第 2章 电阻电路的等效变换
2,电阻的串、并联；
4,电压源和电流源的等效变换；
3,Y—? 变换 ;
? 重点：
1,电路等效的概念；
2.1 引
言
?电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路
?分析方法
（ 1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分
析电阻电路的依据；
（ 2）等效变换的方法,也称化简的方法
2.2 电路的等效变换
任何一个复杂的电路,向外引出两个端钮，且从一个
端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电
路为二端络网 (或一端口网络 )。
1,两端电路（网络）
无
源
无
源
一
端
口
2,两端电路等效的概念
两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系,则
称它们是等效的电路。
ii
B
+
-
ui C
+
-
ui
等效
对 A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B A C A
明
确
（ 1）电路等效变换的条件
（ 2）电路等效变换的对象
（ 3）电路等效变换的目的
两电路具有相同的 VCR
未变化的外电路 A中
的电压、电流和功率
化简电路，方便计算
2.3 电阻的串联、并联和串并联
（ 1） 电路特点
1,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
+ _
R1 R n
+ _U ki + _u1 + _un
u
Rk
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
nk uuuu ??????????? 1
由欧姆定律
结论：
等效
串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
(2) 等效电阻
u+ _
R e q
i
+ _
R1 R n
+ _U ki + _u1 + _un
u
Rk
iRiRRiRiRiRu eqnnK ????????? )( ??? 11
k
n
k
knkeq RRRRRR ??????? ?
? 1
1 ??
(3) 串联电阻的分压
说明电压与电阻成正比，因此串连电阻电路可作分压电路
+
_
u
R1
R2
+
-u1
-
+u2
i
o
o
注意方向 !
uu
R
R
R
uRiRu
eq
k
eq
kkk ????
例 两个电阻的分压：
u
RR
Ru
21
1
1 ??
u
RR
Ru
21
2
2 ?
??
(4) 功率
p1=R1i2,p2=R2i2,?, pn=Rni2
p1,p2, ?, pn= R1, R2, ?,Rn
总功率 p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+ Rn ) i2
=R1i2+R2i2+ ? +Rni2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
表明
2,电阻并联 (Parallel Connection)
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
(1) 电路特点
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
等效
由 KCL,i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
=u/R1 +u/R2 + … +u/Rn=u(1/R1+1/R2+… +1/Rn)=uGeq
G =1 / R为电导
(2) 等效电阻
+
u
_
i
Req
等效电导等于并联的各电导之和
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
k
n
k
kneq GGGGGG ?????? ?
? 1
21 ?
keq
n
eq
eq
RRRRRGR ?????? 即1111
21
?
（ 3） 并联电阻的电流分配
eqeq/
/
G
G
Ru
Ru
i
i kkk
??
对于两电阻并联，有：
R1 R2
i1 i2
i
o
o
电流分配与电导成正比
iGGi kk
eq
?
21
2
21
1
1 11
1
RR
iRi
RR
Ri
?
?
?
?
)(
11
1
1
21
1
21
2
2 iiRR
iRi
RR
Ri ???
?
??
?
??
21
21
21
21
11
11
RR
RR
RR
RRR
eq ???
??
（ 4） 功率
p1=G1u2,p2=G2u2,?, pn=Gnu2
p1,p2, ?, pn= G1, G2, ?,Gn
总功率 p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+ Gn ) u2
=G1u2+G2u2+ ? +Gnu2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
表明
3,电阻的串并联
例
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，
这种连接方式称电阻的串并联。
计算各支路的电压和电流。
i1
+
-
i2 i3
i4 i5
18 ?
6 ?
5 ?
4? 12 ?
165V 165V
i1
+
-
i2 i3
18 ? 9 ?
5 ?
6 ?
Ai 15111 6 51 ?? Viu 901566 12 ????
Ai 518902 ??
Ai 105153 ???
Viu 601066 33 ????
Viu 303 34 ??
Ai 574304,?? Ai 5257105,,???
例
解 ① 用分流方法做
② 用分压方法做
RRIIII 2
312
8
1
8
1
4
1
2
1
1234 ??????????
