第 12章 非正弦周期电流电路
2,非正弦周期函数的有效值和平均功率
? 重点
3,非正弦周期电流电路的计算
1,周期函数分解为付里叶级数
12.1 非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周
期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技
术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
? 非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化
例 1 半波整流电路的输出信号
)()( kTtftf ??
例 2 示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
计算机内的脉冲信号
T t
例 3
交直流共存电路
Es
+V
例 4
基波（和原
函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
直流分量
高次谐波
)c o s ()(
1
10 ?
?
?
???
k
kkm tkAAtf ??
12.2 周期函数分解为付里叶级数
???? )c o s ()( 1110 ?? tAAtf m
???? )2c o s ( 212 ?? tA m
??? )c o s ( 1 nnm tnA ??
周期函数展开成付里叶级数：
]s i nc o s[)( 1
1
10 tkbtkaatf k
k
k ???
?
?
?????
tkbtkatkA kkkkm ?????? 111 s i nc o s )c o s ( ????
也可表示成：
k
k
k
kkmkkkmk
kkkm
a
b
AbAa
baA
aA
?
?
???
??
?
a r c t a n
s i n c o s
22
00
?
??
系数之间
的关系为
?
?
?
????
???
????
?
?
??
?
??
?
2
0
11
2
0
11
0
00
)(s i n)(
1
)(c o s)(
1
)(
1
ttdktfb
ttdktfa
tdtf
T
aA
k
k
T
求出 A0,ak,bk便可得到原函数 f(t)的展开式。
系数的计算：
利用函数的对称性可使系数的确定简化
（ 1）偶函数
－ T/2 tT/2
f(t)
0 )()( ??? kbtftf
－ T/2 tT/2
f(t)
0 )()( ??? katftf
（ 2）奇函数
（ 3）奇谐波函数
0 )2()( 22 ????? kk baTtftf
t
f (t)
t
T/2 T
Si
mI
周期性方波信号的分解例 1
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
?
?
?
?
?
??
??
?
Tt
T
T
tI
ti S
2
0
2
0
)(
m
2
1)(1
0
2/
0
mT T
mSO
IdtI
TdttiTI ??? ? ?
直流分量：
谐波分量,?? ? ???
?
2
0 ) (s i n)(
1 tdtktib
SK
K为偶数
K为奇数 ?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
k
Itk
k
I
m
m 2
0
)c o s1( 0
0s i n
12
)(c o s)(
2
0
2
0
???
? ?
?
?
?
?
???
?
tk
k
I
tdtktia
m
Sk
si
的展开式为：
)5s i n513s i n31( s i n22 ?????? tttIIi mmS ????
t
t
t
基波
直流分量
三次谐波
五次谐波 七次谐波
周期性方波波形分解
基波
直流分量
直流分量 +基波
三次谐波
直流分量 +基波 +三次谐波
)5s i n513s i n31( s i n22 ?????? tttIIi mmS ????
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si
5si
IS0
1si 3si 5si
等效电源
给定函数 f(t)的部分波形如图所示 。 为使 f(t)
的傅立叶级数中只包含如下的分量：
tT/4O
f(t)
(1) 正弦分量；
(2) 余弦分量；
(3) 正弦偶次分量；
(4) 余弦奇次分量。
试画出 f(t) 的波形。
tT/4O
f(t)
T/2? T/4? T/2
(1) 正弦分量；
例 2
解
(2) 余弦分量；
tT/4O
f(t)
T/2? T/4? T/2
(3) 正弦偶次分量；
(4) 余弦奇次分量。
tT/4O
f(t)
T/2? T/4? T/2
tT/4O
f(t)
T/2? T/4? T/2
?? ?? ?? ???? 2020 0)(c o s 0)(s i n ttdkttdk
12.2 有效值、平均值和平均功率
1,三角函数的性质
（ 1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。 k整数
（ 2） sin2,cos2在一个周期内的积分为 ?。
?????? ?? ?? ?? )(c o s )(s i n 20 220 2 ttdkttdk
（ 3） 三角函数的正交性
0)(s i ns i n
0)(c o sc o s
0)(s i nc o s
2
0
2
0
2
0
??
