1
第二节 逻辑函数的化简
二,图形法化简
1 卡诺图
2 用卡诺图表示逻辑函数
4 利用 卡诺图化简逻辑函数
3 在 卡诺图合并最小项的规律
2
复习
与或表达式最简的标准是什么？
公式化简法的优点？局限性？
3
二,图形法化简
公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。
缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简
有时不易判断。
利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它
克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函
数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方
法。
卡诺图的基本组成单元是最小项，所以我们先讨
论最小项。
4
（ 1） 最小项
具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘
积项为三变量 A,B,C的最小项。
设 A,B,C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变
量按以下规则构成乘积项：
① 每个乘积项都只含三个因子, 且每个变量都是
它的一个因子；
②每个变量都以反变量 (A,B,C)或以原变量 (A、
B,C)的形式出现一次，且仅出现一次。
AB是三变量函数的最小项吗？
ABBC是三变量函数的最小项吗？
推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，
因此 N个变量共有 2N个最小项。
1.卡诺图
5
最小项的定义,对于 N个变量，如果 P是一个含有 N
个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反
变量的形式，作为一个因子在 P中出现且仅出现一次，
那么就称 P是这 N个变量的一个最小项。
表 2-17 三变量最小项真值表
6
（ 2） 最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它
的值为 1，而变量取其余各组值时，该最小项均为 0；
②任意两个不同的最小项之积恒为 0；
③变量全部最小项之和恒为 1。
7
最小项也可用, mi” 表示，下标, i”即最小项
的编号。编号方法：把最小项取值为 1所对应的那
一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进
制数，就是该最小项的编号。
表 2-18 三变量最小项的编号表
8
卡诺图
（ 1） 卡诺图及其构成原则
卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方
框图。构成卡诺图的原则是：
① N变量的卡诺图有 2N个小方块（最小项）；
② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。
逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不
同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。
几何相邻的含义：
一是相邻 —— 紧挨的；
二是相对 —— 任一行或一列的两头；
三是相重 —— 对折起来后位置相重。
在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断
某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。
9
图 2-11 三变量卡诺图的画法
（ 2） 卡诺图的画法
首先讨论三变量 （ A,B,C） 函数卡诺图的画
法。
① 3变量的卡诺图
有 23个小方块；
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的
取值按 00,01,11、
10的顺序（循环码 ）
排列 。
相邻
相邻
10
图 2-12 四变量卡诺图的画法
相邻 相邻
不
相邻
正确认识卡诺
图的“逻辑相邻”：
上下相邻，左右相
邻，并呈现“循环
相邻”的特性，它
类似于一个封闭的
球面，如同展开了
的世界地图一样。
对角线上不相
邻。
11
（ 3）最小项表达式
任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的
形式 —— 标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，
就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例,将 Y=AB+BC展开成最小项表达式。
解：
BCAA BCCAB
BCAACCABBCABY
???
?????? )()(
??
???
)7,6,3(
),,( 763
m
mmmCBAY
或：
12
（ 1） 从真值表画卡诺图
根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一
个小方块的值（ 0或 1）即可。需注意二者顺序不同。
例 2-8 已知 Y的真值表，要求画 Y的卡诺图。
表 2-19 逻辑函数 Y的真值表
2.用卡诺图表示逻辑函数
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
图 2-13 例 2-8的卡诺图
13
（ 2） 从最小项表达式画卡诺图
把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入
1，其余的小方块中填入 0。
例 2-9 画出函数 Y(A,B,C,D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15)
的卡诺图。
图 2-14 例 1-9的卡诺图
14
（ 3） 从与－或表达式画卡诺图
把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项
就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上
1，剩下的填 0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
1 1 1 1AB＝ 11
例 已知 Y＝ AB＋ ACD＋ ABCD，画卡诺图。
最后将 剩
下的 填 0
1
+1 ACD=101
1 ABCD=0111
15
（ 4） 从一般形式表达式画卡诺图
先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。
??
????
???
?
)15,14,13,12(
))((
1
m
A B C DDA B CDCABDCAB
DDCCAB
ABY
??
??
??
?
)13,9(
)(
2
m
DCABDCBA
DCBBA
DCAY
7
3
m
B C DAY
?
?
