9.8 串联电路的谐振
谐振 (resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一
种特殊物理现象, 谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛
应用, 对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义 。
含有 R,L,C的一端口电路, 在特定条件下出现
端口电压, 电流同相位的现象时, 称电路发生了谐振 。
1,谐振的定义
R,L,C
电路U?
I?
RZ
I
U
???
?
发生
谐振
XR
XXRω Cω LRZ CL
j
)(j)1(j
??
??????
? I R
j? L
+
_
Cωj
1
? U
2,串联谐振的条件
谐振角频率 (resonant angular frequency)
LCω
1
0 ?
谐振频率 (resonant frequency) LCf π2 10 ?
时，电路发生谐振。当 1 0
0
0 CLωX ????
谐振条件
仅与电路参数有关
串联电路实现谐振的方式：
（ 1） L C 不变，改变 ?。
（ 2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C )。
?0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只
能有一个对应的 ?0,当外加频率等于谐振频率时，电
路发生谐振。
3,RLC串联电路谐振时的特点
,).1( 同相与 ?? IU
入端阻抗 Z为 纯电阻，即 Z=R。 电路中阻抗值 |Z|最小 。
电流 I达到最大值 I0=U/R (U一定 )。
X(? )
|Z(?)| X
L(? )
XC(? )
R
? 0 ?
Z (? )
O
? I R
j? L
+
_ Cωj 1
? U
+ +
+
_
_
_
RU
?
LU
?
CU
?
相当于短路。LCUU CL,0 ?? ??
(2) LC上 的电压大小相等, 相位相反, 串联总电压为零,
也称电压谐振, 即
UU R ?? ? 上，电源电压全部加在电阻
LU
?
CU
?
RU
? ? I
UjQRULjILjU L ?
??
???
?
??
UjQRULjCIjU C ?
??
??????
?
??
QUUU CL ?? ??
RC
L
RR
LQ ?? ??? 1 0
特性阻抗
品质因数
当 ?＝ ?0L=1/(?0C )>>R 时,
UL= UC >>U
例 某收音机 L=0.3mH,R=10?，为收到中央电台 560kHz
信号，求（ 1）调谐电容 C值；（ 2）如输入电压为 1.5?V
求谐振电流和此时的电容电压。
ARUI 15.010 5.1 )2( 0 ????
pFLfC 2 6 9) 2( 1 )1( 2 ?? ? +
_
L
C
R
u
解
VVXIU CC 5.1 5.1 5 80 ?? ????
UR LQUUo 0Cr ???
(3) 谐振时的功率
P=UIcos?＝ UI＝ RI02=U2/R，
电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。
0s i n ???? CL QQUIQ ?
2
00
2
0
0
2
00
1,LII
CωQLIωQ CL ??????
电源不向电路输送无功 。 电
感中的无功与电容中的无功
大小相等, 互相补偿, 彼此
进行能量交换 。
+
_ P
Q
L C
R
(4) 谐振时的能量关系
tLICuw CC c o s2121 022m2 ???
tICLtCIu C 0mo0
0
m c o s)90 s i n ( ??
? ????
tLILiw L s i n2121 022m2 ???
tUu 0m s i n ??设 tItRUi 0m0m s i n s i n ?? ??则
电场能量
磁场能量
（ 1）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等
WLm=WCm。 L,C的电场能量和磁场能量作周期振荡
性的能量交换，而不与电源进行能量交换。
表明
（ 2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。
22
m
2
m 2
1
2
1 LICULIwww
CCL ?????总
电感、电容储能的总值与品质因数的关系：
耗的能量谐振时一周期内电路消
总储能谐振时电路中电磁场的
π
π
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
0
0
?
?????
TRI
LI
RI
LI
R
L
Q ?
?
Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量, 品质因数越大,
总的能量就越大, 维持一定量的振荡所消耗的能量愈小,
振荡程度就越剧烈 。 则振荡电路的, 品质, 愈好 。 一般讲
在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高 Q值 。
4,RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
（ 1） 阻抗的频率特性
R
X
R
XX
R
ω Cω Lω CL 111 tgtg
1
tg) ( ??? ???