V 3412 124 ??? UUU
RI
12
1 ?
V 3244 ???? RIU
RI 2
3
4 ??
求,I1,I4,U4
+
_ 2R2R2R2R
R RI1 I2 I3 I4
12V _U4
+
_U2
+
_U1
+
从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：
（ 1） 求出等效电阻或等效电导；
（ 2）应用欧姆定律求出总电压或总电流；
（ 3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压
以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！
例
6?
15?
5?
5?
dc
b
a
求, Rab,Rcd
????? 1261555 //)(abR
???? 45515 //)(cdR
等效电阻针对电路的某两
端而言，否则无意义。
例
60?
100?
50?
10?
ba
40?
80?
20?
求, Rab
100?
60?
ba
40?
20?100?
100?
ba
20?
60?
100?
60?
ba
120?
20?
Rab＝ 70?
例
15?
20?
b
a5?
6? 6?
7?
求, Rab
15? b
a4?
3?
7?
15?
20?
b
a5?
6?
6?
7?
15? b
a4?
10?
Rab＝ 10?
缩短无电阻支路
例
ba
c
d
R
RR
R
求, Rab 对称电路 c、
d等电位
ba
c
d
R
RR
R
ba
c
d
R
RR
R
i
i1
i
i2
21 2
1 iii ??
iRRiiRiRiu ab ????? )( 212121
RiuR abab ??
RR ab ?
短路
根据电
流分配
2.4 电阻的星形联接与三角形联接的
等效变换 (?—Y 变换 )
1,电阻的 ?, Y连接
Y型 网络?型 网络
R12 R31
R23
1
2 3
R1
R2 R3
1
2 3
ba
c
d
R1 R2
R3 R4
包含
三端
网络
?, Y 网络的变形：
? 型电路 (? 型 ) T 型电路 (Y、星 型 )
这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效
u23?
R12 R31
R23
i3 ?i2 ?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1? =i1Y,i2 ? =i2Y,i3 ? =i3Y,
u12? =u12Y,u23? =u23Y,u31? =u31Y
2,?— Y 变换的等效条件
等效条件：
Y接, 用电流表示电压
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
?接, 用电压表示电流
i1Y+i2Y+i3Y = 0
u31Y=R3i3Y – R1i1Y
u23Y=R2i2Y – R3i3Y
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
u23?
R12 R31
R23
i3 ?i2 ?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
(2)(1)
133221
231Y312Y
1Y RRRRRR
RuRui
??
??
133221
3Y121Y23
Y2 RRRRRR
RuRui
??
??
133221
1Y232Y31
Y3 RRRRRR
RuRui
??
??
由式 (2)解得：
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
(1)(3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)，得 Y型 ??型的变换条件：
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
???
???
???
321
13
31
321
32
23
321
21
12
GGG
GG
G
GGG
GG
G
GGG
GG
G
??
?
??
?
??
?
或
类似可得到由 ?型 ? Y型的变换条件：
12
2331
23313
31
1223
12232
23
3112
31121
G
GG
GGG
G
GG
GGG
G
GG
GGG
???
???
???
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
或
简记方法：
?
? ? RR ?? 相邻电阻乘积或
Y
YΔ
GG ??
相邻电导乘积
?变 Y Y变 ?
特例：若三个电阻相等 (对称 )，则有
R?? = 3RY
注意
(1) 等效对外部 (端钮以外 )有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。
R31
R23
R12
R3
R2
R1外大内小
(3) 用于简化电路
桥 T 电路 1/3k? 1/3k?
1k?
RE
1/3k?
1k?
RE
3k? 3k?
3k?
例
1k?
1k? 1k?
1k? RE
例
1? 4?
1?
+
20V 90?
9? 9?9?
9?-
1? 4?
1?
+
20V 90?
3?3?
3?
9?-
计算 90?电阻吸收的功率
1?
10?
+
20V 90?
-
i1i
?????? 109010 90101eqR
Ai 21020 ?? /
Ai 209010 2101,????
WiP 63209090 221,).( ????
