《通信原理,第七讲
§2．4 随机过程通过线性系统
通信系统中的信号或噪声一般都是随机的,因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题,随机过程通过系统 （或网络） 后,输出过程将是什么样的过程？
线性系统的响应 )(
0
tv 等于输入信号 )(tv
i
与系统的单位冲击响应 )(th 的卷积，即
τττ dthvthtvtv
ii
)()()()()(
0
=?=
∫
∞
∞?
（ 2.4-1）
若 )()(
00
ωVtv?, )()( ω
ii
Vtv?, )()( ωHth?,则有
)()()(
0
ωωω
i
VHV = （ 2.4-2）
若线性系统是物理可实现的，则
τττ dthvtv
t
i
)()()(
0
=
∫
∞?
（ 2.4-3）
或
∫
∞
=
0
0
)()()( τττ dtvhtv
i
（ 2.4-4）
如果把 )(tv
i
看作是输入随机过程的一个样本，则 )(
0
tv 可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程 )(t
i
ξ 的每个样本与输出过程 )(
0
tξ 的相应样本之间都满足式（ 2.4-4）的关系。这样，就整个过程而言，便有
∫
∞
=
0
0
)()()( ττξτξ dtht
i
（2.4-5）
假定输入 )(t
i
ξ 是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程 )(
0
tξ 的统计特性。
一,输出过程
)(
0
tξ
的数学期望
[]
∫∫∫
∞∞∞
=?=?=
000
0
)()]([)()()()]([ ττττξτττξτξ dhadtEhdthEtE
ii
因为
∫
∞
=
0
)()( dtethH
tjω
ω
求得
∫
∞
=
0
)()0( dtthH
所以
)0()]([
0
HatE?=ξ （2.4-6）
由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数 H(0)
的乘积，且 E[ )(
0
tξ ]与 t 无关。
二,输出过程
)(
0
tξ
的自相关函数
[]
βαβτξαξβα
ββτξβααξα
τξξτ
ddttEhh
dthdthE
ttEttR
ii
ii
)]()([)()(
)()()()(
)]()([),(
11
00
1
0
1
0
1010110
+?=
+?=
+=+
∫∫
∫∫
∞∞
∞∞
根据平稳性
)()]()([
11
βατβτξαξ?+=?+?
iii
RttE
于是
)()()()(),(
0
00
110
τβαβατβατ RddRhhttR
i
=?+=+
∫∫
∞∞
（2.4-7）
可见,)(
0
tξ 的自相关函数只依赖时间间隔 τ 而与时间起点
1
t 无关。由以上（1）
及（2）证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳。
三,输出过程
)(
0
tξ
的功率谱密度
∫∫∫
∫
∞
∞?
∞∞
∞
∞?
+=
=
00
00
])()()([
)()(
τβαβατβα
ττω
ωτ
ωτ
deddRhh
deRP
j
i
j
令 βαττ?+=
'
,则有
∫∫ ∫
∞∞ ∞
∞?
=
00
''
0
'
)()()()( ττββααω
ωτωβωα
deRdehdehP
j
i
jj
即
)()()()()()(
2
0
ωωωωωω
ii
PHPHHP ==
（2.4-8）
可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度 )(ω
i
P 与系统功率传输函数
2
)(ωH
的乘积。
例 2-2 带限白噪声。 试求功率谱密度为 2/
0
n 的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度，自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为
≤
=
其他0
)(
0 H
tj
eK
H
ωω
ω
ω
解 由上式得
H
KH ωωω ≤=,)(
2
0
2
。
Hi
n
KPHP ωωωωω ≤?==
2
)()()(
02
0
2
0
可见，输出噪声的功率谱密度在
H
ωω ≤ 内是均匀的，在此范围外则为零，
如图 2-5（a）所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为
τω
τω
ωω
π
τ
τπ
ωτ
H
H
H
fj
f
f
j
fnK
dfe
n
K
dePR
H
H
sin
2
)(
2
1
)(
0
2
0
202
0
00
=
=
=
∫
∫
∞
∞?
式中
HH
fπω 2= 。由此可见，带限白噪声只有在 ),3,2,1(2/L== kfk
H
τ 上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。
图 2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数
如图 2-5（b）所示，带限白噪声的自相关函数 )(
0
τR 在 0=τ 处有最大值，
这就是带限白噪声的平均功率
H
fnKR
0
2
00
)0( =
四,输出过程 )(
0
tξ 的概率分布
在已知输入过程分布的情况下，可以确定输出过程的分布。
从积分原理来看,
kkk
k
i
htt
k
τττξξ
τ
=
∑
∞
=
→?
