6.5 一阶电路的阶跃响应
1,单位阶跃函数
? 定义
?
?
?
?
?
?
0)( 1
0)( 0
)(
t
t
t? t
? (t)
0
1
? 单位阶跃函数的延迟
?
?
?
?
?
??
)( 1
)( 0
)(
0
0
0 tt
tt
tt?
t
? (t-t0)
t00
1
t = 0合闸 i(t) = Is )(t?
Is
K
)(ti
u(t))(tI S?
KE u(t) u(t)
)(tE?
（ 1）在电路中模拟开关的动作 t = 0合闸 u(t) = E
)(t?
? 单位阶跃函数的作用
（ 2）延迟一个函数
t
f(t)
0
)(s in tt?
t
f(t)
0
)()s i n ( 00 tttt ?? ?
t0
（ 3）起始一个函数
t
f(t)
0 t0
)()s in ( tt ? )()s i ( 0ttt ??
? 用单位阶跃函数表示复杂的信号
例 1
)()()( 0ttttf ??? ??
?(t)
t
f(t)
1
01
t0 t
f(t)
0
t0
-? (t-t0)
)4()3()1(2)( ?????? ttttf ???
例 2
1 t
1
f(t)
0
2
43
)1()]1()([)( ????? tttttf ???例 4
1 t
1
f(t)
0
)1()1()( ?????? tttt
)1()1( ???? tt
)(tt?
)4()3(
)1()()(
????
???
tt
tttf
??
??
例 3
1 t
1
f(t)
0
2
43
)()( )1( ttu ?
例 5
t
1 u(t)
0 2
已知电压 u(t)的波形如图，试画
出下列电压的波形。
)1()2( )4( ?? ttu ?
)1()1( )3( ?? ttu ?
)()1( )2( ttu ??
t
1 u(t)
0－ 2 2
t
1 u(t)
0－ 1 1
t
1 u(t)
0 1
u(t)
t
1
0 21
i
C
+
–
uC
R
uC (0－ )=0
)( t?
)( )1()( tetu RC
t
C ?
???
)( 1)(
te
R
ti RC
t
?
?
?
t
uc1
注意 )( tei RCt ??? 和 0 ?? ? tei RCt 的区别
t0
1 i
t0
R
1 i
2,一阶电路的阶跃响应
激励为单位阶跃函数时，电路中产生的
零状态响应。阶跃响应
t
iC
0
激励在 t = t0 时加入，
则响应从 t=t0开始。
iC
? (t -t0) C
+
–
uC
R+
-
t- t0
?RCC e
R
i
?
? 1 ( t - t0 )
R
1
t0
注意
?RCe
R
1
－ t
( t - t0 )不要写为
)5.0(10)(10 ??? ttu S ??
求图示电路中电流 iC(t）。
10k
10kus
+
-
ic
100?F
uC(0－ )=0
0.5
10
t(s)
us(V)
0
例 +
-
ic
100?F
uC(0－ )=0
5k
SU5.0等效
)(5 t?
5k+
-
ic
100?F
叠加
)5.0(5 ?t?
5k+
-
ic
100?F
s5.010510100 36 ?????? ??RC?
mA )( 51dd 2C tetuCi tC ????
SU5.0
5k+
-
ic
100?F
)( )1()( 2t tetu C ????
阶跃响应为：
由齐次性和叠加性得实际响应为：
)]5.0(51)(51[5 )5.0(22 ??? ??? tetei ttC ??
mA)5.0()( )5.0(22 ??? ??? tete tt ??
分段表示为
?
?
?
?
??
?
?
s)0,5( mA 0,6 3 2-
s)5.0(0 mA
)(
5)0.-2(-
2
te
te
ti
t
t
t(s)
i(mA)
0
1
-0.632
0.5
波形
0.368
)5.0()5.0()5.0()( )5.0(2222 ??????????? ????? tetetetei ttttC
)5.0()5.0()]5.0()([ )5.0(222 ??????????? ???? tetette ttt
)5.0()5.0()]5.0()([ )5.0(2)5.0(212 ??????????? ?????? teteette ttt
)5.0(632.0)]5.0()([ )5.0(22 ???????? ??? tette tt
????? 1 0
)()(lim 0 ttp ????
? / 2
1/ ?
t
p(t)
-?/ 2
)]2()2([1)( ??????? tttp ??
t
?(t)
(1)
0
6.5 一阶电路的冲激响应
1,单位冲激函数
? 定义
)0( 0)( ?? tt?