2.5 电压源和电流源的串联和并联
1,理想电压源的串联和并联
相同的电压
源才能并联,
电源中的电
流不确定。
o
?串联
???? sksss uuuu 21
等效电路
+
_
uS
o+
_uS2
+
_
+
_
uS1
o
o
+
_
uS
注意参考方向
?并联
uS1
+
_
+
_
I
o
o
uS2
21 sss uuu ??
+ _uS
+ _
i
u
RuS2+ _ + _uS1
+ _
i uR1 R2
?电压源与支路的串、并联等效
RiuiRRuuiRuiRuu SSSss ?????????? )()( 21212211
uS
+
_
I
任意
元件 u
+
_
R uS+_
I
u
+
_
对外等效！
2,理想电流源的串联并联
相同的理想电流源才能串联,每个电流源的端电压不能确
定
? 串联
?并联
iS
o
o
????????? sksnsss iiiii 21
iS1 iS2 iSn
o
o
iS
等效电路
注意参考方向
i
iS2iS1
21 sss iii ??
?电流源与支路的串、并联等效
iS1 iS2
o
o
i
R2R1
+
_
u
RuiuRRiiRuiRuii sssss ?????????? )( 21212211 11
等效电路
R
iS
o
o
iS
o
o
任意
元件
u
_
+ 等效电路
iS
o
o
R
对外等效！
2.6 电压源和电流源的等效变换
实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，
所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。
u=uS – Ri i i =iS – Giu
i = uS/Ri – u/Ri
比较 可 得等效的条件：
iS=uS /Ri
Gi=1/Ri
i
Gi
+
u_
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
实
际
电
压
源
实
际
电
流
源
端口特性
由电压源变换为电流源：
转换
由电流源变换为电压源：
iii
ss RGRui 1,??
iii
ss GRGiu 1??,
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
i
Gi
+
u_
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
(2) 等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。
注意
开路的电流源可以有电流流过并联电导 Gi 。
电流源短路时,并联电导 Gi中无电流。
? 电压源短路时，电阻中 Ri有电流；
? 开路的电压源中无电流流过 Ri；
iS
(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。
方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反 。
(1) 变换关系 数值关系,
iSi
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
表
现
在
利用电源转换简化电路计算。
例 1.
I=0.5A
6A
+
_U
5?
5?
10V
10V +
_U 5∥ 5?
2A 6A
U=20V
例 2.
5A 3?
4?
7?
2A
I＝？ +
_15v_
+
8v
7?
7?
I
U=?
例 3,把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
10V
10?
10V
6A
++
__
70V
10?
+
_
6V
10?
2A
6A
+
_
66V
10?
+
_
例 4.
40V10?
4?
10?2A I=?
2A
6?
30V_
++
_
40V
4?10?2A
I=?
6?
30V_
++
_
60V
10?10?
I=?
30V_
++
_
AI 5120 6030,????
例 5.
注,
受控源和独立源一样可以进行电
源转换；转换过程中注意不要丢
失控制量。
+
_
US
+
_
R3
R2
R1
i1 ri
1
求电流 i1
R1
US
+
_
R2//R3
i1 ri1/R3
R +
_
US
+
_
i1
(R2//R3)ri1/R3
32
32
1 RR
RRRR
???
SURriRRRi ?? 31321 /)//(
332
1 /)//( RrRRR
Ui S
??
例 6.
10V
2k?
+
_U
+500I- I
o
o
1.5k?
10V +
_U
I o
o
1k?
1k?
10V
0.5I
+
_U
o
o
I
把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
101 5 0 0
102 0 0 05 0 0
??
????
I
IIU
理想电流源的转移
iS
iS
iS
iS
iS
iS
（ 1） 把理想电流源沿着包
含它所在支路的任意回路转移
到该回路的其他支路中去，得
到电流源和电阻的并联结构。
（ 2） 原电流源支路去掉，
转移电流源的值等于原电流源
值，方向保证各结点的 KCL
方程不变。
例
1?
I=?
3A
3?
2?
2?
1A
1?
I=?
3A
3?
2?
2?
1A
3A
1A
1?
I=?
6V
3?
2? 2?
