第五章 含运算放大器
的电阻电路
?重点
（ 1）理想运算放大器的外部特性；
（ 2）含理想运算放大器的电阻电路分析；
（ 3）熟悉一些典型的电路；
? 运算放大器 (operational amplifier)
是一种有着十分广泛用途的电子器件 。 最早开始应
用于 1940年, 1960年后, 随着集成电路技术的发展, 运
算放大器逐步集成化, 大大降低了成本, 获得了越来越
广泛的应用 。
5.1 运算放大器的电路模型
1,简介
? 应用 主要用于模拟计算机，可模拟加、减、积分等
运算，对电路进行模拟分析。在信号处理、测
量及波形产生方面也获得广泛应用。
? 电路
输
入
级
偏置
电路
中间级
用以电
压放大
输
出
级
输入端 输出端
? 符号
7
6
54
3
2
1
+15V
－ 15V
8个管脚,2：反相输入端3：同相输入端
4,7：电源端
6：输出端
1,5：外接调零电位器
8：空脚
单
向
放
大
+
__
+
u+
u- +
_uo
a
o
+
_
ud
_
+
A
+b
? 电路 符号
a,反向输入端，输入电压 u－
b,同向 输入端，输入电压 u+
o,输出端,输出电压 uo
在电路符号图中一般不画出直流电
源端, 而只有 a,b,o三端和接地端 。
其中参考方向如图所示, 每一点均为对地的电压, 在接
地端未画出时尤须注意 。
A,开环电压放大倍数, 可达
十几万倍
,公共端 (接地端 )
在 a,b 间加一电压 ud =u+-u-，
可得输出 uo和输入 ud之间的转
移特性曲线如下：
分三个区域：
① 线性工作区：
|ud| <?=Usat/A,则 uo=Aud
② 正向饱和区：
③ 反向饱和区：
ud> ? 则 uo= Usat
ud<-? 则 uo= -Usat
2,运算放大器的静特性
?是一个数值很小的电压, 例如
Usat=13V,A=105,则 ?=0.13mV。
Usat
-Usat
?-?
Uo/V
Ud/mVO
实际特性
近似特性
a
u+
u-
uo
o
+
_
ud
_
+
A
+
b
3,电路模型
输入电阻
输出电阻
当, u+= 0,则 uo=－ Au－
当, u－ = 0,则 uo=Au＋
在线性放大区，将运放电路
作如下的理想化处理：
① A??
uo为有限值，则 ud=0,即 u+=u-，两个
输入端之间相当于短路 (虚短路 )；
② Ri ??
4,理想运算放大器
i+=0,i－ =0。 即从输入端看进去，
元件相当于开路 (虚断路 )。
+
_A(u+-u-)
Ro
Ri
u+
u- ＋
－
uo
5.2 含运算放大器的电路的分析
1,反相比例器
运放开环工作极不稳定, 一般外部接若干元件 (R,C
等 ),使其工作在闭环状态 。
R1
Ri
Rf
Ro
Au1+_
+
_
u1
+
_
uo
+
_ui
RL
运放等效电路
21
+
_
uo
_
+
A
++
_ui
R1
Rf
RL
1 2
用结点法分析,(电阻用电导表示 )
(G1+Gi+Gf)un1-Gf un2=G1ui
-Gf un1＋ (Gf+Go+GL)un2
=GoAu1
u1=un1
整理，得
(G1+Gi+Gf)un1-Gfun2=G1ui
(-Gf +GoA)un1＋ (Gf+Go+GL)un2 =0
解得
i
Lffi1fOf
fOf
f
1
n2o )o( )()(
)( u
GGGGGGGAGG
GAGG
G
Guu
??????
?????
ui
R1
Ri
Rf
Ro
Au1+_
+
_
u1
+
_
uo
+
_
RL
运放等效电路
21
i
Lffi1fOf
fOf
f
1
n2o )o( )()(
)(
u
GGGGGGGAGG
GAGG
G
G
uu
??????
?
???
因 A一般很大, 上式中分母中 Gf(AGo-Gf)一项的值比 (G1+
Gi + Gf) (G1+ Gi + Gf)要大得多 。 所以, 后一项可忽略, 得
i
1
f
i
f
1
o uR
Ru
G
Gu ????