? ??? ? 1d)( tt?
单位脉冲函
数的极限
? 单位冲激函数的延迟
??
?
?
?
??
???
?
?
??
1d)(
)( 0)(
0
00
ttt
tttt
?
? t
? (t-t0)
t00
（ 1）
? 单位冲激函数的性质
（ 1）冲激函数对时间的积分等于阶跃函数。
)(
0 1
0 0
d)( t
t
t
tt
t
?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
)()( tdt td ?? ?
2,冲激函数的筛分性
)0(d)( )0(d)()( fttftttf ?? ?? ?????? ??
)(d)()( 00 tfttttf ??? ??? ?同理有：
d)6()( s i n tttt? ?
??
?? ??
02.162166s i n ????? ???
例
t
?(t)
(1)
0
f(t)
f(0)
* f(t)在 t0 处连续
f(0)?(t)
)0(1)0( ?? ?? Cc uCu
)( tRudtduC cc ???u
c不是冲激函数,否则 KCL不成立
分二个时间段来考虑冲
激响应。
电容充电，方程为：(1),t 在 0－ → 0+间
电容中的冲激电流使电容电压发生跃变
例 1.
2,一阶电路的冲激响应
激励为单位冲激函数时，电路中产生的
零状态响应。冲激响应
uC(0－ )=0
iC
R
?（ t）
C
+
-
uC
1d)(dd
0
0
0
0
0
0
??? ???
?
?
?
?
?
? tttR
ut
dt
duC cc ?
0
1)]0()0([ ?? ?? cc uuC
(2).t > 0+ 为零输入响应（ RC放电）
Cu c
1)0( ?? icR
C
+
uc
－??
?? 01
teCu RC
t
c
?? ????? 01 te
RCR
ui RC tc
c
uC
t
0
C
1
iC
t
(1)
RC
1?
)(
1
)(
)(
1
te
RC
ti
te
C
u
RC
t
c
RC
t
c
??
?
?
?
??
?
)( tdtdiLRi LL ???
iL不可能是冲激函数
1)(0
0
0
0
0
0
??? ???
?
?
?
?
?
? dttdtdt
diLdtRi L
L ?
? ? 1)0()0( ?? ?? LL iiL )0(1)0( ?? ?? LL i
Li
(1),t 在 0－ 0+间方程为：
例 2
0)0( ??Li
L
+
-
iL
R
)(t? +
-
uL
分二个时间段来考虑冲激响应。
0
电感上的冲激电压使电感电流发生跃变
(2),t > 0+ RL放电
R
L??
?? ?? 01 te
L
i
t
L
?
?? ????? 0 te
L
RRiu t
LL
?
)(1 teLi
t
L ?
???
)()( teLRtu
t
L ??
????
Li L
1)0( ??
R
uL
iL+
－
t
iL
0
L
1
t
uL
)(t?
L
R?
零状态
R(t))(te
? 单位阶跃响应和单位冲激响应关系
单位阶跃响应
单位冲激响应
h(t)
s(t)
单位冲激
? (t)
单位阶跃
? (t) dt tdt )()( ?? ?
)()( tsdtdth ?
零状态
h(t))(t?
零状态
s(t))(t?
证明：
?
?
1 f(t)
t
)(1)(1)( ?????? tttf ??
)(1 ts?
)(1 ???? ts
)]()([1lim)(
0
?????
??
tststh )( tsdtd?
??
1
s(t)定义在（ -?,?）整个时间轴注
)()( tti S ??
先求单位阶跃响应,令：
)()1()( teRtu RC
t
C ?
???
iC
R
is
C
例 1
+
-
uC
uC(0+)=0 uC(?)=R ? = RC
0)0( ??cu已知：
求,is (t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t)
iC(0+)=1 iC(?)=0
)( tei RC
t
c ?
??
)()1( teRdtdu RC
t
C ?
??? )()1( teR RCt ???? )(1 te
C
RC
t
???
)(1 teC RC
t
??? )()0()()( tfttf ?? ?0
再求单位冲激响应,令,)()( tti S ??
)]([dd teti RC
t
c ?
??
)(1)( teRCte RC
t
RC
t
?? ?? ??
)(1)( teRCt RC
t
?? ???
uC
R
t
0
iC
1
t
0
uC
t
0
C
1
iC
t
(1)
RC
1?
