第 8章 相量法
2,正弦量的相量表示
3,电路定理的相量形式；
? 重点：
1,正弦量的表示、相位差；
?正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路称
为正弦电路或交流电路。
8.1 正弦量的基本概念
1,正弦量
瞬时值表达式：
i(t)=Imcos(w t+y)
波形：
t
i
Oy/w
T
周期 T (period)和频率 f (frequency),
频率 f,每秒重复变化的次数。
周期 T,重复变化一次所需的时间。
单位,Hz，赫 (兹 )
单位,s，秒
Tf
1?
(1)幅值 (amplitude) (振幅, 最大值 )Im
(2) 角频率 (angular frequency)w
2,正弦量的三要素
t
i
Oy/w
T(3) 初相位 (initial phase angle) y
Im
2?? wt
Tf ??w 22 ??
单位,rad/s, 弧度 / 秒
反映正弦量变化幅度的大小。
相位变化的速度,反映正弦量变化快慢。
反映正弦量的计时起点。
i(t)=Imcos(w t+y)
同一个正弦量, 计时起点不同, 初相位不同 。
t
i
O
一般规定, |? |?? 。
y =0
y =?/2
y =－ ?/2
例 已知正弦电流波形如图,w＝ 103rad/s,（ 1）写出 i(t)表达式；
（ 2）求最大值发生的时间 t1
t
i
0
100
50
t1
解 )10c o s (1 0 0)( 3 ??? tti
?c o s100500 ???t
3?? ??
由于最大值发生在计时起点之后
3
?? ??
)310c o s (1 0 0)( 3 ??? tti
有最大值当 310 13 ??t mst 0 4 7.110 331 ＝＝ ?
3,同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i)
则 相位差, j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
? j >0,u超前 ij角, 或 i 落后 u j 角 (u 比 i先到达最大值 )；
? j <0,i 超前 uj角, 或 u 滞后 i j角,i 比 u 先到达最大值。
w t
u,i
u
i
yuyi
j
O
等于初相位之差 规定,|j | ?? (180° )。
j ＝ 0,同相：
j =?? (?180o ), 反相：特殊相位关系：
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
u
i0
j= ?/2：
u 领先 i ?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u ?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
w t
u,i
u
i
0
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。
)15 100s i n (10)(
)30 100c o s (10)( )2(
0
2
0
1
??
??
tti
tti
?
?
)2 1 0 0c o s (10)(
)43 1 0 0c o s (10)( )1(
2
1
??
??
??
??
tti
tti
)45 200c o s (10)(
)30 100c o s (10)( )3(
0
2
0
1
??
??
ttu
ttu
?
?
)30 1 0 0c o s (3)(
)30 1 0 0c o s (5)( )4(
0
2
0
1
???
??
tti
tti
?
?
解
045)2(43 ????? ???j
43452 ???j ???
000 1 3 5)1 0 5(30 ????j
000 1 2 0)1 5 0(30 ?????j
)105100c o s (10)( 02 ?? tti ?
不能比较相位差
21 ww ?
)1 5 01 0 0c o s (3)( 02 ?? tti ?
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符
号，且在主值范围比较。
4,周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其
大小工程上采用有效值来表示。
? 周期电流、电压有效值 (effective value)定义
R直流 I R交流 i
ttiRW T d)(2
0?
?TRIW 2?
电流有效
值定义为
??
T
tti
T
I
0
2
d e f
d)(
1
有效值也称均方根值
(root-meen-square)
物
理
意
义
同样，可定义电压有效值：
??
T
ttu
T
U
0
2
d e f
d)(
1
? 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+? )
tΨtI
T
I
T
d ) (c o s1
0
22
m? ?? w
TttΨttΨt TTT 2121d2 ) (2c o s1d ) (c o s 0
00
2 ?????? ?? ww?
m
m2
m 7 0 7.022
1 IITI
T
I ?????
) c o s (2) c o s ()( m ΨtIΨtIti ???? ww
II 2 m ?
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2
2
1
mm ?? 或
若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
（ 1） 工程上说的正弦电压, 电流一般指有效值, 如设
备铭牌额定值, 电网的电压等级等 。 但绝缘水平, 耐压值
指的是最大值 。 因此, 在考虑电器设备的耐压水平时应按
最大值考虑 。
（ 2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
（ 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
I,I,i m
注
? 复数 A的表示形式 ) 1(j 为虚数单位??
