第 10章 含有耦合电感的电路
?重点
1.互感和互感电压
2.有互感电路的计算
3.空心变压器和理想变压器
10.1 互感
1,互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、
电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器
等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含
这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
线圈 1中通入电流 i1时, 在线圈 1中产生磁通 (magnetic
flux),同时, 有部分磁通穿过临近线圈 2,这部分磁通称为
互感磁通 。 两线圈间有磁的耦合 。
+ –u11 + –u21
i1
?11
?21
N1 N2
定义 ?,磁链 (magnetic linkage),? =N?
当线圈周围无铁磁物质 (空心线圈 )时, ?与 i 成正比,当只有
一个线圈时：
。为自感系数，单位亨称 H)( 111111 LiL?? ??
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与
互磁链的代数和：
2121112111 iMiL ???? ???
1212221222 iMiL ???? ???
。为互感系数，单位亨、称 H)( 2112 MM
注 （ 1） M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，满足 M
12=M21
（ 2） L总为正值,M值有正有负,
2,耦合系数 (coupling coefficient)
用耦合系数 k表示两个
线圈磁耦合的紧密程度 。 1
21
d e f
??
LL
Mk
当 k=1 称全耦合, 漏磁 ? s1 =?s2=0 即 ?11= ?21, ?22 =?12
1))((
2211
2112
2211
21
21
2
21
?????
??
??
iLiL
MiMi
LL
M
LL
Mk一般有：
耦合系数 k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关
互感现象 利用 ——变压器：信号、功率传递避免 ——干扰
克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。
当 i1为时变电流时, 磁通也将随时间变化, 从而在线
圈两端产生感应电压 。
dddd 111111 tiLtu ???
当 i1,u11,u21方向与 ? 符合右手螺旋时, 根据电磁感
应定律和楞次定律：
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压
均包含自感电压和互感电压：
t
iM
tu d
d
d
d 121
21 ?
??
自感电压
互感电压
3,耦合电感上的电压、电流关系
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
2212
2111
jj
jj
???
???
???
??
ILIMU
IMILU
??
??
两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，
否则取负。表明互感电压的正、负：
（ 1）与电流的参考方向有关。
（ 2）与线圈的相对位置和绕向有关。
注
t
i
L
t
i
Muuu
t
i
M
t
i
Luuu
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
1
22212
21
112111
?????
????
4.互感线圈的同名端
对自感电压, 当 u,i 取关联参考方向, u,i与 ?符
合右螺旋定则, 其表达式为
dddd dd 111111111 tiLtΦNtΨu ???
上式 说明, 对于自感电压由于电压电流为同一线圈
上的, 只要参考方向确定了, 其数学描述便可容易地写
出, 可不用考虑线圈绕向 。
i1
u11
对互感电压, 因产生该电压的的电流在另一线圈上,
因此, 要确定其符号, 就必须知道两个线圈的绕向 。 这在
电路分析中显得很不方便 。 为解决这个问题引入同名端的
概念 。
t
iMu
t
iMu
d
d
d
d 1
3131
1
2121 ???
当两个电流分别从两个线圈的对应端子同
时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，
则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。
* *? ?
同名端
i1
+ –u11 + –u21
?11
?0
N1 N2
+ –u31
N3
?s
i2 i3△ △
注意：线圈的同名端必须两两确定。
确定同名端的方法：
(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 (或流出 )时, 两
个电流产生的磁场相互增强 。
?i1
1'
2
2'
* *
1
1'
2
2' 3'
3*
* ?
?
?
?
例
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时, 将
会引起另一线圈相应同名端的电位升高 。
同名端的实验测定,i1
1'
2
2'
* *
R S
V
+
–
电压表正偏。 0,0
'22 ??? dt
diMu
dt
di
如图电路，当闭合开关 S时,i增加，
当两组线圈装在黑盒里, 只引出四个端线组, 要
确定其同名端, 就可以利用上面的结论来加以判断 。
??
由同名端及 u,i参考方向确定互感线圈的特性方程
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再
考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。
t
iMu
d
d 1
21 ?
t
iMu
d
d 1
21 ??
i1
* *
u21+ –
M
i1
* *
u21– +
M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ??
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ???
i1
*
*
L1 L2
+
_u1 +
_
u2
i2Mi1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
i1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M例
写
出
图
示
电
路
电
压、
电
流
关
系
式
例
i1
* *
L1 L2
+
_
u2
M
R1 R2+
_u
210
10
i1/A
t/s
)()(H,1,H2,H5,10 2211 tutuMLLR 和求已知 ?????
??
?
?
?
?
???
??
??
t
stV
stV
t
iMtu
2 0
21 10
10 10
d
d)( 1
2
解
??
?
?
?
?
????
???
???
t
stVt
stVt
t
iLiRtu
2 0
21 150 100
10 50 100
d
d)( 1
11
10.2 含有耦合电感电路的计算
1,耦合电感的串联
（ 1） 顺接串联
t
i
LRi
t
i
MLLiRR
iR
t
i
M
t
i
L
t
i
M
t
i
LiRu
d
d
d
d
)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
??
?????
??????
MLLLRRR 2 2121 ?????
i
R
L
u
+
–
i M
* * u
2
+ –
R1 R2L1 L2
u1 +–
u+ –
去耦等效电路
（ 2） 反接串联
MLLLRRR 2 2121 ?????
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
???????
??????
)(21 21 LLM ??
互感不大于两个自感的算术平均值。
02 21 ???? MLLL
i M
* * u
2
+ –
R1 R2L1 L2
u1 +–
u+ –
i
R
L
u
+
–
顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
4
反顺 LLM ??
全耦合时
21 LLM ?
2
21
212121
)(
22
LL
LLLLMLLL
??
??????
当 L1=L2 时,M=L
4M 顺接
0 反接
L=
互感的测量方法：
在正弦激励下,* *
1
?U + –
R1 R2j? L1
+ –
+ –
j? L2
2
?U
j? M
? U
? I
??
???
?????
)2(j)( 2121 IMLLωIRRU +–
? I
?
1IR
?
1j ILω
? j IMω
?
2IR
?
2j ILω
? j IMω
1 ?U
2 ?U
? U
? I
?
1 IR
?
1j ILω ? j IMω
?
2 IR
?
2j ILω
? j IMω
1
?U
2
?U
? U
相量图：
(a) 顺接 (b) 反接
（ 1） 同侧并联
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1 ??
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
??
??
0 2 )(
21
2
21 ?
??
??
MLL
MLLL
eq
i = i1 +i2
解得 u,i 的关系：
2,耦合电感的并联
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2 ??
等效电感：
如全耦合,L1L2=M2 当 L1?L2, Leq=0 (物理意义不明确 )
L1=L2, Leq=L (相当于导线加粗，电感不变 )
（ 2） 异侧并联
*
*
M
i2i1
L1 L2u
i
+
– t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1 ??
i = i1 +i2
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2 ??
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
??
??
解得 u,i 的关系：
等效电感：
0 2 )(
21
2
21 ?
??
??