?
??
)(|)(|)1(j ωφωZCωLωRZ ?????
222222 )()1(|)(| XRXXRCLRωZ
CL ???????? ??
谐振曲线 物理量与频率关系的图形称谐振曲线，
研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。
幅频
特性
相频
特性
2,电流谐振曲线
幅值关系：
I(? )与 |Y(? )|相似。
UωY
CωLωR
UωI |)(|
)1(
)(
22
?
??
?
? (? )
? 0 ?O
–?/2
?/2
阻抗相频特性
X(? )
|Z(?)| X
L(? )
XC(? )
R
? 0 ?
Z (? )
O
阻抗幅频特性
? 0 ?O
|Y(?)|
I(? )
I(? )
U/R
从电流谐振曲线看到, 谐振时电流达到最大, 当 ? 偏
离 ?0时, 电流从最大值 U/R降下来 。 即, 串联谐振电路对
不同频率的信号有不同的响应, 对谐振信号最突出 (表现
为电流最大 ),而对远离谐振频率的信号加以抑制 (电流
小 )。 这种对不同输入信号的选择能力称为, 选择性, 。
? 选择性 (selectivity)
电流谐振曲线
为了不同谐振回路之间进行比较, 把电流谐振曲线的
横, 纵坐标分别除以 ?0和 I(?0),即
000
)(
)(
)()(,
I
ηI
ωI
ωIωIη
ω
ωω ????
? 通用谐振曲线
2220 )1(1
1
)1(
/
||/
)(
)(
RCωR
Lω
Cω
LωR
R
RU
ZU
ωI
ωI
??
?
??
??
20
0
20
00
0 )(1
1
)
1
(1
1
ω
ω
Q
ω
ω
Q
ω
ω
RCωω
ω
R
Lω
????
?
????
?
220 )1(1
1)(
η
ηQ
I
ηI
??
?
Q越大, 谐振曲线越尖 。 当稍微偏离谐振点时, 曲线就
急剧下降, 电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力,
所以选择性好 。 因此, Q是反映谐振电路性质的一个重要指
标 。
Q=10
Q=1
Q=0.5
1 ?2?1
0
)(
I
ηI
0.707
0 ?'?
通用谐振曲线
.,
,707.02/1/
21
0
ηη
II
和对应横坐标分别为交于两点
与每一谐振曲线处作一水平线在 ??
.,,12
0
2
2
0
1
1 ωωω
ωη
ω
ωη ???
12 ωω ?
称为通频带 BW (Band Width)
可以证明,.1
12
0
12 ωω
ω
ηηQ ????
I/I0=0.707以分贝 (dB)表示：
20log10I/I0=20lg0.707= –3 dB.
所以,?1,?2称为 3分贝频率。
Q=1
? 0 ?2?1
I
0.707I0
0 ?
根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，
人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。
例 +
_ L
C
Ru
10?
一信号源与 R,L,C电路串联，
要求 f0=104Hz,△ f=100Hz，
R=15?，请设计一个线性电路。
解 1 0 0
1 0 0
10 400 ??
???? f
fωQ
?
mHRQL 8.39102 151 0 0 4
0
????? ??
pFL 6 3 6 01C 2
0
?? ?
例 一接收器的电路参数为：
L=250?H,R=20?,C=150pF(调好 ),
U1=U2= U3 =10?V,?0=5.5?106 rad/s,
f0=820 kHz.
+
_
+
_
+
L
C
Ru1
u2
u3_
f (kHz)
北京台 中央台 北京经济台
? L
820 640 1026
X
1290 –1660 1034
0 – 660 577
1290 1000 1611
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (?A)
ωC
1
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (?A)
%04.3
0
1 ?
I
I 小得多
∴ 收到北京台 820kHz的节目。
820640 1200
I(f )
f (kHz)0
%46.3
0
2 ?
I
I
（ 3） UL(? )与 UC(? )的频率特性
2222
22
)1(
)1(
)(
??
