
XR UUU ??
0?i?
例 已知,R=15?,L=0.3mH,C=0.2?F,
,Hz103
)60c o s (25
4??
??
f
tu ??
求 i,uR,uL,uC,
解 其相量模型为：
V ?605 ???U
CLRZ ??
1jj ???
Ωjjj 5.56103.01032 34 ?????? ??? L
Ωjπj1j 5.26102.01032 1 64 ????????? ?C?
5.265.5615 jj ??? Ω o4.6354.33 ??
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -+ -uR
,I j? L
,U
LU
,
CU
,
Cωj
1
R
+
-
+
-
+ -+ -
RU
,
A oo
o
4.3149.04.6354.33 605 ???????
?
?
Z
UI
则 A )4.3(c o s2149.0 o?? ti ω
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
U?
LU?
CU?
I?RU?
? -3.4°
相量图
V oo 4.3235.24.3149.015 ???????? ?? IRU R
V j ooo 4.8642.84.3149.0905.56 ???????? ?? ILU L ?
V C1j ooo 4.9395.34.3149.0905.26 ?????????? ?? IU C ?
V)4.3c o s (22 3 5.2 o?? tωu R
V)6.86c o s (242.8 o?? tωu L
V)4.93c o s (295.3 o?? tωu C
注
3,导纳
正弦激励下
I?
YU?
+
-
无源
线性
I?
U?
+
-
φY
U
IY ????
?
?
||
定义导纳
ui ??? ???
单位,SUIY ? 导纳模
导纳角
Z
Y
Y
Z 1,1 ??
对同一二端网络,
当无源网络内为单个元件时有：
GRUIY ??? 1??
LjBLjU
IY ??? /1 ?
?
?
CjB
Cj
U
I
Y
?
?
?
?
?
?
I?
RU?
+
-
I?
CU?
+
-
I?
LU?
+
-
Y可以是实数，也可以是虚数
4,RLC并联电路
由 KCL,CLR IIII,,,, ???
i
L CRu
iL iC+
-
iL
,
j
,
j
,
UCULUG ?? ??? 1
,
jj UCLG )1( ?? ???, j( UBBG CL )[ ???, j UBG )( ??
,I
j? L,U
LI
,
CI
,
Cωj
1
RI
,
R
+
-
??? ????????? YjBGLjCjGU IY 1?
?
Y— 复导纳； G— 电导 (导纳的实部 )； B— 电纳 (导纳的虚部 )；
|Y|— 复导纳的模； ?'— 导纳角。
关系：
ar c t g'
| | 22
??
?
?
?
?
??
G
B
φ
BGY
或 G=|Y|cos? '
B=|Y|sin? '
导纳三角形 |Y|
G
B
??
ui
U
I
Y
????? ?
?
（ 1） Y=G+j(?C-1/?L)=|Y|∠ ??为复数，故称复导纳；
（ 2） ?C > 1/?L, B>0,? ‘>0,电路为容性，电流超前电压
?C<1/?L, B<0,? ‘<0,电路为感性，电流落后电压；
?C=1/?L, B=0,? ? =0，电路为电阻性,电流与电压同相
（ 3） 相量图：选电压为参考向量，设 ?C < 1/?L,??<0
2222 )(
CLGBG IIIIII ?????
U?
GI,
LI
,
I?
? '
CI
,
0??u
分析 R,L,C 并联电路得出：
三角形 IR, IB,I 称为电流三角
形，它和导纳三角形相似。即
RLC并联电路同样会出现分电流大于总电流的现象
5,复阻抗和复导纳的等效互换
j φZXRZ ???? ||
一般情况 G?1/R B?1/X。 若 Z为感性，
X>0，则 B<0，即仍为感性。
j '|| φYBGY ?????
BGXR XRXRZY jjj ???????? 2211
2222 XR XBXR RG ??????,φ φZY ??? ',||
1||
注
G jBYZ R jX
同样，若由 Y变为 Z，则有：
',
||
1
||
,
j
j
j
11
||j,'||j
2222
22
φ φ
Z
Y
BG
B
X
BG
G
R
XR
BG
BG
BGY
Z
φZXRZφYBGY
???