MLL
MLLL
eq
3.耦合电感的 T型等效
（ 1） 同名端为共端的 T型去耦等效
**j?L
1
? I
1
?I 2
?I
1 2
3
j?L2
j? M
21113
jj ??? ?? IMωILωU
12223
jj ??? ?? IMILU ??
21
??? ?? III
?? ??? j)(j
11 IMIMLω ?
?? ??? j)(j
22 IMIMLω ?
j?(L1-M)
? I
1
?I 2
?I
1 2
3
j?M
j?(L2-M)
（ 2） 异名端为共端的 T型去耦等效
*
*j?L
1
? I
1
?I 2
?I
1 2
3
j?L2
j? M
j?(L1＋ M)
? I
1
?I 2
?I
1 2
3
－ j?M
j?(L2＋ M)
21113
jj ??? ?? IMILU ??
12223
jj ??? ?? IMILU ??
21
??? ?? III
?? ??? j)(j
11 IMIMLω ?
?? ??? j)(j
22 IMIMLω ?
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
* *
M i2i1
L1 L2u
+
–
u
+
–
j?(L1－ M)
? I
1
?I 2 ?I
j?M
j?(L2－ M)
j?(L1－ M)
1
?I 2 ?I
j?M
j?(L2－ M)
4,受控源等效电路
2111
??? ?? IMjILjU ??
1222
??? ?? IMjILjU ??
* *
M i2i1
L1 L2u
+
–
u
+
–
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
+
– –
+
2
?IMj? 1
?IMj?
+
–
2
?U
+
–
1 ?U
例 abL 求等效电感
M=3H
6H
2H
0.5H
4H
a
b
M=4H
6H
2H 3H
5H
a
b
M=1H
9H
2H
0.5H
7H
a
b
-3HLab=5H
4H3H
2H1Ha
b
3HLab=6H
解
5,有互感的电路的计算
(1) 有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的
相量分析的方法均适用。
(2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感
电压。
(3) 一般采用支路法和回路法计算。
列写下图电路的回路电流方程。例 1
M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
SUIIMjILjILjR ????? ?????? )()( 3231111 ???
21
3M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
13132222 )()( IkIIMjILjILjR ????? ????? ???
0)()(
)
1
(
2313
2211321
?????
????
IIMjIIMj
ILjILjI
C
jLjLj
????
???
??
??
?
??
解
例 2 求图示电路的开路电压。
1I?
)2( 313111
MLLjR
UI S
????
?
?
?
M12
+
_
+
_
SU? ocU?*
*
?
?
? ?
M23M31
L1 L2
L3
R1
)2(
)(
31311
3123123
131`311231120
MLLjR
UMMMLj
ILjIMjIMjIMjU
S
c
???
???
?
????
?
?
????
?
?????
解 1
作出去耦等效电路,(一对一对消 ):
M12
*
*
?
?
? ?
M23M13
L1 L2
L3 *
*
?
?
M23M13
L1–M12 L2–M12
L3+M12
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13
解 2
L1–M12 +M23 L2–M12 –M23
L3+M12 –M23
?
?
M13
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13
R1 +
–
+
_
SU?
ocU?
1I?
)2( 313111
MLLjR
UI S
????
?
?
?
)2(
)(
31311
3123123
0 MLLjR
UMMMLjU S
c ???
????
?
? ??
例 3 要使 i=0,问电源的角频率为多少？
ZR
C
－
L1 L2
M
i
uS
+
L1 L2
C
R
+
–
SU?
I?
M
Z
* * L1－ M L2－ M
C
R
+
–
SU?
I?
Z
M
解
CM ??
1 ?当
MC
1 ??
0?I?
10.3 空心变压器
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向
电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从
一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压
器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。
1,空心变压器电路
原边回路
副边回路
2,分析方法
（ 1） 方程法分析
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
S2111
j-) j( ??? ?? UIMILωR ?
0)j(j 2221 ????? ?? IZLωRIMω
令 Z11=R1+j? L1,Z22=(R2+R)+j(? L2+X)
回路方程：
S2111
j- ??? ? UIMIZ ?
0j 2221 ??? ?? IZIM?
)(
22
2
11
S
1
Z
M
Z
U
I
?
?
?
?
?
22
2
11
1
S
in
)(
Z
MZ
I
UZ ????
?
?
11
2
22
11
S
22
22
2
11
S
2
)(
1j
)
)(
(
j
Z
M
Z
Z
UM
Z
Z
M
Z
UM
I
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
原边等效电路
2 ?I+
–
oc
?U Z
22
11
2)(
Z
Mω
副边等效电路
（ 2） 等效电路法分析
ll
l
XR
XR
XMω
XR
RMω
XR
Mω
Z
M
Z
jj
j
)(
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
2
??
?
?
?
?
?
??
?
Zl= Rl+j Xl
2
22
2
22
22
22
XR
RMωR
l ??
2
22
2
22
22
22
XR
XMωX
l ???
11in2,,0 ZZI ?? 即副边开路当 ?
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
副边对原边的引入阻抗。
引入电阻。 恒为正,表示副边回路
吸收的功率是靠原边供给的。
引入电抗。 负号反映了引入电
抗与付边电抗的性质相反。
原边等效电路
引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响 。 从物理意
义讲, 虽然原副边没有电的联系, 但由于互感作用使闭合的
副边产生电流, 反过来这个电流又影响原边电流电压 。
从能量角度来说,
电源发出有功 P= I12(R1+Rl)
I12R1 消耗在原边； I12Rl 消耗在付边，由互感传输。
2221
j ?? ? IZIM?证
明
22222222212 )()( IXRIM ?? ???
2
222
2
12
22
2
22
22
2)(
IRI
XR
RM ?? ?
?
?
11
S
oc
j
Z
UMωU
?
?
?
11
2)(
Z
Mω 原边对副边的引入阻抗。
利用戴维宁定理可以求得 空心变压器副边的等效电路 。
副边开路时，
原边电流在副边产
生的互感电压。
2 ?I+
–
oc
?U Z
22
11
2)(
Z
Mω
副边等效电路
（ 3） 去耦等效法分析
对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电
路，再进行分析。
已知 US=20 V,原边引入阻抗 Zl=10–j10?.
求, ZX 并求负载获得的有功功率,
101010j4
22
22 j
ZZ MωZ Xl ?????
Ω 8.9j2.010200 )1010(4101010 4 ?????????? jjjjZ X
此时负载获得的功率,W101010 20 2 ???? lR RPP ）（
引
W104,*
2
S
11 ??? R
UPZZ
l
实际是最佳匹配：
解：
* *
j10?
2 ?I
j10?
j2
+
–S
?U
10?
ZX
+
–
S
?U
10+j10?
Zl=10–j10?
例 1
解
L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20?,R2=0.08?,
RL=42?,??314rad/s,
V 01 1 5 o??sU?
.,,21 II ??求
应用原边等效电路
Ω4.1 1 3 0j20j 1111 ???? ω LRZ
Ω 85.18+08.42=j++= 2222 jω LRRZ L
???????? 8188422)1.24(3.4621.2411.46 146 o
2
22
2
.-jZXZ Ml ?
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
M?
例 2
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
RL
解 1
A)9.64(111.08.1884224.113020 0115 o
11
S
1 ??????
??