冲激响应
阶跃响应
3,电容电压或电感电流初值的跃变
(1) 在冲激激励下，电容电压或电感电流初值的跃变
tiCuu t Ccc d1)0()0(
0? ?
?? ??
C
Au
C ??
? )0(
iC
C)(tA?
例 1
+
-
uC
t
uc
C
A
uC(0-)
uC(0+)
0
t
ic
)(tA?
0
(2),换路后电路有纯电容 (或纯电容和电压源）构成的回路。
tuLii t LLL d1)0()0(
0? ?
?? ??
L
Ai
L ??
? )0(
t
uL
)(tA?
uL
+
-
iL
)(tA?
例 2
+
-
t
iL
L
A
iL(0-)
iL(0+)
0
合闸后由 KVL uc(0+)=E
)( tEu c ??
)( tcEi c ??
0)0( ??cu
ic不是冲激函数,uc不会跳变
CEt eREdtiq RC
t
c ??? ??
??
?? 0
-
0
d
)( 0 0 tCEiR c ?? ???
E
iC
C
k(t=0)
例 3
t
ic
0
uc
t
E
0
ic
t
(CE)
0
R RC
t
c eR
Ei -?
已知, E=1V,R=1?,C1=0.25F,C2=0.5F,t = 0
时合 k。 求, uC1, uC2 。
解
V1)0(1 ??? Eu C
0)0(2 ??Cu
电容电压初值发生跃变。
)0()0()0( 21 ??? ?? CCC uuu
合 k前
合 k后
t
uC
t
uCi CC
d
d
d
d 2
2
1
1 ??
t
t
uC
t
uCti CC d)
d
d
d
d(d 0
0
2
2
1
1
0
0 ??
?
?
?
? ??
)]0()0([)]0()0([0 222111 ???? ???? CCCC uuCuuC
例 4
E
R
C1 C2
+
-uc1
+
-uc2
k
(t=0)i iC1 iC2
i为有限值
0
（ 1）确定初值
节点电荷守恒
V315.025.0 125.0)0(
21
1 ?
?
??
??
?
CC
ECu
C可解得
)0()0()0()0( 22112211 ???? ??? CCCC uCuCuCuC
)0()()0()0( 212211 ??? ??? CCC uCCuCuC
q(0+)= q(0－ )
uC(?) = 4V
??? ?????? 0
3
21)1
3
1(1)( 3434 teetu tt
C
? = R(C1+C2) s
4
3?
i i
C1 iC2
（ 2）确定时间常数
u
t0
)(
9
2
)(
6
1
)](
9
8
)()
3
2
1()([
4
1
d
d
3
4
3
4
1
11
tet
tett
t
u
Ci
t
t
C
??
???
?
?
???
?????
?
??? ?????? 0
3
21)1
3
1(1)( 3434 teetu tt
C
0)0(1)0(0 21 ??? ??? CC uut
)()321()()( 3
4
1 tettu
t
C ??
?????
)()321()( 3
4
2 tetu
t
C ?
???
1/3 uC2
1
uC1
t
uCi
C d
d 2
22 ?
)()321()( 3
4
2 tetu
t
C ?
???
i
t-1/6
2/9
iC1
4/9
1/6
iC2
i i
C1 iC2
)(94)(61 3
4
tet t?? ???
)](98)()321[(21 3
4
tet t?? ????
i 无冲激
冲激电流由 C1流向 C2
根据物理概念求电容电流
?? ? 00
3
21
3
1
1 ????? Cu
转移的电荷 ?q1 = 0.25 ? (-2/3) = - 1/6
3/103/12 ???? Cu
转移的电荷 ?q2 = 0.5 ? 1/3 = 1/6
t > 0 + t
t
C et
e
i 3
4
3
4
1 9
2
d
)
3
2
1(d
4
1 ??
?
?
?
?
t
t
C et
e
i 3
43
4
2 9
4
d
)
3
2
1(d
2
1 ??
?
?
?
?
)(92)(61 3
4
1 teti
t
C ??
????
)(94)(61 3
4
2 teti
t
C ??
???
- 1/6 ?(t) 冲激电流
1/6 ?(t) 冲激电流
3,换路后电路有纯电感 (或纯电感和电流源）构成的割集
k
例 5
+
-
10V
2? 0.3H 0.1Hi1 i2
3?
