《通信原理,第五讲
§ 2.1 平稳随机过程
平稳随机过程是一种特殊而又广泛应用的随机过程,在通信领域中占有重要地位。
一,定义
设随机过程{ )(tξ,t T∈ },若对于任意 n 和任意选定的
,,,2,1,,
21
nkTtttt
kn
LL=∈<<< 以及 h 为任意值，且 Rxxx
n
∈,,,
21
L，有
),,,;,,,(
),,,;,,,(
2121
2121
hththtxxxf
tttxxxf
nnn
nnn
+++=LL
LL
（2.2-1）
则称 )(tξ 是 狭义 平稳随机过程或 严平稳随机过程 。具体到它的一维分布,则与时间 t 无关，而二维分布只与时间间隔 τ 有关，即有
)(),(
11111
xftxf = （2.2-2）
和
);,(),;,(
21221212
τxxfttxxf = （2.2-3）
设有一个二阶矩随机过程 )(tξ,它的均值为常数，自相关函数仅是 τ 的函数，则称它为 宽平稳随机过程或广义平稳随机过程 。一个严平稳随机过程只要它的均方值 )]([
2
tE ξ 有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。
通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。
二,各态历经性
假设 )(tx 是平稳随机过程 )(tξ 的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为
∫
∫
∞→
∞→
+=+=
==
2/
2/
2/
2/
)()(
1
lim)()()(
)(
1
lim)(
T
TT
T
TT
dttxtx
T
txtxR
dttx
T
txa
τττ
（2.2-6）
如果平稳随机过程依概率 1 使下式成立
=
=
)()( ττ RR
aa
（2.2-7）
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”,使实际测量和计算的问题大为简化。
注意,具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。
三,平稳随机过程自相关函数的性质
设 )(tξ 为实平稳随机过程，则它的自相关函数
)]()([()( τξξτ += ttER （2.2-8）
具有下列主要性质,
（1） StER == )]([)0(
2
ξ [ )(tξ 的平均功率] （2.2-9）
（2） )]([)(
2
tER ξ=∞ [ )(tξ 的直流功率] （2.2-10）
（3） )()( ττ?= RR [τ 的偶函数] （2.2-11）
（4） ])([)0()( 的上界ττ RRR ≤ （2.2-12）
（5） ])([)()0(
2
的交流功率方差,tRR ξσ=∞? （2.2-13）
当均值为 0 时，有
2
)0( σ=R 。
四,平稳随机过程的功率谱密度
平稳随机过程的功率谱密度 )(ω
ξ
P 与其自相关函数 )(τR 是一对傅里叶变换关系,即
=
=
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
ωω
π
τ
ττω
ωτ
ξ
ωτ
ξ
dePR
deRP
j
j
)(
2
1
)(
)()(
（2.2-18）
或
=
=
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
dfefPR
deRfP
fj
fj
τπ
ξ
τπ
ξ
τ
ττ
2
2
)()(
)()(
（2.2-19）
简记为
)()( ωτ
ξ
PR?
关系式（2.2-18）称为 维纳-辛钦 关系,
功率谱密度 )(ω
ξ
P 有如下性质,
（1） 0)( ≥ω
ξ
P,非负性； （2.2-20）
（2） )()( ωω
ξξ
PP =?,偶函数。 （2.2-21）
因此，可定义单边谱密度 )(ω
ξ
P 为
§ 2.1 平稳随机过程
平稳随机过程是一种特殊而又广泛应用的随机过程,在通信领域中占有重要地位。
一,定义
设随机过程{ )(tξ,t T∈ },若对于任意 n 和任意选定的
,,,2,1,,
21
nkTtttt
kn
LL=∈<<< 以及 h 为任意值，且 Rxxx
n
∈,,,
21
L，有
),,,;,,,(
),,,;,,,(
2121
2121
hththtxxxf
tttxxxf
nnn
nnn
+++=LL
LL
（2.2-1）
则称 )(tξ 是 狭义 平稳随机过程或 严平稳随机过程 。具体到它的一维分布,则与时间 t 无关，而二维分布只与时间间隔 τ 有关，即有
)(),(
11111
xftxf = （2.2-2）
和
);,(),;,(
21221212
τxxfttxxf = （2.2-3）
设有一个二阶矩随机过程 )(tξ,它的均值为常数，自相关函数仅是 τ 的函数，则称它为 宽平稳随机过程或广义平稳随机过程 。一个严平稳随机过程只要它的均方值 )]([
2
tE ξ 有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。
通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。
二,各态历经性
假设 )(tx 是平稳随机过程 )(tξ 的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为
∫
∫
∞→
∞→
+=+=
==
2/
2/
2/
2/
)()(
1
lim)()()(
)(
1
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T
TT
T
TT
dttxtx
T
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τττ
（2.2-6）
如果平稳随机过程依概率 1 使下式成立
=
=
)()( ττ RR
aa
（2.2-7）
则称该平稳随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”,使实际测量和计算的问题大为简化。
注意,具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。
三,平稳随机过程自相关函数的性质
设 )(tξ 为实平稳随机过程，则它的自相关函数
)]()([()( τξξτ += ttER （2.2-8）
具有下列主要性质,
（1） StER == )]([)0(
2
ξ [ )(tξ 的平均功率] （2.2-9）
（2） )]([)(
2
tER ξ=∞ [ )(tξ 的直流功率] （2.2-10）
（3） )()( ττ?= RR [τ 的偶函数] （2.2-11）
（4） ])([)0()( 的上界ττ RRR ≤ （2.2-12）
（5） ])([)()0(
2
的交流功率方差,tRR ξσ=∞? （2.2-13）
当均值为 0 时，有
2
)0( σ=R 。
四,平稳随机过程的功率谱密度
平稳随机过程的功率谱密度 )(ω
ξ
P 与其自相关函数 )(τR 是一对傅里叶变换关系,即
=
=
∫
∫
∞
∞?
∞
∞?
ωω
π
τ
ττω
ωτ
ξ
ωτ
ξ
dePR
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j
j
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2
1
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)()(
（2.2-18）
或
=
=
∫
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∞
∞?
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dfefPR
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fj
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τπ
ξ
τπ
ξ
τ
ττ
2
2
)()(
)()(
（2.2-19）
简记为
)()( ωτ
ξ
PR?
关系式（2.2-18）称为 维纳-辛钦 关系,
功率谱密度 )(ω
ξ
P 有如下性质,
（1） 0)( ≥ω
ξ
P,非负性； （2.2-20）
（2） )()( ωω
ξξ
PP =?,偶函数。 （2.2-21）
因此，可定义单边谱密度 )(ω
ξ
P 为
