第四章 线性网络的基本定理
第一节 叠加定理
第二节 替代定理
第三节 戴维南定理与诺顿定理
第四节 最大功率传输定理
在多个电源同时作用的 线性电路 (电路参
数不随电压、电流的变化而改变 )中，任何支路的
电流或任意两点间的电压，都是各个电源单独作
用时所得结果的代数和。
+
B
I2
R1
I1
U1
R2
A
U2
I3
R3+
_
+
_
原电路
I2''
R1
I1''
R2
A
B
U2
I3''
R3
+
_
U2单独作用
概念,
+
_
A
U1
B
I2'
R1
I1'
R2
I3'
R3
U1单独作用
§ 4.1 叠加定理
证明,
B
R1
U1
R2
A
U2
I3
R3+
_
+
_
（以 I3为例）
I2'I1' A I2''I1''
"I'II"I'II" I'II 333222111 ??????
+
B
I2
R1
I1
U1
R2
A
U2
I3
R3+
_
+
_ U1
+
B_
R1
R2
I3'
R3
R1
R2
A
B U2
I3''
R3
+
_
2211
2
2
1
1
321
111
UKUKV
R
U
R
U
RRR
V
A
A
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
令：
22113
3
3
U'KU'KI
R
V
I
A
????
?
?
2211
2
2
1
1
321
111
UKUKV
R
U
R
U
RRR
V AA ????????
?
?
??
?
?
??
令：
A
B
R1
U1
R2
U2
I3
R3+
_
+
_
1
321
1 111
1
R
RRR
K
??
?
?
??
?
?
??
?
2
321
2 111
1
R
RRR
K
??
?
?
??
?
?
??
?
其中,
I3' I
3''
例
+
-
10?
I
4A
20V
10? 10? 用叠加 定理求：
I=?
I'=2A I"= -1A
I = I'+ I"= 1A
+
10?
I′
4A
10? 10?
+
-
10?
I " 20V
10? 10?
解：
应用叠加定理要注意的问题
1,叠加定理只适用于线性电路（电路参数不随电压、
电流的变化而改变）。
2,叠加时只将电源分别考虑，电路的结构和参数不变。
暂时不予考虑的恒压源应予以短路，即令 US=0；
暂时不予考虑的恒流源应予以开路，即令 Is=0。
3,解题时要标明各支路电流、电压的正方向。原电
路中各电压、电流的最后结果是各分电压、分电
流的代数和。
= +
4,叠加定理只能用于电压或电流的计算，不能用来
求功率。如：
5.运用叠加定理时也可以把电源分组求解，每个
分电路的电源个数可能不止一个。
333 " I'II ??
设：
3
2
33
2
3
3
2
333
2
33
)()(
)(
R"IR'I
R"I'IRIP
??
???
则：I3
R3
= +
补充
说明齐性定理
只有一个电源作用的线性电路中，各支路
的电压或电流和电源成正比。如：
R2
+
-U1
R3
I2 I3
R1
I1
若 U1 增加 n 倍，各电流也会增加 n 倍。
显而易见：
例
US =1V,IS=1A 时,Uo=0V
已知：
US =10 V,IS=0A 时,Uo=1V
求：
US =0 V,IS=10A 时,Uo=?
US
线性无
源网络 UO
IS
设解：
SSO IKUKU 21 ??
（ 1）和（ 2）联立求解得,1.01.0
21 ??? KK
当 US =1V,IS=1A 时，
)1(......011 21 ????? KKU O当 U
S =10 v,IS=0A 时，
)2(......1010 21 ????? KKU O
V1??OU? US =0 V,IS=10A 时
§ 4.2 替代定理
5ΩI1
15Ω
5Ω
10V
25V
I2
I3
由 叠加定理 得：
AIAIAI 1,1,2 321 ????