Ab
Re
Im
a0
A=a+jb
Ab
Re
Im
a0
?
|A|
jbajAeAA j ????? )s i n( c o s|||| ???
8.2 正弦量的相量表示
1,复数及运算
jbaA ??
???? ? |||| AeAA j
?jeAA ||?
两种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej? =|A| ?
直角坐标表示
极坐标表示
?
?
?
?
?
?
??
a
b
θ
baA
a r c t g
|| 22
或
?
?
?
?
?
θA b
θ|A|a
s i n||
c os
? 复数运算
则 A1± A2=(a1± a2)+j(b1± b2)
(1)加减运算 ——采用代数形式
若 A1=a1+jb1,A2=a2+jb2 A1
A2
Re
Im
0
Ab
Re
Im
a0
?
|A|
图解法
(2) 乘除运算 ——采用极坐标形式
若 A1=|A1| ? 1, A2=|A2| ? 2
21
2
1
)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||
e
||
||
e||
e||
||
||
21
1
θθ
A
A
A
A
A
A
θA
θA
A
A θθ
θ
θ
??
??
?
?
?
?
除法：模相除，角相减。
例 1,
乘法：模相乘，角相加。
则,
2121
)(
212121
2121
??
????
???
???? ?
AA
eAAeAeAAA jjj
2510475 ????? ??
)226.4063.9()657.341.3(2510475 jj ???????? ??
569.047.12 j?? ?61.248.12 ???
解
例 2,
5j20 j 6 )(4 j 9 )( 1 7 35 2 2 0 ?? ???? ?
(3) 旋转因子：
复数 ej? =cos? +jsin? =1∠ ?
A? ej? 相当于 A逆时针旋转一个角度 ?, 而模不变 。
故把 ej? 称为旋转因子 。
解 2.126j2.180 ??原式
?
??
04.1462.20
3.56211.79.2724.19
?
????
?16.70728.62.126j2.180 ????
329.6j238.22.126j2.180 ????
?365.2 2 55.1 3 2j5.1 8 2 ????
A
Re
Im
0
A? ej?
?
jje
j
????
?
2
s i n
2
c o s
,
2
2
??
?
?
?
jje j ????????????
??
)2s i n ()2c o s (,2 2
1)s i n()c o s (,???????????? ?? je j
故 +j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
几种不同 ?值时的旋转因子
Re
Im
0
I?Ij??
Ij??I??
i1
I1 I2 I3
w w w
i1+i2 ?i3i2
? 1 ?2 ?3
角频率：
有效值：
初相位：
两个正弦量的相加
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量, 所以, 只
要确定初相位和有效值 (或最大值 )就行了 。 因此,
2,正弦量的相量表示
w t
u,i
i1
i2
0
i3
正弦量 复数
) c o s (2 111 yw ?? tIi
) c o s (2 222 yw ?? tIi
实际是变
换的思想
? 正弦量的相量表示
造一个复函数 )j(e2)( ??w? tItA
对 A(t)取实部,) c o s (2)](R e [ ΨttA ?? w
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
) j(2)( ) (c2 ΨtIetAΨtosIi ????? ww
A(t)包含了三要素,I,?,w, 复常数包含了 I,?。
A(t)还可以写成 tωtω eIItA ψ j j 2ee2)( j ???
复常数
) s i n (2j) c o s (2 ΨtItI ?w???w?
无物理意义是一个正弦量 有物理意义
) c o s (2)( ΨIIΨtIti ????? ?w
) c o s (2)( θUUθtUtu ????? ?w
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。 ΨII ???
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例 1
试用相量表示 i,u,
)V601 4 t3 1 1, 1 c o s ( 3
A)303 1 4c o s (4.1 4 1
o
o
??
??
u
ti
解
V602 20
A301 00
o
o
???
??
?
?
U
I
在复平面上用向量表示相量的图
??????? IItωosIti ?) (c2)(
θUUθtosUtu ????? ?) (c2)( w
例 2
试写出电流的瞬时值表达式。
解 A)153 1 4c o s (250 ??? ti
,5 0 H z A,1550 ???? fI ?已知
?相量图
??
?U
?I
3,相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
故同频正弦量相加减运算变
成对应相量的相加减运算。
i1 ? i2 = i3
321 III ??? ??
)2(R) c o s (2)(
)2(R) c o s (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUeΨtUtu
eUeΨtUtu
w
w
w
w
?
?
???
???