?? jjZZ
UI
l
???
应用副边等效电路
V
j
j
LjR
U
MjIMjU SOC
?
?
?
??
085.14
4.1 1 3 020
0115
146
11
1
??
?
?
??
?
???
?
??
???????? 85.18906.1 1 3 02 1 3 1 64.1 1 3 020 146)(
2
11
2
jjZ M ?
AjjZ IMjI ??
????
1351.01.2411.46 1.252.1685.1808.42 9.64111.0146
22
1
2 ???
??
?
??????
解 2
2 ?I+
–
oc
?U Z
22
11
2)(
Z
Mω
Ajj UI OC ?
???
0353.008.42 085.1485.1808.425.182 ????????
例 3 全耦合互感电路如图，求电路初级端 ab间的等效阻抗。
* *
L1
a M
+
–S
?U
b
L2
解 1 111 j LZ ??
222 j LZ ??
2
2
22
2)(
L
Mj
Z
MZ
l ?
? ???
)1()1( 21
21
2
1
2
2
111
kLj
LL
M
Lj
L
M
jLjZZZ lab
????
????
??
??
解 2 画出去耦等效电路
L1－ M L2－ M
+
–
SU? M
a
b
)1(
)1(
)
)(
)//()(
2
1
21
2
1
2
2
21
2
2
1
21
kL
LL
M
L
L
MLL
L
MLM
ML
MLMMLL
ab
??
??
?
?
?
???
????
例 4 L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10?,C1=C2=0.01?F,
问, R2=？ 能吸收最大功
率,求最大功率。
V 010 o??sU?
解 1
????? 10)1 j(
1
1111 CLRZ ??
2
2
2222 )
1 j( R
CLRZ ???? ??
222
2 400)(
RZ
MZ
l ??
?
??106rad/s,
* *
j? L1 j? L2
j? M
+
– S
?U
R1
C2
R2
C1
??? 1 0 0 21 LL ??
??? 1 0 011
21 CC ??
?? 20 M?
应用原边等效电路
+
–
S
?U
10?
2
400
R
当
2
11
4 0 010
RZZ l ???
R2=40?时吸收最大功率
WP 5.2)104(10 2m a x ???
解 2 应用副边等效电路
4010400)(
11
2
??? ZMZ l ?
+
–
oc
?U R
2
40)(
11
2 ?
Z
M?
VjjZUMjU SOC 2010 1020
11
????? ?? ?
当 ??? 40
2RZ l 时吸收最大功率
WP 5.2)404(20 2m a x ???
例 5
图示互感电路已处于稳态，
t=0时开关打开，
求 t >0+时开路电压 u2(t)。
* *
0.2H 0.4H
M=0.1H
+
–
10?
40V u2
+
－
10?
5?
10?
解
* *
0.2H 0.4H
M=0.1H
+
–
10?
40V u2
+
－
10?
5?
10?
副边开路，对原边回路无影响，开路电压 u2(t)中只有
互感电压。先应用三要素法求电流 i(t).
i
A
ii
1
2
1
1510//10
40
)0()0(
??
?
?
? ??
10?
0?t
s01.0
20
2.0 ???
??t 0)( ??i
Aeeiiiti t
t
100)]()0([)()( ?
?
? ?????? ?
VeedtddtdiMtu tt 1001002 10)(1.0)( ?? ????
解
例 6
* *
＋
－
uS(t)
Z
100 ?
C
L1 L2
M
ttuCML S ???? c o s2100)(,201120 2 ??????,已知
问 Z为何值时其上获得最大
功率，求出最大功率。
（ 1）判定互感线圈的
同名端。
（ 2）作去耦等效电路
j100?
－ j20?
j20?
100?
j(?L-20)?
－
＋
00100? j100?
100?
j(?L-20)?
－
＋
00100?
j100?
100?
j(?L-20)?
－
＋
00100?
＋
－
uoc
j100?
100?
j(?L-20)?
＋
－
uoc
VjjjUjU Soc 045250100100 100100)100100 100 ??? ????
??
???? 5050100/100 jjZ eq
???? 5050* jZZ eq
W
R
UP
eq
oc 25
504
)250(
4
2
m a x ????
10.4 理想变压器
1 21 LLMk ???
1.理想变压器的三个理想化条件
理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互
感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。
（ 2）全耦合
（ 1）无损耗 线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的
磁导率无限大。
（ 3）参数无限大
nLL
MLL
??
??
2121
,2,1
NN
,
但
以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实
际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理
想变压器对待，可使计算过程简化。
?i1
1'
2
2'
N1 N2
????? ???? 221121
2.理想变压器的主要性能
（ 1）变压关系
1?k
dt
dN
dt
du ??
1
1
1 ??
dt
dN
dt
du ??
2
2
2 ??
nNNuu ??
2
1
2
1
* *
n:1
+
_u1
+
_u2
*
*
n:1
+
_u1
+
_u2
理想变压器模型
若
nNNuu ????
2
1
2
1
（ 2）变流关系 i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
dt
diM
dt
diLu 21
11 ??
)()(1)( 2
10
1
1
1 tiL
Mdu
Lti
t? ?? ??
考虑到理想化条件,1 21 LLMk ???
nLLL ???? 21211 NN,
0
nL
L
L
M 1
1
2
1
?? )(1)(
21 tinti ??
若 i1,i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：
)(1)( 21 tinti ?
n:1
理想变压器模型
（ 3）变阻抗关系
ZnIUnInUnIU 2
2
22
2
2
1
1 )(
/1 ????? ?
?
?
?
?
?
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
Z
1
?I
+
–
1
?U n2Z
理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的
大小，不改变阻抗的性质。注
（ b） 理想变压器的特性方程为代数关系, 因此
它是无记忆的多端元件 。
21 nuu ?
21
1 i
ni ??
* *+
–
n, 1
u1
i1 i2
+
–
u2
0)(1 11112211 ??????? niuniuiuiup
（ a） 理想变压器既不储能, 也不耗能, 在电路
中只起传递信号和能量的作用 。
（ 4）功率性质
表明：
例 1 已知电源内阻 RS=1k?,负载电阻 RL=10?。 为使R
L上获得最大功率, 求理想变压器的变比 n。
n2RL
+
–
uS
RS
当 n2RL=RS时匹配，即
10n2=1000
? n2=100,n=10,
* *
n, 1
RL
+
–
uS
RS
应用变阻
抗性质
例 2
1
?I
2
?I
* * +
–2
?U
+
–
1
?U
1, 10
50?
+
–
V010 o?
1?
.2 ?U求
方法 1：列方程
101 21 UU ?? ?
21 10 II ?? ??
o11 0101 ???? ?UI?
050 22 ?? ?UI? 解得
V033.33 o2 ???U
方法 2：阻抗变换
V0100
1010
o
S1oc
??
?? UUU ???
0,0 12 ??? II ???
1
?I
Ω2150)101( 2 ??
+
–
1
?U
+
–
V010 o?
1? V 0
3
10
2
1
2/11
010 oo
1 ????
??U?
V033.33
10
1
o
112
??
?? UU
n
U ???
方法 3：戴维南等效
1
?I
2
?I
* * +
–
oc
?U
+
–
1
?U
1, 10
+
–
V010 o?