那么 I1支路可以用一个
IS=2A的电流源来替代。
15ΩIs=2A
5Ω
10V
I2
I3a
b
替代定理, 线性或非线性任意网络中，若已知第 k
条支路的电压为 u k,电流为 i k,则不论该支路有什
么元件组成，只要支路电压、电流均有唯一值，那么
这条支路可以用以下三种元件中的任意一种来代替：
① 电压为 u k的电压源
② 电流为 i k的电流源
③ 电阻为 u k /i k的电阻
名词解释,
无源二端网络：
二端网络中没有独立源
有源二端网络：
二端网络中含有独立源
二端网络,若一个电路只通过两个输出端与
外电路相联，则该电路称为“二
端网络, （ Two-terminals = One port）
A
B
A
B
§ 4.3 戴维南定理与诺顿定理
(一 ) 戴维南定理
有源
二端网络 R U
d
Rd
+
_
R
注意：,等效”是指对端口外等效。
概念, 有源二端网络用电压源模型等效。
等效电压源的内阻等于有源
二端网络相应无源二端网络
的输入电阻。（有源网络变
无源网络的原则是：电压源
短路，电流源断路 ）
等效电压源的电压
（ U d ）等于有源二端
网络的开端电压；
ABd RR ??
有源
二端网络 R
xd UU ?
有源
二端网络 xU
A
B
相应的
无源
二端网络
A
B
A
B U d
Rd
+
_
R
A
B
戴维南定理应用举例 （之一）
已知,R1=20 ?,R2=30 ?
R3=30 ?,R4=20 ?
U=10V
求：当 R5=10 ? 时,I5=?
R1
R3
+ _
R2
R4
R5
U
I5
R5
I5
R1
R3
+ _
R2
R4
U
等效电路
有源二端
网络
第一步：求开端电压 Ux
V2
2030
20
10
3020
30
10
43
4
21
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
RR
R
U
RR
R
U
UUU
DBADx
第二步：求输入电阻 Rd
Ux
R1
R3
+ _
R2
R4
U
A
B
C D C R
d
R1
R3
R2
R4
A
B
D
??
??
??
24
20//3030//20
//// 4321 RRRRR d
R5
+
_
U d
Rd
I5
等效电路
?? 24dR
V2?dU
R5
I5
R1
R3
+ _
R2
R4
U
第三步：求未知电流 I5
+
_
U d
Rd
R5
I5
U d = UX = 2V
Rd=24?
105 ??R
时
A0 5 9.0
1024
2
5
5
?
?
?
?
?
RR
U
I
d
d
戴维南定理应用举例 （之二）
求,U=?
4 ?
4 ?
50?
5 ?
33 ?
A
B
1A
RL+
_8V
_ +
10V
CD
E
U
第一步：求开端电压 Ux。
V9
54010
?
????
???? EBDECDACx UUUUU
_ +
4 ?
4 ?
50?
A
B
+
_8V
10V
CD
E
Ux
1A
5 ?
此值是所求
结果吗？
第二步：
求输入电阻 Rd。
Rd
??
???
57
54//450dR
4 ? 4 ?50?
5 ?
A
B
1A
+
_8V
_ +
10V
CD
E
Ux
4? 4?
50?
5?
+
_U d
Rd 57?
9V
33?
Ｕ
等效电路4 ?
4 ?
50?
5 ?
33 ?
A
B
1A
RL+
_8V
+
10V
CD
E
U
?? 57dR
V9?? xd UU
第三步：求解未知电压 Ｕ 。
V3.333
3357
9 ??
?
?U
+
_U d
Rd 57?
9V
33? Ｕ
戴维南定理的证明
0?I'
Ld RR
E
I"
?
? 2
有源
二端网络
I
Ux
RL
xUUU ?? 21
U1
= +有源二端网络
I'
Ux
+ _
RL
+
U2
I"
RL
无源
二端网络
(Rd)
_
_ +
I
_U1 U2
有源
二端网络 Ux
+
RL
Ld
x
Ld RR
U
RR
U
I"I'I
?
?
?
???? 20
U
+有源二端网络
I'
Ux
+ _
RL
+
E2
I"
RL
无源
二端网络
(Rd)
_
0?I'
Ld
d
RR
U
I"
?
?
(二 ) 诺顿定理
有源
二端
网络
A
B
概念, 有源二端网络用电流源模型等效。
=
A
BId
Rd
等效电流源 Id 为有源二端网络输出端的 短路电流
等效电阻 仍为 相 应无源二端网络的 输入电阻Rd
诺顿定理应用举例
R5
I5
R1
R3
+ _
R2
R4
U
等效电路
有源二端
网络
R1
R3
+ _
R2
R4
R5
U
I5
已知,R1=20 ?,R2=30 ?