))(2(R)22(R
)2(R)2(R)()( )(
j
21
j
2
j
1
j
2
j
121
ttt
tt
eUUeeUeUe
eUeeUetututu
www
ww
????
??
????
????
U?
21 UUU ??? ??
可得其相量关系为：
例
V )603 1 4c o s (24)(
V )303 1 4c o s (26)(
o
2
1
??
??
ttu
ttu ?
也可借助相量图计算
V604
V 306
o
2
o
1
??
??
U
U
?
?
V )9.41314c o s (264.9)()()( o21 ????? ttututu
????? 60430621 ?????? UUU
Re
Im
?30
1U?
?9.41
U?
Re
Im
?9.41
?30
1U?
?60
2U?
U?
46.32319.5 jj ????
46.619.7 j?? V 9.4164.9 o??
?60
2U?
首尾相接
2, 正弦量的微分，积分运算
) c o s (2 ii IItIi yyw ????? ?
? ?
? ?
2Re
2Re
tj
tj
ejI
eI
dt
d
dt
di
w
w
w??
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
tj
tj
e
j
I
teIti
2Re
d 2Red
w
w
w
?
?
微分运算, 积分运算,
2 ?yww ??? iIIjdt
di ?
2 ?yww ???? i
I
j
Ii d t ?
例
) c o s (2)( itIti yw ??
1)( ???? i d tCdtdiLRitu
Ri(t)
u(t) L+- C
用相量运算,
Cj
IILjIRU
w
w
????
???
相量法的优点：
（ 1）把时域问题变为复数问题；
（ 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；
（ 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；
注
① 正弦量 相量
时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用
正弦波形图 相量图
8.3 电路定理的相量形式
1,电阻元件 VCR的相量形式
时域形式：
相量形式：
iR
i
ΨRIU
ΨII
??
??
?
?
相量模型
)c o s (2)( iΨtIti ?? w已知
)c o s (2)()( iR ΨtRItRitu ??? w则uR(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系
相位关系
R
+
-
RU?
? I
UR ?u
相量关系：
IRU R ?? ?
UR=RI
?u=?i
瞬时功率,iup
RR ?
波形图及相量图：
i
w tO
uR
pR RU?
I?
?u=?i
URI
瞬时功率以 2w交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率
) (c o s22 i2 ΨtωIU R ??
)] (2c o s1[ iΨtωIU R ???
同
相
位
时域形式：
i(t)
uL(t) L
+
-
相量形式：
) c o s (2)( iψtIti ?? w已知
)
2
c os ( 2
) s i n (2
d
)(d
)(
π
???
????
i
iL
ΨtIL
ΨtIL
t
ti
Ltu
ww
ww则
相量模型
jw L
+
-LU
?
? I
相量关系：
IjXILjU LL ??? ?? w
有效值关系,U=w L I
相位关系,?u=?i +90°
2,电感元件 VCR的相量形式
2 ?w ??
??
iL
i
ΨLIU
ΨII
?
?
感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力； (2) 感抗和频率成正比；
w
XL
相量表达式,
XL=w L=2?fL,称为感抗, 单位为 ? (欧姆 )
BL=1/w L =1/2?fL,感纳, 单位为 S
感抗和感纳,
,ILjIjXU L ??? w??;,,;,0 ),(0
开路
短路直流
????w
??w
L
L
X
X
ULjULjUjBI L ???? w?w??? 11
功率：
) (2s i n
) s i n ()c o s ( m
iL
iimLLL
ΨtIU
ΨtΨtIUiup
??
????
w
ww
w t
i
O
uL pL
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消
LU?
I?
?i
波形图及相量图,电压超前电
流 900
时域形式：
相量形式：
)c o s (2)( uΨtUtu ?? w已知
)
2
c os (2
) s i n (2
d
)(d
)(
π
???
????
u
uC
ΨtCU
ΨtCU
t
tu
Cti
ww
ww则
相量模型
iC(t)
u(t) C
+
-
? U
CI
?
+
- ωCj
1
有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i=?u+90°
相量关系：
IjXICjU C ??? ???? w 1
3,电容元件 VCR的相量形式
2
?w ??
??
?
?
uC
u
ΨCUI
ΨUU
XC=1/w C,称为容抗，单位为 ?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳，单位为 S
频率和容抗成反比,
w?0,|XC|?? 直流开路 (隔直 )
w ??,|XC|?0 高频短路 (旁路作用 )
w
|XC|
容抗与容纳：
相量表达式,
UCjUjBI
I
C
jIjXU
C
C
???