近似结果可将运放看作理想情况而得到。
表明 uo / ui只取决于反馈电阻 Rf与 R1比值, 而与放大器本
身的参数无关 。 负号表明 uo和 ui总是符号相反 (反相比例器 )。
根据理想运放的特性分析,(1) 根据“虚短”：
（ 2）根据“虚断”：
i
1
f
o uR
Ru ???
(1) 当 R1 和 Rf 确定后, 为使 uo 不超过饱和电压 (即保证
工作在线性区 ),对 ui有一定限制 。
(2) 运放工作在开环状态极不稳定，振荡在饱和区 ;工作在闭环
状态，输出电压由外电路决定。 ( Rf 接在输出端和反相输
入端,称为负反馈 )。
注意
u+ = u- =0,i1= ui/R1
i2= -uo /Rf
i-= 0,i2= i1
+
_
uo
_
+
?
++
_
ui
R1
Rf
RL
i1
i2
u+
u-
2,加法器
比例加法器, y =a1x1+a2x2+a3x3,符号如下图：
ui1/R1+ ui2 /R2+ ui3 /R3
=-uo /Rf
uo= -(Rf /R1 ui1 +Rf /R2 ui2+Rf /R3 ui3)
u-= u+=0
i-=0
+
_uo
_
+
?
+
R2
Rf
i-
u+
u-
R1
R3
ui1
ui2
ui3
x1 a
1
a2
a3
-1-y yx2x3
3,正相比例器
u+= u-= ui
i+= i-= 0
uo =[(R1 + R2)/R2 ] ui
=(1+ R1/R2) ui
_
+
?
+Ri
ui R1R
2
u+
u-
i-
+
_
uo+
_
i+
(uo-u-)/R1= u-/R2
根据“虚短”和“虚断”
结论
（ 1） uo与 ui同相
（ 2）当 R2=?,R1=0时,uo=ui，
为电压跟随器
（ 3）输入、输出关系与运放
本身参数无关。
4,电压跟随器
特点,① 输入阻抗无穷大 (虚断 )；
② 输出阻抗为零；
应用：在电路中起隔离前后两级电路的作用。
③ uo= ui。
电
路
A
电
路
B
_
+
?
+ +
_
+
_ui uo
例
1
21
22 uRR Ru ??
1
21
22 uRR Ru ??
可见，加入跟随器后，隔离了前后两级电路的相互影响。
R2 RL
R1
+
_
u2
+
_u1
_
+
?
+
+
_
u1
R1
R2 RL
+
_u2
A
电
路
5,减法运算
+
_uo
_
+
?
+
R2
Rf
i-
u+
u-
R1
R3
ui1
ui2
i1
if u
-=u+
i-=i+=0
i1= if
32
3
RR
R
uuu
?
?? ?? i2
fR
uu
R
uui o
1
i1
1
???? ??
解得：
1
1
132
3
0 1 R
R
u
R
R
RR
Ruu ff
ii2 )( ????
1
10321 R
R
uuuRRRR f)(,ii2f ????当
5,积分运算 u-=0
i-=0
iR= iC
积分环节 ?? dtxy
C
+
_uo
_
+
?
++
_ui
R
iC
i-
u-
iR
tu
RC
u d1 io ???
x -y y-1?
t
uC
R
u
d
d oi ??
6,微分运算
C +
_uo
_
+
?
++
_ui
R
iC i-
u-
iR u-=0
i-=0
iR= iC
t
uRCu i
d
d
o ??
t
uC
R
u
d
d io ??
例
+
_
uo
_
+
?
++
_4V
4R
2R
i1
i2
u+
u-
求 uo
解
Vu
R
u
R
2
24
4
0
??
?? o
例
+
_
uo
_
+
?
++
_
6V
R
R
i
u+
u-
R
R +
_
uo
_
+
?
++
_3V
3/2R
R
Vu 20 ??
+
uo
_
+
?
+
+
6V
R
_
+
?
+
_
+
?
+
3V
+
R
R
R
u4
u3
u2
u1
例 求 uo
Vu
Vu
3
6
2
1
?
?
解
Vuuu 512243,/ ???
R
uu
R
uu o??? 331
Vuuu 3362 310 ????????
练习 设计一个用运放和电阻组成的电路，其输出电压为：
2x－ y－ z
其中 x,y,z 分别表示三个输入电压的值，设 x,y,z不超过
10V,同时要求每一个电阻的功率不超过 0.5W,确定各电阻
的值。
+
_uo
_
+
?
