2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 1
测 量 学
第 6章
测量误差及数据处理的基本知识
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第 6章 测量误差及数据处理的基本知识
§ 6.1 概述
§ 6.2 测量误差的种类
§ 6.3 偶然误差的特性及其概率密度函数
§ 6.4 衡量观测值精度的指标
§ 6.5 误差传播定律
§ 6.6 同精度直接观测平差
§ 6.7 不同精度直接观测平差
§ 6.8 最小二乘法原理及其应用
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◆ 测量与观测值
◆ 观测 与观测值的分类
● 观测条件
● 等精度观测和不等精度观测
● 直接观测和间接观测
● 独立观测和非独立观测
§ 6.1 测量误差概述
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§ 6.1 测量误差概述
◆ 测量误差及其来源
● 测量误差的来源
（ 1） 仪器误差,仪器精度的局限、轴系残余误差等。
（ 2） 人为误差,判断力和分辨率的限制、经验等。
（ 3） 外界条件的影响,温度变化、风、大气折光等
● 测量误差的表现形式
● 测量误差（真误差 ?=观测值 -真值 ） Xl ???
?
?
?
???
???
jiij ll
Xl
（观测值与真值之差）
（观测值与观测值之差）
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例,误差 处理方法
钢尺尺长误差 ?ld 计算改正
钢尺温度误差 ?lt 计算改正
水准仪视准轴误差 I 操作时抵消 (前后视等距 )
经纬仪视准轴误差 C 操作时抵消 (盘左盘右取平均 )
…… ……
2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有 积累性 。
● 系统误差可以消除或减弱 。
(计算改正、观测方法、仪器检校 )
测量误差分为,粗差, 系统误差 和 偶然误差
§ 6.2 测量误差的种类
1.粗差 (错误 )—— 超限的误差
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3.偶然误差 —— 误差出现的大小、符号各不相同,
表面看无规律性。
例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差,
导致观测值产生误差 ? 。
● 准确度 (测量成果与真值的差异 ）
● 最或是值 （最接近真值的估值，最可靠值）
● 测量平差 （求解最或是值并评定精度）
4.几个概念,
● 精（密）度 （观测值之间的离散程度）
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举例,
在某测区，等精度观测了 358个三角形的内
角之和，得到 358个三角形闭合差 ?i(偶然误
差，也即真误差 ),然后对三角形闭合差 ?i
进行分析。
分析结果表明,当观测次数很多时，偶然
误差的出现，呈现出统计学上的规律性。 而
且，观测次数越多，规律性越明显。
§ 6.3 偶然误差的特性
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用 频率直方图 表示的偶然误差统计,
?频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近,
对称于 y轴。
?频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区
间的频率 k/n，而所有条形的 总面积等于 1。
?各条形顶边中点
连线经光滑后的曲
线形状，表现出偶
然误差的普遍规律
图 6-1 误差统计直方图
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◆ 从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误
差的 四个特性,
?特性 (1),(2),(3)决定了特性 (4),特性 (4)具有实用意义。
3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定
的限值 (有界性 )；
(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多 (趋向性 )；
(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等 (对称性 )；
(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
(抵偿性 ),
? ? 0limlim 21 ?????????
???? nn n
n
n
?
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?偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数 n无限增多 (n→∞), 误差区间 d?无限缩小
(d?→0) 时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线,
这条曲线称为
“正态分布曲
线”，又称为
,高斯误差分
布曲线, 。
所以偶然误差
具有 正态分布
的特性。
图 6-1 误差统计直方图
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1.方差与标准差
?由正态分布密度函数
? ?
? ?
2
2
2
2
1
?
??
?
ax
ex
?
?
?
式中, 为常数； a ? =2.72828… e
x=?
y
正态分布曲线 (a=0)
令：,上式为,ax ???
2
2
2
2
1
)( ?
??
?
?
??? efy
§ 6.4 衡量精度的指标
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?标准差 的数学意义 ?
2
2
2
2
1
)( ?
??
?
?
??? efy
? 表示 ?的
离散程度
x=?
y
? 较小
较大 ?
nn nn
][
lim
][
lim
2 ??
??
?
??
????
?
? 称为 标准差,
nn n
n
n
][
limlim
222
2
2
12 ?????????
????
?
?
2?上式中,称为 方差,
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?测量工作中，用 中误差 作为衡量观测值精度的标准。
中误差,
观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形,
nn
][
lim
??
??
??
?
?
上式中，偶然误差 ?为观测值 ?与真值 X之差,
观测次数 n有限 时，用 中误差 m表示偶然误差的离散情形,
nn
m n
][22221 ??
??
??????
??
?
?i=?i - X
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P123表 5-2
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? m1小于 m2,说明第一组观测值的误差分布比较 集中,
其 精度较高 ；相对地，第二组观测值的误差分布比
较 离散,其 精度较低,
? m1=?2.7?是第一组观测值的中误差；
m2=?3.6?是第二组观测值的中误差。
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2.容许误差 (极限误差 )
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间 d?内的概
率为,
??????
?
?
de
m
dfP m
2
2
2
2
1
)()(
?
误差出现在 K倍 中误差区间内的 概率为,
?
?
?
?
?
????
km
km
m de
m
kmP
2
2
2
2
1
)(
?
将 K=1,2,3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率,
P(|?|? m)=0.683=68.3 ?
P(|?|?2m)=0.954=95.4 ?
P(|?|?3m)=0.997=99.7 ?
