第六章 一阶电路
2,一阶电路的零输入响应、零状态响应和
全响应求解；
? 重点
4,一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
3,稳态分量、暂态分量求解；
1,动态电路方程的建立及初始条件的确定；
含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。
特点：
1,动态电路
6.1 动态电路的方程及其初始条件
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经
历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变
化过程称为电路的过渡过程。
例
+
-
us
R1
R2
（ t=0）i
0 t
i
2/ RUi S?
)( 21 RRUi S ??
过渡期为零
电阻电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
K
+
–
uCUs R C
i(t = 0)
K接通电源后很长时间,电容充电
完毕，电路达到新的稳定状态
+
–
uCUs R C
i(t → ?)
初始状态
过渡状态
新稳态t1
USuc
t0
iR
US
有一过渡期
电容电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uL = 0
uL= 0,i=Us /R
K接通电源后很长时间,电路达到
新的稳定状态，电感视为短路
初始状态
过渡状态
新稳态t1
US/Ri
t0
ULSU
有一过渡期
K
+
–
uLUs R L
i(t = 0)
+
–
uLUs R L
i(t → ?)
电感电路
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L, C,电路在换路时能量发
生变化，而 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
t
wp
?
??
电路结构、状态发生变化换路 支路接入或断开
电路参数变化
2,动态电路的方程
Sc
c Uu
td
duRC ??
+
–
uCUs R C
i(t >0)
Sc UuRi ??
应用 KVL和元件的 VCA得：
+
–
uLUs R L
i(t >0)
SL UuRi ??
SUtd
diLRi ??
有源
电阻
电路
一个
动态
元件
一阶
电路
+
–
uLUS R L
i(t >0)
C
uC＋－
＋
－
Sc
cc Uu
td
duRC
dt
udLC ???
2
2
ScL UuuRi ???
二阶电路
一阶电路 描述电路的方程是一阶微分方程。
一阶电路中只有一个动态元件。
稳态分析和动态分析的区别
稳态 动态
换路发生很长时间后状态
微分方程的特解
恒定或周期性激励
换路发生后的整个过程
微分方程的一般解
任意激励
（ 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：
（ 2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
复频域分析法时域分析法
动态电路的分析方法
0)(011
1
1 ?????? ?
?
? ttexadt
dxa
dt
xda
dt
xda
n
n
nn
n
n ?
建立微分方程：
经典法
状态变量法
数值法
卷积积分
拉普拉斯变换法
状态变量法
付氏变换
本章
采用
(1) t = 0＋ 与 t = 0－ 的概念
认为换路在 t=0时刻进行
0－ 换路前一瞬间
0＋ 换路后一瞬间
3,电路的初始条件
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
?
?
? ? )(l i m)0(
0
0
tff
t
t
?
?
? ?
初始条件为 t = 0＋ 时 u, i 及其各阶导数的值
0－ 0＋0
t
f(t)
)0()0( ?? ? ff
)0()0( ?? ? ff
图示为电容放电电路，电容原先带有电压 Uo,
求开关闭合后电容电压随时间的变化。
例
R
－
+
C
i
uC
(t=0)
解
0?? cc utdduRC
)0( 0 ??? tuRi c
特征根方程,01 ??RCp RCp 1??
得通解：
oUk ?
RC
t
pt
c keketu
???)(
代入初始条件得,RC
t
oc eUtu
??)(
说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确
定解答的必需条件。
?? d)(1)( ?
??
? tC iCtu
???? d)(1d)(1
0
0 ??
?
?
??
??
t i
CiC
?? d)(1)0(
0? ?
?? ? tC iCu
t = 0+时刻 ?? d)(1)0()0( 0
0?
?
???
?? i
Cuu CC
当 i(?)为有限值时
i u
c C
+
-
q (0+) = q (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
(2) 电容的初始条件
0
q=C uC
电荷
守恒
结
论
??? ?
??
d)(1)( tL uLti
???? d))(1d)(1
0
0 ??
?
?
??
??
t u
LuL
?? du
L
ii LL )(1)0()0(
0
0?
?
???
??
当 u为有限值时
?L(0＋ )= ?L(0－ )
iL(0＋ )= iL(0－ )
i u L+
-
L
(3) 电感的初始条件
t = 0+时刻
0 ?? duLi
t
L )(
1)0(
0? ?
?? ?
LLi??
磁链
守恒
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
结
论
?L(0+)= ?L(0－ )
iL(0+)= iL(0－ )
qc (0+) = qc (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
（ 4）换路定律
（ 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件
注意,
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
（ 2）换路定律反映了能量不能跃变。
5.电路初始值的确定
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0－ )=8V
+
- 10V
i
iC
+
8V
-
10k
0+等效电路
mA2.010 810)0( ????Ci
(1) 由 0－ 电路求 uC(0－ )或 iL(0－ )
+
- 10V
+
uC
-
10k40k
uC(0－ )=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+)
iC(0－ -)=0 iC(0+)
例 1 求 iC(0+)
+
- 10V
i i
C +u
C
-k
10k
40k
电
容
开
路
电容用 电
压源 替代
0)0( 0)0( ??? ?? LL uu? ?
iL(0+)= iL(0－ ) =2A
Vu L 842)0( ??????
例 2 t = 0时闭合开关 k,求 uL(0+)
iL
+
uL
-
L
10V
K
1? 4?
+
uL
-10V
1? 4?
0+电路
2A
先求
Ai L 241 10)0( ????
由换路定律,
电感用 电
流源 替代
)0( ?Li
10V
1? 4?
解
电
感
短
路
求初始值的步骤,
1,由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0－ )和 iL(0－ )；
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3,画 0+等效电路。
4,由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b,电容（电感）用电压源（电流源）替代。
a,换路后的电路
（取 0+时刻值，方向同原假定的电容
电压、电感电流方向）。
iL(0+) = iL(0－ ) = IS
uC(0+) = uC(0－ ) = RIS
uL(0+)= - RIS
求 iC(0+),uL(0+)
0)0( ???? RRIIi SsC
例 3
K(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
RIS
iC
解
0+电路
uL+ – iC
R
IS
R IS
+
–
0－ 电路RIS
由 0－ 电路得：
由 0＋ 电路得：
Vuu CC 24122)0()0( ???? ??