+ u1 - + u2 -
A5)0(1 ??i
0)0(2 ??i
)0()0( 21 ?? ? ii而 电感电流发生跃变
已知如图
求,i1, i2 和 u1,u2 。
解
)0( ?? i
10dd1.03dd3.02 2211 ???? tiitii
t > 0 +电流方程为
0)]0()0([1.0)]0()0([3.0 2211 ???? ???? iiii
)0(1.0)0(3.0)0(1.03.0 21 ??? ??? iii）（即：
? (0+) = ? (0－ ) 回路磁链守恒
A75.31.03.0 53.0)0( ?????i i(?) = 2A
??? ?????? 075.12)275.3(2)( 5.125.12 teeti tt
? = (0.3+0.1)/(2+3) ＝ 0.08s
0)0(5)0(0 21 ??? ??? iit
)()75.12()(5)( 5.121 tetti t ?? ?????
)()75.12()( 5.122 teti t ????
i
t0
)(5 6 2 5.6)(3 7 5.0 5.12 tet t?? ????
3.75 )](875.21)(75.3)(5[3.0 5.12 tett t ??? ?????
t
iu
d
d3.0 1
1 ? 5
i2 i1
2
)()75.12()( 5.122 teti t ????
t
iu
d
d1.0 2
2 ?
)(1875.2)(375.0 5.12 tet t?? ???
)](8 7 5.21)(75.3[1.0 5.12 tet t ?? ???
u
t
u1
0.375
-2.1875
-6.5625
u2
-0.375
根据物理概念求电压
?? ? 00 25.1575.31 ????? i
转移的磁链 ??1 = 0.3 ? (-1.25) = - 0.375
75.3075.32 ???? i
转移的磁链 ??2 = 0.1 ? 3.75 = 0.375
t > 0 + tt e
t
eu 5.125.12
1 d
)75.12(d3.0 ?? ???
t
t
et eu 5.12
5.12
2 1 8 7 5.2d
)75.12(d1.0 ?? ????
)(5 6 2 5.6)(3 7 5.0 5.121 tetu t ?? ????
)(1 8 7 5.2)(3 7 5.0 5.122 tetu t ?? ???
－ 0.375 ?(t)
冲激电压
0.375 ?(t) 冲
激电压
1,单位阶跃函数
? 定义
?
?
?
?
?
?
0)( 1
0)( 0
)(
t
t
t? t
? (t)
0
1
? 单位阶跃函数的延迟
?
?
?
?
?
??
)( 1
)( 0
)(
0
0
0 tt
tt
tt?
t
? (t-t0)
t00
1
t = 0合闸 i(t) = Is )(t?
Is
K
)(ti
u(t))(tI S?
KE u(t) u(t)
)(tE?
（ 1）在电路中模拟开关的动作 t = 0合闸 u(t) = E
)(t?
? 单位阶跃函数的作用
（ 2）延迟一个函数
t
f(t)
0
)(s in tt?
t
f(t)
0
)()s i n ( 00 tttt ?? ?
t0
（ 3）起始一个函数
t
f(t)
0 t0
)()s in ( tt ? )()s i ( 0ttt ??
? 用单位阶跃函数表示复杂的信号
例 1
)()()( 0ttttf ??? ??
?(t)
t
f(t)
1
01
t0 t
f(t)
0
t0
-? (t-t0)
)4()3()1(2)( ?????? ttttf ???
例 2
1 t
1
f(t)
0
2
43
)1()]1()([)( ????? tttttf ???例 4
1 t
1
f(t)
0
)1()1()( ?????? tttt
)1()1( ???? tt
)(tt?
)4()3(
)1()()(
????
???
tt
tttf
??
??
例 3
1 t
1
f(t)
0
2
43
)()( )1( ttu ?
例 5
t
1 u(t)
0 2
已知电压 u(t)的波形如图，试画
出下列电压的波形。
)1()2( )4( ?? ttu ?
)1()1( )3( ?? ttu ?
)()1( )2( ttu ??
t
1 u(t)
0－ 2 2
t
1 u(t)
0－ 1 1
t
1 u(t)
0 1
u(t)
t
1
0 21
i
C
+
–
uC
R
uC (0－ )=0
)( t?
)( )1()( tetu RC
t
C ?
???
)( 1)(
te
R
ti RC
t
?
?