? 测量中,一般取 两倍中误差 (2m)作为 容许误差,也称为 限差,
|?容 |=3|m| 或 |?容 |=2|m|
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3.相对误差 (相对中误差 )
—— 误差绝对值与观测量之比。
? 用于表示 距离 的精度。
? 用分子为 1的分数表示。
? 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
K2<K1，所以距离 S2精度较高。
例 2,用钢尺丈量两段距离分别得 S1=100米,m1=0.02m；
S2=200米,m2=0.02m。计算 S1,S2的相对误差。
0.02 1 0.02 1 K
1=—— =—— ； K2= —— = —— 100 5000 200 10000 解,
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一,一般函数的中误差
令 的系数为, (c)式为,
ix?
i
i x
Ff
?
??
由于 和 是一个很小的量，可 代替 上式中的 和,
ix?
??
idx
dz
n
n
x
x
Fx
x
Fx
x
F ?
?
????
?
???
?
???? ?
2
2
1
1
(c) 代入 (b)得
对 (a)全微分,
n
n
dx
x
Fdx
x
Fdx
x
FdZ
?
???
?
??
?
?? ?
2
2
1
1
(b)
设有函数,
),,,( 21 nxxxFZ ??
为 独立 观测值
ix
设 有真误差,函数 也产生真误差
ix?ix Z ??
(a)
§ 6.5 误差传播定律
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)()(
22
)(
11
)(
)2()2(
22
)2(
11
)2(
)1()1(
22
)1(
11
)1(
k
nn
kkk
nn
nn
xfxfxf
xfxfxf
xfxfxf
?????????
?????????
?????????
?
??????
?
?
对 Z观测
了 k次,
有 k个式
(d)
对 (d)式中的一个式子取平方：（ i,j=1~n且 i≠j）
jiji
nn
xxffxxff
xxffxfxfxf
???????
?????????????
22
2
3131
2121
222
2
2
2
2
1
2
1
2
?
?(e)
对 K个 (e)式取总和,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
????????????
n
ji
ji
jijinn xxffxfxfxf
1,
222
2
2
2
2
1
2
1
2 2?(f)
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
????????????
n
ji
ji
jijinn xxffxfxfxf
1,
222
2
2
2
2
1
2
1
2 2?(f)
(f)式两边除以 K，得 (g)式,
(g) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?? n
ji
ji
ji
ji
n
n
K
xx
ff
K
x
f
K
x
f
K
x
f
K 1,
2
2
2
22
2
2
12
1
2
2?
由偶然误差的抵偿性知,
? ?
0lim ?
??
?? n
xx ji
n
(g)式最后一项极小于前面各项,
可忽略不计,则,
<<前面各项
? ? ? ? ? ? ? ?
K
x
f
K
x
f
K
x
f
K
n
n
2
2
2
22
2
2
12
1
2 ?
??
?
?
?
?
??
??
即
222
2
2
2
2
1
2
1
2
xnnxxz mfmfmfm ???? ??
(h)
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222
2
2
2
2
1
2
1
2
xnnxxz mfmfmfm ???? ??
(h)
考虑,代入上式，得中误差关系式,
i
i x
Ff
?
??
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
n
Z m
x
F
m
x
F
m
x
F
m ??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?? ??
(6-10)
上式为 一般函数的中误差公式,也称为 误差传播定律 。
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通过以上误差传播定律的推导，我们
可以总结出 求观测值函数中误差的步骤,
1.列出函数式；
2.对函数式求全微分；
3.套用误差传播定律，写出中误差式。
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1.倍数函数的中误差
设有函数式 (x为观测值,K为 x的系数 )
全微分
得中误差式
xxZ
KmmKm
K dxdZ
KxZ
????
?
?
22
例,量得 地形图上两点间长度 =168.5mm?0.2mm,
计算该两点实地距离 S及其中误差 ms,l
1000:1
m2.0m5.168
m2.0mm2002.0100 0100 0
100 0
100 0
???
????????
?
??
S
mm
dd
lS
lS
lS
解,列函数式
求全微分
中误差式
二,几种常用函数的中误差
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2.线性函数的中误差 设有函数式
全微分
中误差式
nn xkxkxkZ ???? ??2211
nn dxkdxkdxkdz ???? ??2211
222
2
2
2
2
1
2
1 nnZ mkmkmkm ????? ?例,设有某线性函数
其中,, 分别为独立观测值，它们的中误差分
别为 求 Z的中误差 。
314121491144 xxxZ ???
321 xxx
mm6,mm2,mm3 321 ?????? mmm Zm
314121491144 dxdxdxdz ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? mm6.1623 2
14
12
14
92
14
4
2
33
2
22
2
11
?????????
???? xxxZ mfmfmfm
解,对上式全微分,
由中误差式得,
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函数式
全微分
中误差式
? ?
nnnnn
l lllx 1
2
1
1
1 ????? ??
lnnlnln ddddx 12111 ???? ?
212
2
12
1
1
222 nnnnx mmmm ????? ?
3.算术平均值的中误差式
由于等精度观测时，,代入上式,
得
mmmm n ???? ??21
n
mm
n
nm X ???? 221
n
由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误
差 缩小了 倍。
● 对某观测量进行多次观测 (多余观测 )取平均,
是提高观测成果精度最有效的方法。
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4.和或差函数的中误差
函数式,
全微分,
中误差式,
nxxxZ ???? ??21
ndxdxdxdz ???? ??21
22
2
2
1 nZ mmmm ????? ?
当等精度观测时,
上式可写成,
mmmmm n ????? ?321
nmm Z ??