16
（ 1） 卡诺图中最小项合并的规律
合并相邻最小项, 可消去变量 。
合并两个最小项, 可消去一个变量；
合并四个最小项, 可消去两个变量；
合并八个最小项, 可消去三个变量 。
合并 2N个最小项，可消去 N个变量。
3.在 卡诺图中合并最小项的规律
由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量
取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻
最小项，利用公式 A+A=1,AB＋ AB＝ A,可以消去
一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。
17
图 2-15 两个最小项合并
m3
m11
BC
D
18
图 2-16 四个最小项合并
19图 2-17 八个最小项合并
20
A．基本步骤：
① 画出逻辑函数的卡诺图；
② 合并相邻最小项 （ 圈组 ） ；
③ 从圈组写出最简与或表达式 。
关键是能否正确圈组 。
B．正确圈组的原则
① 必须按 2,4,8,2N的规律来圈取值为 1的相
邻最小项；
② 每个取值为 1的相邻最小项至少必须圈一次,
但可以圈多次；
③ 圈的个数要最少 （ 与项就少 ）, 并要尽可能
大 （ 消去的变量就越多 ） 。
4.利用卡诺图化简逻辑函数
21
C．从圈组写最简与或表达式的方法：
① 将每个圈用一个与项表示
圈内各最小项中互补的因子消去,
相同的因子保留,
相同取值为 1用原变量,
相同取值为 0用反变量；
② 将各与项相或, 便得到最简与或表达式 。
22
例,用卡诺图化简逻辑函数
Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)
解：
相邻
A
23
相邻
BC
A
24
BC
A
B
D
DBCBAY ???
25
例,化简图示逻辑函数 。
解：
多余
的圈
A B CDCACBACDAY ????
1
1
2
2
3
3
4
4
26
圈组技巧 (防止多圈组的方法 )：
① 先圈孤立的 1；
② 再圈只有一种圈法的 1；
③ 最后圈大圈；
④ 检查：每个圈中至少有一个 1未被其它圈
圈过 。
27
作业题
2-9
2-10
第二节 逻辑函数的化简
二,图形法化简
1 卡诺图
2 用卡诺图表示逻辑函数
4 利用 卡诺图化简逻辑函数
3 在 卡诺图合并最小项的规律
2
复习
与或表达式最简的标准是什么？
公式化简法的优点？局限性？
3
二,图形法化简
公式化简法评价：
优点：变量个数不受限制。
缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简
有时不易判断。
利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它
克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。
卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函
数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方
法。
卡诺图的基本组成单元是最小项，所以我们先讨
论最小项。
4
（ 1） 最小项
具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘
积项为三变量 A,B,C的最小项。
设 A,B,C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变
量按以下规则构成乘积项：
① 每个乘积项都只含三个因子, 且每个变量都是
它的一个因子；
②每个变量都以反变量 (A,B,C)或以原变量 (A、
B,C)的形式出现一次，且仅出现一次。
AB是三变量函数的最小项吗？
ABBC是三变量函数的最小项吗？
推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，
因此 N个变量共有 2N个最小项。
1.卡诺图
5
最小项的定义,对于 N个变量，如果 P是一个含有 N
个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反
变量的形式，作为一个因子在 P中出现且仅出现一次，
那么就称 P是这 N个变量的一个最小项。
表 2-17 三变量最小项真值表
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（ 2） 最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它
的值为 1，而变量取其余各组值时，该最小项均为 0；
②任意两个不同的最小项之积恒为 0；
③变量全部最小项之和恒为 1。
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最小项也可用, mi” 表示，下标, i”即最小项
的编号。编号方法：把最小项取值为 1所对应的那
一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进
制数，就是该最小项的编号。
表 2-18 三变量最小项的编号表
8
卡诺图
（ 1） 卡诺图及其构成原则
卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方
框图。构成卡诺图的原则是：
① N变量的卡诺图有 2N个小方块（最小项）；
② 最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。
逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不
同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。
几何相邻的含义：
一是相邻 —— 紧挨的；
二是相对 —— 任一行或一列的两头；
三是相重 —— 对折起来后位置相重。
在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断
某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。
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图 2-11 三变量卡诺图的画法
（ 2） 卡诺图的画法
首先讨论三变量 （ A,B,C） 函数卡诺图的画
法。
① 3变量的卡诺图
有 23个小方块；
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的
取值按 00,01,11、
10的顺序（循环码 ）
排列 。
相邻
相邻
10
图 2-12 四变量卡诺图的画法
相邻 相邻
不
相邻
正确认识卡诺
图的“逻辑相邻”：
上下相邻，左右相
邻，并呈现“循环
相邻”的特性，它
类似于一个封闭的
球面，如同展开了
的世界地图一样。
对角线上不相
邻。
11
（ 3）最小项表达式
任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的
形式 —— 标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，
就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。
例,将 Y=AB+BC展开成最小项表达式。
解：
BCAA BCCAB
BCAACCABBCABY
???