??
??
?
?
?
tdtptk
ttdptk
ttdptk
???
???
???
?
?
?
? ?pk ?
2,非正弦周期函数的有效值
)s i n ()(
1
0 k
k
k tkIIti ?? ??? ?
?
?
若
则有效值, ? ?
? ? )(s i n
1
)(
1
2
0
1
0
0
2
tdtkII
T
tdti
T
I
T
k
kk
T
? ?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
?
21
2
2
0 ?
?
?
??
k
kIII
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波
分量有效值平方和的方根。
利用三角函数的正交性得：
222120 ?????????? IIII
结论
3,非正弦周期函数的平均值
??
T
AV dttiTI 0 )(
1
则其平均值定义为：
)c o s ()(
1
0 k
k
k tkIIti ?? ??? ?
?
?
若
4,非正弦周期交流电路的平均功率
? ?? T dtiuTP 01
)c o s ()(
1
0 uk
k
k tkUUtu ?? ??? ?
?
?
)c o s ()(
1
0 ik
k
k tkIIti ?? ??? ?
?
?
利用三角函数的正交性，得：
.,,,,,
)( c o s
210
1
00
????
???? ?
?
?
PPP
IUIUP ikukkkk
k
k ????
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
c o sc o s 22211100 ????? ?? IUIUIUP
结论
12.4 非正弦周期交流电路 的计算
1,计算步骤
（ 2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号
分别应用相量法计算；
（注意,交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于
开路,L相于短路。）
（ 1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开
成若干种频率的谐波信号；
（ 3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
2,计算举例
例 1 方波信号激励的电路。求 u,已知：
STI CLR m ?28.6 A1 5 7 pF1 0 0 0 mH1 20 ?? ????,,、μ
t
T/2 T
Si
mI
R
LC
u
Si
解 （ 1）已知方波信号的展开式为：
)5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
2
2
???
????
t
tt
II
i mmS
?
??
?
sT
AI m
μ28.6
,μ157
?
?代入已知数据：
直流分量 A5.78
2
1 5 7
20 μ
II m ???
A 10014.3 57.1221 ?? ???? mm II基波最大值
μA2051 15 ?? mm II五次谐波最大值
r a d / s101028.6 14.322 66 ????? ?T??角频率
三次谐波最大值 AII
mm ?3.333
1
13 ??
A5.780 ??SI
电流源 各频率的谐波分量为：
A10s i n1 0 0 61 ?ti s ?
A103s i n31 0 0 63 ?ti s ?? A105s i n5100 65 ?ti s ??
mV57.1105.7820 600 ????? ?SRIU
（ 2） 对 各种频率的谐波分量单独计算：
（ a) 直流分量 IS0 作用
R
IS0
u0
电容断路，电感短路,
A5.780 ??SI
（ b)基波作用 ti
s 61 10s i n1 0 0?
????
??
??
?
?
?
k11010
k1
101 00 010
11
36
1
126
1
L
C
?
?
R
LC
u
Si
?????? ???? k50)( )()()( 1 RC LR XXXXjR jXjXRZ CL
CL
CL?
XL>>R
K Ω50)( 1 ??Z
mV25 0 0 050210100(
6
111 ??
???? ?）?ZIU ??
A10s i n1 0 0 61 μti s ?
(c)三次谐波作用 ti
s
6
3 103s i n3
1 0 0 ??
?????? ??? 0
33
33
1 19.895.374)(
))(()3(
CL
CL
XXjR
jXjXRZ ?
Ωk310103
33.0
101 0 00103
11
36
3
126
3
????
??
???
?
?
?
L
K
C
?
?
0
6
133 19.895.3742
103.33)3( ??????? ??ZIU
S
??
mV2.89247.12 0???
(d)五次谐波作用 A105s i n
5
100 6
5 ?ti s ??
?????? ??? ?53.893.208)5( ))(()5(
55
55
1 CL
CL
XXjR
jXjXRZ ?
Ω
Ω
k510105
)K(2.0
1010 00105
11
36
5
126
5
????