)()(lim)(
0
0
0
如果 )(t
i
ξ 是高斯型的，所以，在任一时刻上的每项
kkki
ht τττξ )()( 都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。
这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。
§2．4 随机过程通过线性系统
通信系统中的信号或噪声一般都是随机的,因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题,随机过程通过系统 （或网络） 后,输出过程将是什么样的过程？
线性系统的响应 )(
0
tv 等于输入信号 )(tv
i
与系统的单位冲击响应 )(th 的卷积，即
τττ dthvthtvtv
ii
)()()()()(
0
=?=
∫
∞
∞?
（ 2.4-1）
若 )()(
00
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ii
Vtv?, )()( ωHth?,则有
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0
ωωω
i
VHV = （ 2.4-2）
若线性系统是物理可实现的，则
τττ dthvtv
t
i
)()()(
0
=
∫
∞?
（ 2.4-3）
或
∫
∞
=
0
0
)()()( τττ dtvhtv
i
（ 2.4-4）
如果把 )(tv
i
看作是输入随机过程的一个样本，则 )(
0
tv 可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程 )(t
i
ξ 的每个样本与输出过程 )(
0
tξ 的相应样本之间都满足式（ 2.4-4）的关系。这样，就整个过程而言，便有
∫
∞
=
0
0
)()()( ττξτξ dtht
i
（2.4-5）
假定输入 )(t
i
ξ 是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程 )(
0
tξ 的统计特性。
一,输出过程
)(
0
tξ
的数学期望
[]
∫∫∫
∞∞∞
=?=?=
000
0
)()]([)()()()]([ ττττξτττξτξ dhadtEhdthEtE
ii
因为
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=
0
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ω
求得
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∞
=
0
)()0( dtthH
所以
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0
HatE?=ξ （2.4-6）
由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数 H(0)
的乘积，且 E[ )(
0
tξ ]与 t 无关。
二,输出过程
)(
0
tξ
的自相关函数
[]
βαβτξαξβα
ββτξβααξα
τξξτ
ddttEhh
dthdthE
ttEttR
ii
ii
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)()()()(
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11
00
1
0
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0
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+?=
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∫∫
∫∫
∞∞
∞∞
根据平稳性
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11
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iii
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于是
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0
00
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i
=?+=+
∫∫
∞∞
（2.4-7）
可见,)(
0
tξ 的自相关函数只依赖时间间隔 τ 而与时间起点
1
t 无关。由以上（1）
及（2）证明，若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳。
三,输出过程
)(
0
tξ
的功率谱密度
∫∫∫
∫
∞
∞?
∞∞
∞
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+=
=
00
00
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)()(
τβαβατβα
ττω
ωτ
ωτ
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j
i
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令 βαττ?+=
'
,则有
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=
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ωτωβωα
deRdehdehP
j
i
jj
即
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2
0
ωωωωωω
ii
PHPHHP ==
（2.4-8）
可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度 )(ω
i
P 与系统功率传输函数
2
)(ωH
的乘积。
例 2-2 带限白噪声。 试求功率谱密度为 2/
0
n 的白噪声通过理想矩形的低通滤波器后的功率谱密度，自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为
≤
=
其他0
)(
0 H
tj
eK
H
ωω
ω
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解 由上式得
H
KH ωωω ≤=,)(
2
0
2
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2
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02
0
2
0
可见，输出噪声的功率谱密度在
H
ωω ≤ 内是均匀的，在此范围外则为零，
如图 2-5（a）所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为
τω
τω
ωω
π
τ
τπ
ωτ
H
H
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2
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2
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2
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∫
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∞?
式中
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fπω 2= 。由此可见，带限白噪声只有在 ),3,2,1(2/L== kfk
H
τ 上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。
图 2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数
如图 2-5（b）所示，带限白噪声的自相关函数 )(
0
τR 在 0=τ 处有最大值，
这就是带限白噪声的平均功率
H
fnKR
0
2
00
)0( =
四,输出过程 )(
0
tξ 的概率分布
在已知输入过程分布的情况下，可以确定输出过程的分布。
从积分原理来看,
kkk
k
i
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k
τττξξ
τ
=
∑
∞
=
→?
)()(lim)(
0
0
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如果 )(t
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ξ 是高斯型的，所以，在任一时刻上的每项
kkki
ht τττξ )()( 都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻上得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。
这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程仍为高斯过程。