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
????????
G jBY Z
R
jX
例 RL串联电路如图，求在 ?＝ 106rad/s时的等效并联电路 。
解 RL串联电路的阻抗为：
??????? 02.501.786050 jjXRZ L
?????? ? 601006.010 36LX L ? 0.06mH
50?
L’R’
Sj
Z
Y
0098.00082.0
2.500128.0
2.501.78
11 0
0
??
????
?
??
???? 1220082.0 11 '' GR
mHL 1 0 2.00 0 9 8.0 1' ?? ?
9.2 阻抗（导纳）的串联和并联
ZIZZZIUUUU nn ???????? ????????? )( 2121
Z
+
-
U?
I?
UZZU ii ?? ?分压公式? ?
? ?
???
n
k
n
k
kkk jXRZZ
1 1
)(
Z1
+
Z2 Zn
－U?
I?
1,阻抗的串联
? ?
? ?
???
n
k
n
k
kkk jBGYY
1 1
)(分流公式 IYYI ii ???
2,导纳的并联
Y1+ Y2 Yn
－U
?
I?
Y
+
-
U?
I?
YUYYYUIIII nn ???????? ????????? )( 2121
两个阻抗 Z1,Z2的并联等效阻抗为：
21
21
ZZ
ZZZ
??
例 求图示电路的等效阻抗, ?＝ 105rad/s 。
解 感抗和容抗为：
???
??
??
??
?
??
100130
100
)100100(100
30
)(
2
2
1
j
jj
jXRjX
jXRjX
RZ
CL
CL
?????? ? 1 0 010110 35LX L ?
?????? ? 1 0 0101.010 11 65CX C ?
1mH
30? 100?
0.1?F
R1
R2
例 图示为 RC选频网络，试求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1 ?
U
U
?
?
-jXC
－
R
－
＋
＋
R uo
u1
-jXC
解 设,Z1=R－ jXC,Z2=R//(-jXC)
21
21
ZZ
ZUU
o ??
??
2
1
2
211 1
Z
Z
Z
ZZ
U
U
o
?????
?
实数?
?
??
?
??
?
?
?
?
??
?
?
C
C
C
CC
C
C
CC
C
RX
XR
j
j R X
RXjXR
j R X
jXR
jXRj R X
jXR
Z
Z
2222
2
2
1
2
2
)(
)(
CXR ? 321
1 ???
oU
U
?
?
9,3 正弦稳态电路的分析
电阻电路与正弦电流电路的分析比较：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Gui
Riu
u
i
,
0,K V L
0,K C L
:
或
元件约束关系
电阻电路
,
0,K V L
0,K C L
:
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
UYI
IZU
U
I
或
元件约束关系
正弦电路相量分析
可见, 二者依据的电路定律是相似的 。 只要作出正弦
电流电路的相量模型, 便可将电阻电路的分析方法推广应
用于正弦稳态的相量分析中 。
结论
1,引入相量法, 把求正弦稳态电路微分方程的特解
问题转化为求解复数代数方程问题 。
2,引入电路的相量模型, 不必列写时域微分方程,
而直接列写相量形式的代数方程 。
3,引入阻抗以后, 可将所有网络定理和方法都应用
于交流, 直流 （ f =0)是一个特例 。
例 1:
R2+
_ L
i1
i2
i3
R1
C
u Z
1
Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j ?? 1
Lj?
画出电路的相量模型
??????
??
???
?
?
??
?
?
?
?
13.28911.923.7245.303
7.175.1049
901047.318
47.3181000
)47.318(1000
1
)1( 3
1
1
1
j
j
j
C
jR
C
jR
Z
?
?
?
?
?
,/314,100
,10,500,10,1000 21
sr a dVU
FCmHLRR
???
???????
求,各支路电流。
已知：
解
?????? 1 5 71022 jLjRZ
????