例,测定 A,B间的高差,共连续测了 9站。设测量
每站高差的中误差,求总高差 的中
误差 。
解,
ABh
mm2??m
hm
ABh
921 hhhh AB ???? ??
mm692 ?????? nmm h
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观测值函数
中误差公式
汇总 观测值函数中误差公式汇总
函数式 函数的中误差
一般函数
倍数函数
和差函数
线性函数
算术平均值
),,,( 21 nxxxFZ ?? 2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
n
Z mx
Fm
x
Fm
x
Fm
???
?
???
?
?
???
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??? ??
xxZ KmmKmKxZ ?????
22
nxxxZ ???? ??21 nmm Z ??
nn xkxkxkZ ???? ??2211
2222222121 nnZ mkmkmkm ????? ?
? ?
nnnnn
l lllx 1
2
1
1
1 ????? ?? n
mm
X ??
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土建学院测量工程系 29
误差传播定律的应用
用 DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观
测 4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m??15? 。
例 1,要求三角形最大闭合差 m??15?，问用 DJ6
经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？
1?
2?
3?
??=(?1+?2+?3)-180?
解,由题意,2m= ?15?,则 m= ?7.5?
每个角的测角中误差,
"3.4
3
5.7 ????
?m
测回即 4
3.4
5.8
,
"5.8
"3.4,2
2
????? n
nn
m
m x ?
由于 DJ6一测回角度中误差为,
由角度测量 n测回 取平均值的中误差公式,
"5.82"6 ?????m
3.4
3
5.7 ????????
xm
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误差传播定律的应用
例 2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。
解,(1)测量水平距离的精度
基本公式,
?2c o sKlD ?
求全微分,
?
????
?
?
? ??
?????
?
??
?
?? dKldlKdDdl
l
DdD )c o ss i n2(c o s 2
水平距离中误差,
2
2222 )2s i n()c o s(
??
?
?
??
?
?
??
????
?
?? ?
m
KlmKm lD
)2 0 6 2 6 5( ????其中,
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误差传播定律的应用
例 2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。
解, (2)测量高差的精度
基本公式,
求全微分,
?
????
?
?
? ??
?????
?
??
?
?? dKldlKdDdl
l
DdD )c o ss i n2(c o s 2
高差中误差,
2
22
2
)2c o s(2s i n
2
1
??
?
?
??
?
?
??
??
?
?
?
?
???
?
?? ?
m
KlmKm lh
?2s in
2
1 Klh ?
)2 0 6 2 6 5( ????其中,
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误差传播定律的应用
例 3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为
求该正方形的 周长 S和 面积 A的中误差,
解, (1)周长,
lml ?
(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为
其中,
求该正方形的 周长 S和 面积 A的中误差,
ili ml ?
lllll mmmmmlllll ???????? 43214321 且
lS 4?
lS mm 4??
面积,2lA ?
lA lmm 2??
周长的中误差为
dldS 4?全微分,
面积的中误差为
全微分, ld ldA 2?
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解,(1)周长和面积的中误差分别为
例 3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为
其中,
求该正方形的 周长 S和 面积 A的中误差,
ili ml ?
lllll mmmmmlllll ???????? 43213321 且
lS mm 4?? lA lmm 2?
(2)周长 ;周长的中误差为
lllllS 44321 ?????
面积
llllllS mmmmmmm 24
22222
4321 ???????
得周长的中误差为
2
2
4321
4
LllllA ??
?
??
?
? ????
全微分,
4321 4
1
4
1
4
1
4
1 dldldldldL ???? 但由于
L d LdA 2?
llllllA lmmLm
L
m
L
m
L
m
L
m ????
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?? 222
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2222 4321
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▓ 观测值的算术平均值 (最或是值 )
▓ 用观测值的改正数 v计算观测值的
中误差 (即,白塞尔公式 )
§ 6.6 同（等）精度直接观测平差
2012年 3月 19日星期一
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一,观测值的 算术平均值 (最或是值、最可靠值 )
?证明 算术平均值 为该量的 最或是值,
设该量的真值为 X，则各观测值的真误差为
?1= ?1- X
?2= ?2- X
······
?n= ?n- X
对某 未知量 进行了 n 次观测，得 n个观测值 ?1,?2,···,?n,
则该量的算术平均值为,
x= =
?1+?2+···+?n ???
n n
上式等号两边分别相加得和,
? ? ? ?lnX ???
L= ? ?
n
l
n
lll
L n ?
???
?
?21
? ? ? ? nXl ???
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当观测无限多次时,
n
lX
n nn
][lim][lim
????
???
?得 X
n
l
n
?
??
][lim
两边除以 n,
由 ? ? ? ?lnX ???
? ? ? ?
n
lX
n
???
?当 观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该
量的真值； 当 观测次数有限时，观测值的 算术平均
值最接近真值 。所以，算术平均值是 最或是值。
L ≈ X
? ? ? nXl ?
? ? ?
XLX
l
n
????
?
? ?
0)(limlim ???
?
????
XL
n nn
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 37
观测值改正数
特点 二,观测值的改正数 v,
以算术平均值
为最或是值，并据
此计算各观测值的
改正数 v,符合
[vv]=min 的“最小
二乘原则”。
Vi = L - ?i (i=1,2,···,n)
?特点 1—— 改正数总和为零,
对上式取和,
以 代入,
? 通常用于计算检核
L= ??? n
?v?=nL-???
???
n ?v? =n -???=0
?v? =0
?特点 2—— [vv]符合“最小二乘原则”,
则
即
?vv?=?(x-?)2?=min
=2?(x-?)?=0 d?vv? dx ∵
?(x-?)?=0
nx-???=0 ? x=
???
n
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 38
精度评定
比较前面的公式，可以证明，两式根号内的
部分是相等的,
1
][][
?
?
??
n
vv
n
n
m
n
vv
m
][
1
][ ??
??
?
??
