《通信原理,第六讲
§2.3 高斯随机过程
高斯过程，也称正态随机过程，是通信领域中最重要的一种过程。在实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程。
一,定义
若随机过程 )(tξ 的任意 n 维（n=1,2,...）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下
[ ]
∑∑
==
=
n
j
n
k
k
kk
j
jj
jk
n
n
nnn
ax
ax
B
B
B
tttxxxf
11
2/1
21
2/
2121
))((
2
1
exp
...)2(
1
),...,,,...,,(
σσ
σσσπ；
（2.3-1）
式中 BatEtEa
kkkkk
,])([)],([
22
== ξσξ 为归一化协方差矩阵的行列式，即
1
1
1
21
221
112
L
MMMM
L
L
nn
n
n
bb
bb
bb
B =
BB
jk
为行列式 中元素
jk
b 的代数余因子；
jk
b 为归一化协方差函数，且
kj
kkjj
jk
atatE
b
σσ
ξξ ])(][)({[
=
二,重要性质
a) 高斯过程的 n 维分布完全由 n 个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。
b) 广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。
c) 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的,那么它们也是统计独立的。
d) 高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯的。
高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量,其一维概率密度函数可表示为
=
2
2
2
)(
exp
2
1
)(
σ
σπ
ax
xf （2.3-3）
式中 a为高斯随机变量的数学期望，
2
σ 为方差。 )(xf 曲线如图2-3表示。
图 2-3 正态分布的概率密度
由式（2.3-3）和图2-3可知 )(xf 具有如下特性,
（1） )(xf 对称于 ax = 这条直线。
（2）
∫
∞
∞?
=1)( dxxf （2.3-4）
且有
∫∫
∞?
∞
==
a
a
dxxfdxxf
2
1
)()( （2.3-5）
（3）a 表示分布中心,σ 表示集中程度,)(xf 图形将随着 σ 的减小而变高和变窄。当 1,0 == σa 时，称 )(xf 为标准正态分布的密度函数。
正态分布函数是概率密度函数的积分，即
dz
az
xPxF
x
∫
∞?
=≤=
2
2
2
)(
exp
2
1
)()(
σ
σπ
ξ （2.3-6）
这个积分无法用闭合形式计算,我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用误差函数和互补误差函数,
所谓误差函数，它的定义式为
dtexerf
x
t
∫
=
0
2
2
)(
π
（2.3-7）
它是自变量的递增函数,0)0( =erf, 1)( =∞erf,且 )()( xerfxerf?=? 。并称
1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x),即
dtexerfxerfc
x
t
∫
∞
=?=
2
2
)(1)(
π
（2.3-8）
它是自变量的递减函数,1)0( =erfc, 0)( =∞erfc,且 )(2)( xerfcxerfc?=? 。当
1>>x 时,（实际应用中只要 2>x 即可近似）,有
21
)(
x
e
x
xerfc
≈
π
（2.3-9）
（
经过变量代换，不难得到
≤
≥
+
=
时当时当
ax
ax
erfc
ax
ax
erf
xF
,
2
2
1
1
,
2
2
1
2
1
)(
σ
σ
（2.3-16）
用误差函数或互补误差函数表示 F(x )的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。
三,高斯白噪声
信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
2
)(
0
n
P =ω
ξ
（2.3-17）
这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中
0
n 为一常数，单位是（瓦 /赫） 。白噪声的自相关函数
)(
2
)(
0
τδτ
n
R = （2.3-18）
这说明，白噪声只有在 0=τ 时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。
图2-4 白噪声的谱密度和自相关函数
如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
我们所定义的这种白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声。
§2.3 高斯随机过程
高斯过程，也称正态随机过程，是通信领域中最重要的一种过程。在实践中观察到的大多数噪声都是高斯过程。
一,定义
若随机过程 )(tξ 的任意 n 维（n=1,2,...）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。其n维正态概率密度函数表示如下
[ ]
∑∑
==
=
n
j
n
k
k
kk
j
jj
jk
n
n
nnn
ax
ax
B
B
B
tttxxxf
11
2/1
21
2/
2121
))((
2
1
exp
...)2(
1
),...,,,...,,(
σσ
σσσπ；
（2.3-1）
式中 BatEtEa
kkkkk
,])([)],([
22
== ξσξ 为归一化协方差矩阵的行列式，即
1
1
1
21
221
112
L
MMMM
L
L
nn
n
n
bb
bb
bb
B =
BB
jk
为行列式 中元素
jk
b 的代数余因子；
jk
b 为归一化协方差函数，且
kj
kkjj
jk
atatE
b
σσ
ξξ ])(][)({[
=
二,重要性质
a) 高斯过程的 n 维分布完全由 n 个随机变量的数学期望、方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。
b) 广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。
c) 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的,那么它们也是统计独立的。
d) 高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯的。
高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量,其一维概率密度函数可表示为
=
2
2
2
)(
exp
2
1
)(
σ
σπ
ax
xf （2.3-3）
式中 a为高斯随机变量的数学期望，
2
σ 为方差。 )(xf 曲线如图2-3表示。
图 2-3 正态分布的概率密度
由式（2.3-3）和图2-3可知 )(xf 具有如下特性,
（1） )(xf 对称于 ax = 这条直线。
（2）
∫
∞
∞?
=1)( dxxf （2.3-4）
且有
∫∫
∞?
∞
==
a
a
dxxfdxxf
2
1
)()( （2.3-5）
（3）a 表示分布中心,σ 表示集中程度,)(xf 图形将随着 σ 的减小而变高和变窄。当 1,0 == σa 时，称 )(xf 为标准正态分布的密度函数。
正态分布函数是概率密度函数的积分，即
dz
az
xPxF
x
∫
∞?
=≤=
2
2
2
)(
exp
2
1
)()(
σ
σπ
ξ （2.3-6）
这个积分无法用闭合形式计算,我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用误差函数和互补误差函数,
所谓误差函数，它的定义式为
dtexerf
x
t
∫
=
0
2
2
)(
π
（2.3-7）
它是自变量的递增函数,0)0( =erf, 1)( =∞erf,且 )()( xerfxerf?=? 。并称
1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x),即
dtexerfxerfc
x
t
∫
∞
=?=
2
2
)(1)(
π
（2.3-8）
它是自变量的递减函数,1)0( =erfc, 0)( =∞erfc,且 )(2)( xerfcxerfc?=? 。当
1>>x 时,（实际应用中只要 2>x 即可近似）,有
21
)(
x
e
x
xerfc
≈
π
（2.3-9）
（
经过变量代换，不难得到
≤
≥
+
=
时当时当
ax
ax
erfc
ax
ax
erf
xF
,
2
2
1
1
,
2
2
1
2
1
)(
σ
σ
（2.3-16）
用误差函数或互补误差函数表示 F(x )的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。
三,高斯白噪声
信号在信道中传输时，常会遇到这样一类噪声，它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即
2
)(
0
n
P =ω
ξ
（2.3-17）
这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。式中
0
n 为一常数，单位是（瓦 /赫） 。白噪声的自相关函数
)(
2
)(
0
τδτ
n
R = （2.3-18）
这说明，白噪声只有在 0=τ 时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。
图2-4 白噪声的谱密度和自相关函数
如果白噪声又是高斯分布的，我们就称之为高斯白噪声。高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。
我们所定义的这种白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以把它视为白噪声。