??
????
??
?
3.5299.166
13.13211.102
1571013.28911.92
21
j
jj
ZZZ
AZUI ??
???
3.526.03.5299.166 01001 ???? ???
A
j
I
C
jR
CjI ??
?
?? 20181.03.526.0
7.175.1049
47.318
1
1
1
1
2 ???????
?
?
?
?
???
AI
C
jR
RI ??
?
?? 7057.03.526.0
7.175.1049
1000
1 1
1
1
3 ???????
?
?
?
Z1 Z2U?
R2+
_
R1
1I?
2I?
3I? C
j ?? 1
Lj?
列写电路的回路电流方程和节点电压方程例 2,
解
+_ su
siL R1
R2
R3R
4
C SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
1I?
2I?
4I?
3I?
回路法,
SUIRILjRILjRR ???? ?????? 3221121 )()( ??
0)()( 33112431 ??????? IRILjRILjRRR ??? ??
01)1( 42312332 ?????? ICjIRIRICjRR ???? ??
SII ?? ??4
1nU?
2nU?
3nU?
节点法,
Sn UU ?? ?1
011)111( 3
3
1
2
2
321
?????? nnn URURURRLjR ????
Snnn IUCjURUCjRR
???? ??????
12
3
3
43
1)11( ??
SI?
+_
R1 R2
R3R
4
Lj?
cj?
1?
SU?
,
45,30
30j,A904
3
21
o
S
I
ZZ
ZZI
?
?
求：
已知：
ΩΩ
Ω
??
?????
方法一：电源变换
?????? 15153030 )30(30// 31 jjjZZ
解
例 3,Z
2
SI? Z1 ZZ3
I?
S31 )//( IZZ ?
Z2
Z1??Z3
Z
I?
+
-
ZZZZ
ZZII
???
?
231
31// )//(S
?
45301515
)1515(4
???
??
jj
jj
o
o
3 6, 9-5
455, 6 5 7
?
?? A o9.8113.1 ??
方法二：戴维南等效变换
V4586.84
)//(
o
310
??
? ZZIU S??
Zeq
Z
0
?U
? I
+
-
Z2
SI? Z1 Z3 0U?
求开路电压：
求等效电阻：
Ω45j15
// 231
??
?? ZZZZ eq
A9.8113.1
454515
4586.84
o
0
0
??
??
?
?
?
?
jZZ
U
I
??
?
例 4 求图示电路的戴维南等效电路。
603003006030060100200 0111 ?????????? j UIIIU o ?????
j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1
4?I
1
?I
50?50? j300?+
_ 0060?
0U?
+
_
1200I?
1
?I
100?
＋ _
解
045230
1
60 ??
?? jU o
?
求短路电流：
SCI?
006.01 0 060 ???SCI?
0
0
0 45250
6.0
45230 ?????
SC
eq I
UZ
?
?
例 5 用叠加定理计算电流 2 ?I
Z2
SI?
Z1
Z3
2I?
S
?U
+
-
,3050
,3050
A,04
V,451 00,
o
3
o
31
o
S
o
S
Ω
Ω
???
???
??
??
?
Z
ZZ
I
U
?
已知
解,)( )1( SS 短路单独作用 ?? UI
32
3S
2
'
ZZ
ZII
??
??
oo
o
o
30503050
305004
????
????
A3031.2350 30200 o
o
????
32
S
2
''
ZZ
UI
???
?
?
oo
222
1 3 51 5 5.13031.2
'''
?????
?? ??? III
A135155.1350 45100 o
o
??????
A9.1523.1 o???
:)( )2( SS 开路单独作用 ?? IU
'2I"
已知平衡电桥 Z1=R1,Z2=R2,Z3=R3+j?L3。
求,Zx=Rx+j?Lx。
平衡条件, Z1 Z3=Z2 Zx 得
R1(R3+j?L3)=R2(Rx+j ?Lx)
∴ Rx=R1R3 /R2,Lx=L3 R1/R2
例 6
解
Z1 Z2
Zx Z3
?
|Z1|??1?|Z3|??3 = |Z2|??2?|Zx|??x
|Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
?1 +?3 = ?2 +?x
已知,Z=10+j50?,Z1=400+j1000?。
90 o1 相位差和等于多少时，问,SUIβ ??
