第 4章 电路定理
(Circuit Theorems)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
4.2 替代定理 (Substitution Theorem)
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
4.5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
4.6 对偶原理 (Dual Principle)
? 重点,
掌握各定理的内容、适用范围及
如何应用；
1,叠加定理
在线性电路中, 任一支路的电流 (或电压 )可以看成
是电路中每一个独立电源单独作用于电路时, 在该支路
产生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理
(Superposition Theorem)
2,定理的证明
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
用结点法：
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
32
1
32
33
32
22
1 GG
i
GG
uG
GG
uGu SSS
n ??????
或表示为：
)()()( 3
3
2
2
1
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
???
???
支路电流为：
)()()(
)(
3
2
2
2
1
2332211
32
1
32
33
2
232
2
2
21
2
1
iiiububib
GG
i
GG
uG
u
RGG
G
R
uu
i
SSS
SS
S
Sn
??????
?
?
?
??
?
?
?
?
)()()(
)()(
3
3
2
3
1
3
32
1
3
332
3
2
32
2
3
31
3
1
iii
GG
i
u
RGG
G
u
GG
G
R
uu
i SSSSn
???
?
??
?
?
?
?
?
?
结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均
可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
结论
3,几点说明
1,叠加定理只适用于线性电路。
2,一个电源作用，其余电源为零
电压源为零 —短路。
电流源为零 —开路。
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
三个电源共同作用
R1
is1
R2 R3
1
)(12i )(1
3i
is1单独作用
=
+
us2单独作用 us3单独作用
+ R1 R2
us2
R3
+
–
1
)(23i)(22i R
1 R2
us3
R3
+
–
1
)(32i )(3
3i
3,功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的
二次函数 )。
4,u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
5,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加, 但叠加只适用于
独立源, 受控源应始终保留 。
4,叠加定理的应用
例 1 求电压 U.
8?
12V
3A
+
– 6?
3?2?
+
－
U
8? 3A 6?
3?2?
+
－
U(2）
8?
12V
+
– 6?
3?2?
+
－
U(1)
画出分
电路图
＋
12V电源作用,VU 43
9
12)1( ?????
3A电源作用,VU 63)3//6()2( ??? VU 264 ????
解
例 2 ＋
－
10V
2A＋
－
u
2?
3? 3?
2?求电流源的电压和发出
的功率
＋
－
10V
＋
－
U（ 1）
2?
3? 3?
2? 2A＋
－
U（ 2）
2?
3? 3?
2?
＋
Vu 21052531 ???? )()(
Vu 84225 322,)( ?????
Vu 86,? WP 613286,,???
画出分
电路图
为两个简
单电路
10V电源作用：
2A电源作用：
例 3
u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A3?6?
6V
＋ －计算电压 u。
画出分
电路图 1?
3A
3?6?
＋ －u（ 1）
＋
Vu 931361 ???? )//()(
Viu 81266 22 ????? )()(
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3?6?
6V
＋ －
u (2）i (2)
Ai 2361262 ???? )/()()( Vuuu 178921 ????? )()(
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，
也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
3A电流源作用：
其余电源作用：
例 4 计算电压 u电流 i。
画出分
电路图 u（ 1）
＋
－
10V
2i (1)＋－
1?2? ＋
－
i（ 1） ＋
)/()( )()( 12210 11 ??? ii
Viiiu 6321 1111 ????? )()()()(
Ai 21 ?)(
Vu 826 ???
u
＋
－
10V
2i＋－
1?i 2? ＋
－
5A
u(2)
2i (2)＋－
1?
i (2)
2? ＋
－
5A
)( )()()( 02512 222 ????? iii Ai 12 ??)(
Viu 2122 22 ??????? )()()(
Ai 112 ???? )(
受控源始
终保留
10V电源作用：
5A电源作用：
例 5
无源
线性
网络
uS
i
－＋
iS
封装好的电路如图，已知下
列实验数据：
Ai
AiVu SS
2
11
?
??
,
响应
时，当
Ai
AiVu SS
1
21
?
???
,
响应
时，当
？响应时，－求 ??? iAiVu SS,53
解 根据叠加定理，有：
SS ukiki 21 ??
代入实验数据，得,221 ?? kk
12 21 ?? kk 1
1
2
1
?
?
k
k
Aiui SS 253 ??????
研
究
激
励
和
响
应
关
系
的
实
验
例 6.
采用倒推法：设 i'=1A。
则
求电流 i 。RL=2? R1=1 ? R2=1 ? us=51V
+
–
2V2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–us'=34V
3A8A21A
5A13A
iR1 R1 R1
R2 RL+
–
us R2R2
i '=1A
Aiuuiuuii 5113451,' ' '
s
s
'
s
s ????? 即
解
5,齐性原理 （ homogeneity property)
齐性原理
线性电路中, 所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样
的倍数, 则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样
的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
可加性 (additivity property)。
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
对于给定的任意一个电路, 若某一支路电压为 uk、
电流为 ik,那么这条支路就可以用一个电压等于 uk的
独立电压源, 或者用一个电流等于 ik的 独立电流源,
或用一 R=uk/ik的电阻 来替代, 替代后电路中全部电压
和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
ik
1.替代定理
支
路
k
ik +
–
uk
+
–
uk
ik
+
–
uk R=uk/ik
A
ik
+
–
uk 支路
k
A +
–
uk
uk
uk
uk
－
－
＋
＋A
ik
+
–
uk
支
路
k
证毕 !
2,定理的证明
＝
例 求图示电路的支路电压
和电流。
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
10?
i2i1 ＋
－
u解
? ?
A
i
10
1010551 1 01
?
???
//)(/
Aii 653 12 ?? / Aii 452 13 ?? /
Viu 6010 2 ??
替
代
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2i1 ＋
－
60V
替代以后有：
Ai 105601 1 01 ??? /)(
Ai 415603 ?? /
替代后各支路电压和电流完全不变。
替代前后 KCL,KVL关系相同, 其余支路的 u,i关
系不变 。 用 uk替代后, 其余支路电压不变 (KVL),其余支
路电流也不变, 故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,
其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变, 故第 k条支
路 uk也不变 (KVL)。
原因
注：
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后其余支路及参数不能改变。
2,替代后电路必须有唯一解
无电压源回路；
无电流源节点 (含广义节点 )。
1.5A
10V 5V
2?