+
R
R
R
2R
uz
ux
Ru
y
的电阻电路
?重点
（ 1）理想运算放大器的外部特性；
（ 2）含理想运算放大器的电阻电路分析；
（ 3）熟悉一些典型的电路；
? 运算放大器 (operational amplifier)
是一种有着十分广泛用途的电子器件 。 最早开始应
用于 1940年, 1960年后, 随着集成电路技术的发展, 运
算放大器逐步集成化, 大大降低了成本, 获得了越来越
广泛的应用 。
5.1 运算放大器的电路模型
1,简介
? 应用 主要用于模拟计算机，可模拟加、减、积分等
运算，对电路进行模拟分析。在信号处理、测
量及波形产生方面也获得广泛应用。
? 电路
输
入
级
偏置
电路
中间级
用以电
压放大
输
出
级
输入端 输出端
? 符号
7
6
54
3
2
1
+15V
－ 15V
8个管脚,2：反相输入端3：同相输入端
4,7：电源端
6：输出端
1,5：外接调零电位器
8：空脚
单
向
放
大
+
__
+
u+
u- +
_uo
a
o
+
_
ud
_
+
A
+b
? 电路 符号
a,反向输入端，输入电压 u－
b,同向 输入端，输入电压 u+
o,输出端,输出电压 uo
在电路符号图中一般不画出直流电
源端, 而只有 a,b,o三端和接地端 。
其中参考方向如图所示, 每一点均为对地的电压, 在接
地端未画出时尤须注意 。
A,开环电压放大倍数, 可达
十几万倍
,公共端 (接地端 )
在 a,b 间加一电压 ud =u+-u-，
可得输出 uo和输入 ud之间的转
移特性曲线如下：
分三个区域：
① 线性工作区：
|ud| <?=Usat/A,则 uo=Aud
② 正向饱和区：
③ 反向饱和区：
ud> ? 则 uo= Usat
ud<-? 则 uo= -Usat
2,运算放大器的静特性
?是一个数值很小的电压, 例如
Usat=13V,A=105,则 ?=0.13mV。
Usat
-Usat
?-?
Uo/V
Ud/mVO
实际特性
近似特性
a
u+
u-
uo
o
+
_
ud
_
+
A
+
b
3,电路模型
输入电阻
输出电阻
当, u+= 0,则 uo=－ Au－
当, u－ = 0,则 uo=Au＋
在线性放大区，将运放电路
作如下的理想化处理：
① A??
uo为有限值，则 ud=0,即 u+=u-，两个
输入端之间相当于短路 (虚短路 )；
② Ri ??
4,理想运算放大器
i+=0,i－ =0。 即从输入端看进去，
元件相当于开路 (虚断路 )。
+
_A(u+-u-)
Ro
Ri
u+
u- ＋
－
uo
5.2 含运算放大器的电路的分析
1,反相比例器
运放开环工作极不稳定, 一般外部接若干元件 (R,C
等 ),使其工作在闭环状态 。
R1
Ri
Rf
Ro
Au1+_
+
_
u1
+
_
uo
+
_ui
RL
运放等效电路
21
+
_
uo
_
+
A
++
_ui
R1
Rf
RL
1 2
用结点法分析,(电阻用电导表示 )
(G1+Gi+Gf)un1-Gf un2=G1ui
-Gf un1＋ (Gf+Go+GL)un2
=GoAu1
u1=un1
整理，得
(G1+Gi+Gf)un1-Gfun2=G1ui
(-Gf +GoA)un1＋ (Gf+Go+GL)un2 =0
解得
i
Lffi1fOf
fOf
f
1
n2o )o( )()(
)( u
GGGGGGGAGG
GAGG
G
Guu
??????
?????
ui
R1
Ri
Rf
Ro
Au1+_
+
_
u1
+
_
uo
+
_
RL
运放等效电路
21
i
Lffi1fOf
fOf
f
1
n2o )o( )()(
)(
u
GGGGGGGAGG
GAGG
G
G
uu
??????
?
???
因 A一般很大, 上式中分母中 Gf(AGo-Gf)一项的值比 (G1+
Gi + Gf) (G1+ Gi + Gf)要大得多 。 所以, 后一项可忽略, 得
i
1
f
i
f
1
o uR
Ru
G
Gu ????