即在 与 中,
精度评定
—— 用观测值的改正数 v计算中误差
1
][
?
??
n
vvm
一,计算公式 (即白塞尔公式 ),
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 39
1
][][
?
???
n
vv
n
证明如下,
nnnn
lxvlX
lxvlX
lxvlX
?????
?????
?????
????
2222
1111
真误差,改正数,
证明两式根号内相
等
Xl
Xl
Xl
nn
???
???
???
??
22
11
nn
lLv
lLv
lLv
??
??
??
??
22
11
ii
ii
v
XLv
???
?????
?
?
对上式取 n项的平方和 ? ? ? ? ? ?vvvn ????? ?? 22
由上两式得
其中,
? ? ? ? 0??? lnLv
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 40
证明两式
根号内相
等
? ? ? ? ? ?
2
222
22 )(
nn
Xl
n
nX
n
l
XL
?
??
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
?????
? ? ? ? ?
?
?
??????????????????
n
ji
ji
jinn
1,
22
2
2
1
2
21
2 2)( ??
? ? ? ?
0
22
2
2 ??????
nn
?
? ? ? ? ? ? ? ?vvnvvvn ??????? 22 2 ???
? ? ? ? ? ?
n
vv
nn
?
??
?
??
2
? ? ? ?
1?
?
??
n
vv
n
中误差
定义, ? ?
n
m
??
??
白塞尔
公式, ? ?
1?
??
n
vv
m
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 41
解,该水平角 真值未知,可用 算术平均值的改正数 V计
算其中误差,
例,对某水平角等精度观测了 5次，观测数据如下表,
求其算术平均值及观测值的中误差。
算例 1,
次数 观测值 V V V 备注
1 76?42?49
?
-4 16
2 76?42?40
?
+5 25
3 76?42?42
?
+3 9
4 76?42?46
?
-1 1
5 76?42?48
?
-3 9
平均 76?42?45 [ V ]= [VV]
? ? 983
15
60
1
????
??????,n
VVm
471
5
983 ?????????,.
n
mM
76?42?45?± 1.7
4 ?
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 42
距离丈量精
度计算例 算例 2,对某距离用精密量距方法丈量六次，求 ①该距离的算术
平均值 ； ②观测值的中误差 ； ③算术平均值的中误
差 ； ④算术平均值的相对中误差, x xmM xM /
?凡是相对中误差，都必须用分子为 1的分数表示。
2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 43
§ 6.7 不同精度直接观测平差
一、权的概念
权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中
权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。
1 权的定义,
设一组不同精度的观测值为 l i,其中误差为 mi(I=1,2…n),
选定任一大于零的常数 λ,则定义权为,
2
i
i mP
?
?
称 Pi为观测值 l i 的权。
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 44
1 权的定义,
对于一组已知中误差 mi的观测值而言，选定一个
大于零的常数 λ值，就有一组对应的权；由此可得
各观测值权之间的比例关系,
2
i
i mP
?
?
22
2
2
1
22
2
2
1
21
1
::
1
:
1
::::::
nn
i mmmmmmPPP ??? ??
???
2 权的性质
（ 1）权表示观测值的相对精度；（ 2）权与中误差
的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；
（ 3）权的大小由选定的 λ 值确定，但测值权之间
权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个 λ 值。
2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 45
二、测量中常用的定权方法
1 同精度观测值的权
?对于一组同精度观测值 l i,一次观测的中误差为 m，
由权的定义，选定 λ= m2，则一次观测值的权为,
12
2
2 ??? m
m
m
P
?
?n次同精度观测值的 算术平均值 的中误差为,
? ?
)1( ?
???
nn
vv
n
m
M
?同精度观测值算术平均值的权为,
n
m
m
n
M
P L ??? 2
2
2
?
2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 46
二、测量中常用的定权方法
2 单位权与单位权中误差
?对于一组不同精度的观测值 l i,一
次观测的中误差为 mi, 设某次观测
的中误差为 m，其权为 P0，选定 λ=
m2，则有,
12
2
0 ?? m
m
P
?数值等于 1的权，称为单位权；权
等于 1的中误差称为单位权中误差，
常用 μ表示。对于中误差为 mi的观
测值，其权为,
?相应中误差的另一表示方法为,
i
i
P
m
1
??
2
2
i
i mP
?
?
2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 47
二、测量中常用的定权方法
3 水准测量的 权与测站数成反比,或者 与路线长度
成反比 。
i
i N
c
m
P
i
1
2
2
??
?
4 角度测量的 权与测回数成正比 。
5 距离测量的 权与长度成反比
s
c
m
P
s
s ?? 2
2?
i
i L
c
m
P
i
2
2
2
??
?
ii
i
L cnm
cm
n
m
P ??? 2
2
2
2?
2012年 3月 19日星期一
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三、非等精度观测值的最或是值 —— 加权平均值
设对某量进行了 n次非等精度观测，观测值分别为
l1,l2,…ln,其权分别为 P1,P2,…Pn。则观测量的最
或是值为加权平均值,
四、加权平均值的中误差
? ?
? ?P
Pl
PPP
lPlPlPL
n
nn ?
???
????
?
?
21
2211
? ?
? ?
? ?Pn
P v v
P
M
)1( ?
????
?