Aii LL 124/48)0()0( ??? ??
例 3
iL
+
uL
-
LK
2?
+
-
48V
3?
2?
C
求 K闭合瞬间各支路电流和电感电压
解 由 0－ 电路得：
12A 24V
+
-
48V
3?
2?
+
-
i i
C
+
-
uL
由 0+电路得：
Ai C 83/)2448()0( ????
Ai 20812)0( ????
Vu L 2412248)0( ?????
iL
2?+
-
48V
3?
2? +
－
uC
例 4 求 K闭合瞬间流过它的电流值。
iL
+
200V
-
L
K
100?
+ uC
100? 100?
C
－
解 （ 1）确定 0－ 值
Aii LL 12 0 02 0 0)0()0( ??? ??
Vuu CC 1 0 0)0()0( ?? ??
（ 2）给出 0＋ 等效电路
Ai k 211 0 01 0 01 0 02 0 0)0( ?????
1A
+
200V
-
100?
+100V
100? 100?
－
ki
+ uL －
iC
Viu LL 1 0 01 0 0)0()0( ???? ??
Aui CC 11 0 0/)0()0( ???? ??
6.2 一阶电路的零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初
始储能所产生的电压和电流。
1,RC电路的零输入响应 已知 uC (0－ )=U0
iK(t=0)
+
–
uRC +
–
uC R
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
?
??
?
RC
p 1??特征根特征方程 RCp+1=0
tRCe 1 A ??pt
C eu A?
则
0??? CR uu
t
uCi C
d
d??
uR= Ri
零输入响应
代入初始值 uC (0+)=uC(0－ )=U0
A=U0
000 ????
??
teIe
R
U
R
ui RC tRC tC
0
0 ??
?
teUu RC
t
c
tRC
c Aeu
1 ?
?
RC
t
RC
t
C e
R
U
RCeCUt
uCi ?? ?????? 0
0 )
1(
d
d 或
t
U0 uC
0
I0
t
i
0
令 ? =RC,称 ?为一阶电路的时间常数
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?秒伏安秒欧伏库欧法欧 ??
?
?
??
??
??
?
??
???? RC?
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
从以上各式可以得出：
连续
函数
跃变
（ 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC有关；
时间常数 ? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
? = R C
?大 → 过渡过程时间长
?小 → 过渡过程时间短
电压初值一定：
R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小
放电时间长
U0
t
uc
0 ?小
?大
C 大（ R一定） W=Cu2/2 储能大
?
11 ????
RCp
物理含义
工程上认为,经过 3?－ 5?,过渡过程结束。
?：电容电压衰减到原来电压 36.8%所需的时间。
?＝ t2－ t1
t1时刻曲线的斜率等于
)(1dd 10
11
tueUtu Ct
t
t
C
??
? ???? ?
I0
t
uc
0
?
t1 t2
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
t 0 ? 2? 3? 5?
?
t
c eUu
0
?? U
0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
)(3 6 8.0)( 12 tutu CC ?
次切距的长度
（ 3）能量关系
Rd tiW R ? ?? 0 2
电容 不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量,2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量：
R dteRU RC
t
2
0
0 )( ????
2
02
1 CU?
uC R
+
－
C
dte
R
U RC t2
0
2
0 ???? ????
0
2 2
0 |)
2(
RC
t
eRCRU
例 已知图示电路中的电容原本充有 24V电压，求 K
闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
解 这是一个求一阶 RC零输入响应问题，有：
i3
K
3?
+
uC
2?
6?
5F
－
i2
i1
+
uC 4?5F
－
i1
t >0等效电路
0 0 ?? ? teUu RC
t
c
sRCVU 2045 24 0 ????? ?代入
0 24 20 ?? ? tVeu
t
c
分流得：
Aeui
t
C
20
1 64
???
Aeii
t
20
12 43
2 ??? Aeii t20
13 23
1 ???
2,RL电路的零输入响应
特征方程 Lp+R=0
L
Rp ??特征根
代入初始值 i(0+)= I0 A= i(0+)= I0
0
1
)0()0( IRR Uii SLL ???? ??
00dd ??? tRitiL
i
K(t=0)US L
+
–
uL
RR1
ptAeti ?)(
0)( 00 ??? ? teIeIti tL
R
pt得
t >0i
L
+
–
uL
R
RL
t
L
L eRIdt
diLtu /
0)(
????
0)( / 0 ?? ? teIti RL
t
L
-RI0
uL
t
t
I0 iL
0
从以上式子可以得出：
连续
函数 跃变
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
（ 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L/R有关；
令 ? = L/R,称为一阶 RL电路时间常数
L大 W=Li2/2 起始能量大
R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小
放电慢
?大
][][][][][] [ 秒欧安 秒伏欧安 韦欧亨 ???????? RL?
?大 → 过渡过程时间长 ?小 → 过渡过程时间短
物理含义
时间常数 ? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
? = L/R
?
1
/
1 ????
RL
p
电流初值 i(0)一定：
（ 3）能量关系
Rd tiW R ? ?? 0 2
电感 不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕,
设 iL(0+)=I0
电感放出能量,2
02
1 LI
电阻吸收（消耗）能量：
R d teI RL
t
2/
0 0
)( ????
2
02
1 LI?
dteRI RL
t
/
2
0
2
0
???? ????
0
2
2
0 |)2
/( RC teRLRI
i
L
+
–
uL
R
iL (0+) = iL(0－ ) = 1 A
uV (0+)=－ 10000V 造成 V 损坏。
例 1 t=0时,打开开关 K,求 uv。
现象,电压表坏了
0 / ?? ? tei tL ?
电压表量程,50V
s
VRR
L 4104
1 0 0 0 0
4 ????
???