?
??
??
ηQη
QU
Cω
LωRCω
U
Cω
IωU
C
2
2
2
2
22
)
1
1(
1
)
1
(
||
)(
η
Q
η
QU
C
LR
LU
Z
U
LLIωU
L
??
?
??
????
?
?
?
??
U
UC(?Cm)
QU
?Cm ?Lm ?0
UL(? )
UC(? )
U(? )
1UL(? ),
当 ?=0,UL(?)=0； 0<?<?0,UL(?)增大； ?=?0，
UL(?)=QU； ?>?0,电流开始减小, 但速度不快, XL
继续增大, UL 仍有增大的趋势, 但在某个 ?下 UL(?)达
到最大值, 然后减小 。 ???,XL??,UL(?)=U。
类似可讨论 UC(?)。
根据数学分析，当 ?=?Cm时,UC(?)获最大值； 当 ?=?Lm时，
UL(?)获最大值。且 UC(?Cm)=UL(?Lm)。 )2/1 ( ?Q条件是
Q越高,?Lm和 ?Cm 越靠近 ?0
? Lm?? Cm =? 0
020m 2
11 ω
Qωω c ??? 02
2
0m 12
2 ω
Q
Qωω
L ???
QU
Q
QU
ωUωU LLcC ?
?
??
2
mm
4
1
1
)()(
例 一接收器的电路参数为,U=10V
?=5?103 rad/s,调 C使电路中的电流
最大, Imax=200mA,测得电容电压
为 600V,求 R,L,C及 Q
+
_ L
C
R
u
V
解 ????? ? 5010200 10 3
0I
UR
6010600 ????? UUQQUU CC
mHRQL 60105 6050 3
0
?? ??? ?
FL 67.61C 2
0
?? ??
1,G,C,L 并联电路
对偶,R L C 串联 G C L 并联
LCω
1
0 ?
)1(j ω Cω LRZ ??? )1(j ω Lω CGY ???
9.9 并联电路的谐振
+
_S
?I G C L?U
LCω
1
0 ?谐振角频率
R L C 串联 G C L 并联
|Z|
??0O
R
? 0 ?O
I(? )
U/R
? 0 ?O
U(? )
IS/G
LU
?
CU
?
?? ? UU
R
? I
CI?
LI?
?? ?
SG II
? U
|Y|
??0O
G
R L C 串联 G C L 并联
电压谐振 电流谐振
UL(? 0)=UC (? 0)=QU IL(?0) =IC(?0) =QIS
L
C
GGLωG
CωQ 11
0
0 ???
C
L
RRCωR
LωQ 11
0
0 ???
推导过程如下：由定义得
L
R
G
Cω
0
0
?
??2
2
2
1
π2
GUT
CU
Q
Cm
?
??
G
Cf
0π2?
2,电感线圈与电容器的并联谐振
实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电
容器并联时，电路如图：
BG j??
LωRCωY j
1j
???
))((j)( 2222 LωR LωCωLωR R ?????
谐振时 B=0，即 0
)( 202
0
0 ??? LωR
LωCω
2
0 )(
1
L
R
LCω ??
C
L
R
（ 1）谐振条件
此电路发生谐振是有条件的,在电路参数一定时，满足
可以发生谐振时即,,0)(1 2 CLRLRLC ???
一般线圈电阻 R<<?L,则等效导纳为：
LC
ω 10 ?
)1(j)())((j)( 22222 LCLRLR LCLR RY ??????? ????????
等效电路
谐振角频率
Ge C L
R
L
GR ee
2
0 )(1 ???
(b) 电流一定时，总电压达最大值：
RC
LIZIU
000 ??
(c) 支路电流是总电流的 Q倍，设 R<<?L
CI
?
LI
?
0I?
? U
CULUII CL 0
0
?? ???
QR LRCLRCU LUIIII CL ????? 0
0
0
00
1
)//(
/ ?
?
?