11111S )1( IZIβZIZIZU ????? ?????
例 7
解
? I
1 ?I
1 ?Iβ
Z
Z1
+
_S ?U,90,
o
11
相位差为实部为零
，关系：和分析：找出
转
转
Z
IZUUI SS ???? ?
)10005050(j10410)1( 1
1
S ???????? ββZZβ
I
U
?
?
41 0104 1 0 ???? ββ,令
.90 1 0 0 0j o
1
S 故电流领先电压??
I
U
?
?
I?
已知,U=115V,U1=55.4V,
U2=80V,R1=32?,f=50Hz
求,线圈的电阻 R2和电感 L2 。
方法－,画相量图分析 。
例 8
解
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
1U?
LU?
2RU?
2U??
2
U?
?
???? c o s2 2122212 UUUUU
A73.132/4.55/ 11 ??? RUI
LR UUUUUU ?????? ????? 121
?
?1.1 1 54 2 3 7.0c o s ??????
?? 9.641 8 02 ?????
H133.0)2/( 8.41s i n ||
6.19c o s || 2.4673.1/80/||
2222
22222
????
?????
fXLθZX
ZRIUZ
πΩ
ΩΩ ?
方法二、
?? ???????? 1158004.55 021 UUU ???
?? c o s1 1 5c o s804.55 ??
?? s i n1 1 5s i n80 ?
093.64
4 2 4.0c o s
?
?
?
?
R1
R2
L2
+
_
1U?
U? 2U?
+
_
+ _
? I
其余步骤同解法一。
U?
用相量图分析
oo 0~180 为移相角，移相范围θ
例 9 移相桥电路。当 R2由 0??时,?ab 如何变化?U
解
1U?
CU?
CI?
CU??
CI??;,21,,ab2 相位改变不变改变当由相量图可知 UUR ?
当 R2=0,? ?180?；
当 R2 ??,? ?0?。
o oa b
1U?
2U? CU?
CI?
R2R1
R1
+
_U?
abU?
+
-
+
-
+
-
RU?
2U?
RU?
RU??
1
2121
2
,
UUUUUU
U
UUUUU
RabCR
??????
?
?????
????
????
? abU
???
abU??
a
bb
3I?
例 10 图示电路,
。、、、求：
、、、、
212
132
,
520021010
RXXIXR
RVUAIAI
LCL?
?????
R1
R2jXL
+
_
CU?
U?
+ _1 ?I jXC
3
?I
2
?I
解 2RU?
045
CU?
LU?090
2I?
1I?
用相量图分析
AIIII 10451013510210 100321 ????????? ???
VUUUUU CCCR 1501052001 ???????? ???
2752 22 22 ??????? LRRCLRC UUUUUUU ???
??????? 5.7
210
275 15
10
150
2 LC XRX
1RU?
例 11 求 RL串联电路在正弦输入下的零状态响应。
L
+
_Su L
u
+
_
Li
R
解
)c o s (2 uS tUu ?? ??已知：
应用三要素法：
0)0()0( ?? ?? LL ii
iZu ILR
U
LjR
UI ???
??
????
?
?
?
?
22 )(
??
RL??
用相量法求正弦稳态解
? ? ?tLLLL eiiiti ?? ?????? 0)()0()()(
????
t
imimL eItIti
???? c o s)c o s ()(
过渡过程与接入时刻有关
讨论几种情况：
2） 合闸 时 ?i = 0,或 ?
电路直接进入稳态，不产生过渡过程。
1） ?i= ± ?/2
tIi m ?s i n?
则 无暂态分量
?
t
m eIi
" ?? ?
暂态分量
???
t
mim eItIi
)c o s ( ??? ?