R3=30 ?,R4=20 ?
U=10V
求：当 R5=10 ? 时,I5=?
第 一 步：求输入电阻 Rd。
??
??
24
//// 4321 RRRRR d
C Rd
R1
R3
R2
R4
A
B
D
R5
I5
R1
R3
+ _
R2
R4
U
R1=20 ?,R2=30 ?
R3=30 ?,R4=20 ?
U=10V
已知：
第二步：求短路电流 Id
V5
V10
0
??
?
?
BA
C
D
VV
V
V
则：
设：
VA=VB
Id =0?
R1//R3 R2//R4
+ -
U
A,B
C D
有源二端网络
D
R1
R3
+ _
R2
R4
U
A
C
B
R5
Id
R1=20 ?, R2=30 ?
R3=30 ?, R4=20 ?
U=10V
已知：
????
??
??
3020
V5
V10 0
21
RR
VV
VV
BA
CD
B
C
Id
D
R3
_
R2
R4
U
A
R1
+
I1
I2
A25.0
1
1 ?
?
?
R
VV
I AC
A1 6 7.0
2
2 ?
??
R
VVI DA
A0 8 3021,III d ???
R5
I5
R1
R3
+ _
R2
R4
U
I5 A
B
Id 24?
0.083A
R5 10?
Rd
等效电路
?? 24dR
A083.021 ??? III d
第三步：求解未知电流 I5。
A0 5 9.0
5
5 ?
?
?
RR
R
II
d
d
d
I5 A
B
Id 24?
0.083A
R5 10?
Rd
(三 ) 等效电阻的求解方法
求简单二端网络的等效内阻时，用串、
并联的方法即可求出。如前例：
C Rd
R1
R3
R2
R4
A
B
D
4321 //// RRRRR d ??
串 /并联方法?
不能用简单 串 /并联
方法求解，
怎么办？
求某些二端网络的等效内阻时，用串、并联
的方法则不行。如下图：
A
RdC
R1
R3
R2
R4
B
D
R0
方法一,开路、短路法。
求 开端电压 Ux
与 短路电流 Id
有源
网络 UX
有源
网络 Id
+
-
RO
U
Id= UR
O
UX=U+
-
RO
U
d
x
d I
UR ?
等效
内 阻
UX U
Id = U R
O
= RO = Rd
例
加负载电阻 RL
测负载电压 UL
方法二,负载电阻法
RL
UL有源
网络UX
有源
网络
测开路电压 UX
??
?
?
??
?
?
??
?
? 1
L
X
LdX
Ld
L
L U
U
RRU
RR
R
U
方法三,加压求流法
无源
网络
I
U
有源
网络
IUR d ?
则,
求电流 I
步骤,有源网络 无源网络
外加电压 U
U
I
R1 R2
Rd
+-
R1
R2+
-U1
U2
21
21
21
2121
11
1
)
11
(
RR
RR
RR
I
U
R
RR
U
R
U
R
U
I
d
?
?
?
??
????
?
加压
求流加压求流法举例
Rd
方法四,Y-?变换
1
2 3
B
A
C D Rd
A
C D
B
1
2 3
例
§ 4.4 最大功率传输定理
UOC
R e q
I
UL RL
RL为何值时 RL
有最大功率？
L
L
OC
LLL RRqURIUP 22 )Re( ????
RL在 0→∞ 之间的变化过程中会出现最大功率的
工作状态，这个功率最大值 P max应发生在
0?
L
L
dR
dP
即：
02)( R e
0
)( R e
)( R e2)( R e
4
2
2
???
?
?
???
LL
L
LLL
RRq
Rq
RqRRq
U
OC
负载 RL从有源网络中获取最大功率的条件：
电路的这种工作状态叫负载与网络的, 匹配, 。
qR L Re?
负载获得的最大功率为：
q
U
q
qUP OCOC
Re4)Re2(
Re 2
2
2
m a x ??
“匹配”时电路传输功率的效率为：
002
2
502)Re( ????
L
L
L
L
R
R
qRI
RI?