00 IQIII CL ????
(a) 电路发生谐振时，输入阻抗达最大值：
RC
L
R
Lω
R
LωRRωZ ????? 20202
00
)()()(
（ 2）谐振特点
例 如图 R=10?的线圈其 QL=100，与电容接成并联谐振电路，如再并联
上一个 100k?的电阻，求电路的 Q.
解
C
L
R
100k?
R
LQ
L
0 100 ???
RRQL L ????? 1 0 0 00?等效电路
CLRe100k?
???? kR LR e 1001010)(
62
0?
??? kR eq 501 0 0//1 0 0
501 0 0 01050
3
0
???? LRQ eq?
例 如图 RS=50k?,US=100V,?0=106，Q=100，谐振时线圈获取最大功率，
求 L,C,R及谐振时 I0,U和 P。
解 1000 ??
R
LQ
L
?
C
L
R50k?
－
＋
－
＋
uS
i0
u
???? kRR LR Se 50)(
2
0 ?
LC
1
0 ??
??
?
?
?
?
?
??
FC
mHL
R
002.0
5.0
5
?
mARUI
S
S 1
10502
100
2 30 ?????
VUU S 5020 ??
WIUP 05.000 ??
讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：
3,串并联电路的谐振
(a)
L1
L3
C2
(b)
L1 C2
C3
上述电路既可以发生串联谐振 (Z=0),又可以发生并联谐
振 (Z=?)。 可通过求入端阻抗来确定串, 并联谐振频率 。
对 (a)电路, L1,C2并联, 在低频时呈感性 。 随着频率
增加, 在某一角频率 ?1下发生并联谐振 。 ?>?1时, 并联部
分呈容性, 在 某一角频率 ?2下可与 L3发生串联谐振 。
对 (b)电路 L1,C2并联, 在低频时呈感性 。 在某一角频
率 ?1下可与 C3发生串联谐振 。 ?>?1时, 随着频率增加, 并
联部分可由感性变为容性, 在 某一角频率 ?2下发生并联谐
振 。
定量分析：
(a)
1
)(
j
1
j
j
1
j
)
j
1
(j
j)(
21
2
31231
3
21
2
1
3
2
1
2
1
3
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
CLω
LLωCLLω
CLω
L
ω L
ω C
ω L
ω C
ω L
ω LωZ
?
当 Z(?)=0，即分子为零，有：
0)( 31223132 ??? LLωCLLω (a)
L1
L3
C2
可解得,)( 02 舍去?ω
)(
231
31
2 串联谐振CLL
LLω ??
当 Y(?)=0，即分母为零，有：
012121 ??CLω
)(
1
21
1
并联谐振
CL
ω ?
可见,? 1<? 2。
(a)
L1
L3
C2
? 1 ?
X(? )
O ? 2
Z (? )=jX(? )
阻抗的频率特性
21 ωω ?
)1(
)(1
j
1
j
j
1
j
1
j
j
1
j
j
1
)(
21
2
3
321
2
21
2
1
3
2
1
2
1
3
1
CLωω C
CCLω
CLω
ω L
ω C
ω C
ω L
ω C
ω L
ω C
ωZ
?
??
??
?
??
?
?
??
(b)
分别令分子、分母为零，可得：
串联谐振
)(
1
321
1 CCLω ??
并联谐振
21
2
1
CL
ω ?
(b)
L1 C2
C3
? 1 ?
X(? )
O ? 2
阻抗
的频
率特
性
例 激励 u1(t),包含两个频率 ?1,?2分量 (?1<?2)：
要求响应 u2(t)只含有 ?1频率电压。 如何实现？
u1(t) =u11(?1)+u12(?2)
LC串并联电路的应用：
可构成各种无源滤波电路 (passive filter)。
+
_
u1(t) u2(t)
设计下列滤波电路实现：解
21
2
1
CLω ?
)(
1
321
1 CCLω ??
并联谐振，开路
串联谐振，短路
?1 信号短路直接加到负载上。
该电路 ?2 >?1, 滤去高频，得到低频 。
C R2
C3 L1
+
_
u1(t)
+
_
u2(t)
谐振 (resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一
种特殊物理现象, 谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛
应用, 对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义 。
含有 R,L,C的一端口电路, 在特定条件下出现
端口电压, 电流同相位的现象时, 称电路发生了谐振 。
1,谐振的定义
R,L,C
电路U?
