《通信原理,第四讲
第 2 章 随机过程
载有信息的信号是不可预测的，或者说带有某种随机性。干扰信息信号的噪声更是不可预测的。这些不可预测的信号和噪声都是随机过程。但随机信号和噪声的不可预测性的意义完全不同。随机信号的不可预测性是它携带信息的能力，
而噪声的不可预测性则是有害的，它将使有用信号受到污染。
在通信系统中，随机过程是重要的数学工具。它在信息源的统计建模、信源输出的数字化、信道特性的描述以及评估通信系统的性能等方面都是很重要的。
本章将扼要介绍通信系统所必需的内容，即随机过程的基本概念、统计特性及其通过线性系统的分析方法，并主要介绍用于全书的几个重要结论，这些对于设计通信系统及其性能的评估都是十分有用的。
§ 2.1 随机过程的基本概念和统计特性
一,随机过程
下面我们看一个例子,
设有 n 台性能完全相同的接收机。 在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形,测试结果表明,n 条曲线中找不到两个完全相同的波形。
这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。
给随机过程下一个更为严格的定义：设LL2,1,=kS
k
是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为 样本函数 或 实现 ）,记作 )(tx
i
，所有可能出现的结果的总体 {LL),(,),(),(
21
txtxtx
n
,}就构成一随机过程，记作 )(tξ 。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图 2-1 所示。
图 2-1 样本函数的总体
随机过程的基本特征体现在两个方面：其一，它是一个时间函数；其二，在固定某一观察时刻
1
t 上，全体样本在
1
t 时刻的取值 )(
1
tξ 是一个不含 t 变化的随机变量。
二,随机过程的统计特性
设 )(tξ 表示一个随机过程，在任意给定的时刻
1
t T∈, )(
1
tξ 小于或等于某一数值
1
x 的概率 ])([
11
xtP ≤ξ,简记为 ),(
111
txF,即
])([),(
11111
xtPtxF ≤= ξ （2.1-1）
称为随机过程 )(tξ 的一维分布函数。如果 ),(
111
txF 对
1
x 的偏导数存在，有
),(
),(
111
1
111
txf
x
txF
=
（2.1-2）
则称 ),(
111
txf 为 )(tξ 的一维概率密度函数。随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻上的统计特性,而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系。
任给两个时刻
21
,tt T∈,则随机变量 )(
1
tξ 和 )(
2
tξ 构成一个二元随机变量
{ )(
1
tξ, )(
2
tξ }，称
{})2.2()(,,)(,)( ),,,;,,,( 2211 2121?≤≤≤= nnnnn xtxtxtP tttxxxF ξξξLLL
{ }
221121212
)(,)(),,;,( xtxtPttxxF ≤≤= ξξ （2.1-3）
为随机过程 )(tξ 的二维分布函数。如果存在
),;,(
),;,(
21212
21
21212
2
ttxxf
xx
ttxxF
=
（2.1-4）
则称 ),,(
21212
ttxxf ； 为 )(tξ 的二维概率密度函数。
同理，可定义 )(tξ 的 n 维分布函数和 n 维概率密度函数。显然，n 越大，
对随机过程统计特性的描述就越充分。
三,随机过程的数字特征
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性。但是，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
a) 数学期望
设随机过程 )(tξ 在任意时刻的数学期望，记作 )(ta,
[]
∫
∞
∞?
== dxtxxftEta ),()()(
1
ξ （2.1-6）
)(ta 是时间 t 的函数，它表示随机过程的 n 个样本函数曲线的摆动中心。
b) 方差
}{
2
1
2
22
2
)]([),(
)]([)]([
)]()([)]([
tadxtxfx
tatE
tatEtD
=
=
=
∫
∞
∞?