5?
＋
－ －
＋
2.5A
1A
5V
+
－
？？
例 1 若要使
试求 Rx。,II x 8
1?
3,替代定理的应用
0.5?
0.5?
+
10V
3? 1? R
x Ix
– +U
I0.5?
＋
－解 用替代：
=
+
0.5?
0.5?1?
– +U
I
0.5?
I81
0.5?
0.5?1?
– +U'
I
0.5?
0.5?
0.5?
1?
– +U''0.5?
I81
xIIIIU 8.01.05.05.2
5.11
5.2
1' ??????
xIIIU 6.0075.018
1
5.2
5.1'' ????????
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2?
例 2 试求 i1。
解 用替代：
6?
5?
+
–
7V
3? 6?
I1
–
+
1?
＋
－
2?
+
－
6V 3V
4A
4?
2?
4?
4A＋
－
7V
I1
AI 5.261542 42671 ??????
I1
IRR
8?
3V
4?
b＋ －
2?
+
－
a 20V
3?
I
例 3 已知, uab=0,求电阻 R。
C
1A
解 用替代：
AI
Iu ab
1
033
??
????
用结点法,Vu
C 20?
14 201)4121( ???? aua 点对
Vuu ba 8?? AI 11 ? AII R 211 ???
Vuuu bCR 12820 ?????
??? 6212R
例 4 2V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。
4?
4V 10?
3A
＋
－
2? + －2V
2?10?
解
0.5AI
I1
10V
＋
－
2? + －2V
2?5?
1
应求电流 I,先化简电路。
622210)512121( 1 ????? u Vu 52.1/61 ??
AI 5.12/)25(1 ??? AI 15.05.1 ???
??? 21/2R
应用结点法得：
例 5 已知, uab=0,求电阻 R。
解
0
0
???
?
cdab
ab
ii
u
用断路替代，得：
Vu bd 105.020 ???
短路替代：
Vu ac 10 ?
4?
42V
30?
0.5A
＋
－
60? 25?
10? 20?
40?
ba
dc
R
Vu R 3010120 ????
1A
Ai R 214/)3042( ????
???? 15230
R
R
i
uR
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中, 常常碰到只需研究某一支路的电
压, 电流或功率的问题 。 对所研究的支路来说, 电
路的其余部分就成为一个有源二端网络, 可等效变
换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流
源与 电阻并联支路 ),使分析和计算简化 。 戴维宁定
理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方
法 。
1,戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络, 对外电路来说, 总
可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电
压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压 uoc,而
电阻等于一端口的输入电阻 （ 或等效电阻 Req） 。
A
a
b
i
u
i a
b
Req
Uoc +
-
u
2.定理的证明
+
a
b
A
i
+
–u N
'
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Req
a
b
A i+
–
u
a
b
A +
–u'
a
b
P
i+
–
u''R
eq
则
替代
叠加
A中
独
立
源
置
零
ocuu ?' iRu eq??''
iRu
uuu
eqoc ??
??
'''
3.定理的应用
(1) 开路电压 Uoc的计算
等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源
短路, 电流源开路 )后, 所得无源一端口网络的输入电阻 。
常用下列方法计算：
（ 2）等效电阻的计算
戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开
路电压 Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关 。 计算
Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法, 使易于计
算 。
2 3 方法更有一般性。
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y
互换的方法计算等效电阻；
1
开路电压，短路电流法。3
外加电源法（加压求流或加流求压）。2
a
b
P
i+
–
u
Req
a
b
P
i+
–
uR
eq i
uR
eq ?
iSC
Uoc
a
b
+
–
Req
sc
oc
eq i
uR ?
(1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路, 外电路
发生改变时, 含源一端口网络的等效电路不变 (伏
-安特性等效 )。
(2) 当一端口内部含有受控源时, 控制电路与受控源
必须包含在被化简的同一部分电路中 。
注：
例 1,计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I；
IRx
a
b
+ –
10V
4?
6?
6?
4?
解
保留 Rx支路，将其余一端
口网络化为戴维宁等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
I a
b
Uoc
+
–
RxReq
(1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
+
Uoc
_
(2) 求等效电阻 Req
Req=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
Rx =5.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A
求 U0 。
3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I
例 2.
Uoc
a
b
+
–
Req
3? U0
-
+
解 (1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A
Uoc=9V
+
–
Uoc
(2) 求等效电阻 Req
方法 1：加压求流
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9 ? (2/3)I0=6I0
Req = U0 /I0=6 ?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
方法 2：开路电压、短路电流 (Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=-6I/3=-2I I=0
Isc=I1=9/6=1.5A
Req = Uoc / Isc =9/1.5=6 ?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
独立源置零
独立源保留
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
Req
3? U0
-
+
6?
9V V3936
3
0 ????U
计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开
路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。
求 负载 RL消耗的功率。例 3.
100?
50?
+
–
40V
RL
a
b
+ –
50V
I1
4I1
50?
5?
解
(1) 求开路电压 Uoc
100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
4I1
50? +
–
Uoc 100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
200I1
50? +
–
Uoc
–+
401 0 02 0 01 0 0 111 ??? III
AI 1.01 ? VIU oc 10100 1 ??
(2) 求等效电阻 Req
用开路电压、短路电流法
Isc
50?
+
–
40V
a
b
Isc50?
AI sc 4.0100/40 ?? ???? 254.0/10
sc
oc
eq I
UR
a
b
Uoc
+
–
Req 5?25?
10V
＋
－
50V
IL A
UI oc
L 230
60
525
50 ??
?
??
WIP LL 20455 2 ????
已知开关 S
例 4,1 A ＝ 2A
2 V ＝ 4V
求开关 S打向 3，电压 U等于多少
解 VUAi
ocSc 4 2 ??
?? 2eqR
VU 1141)52( ?????
线性
含源
网络 A V
5?
U
+
－
S
1 32 1A
＋
－4V
任何一个含源线性一端口电路, 对外电路来说, 可以
用一个电流源和电导 (电阻 )的并联组合来等效置换；电流
源的电流等于该一端口的短路电流, 而电导 (电阻 )等于把
该一端口的全部独立电源置零后的输入电导 (电阻 )。
4,诺顿定理
诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效
变换得到 。 诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的
方法证明 。 证明过程从略 。
A
a
b
a
b
Geq(Req)Isc
例 1 求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
(1) 求短路电流 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
解
Isc
I1
I2
(2) 求等效电阻 Req
Req =10//2=1.67 ?