?
???
?
?
?
L
C
?
?
mV53.89
2
166.4
53.893.208
2
1020)5( 6
155
?
??
???
??????? ?ZIU s??
(3)各 谐波分量计算结果瞬时值迭加：
mV)53.895s i n (16 6.4
)2.893s i n (47.12
s i n50 0057.1
5310
?
?
??
??
??
????
t
t
t
uuuUu
?
?
?
mV57.10 ?U mV2.89
2
47.12
3
????U?
mV25 0 0 01 ?U?
mV53.89
2
1 6 6.4
5
?? ???U
V,)4π2000c o s (601000c o s12030,???? ttu知已
求图示电路中各表读数 (有效值 )及电路吸收的功率。
例 2
V1
L1
C1
C2
L2
40mH 10mH
u+ _
25?F25?F
30?
a b
c
d A3
A2
V2
1
A1
L1
C1 C2
L240mH 10mH
u+ _
25?F25?F
30?
a b
c d
i
iC1 iL2
解
(1) u0=30V作用于电路,L1,L2 短路,C1, C2开路。
L1
C1 C2
L2
u0+ _
30?
a b
c d
i0
iC10 iL20
i0= iL20 = u0/R =30/30=1A,iC10=0,uad0= ucb0 = u0 =30V
(2) u1=120cos1000t V作用
Ω40
10251000
111
Ω1010101000 Ω4010401000
6
21
3
2
3
1
?
??
??
????????
?
??
CC
LL
??
??
L1,C1 发生并联谐振 。
+ _
30?
a b
c d
1U?
1I?
11CI? 21LI?
j40?
?j40? ?j40?
j10?
V01 2 01 ?? ??U
0
0
cb1
211
?
??
U
II L
?
??
A90340j 01 2 0j 1111 ?
?
?? ??
?
??? UCωI
C
V01 2 011ad ??? ??? UU
(3) u2=60cos(2000t+? /4)V作用
Ω20
10252000
1
2
1
2
1
Ω20101020002,Ω80104020002
6
21
3
2
3
1
?
??
??
????????
?
??
CωCω
LωLω
L2,C2 发生并联谐振 。
+ _
30?
a b
c d
1U?
2I?
12CI? 22LI?
j80?
?j20? ?j20?
j20?
V45602 ?? ??U
A45320j 4560j2
2
1
22
???? ??????
Lω
UI
L
0122 ?? CII ??
V4560,0 2c b 2a d 2 ???? ???? UUU
i=i0+ i1 + i2 =1A
所求的电压、电流的瞬时值为：
iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90?) A
iL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t? 45?) A
uad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t V
ucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45?) V
A1?I电流表 A1的读数,2,1 2 A 2/3 ?电流表 A2的读数：
A35.2)2/3(1 22 ??电流表 A3的读数：
V90)2/1 2 0(30 22 ??
电压表 V1的读数：
V0.52)2/60(30 22 ??电压表 V2的读数：
例 3 已知 u(t)是周期函数，波形如图,L=1/2?H，
C=125/??F,求理想变压器原边电流 i1(t)及输出电压
u2的有效值。
* *
C
1i 2i
+
–
2u
+
–
2, 18?
Lu
24
10.5
u/V
t/ms
12
解 sr a dT /102/2 3??? ???
) c o s (1212)( ttu ???
Ai 5.18/121 ??
当 u=12V作用时，电容开路、
电感短路，有：
02 ?u
作用时当 ) c o s (12 tu ??
????? ???? ? 4101 2 51021 63? ?? CX C
??????? ? 1102 1102 33 ??? LX L
* *
-j4
1i 2i
+
–
2U?
+
–
2, 18?
j?0012?
1I?
+
–
8?
j4?-j4?0012?
+
–
1U?
AjjjUI 341241 ????
??
VUU 01 012 ??? ?? VUnU 012 061 ??? ??
VU 2 43.4
2
6
2 ??
Ati )90c o s (35.1 01 ??? ?
例 4
求 Uab,i,及功率表的读数。
I?