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测 量 学
第 6章
测量误差及数据处理的基本知识
2012年 3月 19日星期一
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第 6章 测量误差及数据处理的基本知识
§ 6.1 概述
§ 6.2 测量误差的种类
§ 6.3 偶然误差的特性及其概率密度函数
§ 6.4 衡量观测值精度的指标
§ 6.5 误差传播定律
§ 6.6 同精度直接观测平差
§ 6.7 不同精度直接观测平差
§ 6.8 最小二乘法原理及其应用
2012年 3月 19日星期一
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◆ 测量与观测值
◆ 观测 与观测值的分类
● 观测条件
● 等精度观测和不等精度观测
● 直接观测和间接观测
● 独立观测和非独立观测
§ 6.1 测量误差概述
2012年 3月 19日星期一
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§ 6.1 测量误差概述
◆ 测量误差及其来源
● 测量误差的来源
（ 1） 仪器误差,仪器精度的局限、轴系残余误差等。
（ 2） 人为误差,判断力和分辨率的限制、经验等。
（ 3） 外界条件的影响,温度变化、风、大气折光等
● 测量误差的表现形式
● 测量误差（真误差 ?=观测值 -真值 ） Xl ???
?
?
?
???
???
jiij ll
Xl
（观测值与真值之差）
（观测值与观测值之差）
2012年 3月 19日星期一
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例,误差 处理方法
钢尺尺长误差 ?ld 计算改正
钢尺温度误差 ?lt 计算改正
水准仪视准轴误差 I 操作时抵消 (前后视等距 )
经纬仪视准轴误差 C 操作时抵消 (盘左盘右取平均 )
…… ……
2.系统误差 —— 误差出现的大小、符号相同，或按
规律性变化，具有 积累性 。
● 系统误差可以消除或减弱 。
(计算改正、观测方法、仪器检校 )
测量误差分为,粗差, 系统误差 和 偶然误差
§ 6.2 测量误差的种类
1.粗差 (错误 )—— 超限的误差
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3.偶然误差 —— 误差出现的大小、符号各不相同,
表面看无规律性。
例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差,
导致观测值产生误差 ? 。
● 准确度 (测量成果与真值的差异 ）
● 最或是值 （最接近真值的估值，最可靠值）
● 测量平差 （求解最或是值并评定精度）
4.几个概念,
● 精（密）度 （观测值之间的离散程度）
2012年 3月 19日星期一
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举例,
在某测区，等精度观测了 358个三角形的内
角之和，得到 358个三角形闭合差 ?i(偶然误
差，也即真误差 ),然后对三角形闭合差 ?i
进行分析。
分析结果表明,当观测次数很多时，偶然
误差的出现，呈现出统计学上的规律性。 而
且，观测次数越多，规律性越明显。
§ 6.3 偶然误差的特性
2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 8
2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 9
用 频率直方图 表示的偶然误差统计,
?频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近,
对称于 y轴。
?频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区
间的频率 k/n，而所有条形的 总面积等于 1。
?各条形顶边中点
连线经光滑后的曲
线形状，表现出偶
然误差的普遍规律
图 6-1 误差统计直方图
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土建学院测量工程系 10
◆ 从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误
差的 四个特性,
?特性 (1),(2),(3)决定了特性 (4),特性 (4)具有实用意义。
3.偶然误差的特性
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定
的限值 (有界性 )；
(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多 (趋向性 )；
(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等 (对称性 )；
(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零
(抵偿性 ),
? ? 0limlim 21 ?????????
???? nn n
n
n
?
2012年 3月 19日星期一
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?偶然误差具有正态分布的特性
当观测次数 n无限增多 (n→∞), 误差区间 d?无限缩小
(d?→0) 时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线,
这条曲线称为
“正态分布曲
线”，又称为
,高斯误差分
布曲线, 。
所以偶然误差
具有 正态分布
的特性。
图 6-1 误差统计直方图
2012年 3月 19日星期一
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1.方差与标准差
?由正态分布密度函数
? ?
? ?
2
2
2
2
1
?
??
?
ax
ex
?
?
?
式中, 为常数； a ? =2.72828… e
x=?
y
正态分布曲线 (a=0)
令：,上式为,ax ???
2
2
2
2
1
)( ?
??
?
?
??? efy
§ 6.4 衡量精度的指标
2012年 3月 19日星期一
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?标准差 的数学意义 ?
2
2
2
2
1
)( ?
??
?
?
??? efy
? 表示 ?的
离散程度
x=?
y
? 较小
较大 ?
nn nn
][
lim
][
lim
2 ??
??
?
??
????
?
? 称为 标准差,
nn n
n
n
][
limlim
222
2
2
12 ?????????
????
?
?
2?上式中,称为 方差,
2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 14
?测量工作中，用 中误差 作为衡量观测值精度的标准。
中误差,
观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形,
nn
][
lim
??
??
??
?
?
上式中，偶然误差 ?为观测值 ?与真值 X之差,
观测次数 n有限 时，用 中误差 m表示偶然误差的离散情形,
nn
m n
][22221 ??
??
??????
??
?
?i=?i - X
2012年 3月 19日星期一
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P123表 5-2
2012年 3月 19日星期一
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? m1小于 m2,说明第一组观测值的误差分布比较 集中,
其 精度较高 ；相对地，第二组观测值的误差分布比
较 离散,其 精度较低,
? m1=?2.7?是第一组观测值的中误差；
m2=?3.6?是第二组观测值的中误差。
2012年 3月 19日星期一
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2.容许误差 (极限误差 )
根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间 d?内的概
率为,
??????
?
?
de
m
dfP m
2
2
2
2
1
)()(
?
误差出现在 K倍 中误差区间内的 概率为,
?
?
?
?
?
????
km
km
m de
m
kmP
2
2
2
2
1
)(
?
将 K=1,2,3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在
一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率,
P(|?|? m)=0.683=68.3 ?
P(|?|?2m)=0.954=95.4 ?
P(|?|?3m)=0.997=99.7 ?