(3) 诺顿等效电路,
Req 2?10?
a
b
应 用 分
流公式
4?I
a
b
-9.6A
1.67?
I =2.83A
例 2 求电压 U。
3?
6?
+
–
24V
a
b
1A
3?
+
–
U
6?
6?
6?
(1) 求短路电流 Isc
Isc
解 本题用诺顿定理求比较方便。因 a,b
处的短路电流比开
路电压容易求
AI sc 363 366//3 242136//6 24 ????????
(2) 求等效电阻 Req
Req
? ? ? ? ????? 466//3//63//6eqR
(3) 诺顿等效电路,
Isc
a
b
1A
4?
＋
－
U
VU 164)13( ????
4.4 最大功率传输定理
一个含源线性一端口电路, 当所接负载不同时, 一端
口电路传输给负载的功率就不同, 讨论负载为何值时能从
电路获取最大功率, 及最大功率的值是多少的问题是有工
程意义的 。
A
i +
–
u 负载
i
Uoc
+
–
u+
–
Req
RL应用戴维宁定理
2)(
Leq
oc
L RR
uRP
?
?
RL
P
0
P max
0
)(
)(2)(
4
2
2' ?
?
???
?
Leq
LeqLLeq
oc RR
RRRRR
uP
eqL RR ?
eq
oc
R
u
P
4
2
m a x ?
最大功率
匹配条件
对 P求导：
例 RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率 。
20?
+
–20V
a
b
2A
+
–
UR
RL
10?
20
RU
(1) 求开路电压 Uoc
(2) 求等效电阻 Req
??? 20IUR eq
＋
－
Uoc
I1 I2 2021 RUII ?? AII 221 ??
IIIU 202/2010 ????
VIU oc 602020102 2 ?????
20?
+
–
I
a
b
+
–
UR
10?
20
RU
UI2I1
221 III ??
AII 121 ??
(3) 由最大功率传输定理得,
??? 20eqL RR 时其上可获得最大功率
WRUP
eq
oc 45
204
60
4
22
m a x ????
注 (1) 最大功率传输定理用于一端口电路给定,
负载电阻可调的情况 ;
(2) 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于
端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大
功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
(3) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理
或诺顿定理最方便,
4.5 特勒根定理
(Tellegen’s Theorem)
1,特勒根定理 1
任何时刻，对于一个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
?
?
?
b
k
kk iu
1
0
功率守恒
定理证明：
表明任何一个电路的全部支路吸收的功率
之和恒等于零。
46
5
1
2 3
4
2
3
1
应用
KCL,0
654 ???? iii
0421 ???? iii
0632 ???? iii
1
2
3
?
?
????
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211 ?
63252421
3323111
)()(
)(
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
????
?????
0)(
)(
)(
6323
6542
4211
?????
????
???
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
支路电
压用结
点电压
表示
1,特勒根定理 2
任何时刻，对于两个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电
流和电压取关联参考方向下，满足,
?
?
?
b
k
kk iu
1
0?
?
?
?
b
k
kk iu
1
0?
46
5
1
2 3
4
2
3
146
5
1
2 3
4
2
3
1
),( kk iu )?,?( kk iu拟功率定理
定理证明：
对电路 2应用 KCL,0??? 654 ???? iii
0??? 421 ???? iii
0??? 632 ???? iii
1
2
3
?
?
????
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211
???? ?
63252421
3323111
?)(??)(
??)(?
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
????
?????
0)???(
)???(
)???(
6323
6542
4211
?????
????
???
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
例 1 (1) R1=R2=2?,Us=8V 时,
I1=2A,U2 =2V
(2) R1=1.4 ?,R2=0.8?,Us=9V时,
I1=3A,求此时的 U2 。
解 把（ 1）、（ 2）两种情况看成是结构相同，参数不同
的两个电路，利用特勒根定理 2
由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
222211 ( 5 / 4 )/ A,3 V,8.44.139,( 2 )
????? ??????? URUIIU得由
),(
? )(?)(
11
3
2211
3
2211
的方向不同负号是因为 IU
IIRIUIUIIRIUIU
b
k
kkk
b
k
kkk ??
?
??
?
??
???????
128.425.1234 22 ????????? ?? UU
无源
电阻
网络
P–
+
U1
+
–
Us
R1I1 I2
–
+
U2R2
V6.15.1/4.2 2 ???U
例 2.
解
P
–
+
U1
–
+
U2 I2
I1
P
–
+
–
+
2?
1
?U 2?U
1
?I
2
?I
已知,U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A V102 ??U,1?U求
)()( 22112211 IUIUIUIU ???? ?????
11 2
?? ? IU
V.11 ??U
)(2 221111 IUIUUU
??
?
????
110)5(
2
10 11 ??????
?
?
UU
应用特勒根定理需注意：
（ 1）电路中的支路电压必须满足 KVL;
（ 2）电路中的支路电流必须满足 KCL;
（ 3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；
（否则公式中加负号）
（ 4）定理的正确性与元件的特征全然无关。
4,5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
互易性是一类特殊的线性网络的重要性质 。 一个具有互
易性的网络在输入端 （ 激励 ） 与输出端 （ 响应 ） 互换位置后,
同一激励所产生的响应并不改变 。 具有互易性的网络叫互易
网络, 互易定理是对电路的这种性质所进行的概括, 它广泛
的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面 。
1,互易定理
对一个仅含电阻的二端口电路 NR，其中一个端口加激励
源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当
激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。
? 情况 1
i2
线性
电阻
网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
激励 电压源 电流响应
c
d
线性
电阻
网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
当 uS1 = uS2 时,i2 = i1
则两个支路中电压电流有如下关系：
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
?? 或
证明, 由特勒根定理：
0? 0
11
?? ??
??
? b
k
kk
b
k
kk iuiu 和
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
即：
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得 ??
22112211 iuiuiuiu
?? ???
将图 (a)与图 (b)中支路 1,2的条件代入，即,
即,证毕！
,0,0,221211 SS uuuuuu ????
??