010000 2500 ????? ? teiRu tLVV
解
iL
L
R
10V
iL
K(t=0)
+
–
uV L=4H
R=10?
V RV
10k?10V
?? kR V 10
例 2 t=0时,开关 K由 1→2, 求 电感电压和电流及开关两
端电压 u12。
0V 12 A2 ????? ?? tedtdiLuei tLLtL
sRL 166 ????
解
iL
K(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4?
4?
6?+
－
uL
2?
1 2
A
ii LL
2
63
6
6//324
24
)0()0(
?
?
?
??
?
? ??
t >0
i
L
+
–
uL
R
????? 66//)42(3R
Veiu tL ?????? 424242412
小结
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的
响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
2,衰减快慢取决于时间常数 ?
RC电路 ? = RC,RL电路 ? = L/R
R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
?
t
eyty ??? )0()( iL(0+)= iL(0－ )
uC (0+) = uC (0－ )RC电路
RL电路
动态元件初始能量为零，由 t >0电路
中 外加输入激励作用所产生的响应。
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
列方程：
iK(t=0)
US
+ –uR
C
+
–
uC
R
uC (0－ )=0
6.3 一阶电路的零状态响应
非齐次线性常微分方程
解答形式为,"' ccc uuu ??
1,RC电路的零状态响应
零状态响应
齐次方程通解 非齐次方
程特
解
与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解
RC
t
C Aeu
???
变化规律由电路参数和结构决定
全解
uC (0+)=A+US= 0 A= － US
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
的通解 0
d
d ??
C
C u
t
uRC
SC Uu ???
RC
t
SCCC AeUuutu
????????)(
通解（自由分量，暂态分量）
Cu?
特解（强制分量，稳态分量）
Cu??
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d 的特解
)0( )1( ????? ?? teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
RC
t
S e
R
U
t
uCi ???
d
d C
-US uC‘
uC“U
S
t
iRUS
0
t
uc
0
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；
电容电压由两部分构成：
从以上式子可以得出：
连续
函数
跃变
稳态分量（强制分量） 暫态分量（自由分量）+
（ 2）响应变化的快慢，由时间常数 ?＝ RC决定； ?大，充电
慢,?小充电就快。
（ 3）响应与外加激励成线性关系；
（ 4）能量关系
2
2
1
SCU
电容储存：
电源提供能量,2
0 d SSS CUqUtiU ???
?
2
2
1
SCU?
电阻消耗 tR
R
UtRi RCS te d)(d 2
00
2 ??? ?? ?
R
C+
-
US
电源提供的能量一半消耗在电阻上，
一半转换成电场能量储存在电容中。
例 t=0时,开关 K闭合，已知 uC（ 0－ ） =0,求 （ 1）
电容电压和电流，（ 2） uC＝ 80V时的充电时间 t 。
解
500?
10?F+
-
100V
K
+
－
uC
i(1) 这是一个 RC电路零状
态响应问题，有：
)0() V e-1 0 0 ( 1 )1( 200t- ???? ? teUu RC
t
Sc
sRC 35 105105 0 0 ?? ??????
Aee
R
U
t
uCi tRC tS 200C 2.0
d
d ?? ???
（ 2）设经过 t1秒,uC＝ 80V
8, 0 4 5 m st)e-1 0 0 ( 180 1- 2 0 0 t 1 ???
2,RL电路的零状态响应
SL
L UiR
td
idL ??
)1(
t
L
R
S
L eR
Ui ???
t
L
R
S
L
L eUt
iLu ???
d
d
iLK(t=0)
US + –uRL +
–
uL
R
已知 iL(0－ )=0,电路方程为,
LLL iii ?????
t
uL
US
t
iL
R
US
0
0 R
Ui S
L ????
? A0)0(
tLRS Ae
R
U ???
例 1 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 iL,uL的变化规律 。
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iLK
+
–
uL2H
R 80?
10A 200
?
300
?
iL
+
–
uL2H
10A
Req
???? 2 0 03 0 0//2 0 080eqR
Ai L 10)( ??
sRL eq 01.02 0 0/2/ ????
Aeti tL )1(10)( 100???
VeeRtu tteqL 100100 2 0 0 010)( ?? ???
t>0
例 2 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 iL,uL的及电流源的
端电压 。
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iL
K
+
–
uL2H
10?
2A 10?
5?
+
–
u
t>0
iL
+
–
uL2HU
S
Req+
－
???? 201010eqR
VU S 20102 ???
sRL eq 1.020/2/ ????
Aeti tL )1()( 10???
VeeUtu ttSL 1010 20)( ?? ??
ARUi eqSL 1/)( ???
VeuiIu tLLS 101020105 ??????
6.4 一阶电路的全响应
电路的初始状态不为零，同时又有外
加激励源作用时电路中产生的响应。
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
解答为 uC(t) = uC' + uC" uC (0－ )=U0
以 RC电路为例，非齐次方程
?=RC
1,全响应
全响应
稳态解 uC' = US
暂态解 ?t
C eu
???? A
uC (0+)=A+US=U0
?A=U0 - US
由起始值定 A
2,全响应的两种分解方式
0)( 0 ??????
??
teUUUAeUu
t
SS
t
SC
??
强制分量 (稳态解 )自由分量 (暂态解 )
uC"
-USU0 暂态解
uC'US
稳态解
U0 uc 全解
t
uc
0
全响应 =
强制分量 (稳态解 )
+
自由分量 (暂态解 )
（ 1） 着眼于电路的两种工作状态
物理概念清晰
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0－ )=U0
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
=
uC (0－ )=0
+
uC (0－ )=U0
C
+
–
uC
iK(t=0)
+ –uR
R
全响应 =零状态响应 + 零输入响应
零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC
??
(2),着眼于因果关系 便于叠加计算
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC
??
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应
全响应
零输入响应
U0
例 1 t=0时,开关 K打开，求 t>0后的 iL,uL
解 这是一个 RL电路全响应问
题，有,i
LK(t=0)
+
–
24V 0.6H
4?