+
–
60?
j20?
+
–1U
?
Wa
b
2U?
**
Vttu
tVu
)303c o s (2100c o s2220
c o s2220
0
2
1
???
?
??
?已知
解
一次谐波作用时,VU
ab 0)1( 0440 ???
AjjI 0)1( 4.1896.63 222060 440 ????????
三次谐波作用时,VU ab 0)3( 30100 ???
AjjI 0
00
)3( 1518.133
305
6060
30100 ???
?
??
?
???
VU ab 22.451100440 22 ???
Atti )15c o s (218.1)4.18c o s (296.6 00 ???? ??
WP 92.1 4 5 24.18c o s96.62 2 0 ???
测的是 基
波 的功率
例 5
C1中只有基波电流,C3＝ 1?F，其中只有三次
谐波电流,求 C1,C2和各支路电流。
tAti s 3 0 0 0c o s101 0 0 0c o s205 ???已知
1i
100? L
C3
C2
C1
200?
Si 2i
3i
解
FLC 522 109 11 ??? ?
0)1(1
2
2
1
???? CLj CLCj ???
C1中只有基波电流，说明
L和 C2对三次谐波发生并
联谐振。即：
C3中只有三次谐波电流，说明 L,C1,C2对一次谐波发生串
联谐振。即：
FC 51 109 8??
Atti 1 0 0 0cos20)(2 ?
1i
100?
Si 1i
100?
C3
200?
Si
3i
2i
100?
Si
一次谐波作用直流作用 三次谐波作用
0
3)3(3 4823.2109
30
310200100
10100 ??
????
??
jjI
?
0
)1(3)3(1 1167.8109
3010 ???
????? jIII S
???
Atti )113000c o s (67.85)( 01 ???
Atti )483000c o s (23.2)( 03 ??
2,非正弦周期函数的有效值和平均功率
? 重点
3,非正弦周期电流电路的计算
1,周期函数分解为付里叶级数
12.1 非正弦周期信号
生产实际中不完全是正弦电路，经常会遇到非正弦周
期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技
术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。
? 非正弦周期交流信号的特点
(1) 不是正弦波
(2) 按周期规律变化
例 1 半波整流电路的输出信号
)()( kTtftf ??
例 2 示波器内的水平扫描电压
周期性锯齿波
计算机内的脉冲信号
T t
例 3
交直流共存电路
Es
+V
例 4
基波（和原
函数同频）
二次谐波
（ 2倍频）
直流分量
高次谐波
)c o s ()(
1
10 ?
?
?
???
k
kkm tkAAtf ??
12.2 周期函数分解为付里叶级数
???? )c o s ()( 1110 ?? tAAtf m
???? )2c o s ( 212 ?? tA m
??? )c o s ( 1 nnm tnA ??
周期函数展开成付里叶级数：
]s i nc o s[)( 1
1
10 tkbtkaatf k
k
k ???
?
?
?????
tkbtkatkA kkkkm ?????? 111 s i nc o s )c o s ( ????
也可表示成：
k
k
k
kkmkkkmk
kkkm
a
b
AbAa
baA
aA
?
?
???
??
?
a r c t a n
s i n c o s
22
00
?
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系数之间
的关系为
?
?
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????
???
????
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2
0
11
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0
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)(s i n)(
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)(c o s)(
1
)(
1
ttdktfb
ttdktfa
tdtf
T
aA
k
k
T
求出 A0,ak,bk便可得到原函数 f(t)的展开式。
系数的计算：
利用函数的对称性可使系数的确定简化
（ 1）偶函数
－ T/2 tT/2
f(t)
0 )()( ??? kbtftf
－ T/2 tT/2
f(t)
0 )()( ??? katftf
（ 2）奇函数
（ 3）奇谐波函数
0 )2()( 22 ????? kk baTtftf
t
f (t)
t
T/2 T
Si
mI
周期性方波信号的分解例 1
解 图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：
?
?
?
?
?
??
??
?
Tt
T
T
tI
ti S
2
0
2
0
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m
2
1)(1
0
2/
0
mT T
mSO
IdtI
TdttiTI ??? ? ?