???
w
w
??
?
??
1
功率：
)(2s i n
)s i n ()c o s (2
uC
uuC
CC
ΨtωUI
ΨtωΨtωUI
uip
??
???
?
w t
iC
O
u
pC
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消
U?
CI?
?u
波形图及相量图,电流超前电
压 900
4,基尔霍夫定律的相量形式
? ? 0)( ti
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行
计算 。 因此, 在正弦电流电路中, KCL和 KVL可用相应
的相量形式表示：
上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表
示时仍满足 KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量
表示时仍满足 KVL。
? ?? ? ???? 02Re)( 21 tjeIIti w???
? ? 0I?
? ? 0)( tu ? ? 0U?
?? )5( Cj
I
U
C
C w
?
?
例
1
试判断下列表达式的正、误：
Liju )1( w?
005 c o s5 )2( ??? ti w
mCUjI )3( m w??
L
L
I
UX
?
?
?L )4(
LILjU ?? )6( L w?
dt
diCu ? )7(
U? I?
mU?
m
m
I
U
I
U ?
Cjw
1
L
例
2
A1 A2
A0
Z1 Z2
U?
已知电流表读数,A1 ＝ 8A A2 ＝ 6A
CjXZRZ ??? 21,1 ）（若
A0 ＝?
为何参数）（ 21,2 ZRZ ?
A0 ＝ I0max=?
为何参数）（ 21,3 ZjXZ L? A0 ＝ I0min=?
为何参数）（ 21,4 ZjXZ L?
解 AI 1068 1 22
0 ???）（
1,IU ??
2I? 0I
?
AIZ 1468 2 m a x02 ???为电阻，）（
AIjXZ C 268,3 m i n02 ????）（
A0 ＝ A1 A2 ＝?
AIAIIjXZ C 16,8,4 2102 ????）（
例
2
)(:),5c o s (2120 tit u ( t ) 求已知 ? +
_
15?u
4H
0.02Fi
解 00120 ??U?
???? 2054 jjjX L
??????? 1002.05 1 jjjX C
相量模型
U?
j20?
-j15?
1I? 2I?
+
_
15?
3I?
I?
CL
CLR jX
U
jX
U
R
UIIII
???????
???????
Ajjj
jj
09.3610681268
10
1
20
1
15
1
120
???????
??
?
?
??
?
?
???
At i ( t ) )9.365c o s (210 0??
例
3
)(:),1510c o s (25 06 tuti ( t ) S求已知 ?? +
_
5?
uS 0.2?F
i
解 0155??I?
???????? ? 5102.010 1 66 jjjX C
? ?
V
jUUU CRS
000
0
302254525155
55155
????????
????? ???
相量模型
+
_
5?
SU?
I?
-j5?
RUI ??,
CU?
SU?CU
?
例
4
,78,50 ??? BCACAB UVUVU 问：已知
j40?
jXL
30?
C
BA
I?
解
IIIU AB 50)40()30( 22 ???
VUVUAI LR 40,30,1 ???
22 )40()30(78 BCAC UU ????
VU BC 3240)30()78( 22 ????
Ij ?40
I?30
BCU?
ABU?
ACU?
例
5
图示电路 I1=I2同 =5A,U＝ 50V，总电压与总电流同相
位，求 I,R,XC,XL。
00 ?? CC UU?设
U?
-jXC
1I? 2I?
+
_
R
I? -jXL
UC
+
-
解
5,05 201 jII ??? ??
0452555 ???? jI?
)1(2505)55(4550 0 jRjXjU L ?????????
252505 ??? LL XX
???????? 2102502552505 CXRR
也可以画相量图计算
令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部
例
5
图示为 RC选频网络，试求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1 ?
U
U
?
?
-jXC
－
R
－
＋
＋
R uo
u1
-jXC
2,正弦量的相量表示
3,电路定理的相量形式；
? 重点：
1,正弦量的表示、相位差；
?正弦电流电路 激励和响应均为正弦量的电路称
为正弦电路或交流电路。
8.1 正弦量的基本概念
1,正弦量
瞬时值表达式：
i(t)=Imcos(w t+y)
波形：
t
i
Oy/w
T
周期 T (period)和频率 f (frequency),
频率 f,每秒重复变化的次数。
周期 T,重复变化一次所需的时间。
单位,Hz，赫 (兹 )
单位,s，秒
Tf
1?