+
－
uL
8?
sRL 20/112/6.0/ ????
ARUii SLL 6/)0()0( 1 ??? ??
Aeti tL 206)( ???零输入响应：
Aeti tL )1(1224)( 20????零状态响应：
Aeeeti tttL 202020 42)1(26)( ??? ?????
全响应：
或求出稳态分量,Ai
L 212/24)( ???
全响应,AAeti t
L 202)( ???
代入初值有,6＝ 2＋ A A=4
例 2 t=0时,开关 K闭合，求 t>0后的 iC,uC及电流源两端的电压。
解 这是一个 RC电路全响应
问题，有,+
–
10V
1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
稳态分量,Vu C 11110)( ????
)1)0(( Vu C ??
全响应,VAetu t
C 5.011)( ???
sRC 21)11( ??????
A=－ 10
Vetu tC 5.01011)( ???
Aedtduti tCC 5.05)( ???
+
–
24V
1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
Veuitu tCC 5.0512111)( ????????
3,三要素法分析一阶电路
?
t
effftf ?? ?????? ])()0([)()( 0
??
?
?
? ?
?
时间常数
初始值
稳态解
三要素
)0(
)(
?
f
f
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
?
t
eftf ???? A)()(
令 t = 0+ A)()0(
0 ??? ?
? ff
????
?
0)()0( ffA
cbftd fda ??
其解答一般形式为：
分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题
用 0+等效电路求解
用 t→ ?的稳态 电路求解
V2)0()0( ?? ?? CC uu
V6 6 7.01)1//2()( ????Cu
s2332 ???? CR 等?
0 33.1667.0)667.02(667.0 5.05.0 ?????? ?? teeu ttC
1A
2?
例 1
1?3F+- uC
已知,t=0时合开关，求换路后的 uC(t) 。
解
t
uc
2
(V)
0.667
0
??? ?????
t
cccc euuutu )]()0([)()(
例 2 t=0时,开关闭合，求 t>0后的 iL,i1,i2
解 三要素为：
sRL 5/1)5//5/(6.0/ ????
Aii LL 25/10)0()0( ??? ??
iL
+
–
20V0.5H
5? 5?
+
–10V
i2i1
Ai L 65/205/10)( ????
?
t
LcLLL eiiiti
?? ????? )]()0([)()(应用三要素公式
0 46)62(6)( 55 ?????? ?? teeti ttL
VeedtdiLtu ttLL 55 10)5()4(5.0)( ?? ???????
Aeuti tL 51 225/)10()( ?????
Aeuti tL 52 245/)20()( ?????
例 3 已知,t=0时开关由 1→2,求换路后的 uC(t) 。
2A 4?
1?
0.1F+
uC
－
+
－4?
i1
2i1 8V+
－
12解 三要素为：
???
??
10/
10
1
1
iuR
iu
eq
Viiiu C 12624)( 111 ????? 4?
+ －
4?
i1
2i1
u
+
－
Vuu CC 8)0()0( ??? ??
sCR eq 11.010 ?????
??? ?????
t
cccc euuutu )]()0([)()(
Ve
etu
t
t
c
?
?
??
????
2012
]128[12)(
例 4
i
10V
1H
k1(t=0)
k2(t=0.2s)
3?
2?
已知：电感无初始储能
t = 0 时合 k1,t =0.2s时合 k2
求两次换路后的电感电流 i(t)。
0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti ???
t > 0.2s
A25/10)(
s2.05/1/
0)0()0(
1
???
???
?? ??
i
RL
ii
?
Ai
RL
Ai
52/10)(
5.02/1/
26.1)2.0(
2
???
???
??
?
26.122)2.0( 2.05 ??? ??? ei
A74.35)( )2.0(2 ???? teti
解
tei 522 ??? (0 < t ? 0.2s)
)2.0(274.35 ???? tei
( t ? 0.2s)
i
t(s)0.2
5
(A)
1.26
2
例 4,脉冲序列分析
1,RC电路在单个脉冲作用的响应
R
Cus
uR
uc
i
1
0 T t
us
)0(1 Ttu s ???
0?su 0?
?
t
Tt
(1) 0<t<T
RC
t
cccc euuutu
?? ????? )]()0([)()(
1111
Vuu cc 0)0()0( 11 ?? ??
Vu c 1)(1 ?? RC??
0,1)(1 ??? ? tVetu RC
t
c
0,)(1 ?? ? tVetu RC
t
R
0,1)(1 ?? ? tAeRti RC
t
(2) t >T
RC
Tt
cccc euuutu
??
? ????? )]()0([)()(
2222
VeTuu RC
T
cc
?? ??? 1)()0(
12
Vu c 0)(2 ?? RC??
TtVeetu RC
Tt
RC
T
c ???
???
,)1()(2
TtVtutu cR ???,)()( 22
TtAe
R
eti RC TtRC
T
????
???
,1)(2
uc(t )
uR(t )
t0
t0
(a) ?<<T,uR为输出
uR
输出近似为输入的微分
(b) ? >>T,uc为输出
t0
输出近似为输入的积分
R
Cus
uR
uc
i
uC
T
T
2,脉冲序列分析
t0
(a) ?<<T
uR uc
R
Cus
uR
uc
i
t0
(b) ? >T
U1
U2
uc
uR
R
Cus
uR
uc
i
2,一阶电路的零输入响应、零状态响应和
全响应求解；
? 重点
4,一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
3,稳态分量、暂态分量求解；
1,动态电路方程的建立及初始条件的确定；
含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。
特点：
1,动态电路
6.1 动态电路的方程及其初始条件
当动态电路状态发生改变时（换路）需要经
历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变
化过程称为电路的过渡过程。
例
+
-
us
R1
R2
（ t=0）i
0 t
i
2/ RUi S?
)( 21 RRUi S ??
过渡期为零
电阻电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uC = 0
i = 0,uC= Us
K
+
–
uCUs R C
i(t = 0)
K接通电源后很长时间,电容充电
完毕，电路达到新的稳定状态
+
–
uCUs R C
i(t → ?)
