《通信原理,第八讲
§2.5 窄带随机过程
所谓窄带系统，是指其通带宽度 f? 〈 〈
c
f,且
c
f 远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带随机过程。如用示波器观察其一个实现的波形，它是一个频率近似为
c
f,包络和相位随机缓变的正弦波。
图2-7 窄带过程的频谱和波形示意
窄带随机过程 )(tξ 可用下式表示
0)(,)](cos[)()( ≥+= tatttat
c ξξξ
ωξ （2.5-1）
等价式
ttttt
cscc
ωξωξξ sin)(cos)()(?= （2.5-2）
其中
)(cos)()( ttat
c ξξ
ξ = （2.5-3）
)(sin)()( ttat
s ξξ
ξ = （2.5-4）
式中 ）（及 tta
ξξ
)( 分别是 )(tξ 的随机包络和随机相位,)()( tt
sc
ξξ 及 分别称为
)(tξ 的同相分量和正交分量，它们也是随机过程，显然它们的变化相对于载波
t
c
ωcos 的变化要缓慢得多。
一,同相和正交分量的统计特性
设窄带过程 )(tξ 是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为
2
ξ
σ 。
1．数学期望
]sin)(cos)([)]([ ttttEtE
cscc
ωξωξξ?=
= ttEttE
cscc
ωξωξ sin)]([cos)]([? （2.5-5）
已设 )(tξ 平稳且均值为零，所以
=
=
0)]([
0)]([
tE
tE
s
c
ξ
ξ
（2.5-6）
2．自相关函数
)]()([),( τξξτ
ξ
+=+ ttEttR
= ]sin)(cos)({[ ttttE
cscc
ωξωξ
)]}(sin)()(cos)([ τωτξτωτξ ++?++ tttt
cscc
)(sinsin),(
)(cossin),(
)(sincos),(
)(coscos),(
τωωτ
τωωτ
τωωτ
τωωτ
+++
++?
++?
++=
ttttR
ttttR
ttttR
ttttR
ccs
ccsc
cccs
ccc
（2.5-7）
式中
)]()([),(
)]()([),(
)]()([),(
)]()([),(
τξξτ
τξξτ
τξξτ
τξξτ
+=+
+=+
+=+
+=+
ttEttR
ttEttR
ttEttR
ttEttR
sss
cssc
sccs
ccc
因为 )(tξ 是平稳的，故有
)(),( ττ
ξ
RttR =+
这就要求式（2.5-7）的右边也应该与 t 无关，而仅与时间间隔 τ 有关。若取使
0sin =t
c
ω 的所有t 值，则式（2.5-7）应成立
τωττωττ
ξ ccscc
ttRttRR sin),(cos),()( +?+= （2.5-8）
这时，显然应有
)(),(
)(),(
ττ
ττ
cscs
cc
RttR
RttR
=+
=+
所以，式（2.5-8）变为
τωττωττ
ξ ccscc
RRR sin)(cos)()(?= （2.5-9）
再取使 0cos =t
c
ω 的所有t 值，同理有
τωττωττ
ξ csccs
RRR sin)(cos)()( += （2.5-10）
其中应有
)(),(
)(),(
ττ
ττ
scsc
ss
RttR
RttR
=+
=+
由以上分析可知，如果窄带过程 )(tξ 是平稳的，则 )()( tt
sc
ξξ 与 也必将是平稳的。
式（2.5-9）和式（2.5-10）应同时成立，故有
)()( ττ
sc
RR = （2.5-11）
)()( ττ
sccs
RR?= （2.5-12）
可见，同相分量 )(t
c
ξ 和正交分量 )(t
s
ξ 具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有
)()( ττ?=
sccs
RR
将上式代入式（2.5-13）,可得
)()( ττ=
scsc
RR （2.5-13）
同理可推得
)()( ττ=
cscs
RR （2.5-14）
式（2.5-13）, （2.5-14）说明,)(t
c
ξ, )(t
s
ξ 的互相关函数 )(τ
sc
R, )(τ
cs
R 都是 τ
的奇函数，在 τ =0 时
0)0()0( ==
cssc
RR （2.5-15）
于是，由式（2.5-9）及式（2.5-10）得到
)0()0()0(
sc
RRR ==
ξ
（2.5-16）
即
222
sc
σσσ
ξ
== （2.5-17）
这表明 )(tξ, )(t
c
ξ 和 )(t
s
ξ 具有相同的平均功率或方差（ Q均值为0） 。
另外，因为 )(tξ 是平稳的，所以 )(tξ 在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，故在式（2.5-2）中有
取 )()(,0
111
tttt
c
ξξ === 时
取 )()(,
2
3
222
tttt
s
c
ξξ
ω
π
=== 时
所以 )(
1
t
c
ξ, )(
2
t
s
ξ 也是高斯随机变量，从而 )(t
c
ξ, )(t
s
ξ 也是高斯随机过程。又根据式（2.5-15）可知,)(t
c
ξ, )(t
s
ξ 在同一时刻的取值是互不相关的随机变量，
因而它们还是统计独立的。
综上所述：一个均值为零的窄带平稳高斯过程 )(tξ,它的同相分量 )(t
c
ξ 和正交分量 )(t
s
ξ 也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的
c
ξ 和
s
ξ 是互不相关的或统计独立的。
二,包络和相位的统计特性
c
ξ 和
s
ξ 的联合概率密度函数为
]
2
exp[
2
1
)()(),(
2
22
2
ξξ
σ
ξξ
πσ
ξξξξ
sc
scsc
fff
+
=?= （2.5-18）
设
ξξ
,a 的联合概率密度函数为 ),(
ξξ
af,则利用概率论知识，有
),(
)(
),(),(
,
ξξ
ξξ
ξξ
ξξ?
a
faf
sc
sc
= （2.5-19）
根据式（2.5-3）和（2.5-4）在t 时刻随机变量之间的关系
=
=
ξξ
ξξ
ξ
ξ
sin
cos
a
a
s
c
得到
),(
)(
,
ξξ
ξξ
a
sc
=
ξξ
ξξ
ξ
ξ
ξξ
sc
sc
aa
ξ
ξξξξ
ξξ

a
aa
=
=
cossin
sincos
于是
]
2
exp[
2
]
2
)sin()cos(
exp[
2
),(),(
2
2
2
22
2
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξξξξ
ξ
ξ
ξξξ
σπσ
σ

πσ
ξξ?
aa
aaa
faaf
sc
=
+
==
2.5-18）
注意，这里 )20,0 π?
ξξ
，在（而≥a 内取值。
再利用概率论中边际分布知识,
)205.2(0]
2
exp[
]
2
exp[
2
),()(
2
2
2
2
0
2
2
2
≥?=
==
∫∫
∞
∞?
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
π
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξξξξ
σσ
σπσ

a
aa
d
aa
dafaf
可见，
ξ
a 服从瑞利分布。
同理,
[
π?
π
σσπ

ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξ
ξξξξ
20
2
1
)
2
exp(
2
1
),()(
0
2
2
2
0
≤≤=
==
∫∫
∞∞
da
aa
daaff
（2.5-21）
可见，
ξ
服从均匀分布。
综上所述,一个均值为零,方差为
2
ξ
σ 的窄带平稳高斯过程 )(tξ, 其包络 )(ta
ξ
的一维分布是瑞利分布，相位 )(t
ξ
的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言,)(ta
ξ
与 )(t
ξ
是统计独立的，即有下式成立,
)()(),(
ξξξξ
fafaf?= （2.5-22）