0 ?0 221211 iuiiiu SS ?????
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
?? 或
i2
线性
电阻
网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
2211
2
1
1
2
SS
SS
iuiu
i
u
i
u ?? 或
? 情况 2 激励 电流源 电压响应
u2
线性
电阻
网络
NR
+
–
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
u1+
–
iS2
a
b (b)
则两个支路中电压电流有如下关系：
当 iS1 = iS2 时,u2 = u1
2211
2
1
1
2 iuiu
u
u
i
i
SS
SS
?? 或
? 情况 3
则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：
当 iS1 = uS2 时,i2 = u1
激励
电流源
电压源图 b
图 a 电流
响应 图 b
图 a
电压
i2
线性
电阻
网络
NR
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
u1+
–
uS2
a
b (b)
+
–
(3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下,
两个支路电压电流关系 。
(1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变, 仅理想电源搬移；
(2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都
关联，要么都非关联 )；
(4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理分析电路时应注意：
例 1 求 (a)图电流 I, (b)图电压 U。
解 利用互易定理
1?
6? I+
– 12V
2?
(a)
4?
(b)
1?
2?
4? +
–
U6?
6A
I
＋
－
12V
+
－
U
6A
A5.1216//61 12 ????I VU 623 ???
例 2
2?1?
2?4? + –8V 2?
I
a b c
d
求电流 I 。
解 利用互易定理
I1 = I'?2/(4+2)=2/3A
I2 = I'?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
2?1?
2?4?
+
–8V
2?
I
a b c
d
I1
I2
I'
A24821242 8 ????? ////'I
例 3 测得 a图中 U1＝ 10V,U2＝ 5V，求 b图中的电流 I 。
解 1
(1) 利用互易定理知 c 图的
u1
+
–
u2
线性
电阻
网络
NR
+
–
2A
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
2A
a
b (b)
+
–
5? I
c
d
线性
电阻
网络
NR
2A
a
b (c)
+
–
+
–1?u
开路电压）(5? 1 Vu ?
c
d
线性
电阻
网络
NR
Req
a
b (d)
5?
5? +
–5V
a
b
I
(2) 结合 a图，知 c 图的等效电阻,52102 1 ??? uR eq
戴维宁等
效电路
A5.055 5 ???I
解 2 应用特勒根定理,?? 22112211 iuiuiuiu ?? ???
0)2(?5 )2(5?10 211 ???????? ?uii
AIi 5.0?1 ??
例 4 问图示电路 ?与 ?取何关系时电路具有互易性。
解 在 a-b端口加电流源，解得：
1? 3?1?
+
–
?U
?I
a
b
c
d
I
+– U
IS IS
1? 3?1?
+
–
?U
?I
a
b
c
d
I
+– U
? ? Scd IIIUIUU 3)1(3 )1( 3 ????????? ?????
在 c-d端口加电流源，解得：
S
Sab
I
IIIUIIU
)3(
) ( )3( 3
????
?????
????
????????
如要电路具有互易性，则：
cdab UU ?
? ? )3(3)1( ?????? ??????
2
?? ? 一般有受控源的电
路不具有互易性。
例 5 图示线性电路,当 A支路中的电阻 R＝ 0时，测得 B支路电压 U=U
1,当 R＝ ?时,U＝ U2,已知 ab端口的
等效电阻为 RA，求 R为任意值时的电压 U。
线性
有源
网络
U
–
+
RRA
a
b
AB
解
线性
有源
网络
U
–
+
RRA
a
b
AB
（ 2）应用替代定理：
I
（ 1）应用戴维宁定理：
R
a
b
I
+
–
Uoc
RA
（ 3）应用叠加定理：
21 kIkU ??
220 UkUIR ???????
211
0
k
R
U
kUU
RUIR
A
oc
Aoc
????
???
解得：
22
21
1 UkRU
UUk
A
oc
???
A
AA
oc
A
oc
RRR UUURR URU UUUU ????????? 212212
例 7 图 a为线性电路,N为相同的 电阻网络,对称连接,测得电流 i
1=I1,i2＝ I2,求 b图中的 i’1
N NUS
i2i1
b
a
+
-
(a)
NUS
i’1
b
a
+
-
(b)
解 对图 (c)应用叠加和互易定理
N NUS
i”1
b
a
+
-
(c)
US
+
-
21"1 IIi ??
对图 (c)应用戴维宁定理
N NUS
i”1
b
a
+
-
(c)
US
+
-
Uoc
i=0
b
a
+
-
Uoc
+
-
RR
=i’1
21'1"1 IIii ???
(Circuit Theorems)
4.1 叠加定理 (Superposition Theorem)
4.2 替代定理 (Substitution Theorem)
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
4.4 特勒根定理 (Tellegen’s Theorem)
4.5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
4.6 对偶原理 (Dual Principle)
? 重点,
掌握各定理的内容、适用范围及
如何应用；
1,叠加定理
在线性电路中, 任一支路的电流 (或电压 )可以看成
是电路中每一个独立电源单独作用于电路时, 在该支路
产生的电流 (或电压 )的代数和 。
4.1 叠加定理
(Superposition Theorem)
2,定理的证明
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
用结点法：
(G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
32
1
32
33
32
22
1 GG
i
GG
uG
GG
uGu SSS
n ??????
或表示为：
)()()( 3
3
2
2
1
1
3322111
nnn
SsSn
uuu
uauaiau
???
???
支路电流为：
)()()(
)(
3
2
2
2
1
2332211
32
1
32
33
2
232
2
2
21
2
1
iiiububib
GG
i
GG
uG
u
RGG
G
R
uu
i
SSS
SS
S
Sn
??????
?
?
?
??
?
?
?
?
)()()(
)()(
3
3
2
3
1
3
32
1
3
332
3
2
32
2
3
31
3
1
iii
GG
i
u
RGG
G
u
GG
G
R
uu
i SSSSn
???
?
??
?
?
?
?
?
?