初始状态
过渡状态
新稳态t1
USuc
t0
iR
US
有一过渡期
电容电路
K未动作前,电路处于稳定状态
i = 0,uL = 0
uL= 0,i=Us /R
K接通电源后很长时间,电路达到
新的稳定状态，电感视为短路
初始状态
过渡状态
新稳态t1
US/Ri
t0
ULSU
有一过渡期
K
+
–
uLUs R L
i(t = 0)
+
–
uLUs R L
i(t → ?)
电感电路
过渡过程产生的原因
电路内部含有储能元件 L, C,电路在换路时能量发
生变化，而 能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
t
wp
?
??
电路结构、状态发生变化换路 支路接入或断开
电路参数变化
2,动态电路的方程
Sc
c Uu
td
duRC ??
+
–
uCUs R C
i(t >0)
Sc UuRi ??
应用 KVL和元件的 VCA得：
+
–
uLUs R L
i(t >0)
SL UuRi ??
SUtd
diLRi ??
有源
电阻
电路
一个
动态
元件
一阶
电路
+
–
uLUS R L
i(t >0)
C
uC＋－
＋
－
Sc
cc Uu
td
duRC
dt
udLC ???
2
2
ScL UuuRi ???
二阶电路
一阶电路 描述电路的方程是一阶微分方程。
一阶电路中只有一个动态元件。
稳态分析和动态分析的区别
稳态 动态
换路发生很长时间后状态
微分方程的特解
恒定或周期性激励
换路发生后的整个过程
微分方程的一般解
任意激励
（ 1）描述动态电路的电路方程为微分方程；结论：
（ 2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；
复频域分析法时域分析法
动态电路的分析方法
0)(011
1
1 ?????? ?
?
? ttexadt
dxa
dt
xda
dt
xda
n
n
nn
n
n ?
建立微分方程：
经典法
状态变量法
数值法
卷积积分
拉普拉斯变换法
状态变量法
付氏变换
本章
采用
(1) t = 0＋ 与 t = 0－ 的概念
认为换路在 t=0时刻进行
0－ 换路前一瞬间
0＋ 换路后一瞬间
3,电路的初始条件
)(l i m)0(
0
0
tff
t
t
?
?
? ? )(l i m)0(
0
0
tff
t
t
?
?
? ?
初始条件为 t = 0＋ 时 u, i 及其各阶导数的值
0－ 0＋0
t
f(t)
)0()0( ?? ? ff
)0()0( ?? ? ff
图示为电容放电电路，电容原先带有电压 Uo,
求开关闭合后电容电压随时间的变化。
例
R
－
+
C
i
uC
(t=0)
解
0?? cc utdduRC
)0( 0 ??? tuRi c
特征根方程,01 ??RCp RCp 1??
得通解：
oUk ?
RC
t
pt
c keketu
???)(
代入初始条件得,RC
t
oc eUtu
??)(
说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确
定解答的必需条件。
?? d)(1)( ?
??
? tC iCtu
???? d)(1d)(1
0
0 ??
?
?
??
??
t i
CiC
?? d)(1)0(
0? ?
?? ? tC iCu
t = 0+时刻 ?? d)(1)0()0( 0
0?
?
???
?? i
Cuu CC
当 i(?)为有限值时
i u
c C
+
-
q (0+) = q (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
(2) 电容的初始条件
0
q=C uC
电荷
守恒
结
论
??? ?
??
d)(1)( tL uLti
???? d))(1d)(1
0
0 ??
?
?
??
??
t u
LuL
?? du
L
ii LL )(1)0()0(
0
0?
?
???
??
当 u为有限值时
?L(0＋ )= ?L(0－ )
iL(0＋ )= iL(0－ )
i u L+
-
L
(3) 电感的初始条件
t = 0+时刻
0 ?? duLi
t
L )(
1)0(
0? ?
?? ?
LLi??
磁链
守恒
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
结
论
?L(0+)= ?L(0－ )
iL(0+)= iL(0－ )
qc (0+) = qc (0－ )
uC (0+) = uC (0－ )
（ 4）换路定律
（ 1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件
注意,
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
（ 2）换路定律反映了能量不能跃变。
5.电路初始值的确定
(2) 由换路定律
uC (0+) = uC (0－ )=8V
+
- 10V
i
iC
+
8V
-
10k
0+等效电路
mA2.010 810)0( ????Ci
(1) 由 0－ 电路求 uC(0－ )或 iL(0－ )
+
- 10V
+
uC
-
10k40k
uC(0－ )=8V
(3) 由 0+等效电路求 iC(0+)
iC(0－ -)=0 iC(0+)
例 1 求 iC(0+)
+
- 10V
i i
C +u
C
-k
10k
40k
电
容
开
路
电容用 电
压源 替代
0)0( 0)0( ??? ?? LL uu? ?
iL(0+)= iL(0－ ) =2A
Vu L 842)0( ??????
例 2 t = 0时闭合开关 k,求 uL(0+)
iL
+
uL
-
L
10V
K
1? 4?
+
uL
-10V
1? 4?
0+电路
2A
先求
Ai L 241 10)0( ????
由换路定律,
电感用 电
流源 替代
)0( ?Li
10V
1? 4?
解
电
感
短
路
求初始值的步骤,
1,由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0－ )和 iL(0－ )；
2,由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3,画 0+等效电路。
4,由 0+电路求所需各变量的 0+值。
b,电容（电感）用电压源（电流源）替代。
a,换路后的电路
（取 0+时刻值，方向同原假定的电容
电压、电感电流方向）。
iL(0+) = iL(0－ ) = IS
uC(0+) = uC(0－ ) = RIS
uL(0+)= - RIS
求 iC(0+),uL(0+)
0)0( ???? RRIIi SsC
例 3
K(t=0)
+ –uL
iL
C
+
–
uC
L
RIS
iC
解
0+电路
uL+ – iC
R
IS
R IS
+
–
0－ 电路RIS
由 0－ 电路得：
由 0＋ 电路得：
Vuu CC 24122)0()0( ???? ??