2V 2V
－
＋＋
＋
－ －
I=6/8=0.75A
理想电压源的转移
＋－ US
＋
－
US
＋US
－
＋
－
US
＋
＋
－
－
US
US
（ 1） 把理想电压源转移到邻近
的支路，得到电压源和电阻的串
联结构。
（ 2） 原电压源支路短接，
转移电压源的值等于原电压源
值，方向保证各回路的 KVL方
程不变。
例
2?
I=?
10V
2?
1?
1?
5V+
+
－
－
2?
I=?
10V
2?
1?
1?
5V
+
+
－
－
+－
10V 5V
+－
I=?
6V
2?
2/5?
+－
+－
15V
AI 75.32 5.74.02 615 ??? ??
例
2?
3V3?
1? 6V
+
+
－
－
2V
－
+
求图示△ 电路结构的等效 Y型电路
2?
3A
3?
1?
1A
2A
1/2?
3A
1?
1/3?
1A
2A
1/2?
3A
1?
1/3?
1A
2A
1/2?
1?1/3?
2A
1A
1/2?
1?1/3?
2A1A
1A
1/2?
1?1/3?
0.5V
－
+
+－
－
＋1/3V 2V
－ 1/6V 2.5V
2.6 输入电阻
1,定义
无
源
+
-
ui
输入电阻
i
u
R in ?
2,计算方法
（ 1）如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串,并联和
?— Y变换等方法求它的等效电阻；
（ 2）对含有受控源和电阻的两端电路，用电压、电流法求输
入电阻，即在端口加电压源，求得电流，或在端口加电流
源，求得电压，得其比值。
例 1.
US
+
_
R3
R2
R1
i1
计算下例一端口电路的输入电阻
R2
R3
R1
321 RRRR in //)( ??
有源网络先把独立源置
零：电压源短路；电流
源断路，再求输入电阻
无源电
阻网络
例 2.
US
+
_
3?
i1
6? +－
6i1
U
+
_
3?
i1
6? +－
6i1
i
外加电压源
1
1
1 5.16
3 iiii ???
111 936 iiiU ???
???? 6
51
9
1
1
i
i
i
UR
in,
例 3.
u1
+
_ 15?
0.1u1
5? +
－
i
ui1i2
11 15 iu ? 112 51
10 i
ui,??
121 52 iiii,???
1
111
527
155255
i
iiuiu
,
.
?
?????
???? 1152 527
1
1
i
i
i
uR
in,
.
u1
+
_ 15?
5?
10?
?????? 111510 15105inR
等效
例 4,求 Rab和 Rcd
2?
u1
+
_
3?
6u1
+ －
d
ca
b
+
_
u
i
111 5223 uuuu ab,/ ???
306 62 11 /abab uuuui ?????
abab uuu 40521,,??
???? 30iuR abab /
1
1
11 22
66 uuuuu
cd ?
?????? )(
+
_
u
i
632 11 /// uuui cd ????
??? 12iuR cdcd /
6?
2,电阻的串、并联；
4,电压源和电流源的等效变换；
3,Y—? 变换 ;
? 重点：
1,电路等效的概念；
2.1 引
言
?电阻电路 仅由电源和线性电阻构成的电路
?分析方法
（ 1）欧姆定律和基尔霍夫定律是分
析电阻电路的依据；
（ 2）等效变换的方法,也称化简的方法
2.2 电路的等效变换
任何一个复杂的电路,向外引出两个端钮，且从一个
端子流入的电流等于从另一端子流出的电流，则称这一电
路为二端络网 (或一端口网络 )。
1,两端电路（网络）
无
源
无
源
一
端
口
2,两端电路等效的概念
两个两端电路，端口具有相同的电压、电流关系,则
称它们是等效的电路。
ii
B
+
-
ui C
+
-
ui
等效
对 A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B A C A
明
确
（ 1）电路等效变换的条件
（ 2）电路等效变换的对象
（ 3）电路等效变换的目的
两电路具有相同的 VCR
未变化的外电路 A中
的电压、电流和功率
化简电路，方便计算
2.3 电阻的串联、并联和串并联
（ 1） 电路特点
1,电阻串联 ( Series Connection of Resistors )
+ _
R1 R n
+ _U ki + _u1 + _un
u
Rk
(a) 各电阻顺序连接，流过同一电流 (KCL)；
(b) 总电压等于各串联电阻的电压之和 (KVL)。
nk uuuu ??????????? 1
由欧姆定律
结论：
等效
串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
(2) 等效电阻
u+ _
R e q
i
+ _
R1 R n
+ _U ki + _u1 + _un
u
Rk
iRiRRiRiRiRu eqnnK ????????? )( ??? 11
k
n
k
knkeq RRRRRR ??????? ?
