第十章 线性电路过渡过程的复频域分析
第一节 拉普拉斯变换及其性质
第二节 拉普拉斯反变换
第三节 运算形式的电路定律
第四节 用运算法分析线性网络
应用拉普拉斯变换可以把时域中的微分和积分运
算变换为复频域中的代数运算，从而把时域中
的微分方程变换为复频域中的代数方程，这就
是复频域分析法，也称为运算法。
运算法中首先要解决的是如何把电路中的时间函
数 f(t)变换为对应的复变函数 F(s)，这就是拉普
拉斯变换。
§ 10.1 拉普拉斯变换及其性质
一、拉氏正变换的定义
设函数 f（ t）满足狄里赫利条件，且在 t≥ 0
时有定义，定义为：
dtetfsF
st??
? ?? 0 )()(
?? js ?? 是一个复变量，它具有与频率相同的量纲，
故称为复频率。上式通常表示为：
)]([)( tfLsF ?
其中
)(tf 称为原函数
)(sF
称为 f（ t)的象函数
它们之间是一一对应的关系。今后均用小写字
母表示原函数，用大写字母表示象函数。
常用函数的拉氏变换见教材
二、拉氏变换的性质
1、线性性质
)()]([
)()]([
22
11
SFtfL
sFtfL
?
?若,
a和 b为两个任意常数,则
)()()]()([ 2121 sbFsaFtbftafL ???
?
2、微分性质
若,
)0()()]([
),()]([
???
?
fssFtf
dt
d
L
sFtfL
则,
§ 10.2 拉普拉斯反变换
在运算法中，还需要把象函数 F（ s)变换
为电路中的原函数，这就需要进行拉氏反
变换，拉氏反变换可记为：
)]([)( 1 sFLtf ??
用定义法求 F(s)的拉氏反变换涉及到以 s
为变量的复变函数的积分，比较复杂。
实际上通常采用查表法。
§ 10.3 运算形式的电路定律
用运算法求解电路时，可以直接将电路
变换为运算形式，并按运算形式电路中各电压、
电流象函数的关系列写代数方程求解，然后进
行反变换而得出电路的时域解。
一、电路元件的复频域模型
i R (t)
R
A B
u R (t)
IR(s)
R
A B
u(s)
1、电阻元件在复频域中的伏安关系式
)()( sRIsU RR ?
2、电感元件在复频域中的伏安关系式
)0()()( ??? LLL Liss L IsU
L
B
i L( t )
A
u L( t )
B
IL(S) s L
A
UL(S)
s i L ( t )
3、电容元件在复频域中的伏安关系式
s
u
sI
sC
sU
c
Cc
)0(
)(
1
)(
?
??
i C( t )
A
u c ( t )
C
B
I c (S) 1/s c
A
UC(S)
uc(0)/s
B
二、运算形式的基尔霍夫定律
? ? 0)( sI ? ? 0)( sU
三、运算形式的欧姆定律
如图所示的 R,L,C串联电路，其电感和
电容上的初始值分别为 i（ 0-）和 u c（ 0-）
画出其运算电路。
例
u（ t )
i (t) R L
C u c
S
(t=0)
I(S) R s L
Li(0-)
1/sc
U(S)
uc(0-)/s
§ 10.4 用运算法分析线性网络
用运算法分析线性网络的一般步骤：
1）确定动态元件的初始条件
2）画出换路后的运算电路图，图中把各电源激
励用像函数表示；各元件分别用其对应的运算
阻抗表示；动态元件的初始条件用附加电源表
示；并注意它们的方向。
3）仿照求解线性电路的定律和方法计算运
算电路，求出带求响应的像函数
4）将待求相应的像函数进行拉氏反变换，得
到待求相应的原函数。
第十章
结束
第一节 拉普拉斯变换及其性质
第二节 拉普拉斯反变换
第三节 运算形式的电路定律
第四节 用运算法分析线性网络
应用拉普拉斯变换可以把时域中的微分和积分运
算变换为复频域中的代数运算，从而把时域中
的微分方程变换为复频域中的代数方程，这就
是复频域分析法，也称为运算法。
运算法中首先要解决的是如何把电路中的时间函
数 f(t)变换为对应的复变函数 F(s)，这就是拉普
拉斯变换。
§ 10.1 拉普拉斯变换及其性质
一、拉氏正变换的定义
设函数 f（ t）满足狄里赫利条件，且在 t≥ 0
时有定义，定义为：
dtetfsF
st??
? ?? 0 )()(
?? js ?? 是一个复变量，它具有与频率相同的量纲，
故称为复频率。上式通常表示为：
)]([)( tfLsF ?
其中
)(tf 称为原函数
)(sF
称为 f（ t)的象函数
它们之间是一一对应的关系。今后均用小写字
母表示原函数，用大写字母表示象函数。
常用函数的拉氏变换见教材
二、拉氏变换的性质
1、线性性质
)()]([
)()]([
22
11
SFtfL
sFtfL
?
?若,
a和 b为两个任意常数,则
)()()]()([ 2121 sbFsaFtbftafL ???
?
2、微分性质
若,
)0()()]([
),()]([
???
?
fssFtf
dt
d
L
sFtfL
则,
§ 10.2 拉普拉斯反变换
在运算法中，还需要把象函数 F（ s)变换
为电路中的原函数，这就需要进行拉氏反
变换，拉氏反变换可记为：
)]([)( 1 sFLtf ??
用定义法求 F(s)的拉氏反变换涉及到以 s
为变量的复变函数的积分，比较复杂。
实际上通常采用查表法。
§ 10.3 运算形式的电路定律
用运算法求解电路时，可以直接将电路
变换为运算形式，并按运算形式电路中各电压、
电流象函数的关系列写代数方程求解，然后进
行反变换而得出电路的时域解。
一、电路元件的复频域模型
i R (t)
R
A B
u R (t)
IR(s)
R
A B
u(s)
1、电阻元件在复频域中的伏安关系式
)()( sRIsU RR ?
2、电感元件在复频域中的伏安关系式
)0()()( ??? LLL Liss L IsU
L
B
i L( t )
A
u L( t )
B
IL(S) s L
A
UL(S)
s i L ( t )
3、电容元件在复频域中的伏安关系式
s
u
sI
sC
sU
c
Cc
)0(
)(
1
)(
?
??
i C( t )
A
u c ( t )
C
B
I c (S) 1/s c
A
UC(S)
uc(0)/s
B
二、运算形式的基尔霍夫定律
? ? 0)( sI ? ? 0)( sU
三、运算形式的欧姆定律
如图所示的 R,L,C串联电路，其电感和
电容上的初始值分别为 i（ 0-）和 u c（ 0-）
画出其运算电路。
例
u（ t )
i (t) R L
C u c
S
(t=0)
I(S) R s L
Li(0-)
1/sc
U(S)
uc(0-)/s
§ 10.4 用运算法分析线性网络
用运算法分析线性网络的一般步骤：
1）确定动态元件的初始条件
2）画出换路后的运算电路图，图中把各电源激
励用像函数表示；各元件分别用其对应的运算
阻抗表示；动态元件的初始条件用附加电源表
示；并注意它们的方向。
3）仿照求解线性电路的定律和方法计算运
算电路，求出带求响应的像函数
4）将待求相应的像函数进行拉氏反变换，得
到待求相应的原函数。
第十章
结束