Aii LL 124/48)0()0( ??? ??
例 3
iL
+
uL
-
LK
2?
+
-
48V
3?
2?
C
求 K闭合瞬间各支路电流和电感电压
解 由 0－ 电路得：
12A 24V
+
-
48V
3?
2?
+
-
i i
C
+
-
uL
由 0+电路得：
Ai C 83/)2448()0( ????
Ai 20812)0( ????
Vu L 2412248)0( ?????
iL
2?+
-
48V
3?
2? +
－
uC
例 4 求 K闭合瞬间流过它的电流值。
iL
+
200V
-
L
K
100?
+ uC
100? 100?
C
－
解 （ 1）确定 0－ 值
Aii LL 12 0 02 0 0)0()0( ??? ??
Vuu CC 1 0 0)0()0( ?? ??
（ 2）给出 0＋ 等效电路
Ai k 211 0 01 0 01 0 02 0 0)0( ?????
1A
+
200V
-
100?
+100V
100? 100?
－
ki
+ uL －
iC
Viu LL 1 0 01 0 0)0()0( ???? ??
Aui CC 11 0 0/)0()0( ???? ??
6.2 一阶电路的零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初
始储能所产生的电压和电流。
1,RC电路的零输入响应 已知 uC (0－ )=U0
iK(t=0)
+
–
uRC +
–
uC R
0)0(
0
d
d
Uu
u
t
u
RC
C
C
C
?
??
?
RC
p 1??特征根特征方程 RCp+1=0
tRCe 1 A ??pt
C eu A?
则
0??? CR uu
t
uCi C
d
d??
uR= Ri
零输入响应
代入初始值 uC (0+)=uC(0－ )=U0
A=U0
000 ????
??
teIe
R
U
R
ui RC tRC tC
0
0 ??
?
teUu RC
t
c
tRC
c Aeu
1 ?
?
RC
t
RC
t
C e
R
U
RCeCUt
uCi ?? ?????? 0
0 )
1(
d
d 或
t
U0 uC
0
I0
t
i
0
令 ? =RC,称 ?为一阶电路的时间常数
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?秒伏安秒欧伏库欧法欧 ??
?
?
??
??
??
?
??
???? RC?
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
从以上各式可以得出：
连续
函数
跃变
（ 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 RC有关；
时间常数 ? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
? = R C
?大 → 过渡过程时间长
?小 → 过渡过程时间短
电压初值一定：
R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小
放电时间长
U0
t
uc
0 ?小
?大
C 大（ R一定） W=Cu2/2 储能大
?
11 ????
RCp
物理含义
工程上认为,经过 3?－ 5?,过渡过程结束。
?：电容电压衰减到原来电压 36.8%所需的时间。
?＝ t2－ t1
t1时刻曲线的斜率等于
)(1dd 10
11
tueUtu Ct
t
t
C
??
? ???? ?
I0
t
uc
0
?
t1 t2
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
t 0 ? 2? 3? 5?
?
t
c eUu
0
?? U
0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5
)(3 6 8.0)( 12 tutu CC ?
次切距的长度
（ 3）能量关系
Rd tiW R ? ?? 0 2
电容 不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕,
设 uC(0+)=U0
电容放出能量,2
02
1 CU
电阻吸收（消耗）能量：
R dteRU RC
t
2
0
0 )( ????
2
02
1 CU?
uC R
+
－
C
dte
R
U RC t2
0
2
0 ???? ????
0
2 2
0 |)
2(
RC
t
eRCRU
例 已知图示电路中的电容原本充有 24V电压，求 K
闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
解 这是一个求一阶 RC零输入响应问题，有：
i3
K
3?
+
uC
2?
6?
5F
－
i2
i1
+
uC 4?5F
－
i1
t >0等效电路
0 0 ?? ? teUu RC
t
c
sRCVU 2045 24 0 ????? ?代入
0 24 20 ?? ? tVeu
t
c
分流得：
Aeui
t
C
20
1 64
???
Aeii
t
20
12 43
2 ??? Aeii t20
13 23
1 ???
2,RL电路的零输入响应
特征方程 Lp+R=0
L
Rp ??特征根
代入初始值 i(0+)= I0 A= i(0+)= I0
0
1
)0()0( IRR Uii SLL ???? ??
00dd ??? tRitiL
i
K(t=0)US L
+
–
uL
RR1
ptAeti ?)(
0)( 00 ??? ? teIeIti tL
R
pt得
t >0i
L
+
–
uL
R
RL
t
L
L eRIdt
diLtu /
0)(
????
0)( / 0 ?? ? teIti RL
t
L
-RI0
uL
t
t
I0 iL
0
从以上式子可以得出：
连续
函数 跃变
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
（ 2）响应与初始状态成线性关系，其衰减快慢与 L/R有关；
令 ? = L/R,称为一阶 RL电路时间常数
L大 W=Li2/2 起始能量大
R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小
放电慢
?大
][][][][][] [ 秒欧安 秒伏欧安 韦欧亨 ???????? RL?
?大 → 过渡过程时间长 ?小 → 过渡过程时间短
物理含义
时间常数 ? 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
? = L/R
?
1
/
1 ????
RL
p
电流初值 i(0)一定：
（ 3）能量关系
Rd tiW R ? ?? 0 2
电感 不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕,
设 iL(0+)=I0
电感放出能量,2
02
1 LI
电阻吸收（消耗）能量：
R d teI RL
t
2/
0 0
)( ????
2
02
1 LI?
dteRI RL
t
/
2
0
2
0
???? ????
0
2
2
0 |)2
/( RC teRLRI
i
L
+
–
uL
R
iL (0+) = iL(0－ ) = 1 A
uV (0+)=－ 10000V 造成 V 损坏。
例 1 t=0时,打开开关 K,求 uv。
现象,电压表坏了
0 / ?? ? tei tL ?