? 1
1 ??
(3) 串联电阻的分压
说明电压与电阻成正比，因此串连电阻电路可作分压电路
+
_
u
R1
R2
+
-u1
-
+u2
i
o
o
注意方向 !
uu
R
R
R
uRiRu
eq
k
eq
kkk ????
例 两个电阻的分压：
u
RR
Ru
21
1
1 ??
u
RR
Ru
21
2
2 ?
??
(4) 功率
p1=R1i2,p2=R2i2,?, pn=Rni2
p1,p2, ?, pn= R1, R2, ?,Rn
总功率 p=Reqi2 = (R1+ R2+ …+ Rn ) i2
=R1i2+R2i2+ ? +Rni2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻串连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成正比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
表明
2,电阻并联 (Parallel Connection)
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
(1) 电路特点
(a) 各电阻两端分别接在一起，两端为同一电压 (KVL)；
(b) 总电流等于流过各并联电阻的电流之和 (KCL)。
i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
等效
由 KCL,i = i1+ i2+ … + ik+ …+i n
=u/R1 +u/R2 + … +u/Rn=u(1/R1+1/R2+… +1/Rn)=uGeq
G =1 / R为电导
(2) 等效电阻
+
u
_
i
Req
等效电导等于并联的各电导之和
in
R1 R2 Rk Rn
i
+
u
i1 i2 ik
_
k
n
k
kneq GGGGGG ?????? ?
? 1
21 ?
keq
n
eq
eq
RRRRRGR ?????? 即1111
21
?
（ 3） 并联电阻的电流分配
eqeq/
/
G
G
Ru
Ru
i
i kkk
??
对于两电阻并联，有：
R1 R2
i1 i2
i
o
o
电流分配与电导成正比
iGGi kk
eq
?
21
2
21
1
1 11
1
RR
iRi
RR
Ri
?
?
?
?
)(
11
1
1
21
1
21
2
2 iiRR
iRi
RR
Ri ???
?
??
?
??
21
21
21
21
11
11
RR
RR
RR
RRR
eq ???
??
（ 4） 功率
p1=G1u2,p2=G2u2,?, pn=Gnu2
p1,p2, ?, pn= G1, G2, ?,Gn
总功率 p=Gequ2 = (G1+ G2+ …+ Gn ) u2
=G1u2+G2u2+ ? +Gnu2
=p1+ p2+? + pn
（ 1） 电阻并连时，各电阻消耗的功率与电阻大小成反比
（ 2） 等效电阻消耗的功率等于各串连电阻消耗功率的总和
表明
3,电阻的串并联
例
电路中有电阻的串联，又有电阻的并联，
这种连接方式称电阻的串并联。
计算各支路的电压和电流。
i1
+
-
i2 i3
i4 i5
18 ?
6 ?
5 ?
4? 12 ?
165V 165V
i1
+
-
i2 i3
18 ? 9 ?
5 ?
6 ?
Ai 15111 6 51 ?? Viu 901566 12 ????
Ai 518902 ??
Ai 105153 ???
Viu 601066 33 ????
Viu 303 34 ??
Ai 574304,?? Ai 5257105,,???
例
解 ① 用分流方法做
② 用分压方法做
RRIIII 2
312
8
1
8
1
4
1
2
1
1234 ??????????
V 3412 124 ??? UUU
RI
12
1 ?
V 3244 ???? RIU
RI 2
3
4 ??