第四章
结束
第一节 叠加定理
第二节 替代定理
第三节 戴维南定理与诺顿定理
第四节 最大功率传输定理
在多个电源同时作用的 线性电路 (电路参
数不随电压、电流的变化而改变 )中，任何支路的
电流或任意两点间的电压，都是各个电源单独作
用时所得结果的代数和。
+
B
I2
R1
I1
U1
R2
A
U2
I3
R3+
_
+
_
原电路
I2''
R1
I1''
R2
A
B
U2
I3''
R3
+
_
U2单独作用
概念,
+
_
A
U1
B
I2'
R1
I1'
R2
I3'
R3
U1单独作用
§ 4.1 叠加定理
证明,
B
R1
U1
R2
A
U2
I3
R3+
_
+
_
（以 I3为例）
I2'I1' A I2''I1''
"I'II"I'II" I'II 333222111 ??????
+
B
I2
R1
I1
U1
R2
A
U2
I3
R3+
_
+
_ U1
+
B_
R1
R2
I3'
R3
R1
R2
A
B U2
I3''
R3
+
_
2211
2
2
1
1
321
111
UKUKV
R
U
R
U
RRR
V
A
A
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
令：
22113
3
3
U'KU'KI
R
V
I
A
????
?
?
2211
2
2
1
1
321
111
UKUKV
R
U
R
U
RRR
V AA ????????
?
?
??
?
?
??
令：
A
B
R1
U1
R2
U2
I3
R3+
_
+
_
1
321
1 111
1
R
RRR
K
??
?
?
??
?
?
??
?
2
321
2 111
1
R
RRR
K
??
?
?
??
?
?
??
?
其中,
I3' I
3''
例
+
-
10?
I
4A
20V
10? 10? 用叠加 定理求：
I=?
I'=2A I"= -1A
I = I'+ I"= 1A
+
10?
I′
4A
10? 10?
+
-
10?
I " 20V
10? 10?
解：
应用叠加定理要注意的问题
1,叠加定理只适用于线性电路（电路参数不随电压、
电流的变化而改变）。
2,叠加时只将电源分别考虑，电路的结构和参数不变。
暂时不予考虑的恒压源应予以短路，即令 US=0；
暂时不予考虑的恒流源应予以开路，即令 Is=0。
3,解题时要标明各支路电流、电压的正方向。原电
路中各电压、电流的最后结果是各分电压、分电
流的代数和。
= +
4,叠加定理只能用于电压或电流的计算，不能用来
求功率。如：
5.运用叠加定理时也可以把电源分组求解，每个
分电路的电源个数可能不止一个。
333 " I'II ??
设：
3
2
33
2
3
3
2
333
2
33
)()(
)(
R"IR'I
R"I'IRIP
??
???
则：I3
R3
= +
补充
说明齐性定理
只有一个电源作用的线性电路中，各支路
的电压或电流和电源成正比。如：
R2
+
-U1
R3
I2 I3
R1
I1
若 U1 增加 n 倍，各电流也会增加 n 倍。
显而易见：
例
US =1V,IS=1A 时,Uo=0V
已知：
US =10 V,IS=0A 时,Uo=1V
求：
US =0 V,IS=10A 时,Uo=?
US
线性无
源网络 UO
IS
设解：
SSO IKUKU 21 ??
（ 1）和（ 2）联立求解得,1.01.0
21 ??? KK
当 US =1V,IS=1A 时，
)1(......011 21 ????? KKU O当 U
S =10 v,IS=0A 时，
)2(......1010 21 ????? KKU O
V1??OU? US =0 V,IS=10A 时
§ 4.2 替代定理
5ΩI1
15Ω
5Ω
10V
25V
I2
I3
由 叠加定理 得：
AIAIAI 1,1,2 321 ????