1?
:ocU?求
求 Req：
Req=102?1=100?
戴维南等效电路：
+
–
2
?U
+
–
V0100 o?
100?
50?
V033.3350501 0 0 01 0 0 o
o
2 ????
??U?
Req
* *
1, 101?
例 3 理想变压器副边有两个线圈, 变比分别为 5:1和 6:1。
求原边等效电阻 R。
*
* +
–
1
?U
+
5, 1
–
4?
*
6, 1
5?
1
?I 2
?I
3
?I
2
?U
+
–3
?U
332211 IUIUIU ??
??56 2
??45 2
2
1
33
2
1
22
2
1
11
I
IU
I
IU
I
IU ??
??????
???
280536425
3
32
2
2
22
1
1
1
I
U
n
I
U
n
I
U
R
把次级线圈看作串联
??56 2
??45 2
*
* +
–
1
?U
+
5, 1
–
4?
*
6, 1
5?
1
?I 2
?I
3
?I
2
?U
+
–3
?U
332211 IUIUIU ??
2
1
33
2
1
22
2
1
11
U
IU
U
IU
U
IU ??
4 5 0
7
535
1
425
1
3
2
2
3
2
2
1
2
1
1
?
?
?
?
?
???
Un
I
Un
I
U
I
G
???? 2 8 6.6474 5 01GR
把次级线圈看作并联
例 4 已知图示电路的等效阻抗 Zab=0.25?,求理想变
压器的变比 n。
解
102?n
+
–
1
?U
1.5?
2
3 ?U
? I
+
–
U?
应用阻抗变换
外加电源得：
10)3( 221 nUIU ??? ????
)105.1()3( 22 nUIU ???? ???
21 UnU ?? ?
130
10
2 ?? n
InU ??
130 105.125.0
2
?
????
n
n
I
UZ
ab ?
?
n=0.5 or n=0.25
Zab
* *
n, 11.5?
10?
－
+
3 2U?
2U?
例 5 求电阻 R 吸收的功率 解 应用回路法
21 UnU ?? ?
21
1 I
nI
?? ?
11
??? UUI
S??
2322 UII ??? ??
解得
1
?I
2
?I
* * +
–
2
?U
+
–
1
?U
1, 10
+
–
SU?
1?
1?
1?
R=1?1 2
3
SUII ??? ?? 32 2
nn
nnUI S
23
)121(
3 ?
??? ??
23RIP ?
例 6
2
?I* * +
–
? U
+
n1, 1
–
R1
n2, 1
R2
? I
4
?I
2
?U
+
–4
?U3 ?U
1
?U
+
+
–
–
R3
a
b
求入端电阻 Rab
解 422131 UnUnUUU ???? ???? ?
4
423422
2
2
423212
1
)()(
I
IRRIIn
I
IIRIRn
?
???
?
??? ??
??????
4
4
2
2
2
2
2
1
4221
I
Un
I
Un
I
Un
I
Un
I
U
R
ab
?
?
?
?
?
?
??
?
???
???
?
4
2
3
2
232
2
2
2
4
3
2
131
2
1 )()( I
IRnRRn
I
IRnRRn
?
?
?
?
??????
2
4
1
2
n
I
n
II ???? ????
2
1
4
2
n
n
I
I ?
?
?
2213222121 )( nnRRnRnR ab ????
10.5 实际变压器的电路模型
实际变压器是有损耗的, 也不可能全耦合, k ?1。
且 L1,M,L2??,。 除了用具有互感的电路来分析计
算以外, 还常用含有理想变压器的电路模型来表示 。
1.理想变压器 (全耦合，无损,?=?线性变压器 )
21 UnU ?? ?
21
1 InI ?? ??
21 nuu ?
21
1 i
ni ??
i1
* *+
_u1
+
_u2
i2n:1
理想变压器模型
2.全耦合变压器 (k=1,无损, ???,线性 )
由于全耦合, 所以仍满足：
2
1
2
1 NNn
U
U ??
?
?* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–
2
?U
+
–
1
?U
2111 1 j 1 InUω LI ??? ??
全耦合变压器的等值电路图
* *
j? L1
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
理想变压器
L1,激磁电感
(magnetizing inductance )
0I?
（ 空载激磁电流）
2111
j j ??? ?? IMILU ??又因
3.无损非全耦合变压器 (忽略损耗, k?1,???线性 )
?21
i1 i2
+ +
– –
u1 u2
?12
?1s ?2s
N1 N2
'
1
1
1
S111
11 d
d
d
d
d
d
d
d u
dt
diL
ttttNu S ??
??????? ?
'
2
2
2
S222
22 d
d
d
d
d
d
d
d u
dt
diL
ttttNu S ??
??????? ?
???
???
??
??
S
S
22
11
线圈中的磁通看成是漏磁
通加全耦合磁通，即：
全耦合
磁通
在线性情况下，有：
由此得无损非全耦合变压器的电路模型：
* *
L1
+
–
+
–
n, 1L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
+
–
u1'
+
–
u2'
L1S,L2S,漏电感
(leakage inductance)
4,有损耗的非全耦合变压器 (k?1,???,线性 )
* *
L1
+
–
+
–
n, 1L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
Rm
R1 R2
考虑了导线
和铁芯损耗
全耦合变压器
以上是在线性情况下讨论实际变压器 。 实际上铁心变压器
由于铁磁材料 B–H特性的非线性,初级和次级都是非线性元
件, 原本不能用线性电路的方法来分析计算, 但漏磁通是通
过空气闭合的, 认为漏感 LS1,LS2 基本上是线性的, 磁化电
感 L1虽是非线性的, 但其值很大, 并联在电路上只取很小的电
流影响很小, 电机学中常用这种等值电路 。
例 图示为全耦合变压器，求初级电流和输出电压。
* *
j2?
1
?I
2
?Ik=1
+
–
2
?U
+
–
001? j8? 8?
解 做全耦合变压器等效电路
* *
j2?
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
001?
n, 1
8?
2
1
8
2
2
1
2
1 ????
L
L
L
Ln
?
?
j2?
1
?I
+
–
1
?U
+
–
001? 2?
AjjI 5.05.021211 ?????
VnUnUU S 012 02 ???? ???
?重点
1.互感和互感电压
2.有互感电路的计算
3.空心变压器和理想变压器
10.1 互感
1,互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、
电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器
等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含
这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
线圈 1中通入电流 i1时, 在线圈 1中产生磁通 (magnetic
flux),同时, 有部分磁通穿过临近线圈 2,这部分磁通称为
互感磁通 。 两线圈间有磁的耦合 。
+ –u11 + –u21
i1
?11
?21
N1 N2
定义 ?,磁链 (magnetic linkage),? =N?
当线圈周围无铁磁物质 (空心线圈 )时, ?与 i 成正比,当只有
一个线圈时：
。为自感系数，单位亨称 H)( 111111 LiL?? ??
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与
互磁链的代数和：
2121112111 iMiL ???? ???
1212221222 iMiL ???? ???