求,I1,I4,U4
+
_ 2R2R2R2R
R RI1 I2 I3 I4
12V _U4
+
_U2
+
_U1
+
从以上例题可得求解串、并联电路的一般步骤：
（ 1） 求出等效电阻或等效电导；
（ 2）应用欧姆定律求出总电压或总电流；
（ 3）应用欧姆定律或分压、分流公式求各电阻上的电流和电压
以上的关键在于识别各电阻的串联、并联关系！
例
6?
15?
5?
5?
dc
b
a
求, Rab,Rcd
????? 1261555 //)(abR
???? 45515 //)(cdR
等效电阻针对电路的某两
端而言，否则无意义。
例
60?
100?
50?
10?
ba
40?
80?
20?
求, Rab
100?
60?
ba
40?
20?100?
100?
ba
20?
60?
100?
60?
ba
120?
20?
Rab＝ 70?
例
15?
20?
b
a5?
6? 6?
7?
求, Rab
15? b
a4?
3?
7?
15?
20?
b
a5?
6?
6?
7?
15? b
a4?
10?
Rab＝ 10?
缩短无电阻支路
例
ba
c
d
R
RR
R
求, Rab 对称电路 c、
d等电位
ba
c
d
R
RR
R
ba
c
d
R
RR
R
i
i1
i
i2
21 2
1 iii ??
iRRiiRiRiu ab ????? )( 212121
RiuR abab ??
RR ab ?
短路
根据电
流分配
2.4 电阻的星形联接与三角形联接的
等效变换 (?—Y 变换 )
1,电阻的 ?, Y连接
Y型 网络?型 网络
R12 R31
R23
1
2 3
R1
R2 R3
1
2 3
ba
c
d
R1 R2
R3 R4
包含
三端
网络
?, Y 网络的变形：
? 型电路 (? 型 ) T 型电路 (Y、星 型 )
这两个电路当它们的电阻满足一定的关系时，能够相互等效
u23?
R12 R31
R23
i3 ?i2 ?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
i1? =i1Y,i2 ? =i2Y,i3 ? =i3Y,
u12? =u12Y,u23? =u23Y,u31? =u31Y
2,?— Y 变换的等效条件
等效条件：
Y接, 用电流表示电压
u12Y=R1i1Y–R2i2Y
?接, 用电压表示电流
i1Y+i2Y+i3Y = 0
u31Y=R3i3Y – R1i1Y
u23Y=R2i2Y – R3i3Y
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
u23?
R12 R31
R23
i3 ?i2 ?
i1?
1
2 3
+
+
+
–
–
–
u12? u31? R1
R2 R3
i1Y
i2Y i3Y
1
2 3
+
+
+–
–
–
u12Y
u23Y
u31Y
(2)(1)
133221
231Y312Y
1Y RRRRRR
RuRui
??
??
133221
3Y121Y23
Y2 RRRRRR
RuRui
??
??
133221
1Y232Y31
Y3 RRRRRR
RuRui
??
??
由式 (2)解得：
i3?=u31? /R31 – u23? /R23
i2?=u23? /R23 – u12? /R12
i1? =u12? /R12 – u31?/R31
(1)(3)
根据等效条件，比较式 (3)与式 (1)，得 Y型 ??型的变换条件：
2
13
1331
1
32
3223
3
21
2112
R
RR
RRR
R
RR
RRR
R
RR
RRR
???
???
???
321
13
31
321
32
23
321
21
12
GGG
GG
G
GGG
GG
G
GGG
GG
G
??
?
??
?
??
?
或
类似可得到由 ?型 ? Y型的变换条件：
12
2331
23313
31
1223
12232
23
3112
31121
G
GG
GGG
G
GG
GGG
G
GG
GGG
???
???
???
312312
2331
3
312312
1223
2
312312
3112
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
或
简记方法：
?
? ? RR ?? 相邻电阻乘积或
Y
YΔ
GG ??
相邻电导乘积
?变 Y Y变 ?
特例：若三个电阻相等 (对称 )，则有
R?? = 3RY
注意
(1) 等效对外部 (端钮以外 )有效，对内不成立。
(2) 等效电路与外部电路无关。
R31
R23
R12
R3
R2
R1外大内小
(3) 用于简化电路
桥 T 电路 1/3k? 1/3k?