直流分量：
谐波分量,?? ? ???
?
2
0 ) (s i n)(
1 tdtktib
SK
K为偶数
K为奇数 ?
?
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k
I
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m 2
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2
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?
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?
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tk
k
I
tdtktia
m
Sk
si
的展开式为：
)5s i n513s i n31( s i n22 ?????? tttIIi mmS ????
t
t
t
基波
直流分量
三次谐波
五次谐波 七次谐波
周期性方波波形分解
基波
直流分量
直流分量 +基波
三次谐波
直流分量 +基波 +三次谐波
)5s i n513s i n31( s i n22 ?????? tttIIi mmS ????
t
T/2 T
Si
mI
IS0
1si 3si
5si
IS0
1si 3si 5si
等效电源
给定函数 f(t)的部分波形如图所示 。 为使 f(t)
的傅立叶级数中只包含如下的分量：
tT/4O
f(t)
(1) 正弦分量；
(2) 余弦分量；
(3) 正弦偶次分量；
(4) 余弦奇次分量。
试画出 f(t) 的波形。
tT/4O
f(t)
T/2? T/4? T/2
(1) 正弦分量；
例 2
解
(2) 余弦分量；
tT/4O
f(t)
T/2? T/4? T/2
(3) 正弦偶次分量；
(4) 余弦奇次分量。
tT/4O
f(t)
T/2? T/4? T/2
tT/4O
f(t)
T/2? T/4? T/2
?? ?? ?? ???? 2020 0)(c o s 0)(s i n ttdkttdk
12.2 有效值、平均值和平均功率
1,三角函数的性质
（ 1）正弦、余弦信号一个周期内的积分为 0。 k整数
（ 2） sin2,cos2在一个周期内的积分为 ?。
?????? ?? ?? ?? )(c o s )(s i n 20 220 2 ttdkttdk
（ 3） 三角函数的正交性
0)(s i ns i n
0)(c o sc o s
0)(s i nc o s
2
0
2
0
2
0
??
??
??
?
?
?
tdtptk
ttdptk
ttdptk
???
???
???
?
?
?
? ?pk ?
2,非正弦周期函数的有效值
)s i n ()(
1
0 k
k
k tkIIti ?? ??? ?
?
?
若
则有效值, ? ?
? ? )(s i n
1
)(
1
2
0
1
0
0
2
tdtkII
T
tdti
T
I
T
k
kk
T
? ?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
?
21
2
2
0 ?
?
?
??
k
kIII
周期函数的有效值为直流分量及各次谐波
分量有效值平方和的方根。
利用三角函数的正交性得：
222120 ?????????? IIII
结论
3,非正弦周期函数的平均值
??
T
AV dttiTI 0 )(
1
则其平均值定义为：
)c o s ()(
1
0 k
k
k tkIIti ?? ??? ?
?
?
若
4,非正弦周期交流电路的平均功率
? ?? T dtiuTP 01
)c o s ()(
1
0 uk
k
k tkUUtu ?? ??? ?
?
?
)c o s ()(
1
0 ik
k
k tkIIti ?? ??? ?
?
?
利用三角函数的正交性，得：
.,,,,,
)( c o s
210
1
00
????
???? ?
?
?
PPP
IUIUP ikukkkk
k
k ????
平均功率＝直流分量的功率＋各次谐波的平均功率
c o sc o s 22211100 ????? ?? IUIUIUP
结论
12.4 非正弦周期交流电路 的计算
1,计算步骤
（ 2） 利用正弦交流电路的计算方法，对各谐波信号
分别应用相量法计算；
（注意,交流各谐波的 XL,XC不同，对直流 C 相当于
开路,L相于短路。）
（ 1） 利用付里叶级数，将非正弦周期函数展开
成若干种频率的谐波信号；
（ 3） 将以上计算结果转换为瞬时值迭加。
2,计算举例
例 1 方波信号激励的电路。求 u,已知：
STI CLR m ?28.6 A1 5 7 pF1 0 0 0 mH1 20 ?? ????,,、μ
t
T/2 T
Si
mI
R
LC
u
Si
解 （ 1）已知方波信号的展开式为：
)5s i n
5
1
3s i n
3
1
( s i n
2
2
???