?i = ?时波形为
???
t
mm eItIi
)c o s ( ????
iI
m
i?
-Im
i?
T/2 t
i
0
最大电流出现在 t = T/2时刻。
mIi 2m a x ?
9.5 正弦稳态电路的功率
无源一端口网络吸收的功率 ( u,i 关联 )
iu
ΨΨφiuφ
φtIti
tUtu
??
??
?
)c o s (2)(
c o s2)(
的相位差和为
?
?
1,瞬时功率 (instantaneous power)
tUItφUI
φtφUI
φtItUuitp
???
?
??
2s i ns i n)2c o s1(c o s
)]2c o s ([ c o s
)c o s (2c o s2)(
???
???
????
无
源
+
u
i
_
第一种分解方法；
第二种分解方法。
第一种分解方法：
? tO
UIcos? (1＋ cos2? t)
UIsin? sin2? t
第二种分解方法：
? p有时为正,有时为负；
? p>0,电路吸收功率：
? p<0,电路发出功率；
UIcos?(1＋ cos2? t)为不可逆分量 。
UIsin? sin2? t为可逆分量。
? tO
p
i
u UIcos?
UIcos(2? t－ ? )
)]2c o s ([ c o s )( φtφUItp ??? ?
tUItφUItp ??? 2s i ns i n)2c o s1(c o s)( ???
2.平均功率 (average power)P
?? T tpTP 0 d1
? =?u-?i,功率因数角 。 对无源网络, 为其等效
阻抗的阻抗角 。
cos ?,功率因数。
P 的单位,W（瓦）
? ??? T ttUIUIT 0 d)]c o s (c o s[1 ???
φUI c o s? φUIP c o s?
一般地,有 0??cos???1
X>0,? >0,感性 X<0,? <0,容性
cos? 1,纯电阻
0,纯电抗
平均功率实际上是电阻消耗的功率, 亦称为有功功率 。
表示电路实际消耗的功率, 它不仅与电压电流有效值有关,
而且与 cos?有关, 这是交流和直流的很大区别,主要由
于电压, 电流存在相位差 。
22 c o sc o s RIZIφUIP ??? ?
4,视在功率 S
反映电气设备的容量。
3,无功功率 (reactive power) Q
φUIQ s i nd e f?
表示交换功率的最大值，单位, var (乏 )。
Q>0，表示网络吸收无功功率； Q<0，表示网络发出无功功率
Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件 L、
C的性质决定的
)( VA, d e f 伏安单位UIS ?
22 s i ns i n XIZIφUIQ ??? ?
有功，无功，视在功率的关系：
有功功率, P=UIcos? 单位,W
无功功率, Q=UIsin? 单位,var
视在功率, S=UI 单位,VA
22 QPS ??
?
S
P
Q ?Z
R
X ?U
UR
UX R X+
_
+ _
o
o
+
_U?
RU?
XU?
功率三角形 阻抗三角形 电压三角形
电压、电流的有功分量和无功分量,(以感性负载为例 )
R
X
+
_
+ _
+
_U?
RU?
XU?
? I IUUIP R?? ?c o s
GUIφUIP ?? c o s
?
? I
? U
BI
?
GI
?
G B
+
_
GI
?
? I
BI
?
? U
?
? I
? U
RU
?
XU
?
IUUIQ X?? ?s i n
的无功分量为称
的有功分量为称
??
??
UU
UU
X
R
BUIφUIQ ?? s i n
的无功分量为称
的有功分量为称
??
??
II
II
B
G
5,R,L,C元件的有功功率和无功功率
u
i
R
+
-
PR =UIcos? =UIcos0? =UI=I2R=U2/R
QR =UIsin? =UIsin0? =0
i
u L
+
-
PL=UIcos? =UIcos90? =0
QL =UIsin? =UIsin90? =UI
i
u C
+
-
PC=UIcos? =Uicos(-90?)=0
QC =UIsin? =UIsin (-90?)= -UI
吸收无功为负
吸收无功为正
0)90s i n (
090s i n
2
2o
2
2o
???????