电压表量程,50V
s
VRR
L 4104
1 0 0 0 0
4 ????
???
010000 2500 ????? ? teiRu tLVV
解
iL
L
R
10V
iL
K(t=0)
+
–
uV L=4H
R=10?
V RV
10k?10V
?? kR V 10
例 2 t=0时,开关 K由 1→2, 求 电感电压和电流及开关两
端电压 u12。
0V 12 A2 ????? ?? tedtdiLuei tLLtL
sRL 166 ????
解
iL
K(t=0)
+
–
24V
6H
3?
4?
4?
6?+
－
uL
2?
1 2
A
ii LL
2
63
6
6//324
24
)0()0(
?
?
?
??
?
? ??
t >0
i
L
+
–
uL
R
????? 66//)42(3R
Veiu tL ?????? 424242412
小结
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的
响应,都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
2,衰减快慢取决于时间常数 ?
RC电路 ? = RC,RL电路 ? = L/R
R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
3,同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
?
t
eyty ??? )0()( iL(0+)= iL(0－ )
uC (0+) = uC (0－ )RC电路
RL电路
动态元件初始能量为零，由 t >0电路
中 外加输入激励作用所产生的响应。
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
列方程：
iK(t=0)
US
+ –uR
C
+
–
uC
R
uC (0－ )=0
6.3 一阶电路的零状态响应
非齐次线性常微分方程
解答形式为,"' ccc uuu ??
1,RC电路的零状态响应
零状态响应
齐次方程通解 非齐次方
程特
解
与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解
RC
t
C Aeu
???
变化规律由电路参数和结构决定
全解
uC (0+)=A+US= 0 A= － US
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
的通解 0
d
d ??
C
C u
t
uRC
SC Uu ???
RC
t
SCCC AeUuutu
????????)(
通解（自由分量，暂态分量）
Cu?
特解（强制分量，稳态分量）
Cu??
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d 的特解
)0( )1( ????? ?? teUeUUu RC
t
S
RC
t
SSc
RC
t
S e
R
U
t
uCi ???
d
d C
-US uC‘
uC“U
S
t
iRUS
0
t
uc
0
（ 1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；
电容电压由两部分构成：
从以上式子可以得出：
连续
函数
跃变
稳态分量（强制分量） 暫态分量（自由分量）+
（ 2）响应变化的快慢，由时间常数 ?＝ RC决定； ?大，充电
慢,?小充电就快。
（ 3）响应与外加激励成线性关系；
（ 4）能量关系
2
2
1
SCU
电容储存：
电源提供能量,2
0 d SSS CUqUtiU ???
?
2
2
1
SCU?
电阻消耗 tR
R
UtRi RCS te d)(d 2
00
2 ??? ?? ?
R
C+
-
US
电源提供的能量一半消耗在电阻上，
一半转换成电场能量储存在电容中。
例 t=0时,开关 K闭合，已知 uC（ 0－ ） =0,求 （ 1）
电容电压和电流，（ 2） uC＝ 80V时的充电时间 t 。
解
500?
10?F+
-
100V
K
+
－
uC
i(1) 这是一个 RC电路零状
态响应问题，有：
)0() V e-1 0 0 ( 1 )1( 200t- ???? ? teUu RC
t
Sc
sRC 35 105105 0 0 ?? ??????
Aee
R
U
t
uCi tRC tS 200C 2.0
d
d ?? ???
（ 2）设经过 t1秒,uC＝ 80V
8, 0 4 5 m st)e-1 0 0 ( 180 1- 2 0 0 t 1 ???
2,RL电路的零状态响应
SL
L UiR
td
idL ??
)1(
t
L
R
S
L eR
Ui ???
t
L
R
S
L
L eUt
iLu ???
d
d
iLK(t=0)
US + –uRL +
–
uL
R
已知 iL(0－ )=0,电路方程为,
LLL iii ?????
t
uL
US
t
iL
R
US
0
0 R
Ui S
L ????
? A0)0(
tLRS Ae
R
U ???
例 1 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 iL,uL的变化规律 。
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iLK
+
–
uL2H
R 80?
10A 200
?
300
?
iL
+
–
uL2H
10A
Req
???? 2 0 03 0 0//2 0 080eqR
Ai L 10)( ??
sRL eq 01.02 0 0/2/ ????
Aeti tL )1(10)( 100???
VeeRtu tteqL 100100 2 0 0 010)( ?? ???
t>0
例 2 t=0时,开关 K打开，求 t>0后 iL,uL的及电流源的
端电压 。
解 这是一个 RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：
iL
K
+
–
uL2H
10?
2A 10?
5?
+
–
u
t>0
iL
+
–
uL2HU
S
Req+
－
???? 201010eqR
VU S 20102 ???
sRL eq 1.020/2/ ????
Aeti tL )1()( 10???
VeeUtu ttSL 1010 20)( ?? ??
ARUi eqSL 1/)( ???
VeuiIu tLLS 101020105 ??????
6.4 一阶电路的全响应
电路的初始状态不为零，同时又有外
加激励源作用时电路中产生的响应。
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
SC
C Uu
t
uRC ??
d
d
解答为 uC(t) = uC' + uC" uC (0－ )=U0
以 RC电路为例，非齐次方程
?=RC
1,全响应
全响应
稳态解 uC' = US
暂态解 ?t
C eu
???? A
uC (0+)=A+US=U0
?A=U0 - US
由起始值定 A
2,全响应的两种分解方式
0)( 0 ??????
??
teUUUAeUu
t
SS
t
SC
??
强制分量 (稳态解 )自由分量 (暂态解 )
uC"
-USU0 暂态解
uC'US
稳态解
U0 uc 全解
t
uc
0
全响应 =
强制分量 (稳态解 )
+
自由分量 (暂态解 )
（ 1） 着眼于电路的两种工作状态
物理概念清晰
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
uC (0－ )=U0
iK(t=0)
US + –uR C
+
–
uC
R
=
uC (0－ )=0
+
uC (0－ )=U0
C
+
–
uC
iK(t=0)
+ –uR
R
全响应 =零状态响应 + 零输入响应
零状态响应 零输入响应
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC
??