(1)幅值 (amplitude) (振幅, 最大值 )Im
(2) 角频率 (angular frequency)w
2,正弦量的三要素
t
i
Oy/w
T(3) 初相位 (initial phase angle) y
Im
2?? wt
Tf ??w 22 ??
单位,rad/s, 弧度 / 秒
反映正弦量变化幅度的大小。
相位变化的速度,反映正弦量变化快慢。
反映正弦量的计时起点。
i(t)=Imcos(w t+y)
同一个正弦量, 计时起点不同, 初相位不同 。
t
i
O
一般规定, |? |?? 。
y =0
y =?/2
y =－ ?/2
例 已知正弦电流波形如图,w＝ 103rad/s,（ 1）写出 i(t)表达式；
（ 2）求最大值发生的时间 t1
t
i
0
100
50
t1
解 )10c o s (1 0 0)( 3 ??? tti
?c o s100500 ???t
3?? ??
由于最大值发生在计时起点之后
3
?? ??
)310c o s (1 0 0)( 3 ??? tti
有最大值当 310 13 ??t mst 0 4 7.110 331 ＝＝ ?
3,同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u),i(t)=Imcos(w t+y i)
则 相位差, j = (w t+y u)- (w t+y i)= y u-y i
? j >0,u超前 ij角, 或 i 落后 u j 角 (u 比 i先到达最大值 )；
? j <0,i 超前 uj角, 或 u 滞后 i j角,i 比 u 先到达最大值。
w t
u,i
u
i
yuyi
j
O
等于初相位之差 规定,|j | ?? (180° )。
j ＝ 0,同相：
j =?? (?180o ), 反相：特殊相位关系：
w t
u,i
u
i
0
w t
u,i
u
i0
j= ?/2：
u 领先 i ?/2,不说 u 落后 i 3?/2；
i 落后 u ?/2,不说 i 领先 u 3?/2。
w t
u,i
u
i
0
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。
例 计算下列两正弦量的相位差。
)15 100s i n (10)(
)30 100c o s (10)( )2(
0
2
0
1
??
??
tti
tti
?
?
)2 1 0 0c o s (10)(
)43 1 0 0c o s (10)( )1(
2
1
??
??
??
??
tti
tti
)45 200c o s (10)(
)30 100c o s (10)( )3(
0
2
0
1
??
??
ttu
ttu
?
?
)30 1 0 0c o s (3)(
)30 1 0 0c o s (5)( )4(
0
2
0
1
???
??
tti
tti
?
?
解
045)2(43 ????? ???j
43452 ???j ???
000 1 3 5)1 0 5(30 ????j
000 1 2 0)1 5 0(30 ?????j
)105100c o s (10)( 02 ?? tti ?
不能比较相位差
21 ww ?
)1 5 01 0 0c o s (3)( 02 ?? tti ?
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符
号，且在主值范围比较。
4,周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其
大小工程上采用有效值来表示。
? 周期电流、电压有效值 (effective value)定义
R直流 I R交流 i
ttiRW T d)(2
0?
?TRIW 2?
电流有效
值定义为
??
T
tti
T
I
0
2
d e f
d)(
1
有效值也称均方根值
(root-meen-square)
物
理
意
义
同样，可定义电压有效值：
??
T
ttu
T
U
0
2
d e f
d)(
1
? 正弦电流、电压的有效值
设 i(t)=Imcos(w t+? )
tΨtI
T
I
T
d ) (c o s1
0
22
m? ?? w
TttΨttΨt TTT 2121d2 ) (2c o s1d ) (c o s 0
00
2 ?????? ?? ww?
m
m2
m 7 0 7.022
1 IITI
T
I ?????
) c o s (2) c o s ()( m ΨtIΨtIti ???? ww
II 2 m ?
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
UUUU 2
2
1
mm ?? 或
若一交流电压有效值为 U=220V，则其最大值为 Um?311V；
U=380V,Um?537V。
（ 1） 工程上说的正弦电压, 电流一般指有效值, 如设
备铭牌额定值, 电网的电压等级等 。 但绝缘水平, 耐压值
指的是最大值 。 因此, 在考虑电器设备的耐压水平时应按
最大值考虑 。
（ 2）测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。
（ 3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
I,I,i m
注
? 复数 A的表示形式 ) 1(j 为虚数单位??
Ab
Re
Im
a0
A=a+jb
Ab
Re
Im
a0
?
|A|
jbajAeAA j ????? )s i n( c o s|||| ???