? 测量中,一般取 两倍中误差 (2m)作为 容许误差,也称为 限差,
|?容 |=3|m| 或 |?容 |=2|m|
2012年 3月 19日星期一
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3.相对误差 (相对中误差 )
—— 误差绝对值与观测量之比。
? 用于表示 距离 的精度。
? 用分子为 1的分数表示。
? 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。
K2<K1，所以距离 S2精度较高。
例 2,用钢尺丈量两段距离分别得 S1=100米,m1=0.02m；
S2=200米,m2=0.02m。计算 S1,S2的相对误差。
0.02 1 0.02 1 K
1=—— =—— ； K2= —— = —— 100 5000 200 10000 解,
2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 19
一,一般函数的中误差
令 的系数为, (c)式为,
ix?
i
i x
Ff
?
??
由于 和 是一个很小的量，可 代替 上式中的 和,
ix?
??
idx
dz
n
n
x
x
Fx
x
Fx
x
F ?
?
????
?
???
?
???? ?
2
2
1
1
(c) 代入 (b)得
对 (a)全微分,
n
n
dx
x
Fdx
x
Fdx
x
FdZ
?
???
?
??
?
?? ?
2
2
1
1
(b)
设有函数,
),,,( 21 nxxxFZ ??
为 独立 观测值
ix
设 有真误差,函数 也产生真误差
ix?ix Z ??
(a)
§ 6.5 误差传播定律
2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 20
)()(
22
)(
11
)(
)2()2(
22
)2(
11
)2(
)1()1(
22
)1(
11
)1(
k
nn
kkk
nn
nn
xfxfxf
xfxfxf
xfxfxf
?????????
?????????
?????????
?
??????
?
?
对 Z观测
了 k次,
有 k个式
(d)
对 (d)式中的一个式子取平方：（ i,j=1~n且 i≠j）
jiji
nn
xxffxxff
xxffxfxfxf
???????
?????????????
22
2
3131
2121
222
2
2
2
2
1
2
1
2
?
?(e)
对 K个 (e)式取总和,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
????????????
n
ji
ji
jijinn xxffxfxfxf
1,
222
2
2
2
2
1
2
1
2 2?(f)
2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 21
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
?
?
????????????
n
ji
ji
jijinn xxffxfxfxf
1,
222
2
2
2
2
1
2
1
2 2?(f)
(f)式两边除以 K，得 (g)式,
(g) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?? n
ji
ji
ji
ji
n
n
K
xx
ff
K
x
f
K
x
f
K
x
f
K 1,
2
2
2
22
2
2
12
1
2
2?
由偶然误差的抵偿性知,
? ?
0lim ?
??
?? n
xx ji
n
(g)式最后一项极小于前面各项,
可忽略不计,则,
<<前面各项
? ? ? ? ? ? ? ?
K
x
f
K
x
f
K
x
f
K
n
n
2
2
2
22
2
2
12
1
2 ?
??
?
?
?
?
??
??
即
222
2
2
2
2
1
2
1
2
xnnxxz mfmfmfm ???? ??
(h)
2012年 3月 19日星期一
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土建学院测量工程系 22
222
2
2
2
2
1
2
1
2
xnnxxz mfmfmfm ???? ??
(h)
考虑,代入上式，得中误差关系式,
i
i x
Ff
?
??
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
n
Z m
x
F
m
x
F
m
x
F
m ??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
??
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?? ??
(6-10)
上式为 一般函数的中误差公式,也称为 误差传播定律 。
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 23
通过以上误差传播定律的推导，我们
可以总结出 求观测值函数中误差的步骤,
1.列出函数式；
2.对函数式求全微分；
3.套用误差传播定律，写出中误差式。
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 24
1.倍数函数的中误差
设有函数式 (x为观测值,K为 x的系数 )
全微分
得中误差式
xxZ
KmmKm
K dxdZ
KxZ
????
?
?
22
例,量得 地形图上两点间长度 =168.5mm?0.2mm,
计算该两点实地距离 S及其中误差 ms,l
1000:1
m2.0m5.168
m2.0mm2002.0100 0100 0
100 0
100 0
???
????????
?
??
S
mm
dd
lS
lS
lS
解,列函数式
求全微分
中误差式
二,几种常用函数的中误差
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 25
2.线性函数的中误差 设有函数式
全微分
中误差式
nn xkxkxkZ ???? ??2211
nn dxkdxkdxkdz ???? ??2211
222
2
2
2
2
1
2
1 nnZ mkmkmkm ????? ?例,设有某线性函数
其中,, 分别为独立观测值，它们的中误差分
别为 求 Z的中误差 。
314121491144 xxxZ ???
321 xxx
mm6,mm2,mm3 321 ?????? mmm Zm
314121491144 dxdxdxdz ???
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? mm6.1623 2
14
12
14
92
14
4
2
33
2
22
2
11
?????????
???? xxxZ mfmfmfm
解,对上式全微分,
由中误差式得,
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 26
函数式
全微分
中误差式
? ?
nnnnn
l lllx 1
2
1
1
1 ????? ??
lnnlnln ddddx 12111 ???? ?
212
2
12
1
1
222 nnnnx mmmm ????? ?
3.算术平均值的中误差式
由于等精度观测时，,代入上式,
得
mmmm n ???? ??21
n
mm
n
nm X ???? 221
n
由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误
差 缩小了 倍。
● 对某观测量进行多次观测 (多余观测 )取平均,
是提高观测成果精度最有效的方法。
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 27
4.和或差函数的中误差
函数式,
全微分,
中误差式,
nxxxZ ???? ??21
ndxdxdxdz ???? ??21
22
2
2
1 nZ mmmm ????? ?