那么 I1支路可以用一个
IS=2A的电流源来替代。
15ΩIs=2A
5Ω
10V
I2
I3a
b
替代定理, 线性或非线性任意网络中，若已知第 k
条支路的电压为 u k,电流为 i k,则不论该支路有什
么元件组成，只要支路电压、电流均有唯一值，那么
这条支路可以用以下三种元件中的任意一种来代替：
① 电压为 u k的电压源
② 电流为 i k的电流源
③ 电阻为 u k /i k的电阻
名词解释,
无源二端网络：
二端网络中没有独立源
有源二端网络：
二端网络中含有独立源
二端网络,若一个电路只通过两个输出端与
外电路相联，则该电路称为“二
端网络, （ Two-terminals = One port）
A
B
A
B
§ 4.3 戴维南定理与诺顿定理
(一 ) 戴维南定理
有源
二端网络 R U
d
Rd
+
_
R
注意：,等效”是指对端口外等效。
概念, 有源二端网络用电压源模型等效。
等效电压源的内阻等于有源
二端网络相应无源二端网络
的输入电阻。（有源网络变
无源网络的原则是：电压源
短路，电流源断路 ）
等效电压源的电压
（ U d ）等于有源二端
网络的开端电压；
ABd RR ??
有源
二端网络 R
xd UU ?
有源
二端网络 xU
A
B
相应的
无源
二端网络
A
B
A
B U d
Rd
+
_
R
A
B
戴维南定理应用举例 （之一）
已知,R1=20 ?,R2=30 ?
R3=30 ?,R4=20 ?
U=10V
求：当 R5=10 ? 时,I5=?
R1
R3
+ _
R2
R4
R5
U
I5
R5
I5
R1
R3
+ _
R2
R4
U
等效电路
有源二端
网络
第一步：求开端电压 Ux
V2
2030
20
10
3020
30
10
43
4
21
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
RR
R
U
RR
R
U
UUU
DBADx
第二步：求输入电阻 Rd
Ux
R1
R3
+ _
R2
R4
U
A
B
C D C R
d
R1
R3
R2
R4
A
B
D
??
??
??
24
20//3030//20
//// 4321 RRRRR d
R5
+
_
U d
Rd
I5
等效电路
?? 24dR
V2?dU
R5
I5
R1
R3
+ _
R2
R4
U
第三步：求未知电流 I5
+
_
U d
Rd
R5
I5
U d = UX = 2V
Rd=24?
105 ??R
时
A0 5 9.0
1024
2
5
5
?
?
?
?
?
RR
U
I
d
d
戴维南定理应用举例 （之二）
求,U=?
4 ?
4 ?
50?
5 ?
33 ?
A
B
1A
RL+
_8V
_ +
10V
CD
E
U
第一步：求开端电压 Ux。
V9
54010
?
????
???? EBDECDACx UUUUU
_ +
4 ?
4 ?
50?
A
B
+
_8V
10V
CD
E
Ux
1A
5 ?
此值是所求
结果吗？
第二步：
求输入电阻 Rd。
Rd
??
???
57
54//450dR
4 ? 4 ?50?
5 ?
A
B
1A
+
_8V
_ +
10V
CD
E
Ux
4? 4?
50?
5?
+
_U d
Rd 57?
9V
33?
Ｕ
等效电路4 ?
4 ?
50?
5 ?
33 ?
A
B
1A
RL+
_8V
+
10V
CD
E
U
?? 57dR
V9?? xd UU
第三步：求解未知电压 Ｕ 。
V3.333
3357
9 ??
?
?U
+
_U d
Rd 57?
9V
33? Ｕ
戴维南定理的证明
0?I'
Ld RR
E
I"
?
? 2
有源
二端网络
I
Ux
RL
xUUU ?? 21
U1
= +有源二端网络
I'
Ux
+ _
RL
+
U2
I"
RL
无源
二端网络
(Rd)
_
_ +
I
_U1 U2
有源
二端网络 Ux
+
RL
Ld
x
Ld RR
U
RR
U
I"I'I
?
?
?
???? 20
U
+有源二端网络
I'
Ux
+ _
RL
+
E2
I"
RL
无源
二端网络
(Rd)
_
0?I'
Ld
d
RR
U
I"
?
?
(二 ) 诺顿定理
有源
二端
网络
A
B
概念, 有源二端网络用电流源模型等效。
=
A
BId
Rd
等效电流源 Id 为有源二端网络输出端的 短路电流
等效电阻 仍为 相 应无源二端网络的 输入电阻Rd
诺顿定理应用举例
R5
I5
R1
R3
+ _
R2
R4
U
等效电路
有源二端
网络
R1
R3
+ _
R2
R4
R5
U
I5
已知,R1=20 ?,R2=30 ?