I?
RZ
I
U
???
?
发生
谐振
XR
XXRω Cω LRZ CL
j
)(j)1(j
??
??????
? I R
j? L
+
_
Cωj
1
? U
2,串联谐振的条件
谐振角频率 (resonant angular frequency)
LCω
1
0 ?
谐振频率 (resonant frequency) LCf π2 10 ?
时，电路发生谐振。当 1 0
0
0 CLωX ????
谐振条件
仅与电路参数有关
串联电路实现谐振的方式：
（ 1） L C 不变，改变 ?。
（ 2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C )。
?0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只
能有一个对应的 ?0,当外加频率等于谐振频率时，电
路发生谐振。
3,RLC串联电路谐振时的特点
,).1( 同相与 ?? IU
入端阻抗 Z为 纯电阻，即 Z=R。 电路中阻抗值 |Z|最小 。
电流 I达到最大值 I0=U/R (U一定 )。
X(? )
|Z(?)| X
L(? )
XC(? )
R
? 0 ?
Z (? )
O
? I R
j? L
+
_ Cωj 1
? U
+ +
+
_
_
_
RU
?
LU
?
CU
?
相当于短路。LCUU CL,0 ?? ??
(2) LC上 的电压大小相等, 相位相反, 串联总电压为零,
也称电压谐振, 即
UU R ?? ? 上，电源电压全部加在电阻
LU
?
CU
?
RU
? ? I
UjQRULjILjU L ?
??
???
?
??
UjQRULjCIjU C ?
??
??????
?
??
QUUU CL ?? ??
RC
L
RR
LQ ?? ??? 1 0
特性阻抗
品质因数
当 ?＝ ?0L=1/(?0C )>>R 时,
UL= UC >>U
例 某收音机 L=0.3mH,R=10?，为收到中央电台 560kHz
信号，求（ 1）调谐电容 C值；（ 2）如输入电压为 1.5?V
求谐振电流和此时的电容电压。
ARUI 15.010 5.1 )2( 0 ????
pFLfC 2 6 9) 2( 1 )1( 2 ?? ? +
_
L
C
R
u
解
VVXIU CC 5.1 5.1 5 80 ?? ????
UR LQUUo 0Cr ???
(3) 谐振时的功率
P=UIcos?＝ UI＝ RI02=U2/R，
电源向电路输送电阻消耗的功率，电阻功率达最大。
0s i n ???? CL QQUIQ ?
2
00
2
0
0
2
00
1,LII
CωQLIωQ CL ??????
电源不向电路输送无功 。 电
感中的无功与电容中的无功
大小相等, 互相补偿, 彼此
进行能量交换 。
+
_ P
Q
L C
R
(4) 谐振时的能量关系
tLICuw CC c o s2121 022m2 ???
tICLtCIu C 0mo0
0
m c o s)90 s i n ( ??
? ????
tLILiw L s i n2121 022m2 ???
tUu 0m s i n ??设 tItRUi 0m0m s i n s i n ?? ??则
电场能量
磁场能量
（ 1）电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等
WLm=WCm。 L,C的电场能量和磁场能量作周期振荡
性的能量交换，而不与电源进行能量交换。
表明
（ 2）总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。
22
m
2
m 2
1
2
1 LICULIwww
CCL ?????总
电感、电容储能的总值与品质因数的关系：
耗的能量谐振时一周期内电路消
总储能谐振时电路中电磁场的
π
π
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
0
0
?
?????
TRI
LI
RI
LI
R
L
Q ?
?
Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量, 品质因数越大,
总的能量就越大, 维持一定量的振荡所消耗的能量愈小,
振荡程度就越剧烈 。 则振荡电路的, 品质, 愈好 。 一般讲
在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高 Q值 。
4,RLC串联谐振电路的谐振曲线和选择性
（ 1） 阻抗的频率特性
R
X
R
XX
R
ω Cω Lω CL 111 tgtg
1
tg) ( ??? ???