ξ
ξξ
（2.1-7）
)]([ tD ξ 常记为 )(
2
tσ 。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻 t 对于均值 )(ta 的偏离程度。
均值和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征,为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。
c) 相关函数
协方差函数定义为
{}
21212122211
221121
),;,()]()][([
])()()][()([),(
dxdxttxxftaxtax
tattatEttB
=
=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
ξξ
（2.1-8）
式中，
21
tt 与 是任取的两个时刻。相关函数定义为
212121221
2121
),;,(
)]()([),(
dxdxttxxfxx
ttEttR
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
=
= ξξ
（2.1-9）
二者关系为
)()(),(),(
212121
tatattRttB?= （2.1-10）
若 则或,0)(0)(
21
== tata ),(),(
2121
ttRttB = 。若,
12
tt > 并令,
12
τ+=tt 则 ),(
21
ttR 可表示为 ),(
11
τ+ttR 。 这说明,相关函数依赖于起始时刻
1
t 及 τ之间的时间间隔与
12
tt,
即相关函数是 τ和
1
t 的函数。
由于 ),(),(
2121
ttRttB 和 是衡量同一过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设 )()( tt ηξ 和 分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为
{ }])()()][()([),(
221121
tattatEttB
ηξξη
ηξ= （2.1-11）
而互相关函数定义为
)]()([),(
2121
ttEttR ηξ
ξη
= （2.1-12）
第 2 章 随机过程
载有信息的信号是不可预测的，或者说带有某种随机性。干扰信息信号的噪声更是不可预测的。这些不可预测的信号和噪声都是随机过程。但随机信号和噪声的不可预测性的意义完全不同。随机信号的不可预测性是它携带信息的能力，
而噪声的不可预测性则是有害的，它将使有用信号受到污染。
在通信系统中，随机过程是重要的数学工具。它在信息源的统计建模、信源输出的数字化、信道特性的描述以及评估通信系统的性能等方面都是很重要的。
本章将扼要介绍通信系统所必需的内容，即随机过程的基本概念、统计特性及其通过线性系统的分析方法，并主要介绍用于全书的几个重要结论，这些对于设计通信系统及其性能的评估都是十分有用的。
§ 2.1 随机过程的基本概念和统计特性
一,随机过程
下面我们看一个例子,
设有 n 台性能完全相同的接收机。 在相同的工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形,测试结果表明,n 条曲线中找不到两个完全相同的波形。
这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。
给随机过程下一个更为严格的定义：设LL2,1,=kS
k
是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为 样本函数 或 实现 ）,记作 )(tx
i
，所有可能出现的结果的总体 {LL),(,),(),(
21
txtxtx
n
,}就构成一随机过程，记作 )(tξ 。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图 2-1 所示。
图 2-1 样本函数的总体
随机过程的基本特征体现在两个方面：其一，它是一个时间函数；其二，在固定某一观察时刻
1
t 上，全体样本在
1
t 时刻的取值 )(
1
tξ 是一个不含 t 变化的随机变量。
二,随机过程的统计特性
设 )(tξ 表示一个随机过程，在任意给定的时刻
1
t T∈, )(
1
tξ 小于或等于某一数值
1
x 的概率 ])([
11
xtP ≤ξ,简记为 ),(
111
txF,即
])([),(
11111
xtPtxF ≤= ξ （2.1-1）
称为随机过程 )(tξ 的一维分布函数。如果 ),(
111
txF 对
1
x 的偏导数存在，有
),(
),(
111
1
111
txf
x
txF
=
（2.1-2）
则称 ),(
111
txf 为 )(tξ 的一维概率密度函数。随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻上的统计特性,而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系。
任给两个时刻
21
,tt T∈,则随机变量 )(
1
tξ 和 )(
2
tξ 构成一个二元随机变量
{ )(
1
tξ, )(
2
tξ }，称
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)(,)(),,;,( xtxtPttxxF ≤≤= ξξ （2.1-3）
为随机过程 )(tξ 的二维分布函数。如果存在
),;,(
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21212
21
21212
2
ttxxf
xx
ttxxF
=
（2.1-4）
则称 ),,(
21212
ttxxf ； 为 )(tξ 的二维概率密度函数。
同理，可定义 )(tξ 的 n 维分布函数和 n 维概率密度函数。显然，n 越大，
对随机过程统计特性的描述就越充分。
三,随机过程的数字特征
分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性。但是，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
a) 数学期望
设随机过程 )(tξ 在任意时刻的数学期望，记作 )(ta,
[]
∫
∞
∞?
== dxtxxftEta ),()()(
1
ξ （2.1-6）
)(ta 是时间 t 的函数，它表示随机过程的 n 个样本函数曲线的摆动中心。
b) 方差
}{
2
1
2
22
2
)]([),(
)]([)]([
)]()([)]([
tadxtxfx
tatE
tatEtD
=
=
=
∫
∞
∞?
ξ
ξξ
（2.1-7）
)]([ tD ξ 常记为 )(
2
tσ 。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻 t 对于均值 )(ta 的偏离程度。
均值和方差描述了随机过程在各个孤立时刻的特征,为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系，还需利用二维概率密度引入新的数字特征。
c) 相关函数
协方差函数定义为
{}
21212122211
221121
),;,()]()][([
])()()][()([),(
dxdxttxxftaxtax
tattatEttB
=
=
∫∫
∞
∞?
∞
∞?
ξξ
（2.1-8）
式中，
21
tt 与 是任取的两个时刻。相关函数定义为
212121221
2121
),;,(
)]()([),(
dxdxttxxfxx
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∫∫
∞
∞?
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（2.1-9）
二者关系为
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212121
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若 则或,0)(0)(
21
== tata ),(),(
2121
ttRttB = 。若,
12
tt > 并令,
12
τ+=tt 则 ),(
21
ttR 可表示为 ),(
11
τ+ttR 。 这说明,相关函数依赖于起始时刻
1
t 及 τ之间的时间间隔与
12
tt,
即相关函数是 τ和
1
t 的函数。
由于 ),(),(
2121
ttRttB 和 是衡量同一过程的相关程度的，因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设 )()( tt ηξ 和 分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为
{ }])()()][()([),(
221121
tattatEttB
ηξξη
ηξ= （2.1-11）
而互相关函数定义为
)]()([),(
2121
ttEttR ηξ
ξη
= （2.1-12）