。为互感系数，单位亨、称 H)( 2112 MM
注 （ 1） M值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，满足 M
12=M21
（ 2） L总为正值,M值有正有负,
2,耦合系数 (coupling coefficient)
用耦合系数 k表示两个
线圈磁耦合的紧密程度 。 1
21
d e f
??
LL
Mk
当 k=1 称全耦合, 漏磁 ? s1 =?s2=0 即 ?11= ?21, ?22 =?12
1))((
2211
2112
2211
21
21
2
21
?????
??
??
iLiL
MiMi
LL
M
LL
Mk一般有：
耦合系数 k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关
互感现象 利用 ——变压器：信号、功率传递避免 ——干扰
克服：合理布置线圈相互位置或增加屏蔽减少互感作用。
当 i1为时变电流时, 磁通也将随时间变化, 从而在线
圈两端产生感应电压 。
dddd 111111 tiLtu ???
当 i1,u11,u21方向与 ? 符合右手螺旋时, 根据电磁感
应定律和楞次定律：
当两个线圈同时通以电流时，每个线圈两端的电压
均包含自感电压和互感电压：
t
iM
tu d
d
d
d 121
21 ?
??
自感电压
互感电压
3,耦合电感上的电压、电流关系
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
2212
2111
jj
jj
???
???
???
??
ILIMU
IMILU
??
??
两线圈的自磁链和互磁链相助，互感电压取正，
否则取负。表明互感电压的正、负：
（ 1）与电流的参考方向有关。
（ 2）与线圈的相对位置和绕向有关。
注
t
i
L
t
i
Muuu
t
i
M
t
i
Luuu
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
1
22212
21
112111
?????
????
4.互感线圈的同名端
对自感电压, 当 u,i 取关联参考方向, u,i与 ?符
合右螺旋定则, 其表达式为
dddd dd 111111111 tiLtΦNtΨu ???
上式 说明, 对于自感电压由于电压电流为同一线圈
上的, 只要参考方向确定了, 其数学描述便可容易地写
出, 可不用考虑线圈绕向 。
i1
u11
对互感电压, 因产生该电压的的电流在另一线圈上,
因此, 要确定其符号, 就必须知道两个线圈的绕向 。 这在
电路分析中显得很不方便 。 为解决这个问题引入同名端的
概念 。
t
iMu
t
iMu
d
d
d
d 1
3131
1
2121 ???
当两个电流分别从两个线圈的对应端子同
时流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，
则这两个对应端子称为两互感线圈的同名端。
* *? ?
同名端
i1
+ –u11 + –u21
?11
?0
N1 N2
+ –u31
N3
?s
i2 i3△ △
注意：线圈的同名端必须两两确定。
确定同名端的方法：
(1) 当两个线圈中电流同时由同名端流入 (或流出 )时, 两
个电流产生的磁场相互增强 。
?i1
1'
2
2'
* *
1
1'
2
2' 3'
3*
* ?
?
?
?
例
(2) 当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时, 将
会引起另一线圈相应同名端的电位升高 。
同名端的实验测定,i1
1'
2
2'
* *
R S
V
+
–
电压表正偏。 0,0
'22 ??? dt
diMu
dt
di
如图电路，当闭合开关 S时,i增加，
当两组线圈装在黑盒里, 只引出四个端线组, 要
确定其同名端, 就可以利用上面的结论来加以判断 。
??
由同名端及 u,i参考方向确定互感线圈的特性方程
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再
考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。
t
iMu
d
d 1
21 ?
t
iMu
d
d 1
21 ??
i1
* *
u21+ –
M
i1
* *
u21– +
M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ??
i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
11 ??
t
iL
t
iMu
d
d
d
d 2
2
1
2 ???
i1
*
*
L1 L2
+
_u1 +
_
u2
i2Mi1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
i1
*
*
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M例
写
出
图
示
电
路
电
压、
电
流
关
系
式
例
i1
* *
L1 L2
+
_
u2
M
R1 R2+
_u
210
10
i1/A
t/s
)()(H,1,H2,H5,10 2211 tutuMLLR 和求已知 ?????
??
?
?
?
?
???
??
??
t
stV
stV
t
iMtu
2 0
21 10
10 10
d
d)( 1
2
解
??
?
?
?
?
????
???
???
t
stVt
stVt
t
iLiRtu
2 0
21 150 100
10 50 100
d
d)( 1
11
10.2 含有耦合电感电路的计算
1,耦合电感的串联
（ 1） 顺接串联
t
i
LRi
t
i
MLLiRR
iR
t
i
M
t
i
L
t
i
M
t
i
LiRu
d
d
d
d
)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
??
?????
??????
MLLLRRR 2 2121 ?????
i
R
L
u
+
–
i M
* * u
2
+ –
R1 R2L1 L2
u1 +–
u+ –
去耦等效电路
（ 2） 反接串联
MLLLRRR 2 2121 ?????
t
iLRi
t
iMLLiRR
iR
t
iM
t
iL
t
iM
t
iLiRu
d
d
d
d)2()(
d
d
d
d
d
d
d
d
2121
2211
???????
??????
)(21 21 LLM ??
互感不大于两个自感的算术平均值。
02 21 ???? MLLL
i M
* * u
2
+ –
R1 R2L1 L2
u1 +–
u+ –
i
R
L
u
+
–
顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
4
反顺 LLM ??
全耦合时
21 LLM ?
2
21
212121
)(
22
LL
LLLLMLLL
??
??????
当 L1=L2 时,M=L
4M 顺接
0 反接
L=
互感的测量方法：
在正弦激励下,* *
1
?U + –
R1 R2j? L1
+ –
+ –
j? L2
2
?U
j? M
? U
? I
??
???
?????
)2(j)( 2121 IMLLωIRRU +–
? I
?
1IR
?
1j ILω
? j IMω
?
2IR
?
2j ILω
? j IMω
1 ?U
2 ?U
? U
? I
?
1 IR
?
1j ILω ? j IMω
?
2 IR
?
2j ILω
? j IMω
1
?U
2
?U
? U
相量图：
(a) 顺接 (b) 反接
（ 1） 同侧并联
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1 ??
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
??
??
0 2 )(
21
2
21 ?
??
??
MLL
MLLL
eq
i = i1 +i2
解得 u,i 的关系：
2,耦合电感的并联
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2 ??
等效电感：
如全耦合,L1L2=M2 当 L1?L2, Leq=0 (物理意义不明确 )
L1=L2, Leq=L (相当于导线加粗，电感不变 )
（ 2） 异侧并联
*
*
M
i2i1
L1 L2u
i
+
– t
iM
t
iLu
d
d
d
d 21
1 ??
i = i1 +i2
t
iM
t
iLu
d
d
d
d 12
2 ??
t
i
MLL
MLLu
d
d
2
)(
21
2
21
??
??
解得 u,i 的关系：
等效电感：
0 2 )(
21
2
21 ?
??
??
MLL
MLLL
eq
3.耦合电感的 T型等效
（ 1） 同名端为共端的 T型去耦等效
**j?L
1
? I
1
?I 2
?I
1 2
3
j?L2
j? M
21113
jj ??? ?? IMωILωU
12223
jj ??? ?? IMILU ??