?
??
)(|)(|)1(j ωφωZCωLωRZ ?????
222222 )()1(|)(| XRXXRCLRωZ
CL ???????? ??
谐振曲线 物理量与频率关系的图形称谐振曲线，
研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。
幅频
特性
相频
特性
2,电流谐振曲线
幅值关系：
I(? )与 |Y(? )|相似。
UωY
CωLωR
UωI |)(|
)1(
)(
22
?
??
?
? (? )
? 0 ?O
–?/2
?/2
阻抗相频特性
X(? )
|Z(?)| X
L(? )
XC(? )
R
? 0 ?
Z (? )
O
阻抗幅频特性
? 0 ?O
|Y(?)|
I(? )
I(? )
U/R
从电流谐振曲线看到, 谐振时电流达到最大, 当 ? 偏
离 ?0时, 电流从最大值 U/R降下来 。 即, 串联谐振电路对
不同频率的信号有不同的响应, 对谐振信号最突出 (表现
为电流最大 ),而对远离谐振频率的信号加以抑制 (电流
小 )。 这种对不同输入信号的选择能力称为, 选择性, 。
? 选择性 (selectivity)
电流谐振曲线
为了不同谐振回路之间进行比较, 把电流谐振曲线的
横, 纵坐标分别除以 ?0和 I(?0),即
000
)(
)(
)()(,
I
ηI
ωI
ωIωIη
ω
ωω ????
? 通用谐振曲线
2220 )1(1
1
)1(
/
||/
)(
)(
RCωR
Lω
Cω
LωR
R
RU
ZU
ωI
ωI
??
?
??
??
20
0
20
00
0 )(1
1
)
1
(1
1
ω
ω
Q
ω
ω
Q
ω
ω
RCωω
ω
R
Lω
????
?
????
?
220 )1(1
1)(
η
ηQ
I
ηI
??
?
Q越大, 谐振曲线越尖 。 当稍微偏离谐振点时, 曲线就
急剧下降, 电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力,
所以选择性好 。 因此, Q是反映谐振电路性质的一个重要指
标 。
Q=10
Q=1
Q=0.5
1 ?2?1
0
)(
I
ηI
0.707
0 ?'?
通用谐振曲线
.,
,707.02/1/
21
0
ηη
II
和对应横坐标分别为交于两点
与每一谐振曲线处作一水平线在 ??
.,,12
0
2
2
0
1
1 ωωω
ωη
ω
ωη ???
12 ωω ?
称为通频带 BW (Band Width)
可以证明,.1
12
0
12 ωω
ω
ηηQ ????
I/I0=0.707以分贝 (dB)表示：
20log10I/I0=20lg0.707= –3 dB.
所以,?1,?2称为 3分贝频率。
Q=1
? 0 ?2?1
I
0.707I0
0 ?
根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，
人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。
例 +
_ L
C
Ru
10?
一信号源与 R,L,C电路串联，
要求 f0=104Hz,△ f=100Hz，
R=15?，请设计一个线性电路。
解 1 0 0
1 0 0
10 400 ??
???? f
fωQ
?
mHRQL 8.39102 151 0 0 4
0
????? ??
pFL 6 3 6 01C 2
0
?? ?
例 一接收器的电路参数为：
L=250?H,R=20?,C=150pF(调好 ),
U1=U2= U3 =10?V,?0=5.5?106 rad/s,
f0=820 kHz.
+
_
+
_
+
L
C
Ru1
u2
u3_
f (kHz)
北京台 中央台 北京经济台
? L
820 640 1026
X
1290 –1660 1034
0 – 660 577
1290 1000 1611
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (?A)
ωC
1
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (?A)
%04.3
0
1 ?
I
I 小得多
∴ 收到北京台 820kHz的节目。
820640 1200
I(f )
f (kHz)0
%46.3
0
2 ?
I
I
（ 3） UL(? )与 UC(? )的频率特性
2222
22
)1(
)1(
)(
??
