2-1
《通信原理,第九讲
§2．6 正弦波加窄带高斯噪声
信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。 最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。
设合成信号为
)()cos()( tntAtr
c
++= θω （2.6-1）
式中 ttnttntn
cscc
ωω sin)(cos)()(?= 为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为
2
n
σ ；
正弦信号的
c
A ω,均为常数,θ 是在 )2,0( π 上均匀分布的随机变量。于是
)](cos[)(
sin)(cos)(
sin)](sin[cos)](cos[)(
tttz
ttzttz
ttnAttnAtr
c
cScc
cscc
ω
ωω
ωθωθ
+=
=
+?+=
（2.6-2）
式中
)(cos)( tnAtz
cc
+= θ （2.6-3）
)(sin)( tnAtz
ss
+= θ （2.6-4）
合成信号 )(tr 的包络和相位
0,)()()(
22
≥+= ztztztz
sc
（2.6-5）
)20(,
)(
)(
)(
1
π ≤≤=
tz
tz
tgt
c
s
（2.6-6）
利用上一节的结果，如果 θ 值已给定，则
c
z,
s
z 是相互独立的高斯随机变量，且
2-2
有
222
sin][
cos][
nsc
s
c
AzE
AzE
σσσ
θ
θ
==
=
=
所以，在给定相位 θ 的条件下的
c
z 和
s
z 的联合概率密度函数为
}])sin()cos[(
2
1
exp
2
1
)/,(
22
22
θθ
σπσ
θ AzAzzzf
sc
nn
sc
+?
=
利用上一节相似的方法，可以求得在给定相位 θ 的条件下的 z 和?的联合概率密度函数为
)/,()/,( θθ?
sc
zzfzf =
),(
)(
,
ξξ
ξξ
a
sc
)/,( θ
sc
zzfz?=
})]cos(2[
2
1
exp
2
22
22
θ
σπσ
+
= AzAz
z
nn
求条件边际分布，有
θ
σσπσ
θ
σπσ
θ?θ
π
π
π
d
AzAzz
dAzAz
z
dzfzf
nnn
nn
+
=
+?=
=
∫
∫
∫
)cos(exp
2
exp
2
)]}cos(2[
2
1
exp{
2
)/,()/(
2
2
0
2
22
2
22
2
2
0
2
2
0
由于
[] )(cosexp
2
1
0
2
0
xIdx =
∫
θθ
π
π
（2.6-7）
故有
=
∫ 2
0
2
2
0
)cos(exp
2
1
nn
Az
Id
Az
σ
θ
σπ
π
式中,)(0)(
00
xIxxI 时，。当为零阶修正贝塞尔函数 ≥ 是单调上升函数，且有
。1)0(
0
=I
2-3
因此
+=
2
0
22
22
)(
2
1
exp)/(
nnn
Az
IAz
z
zf
σσσ
θ
由上式可见,)/( θzf 与 θ 无关，故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为
0)(
2
1
exp)(
2
0
22
22
≥
+?= z
Az
IAz
z
zf
nnn
σσσ
（2.6-7）
这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。
上式存在两种极限情况,
（1）当信号很小,0→A,即信号功率与噪声功率之比 γ
σ
=
2
2
2
n
A
0→ 时，x
值很小，有 1)(
0
=xI,这时合成波 )(tr 中只存在窄带高斯噪声，由莱斯分布退化为瑞利分布。
（2）当信噪比 r 很大时，有
x
e
xI
x
π2
)(
0
≈,这时在 Az ≈ 附近,)(zf 近似于高斯分布，即
≈
2
2
2
)(
exp
2
1
)(
nn
Az
zf
σσπ
由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下才是莱斯分布。
图 2-8（a）给出了不同的 r 值时 )(zf 的曲线。
关于信号加噪声的合成波相位分布 )(?f,比较复杂，这里就不再演算了。
图 2-8（b）给出了不同的 r 值时 )(?f 的曲线。
2-4
图 2-8 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布
《通信原理,第九讲
§2．6 正弦波加窄带高斯噪声