?
t
uc1
注意 )( tei RCt ??? 和 0 ?? ? tei RCt 的区别
t0
1 i
t0
R
1 i
2,一阶电路的阶跃响应
激励为单位阶跃函数时，电路中产生的
零状态响应。阶跃响应
t
iC
0
激励在 t = t0 时加入，
则响应从 t=t0开始。
iC
? (t -t0) C
+
–
uC
R+
-
t- t0
?RCC e
R
i
?
? 1 ( t - t0 )
R
1
t0
注意
?RCe
R
1
－ t
( t - t0 )不要写为
)5.0(10)(10 ??? ttu S ??
求图示电路中电流 iC(t）。
10k
10kus
+
-
ic
100?F
uC(0－ )=0
0.5
10
t(s)
us(V)
0
例 +
-
ic
100?F
uC(0－ )=0
5k
SU5.0等效
)(5 t?
5k+
-
ic
100?F
叠加
)5.0(5 ?t?
5k+
-
ic
100?F
s5.010510100 36 ?????? ??RC?
mA )( 51dd 2C tetuCi tC ????
SU5.0
5k+
-
ic
100?F
)( )1()( 2t tetu C ????
阶跃响应为：
由齐次性和叠加性得实际响应为：
)]5.0(51)(51[5 )5.0(22 ??? ??? tetei ttC ??
mA)5.0()( )5.0(22 ??? ??? tete tt ??
分段表示为
?
?
?
?
??
?
?
s)0,5( mA 0,6 3 2-
s)5.0(0 mA
)(
5)0.-2(-
2
te
te
ti
t
t
t(s)
i(mA)
0
1
-0.632
0.5
波形
0.368
)5.0()5.0()5.0()( )5.0(2222 ??????????? ????? tetetetei ttttC
)5.0()5.0()]5.0()([ )5.0(222 ??????????? ???? tetette ttt
)5.0()5.0()]5.0()([ )5.0(2)5.0(212 ??????????? ?????? teteette ttt
)5.0(632.0)]5.0()([ )5.0(22 ???????? ??? tette tt
????? 1 0
)()(lim 0 ttp ????
? / 2
1/ ?
t
p(t)
-?/ 2
)]2()2([1)( ??????? tttp ??
t
?(t)
(1)
0
6.5 一阶电路的冲激响应
1,单位冲激函数
? 定义
)0( 0)( ?? tt?
? ??? ? 1d)( tt?
单位脉冲函
数的极限
? 单位冲激函数的延迟
??
?
?
?
??
???
?
?
??
1d)(
)( 0)(
0
00
ttt
tttt
?
? t
? (t-t0)
t00
（ 1）
? 单位冲激函数的性质
（ 1）冲激函数对时间的积分等于阶跃函数。
)(
0 1
0 0
d)( t
t
t
tt
t
?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
)()( tdt td ?? ?
2,冲激函数的筛分性
)0(d)( )0(d)()( fttftttf ?? ?? ?????? ??
)(d)()( 00 tfttttf ??? ??? ?同理有：
d)6()( s i n tttt? ?
??
?? ??
02.162166s i n ????? ???
例
t
?(t)
(1)
0
f(t)
f(0)
* f(t)在 t0 处连续
f(0)?(t)
)0(1)0( ?? ?? Cc uCu
)( tRudtduC cc ???u
c不是冲激函数,否则 KCL不成立
分二个时间段来考虑冲
激响应。
电容充电，方程为：(1),t 在 0－ → 0+间
电容中的冲激电流使电容电压发生跃变
例 1.
2,一阶电路的冲激响应
激励为单位冲激函数时，电路中产生的
零状态响应。冲激响应
uC(0－ )=0
iC
R
?（ t）
C
+
-
uC
1d)(dd
0
0
0
0
0
0
??? ???
?
?
?
?
?
? tttR
ut
dt
duC cc ?
0
1)]0()0([ ?? ?? cc uuC
(2).t > 0+ 为零输入响应（ RC放电）
Cu c
1)0( ?? icR
C
+
uc
－??
?? 01
teCu RC
t
c
?? ????? 01 te
RCR
ui RC tc
c
uC
t
0
C
1
iC
t
(1)
RC
1?
)(
1
)(
)(
1
te
RC
ti
te
C
u
RC
t
c
RC
t
c
??
?
?
?
??
?
)( tdtdiLRi LL ???
iL不可能是冲激函数
1)(0
0
0
0
0
0
??? ???
?
?
?
?
?
? dttdtdt
diLdtRi L
L ?