结点电压和支路电流均为各电源的一次函数,均
可看成各独立电源单独作用时，产生的响应之叠加。
结论
3,几点说明
1,叠加定理只适用于线性电路。
2,一个电源作用，其余电源为零
电压源为零 —短路。
电流源为零 —开路。
R1
is1
R2
us2
R3
us3
i2 i3
+
–
+
–
1
三个电源共同作用
R1
is1
R2 R3
1
)(12i )(1
3i
is1单独作用
=
+
us2单独作用 us3单独作用
+ R1 R2
us2
R3
+
–
1
)(23i)(22i R
1 R2
us3
R3
+
–
1
)(32i )(3
3i
3,功率不能叠加 (功率为电压和电流的乘积，为电源的
二次函数 )。
4,u,i叠加时要注意各分量的参考方向。
5,含受控源 (线性 )电路亦可用叠加, 但叠加只适用于
独立源, 受控源应始终保留 。
4,叠加定理的应用
例 1 求电压 U.
8?
12V
3A
+
– 6?
3?2?
+
－
U
8? 3A 6?
3?2?
+
－
U(2）
8?
12V
+
– 6?
3?2?
+
－
U(1)
画出分
电路图
＋
12V电源作用,VU 43
9
12)1( ?????
3A电源作用,VU 63)3//6()2( ??? VU 264 ????
解
例 2 ＋
－
10V
2A＋
－
u
2?
3? 3?
2?求电流源的电压和发出
的功率
＋
－
10V
＋
－
U（ 1）
2?
3? 3?
2? 2A＋
－
U（ 2）
2?
3? 3?
2?
＋
Vu 21052531 ???? )()(
Vu 84225 322,)( ?????
Vu 86,? WP 613286,,???
画出分
电路图
为两个简
单电路
10V电源作用：
2A电源作用：
例 3
u
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3A3?6?
6V
＋ －计算电压 u。
画出分
电路图 1?
3A
3?6?
＋ －u（ 1）
＋
Vu 931361 ???? )//()(
Viu 81266 22 ????? )()(
＋
－
12V 2A
＋
－
1?
3?6?
6V
＋ －
u (2）i (2)
Ai 2361262 ???? )/()()( Vuuu 178921 ????? )()(
说明：叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，
也可以一次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。
3A电流源作用：
其余电源作用：
例 4 计算电压 u电流 i。
画出分
电路图 u（ 1）
＋
－
10V
2i (1)＋－
1?2? ＋
－
i（ 1） ＋
)/()( )()( 12210 11 ??? ii
Viiiu 6321 1111 ????? )()()()(
Ai 21 ?)(
Vu 826 ???
u
＋
－
10V
2i＋－
1?i 2? ＋
－
5A
u(2)
2i (2)＋－
1?
i (2)
2? ＋
－
5A
)( )()()( 02512 222 ????? iii Ai 12 ??)(
Viu 2122 22 ??????? )()()(
Ai 112 ???? )(
受控源始
终保留
10V电源作用：
5A电源作用：
例 5
无源
线性
网络
uS
i
－＋
iS
封装好的电路如图，已知下
列实验数据：
Ai
AiVu SS
2
11
?
??
,
响应
时，当
Ai
AiVu SS
1
21
?
???
,
响应
时，当
？响应时，－求 ??? iAiVu SS,53
解 根据叠加定理，有：
SS ukiki 21 ??
代入实验数据，得,221 ?? kk
12 21 ?? kk 1
1
2
1
?
?
k
k
Aiui SS 253 ??????
研
究
激
励
和
响
应
关
系
的
实
验
例 6.
采用倒推法：设 i'=1A。
则
求电流 i 。RL=2? R1=1 ? R2=1 ? us=51V
+
–
2V2A
+ –3V+ –8V+ –21V
+
–us'=34V
3A8A21A
5A13A
iR1 R1 R1
R2 RL+
–
us R2R2
i '=1A
Aiuuiuuii 5113451,' ' '
s
s
'
s
s ????? 即
解
5,齐性原理 （ homogeneity property)
齐性原理
线性电路中, 所有激励 (独立源 )都增大 (或减小 )同样
的倍数, 则电路中响应 (电压或电流 )也增大 (或减小 )同样
的倍数 。
当激励只有一个时，则响应与激励成正比。
可加性 (additivity property)。
4,2 替代定理 (Substitution Theorem)
对于给定的任意一个电路, 若某一支路电压为 uk、
电流为 ik,那么这条支路就可以用一个电压等于 uk的
独立电压源, 或者用一个电流等于 ik的 独立电流源,
或用一 R=uk/ik的电阻 来替代, 替代后电路中全部电压
和电流均保持原有值 (解答唯一 )。
ik
1.替代定理
支
路
k
ik +
–
uk
+
–
uk
ik
+
–
uk R=uk/ik
A
ik
+
–
uk 支路
k
A +
–
uk
uk
uk
uk
－
－
＋
＋A
ik
+
–
uk
支
路
k
证毕 !
2,定理的证明
＝
例 求图示电路的支路电压
和电流。
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
10?
i2i1 ＋
－
u解
? ?
A
i
10
1010551 1 01
?
???
//)(/
Aii 653 12 ?? / Aii 452 13 ?? /
Viu 6010 2 ??
替
代
＋
－
i3
10?
5? 5?
110V
i2i1 ＋
－
60V
替代以后有：
Ai 105601 1 01 ??? /)(
Ai 415603 ?? /
替代后各支路电压和电流完全不变。
替代前后 KCL,KVL关系相同, 其余支路的 u,i关
系不变 。 用 uk替代后, 其余支路电压不变 (KVL),其余支
路电流也不变, 故第 k条支路 ik也不变 (KCL)。 用 ik替代后,
其余支路电流不变 (KCL),其余支路电压不变, 故第 k条支
路 uk也不变 (KVL)。
原因
注：
1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。
3.替代后其余支路及参数不能改变。
2,替代后电路必须有唯一解
无电压源回路；
无电流源节点 (含广义节点 )。
1.5A
10V 5V
2?
5?
＋
－ －
＋
2.5A
1A
5V
+
－
？？
例 1 若要使
试求 Rx。,II x 8
1?
3,替代定理的应用
0.5?
0.5?
+
10V
3? 1? R
x Ix
– +U
I0.5?
＋
－解 用替代：
=
+
0.5?
0.5?1?
– +U
I
0.5?
I81
0.5?
0.5?1?
– +U'
I
0.5?
0.5?
0.5?
1?
– +U''0.5?
I81
xIIIIU 8.01.05.05.2
5.11
5.2
1' ??????
xIIIU 6.0075.018
1
5.2
5.1'' ????????