(2),着眼于因果关系 便于叠加计算
)0()1( 0 ???? ?? teUeUu
tt
SC
??
零状态响应 零输入响应
t
uc
0
US
零状态响应
全响应
零输入响应
U0
例 1 t=0时,开关 K打开，求 t>0后的 iL,uL
解 这是一个 RL电路全响应问
题，有,i
LK(t=0)
+
–
24V 0.6H
4?
+
－
uL
8?
sRL 20/112/6.0/ ????
ARUii SLL 6/)0()0( 1 ??? ??
Aeti tL 206)( ???零输入响应：
Aeti tL )1(1224)( 20????零状态响应：
Aeeeti tttL 202020 42)1(26)( ??? ?????
全响应：
或求出稳态分量,Ai
L 212/24)( ???
全响应,AAeti t
L 202)( ???
代入初值有,6＝ 2＋ A A=4
例 2 t=0时,开关 K闭合，求 t>0后的 iC,uC及电流源两端的电压。
解 这是一个 RC电路全响应
问题，有,+
–
10V
1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
稳态分量,Vu C 11110)( ????
)1)0(( Vu C ??
全响应,VAetu t
C 5.011)( ???
sRC 21)11( ??????
A=－ 10
Vetu tC 5.01011)( ???
Aedtduti tCC 5.05)( ???
+
–
24V
1A
1?
+
－
uC
1?
+
－
u
1?
Veuitu tCC 5.0512111)( ????????
3,三要素法分析一阶电路
?
t
effftf ?? ?????? ])()0([)()( 0
??
?
?
? ?
?
时间常数
初始值
稳态解
三要素
)0(
)(
?
f
f
一阶电路的数学模型是一阶微分方程：
?
t
eftf ???? A)()(
令 t = 0+ A)()0(
0 ??? ?
? ff
????
?
0)()0( ffA
cbftd fda ??
其解答一般形式为：
分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题
用 0+等效电路求解
用 t→ ?的稳态 电路求解
V2)0()0( ?? ?? CC uu
V6 6 7.01)1//2()( ????Cu
s2332 ???? CR 等?
0 33.1667.0)667.02(667.0 5.05.0 ?????? ?? teeu ttC
1A
2?
例 1
1?3F+- uC
已知,t=0时合开关，求换路后的 uC(t) 。
解
t
uc
2
(V)
0.667
0
??? ?????
t
cccc euuutu )]()0([)()(
例 2 t=0时,开关闭合，求 t>0后的 iL,i1,i2
解 三要素为：
sRL 5/1)5//5/(6.0/ ????
Aii LL 25/10)0()0( ??? ??
iL
+
–
20V0.5H
5? 5?
+
–10V
i2i1
Ai L 65/205/10)( ????
?
t
LcLLL eiiiti
?? ????? )]()0([)()(应用三要素公式
0 46)62(6)( 55 ?????? ?? teeti ttL
VeedtdiLtu ttLL 55 10)5()4(5.0)( ?? ???????
Aeuti tL 51 225/)10()( ?????
Aeuti tL 52 245/)20()( ?????
例 3 已知,t=0时开关由 1→2,求换路后的 uC(t) 。
2A 4?
1?
0.1F+
uC
－
+
－4?
i1
2i1 8V+
－
12解 三要素为：
???
??
10/
10
1
1
iuR
iu
eq
Viiiu C 12624)( 111 ????? 4?
+ －
4?
i1
2i1
u
+
－
Vuu CC 8)0()0( ??? ??
sCR eq 11.010 ?????
??? ?????
t
cccc euuutu )]()0([)()(
Ve
etu
t
t
c
?
?
??
????
2012
]128[12)(
例 4
i
10V
1H
k1(t=0)
k2(t=0.2s)
3?
2?
已知：电感无初始储能
t = 0 时合 k1,t =0.2s时合 k2
求两次换路后的电感电流 i(t)。
0 < t < 0.2s
A22)( 5 teti ???
t > 0.2s
A25/10)(
s2.05/1/
0)0()0(
1
???
???
?? ??
i
RL
ii
?
Ai
RL
Ai
52/10)(
5.02/1/
26.1)2.0(
2
???
???
??
?
26.122)2.0( 2.05 ??? ??? ei
A74.35)( )2.0(2 ???? teti
解
tei 522 ??? (0 < t ? 0.2s)
)2.0(274.35 ???? tei
( t ? 0.2s)
i
t(s)0.2
5
(A)
1.26
2
例 4,脉冲序列分析
1,RC电路在单个脉冲作用的响应
R
Cus
uR
uc
i
1
0 T t
us
)0(1 Ttu s ???
0?su 0?
?
t
Tt
(1) 0<t<T
RC
t
cccc euuutu
?? ????? )]()0([)()(
1111
Vuu cc 0)0()0( 11 ?? ??
Vu c 1)(1 ?? RC??
0,1)(1 ??? ? tVetu RC
t
c
0,)(1 ?? ? tVetu RC
t
R
0,1)(1 ?? ? tAeRti RC
t
(2) t >T
RC
Tt
cccc euuutu
??
? ????? )]()0([)()(
2222
VeTuu RC
T
cc
?? ??? 1)()0(
12
Vu c 0)(2 ?? RC??
TtVeetu RC
Tt
RC
T
c ???
???
,)1()(2
TtVtutu cR ???,)()( 22
TtAe
R
eti RC TtRC
T
????
???
,1)(2
uc(t )
uR(t )
t0
t0
(a) ?<<T,uR为输出
uR
输出近似为输入的微分
(b) ? >>T,uc为输出
t0
输出近似为输入的积分
R
Cus
uR
uc
i
uC
T
T
2,脉冲序列分析
t0
(a) ?<<T
uR uc
R
Cus
uR
uc
i
t0
(b) ? >T
U1
U2
uc
uR
R
Cus
uR
uc
i