21
??? ?? III
?? ??? j)(j
11 IMIMLω ?
?? ??? j)(j
22 IMIMLω ?
j?(L1-M)
? I
1
?I 2
?I
1 2
3
j?M
j?(L2-M)
（ 2） 异名端为共端的 T型去耦等效
*
*j?L
1
? I
1
?I 2
?I
1 2
3
j?L2
j? M
j?(L1＋ M)
? I
1
?I 2
?I
1 2
3
－ j?M
j?(L2＋ M)
21113
jj ??? ?? IMILU ??
12223
jj ??? ?? IMILU ??
21
??? ?? III
?? ??? j)(j
11 IMIMLω ?
?? ??? j)(j
22 IMIMLω ?
* *
M
i2i1
L1 L2u
i
+
–
* *
M i2i1
L1 L2u
+
–
u
+
–
j?(L1－ M)
? I
1
?I 2 ?I
j?M
j?(L2－ M)
j?(L1－ M)
1
?I 2 ?I
j?M
j?(L2－ M)
4,受控源等效电路
2111
??? ?? IMjILjU ??
1222
??? ?? IMjILjU ??
* *
M i2i1
L1 L2u
+
–
u
+
–
j? L1
1 ?I 2 ?I
j? L2
+
– –
+
2
?IMj? 1
?IMj?
+
–
2
?U
+
–
1 ?U
例 abL 求等效电感
M=3H
6H
2H
0.5H
4H
a
b
M=4H
6H
2H 3H
5H
a
b
M=1H
9H
2H
0.5H
7H
a
b
-3HLab=5H
4H3H
2H1Ha
b
3HLab=6H
解
5,有互感的电路的计算
(1) 有互感的电路的计算仍属正弦稳态分析，前面介绍的
相量分析的方法均适用。
(2) 注意互感线圈上的电压除自感电压外，还应包含互感
电压。
(3) 一般采用支路法和回路法计算。
列写下图电路的回路电流方程。例 1
M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
SUIIMjILjILjR ????? ?????? )()( 3231111 ???
21
3M
uS
+
C
－
L1 L2
R1 R2
**
+
－
ki1i1
13132222 )()( IkIIMjILjILjR ????? ????? ???
0)()(
)
1
(
2313
2211321
?????
????
IIMjIIMj
ILjILjI
C
jLjLj
????
???
??
??
?
??
解
例 2 求图示电路的开路电压。
1I?
)2( 313111
MLLjR
UI S
????
?
?
?
M12
+
_
+
_
SU? ocU?*
*
?
?
? ?
M23M31
L1 L2
L3
R1
)2(
)(
31311
3123123
131`311231120
MLLjR
UMMMLj
ILjIMjIMjIMjU
S
c
???
???
?
????
?
?
????
?
?????
解 1
作出去耦等效电路,(一对一对消 ):
M12
*
*
?
?
? ?
M23M13
L1 L2
L3 *
*
?
?
M23M13
L1–M12 L2–M12
L3+M12
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13
解 2
L1–M12 +M23 L2–M12 –M23
L3+M12 –M23
?
?
M13
L1–M12 +M23 –M13 L2–M12–M23 +M13
L3+M12–M23 –M13
R1 +
–
+
_
SU?
ocU?
1I?
)2( 313111
MLLjR
UI S
????
?
?
?
)2(
)(
31311
3123123
0 MLLjR
UMMMLjU S
c ???
????
?
? ??
例 3 要使 i=0,问电源的角频率为多少？
ZR
C
－
L1 L2
M
i
uS
+
L1 L2
C
R
+
–
SU?
I?
M
Z
* * L1－ M L2－ M
C
R
+
–
SU?
I?
Z
M
解
CM ??
1 ?当
MC
1 ??
0?I?
10.3 空心变压器
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接向
电源，另一线圈接向负载，变压器是利用互感来实现从
一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。当变压
器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。
1,空心变压器电路
原边回路
副边回路
2,分析方法
（ 1） 方程法分析
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
Z=R+jX
S2111
j-) j( ??? ?? UIMILωR ?
0)j(j 2221 ????? ?? IZLωRIMω
令 Z11=R1+j? L1,Z22=(R2+R)+j(? L2+X)
回路方程：
S2111
j- ??? ? UIMIZ ?
0j 2221 ??? ?? IZIM?
)(
22
2
11
S
1
Z
M
Z
U
I
?
?
?
?
?
22
2
11
1
S
in
)(
Z
MZ
I
UZ ????
?
?
11
2
22
11
S
22
22
2
11
S
2
)(
1j
)
)(
(
j
Z
M
Z
Z
UM
Z
Z
M
Z
UM
I
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
原边等效电路
2 ?I+
–
oc
?U Z
22
11
2)(
Z
Mω
副边等效电路
（ 2） 等效电路法分析
ll
l
XR
XR
XMω
XR
RMω
XR
Mω
Z
M
Z
jj
j
)(
2
22
2
22
22
22
2
22
2
22
22
22
2222
22
22
2
??
?
?
?
?
?
??
?
Zl= Rl+j Xl
2
22
2
22
22
22
XR
RMωR
l ??
2
22
2
22
22
22
XR
XMωX
l ???
11in2,,0 ZZI ?? 即副边开路当 ?
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
ωM
副边对原边的引入阻抗。
引入电阻。 恒为正,表示副边回路
吸收的功率是靠原边供给的。
引入电抗。 负号反映了引入电
抗与付边电抗的性质相反。
原边等效电路
引入阻抗反映了副边回路对原边回路的影响 。 从物理意
义讲, 虽然原副边没有电的联系, 但由于互感作用使闭合的
副边产生电流, 反过来这个电流又影响原边电流电压 。
从能量角度来说,
电源发出有功 P= I12(R1+Rl)
I12R1 消耗在原边； I12Rl 消耗在付边，由互感传输。
2221
j ?? ? IZIM?证
明
22222222212 )()( IXRIM ?? ???
2
222
2
12
22
2
22
22
2)(
IRI
XR
RM ?? ?
?
?
11
S
oc
j
Z
UMωU
?
?
?
11
2)(
Z
Mω 原边对副边的引入阻抗。
利用戴维宁定理可以求得 空心变压器副边的等效电路 。
副边开路时，
原边电流在副边产
生的互感电压。
2 ?I+
–
oc
?U Z
22
11
2)(
Z
Mω
副边等效电路
（ 3） 去耦等效法分析
对含互感的电路进行去耦等效，变为无互感的电
路，再进行分析。
已知 US=20 V,原边引入阻抗 Zl=10–j10?.
求, ZX 并求负载获得的有功功率,
101010j4
22
22 j
ZZ MωZ Xl ?????
Ω 8.9j2.010200 )1010(4101010 4 ?????????? jjjjZ X
此时负载获得的功率,W101010 20 2 ???? lR RPP ）（
引
W104,*
2
S
11 ??? R
UPZZ
l
实际是最佳匹配：
解：
* *
j10?
2 ?I
j10?
j2
+
–S
?U
10?
ZX
+
–
S
?U
10+j10?
Zl=10–j10?
例 1
解
L1=3.6H,L2=0.06H,M=0.465H,R1=20?,R2=0.08?,
RL=42?,??314rad/s,
V 01 1 5 o??sU?