U=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2Ix Rx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2?
例 2 试求 i1。
解 用替代：
6?
5?
+
–
7V
3? 6?
I1
–
+
1?
＋
－
2?
+
－
6V 3V
4A
4?
2?
4?
4A＋
－
7V
I1
AI 5.261542 42671 ??????
I1
IRR
8?
3V
4?
b＋ －
2?
+
－
a 20V
3?
I
例 3 已知, uab=0,求电阻 R。
C
1A
解 用替代：
AI
Iu ab
1
033
??
????
用结点法,Vu
C 20?
14 201)4121( ???? aua 点对
Vuu ba 8?? AI 11 ? AII R 211 ???
Vuuu bCR 12820 ?????
??? 6212R
例 4 2V电压源用多大的电阻置换而不影响电路的工作状态。
4?
4V 10?
3A
＋
－
2? + －2V
2?10?
解
0.5AI
I1
10V
＋
－
2? + －2V
2?5?
1
应求电流 I,先化简电路。
622210)512121( 1 ????? u Vu 52.1/61 ??
AI 5.12/)25(1 ??? AI 15.05.1 ???
??? 21/2R
应用结点法得：
例 5 已知, uab=0,求电阻 R。
解
0
0
???
?
cdab
ab
ii
u
用断路替代，得：
Vu bd 105.020 ???
短路替代：
Vu ac 10 ?
4?
42V
30?
0.5A
＋
－
60? 25?
10? 20?
40?
ba
dc
R
Vu R 3010120 ????
1A
Ai R 214/)3042( ????
???? 15230
R
R
i
uR
4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中, 常常碰到只需研究某一支路的电
压, 电流或功率的问题 。 对所研究的支路来说, 电
路的其余部分就成为一个有源二端网络, 可等效变
换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流
源与 电阻并联支路 ),使分析和计算简化 。 戴维宁定
理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方
法 。
1,戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络, 对外电路来说, 总
可以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电
压源的电压等于外电路断开时端口处的开路电压 uoc,而
电阻等于一端口的输入电阻 （ 或等效电阻 Req） 。
A
a
b
i
u
i a
b
Req
Uoc +
-
u
2.定理的证明
+
a
b
A
i
+
–u N
'
i
Uoc
+
–
u N'
a
b
+
–
Req
a
b
A i+
–
u
a
b
A +
–u'
a
b
P
i+
–
u''R
eq
则
替代
叠加
A中
独
立
源
置
零
ocuu ?' iRu eq??''
iRu
uuu
eqoc ??
??
'''
3.定理的应用
(1) 开路电压 Uoc的计算
等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零 (电压源
短路, 电流源开路 )后, 所得无源一端口网络的输入电阻 。
常用下列方法计算：
（ 2）等效电阻的计算
戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开
路电压 Uoc,电压源方向与所求开路电压方向有关 。 计算
Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法, 使易于计
算 。
2 3 方法更有一般性。
当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和 △－ Y
互换的方法计算等效电阻；
1
开路电压，短路电流法。3
外加电源法（加压求流或加流求压）。2
a
b
P
i+
–
u
Req
a
b
P
i+
–
uR
eq i
uR
eq ?
iSC
Uoc
a
b
+
–
Req
sc
oc
eq i
uR ?
(1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路, 外电路
发生改变时, 含源一端口网络的等效电路不变 (伏
-安特性等效 )。
(2) 当一端口内部含有受控源时, 控制电路与受控源
必须包含在被化简的同一部分电路中 。
注：
例 1,计算 Rx分别为 1.2?,5.2?时的 I；
IRx
a
b
+ –
10V
4?
6?
6?
4?
解
保留 Rx支路，将其余一端
口网络化为戴维宁等效电路：
a
b
+ –10V
–
+U
2
+
– U1 IRx
I a
b
Uoc
+
–
RxReq
(1) 求开路电压
Uoc = U1 + U2
= -10?4/(4+6)+10? 6/(4+6)
= -4+6=2V
+
Uoc
_
(2) 求等效电阻 Req
Req=4//6+6//4=4.8?
(3) Rx =1.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
Rx =5.2?时，
I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A
求 U0 。
3? 3?
6?
I+
–
9V
+
–
U0
a
b
+– 6I
例 2.
Uoc
a
b
+
–
Req
3? U0
-
+
解 (1) 求开路电压 Uoc
Uoc=6I+3I
I=9/9=1A
Uoc=9V
+
–
Uoc
(2) 求等效电阻 Req
方法 1：加压求流
U0=6I+3I=9I
I=I0?6/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9 ? (2/3)I0=6I0
Req = U0 /I0=6 ?
3?
6?
I +
–
U0
a
b
+– 6I I0
方法 2：开路电压、短路电流 (Uoc=9V)
6 I1 +3I=9
I=-6I/3=-2I I=0
Isc=I1=9/6=1.5A
Req = Uoc / Isc =9/1.5=6 ?
3?
6?
I+
–
9V Isc
a
b
+– 6I
I1
独立源置零
独立源保留
(3) 等效电路
a
b
Uoc
+
–
Req
3? U0
-
+
6?
9V V3936
3
0 ????U
计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开
路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。
求 负载 RL消耗的功率。例 3.
100?
50?
+
–
40V
RL
a
b
+ –
50V
I1
4I1
50?
5?
解
(1) 求开路电压 Uoc
100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
4I1
50? +
–
Uoc 100?
50?
+
–
40V
a
b
I1
200I1
50? +
–
Uoc
–+
401 0 02 0 01 0 0 111 ??? III
AI 1.01 ? VIU oc 10100 1 ??
(2) 求等效电阻 Req
用开路电压、短路电流法
Isc
50?
+
–
40V
a
b
Isc50?
AI sc 4.0100/40 ?? ???? 254.0/10
sc
oc
eq I
UR
a
b
Uoc
+
–
Req 5?25?
10V
＋
－
50V
IL A
UI oc
L 230
60
525
50 ??
?
??
WIP LL 20455 2 ????
已知开关 S
例 4,1 A ＝ 2A
2 V ＝ 4V
求开关 S打向 3，电压 U等于多少
解 VUAi
ocSc 4 2 ??
?? 2eqR
VU 1141)52( ?????