8.2 正弦量的相量表示
1,复数及运算
jbaA ??
???? ? |||| AeAA j
?jeAA ||?
两种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej? =|A| ?
直角坐标表示
极坐标表示
?
?
?
?
?
?
??
a
b
θ
baA
a r c t g
|| 22
或
?
?
?
?
?
θA b
θ|A|a
s i n||
c os
? 复数运算
则 A1± A2=(a1± a2)+j(b1± b2)
(1)加减运算 ——采用代数形式
若 A1=a1+jb1,A2=a2+jb2 A1
A2
Re
Im
0
Ab
Re
Im
a0
?
|A|
图解法
(2) 乘除运算 ——采用极坐标形式
若 A1=|A1| ? 1, A2=|A2| ? 2
21
2
1
)j(
2
1
2j
2
j
1
22
11
2
1
||
||
e
||
||
e||
e||
||
||
21
1
θθ
A
A
A
A
A
A
θA
θA
A
A θθ
θ
θ
??
??
?
?
?
?
除法：模相除，角相减。
例 1,
乘法：模相乘，角相加。
则,
2121
)(
212121
2121
??
????
???
???? ?
AA
eAAeAeAAA jjj
2510475 ????? ??
)226.4063.9()657.341.3(2510475 jj ???????? ??
569.047.12 j?? ?61.248.12 ???
解
例 2,
5j20 j 6 )(4 j 9 )( 1 7 35 2 2 0 ?? ???? ?
(3) 旋转因子：
复数 ej? =cos? +jsin? =1∠ ?
A? ej? 相当于 A逆时针旋转一个角度 ?, 而模不变 。
故把 ej? 称为旋转因子 。
解 2.126j2.180 ??原式
?
??
04.1462.20
3.56211.79.2724.19
?
????
?16.70728.62.126j2.180 ????
329.6j238.22.126j2.180 ????
?365.2 2 55.1 3 2j5.1 8 2 ????
A
Re
Im
0
A? ej?
?
jje
j
????
?
2
s i n
2
c o s
,
2
2
??
?
?
?
jje j ????????????
??
)2s i n ()2c o s (,2 2
1)s i n()c o s (,???????????? ?? je j
故 +j,–j,-1 都可以看成旋转因子。
几种不同 ?值时的旋转因子
Re
Im
0
I?Ij??
Ij??I??
i1
I1 I2 I3
w w w
i1+i2 ?i3i2
? 1 ?2 ?3
角频率：
有效值：
初相位：
两个正弦量的相加
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量, 所以, 只
要确定初相位和有效值 (或最大值 )就行了 。 因此,
2,正弦量的相量表示
w t
u,i
i1
i2
0
i3
正弦量 复数
) c o s (2 111 yw ?? tIi
) c o s (2 222 yw ?? tIi
实际是变
换的思想
? 正弦量的相量表示
造一个复函数 )j(e2)( ??w? tItA
对 A(t)取实部,) c o s (2)](R e [ ΨttA ?? w
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
) j(2)( ) (c2 ΨtIetAΨtosIi ????? ww
A(t)包含了三要素,I,?,w, 复常数包含了 I,?。
A(t)还可以写成 tωtω eIItA ψ j j 2ee2)( j ???
复常数
) s i n (2j) c o s (2 ΨtItI ?w???w?
无物理意义是一个正弦量 有物理意义
) c o s (2)( ΨIIΨtIti ????? ?w
) c o s (2)( θUUθtUtu ????? ?w
称 为正弦量 i(t) 对应的相量。 ΨII ???
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
已知例 1
试用相量表示 i,u,
)V601 4 t3 1 1, 1 c o s ( 3
A)303 1 4c o s (4.1 4 1
o
o
??
??
u
ti
解
V602 20
A301 00
o
o
???
??
?
?
U
I
在复平面上用向量表示相量的图
??????? IItωosIti ?) (c2)(
θUUθtosUtu ????? ?) (c2)( w
例 2
试写出电流的瞬时值表达式。
解 A)153 1 4c o s (250 ??? ti
,5 0 H z A,1550 ???? fI ?已知
?相量图
??
?U
?I
3,相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
故同频正弦量相加减运算变
成对应相量的相加减运算。
i1 ? i2 = i3
321 III ??? ??
)2(R) c o s (2)(
)2(R) c o s (2)(
j
2222
j
1111
t
t
eUeΨtUtu
eUeΨtUtu
w
w
w
w
?