近似结果可将运放看作理想情况而得到。
表明 uo / ui只取决于反馈电阻 Rf与 R1比值, 而与放大器本
身的参数无关 。 负号表明 uo和 ui总是符号相反 (反相比例器 )。
根据理想运放的特性分析,(1) 根据“虚短”：
（ 2）根据“虚断”：
i
1
f
o uR
Ru ???
(1) 当 R1 和 Rf 确定后, 为使 uo 不超过饱和电压 (即保证
工作在线性区 ),对 ui有一定限制 。
(2) 运放工作在开环状态极不稳定，振荡在饱和区 ;工作在闭环
状态，输出电压由外电路决定。 ( Rf 接在输出端和反相输
入端,称为负反馈 )。
注意
u+ = u- =0,i1= ui/R1
i2= -uo /Rf
i-= 0,i2= i1
+
_
uo
_
+
?
++
_
ui
R1
Rf
RL
i1
i2
u+
u-
2,加法器
比例加法器, y =a1x1+a2x2+a3x3,符号如下图：
ui1/R1+ ui2 /R2+ ui3 /R3
=-uo /Rf
uo= -(Rf /R1 ui1 +Rf /R2 ui2+Rf /R3 ui3)
u-= u+=0
i-=0
+
_uo
_
+
?
+
R2
Rf
i-
u+
u-
R1
R3
ui1
ui2
ui3
x1 a
1
a2
a3
-1-y yx2x3
3,正相比例器
u+= u-= ui
i+= i-= 0
uo =[(R1 + R2)/R2 ] ui
=(1+ R1/R2) ui
_
+
?
+Ri
ui R1R
2
u+
u-
i-
+
_
uo+
_
i+
(uo-u-)/R1= u-/R2
根据“虚短”和“虚断”
结论
（ 1） uo与 ui同相
（ 2）当 R2=?,R1=0时,uo=ui，
为电压跟随器
（ 3）输入、输出关系与运放
本身参数无关。
4,电压跟随器
特点,① 输入阻抗无穷大 (虚断 )；
② 输出阻抗为零；
应用：在电路中起隔离前后两级电路的作用。
③ uo= ui。
电
路
A
电
路
B
_
+
?
+ +
_
+
_ui uo
例
1
21
22 uRR Ru ??
1
21
22 uRR Ru ??
可见，加入跟随器后，隔离了前后两级电路的相互影响。
R2 RL
R1
+
_
u2
+
_u1
_
+
?
+
+
_
u1
R1
R2 RL
+
_u2
A
电
路
5,减法运算
+
_uo
_
+
?
+
R2
Rf
i-
u+
u-
R1
R3
ui1
ui2
i1
if u
-=u+
i-=i+=0
i1= if
32
3
RR
R
uuu
?
?? ?? i2
fR
uu
R
uui o
1
i1
1
???? ??
解得：
1
1
132
3
0 1 R
R
u
R
R
RR
Ruu ff
ii2 )( ????
1
10321 R
R
uuuRRRR f)(,ii2f ????当
5,积分运算 u-=0
i-=0
iR= iC
积分环节 ?? dtxy
C
+
_uo
_
+
?
++
_ui
R
iC
i-
u-
iR
tu
RC
u d1 io ???
x -y y-1?
t
uC
R
u
d
d oi ??
6,微分运算
C +
_uo
_
+
?
++
_ui
R
iC i-
u-
iR u-=0
i-=0
iR= iC
t
uRCu i
d
d
o ??
t
uC
R
u
d
d io ??
例
+
_
uo
_
+
?
++
_4V
4R
2R
i1
i2
u+
u-
求 uo
解
Vu
R
u
R
2
24
4
0
??
?? o
例
+
_
uo
_
+
?
++
_
6V
R
R
i
u+
u-
R
R +
_
uo
_
+
?
++
_3V
3/2R
R
Vu 20 ??
+
uo
_
+
?
+
+
6V
R
_
+
?
+
_
+
?
+
3V
+
R
R
R
u4
u3
u2
u1
例 求 uo
Vu
Vu
3
6
2
1
?
?
解
Vuuu 512243,/ ???
R
uu
R
uu o??? 331
Vuuu 3362 310 ????????
练习 设计一个用运放和电阻组成的电路，其输出电压为：
2x－ y－ z
其中 x,y,z 分别表示三个输入电压的值，设 x,y,z不超过
10V,同时要求每一个电阻的功率不超过 0.5W,确定各电阻
的值。
+
_uo
_
+
?
+
R
R
R
2R
uz
ux
Ru
y