当等精度观测时,
上式可写成,
mmmmm n ????? ?321
nmm Z ??
例,测定 A,B间的高差,共连续测了 9站。设测量
每站高差的中误差,求总高差 的中
误差 。
解,
ABh
mm2??m
hm
ABh
921 hhhh AB ???? ??
mm692 ?????? nmm h
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 28
观测值函数
中误差公式
汇总 观测值函数中误差公式汇总
函数式 函数的中误差
一般函数
倍数函数
和差函数
线性函数
算术平均值
),,,( 21 nxxxFZ ?? 2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
n
Z mx
Fm
x
Fm
x
Fm
???
?
???
?
?
???
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??? ??
xxZ KmmKmKxZ ?????
22
nxxxZ ???? ??21 nmm Z ??
nn xkxkxkZ ???? ??2211
2222222121 nnZ mkmkmkm ????? ?
? ?
nnnnn
l lllx 1
2
1
1
1 ????? ?? n
mm
X ??
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 29
误差传播定律的应用
用 DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观
测 4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m??15? 。
例 1,要求三角形最大闭合差 m??15?，问用 DJ6
经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？
1?
2?
3?
??=(?1+?2+?3)-180?
解,由题意,2m= ?15?,则 m= ?7.5?
每个角的测角中误差,
"3.4
3
5.7 ????
?m
测回即 4
3.4
5.8
,
"5.8
"3.4,2
2
????? n
nn
m
m x ?
由于 DJ6一测回角度中误差为,
由角度测量 n测回 取平均值的中误差公式,
"5.82"6 ?????m
3.4
3
5.7 ????????
xm
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 30
误差传播定律的应用
例 2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。
解,(1)测量水平距离的精度
基本公式,
?2c o sKlD ?
求全微分,
?
????
?
?
? ??
?????
?
??
?
?? dKldlKdDdl
l
DdD )c o ss i n2(c o s 2
水平距离中误差,
2
2222 )2s i n()c o s(
??
?
?
??
?
?
??
????
?
?? ?
m
KlmKm lD
)2 0 6 2 6 5( ????其中,
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 31
误差传播定律的应用
例 2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。
解, (2)测量高差的精度
基本公式,
求全微分,
?
????
?
?
? ??
?????
?
??
?
?? dKldlKdDdl
l
DdD )c o ss i n2(c o s 2
高差中误差,
2
22
2
)2c o s(2s i n
2
1
??
?
?
??
?
?
??
??
?
?
?
?
???
?
?? ?
m
KlmKm lh
?2s in
2
1 Klh ?
)2 0 6 2 6 5( ????其中,
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 32
误差传播定律的应用
例 3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为
求该正方形的 周长 S和 面积 A的中误差,
解, (1)周长,
lml ?
(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为
其中,
求该正方形的 周长 S和 面积 A的中误差,
ili ml ?
lllll mmmmmlllll ???????? 43214321 且
lS 4?
lS mm 4??
面积,2lA ?
lA lmm 2??
周长的中误差为
dldS 4?全微分,
面积的中误差为
全微分, ld ldA 2?
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 33
解,(1)周长和面积的中误差分别为
例 3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为
其中,
求该正方形的 周长 S和 面积 A的中误差,
ili ml ?
lllll mmmmmlllll ???????? 43213321 且
lS mm 4?? lA lmm 2?
(2)周长 ;周长的中误差为
lllllS 44321 ?????
面积
llllllS mmmmmmm 24
22222
4321 ???????
得周长的中误差为
2
2
4321
4
LllllA ??
?
??
?
? ????
全微分,
4321 4
1
4
1
4
1
4
1 dldldldldL ???? 但由于
L d LdA 2?
llllllA lmmLm
L
m
L
m
L
m
L
m ????
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?? 222
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2222 4321
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 34
▓ 观测值的算术平均值 (最或是值 )
▓ 用观测值的改正数 v计算观测值的
中误差 (即,白塞尔公式 )
§ 6.6 同（等）精度直接观测平差
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 35
一,观测值的 算术平均值 (最或是值、最可靠值 )
?证明 算术平均值 为该量的 最或是值,
设该量的真值为 X，则各观测值的真误差为
?1= ?1- X
?2= ?2- X
······
?n= ?n- X
对某 未知量 进行了 n 次观测，得 n个观测值 ?1,?2,···,?n,
则该量的算术平均值为,
x= =
?1+?2+···+?n ???
n n
上式等号两边分别相加得和,
? ? ? ?lnX ???
L= ? ?
n
l
n
lll
L n ?
???
?
?21
? ? ? ? nXl ???
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 36
当观测无限多次时,
n
lX
n nn
][lim][lim
????
???
?得 X
n
l
n
?
??
][lim
两边除以 n,
由 ? ? ? ?lnX ???
? ? ? ?
n
lX
n
???
?当 观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该
量的真值； 当 观测次数有限时，观测值的 算术平均
值最接近真值 。所以，算术平均值是 最或是值。
L ≈ X
? ? ? nXl ?
? ? ?
XLX
l
n
????
?
? ?
0)(limlim ???
?
????
XL
n nn
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 37
观测值改正数
特点 二,观测值的改正数 v,
以算术平均值
为最或是值，并据
此计算各观测值的
改正数 v,符合
[vv]=min 的“最小
二乘原则”。
Vi = L - ?i (i=1,2,···,n)
?特点 1—— 改正数总和为零,
对上式取和,
以 代入,
? 通常用于计算检核
L= ??? n
?v?=nL-???