????
t
tt
II
i mmS
?
??
?
sT
AI m
μ28.6
,μ157
?
?代入已知数据：
直流分量 A5.78
2
1 5 7
20 μ
II m ???
A 10014.3 57.1221 ?? ???? mm II基波最大值
μA2051 15 ?? mm II五次谐波最大值
r a d / s101028.6 14.322 66 ????? ?T??角频率
三次谐波最大值 AII
mm ?3.333
1
13 ??
A5.780 ??SI
电流源 各频率的谐波分量为：
A10s i n1 0 0 61 ?ti s ?
A103s i n31 0 0 63 ?ti s ?? A105s i n5100 65 ?ti s ??
mV57.1105.7820 600 ????? ?SRIU
（ 2） 对 各种频率的谐波分量单独计算：
（ a) 直流分量 IS0 作用
R
IS0
u0
电容断路，电感短路,
A5.780 ??SI
（ b)基波作用 ti
s 61 10s i n1 0 0?
????
??
??
?
?
?
k11010
k1
101 00 010
11
36
1
126
1
L
C
?
?
R
LC
u
Si
?????? ???? k50)( )()()( 1 RC LR XXXXjR jXjXRZ CL
CL
CL?
XL>>R
K Ω50)( 1 ??Z
mV25 0 0 050210100(
6
111 ??
???? ?）?ZIU ??
A10s i n1 0 0 61 μti s ?
(c)三次谐波作用 ti
s
6
3 103s i n3
1 0 0 ??
?????? ??? 0
33
33
1 19.895.374)(
))(()3(
CL
CL
XXjR
jXjXRZ ?
Ωk310103
33.0
101 0 00103
11
36
3
126
3
????
??
???
?
?
?
L
K
C
?
?
0
6
133 19.895.3742
103.33)3( ??????? ??ZIU
S
??
mV2.89247.12 0???
(d)五次谐波作用 A105s i n
5
100 6
5 ?ti s ??
?????? ??? ?53.893.208)5( ))(()5(
55
55
1 CL
CL
XXjR
jXjXRZ ?
Ω
Ω
k510105
)K(2.0
1010 00105
11
36
5
126
5
????
?
???
?
?
?
L
C
?
?
mV53.89
2
166.4
53.893.208
2
1020)5( 6
155
?
??
???
??????? ?ZIU s??
(3)各 谐波分量计算结果瞬时值迭加：
mV)53.895s i n (16 6.4
)2.893s i n (47.12
s i n50 0057.1
5310
?
?
??
??
??
????
t
t
t
uuuUu
?
?
?
mV57.10 ?U mV2.89
2
47.12
3
????U?
mV25 0 0 01 ?U?
mV53.89
2
1 6 6.4
5
?? ???U
V,)4π2000c o s (601000c o s12030,???? ttu知已
求图示电路中各表读数 (有效值 )及电路吸收的功率。
例 2
V1
L1
C1
C2
L2
40mH 10mH
u+ _
25?F25?F
30?
a b
c
d A3
A2
V2
1
A1
L1
C1 C2
L240mH 10mH
u+ _
25?F25?F
30?
a b
c d
i
iC1 iL2
解
(1) u0=30V作用于电路,L1,L2 短路,C1, C2开路。
L1
C1 C2
L2
u0+ _
30?
a b
c d
i0
iC10 iL20
i0= iL20 = u0/R =30/30=1A,iC10=0,uad0= ucb0 = u0 =30V
(2) u1=120cos1000t V作用
Ω40
10251000
111
Ω1010101000 Ω4010401000
6
21
3
2
3
1
?
??
??
????????
?
??
CC
LL
??
??
L1,C1 发生并联谐振 。
+ _
30?
a b
c d
1U?
1I?
11CI? 21LI?
j40?
?j40? ?j40?
j10?
V01 2 01 ?? ??U
0
0
cb1
211
?
??
U
II L
?
??