?????
C
CC
L
LL
X
UXIUIUIQ
X
UXIUIUIQ
(发出无功 )
反映电源和负载之间交换能量的速率 。
m a xm a x
2
m
222
2π2
2
1
)2(21
WTfWLIω
ILωLIXIQ LL
?????
????
π
?
无功的物理意义,
例
电感、电容的无功补偿作用
L
C
R
u
uL
uC
i
+
-
+
-
+ -
? t
i
0 uL
uC
pL pC
当 L发出功率时, C刚好吸收功率, 则与外电路交换
功率为 pL+pC。 因此, L,C的无功具有互相补偿的作用 。
交流电路功率的测量
u
i
Z
+
-
W
*
*
i1
i2
R 电流线圈
电压线圈
单相功率表原理：
电 流 线 圈 中 通 电 流 i1=i ； 电 压 线 圈 串 一 大 电 阻
R(R>>?L),加上电压 u,则电压线圈中的电流近似为
i2?u/R。
)c o s (2 ),c o s (2 21 tRURuiφtIii ?? ?????设
PKφUIKφIRUKM 'c o s'c o s ???则
指针偏转角度 (由 M 确定 )与 P 成正比, 由偏转角 (校
准后 )即可测量平均功率 P。
使用功率表应注意：
(1) 同名端：在负载 u,i关联方向下, 电流 i从电流线圈
,*” 号端流入, 电压 u正端接电压线圈, *” 号端,
此时 P表示负载吸收的功率 。
(2) 量程,P 的量程 = U 的量程 ? I 的量程 ?cos? (表的 )
测量时,P,U,I 均不能超量程。
例 1 三表法测线圈参数。 已知 f=50Hz,且测得 U=50V
,I=1A,P=30W。
解
R
L
+
_
U?
? I
ZV
A W
*
* 方法一
VAUIS 50150 ????
V A R
PSQ
40
3050 2222
?
????
???? 301302IPR ???? 401402IQX L
HXL L 1 2 7.01 0 040 ??? ??
Ω30130 222 ????? IPRRIP方法二
Ω50150|| ??? IUZ 又 22 )(|| LRZ ???
H127.03144030501||1 2222 ?????? 314RZL ?
方法三 c o s ?UIP ? 6.0
150
30c o s ?
??? UI
P?
Ω50150|| ??? IUZ
????? 300, 650c o sZ ?R
Ω408.050s i n||L ???? ?ZX
已知：电动机 PD=1000W，
功率因数为 0.8,U=220,f
=50Hz,C =30?F。
求负载电路的功率因数 。
A68.58.0220 1000c o s
D
D
D ???? φU
PI
+
_ D CU?
I? CI?
DI?
例 2
解
oDD 8.36,0, 8 (c o s ??? φφ 滞后）?
o02 2 0 ??U?设
082C0220I836685I C,jj,.,
oo
D ??????? ???
oD 3.1673.433.1j54.4 ??????? CIII ???
96.0)3.16c o s (c o s o ???φ
6,功率因数提高
设备容量 S (额定 )向负载送多少
有功要由负载的阻抗角决定。
P=UIcos?=Scos?
S
75kVA
负载
cos? =1,P=S=75kW
cos? =0.7,P=0.7S=52.5kW
一般用户,异步电机 空载 cos? =0.2~0.3
满载 cos? =0.7~0.85
日光灯 cos? =0.45~0.6
(1) 设备不能充分利用, 电流到了额定值, 但功率容量还有；
(2) 当 输 出 相 同 的 有 功 功 率 时, 线 路 上 电 流 大
I=P/(Ucos?),线路损耗大 。
功率因数低带来的问题：
解决办法,并联电容，提高功率因数 (改进自身设备 )。
分析
CI?
U?
LI?
?1
I?
?2
L
R
CU?
I?
LI?
CI?