1k?
RE
1/3k?
1k?
RE
3k? 3k?
3k?
例
1k?
1k? 1k?
1k? RE
例
1? 4?
1?
+
20V 90?
9? 9?9?
9?-
1? 4?
1?
+
20V 90?
3?3?
3?
9?-
计算 90?电阻吸收的功率
1?
10?
+
20V 90?
-
i1i
?????? 109010 90101eqR
Ai 21020 ?? /
Ai 209010 2101,????
WiP 63209090 221,).( ????
2.5 电压源和电流源的串联和并联
1,理想电压源的串联和并联
相同的电压
源才能并联,
电源中的电
流不确定。
o
?串联
???? sksss uuuu 21
等效电路
+
_
uS
o+
_uS2
+
_
+
_
uS1
o
o
+
_
uS
注意参考方向
?并联
uS1
+
_
+
_
I
o
o
uS2
21 sss uuu ??
+ _uS
+ _
i
u
RuS2+ _ + _uS1
+ _
i uR1 R2
?电压源与支路的串、并联等效
RiuiRRuuiRuiRuu SSSss ?????????? )()( 21212211
uS
+
_
I
任意
元件 u
+
_
R uS+_
I
u
+
_
对外等效！
2,理想电流源的串联并联
相同的理想电流源才能串联,每个电流源的端电压不能确
定
? 串联
?并联
iS
o
o
????????? sksnsss iiiii 21
iS1 iS2 iSn
o
o
iS
等效电路
注意参考方向
i
iS2iS1
21 sss iii ??
?电流源与支路的串、并联等效
iS1 iS2
o
o
i
R2R1
+
_
u
RuiuRRiiRuiRuii sssss ?????????? )( 21212211 11
等效电路
R
iS
o
o
iS
o
o
任意
元件
u
_
+ 等效电路
iS
o
o
R
对外等效！
2.6 电压源和电流源的等效变换
实际电压源、实际电流源两种模型可以进行等效变换，
所谓的等效是指端口的电压、电流在转换过程中保持不变。
u=uS – Ri i i =iS – Giu
i = uS/Ri – u/Ri
比较 可 得等效的条件：
iS=uS /Ri
Gi=1/Ri
i
Gi
+
u_
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
实
际
电
压
源
实
际
电
流
源
端口特性
由电压源变换为电流源：
转换
由电流源变换为电压源：
iii
ss RGRui 1,??
iii
ss GRGiu 1??,
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
i
Gi
+
u_
iS
i
+
_uS
Ri
+
u
_
(2) 等效是对外部电路等效，对内部电路是不等效的。
注意
开路的电流源可以有电流流过并联电导 Gi 。
电流源短路时,并联电导 Gi中无电流。
? 电压源短路时，电阻中 Ri有电流；
? 开路的电压源中无电流流过 Ri；
iS
(3) 理想电压源与理想电流源不能相互转换。
方向：电流源电流方向与电压源电压方向相反 。
(1) 变换关系 数值关系,
iSi
i
+
_uS
Ri
+
u
_
i
Gi
+
u_
iS
表
现
在
利用电源转换简化电路计算。
例 1.
I=0.5A
6A
+
_U
5?
5?
10V
10V +
_U 5∥ 5?
2A 6A
U=20V
例 2.
5A 3?
4?
7?
2A
I＝？ +
_15v_
+
8v
7?
7?
I
U=?
例 3,把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
10V
10?
10V
6A
++
__
70V
10?
+
_
6V
10?
2A
6A
+
_
66V
10?
+
_
例 4.
40V10?
4?
10?2A I=?
2A
6?
30V_
++
_
40V
4?10?2A
I=?
6?
30V_
++
_
60V
10?10?
I=?
30V_
++
_
AI 5120 6030,????
例 5.
注,
受控源和独立源一样可以进行电
源转换；转换过程中注意不要丢
失控制量。
+
_
US
+
_
R3
R2
R1
i1 ri
1
求电流 i1
R1
US
+
_
R2//R3
i1 ri1/R3
R +
_
US
+
_
i1
(R2//R3)ri1/R3
32
32
1 RR
RRRR
???