.,,21 II ??求
应用原边等效电路
Ω4.1 1 3 0j20j 1111 ???? ω LRZ
Ω 85.18+08.42=j++= 2222 jω LRRZ L
???????? 8188422)1.24(3.4621.2411.46 146 o
2
22
2
.-jZXZ Ml ?
1 ?I
+
–
S
?U
Z11
22
2)(
Z
M?
例 2
* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–S
?U
R1 R2
RL
解 1
A)9.64(111.08.1884224.113020 0115 o
11
S
1 ??????
??
?? jjZZ
UI
l
???
应用副边等效电路
V
j
j
LjR
U
MjIMjU SOC
?
?
?
??
085.14
4.1 1 3 020
0115
146
11
1
??
?
?
??
?
???
?
??
???????? 85.18906.1 1 3 02 1 3 1 64.1 1 3 020 146)(
2
11
2
jjZ M ?
AjjZ IMjI ??
????
1351.01.2411.46 1.252.1685.1808.42 9.64111.0146
22
1
2 ???
??
?
??????
解 2
2 ?I+
–
oc
?U Z
22
11
2)(
Z
Mω
Ajj UI OC ?
???
0353.008.42 085.1485.1808.425.182 ????????
例 3 全耦合互感电路如图，求电路初级端 ab间的等效阻抗。
* *
L1
a M
+
–S
?U
b
L2
解 1 111 j LZ ??
222 j LZ ??
2
2
22
2)(
L
Mj
Z
MZ
l ?
? ???
)1()1( 21
21
2
1
2
2
111
kLj
LL
M
Lj
L
M
jLjZZZ lab
????
????
??
??
解 2 画出去耦等效电路
L1－ M L2－ M
+
–
SU? M
a
b
)1(
)1(
)
)(
)//()(
2
1
21
2
1
2
2
21
2
2
1
21
kL
LL
M
L
L
MLL
L
MLM
ML
MLMMLL
ab
??
??
?
?
?
???
????
例 4 L1=L2=0.1mH,M=0.02mH,R1=10?,C1=C2=0.01?F,
问, R2=？ 能吸收最大功
率,求最大功率。
V 010 o??sU?
解 1
????? 10)1 j(
1
1111 CLRZ ??
2
2
2222 )
1 j( R
CLRZ ???? ??
222
2 400)(
RZ
MZ
l ??
?
??106rad/s,
* *
j? L1 j? L2
j? M
+
– S
?U
R1
C2
R2
C1
??? 1 0 0 21 LL ??
??? 1 0 011
21 CC ??
?? 20 M?
应用原边等效电路
+
–
S
?U
10?
2
400
R
当
2
11
4 0 010
RZZ l ???
R2=40?时吸收最大功率
WP 5.2)104(10 2m a x ???
解 2 应用副边等效电路
4010400)(
11
2
??? ZMZ l ?
+
–
oc
?U R
2
40)(
11
2 ?
Z
M?
VjjZUMjU SOC 2010 1020
11
????? ?? ?
当 ??? 40
2RZ l 时吸收最大功率
WP 5.2)404(20 2m a x ???
例 5
图示互感电路已处于稳态，
t=0时开关打开，
求 t >0+时开路电压 u2(t)。
* *
0.2H 0.4H
M=0.1H
+
–
10?
40V u2
+
－
10?
5?
10?
解
* *
0.2H 0.4H
M=0.1H
+
–
10?
40V u2
+
－
10?
5?
10?
副边开路，对原边回路无影响，开路电压 u2(t)中只有
互感电压。先应用三要素法求电流 i(t).
i
A
ii
1
2
1
1510//10
40
)0()0(
??
?
?
? ??
10?
0?t
s01.0
20
2.0 ???
??t 0)( ??i
Aeeiiiti t
t
100)]()0([)()( ?
?
? ?????? ?
VeedtddtdiMtu tt 1001002 10)(1.0)( ?? ????
解
例 6
* *
＋
－
uS(t)
Z
100 ?
C
L1 L2
M
ttuCML S ???? c o s2100)(,201120 2 ??????,已知
问 Z为何值时其上获得最大
功率，求出最大功率。
（ 1）判定互感线圈的
同名端。
（ 2）作去耦等效电路
j100?
－ j20?
j20?
100?
j(?L-20)?
－
＋
00100? j100?
100?
j(?L-20)?
－
＋
00100?
j100?
100?
j(?L-20)?
－
＋
00100?
＋
－
uoc
j100?
100?
j(?L-20)?
＋
－
uoc
VjjjUjU Soc 045250100100 100100)100100 100 ??? ????
??
???? 5050100/100 jjZ eq
???? 5050* jZZ eq
W
R
UP
eq
oc 25
504
)250(
4
2
m a x ????
10.4 理想变压器
1 21 LLMk ???
1.理想变压器的三个理想化条件
理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互
感元件的理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。
（ 2）全耦合
（ 1）无损耗 线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的
磁导率无限大。
（ 3）参数无限大
nLL
MLL
??
??
2121
,2,1
NN
,
但
以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实
际工程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理
想变压器对待，可使计算过程简化。
?i1
1'
2
2'
N1 N2
????? ???? 221121
2.理想变压器的主要性能
（ 1）变压关系
1?k
dt
dN
dt
du ??
1
1
1 ??
dt
dN
dt
du ??
2
2
2 ??
nNNuu ??
2
1
2
1
* *
n:1
+
_u1
+
_u2
*
*
n:1
+
_u1
+
_u2
理想变压器模型
若
nNNuu ????
2
1
2
1
（ 2）变流关系 i1
* *
L1 L2
+
_u1
+
_u2
i2M
dt
diM
dt
diLu 21
11 ??
)()(1)( 2
10
1
1
1 tiL
Mdu
Lti
t? ?? ??
考虑到理想化条件,1 21 LLMk ???
nLLL ???? 21211 NN,
0
nL
L
L
M 1
1
2
1
?? )(1)(
21 tinti ??
若 i1,i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：
)(1)( 21 tinti ?
n:1
理想变压器模型
（ 3）变阻抗关系
ZnIUnInUnIU 2
2
22
2
2
1
1 )(
/1 ????? ?
?
?
?
?
?
* *
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
Z
1
?I
+
–
1
?U n2Z
理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的
大小，不改变阻抗的性质。注
（ b） 理想变压器的特性方程为代数关系, 因此
它是无记忆的多端元件 。
21 nuu ?
21
1 i
ni ??
* *+
–
n, 1
u1
i1 i2
+
–
u2
0)(1 11112211 ??????? niuniuiuiup
（ a） 理想变压器既不储能, 也不耗能, 在电路
中只起传递信号和能量的作用 。
（ 4）功率性质
表明：
例 1 已知电源内阻 RS=1k?,负载电阻 RL=10?。 为使R
L上获得最大功率, 求理想变压器的变比 n。
n2RL
+
–
uS
RS
当 n2RL=RS时匹配，即
10n2=1000
? n2=100,n=10,
* *
n, 1
RL
+
–
uS
RS
应用变阻
抗性质
例 2
1
?I
2
?I
* * +
–2
?U
+
–
1
?U
1, 10
50?