A90340j 01 2 0j 1111 ?
?
?? ??
?
??? UCωI
C
V01 2 011ad ??? ??? UU
(3) u2=60cos(2000t+? /4)V作用
Ω20
10252000
1
2
1
2
1
Ω20101020002,Ω80104020002
6
21
3
2
3
1
?
??
??
????????
?
??
CωCω
LωLω
L2,C2 发生并联谐振 。
+ _
30?
a b
c d
1U?
2I?
12CI? 22LI?
j80?
?j20? ?j20?
j20?
V45602 ?? ??U
A45320j 4560j2
2
1
22
???? ??????
Lω
UI
L
0122 ?? CII ??
V4560,0 2c b 2a d 2 ???? ???? UUU
i=i0+ i1 + i2 =1A
所求的电压、电流的瞬时值为：
iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90?) A
iL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t? 45?) A
uad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t V
ucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45?) V
A1?I电流表 A1的读数,2,1 2 A 2/3 ?电流表 A2的读数：
A35.2)2/3(1 22 ??电流表 A3的读数：
V90)2/1 2 0(30 22 ??
电压表 V1的读数：
V0.52)2/60(30 22 ??电压表 V2的读数：
例 3 已知 u(t)是周期函数，波形如图,L=1/2?H，
C=125/??F,求理想变压器原边电流 i1(t)及输出电压
u2的有效值。
* *
C
1i 2i
+
–
2u
+
–
2, 18?
Lu
24
10.5
u/V
t/ms
12
解 sr a dT /102/2 3??? ???
) c o s (1212)( ttu ???
Ai 5.18/121 ??
当 u=12V作用时，电容开路、
电感短路，有：
02 ?u
作用时当 ) c o s (12 tu ??
????? ???? ? 4101 2 51021 63? ?? CX C
??????? ? 1102 1102 33 ??? LX L
* *
-j4
1i 2i
+
–
2U?
+
–
2, 18?
j?0012?
1I?
+
–
8?
j4?-j4?0012?
+
–
1U?
AjjjUI 341241 ????
??
VUU 01 012 ??? ?? VUnU 012 061 ??? ??
VU 2 43.4
2
6
2 ??
Ati )90c o s (35.1 01 ??? ?
例 4
求 Uab,i,及功率表的读数。
I?
+
–
60?
j20?
+
–1U
?
Wa
b
2U?
**
Vttu
tVu
)303c o s (2100c o s2220
c o s2220
0
2
1
???
?
??
?已知
解
一次谐波作用时,VU
ab 0)1( 0440 ???
AjjI 0)1( 4.1896.63 222060 440 ????????
三次谐波作用时,VU ab 0)3( 30100 ???
AjjI 0
00
)3( 1518.133
305
6060
30100 ???
?
??
?
???
VU ab 22.451100440 22 ???
Atti )15c o s (218.1)4.18c o s (296.6 00 ???? ??
WP 92.1 4 5 24.18c o s96.62 2 0 ???
测的是 基
波 的功率
例 5
C1中只有基波电流,C3＝ 1?F，其中只有三次
谐波电流,求 C1,C2和各支路电流。
tAti s 3 0 0 0c o s101 0 0 0c o s205 ???已知
1i
100? L
C3
C2
C1
200?
Si 2i
3i
解
FLC 522 109 11 ??? ?
0)1(1
2
2
1
???? CLj CLCj ???
C1中只有基波电流，说明
L和 C2对三次谐波发生并
联谐振。即：
C3中只有三次谐波电流，说明 L,C1,C2对一次谐波发生串
联谐振。即：
FC 51 109 8??
Atti 1 0 0 0cos20)(2 ?
1i
100?
Si 1i
100?
C3
200?
Si
3i
2i
100?
Si
一次谐波作用直流作用 三次谐波作用
0
3)3(3 4823.2109
30
310200100
10100 ??
????
??
jjI
?
0
)1(3)3(1 1167.8109
3010 ???
????? jIII S
???
Atti )113000c o s (67.85)( 01 ???
Atti )483000c o s (23.2)( 03 ??