?
???
???
))(2(R)22(R
)2(R)2(R)()( )(
j
21
j
2
j
1
j
2
j
121
ttt
tt
eUUeeUeUe
eUeeUetututu
www
ww
????
??
????
????
U?
21 UUU ??? ??
可得其相量关系为：
例
V )603 1 4c o s (24)(
V )303 1 4c o s (26)(
o
2
1
??
??
ttu
ttu ?
也可借助相量图计算
V604
V 306
o
2
o
1
??
??
U
U
?
?
V )9.41314c o s (264.9)()()( o21 ????? ttututu
????? 60430621 ?????? UUU
Re
Im
?30
1U?
?9.41
U?
Re
Im
?9.41
?30
1U?
?60
2U?
U?
46.32319.5 jj ????
46.619.7 j?? V 9.4164.9 o??
?60
2U?
首尾相接
2, 正弦量的微分，积分运算
) c o s (2 ii IItIi yyw ????? ?
? ?
? ?
2Re
2Re
tj
tj
ejI
eI
dt
d
dt
di
w
w
w??
?
?
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
tj
tj
e
j
I
teIti
2Re
d 2Red
w
w
w
?
?
微分运算, 积分运算,
2 ?yww ??? iIIjdt
di ?
2 ?yww ???? i
I
j
Ii d t ?
例
) c o s (2)( itIti yw ??
1)( ???? i d tCdtdiLRitu
Ri(t)
u(t) L+- C
用相量运算,
Cj
IILjIRU
w
w
????
???
相量法的优点：
（ 1）把时域问题变为复数问题；
（ 2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；
（ 3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；
注
① 正弦量 相量
时域 频域
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
③ 相量法用来分析正弦稳态电路 。
N
线性
N
线性
w1
w2 非线性w
不适用
正弦波形图 相量图
8.3 电路定理的相量形式
1,电阻元件 VCR的相量形式
时域形式：
相量形式：
iR
i
ΨRIU
ΨII
??
??
?
?
相量模型
)c o s (2)( iΨtIti ?? w已知
)c o s (2)()( iR ΨtRItRitu ??? w则uR(t)
i(t)
R
+
-
有效值关系
相位关系
R
+
-
RU?
? I
UR ?u
相量关系：
IRU R ?? ?
UR=RI
?u=?i
瞬时功率,iup
RR ?
波形图及相量图：
i
w tO
uR
pR RU?
I?
?u=?i
URI
瞬时功率以 2w交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率
) (c o s22 i2 ΨtωIU R ??
)] (2c o s1[ iΨtωIU R ???
同
相
位
时域形式：
i(t)
uL(t) L
+
-
相量形式：
) c o s (2)( iψtIti ?? w已知
)
2
c os ( 2
) s i n (2
d
)(d
)(
π
???
????
i
iL
ΨtIL
ΨtIL
t
ti
Ltu
ww
ww则
相量模型
jw L
+
-LU
?
? I
相量关系：
IjXILjU LL ??? ?? w
有效值关系,U=w L I
相位关系,?u=?i +90°
2,电感元件 VCR的相量形式
2 ?w ??
??
iL
i
ΨLIU
ΨII
?
?
感抗的物理意义：
(1) 表示限制电流的能力； (2) 感抗和频率成正比；
w
XL
相量表达式,
XL=w L=2?fL,称为感抗, 单位为 ? (欧姆 )
BL=1/w L =1/2?fL,感纳, 单位为 S
感抗和感纳,
,ILjIjXU L ??? w??;,,;,0 ),(0
开路
短路直流
????w
??w
L
L
X
X
ULjULjUjBI L ???? w?w??? 11
功率：
) (2s i n
) s i n ()c o s ( m
iL
iimLLL
ΨtIU
ΨtΨtIUiup
??
????
w
ww
w t
i
O
uL pL
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消
LU?
I?
?i
波形图及相量图,电压超前电
流 900
时域形式：
相量形式：
)c o s (2)( uΨtUtu ?? w已知
)
2
c os (2
) s i n (2
d
)(d
)(
π
???
????
u
uC
ΨtCU
ΨtCU
t
tu
Cti
ww
ww则
相量模型
iC(t)
u(t) C
+
-
? U
CI
?
+
- ωCj
1
有效值关系,IC=w CU
相位关系,?i=?u+90°
相量关系：
IjXICjU C ??? ???? w 1
3,电容元件 VCR的相量形式
2
?w ??
??
?