+
–
V010 o?
1?
.2 ?U求
方法 1：列方程
101 21 UU ?? ?
21 10 II ?? ??
o11 0101 ???? ?UI?
050 22 ?? ?UI? 解得
V033.33 o2 ???U
方法 2：阻抗变换
V0100
1010
o
S1oc
??
?? UUU ???
0,0 12 ??? II ???
1
?I
Ω2150)101( 2 ??
+
–
1
?U
+
–
V010 o?
1? V 0
3
10
2
1
2/11
010 oo
1 ????
??U?
V033.33
10
1
o
112
??
?? UU
n
U ???
方法 3：戴维南等效
1
?I
2
?I
* * +
–
oc
?U
+
–
1
?U
1, 10
+
–
V010 o?
1?
:ocU?求
求 Req：
Req=102?1=100?
戴维南等效电路：
+
–
2
?U
+
–
V0100 o?
100?
50?
V033.3350501 0 0 01 0 0 o
o
2 ????
??U?
Req
* *
1, 101?
例 3 理想变压器副边有两个线圈, 变比分别为 5:1和 6:1。
求原边等效电阻 R。
*
* +
–
1
?U
+
5, 1
–
4?
*
6, 1
5?
1
?I 2
?I
3
?I
2
?U
+
–3
?U
332211 IUIUIU ??
??56 2
??45 2
2
1
33
2
1
22
2
1
11
I
IU
I
IU
I
IU ??
??????
???
280536425
3
32
2
2
22
1
1
1
I
U
n
I
U
n
I
U
R
把次级线圈看作串联
??56 2
??45 2
*
* +
–
1
?U
+
5, 1
–
4?
*
6, 1
5?
1
?I 2
?I
3
?I
2
?U
+
–3
?U
332211 IUIUIU ??
2
1
33
2
1
22
2
1
11
U
IU
U
IU
U
IU ??
4 5 0
7
535
1
425
1
3
2
2
3
2
2
1
2
1
1
?
?
?
?
?
???
Un
I
Un
I
U
I
G
???? 2 8 6.6474 5 01GR
把次级线圈看作并联
例 4 已知图示电路的等效阻抗 Zab=0.25?,求理想变
压器的变比 n。
解
102?n
+
–
1
?U
1.5?
2
3 ?U
? I
+
–
U?
应用阻抗变换
外加电源得：
10)3( 221 nUIU ??? ????
)105.1()3( 22 nUIU ???? ???
21 UnU ?? ?
130
10
2 ?? n
InU ??
130 105.125.0
2
?
????
n
n
I
UZ
ab ?
?
n=0.5 or n=0.25
Zab
* *
n, 11.5?
10?
－
+
3 2U?
2U?
例 5 求电阻 R 吸收的功率 解 应用回路法
21 UnU ?? ?
21
1 I
nI
?? ?
11
??? UUI
S??
2322 UII ??? ??
解得
1
?I
2
?I
* * +
–
2
?U
+
–
1
?U
1, 10
+
–
SU?
1?
1?
1?
R=1?1 2
3
SUII ??? ?? 32 2
nn
nnUI S
23
)121(
3 ?
??? ??
23RIP ?
例 6
2
?I* * +
–
? U
+
n1, 1
–
R1
n2, 1
R2
? I
4
?I
2
?U
+
–4
?U3 ?U
1
?U
+
+
–
–
R3
a
b
求入端电阻 Rab
解 422131 UnUnUUU ???? ???? ?
4
423422
2
2
423212
1
)()(
I
IRRIIn
I
IIRIRn
?
???
?
??? ??
??????
4
4
2
2
2
2
2
1
4221
I
Un
I
Un
I
Un
I
Un
I
U
R
ab
?
?
?
?
?
?
??
?
???
???
?
4
2
3
2
232
2
2
2
4
3
2
131
2
1 )()( I
IRnRRn
I
IRnRRn
?
?
?
?
??????
2
4
1
2
n
I
n
II ???? ????
2
1
4
2
n
n
I
I ?
?
?
2213222121 )( nnRRnRnR ab ????
10.5 实际变压器的电路模型
实际变压器是有损耗的, 也不可能全耦合, k ?1。
且 L1,M,L2??,。 除了用具有互感的电路来分析计
算以外, 还常用含有理想变压器的电路模型来表示 。
1.理想变压器 (全耦合，无损,?=?线性变压器 )
21 UnU ?? ?
21
1 InI ?? ??
21 nuu ?
21
1 i
ni ??
i1
* *+
_u1
+
_u2
i2n:1
理想变压器模型
2.全耦合变压器 (k=1,无损, ???,线性 )
由于全耦合, 所以仍满足：
2
1
2
1 NNn
U
U ??
?
?* *
j? L1
1
?I
2
?I
j? L2
j? M
+
–
2
?U
+
–
1
?U
2111 1 j 1 InUω LI ??? ??
全耦合变压器的等值电路图
* *
j? L1
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
1
?U
n, 1
理想变压器
L1,激磁电感
(magnetizing inductance )
0I?
（ 空载激磁电流）
2111
j j ??? ?? IMILU ??又因
3.无损非全耦合变压器 (忽略损耗, k?1,???线性 )
?21
i1 i2
+ +
– –
u1 u2
?12
?1s ?2s
N1 N2
'
1
1
1
S111
11 d
d
d
d
d
d
d
d u
dt
diL
ttttNu S ??
??????? ?
'
2
2
2
S222
22 d
d
d
d
d
d
d
d u
dt
diL
ttttNu S ??
??????? ?
???
???
??
??
S
S
22
11
线圈中的磁通看成是漏磁
通加全耦合磁通，即：
全耦合
磁通
在线性情况下，有：
由此得无损非全耦合变压器的电路模型：
* *
L1
+
–
+
–
n, 1L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
+
–
u1'
+
–
u2'
L1S,L2S,漏电感
(leakage inductance)
4,有损耗的非全耦合变压器 (k?1,???,线性 )
* *
L1
+
–
+
–
n, 1L1S L2
S
i1
u1 u2
i2
Rm
R1 R2
考虑了导线
和铁芯损耗
全耦合变压器
以上是在线性情况下讨论实际变压器 。 实际上铁心变压器
由于铁磁材料 B–H特性的非线性,初级和次级都是非线性元
件, 原本不能用线性电路的方法来分析计算, 但漏磁通是通
过空气闭合的, 认为漏感 LS1,LS2 基本上是线性的, 磁化电
感 L1虽是非线性的, 但其值很大, 并联在电路上只取很小的电
流影响很小, 电机学中常用这种等值电路 。
例 图示为全耦合变压器，求初级电流和输出电压。
* *
j2?
1
?I
2
?Ik=1
+
–
2
?U
+
–
001? j8? 8?
解 做全耦合变压器等效电路
* *
j2?
1
?I
2
?I
+
–
2
?U
+
–
001?
n, 1
8?
2
1
8
2
2
1
2
1 ????
L
L
L
Ln
?
?
j2?
1
?I
+
–
1
?U
+
–
001? 2?
AjjI 5.05.021211 ?????
VnUnUU S 012 02 ???? ???