线性
含源
网络 A V
5?
U
+
－
S
1 32 1A
＋
－4V
任何一个含源线性一端口电路, 对外电路来说, 可以
用一个电流源和电导 (电阻 )的并联组合来等效置换；电流
源的电流等于该一端口的短路电流, 而电导 (电阻 )等于把
该一端口的全部独立电源置零后的输入电导 (电阻 )。
4,诺顿定理
诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效
变换得到 。 诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的
方法证明 。 证明过程从略 。
A
a
b
a
b
Geq(Req)Isc
例 1 求电流 I 。
12V
2?
10?
+
–
24V
a
b
4? I
+ –
(1) 求短路电流 Isc
I1 =12/2=6A
I2=(24+12)/10=3.6A
Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A
解
Isc
I1
I2
(2) 求等效电阻 Req
Req =10//2=1.67 ?
(3) 诺顿等效电路,
Req 2?10?
a
b
应 用 分
流公式
4?I
a
b
-9.6A
1.67?
I =2.83A
例 2 求电压 U。
3?
6?
+
–
24V
a
b
1A
3?
+
–
U
6?
6?
6?
(1) 求短路电流 Isc
Isc
解 本题用诺顿定理求比较方便。因 a,b
处的短路电流比开
路电压容易求
AI sc 363 366//3 242136//6 24 ????????
(2) 求等效电阻 Req
Req
? ? ? ? ????? 466//3//63//6eqR
(3) 诺顿等效电路,
Isc
a
b
1A
4?
＋
－
U
VU 164)13( ????
4.4 最大功率传输定理
一个含源线性一端口电路, 当所接负载不同时, 一端
口电路传输给负载的功率就不同, 讨论负载为何值时能从
电路获取最大功率, 及最大功率的值是多少的问题是有工
程意义的 。
A
i +
–
u 负载
i
Uoc
+
–
u+
–
Req
RL应用戴维宁定理
2)(
Leq
oc
L RR
uRP
?
?
RL
P
0
P max
0
)(
)(2)(
4
2
2' ?
?
???
?
Leq
LeqLLeq
oc RR
RRRRR
uP
eqL RR ?
eq
oc
R
u
P
4
2
m a x ?
最大功率
匹配条件
对 P求导：
例 RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率 。
20?
+
–20V
a
b
2A
+
–
UR
RL
10?
20
RU
(1) 求开路电压 Uoc
(2) 求等效电阻 Req
??? 20IUR eq
＋
－
Uoc
I1 I2 2021 RUII ?? AII 221 ??
IIIU 202/2010 ????
VIU oc 602020102 2 ?????
20?
+
–
I
a
b
+
–
UR
10?
20
RU
UI2I1
221 III ??
AII 121 ??
(3) 由最大功率传输定理得,
??? 20eqL RR 时其上可获得最大功率
WRUP
eq
oc 45
204
60
4
22
m a x ????
注 (1) 最大功率传输定理用于一端口电路给定,
负载电阻可调的情况 ;
(2) 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于
端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大
功率时,电路的传输效率并不一定是 50%;
(3) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理
或诺顿定理最方便,
4.5 特勒根定理
(Tellegen’s Theorem)
1,特勒根定理 1
任何时刻，对于一个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
在支路电流和电压取关联参考方向下，满足,
?
?
?
b
k
kk iu
1
0
功率守恒
定理证明：
表明任何一个电路的全部支路吸收的功率
之和恒等于零。
46
5
1
2 3
4
2
3
1
应用
KCL,0
654 ???? iii
0421 ???? iii
0632 ???? iii
1
2
3
?
?
????
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211 ?
63252421
3323111
)()(
)(
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
????
?????
0)(
)(
)(
6323
6542
4211
?????
????
???
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
支路电
压用结
点电压
表示
1,特勒根定理 2
任何时刻，对于两个具有 n个结点和 b条支路的集总电路，
当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成，在支路电
流和电压取关联参考方向下，满足,
?
?
?
b
k
kk iu
1
0?
?
?
?
b
k
kk iu
1
0?
46
5
1
2 3
4
2
3
146
5
1
2 3
4
2
3
1
),( kk iu )?,?( kk iu拟功率定理
定理证明：
对电路 2应用 KCL,0??? 654 ???? iii
0??? 421 ???? iii
0??? 632 ???? iii
1
2
3
?
?
????
b
k
kk iuiuiuiu
1
662211
???? ?
63252421
3323111
?)(??)(
??)(?
iuuiuiuu
iuiuuiu
nnnnn
nnnn
????
?????
0)???(
)???(
)???(
6323
6542
4211
?????
????
???
iiiu
iiiu
iiiu
n
n
n
例 1 (1) R1=R2=2?,Us=8V 时,
I1=2A,U2 =2V
(2) R1=1.4 ?,R2=0.8?,Us=9V时,
I1=3A,求此时的 U2 。
解 把（ 1）、（ 2）两种情况看成是结构相同，参数不同
的两个电路，利用特勒根定理 2
由 (1)得,U1=4V,I1=2A,U2=2V,I2=U2/R2=1A
222211 ( 5 / 4 )/ A,3 V,8.44.139,( 2 )
????? ??????? URUIIU得由
),(
? )(?)(
11
3
2211
3
2211
的方向不同负号是因为 IU
IIRIUIUIIRIUIU
b
k
kkk
b
k
kkk ??
?
??
?
??
???????
128.425.1234 22 ????????? ?? UU
无源
电阻
网络
P–
+
U1
+
–
Us
R1I1 I2
–
+
U2R2
V6.15.1/4.2 2 ???U
例 2.
解
P
–
+
U1
–
+
U2 I2
I1
P
–
+
–
+
2?
1
?U 2?U
1
?I
2
?I
已知,U1=10V,I1=5A,U2=0,I2=1A V102 ??U,1?U求
)()( 22112211 IUIUIUIU ???? ?????
11 2
?? ? IU
V.11 ??U
)(2 221111 IUIUUU
??
?
????
110)5(
2
10 11 ??????
?
?