? ? 1)0()0( ?? ?? LL iiL )0(1)0( ?? ?? LL i
Li
(1),t 在 0－ 0+间方程为：
例 2
0)0( ??Li
L
+
-
iL
R
)(t? +
-
uL
分二个时间段来考虑冲激响应。
0
电感上的冲激电压使电感电流发生跃变
(2),t > 0+ RL放电
R
L??
?? ?? 01 te
L
i
t
L
?
?? ????? 0 te
L
RRiu t
LL
?
)(1 teLi
t
L ?
???
)()( teLRtu
t
L ??
????
Li L
1)0( ??
R
uL
iL+
－
t
iL
0
L
1
t
uL
)(t?
L
R?
零状态
R(t))(te
? 单位阶跃响应和单位冲激响应关系
单位阶跃响应
单位冲激响应
h(t)
s(t)
单位冲激
? (t)
单位阶跃
? (t) dt tdt )()( ?? ?
)()( tsdtdth ?
零状态
h(t))(t?
零状态
s(t))(t?
证明：
?
?
1 f(t)
t
)(1)(1)( ?????? tttf ??
)(1 ts?
)(1 ???? ts
)]()([1lim)(
0
?????
??
tststh )( tsdtd?
??
1
s(t)定义在（ -?,?）整个时间轴注
)()( tti S ??
先求单位阶跃响应,令：
)()1()( teRtu RC
t
C ?
???
iC
R
is
C
例 1
+
-
uC
uC(0+)=0 uC(?)=R ? = RC
0)0( ??cu已知：
求,is (t)为单位冲激时电路响应 uC(t)和 iC (t)
iC(0+)=1 iC(?)=0
)( tei RC
t
c ?
??
)()1( teRdtdu RC
t
C ?
??? )()1( teR RCt ???? )(1 te
C
RC
t
???
)(1 teC RC
t
??? )()0()()( tfttf ?? ?0
再求单位冲激响应,令,)()( tti S ??
)]([dd teti RC
t
c ?
??
)(1)( teRCte RC
t
RC
t
?? ?? ??
)(1)( teRCt RC
t
?? ???
uC
R
t
0
iC
1
t
0
uC
t
0
C
1
iC
t
(1)
RC
1?
冲激响应
阶跃响应
3,电容电压或电感电流初值的跃变
(1) 在冲激激励下，电容电压或电感电流初值的跃变
tiCuu t Ccc d1)0()0(
0? ?
?? ??
C
Au
C ??
? )0(
iC
C)(tA?
例 1
+
-
uC
t
uc
C
A
uC(0-)
uC(0+)
0
t
ic
)(tA?
0
(2),换路后电路有纯电容 (或纯电容和电压源）构成的回路。
tuLii t LLL d1)0()0(
0? ?
?? ??
L
Ai
L ??
? )0(
t
uL
)(tA?
uL
+
-
iL
)(tA?
例 2
+
-
t
iL
L
A
iL(0-)
iL(0+)
0
合闸后由 KVL uc(0+)=E
)( tEu c ??
)( tcEi c ??
0)0( ??cu
ic不是冲激函数,uc不会跳变
CEt eREdtiq RC
t
c ??? ??
??
?? 0
-
0
d
)( 0 0 tCEiR c ?? ???
E
iC
C
k(t=0)
例 3
t
ic
0
uc
t
E
0
ic
t
(CE)
0
R RC
t
c eR
Ei -?
已知, E=1V,R=1?,C1=0.25F,C2=0.5F,t = 0
时合 k。 求, uC1, uC2 。
解
V1)0(1 ??? Eu C
0)0(2 ??Cu
电容电压初值发生跃变。
)0()0()0( 21 ??? ?? CCC uuu
合 k前
合 k后
t
uC
t
uCi CC
d
d
d
d 2
2
1
1 ??
t
t
uC
t
uCti CC d)
d
d
d
d(d 0
0
2
2
1
1
0
0 ??
?
?
?
? ??
)]0()0([)]0()0([0 222111 ???? ???? CCCC uuCuuC
例 4
E
R
C1 C2
+
-uc1
+
-uc2
k
(t=0)i iC1 iC2
i为有限值
0
（ 1）确定初值
节点电荷守恒
V315.025.0 125.0)0(
21
1 ?
?
??
??
?