+
_
并联电容后，原负载的电压和电流不变，吸收的有功
功率和无功功率不变，即：负载的工作状态不变。但
电路的功率因数提高了。
特点：
并联电容的确定：
21 s i ns i n ?? III LC ??
补偿容
量不同 全 —— 不要求 (电容设备投资增加,经济效果不明显 )
欠
过 —— 使功率因数又由高变低 (性质不同 )
CI?
U?
LI?
?1
I?
?2
代入得将 c o s,c o s
12 ?? U
PIU PI L ??
)tgtg( 212 ??? ??? UPCUI C
)tgtg( 212 ??? ?? UPC
并联电容也可以用功率三角形确定：
?1 ?2
P
QC
QL
Q )tgtg(
)tgtg(
212
2
21
φφ
U
PC
CUQ
φφPQQQ
C
CL
???
?
????
?
?
从功率这个角度来看,
并 联 电 容 后, 电 源 向 负 载 输 送 的 有 功 UIL
cos?1=UI cos?2不变, 但是电源向负载输送的无功
UIsin?2<UILsin?1减少了, 减少的这部分无功就由电
容, 产生, 来补偿, 使感性负载吸收的无功不变, 而
功率因数得到改善 。
已知,f=50Hz,U=220V,P=10kW,cos?1=0.6，要使功率
因数提高到 0.9,求并联电容 C,并联前后电路的总电流
各为多大？
o11 13.53 6.0c o s ??? φφ
例
解
o22 84.25 9.0c o s ??? φφ
F 557 )84.25tg13.53tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
?
?
??
?
?
?
??
??
φφ
U
P
C L
R
CU?
I?
LI?
CI?
+
_
AU PII L 8.756.02 2 0 1010c o s
3
1
?????? ?未并电容时：
并联电容后,A
U
PI 5.50
9.02 2 0
1010
c o s
3
2
????? ?
若要使功率因数从 0.9再提高到 0.95,试问还应增加多少
并联电容, 此时电路的总电流是多大？
o22 19.18 95.0c o s ??? φφ解 o
11 84.25 9.0c o s ??? φφ
F 103 )8, 1 91tg5, 8 42tg(
220314
1010
)tgtg(
2
3
212
?
?
??
?
?
?
??
??
φφ
U
P
C
AI 8.4795.02 2 0 1010
3
????
显然功率因数提高后，线路上总电流减少，但继
续提高功率因数所需电容很大，增加成本，总电流减
小却不明显。因此一般将功率因数提高到 0.9即可。
（ 2）能否用串联电容的方法来提高功率因数 cos??
思考题
（ 1）是否并联电容越大，功率因数越高？
9.6 复功率
1,复功率
功率”来计算功率，引入“复和为了用相量 IU ??
VA * 单位IUS ???
U?
I?
负
载
+
_
定义：
js i njc o s
)(
QPφUIφUI
φSφUIΨΨUIS iu
????
???????
j X IRIj X ) I(RZIIIZIUS 2222** ???????? ????
复功率也可表示为：
)(*o r *2***
YUYUUYUUIUS ?????
??
????
（ 3） 复功率满足守恒定理：在正弦稳态下, 任一电路的所
有支路吸收的复功率之和为零 。 即
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
1
1
b
k
k
b
k
k
Q
P
2.结论
0)j(
11
??
??
???
b
k
k
b
k
kk SQP
.,不等于视在功率守恒复功率守恒注：
21
21
SSS
UUU
???
???
（ 1） 是复数, 而不是相量, 它不对应任意正弦量；S
（ 2） 把 P,Q,S联系在一起，它的实部是平均功率，虚部
是 无功功率，模是视在功率；
S
电路如图，求各支路的复功率。
V )1.37(236 010 oo ?????? ZU ?
例 +
_
U?
10∠ 0o A
10?
j25?
5?
-j15?
1I? 2I?