?????? )()(
??
???
)7,6,3(
),,( 763
m
mmmCBAY
或：
12
（ 1） 从真值表画卡诺图
根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一
个小方块的值（ 0或 1）即可。需注意二者顺序不同。
例 2-8 已知 Y的真值表，要求画 Y的卡诺图。
表 2-19 逻辑函数 Y的真值表
2.用卡诺图表示逻辑函数
A B C Y
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
图 2-13 例 2-8的卡诺图
13
（ 2） 从最小项表达式画卡诺图
把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入
1，其余的小方块中填入 0。
例 2-9 画出函数 Y(A,B,C,D)= ∑m(0,3,5,7,9,12,15)
的卡诺图。
图 2-14 例 1-9的卡诺图
14
（ 3） 从与－或表达式画卡诺图
把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项
就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上
1，剩下的填 0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。
1 1 1 1AB＝ 11
例 已知 Y＝ AB＋ ACD＋ ABCD，画卡诺图。
最后将 剩
下的 填 0
1
+1 ACD=101
1 ABCD=0111
15
（ 4） 从一般形式表达式画卡诺图
先将表达式变换为与或表达式，则可画出卡诺图。
??
????
???
?
)15,14,13,12(
))((
1
m
A B C DDA B CDCABDCAB
DDCCAB
ABY
??
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)13,9(
)(
2
m
DCABDCBA
DCBBA
DCAY
7
3
m
B C DAY
?
?
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（ 1） 卡诺图中最小项合并的规律
合并相邻最小项, 可消去变量 。
合并两个最小项, 可消去一个变量；
合并四个最小项, 可消去两个变量；
合并八个最小项, 可消去三个变量 。
合并 2N个最小项，可消去 N个变量。
3.在 卡诺图中合并最小项的规律
由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量
取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻
最小项，利用公式 A+A=1,AB＋ AB＝ A,可以消去
一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。
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图 2-15 两个最小项合并
m3
m11
BC
D
18
图 2-16 四个最小项合并
19图 2-17 八个最小项合并
20
A．基本步骤：
① 画出逻辑函数的卡诺图；
② 合并相邻最小项 （ 圈组 ） ；
③ 从圈组写出最简与或表达式 。
关键是能否正确圈组 。
B．正确圈组的原则
① 必须按 2,4,8,2N的规律来圈取值为 1的相
邻最小项；
② 每个取值为 1的相邻最小项至少必须圈一次,
但可以圈多次；
③ 圈的个数要最少 （ 与项就少 ）, 并要尽可能
大 （ 消去的变量就越多 ） 。
4.利用卡诺图化简逻辑函数
21
C．从圈组写最简与或表达式的方法：
① 将每个圈用一个与项表示
圈内各最小项中互补的因子消去,
相同的因子保留,
相同取值为 1用原变量,
相同取值为 0用反变量；
② 将各与项相或, 便得到最简与或表达式 。
22
例,用卡诺图化简逻辑函数
Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)
解：
相邻
A
23
相邻
BC
A
24
BC
A
B
D
DBCBAY ???
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例,化简图示逻辑函数 。
解：
多余
的圈
A B CDCACBACDAY ????
1
1
2
2
3
3
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圈组技巧 (防止多圈组的方法 )：
① 先圈孤立的 1；
② 再圈只有一种圈法的 1；
③ 最后圈大圈；
④ 检查：每个圈中至少有一个 1未被其它圈
圈过 。
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作业题
2-9
2-10