CC
ECu
C可解得
)0()0()0()0( 22112211 ???? ??? CCCC uCuCuCuC
)0()()0()0( 212211 ??? ??? CCC uCCuCuC
q(0+)= q(0－ )
uC(?) = 4V
??? ?????? 0
3
21)1
3
1(1)( 3434 teetu tt
C
? = R(C1+C2) s
4
3?
i i
C1 iC2
（ 2）确定时间常数
u
t0
)(
9
2
)(
6
1
)](
9
8
)()
3
2
1()([
4
1
d
d
3
4
3
4
1
11
tet
tett
t
u
Ci
t
t
C
??
???
?
?
???
?????
?
??? ?????? 0
3
21)1
3
1(1)( 3434 teetu tt
C
0)0(1)0(0 21 ??? ??? CC uut
)()321()()( 3
4
1 tettu
t
C ??
?????
)()321()( 3
4
2 tetu
t
C ?
???
1/3 uC2
1
uC1
t
uCi
C d
d 2
22 ?
)()321()( 3
4
2 tetu
t
C ?
???
i
t-1/6
2/9
iC1
4/9
1/6
iC2
i i
C1 iC2
)(94)(61 3
4
tet t?? ???
)](98)()321[(21 3
4
tet t?? ????
i 无冲激
冲激电流由 C1流向 C2
根据物理概念求电容电流
?? ? 00
3
21
3
1
1 ????? Cu
转移的电荷 ?q1 = 0.25 ? (-2/3) = - 1/6
3/103/12 ???? Cu
转移的电荷 ?q2 = 0.5 ? 1/3 = 1/6
t > 0 + t
t
C et
e
i 3
4
3
4
1 9
2
d
)
3
2
1(d
4
1 ??
?
?
?
?
t
t
C et
e
i 3
43
4
2 9
4
d
)
3
2
1(d
2
1 ??
?
?
?
?
)(92)(61 3
4
1 teti
t
C ??
????
)(94)(61 3
4
2 teti
t
C ??
???
- 1/6 ?(t) 冲激电流
1/6 ?(t) 冲激电流
3,换路后电路有纯电感 (或纯电感和电流源）构成的割集
k
例 5
+
-
10V
2? 0.3H 0.1Hi1 i2
3?
+ u1 - + u2 -
A5)0(1 ??i
0)0(2 ??i
)0()0( 21 ?? ? ii而 电感电流发生跃变
已知如图
求,i1, i2 和 u1,u2 。
解
)0( ?? i
10dd1.03dd3.02 2211 ???? tiitii
t > 0 +电流方程为
0)]0()0([1.0)]0()0([3.0 2211 ???? ???? iiii
)0(1.0)0(3.0)0(1.03.0 21 ??? ??? iii）（即：
? (0+) = ? (0－ ) 回路磁链守恒
A75.31.03.0 53.0)0( ?????i i(?) = 2A
??? ?????? 075.12)275.3(2)( 5.125.12 teeti tt
? = (0.3+0.1)/(2+3) ＝ 0.08s
0)0(5)0(0 21 ??? ??? iit
)()75.12()(5)( 5.121 tetti t ?? ?????
)()75.12()( 5.122 teti t ????
i
t0
)(5 6 2 5.6)(3 7 5.0 5.12 tet t?? ????
3.75 )](875.21)(75.3)(5[3.0 5.12 tett t ??? ?????
t
iu
d
d3.0 1
1 ? 5
i2 i1
2
)()75.12()( 5.122 teti t ????
t
iu
d
d1.0 2
2 ?
)(1875.2)(375.0 5.12 tet t?? ???
)](8 7 5.21)(75.3[1.0 5.12 tet t ?? ???
u
t
u1
0.375
-2.1875
-6.5625
u2
-0.375
根据物理概念求电压
?? ? 00 25.1575.31 ????? i
转移的磁链 ??1 = 0.3 ? (-1.25) = - 0.375
75.3075.32 ???? i
转移的磁链 ??2 = 0.1 ? 3.75 = 0.375
t > 0 + tt e
t
eu 5.125.12
1 d
)75.12(d3.0 ?? ???
t
t
et eu 5.12
5.12
2 1 8 7 5.2d
)75.12(d1.0 ?? ????
)(5 6 2 5.6)(3 7 5.0 5.121 tetu t ?? ????
)(1 8 7 5.2)(3 7 5.0 5.122 tetu t ?? ???
－ 0.375 ?(t)
冲激电压
0.375 ?(t) 冲
激电压