UU
应用特勒根定理需注意：
（ 1）电路中的支路电压必须满足 KVL;
（ 2）电路中的支路电流必须满足 KCL;
（ 3）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参考方向；
（否则公式中加负号）
（ 4）定理的正确性与元件的特征全然无关。
4,5 互易定理 (Reciprocity Theorem)
互易性是一类特殊的线性网络的重要性质 。 一个具有互
易性的网络在输入端 （ 激励 ） 与输出端 （ 响应 ） 互换位置后,
同一激励所产生的响应并不改变 。 具有互易性的网络叫互易
网络, 互易定理是对电路的这种性质所进行的概括, 它广泛
的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面 。
1,互易定理
对一个仅含电阻的二端口电路 NR，其中一个端口加激励
源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的情况下，当
激励与响应互换位置时，同一激励所产生的响应相同。
? 情况 1
i2
线性
电阻
网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
激励 电压源 电流响应
c
d
线性
电阻
网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
当 uS1 = uS2 时,i2 = i1
则两个支路中电压电流有如下关系：
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
?? 或
证明, 由特勒根定理：
0? 0
11
?? ??
??
? b
k
kk
b
k
kk iuiu 和
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
即：
0
3
2211
3
2211
1
? ????
?????
?
???
?
???
?
?
b
k
kkk
b
k
kk
b
k
kk
iiRiuiu
iuiuiuiu
两式相减，得 ??
22112211 iuiuiuiu
?? ???
将图 (a)与图 (b)中支路 1,2的条件代入，即,
即,证毕！
,0,0,221211 SS uuuuuu ????
??
0 ?0 221211 iuiiiu SS ?????
2211
2
1
1
2 iuiu
u
i
u
i
SS
SS
?? 或
i2
线性
电阻
网络
NR
+
–
uS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
i1 +
–
uS2
a
b (b)
2211
2
1
1
2
SS
SS
iuiu
i
u
i
u ?? 或
? 情况 2 激励 电流源 电压响应
u2
线性
电阻
网络
NR
+
–
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
u1+
–
iS2
a
b (b)
则两个支路中电压电流有如下关系：
当 iS1 = iS2 时,u2 = u1
2211
2
1
1
2 iuiu
u
u
i
i
SS
SS
?? 或
? 情况 3
则两个支路中电压电流在数值上有如下关系：
当 iS1 = uS2 时,i2 = u1
激励
电流源
电压源图 b
图 a 电流
响应 图 b
图 a
电压
i2
线性
电阻
网络
NR
iS1
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
u1+
–
uS2
a
b (b)
+
–
(3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下,
两个支路电压电流关系 。
(1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变, 仅理想电源搬移；
(2) 互易前后端口处的激励和响应的极性保持一致（要么都
关联，要么都非关联 )；
(4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。
应用互易定理分析电路时应注意：
例 1 求 (a)图电流 I, (b)图电压 U。
解 利用互易定理
1?
6? I+
– 12V
2?
(a)
4?
(b)
1?
2?
4? +
–
U6?
6A
I
＋
－
12V
+
－
U
6A
A5.1216//61 12 ????I VU 623 ???
例 2
2?1?
2?4? + –8V 2?
I
a b c
d
求电流 I 。
解 利用互易定理
I1 = I'?2/(4+2)=2/3A
I2 = I'?2/(1+2)=4/3A
I= I1-I2 = - 2/3A
2?1?
2?4?
+
–8V
2?
I
a b c
d
I1
I2
I'
A24821242 8 ????? ////'I
例 3 测得 a图中 U1＝ 10V,U2＝ 5V，求 b图中的电流 I 。
解 1
(1) 利用互易定理知 c 图的
u1
+
–
u2
线性
电阻
网络
NR
+
–
2A
a
b
c
d
(a)
c
d
线性
电阻
网络
NR
2A
a
b (b)
+
–
5? I
c
d
线性
电阻
网络
NR
2A
a
b (c)
+
–
+
–1?u
开路电压）(5? 1 Vu ?
c
d
线性
电阻
网络
NR
Req
a
b (d)
5?
5? +
–5V
a
b
I
(2) 结合 a图，知 c 图的等效电阻,52102 1 ??? uR eq
戴维宁等
效电路
A5.055 5 ???I
解 2 应用特勒根定理,?? 22112211 iuiuiuiu ?? ???
0)2(?5 )2(5?10 211 ???????? ?uii
AIi 5.0?1 ??
例 4 问图示电路 ?与 ?取何关系时电路具有互易性。
解 在 a-b端口加电流源，解得：
1? 3?1?
+
–
?U
?I
a
b
c
d
I
+– U
IS IS
1? 3?1?
+
–
?U
?I
a
b
c
d
I
+– U
? ? Scd IIIUIUU 3)1(3 )1( 3 ????????? ?????
在 c-d端口加电流源，解得：
S
Sab
I
IIIUIIU
)3(
) ( )3( 3
????
?????
????
????????
如要电路具有互易性，则：
cdab UU ?
? ? )3(3)1( ?????? ??????
2
?? ? 一般有受控源的电
路不具有互易性。
例 5 图示线性电路,当 A支路中的电阻 R＝ 0时，测得 B支路电压 U=U
1,当 R＝ ?时,U＝ U2,已知 ab端口的
等效电阻为 RA，求 R为任意值时的电压 U。
线性
有源
网络
U
–
+
RRA
a
b
AB
解
线性
有源
网络
U
–
+
RRA
a
b
AB
（ 2）应用替代定理：
I
（ 1）应用戴维宁定理：
R
a
b
I
+
–
Uoc
RA
（ 3）应用叠加定理：
21 kIkU ??
220 UkUIR ???????
211
0
k
R
U
kUU
RUIR
A
oc
Aoc
????
???
解得：
22
21
1 UkRU
UUk
A
oc
???
A
AA
oc
A
oc
RRR UUURR URU UUUU ????????? 212212
例 7 图 a为线性电路,N为相同的 电阻网络,对称连接,测得电流 i
1=I1,i2＝ I2,求 b图中的 i’1
N NUS
i2i1
b
a
+
-
(a)
NUS
i’1
b
a
+
-
(b)
解 对图 (c)应用叠加和互易定理
N NUS
i”1
b
a
+
-
(c)
US
+
-
21"1 IIi ??
对图 (c)应用戴维宁定理
N NUS
i”1
b
a
+
-
(c)
US
+
-
Uoc
i=0
b
a
+
-
Uoc
+
-
RR
=i’1
21'1"1 IIii ???