?
uC
u
ΨCUI
ΨUU
XC=1/w C,称为容抗，单位为 ?(欧姆 )
B C = w C,称为容纳，单位为 S
频率和容抗成反比,
w?0,|XC|?? 直流开路 (隔直 )
w ??,|XC|?0 高频短路 (旁路作用 )
w
|XC|
容抗与容纳：
相量表达式,
UCjUjBI
I
C
jIjXU
C
C
???
???
w
w
??
?
??
1
功率：
)(2s i n
)s i n ()c o s (2
uC
uuC
CC
ΨtωUI
ΨtωΨtωUI
uip
??
???
?
w t
iC
O
u
pC
2?
瞬时功率以 2w交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消
U?
CI?
?u
波形图及相量图,电流超前电
压 900
4,基尔霍夫定律的相量形式
? ? 0)( ti
同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行
计算 。 因此, 在正弦电流电路中, KCL和 KVL可用相应
的相量形式表示：
上式表明：流入某一节点的所有正弦电流用相量表
示时仍满足 KCL；而任一回路所有支路正弦电压用相量
表示时仍满足 KVL。
? ?? ? ???? 02Re)( 21 tjeIIti w???
? ? 0I?
? ? 0)( tu ? ? 0U?
?? )5( Cj
I
U
C
C w
?
?
例
1
试判断下列表达式的正、误：
Liju )1( w?
005 c o s5 )2( ??? ti w
mCUjI )3( m w??
L
L
I
UX
?
?
?L )4(
LILjU ?? )6( L w?
dt
diCu ? )7(
U? I?
mU?
m
m
I
U
I
U ?
Cjw
1
L
例
2
A1 A2
A0
Z1 Z2
U?
已知电流表读数,A1 ＝ 8A A2 ＝ 6A
CjXZRZ ??? 21,1 ）（若
A0 ＝?
为何参数）（ 21,2 ZRZ ?
A0 ＝ I0max=?
为何参数）（ 21,3 ZjXZ L? A0 ＝ I0min=?
为何参数）（ 21,4 ZjXZ L?
解 AI 1068 1 22
0 ???）（
1,IU ??
2I? 0I
?
AIZ 1468 2 m a x02 ???为电阻，）（
AIjXZ C 268,3 m i n02 ????）（
A0 ＝ A1 A2 ＝?
AIAIIjXZ C 16,8,4 2102 ????）（
例
2
)(:),5c o s (2120 tit u ( t ) 求已知 ? +
_
15?u
4H
0.02Fi
解 00120 ??U?
???? 2054 jjjX L
??????? 1002.05 1 jjjX C
相量模型
U?
j20?
-j15?
1I? 2I?
+
_
15?
3I?
I?
CL
CLR jX
U
jX
U
R
UIIII
???????
???????
Ajjj
jj
09.3610681268
10
1
20
1
15
1
120
???????
??
?
?
??
?
?
???
At i ( t ) )9.365c o s (210 0??
例
3
)(:),1510c o s (25 06 tuti ( t ) S求已知 ?? +
_
5?
uS 0.2?F
i
解 0155??I?
???????? ? 5102.010 1 66 jjjX C
? ?
V
jUUU CRS
000
0
302254525155
55155
????????
????? ???
相量模型
+
_
5?
SU?
I?
-j5?
RUI ??,
CU?
SU?CU
?
例
4
,78,50 ??? BCACAB UVUVU 问：已知
j40?
jXL
30?
C
BA
I?
解
IIIU AB 50)40()30( 22 ???
VUVUAI LR 40,30,1 ???
22 )40()30(78 BCAC UU ????
VU BC 3240)30()78( 22 ????
Ij ?40
I?30
BCU?
ABU?
ACU?
例
5
图示电路 I1=I2同 =5A,U＝ 50V，总电压与总电流同相
位，求 I,R,XC,XL。
00 ?? CC UU?设
U?
-jXC
1I? 2I?
+
_
R
I? -jXL
UC
+
-
解
5,05 201 jII ??? ??
0452555 ???? jI?
)1(2505)55(4550 0 jRjXjU L ?????????
252505 ??? LL XX
???????? 2102502552505 CXRR
也可以画相量图计算
令等式两边实部等于实部，虚部等于虚部
例
5
图示为 RC选频网络，试求 u1和 u0同相位的条件及?
0
1 ?
U
U
?
?
-jXC
－
R
－
＋
＋
R uo
u1
-jXC