R3=30 ?,R4=20 ?
U=10V
求：当 R5=10 ? 时,I5=?
第 一 步：求输入电阻 Rd。
??
??
24
//// 4321 RRRRR d
C Rd
R1
R3
R2
R4
A
B
D
R5
I5
R1
R3
+ _
R2
R4
U
R1=20 ?,R2=30 ?
R3=30 ?,R4=20 ?
U=10V
已知：
第二步：求短路电流 Id
V5
V10
0
??
?
?
BA
C
D
VV
V
V
则：
设：
VA=VB
Id =0?
R1//R3 R2//R4
+ -
U
A,B
C D
有源二端网络
D
R1
R3
+ _
R2
R4
U
A
C
B
R5
Id
R1=20 ?, R2=30 ?
R3=30 ?, R4=20 ?
U=10V
已知：
????
??
??
3020
V5
V10 0
21
RR
VV
VV
BA
CD
B
C
Id
D
R3
_
R2
R4
U
A
R1
+
I1
I2
A25.0
1
1 ?
?
?
R
VV
I AC
A1 6 7.0
2
2 ?
??
R
VVI DA
A0 8 3021,III d ???
R5
I5
R1
R3
+ _
R2
R4
U
I5 A
B
Id 24?
0.083A
R5 10?
Rd
等效电路
?? 24dR
A083.021 ??? III d
第三步：求解未知电流 I5。
A0 5 9.0
5
5 ?
?
?
RR
R
II
d
d
d
I5 A
B
Id 24?
0.083A
R5 10?
Rd
(三 ) 等效电阻的求解方法
求简单二端网络的等效内阻时，用串、
并联的方法即可求出。如前例：
C Rd
R1
R3
R2
R4
A
B
D
4321 //// RRRRR d ??
串 /并联方法?
不能用简单 串 /并联
方法求解，
怎么办？
求某些二端网络的等效内阻时，用串、并联
的方法则不行。如下图：
A
RdC
R1
R3
R2
R4
B
D
R0
方法一,开路、短路法。
求 开端电压 Ux
与 短路电流 Id
有源
网络 UX
有源
网络 Id
+
-
RO
U
Id= UR
O
UX=U+
-
RO
U
d
x
d I
UR ?
等效
内 阻
UX U
Id = U R
O
= RO = Rd
例
加负载电阻 RL
测负载电压 UL
方法二,负载电阻法
RL
UL有源
网络UX
有源
网络
测开路电压 UX
??
?
?
??
?
?
??
?
? 1
L
X
LdX
Ld
L
L U
U
RRU
RR
R
U
方法三,加压求流法
无源
网络
I
U
有源
网络
IUR d ?
则,
求电流 I
步骤,有源网络 无源网络
外加电压 U
U
I
R1 R2
Rd
+-
R1
R2+
-U1
U2
21
21
21
2121
11
1
)
11
(
RR
RR
RR
I
U
R
RR
U
R
U
R
U
I
d
?
?
?
??
????
?
加压
求流加压求流法举例
Rd
方法四,Y-?变换
1
2 3
B
A
C D Rd
A
C D
B
1
2 3
例
§ 4.4 最大功率传输定理
UOC
R e q
I
UL RL
RL为何值时 RL
有最大功率？
L
L
OC
LLL RRqURIUP 22 )Re( ????
RL在 0→∞ 之间的变化过程中会出现最大功率的
工作状态，这个功率最大值 P max应发生在
0?
L
L
dR
dP
即：
02)( R e
0
)( R e
)( R e2)( R e
4
2
2
???
?
?
???
LL
L
LLL
RRq
Rq
RqRRq
U
OC
负载 RL从有源网络中获取最大功率的条件：
电路的这种工作状态叫负载与网络的, 匹配, 。
qR L Re?
负载获得的最大功率为：
q
U
q
qUP OCOC
Re4)Re2(
Re 2
2
2
m a x ??
“匹配”时电路传输功率的效率为：
002
2
502)Re( ????
L
L
L
L
R
R
qRI
RI?
第四章
结束