???
n ?v? =n -???=0
?v? =0
?特点 2—— [vv]符合“最小二乘原则”,
则
即
?vv?=?(x-?)2?=min
=2?(x-?)?=0 d?vv? dx ∵
?(x-?)?=0
nx-???=0 ? x=
???
n
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 38
精度评定
比较前面的公式，可以证明，两式根号内的
部分是相等的,
1
][][
?
?
??
n
vv
n
n
m
n
vv
m
][
1
][ ??
??
?
??
即在 与 中,
精度评定
—— 用观测值的改正数 v计算中误差
1
][
?
??
n
vvm
一,计算公式 (即白塞尔公式 ),
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 39
1
][][
?
???
n
vv
n
证明如下,
nnnn
lxvlX
lxvlX
lxvlX
?????
?????
?????
????
2222
1111
真误差,改正数,
证明两式根号内相
等
Xl
Xl
Xl
nn
???
???
???
??
22
11
nn
lLv
lLv
lLv
??
??
??
??
22
11
ii
ii
v
XLv
???
?????
?
?
对上式取 n项的平方和 ? ? ? ? ? ?vvvn ????? ?? 22
由上两式得
其中,
? ? ? ? 0??? lnLv
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 40
证明两式
根号内相
等
? ? ? ? ? ?
2
222
22 )(
nn
Xl
n
nX
n
l
XL
?
??
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
?????
? ? ? ? ?
?
?
??????????????????
n
ji
ji
jinn
1,
22
2
2
1
2
21
2 2)( ??
? ? ? ?
0
22
2
2 ??????
nn
?
? ? ? ? ? ? ? ?vvnvvvn ??????? 22 2 ???
? ? ? ? ? ?
n
vv
nn
?
??
?
??
2
? ? ? ?
1?
?
??
n
vv
n
中误差
定义, ? ?
n
m
??
??
白塞尔
公式, ? ?
1?
??
n
vv
m
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 41
解,该水平角 真值未知,可用 算术平均值的改正数 V计
算其中误差,
例,对某水平角等精度观测了 5次，观测数据如下表,
求其算术平均值及观测值的中误差。
算例 1,
次数 观测值 V V V 备注
1 76?42?49
?
-4 16
2 76?42?40
?
+5 25
3 76?42?42
?
+3 9
4 76?42?46
?
-1 1
5 76?42?48
?
-3 9
平均 76?42?45 [ V ]= [VV]
? ? 983
15
60
1
????
??????,n
VVm
471
5
983 ?????????,.
n
mM
76?42?45?± 1.7
4 ?
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 42
距离丈量精
度计算例 算例 2,对某距离用精密量距方法丈量六次，求 ①该距离的算术
平均值 ； ②观测值的中误差 ； ③算术平均值的中误
差 ； ④算术平均值的相对中误差, x xmM xM /
?凡是相对中误差，都必须用分子为 1的分数表示。
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 43
§ 6.7 不同精度直接观测平差
一、权的概念
权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中
权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。
1 权的定义,
设一组不同精度的观测值为 l i,其中误差为 mi(I=1,2…n),
选定任一大于零的常数 λ,则定义权为,
2
i
i mP
?
?
称 Pi为观测值 l i 的权。
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 44
1 权的定义,
对于一组已知中误差 mi的观测值而言，选定一个
大于零的常数 λ值，就有一组对应的权；由此可得
各观测值权之间的比例关系,
2
i
i mP
?
?
22
2
2
1
22
2
2
1
21
1
::
1
:
1
::::::
nn
i mmmmmmPPP ??? ??
???
2 权的性质
（ 1）权表示观测值的相对精度；（ 2）权与中误差
的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；
（ 3）权的大小由选定的 λ 值确定，但测值权之间
权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个 λ 值。
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 45
二、测量中常用的定权方法
1 同精度观测值的权
?对于一组同精度观测值 l i,一次观测的中误差为 m，
由权的定义，选定 λ= m2，则一次观测值的权为,
12
2
2 ??? m
m
m
P
?
?n次同精度观测值的 算术平均值 的中误差为,
? ?
)1( ?
???
nn
vv
n
m
M
?同精度观测值算术平均值的权为,
n
m
m
n
M
P L ??? 2
2
2
?
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 46
二、测量中常用的定权方法
2 单位权与单位权中误差
?对于一组不同精度的观测值 l i,一
次观测的中误差为 mi, 设某次观测
的中误差为 m，其权为 P0，选定 λ=
m2，则有,
12
2
0 ?? m
m
P
?数值等于 1的权，称为单位权；权
等于 1的中误差称为单位权中误差，
常用 μ表示。对于中误差为 mi的观
测值，其权为,
?相应中误差的另一表示方法为,
i
i
P
m
1
??
2
2
i
i mP
?
?
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 47
二、测量中常用的定权方法
3 水准测量的 权与测站数成反比,或者 与路线长度
成反比 。
i
i N
c
m
P
i
1
2
2
??
?
4 角度测量的 权与测回数成正比 。
5 距离测量的 权与长度成反比
s
c
m
P
s
s ?? 2
2?
i
i L
c
m
P
i
2
2
2
??
?
ii
i
L cnm
cm
n
m
P ??? 2
2
2
2?
2012年 3月 19日星期一
合肥工业大学
土建学院测量工程系 48
三、非等精度观测值的最或是值 —— 加权平均值
设对某量进行了 n次非等精度观测，观测值分别为
l1,l2,…ln,其权分别为 P1,P2,…Pn。则观测量的最
或是值为加权平均值,
四、加权平均值的中误差
? ?
? ?P
Pl
PPP
lPlPlPL
n
nn ?
???
????
?
?
21
2211
? ?
? ?
? ?Pn
P v v
P
M
)1( ?
????
?