?
??
??
ηQη
QU
Cω
LωRCω
U
Cω
IωU
C
2
2
2
2
22
)
1
1(
1
)
1
(
||
)(
η
Q
η
QU
C
LR
LU
Z
U
LLIωU
L
??
?
??
????
?
?
?
??
U
UC(?Cm)
QU
?Cm ?Lm ?0
UL(? )
UC(? )
U(? )
1UL(? ),
当 ?=0,UL(?)=0； 0<?<?0,UL(?)增大； ?=?0，
UL(?)=QU； ?>?0,电流开始减小, 但速度不快, XL
继续增大, UL 仍有增大的趋势, 但在某个 ?下 UL(?)达
到最大值, 然后减小 。 ???,XL??,UL(?)=U。
类似可讨论 UC(?)。
根据数学分析，当 ?=?Cm时,UC(?)获最大值； 当 ?=?Lm时，
UL(?)获最大值。且 UC(?Cm)=UL(?Lm)。 )2/1 ( ?Q条件是
Q越高,?Lm和 ?Cm 越靠近 ?0
? Lm?? Cm =? 0
020m 2
11 ω
Qωω c ??? 02
2
0m 12
2 ω
Q
Qωω
L ???
QU
Q
QU
ωUωU LLcC ?
?
??
2
mm
4
1
1
)()(
例 一接收器的电路参数为,U=10V
?=5?103 rad/s,调 C使电路中的电流
最大, Imax=200mA,测得电容电压
为 600V,求 R,L,C及 Q
+
_ L
C
R
u
V
解 ????? ? 5010200 10 3
0I
UR
6010600 ????? UUQQUU CC
mHRQL 60105 6050 3
0
?? ??? ?
FL 67.61C 2
0
?? ??
1,G,C,L 并联电路
对偶,R L C 串联 G C L 并联
LCω
1
0 ?
)1(j ω Cω LRZ ??? )1(j ω Lω CGY ???
9.9 并联电路的谐振
+
_S
?I G C L?U
LCω
1
0 ?谐振角频率
R L C 串联 G C L 并联
|Z|
??0O
R
? 0 ?O
I(? )
U/R
? 0 ?O
U(? )
IS/G
LU
?
CU
?
?? ? UU
R
? I
CI?
LI?
?? ?
SG II
? U
|Y|
??0O
G
R L C 串联 G C L 并联
电压谐振 电流谐振
UL(? 0)=UC (? 0)=QU IL(?0) =IC(?0) =QIS
L
C
GGLωG
CωQ 11
0
0 ???
C
L
RRCωR
LωQ 11
0
0 ???
推导过程如下：由定义得
L
R
G
Cω
0
0
?
??2
2
2
1
π2
GUT
CU
Q
Cm
?
??
G
Cf
0π2?
2,电感线圈与电容器的并联谐振
实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与电
容器并联时，电路如图：
BG j??
LωRCωY j
1j
???
))((j)( 2222 LωR LωCωLωR R ?????
谐振时 B=0，即 0
)( 202
0
0 ??? LωR
LωCω
2
0 )(
1
L
R
LCω ??
C
L
R
（ 1）谐振条件
此电路发生谐振是有条件的,在电路参数一定时，满足
可以发生谐振时即,,0)(1 2 CLRLRLC ???
一般线圈电阻 R<<?L,则等效导纳为：
LC
ω 10 ?
)1(j)())((j)( 22222 LCLRLR LCLR RY ??????? ????????
等效电路
谐振角频率
Ge C L
R
L
GR ee
2
0 )(1 ???
(b) 电流一定时，总电压达最大值：
RC
LIZIU
000 ??
(c) 支路电流是总电流的 Q倍，设 R<<?L
CI
?
LI
?
0I?
? U
CULUII CL 0
0
?? ???
QR LRCLRCU LUIIII CL ????? 0
0
0
00
1
)//(
/ ?
?
?