SURriRRRi ?? 31321 /)//(
332
1 /)//( RrRRR
Ui S
??
例 6.
10V
2k?
+
_U
+500I- I
o
o
1.5k?
10V +
_U
I o
o
1k?
1k?
10V
0.5I
+
_U
o
o
I
把电路转换成一个电压源和一个电阻的串连。
101 5 0 0
102 0 0 05 0 0
??
????
I
IIU
理想电流源的转移
iS
iS
iS
iS
iS
iS
（ 1） 把理想电流源沿着包
含它所在支路的任意回路转移
到该回路的其他支路中去，得
到电流源和电阻的并联结构。
（ 2） 原电流源支路去掉，
转移电流源的值等于原电流源
值，方向保证各结点的 KCL
方程不变。
例
1?
I=?
3A
3?
2?
2?
1A
1?
I=?
3A
3?
2?
2?
1A
3A
1A
1?
I=?
6V
3?
2? 2?
2V 2V
－
＋＋
＋
－ －
I=6/8=0.75A
理想电压源的转移
＋－ US
＋
－
US
＋US
－
＋
－
US
＋
＋
－
－
US
US
（ 1） 把理想电压源转移到邻近
的支路，得到电压源和电阻的串
联结构。
（ 2） 原电压源支路短接，
转移电压源的值等于原电压源
值，方向保证各回路的 KVL方
程不变。
例
2?
I=?
10V
2?
1?
1?
5V+
+
－
－
2?
I=?
10V
2?
1?
1?
5V
+
+
－
－
+－
10V 5V
+－
I=?
6V
2?
2/5?
+－
+－
15V
AI 75.32 5.74.02 615 ??? ??
例
2?
3V3?
1? 6V
+
+
－
－
2V
－
+
求图示△ 电路结构的等效 Y型电路
2?
3A
3?
1?
1A
2A
1/2?
3A
1?
1/3?
1A
2A
1/2?
3A
1?
1/3?
1A
2A
1/2?
1?1/3?
2A
1A
1/2?
1?1/3?
2A1A
1A
1/2?
1?1/3?
0.5V
－
+
+－
－
＋1/3V 2V
－ 1/6V 2.5V
2.6 输入电阻
1,定义
无
源
+
-
ui
输入电阻
i
u
R in ?
2,计算方法
（ 1）如果一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串,并联和
?— Y变换等方法求它的等效电阻；
（ 2）对含有受控源和电阻的两端电路，用电压、电流法求输
入电阻，即在端口加电压源，求得电流，或在端口加电流
源，求得电压，得其比值。
例 1.
US
+
_
R3
R2
R1
i1
计算下例一端口电路的输入电阻
R2
R3
R1
321 RRRR in //)( ??
有源网络先把独立源置
零：电压源短路；电流
源断路，再求输入电阻
无源电
阻网络
例 2.
US
+
_
3?
i1
6? +－
6i1
U
+
_
3?
i1
6? +－
6i1
i
外加电压源
1
1
1 5.16
3 iiii ???
111 936 iiiU ???
???? 6
51
9
1
1
i
i
i
UR
in,
例 3.
u1
+
_ 15?
0.1u1
5? +
－
i
ui1i2
11 15 iu ? 112 51
10 i
ui,??
121 52 iiii,???
1
111
527
155255
i
iiuiu
,
.
?
?????
???? 1152 527
1
1
i
i
i
uR
in,
.
u1
+
_ 15?
5?
10?
?????? 111510 15105inR
等效
例 4,求 Rab和 Rcd
2?
u1
+
_
3?
6u1
+ －
d
ca
b
+
_
u
i
111 5223 uuuu ab,/ ???
306 62 11 /abab uuuui ?????
abab uuu 40521,,??
???? 30iuR abab /
1
1
11 22
66 uuuuu
cd ?
?????? )(
+
_
u
i
632 11 /// uuui cd ????
??? 12iuR cdcd /
6?