信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。 最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。
设合成信号为
)()cos()( tntAtr
c
++= θω （2.6-1）
式中 ttnttntn
cscc
ωω sin)(cos)()(?= 为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为
2
n
σ ；
正弦信号的
c
A ω,均为常数,θ 是在 )2,0( π 上均匀分布的随机变量。于是
)](cos[)(
sin)(cos)(
sin)](sin[cos)](cos[)(
tttz
ttzttz
ttnAttnAtr
c
cScc
cscc
ω
ωω
ωθωθ
+=
=
+?+=
（2.6-2）
式中
)(cos)( tnAtz
cc
+= θ （2.6-3）
)(sin)( tnAtz
ss
+= θ （2.6-4）
合成信号 )(tr 的包络和相位
0,)()()(
22
≥+= ztztztz
sc
（2.6-5）
)20(,
)(
)(
)(
1
π ≤≤=
tz
tz
tgt
c
s
（2.6-6）
利用上一节的结果，如果 θ 值已给定，则
c
z,
s
z 是相互独立的高斯随机变量，且
2-2
有
222
sin][
cos][
nsc
s
c
AzE
AzE
σσσ
θ
θ
==
=
=
所以，在给定相位 θ 的条件下的
c
z 和
s
z 的联合概率密度函数为
}])sin()cos[(
2
1
exp
2
1
)/,(
22
22
θθ
σπσ
θ AzAzzzf
sc
nn
sc
+?
=
利用上一节相似的方法，可以求得在给定相位 θ 的条件下的 z 和?的联合概率密度函数为
)/,()/,( θθ?
sc
zzfzf =
),(
)(
,
ξξ
ξξ
a
sc
)/,( θ
sc
zzfz?=
})]cos(2[
2
1
exp
2
22
22
θ
σπσ
+
= AzAz
z
nn
求条件边际分布，有
θ
σσπσ
θ
σπσ
θ?θ
π
π
π
d
AzAzz
dAzAz
z
dzfzf
nnn
nn
+
=
+?=
=
∫
∫
∫
)cos(exp
2
exp
2
)]}cos(2[
2
1
exp{
2
)/,()/(
2
2
0
2
22
2
22
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2
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2
2
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由于
[] )(cosexp
2
1
0
2
0
xIdx =
∫
θθ
π
π
（2.6-7）
故有
=
∫ 2
0
2
2
0
)cos(exp
2
1
nn
Az
Id
Az
σ
θ
σπ
π
式中,)(0)(
00
xIxxI 时，。当为零阶修正贝塞尔函数 ≥ 是单调上升函数，且有
。1)0(
0
=I
2-3
因此
+=
2
0
22
22
)(
2
1
exp)/(
nnn
Az
IAz
z
zf
σσσ
θ
由上式可见,)/( θzf 与 θ 无关，故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为
0)(
2
1
exp)(
2
0
22
22
≥
+?= z
Az
IAz
z
zf
nnn
σσσ
（2.6-7）
这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。
上式存在两种极限情况,
（1）当信号很小,0→A,即信号功率与噪声功率之比 γ
σ
=
2
2
2
n
A
0→ 时，x
值很小，有 1)(
0
=xI,这时合成波 )(tr 中只存在窄带高斯噪声，由莱斯分布退化为瑞利分布。
（2）当信噪比 r 很大时，有
x
e
xI
x
π2
)(
0
≈,这时在 Az ≈ 附近,)(zf 近似于高斯分布，即
≈
2
2
2
)(
exp
2
1
)(
nn
Az
zf
σσπ
由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下才是莱斯分布。
图 2-8（a）给出了不同的 r 值时 )(zf 的曲线。
关于信号加噪声的合成波相位分布 )(?f,比较复杂，这里就不再演算了。
图 2-8（b）给出了不同的 r 值时 )(?f 的曲线。
2-4
图 2-8 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布