00 IQIII CL ????
(a) 电路发生谐振时，输入阻抗达最大值：
RC
L
R
Lω
R
LωRRωZ ????? 20202
00
)()()(
（ 2）谐振特点
例 如图 R=10?的线圈其 QL=100，与电容接成并联谐振电路，如再并联
上一个 100k?的电阻，求电路的 Q.
解
C
L
R
100k?
R
LQ
L
0 100 ???
RRQL L ????? 1 0 0 00?等效电路
CLRe100k?
???? kR LR e 1001010)(
62
0?
??? kR eq 501 0 0//1 0 0
501 0 0 01050
3
0
???? LRQ eq?
例 如图 RS=50k?,US=100V,?0=106，Q=100，谐振时线圈获取最大功率，
求 L,C,R及谐振时 I0,U和 P。
解 1000 ??
R
LQ
L
?
C
L
R50k?
－
＋
－
＋
uS
i0
u
???? kRR LR Se 50)(
2
0 ?
LC
1
0 ??
??
?
?
?
?
?
??
FC
mHL
R
002.0
5.0
5
?
mARUI
S
S 1
10502
100
2 30 ?????
VUU S 5020 ??
WIUP 05.000 ??
讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：
3,串并联电路的谐振
(a)
L1
L3
C2
(b)
L1 C2
C3
上述电路既可以发生串联谐振 (Z=0),又可以发生并联谐
振 (Z=?)。 可通过求入端阻抗来确定串, 并联谐振频率 。
对 (a)电路, L1,C2并联, 在低频时呈感性 。 随着频率
增加, 在某一角频率 ?1下发生并联谐振 。 ?>?1时, 并联部
分呈容性, 在 某一角频率 ?2下可与 L3发生串联谐振 。
对 (b)电路 L1,C2并联, 在低频时呈感性 。 在某一角频
率 ?1下可与 C3发生串联谐振 。 ?>?1时, 随着频率增加, 并
联部分可由感性变为容性, 在 某一角频率 ?2下发生并联谐
振 。
定量分析：
(a)
1
)(
j
1
j
j
1
j
)
j
1
(j
j)(
21
2
31231
3
21
2
1
3
2
1
2
1
3
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
CLω
LLωCLLω
CLω
L
ω L
ω C
ω L
ω C
ω L
ω LωZ
?
当 Z(?)=0，即分子为零，有：
0)( 31223132 ??? LLωCLLω (a)
L1
L3
C2
可解得,)( 02 舍去?ω
)(
231
31
2 串联谐振CLL
LLω ??
当 Y(?)=0，即分母为零，有：
012121 ??CLω
)(
1
21
1
并联谐振
CL
ω ?
可见,? 1<? 2。
(a)
L1
L3
C2
? 1 ?
X(? )
O ? 2
Z (? )=jX(? )
阻抗的频率特性
21 ωω ?
)1(
)(1
j
1
j
j
1
j
1
j
j
1
j
j
1
)(
21
2
3
321
2
21
2
1
3
2
1
2
1
3
1
CLωω C
CCLω
CLω
ω L
ω C
ω C
ω L
ω C
ω L
ω C
ωZ
?
??
??
?
??
?
?
??
(b)
分别令分子、分母为零，可得：
串联谐振
)(
1
321
1 CCLω ??
并联谐振
21
2
1
CL
ω ?
(b)
L1 C2
C3
? 1 ?
X(? )
O ? 2
阻抗
的频
率特
性
例 激励 u1(t),包含两个频率 ?1,?2分量 (?1<?2)：
要求响应 u2(t)只含有 ?1频率电压。 如何实现？
u1(t) =u11(?1)+u12(?2)
LC串并联电路的应用：
可构成各种无源滤波电路 (passive filter)。
+
_
u1(t) u2(t)
设计下列滤波电路实现：解
21
2
1
CLω ?
)(
1
321
1 CCLω ??
并联谐振，开路
串联谐振，短路
?1 信号短路直接加到负载上。
该电路 ?2 >?1, 滤去高频，得到低频 。
C R2
C3 L1
+
_
u1(t)
+
_
u2(t)