解一 )15j5//()2510( ??? jZ
VA 1 4 2 4j1 8 8 2010)1.37(236 oo ???????发S
VA 1920j768)2510 1(236 *2*121 ????? jYUS 吸
VA 3345j1113 *222 ??? YUS 吸
发吸吸 SSS ?? 21
A)3.105(77.815j525j10 15j5010 oo1 ?????? ????I?解二
A5.3494.14
o
12 ???? III S ???
VA 1923j769)25j10(77.8 21211 ?????? ZIS 吸
VA 3 3 4 8j1 1 1 6)15j5(94.14 22222 ?????? ZIS 吸
VA 1 4 2 3j1 8 8 5
)25j10)(3.105(77.810 o11*
??
??????? ZIIS S ??发
+
_
U?
10∠ 0o A
10?
j25?
5?
-j15?
1I? 2I?
9.7 最大功率传输
S
?U
ZL
Zi
I?
+
-
Zi= Ri + jXi,ZL= RL + jXL
2
Li
2
Li
S
Li
S
)()(
,
XXRR
UI
ZZ
UI
???
?
?
?
?
?
2
Li
2
Li
2
SL2
L )()( XXRR
URIRP
?????有功功率
负
载
有
源
网
络
等效电路
讨论正弦电流电路中负载获得最大功率 Pmax的条件。
(1) ZL= RL + jXL可任意改变
(a) 先 设 RL不变,XL改变
显然，当 Xi + XL=0，即 XL =-Xi时,P获得 最大 值
(b) 再讨论 RL改变时,P的最大值
当 RL= Ri 时,P获得最大值
i
2
S
m a x
4 R
U
P ?
综合 (a),(b)，可得负载上获得最大功率的条件是：
2
Li
2
Li
2
SL
)()( XXRR
URP
????
ZL= Zi*RL= RiX
L =-Xi 最佳匹配
2
Li
2
SL
)( RR
URP
??
(2) 若 ZL= RL + jXL只允许 XL改变
获得最大功率的条件是,Xi + XL=0,即 XL =-Xi
2
Li
2
SL
m a x )( RR
URP
??
最大功率为
(3) 若 ZL= RL为纯电阻
负载获得的功率为：
2
i
2
Li
S
Li
S
)(
,
XRR
UI
RZ
UI
??
?
?
?
?
?电路中的电流为：
2
i
2
Li
2
SL
)( XRR
URP
???
iiiL
L
ZXRRdRdP ????? 22 0 获得最大功率条件：令
模匹配
电路如图，求（ 1） RL=5?时其消耗的功率；
（ 2） RL=?能获得最大功率，并求最大功率；
（ 3）在 RL两端并联一电容，问 RL和 C为多大时能与内
阻抗最佳匹配，并求最大功率。
AjI )6.26(89.0555 010 ( 1 ) o
o
????? ???
例
解
???????
??
? 551050105 65 jj
jXRZ Li
+
_U?
10∠ 0o V
50?H
RL
5? I?
?=105rad/s WRIP LL 4589.0 22 ????
获最大功率＋当 07.755 )2( 2222 ????? iiL XRR
AjI )5.22(7 6 6.007.755 010 o
o
????? ???
WRIP LL 15.407.77 6 6.0 22 ????
+
_U?
10∠ 0o V
50?H
RL
5? I?
?=105rad/s
C
CjRY
L
1 ( 3 ) ???
2
2
2
L
)(1)(1
1
1
L
L
L
L
L
L
CR
CR
j
CR
R
CRj
R
Y
Z
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
5
)(1
5
)(1
2
2
2
L
L
L
L
CR
CR
CR
R
?
?
?
当
获最大功率 1 10 ??? ? ?? FCR L ?
AI 110 010
o
???? WRIP i 5512m a x ????
电路如图，求 ZL=?时能获得最大功率，并求最大功率,例
I?
1∠ 90o A
ZL
－ j30?
30?-j30?
S
?U
ZL
Zi
I?
+
-
解 ??????? 4515)30//30(30 jjjZ
i
045260)30//30(4 ????? jjU S?
???? 4515 * jZZ iL当
WP 120154 )260(
2
m a x ???有
