第五章 正弦稳态电路
第一节 正弦量的基本概念
第二节 正弦量的相量表示法
第三节 电阻元件伏安关系的相量形式
第四节 电感元件伏安关系的相量形式
第五节 电容元件伏安关系的相量形式
第六节 基尔霍夫定律的相量形式
第七节 R,L,C串联电路及复阻抗
第八节 R,L,C并联电路及复导纳
第九节 无源二端网络的等效复阻抗和复导纳
第十一节 正弦电流电路的分析计算
第十二节 正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率
第十三节 二端网络的功率
第十四节 功率因数的提高及有功功率的测量
第十五节 串联电路的谐振
第十六节 并联电路的谐振
一、交流电的概念
如果电流或电压每经过一定时间 （ T ）就重
复变化一次，则此种电流,电压称为周期性交
流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯
齿波 等。
记做,u(t) = u(t + T )
T
u
t
u
T
t
§ 5.1 正弦量的基本概念
二、正弦交流电路,
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正
弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也
是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
正弦交流电的优越性：
便于传输；
便于运算；
有利于电器设备的运行；
.,,,,
1、正弦交流电的方向,
正弦交流电也有正方向,一般按正半周方向假设。
i
u R
实际方向和假设方向一致
实际方向和假设方向相反
t
i
交流电路进行计算时，首先也要规定物理量
的正方向，然后才能用数字表达式来描述。
2、正弦波的特征量,
? t ?
i
mI
? ??? ?? tIi m s i n
,电流幅值（最大值）
,角频率（弧度 /秒）
,初相角
mI
?
?
特征量,
正弦波特征量之一 —— 幅度
? ??? ?? tIi m s i n
为正弦电流的最大值
mI
最大值
电量名称必须大
写,下标加 m。
如,Um,Im
在工程应用中常用 有效值 表示幅度。常用交流电
表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效
值。标准电压 220V,也是指供电电压的有效值。
tRi
T
d
0
2?
交流 直流
RTI 2?
热效应相当
有
效
值
概
念
电量必须大写
如,U,I
有效值
则有
??
T
ti
T
I
0
2 d1
（均方根值）
可得
2
mII ?当
时，? ?
?? ?? tIi m s i n
问题与讨论
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用
于 220V 的线路上?
电器~ 220V 最高耐压
=300V
?2
有效值 U = 220V
最大值 Um = 220V = 311V
电源电压
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，
所以 不能用 。
正弦波特征量之二 —— 角频率i
t ?
T
描述变化周期的几种方法：
1,周期 T,变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒,.
2,频率 f：每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹,..
3,角频率 ω, 每秒变化的弧度 单位：弧度 /秒
T
f 1? fT π2
π2 ???
小常识
* 电网频率,中国 50 Hz
美国,日本 60 Hz
* 有线通讯频率,300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率,30 kHz - 3× 104 MHz
正弦波特征量之三 —— 初相位
? ??? ?? tIi s i n2
）（ ?? ?t, 正弦波的相位角或相位。
,t = 0 时的相位，称为 初相位或初相角 。? i
?
t ?
说明,给出了观察正弦波的起点或参考点，?
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
两个同频率正弦量间的相位差 ( 初相差 )
1?
2?
2i1i
? t
i
? ?
? ?222
111
s i n
s i n
??
??
??
??
tIi
tIi
m
m
? ? ? ? 1212 ??????? ?????? tt
概念, 一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的
有向线段在纵轴上的投影值来表示。
矢量长度 =
mU
?
矢量与横轴夹角 = 初相位
ω矢量以角速度 按逆时针方向旋转
? ??? ?? tUu m s i n
?
?
mU
t ?
ω
u
§ 5.2 正弦量的相量表示法
?
IU ??,3,相量符号 包含幅度与相位信息。
有效值
1,描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。
若其幅度用最大值表示,则用符号：
mm IU,
mU
U
最大值相量的书写方式
2,在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
IU,
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu
1U?
1?
2U?
2?
2U?
落后于
1U? 1
U?2U?
领先
落后？
正弦波的相量表示法举例
例 1,将 u1,u2 用相量表示。
相位：
幅度,相量大小
12 UU ?
12 ?? ?
设：
21 UUU
??? ??
U?
?
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu
同频率正弦波的
相量画在一起，
构成相量图。
例 2,同频率 正弦波相加 --平行四边形法则
2?
2U?
1U?
1?
注意,
1,只有正弦量 才能用相量表示，非正弦量不可以。
2,只有 同频率 的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。
新问题 提出：
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入 相量的复数运算法。
相量 复数表示法 复数运算
?? s i njco sj UUbaU ?????
相量的复数表示
a
b
U?
U
?
j
+1
将复数 U? 放到复平面上，可如下表示：
a
b
baU
1
22
t a n
?
?
??
?
j2
ee
s i n
2
ee
c o s
jj
jj
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?欧
拉
公
式
?
??
?
??
?
??
??
U
U
U
baU
j
e
)s i nj( c o s
j
?
代数式
指数式
极坐标形式
a
b
U?
U
?
?jej UbaU ???? ?
在第一象限
设 a,b为正实数
?jej UbaU ????? ?
在第二象限
?jej UbaU ????? ?
在第三象限
?
在第四象限
?jej UbaU ????
相量的复数运算
1,加,减运算
222
111
j
j
baU
baU
??
??
?
?
设：
?j
2121
21
e
)(j)(
U
bbaa
UUU
?
????
?? ???
则：
2,乘法运算
2
1
j
22
j
11
e
e
?
?
UU
UU
?
?
?
?设,
)(j
21
21
21e ?? ????
??
UU
UUU ???
则,
设：任一相量 A?
则, ?? ? ?? 90jeA
A)j( ??
90° 旋转因子。 +j 逆时针
转 90°, -j 顺时针转 90°
说明：
3,除法运算
2
1
j
22
j
11
e
e
?
?
UU
UU
?
?
?
?
设,
? ?21j
2
1
2
1 e ?? ??
U
U
U
U
?
?
则：
复数符号法应用举例
解,
A50j6.86301 0 030
2
4.1 4 1 ?????? ???I
V5.190j1106022060
2
1.311 ???????? ???U
例 1,已知瞬时值，求相量。
已知,
V
3
π
314s in1.311
A
6
π
314s in4.141
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
tu
ti
求,i, u
的相量
A50j6.863010030
2
4.141 ?????? ???I
V5.1 9 0j1 1 0602 2 060
2
1.3 1 1 ???????? ???U
220
3π?
U?
I?
100
6π
求：
21 ii,
例 2,已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为：
Ae10
A60100
30j
2
1
??
? ?
?
???
I
I
A )306280s i n (210
A )606280s i n (2100
2
1
?
?
??
??
ti
ti
解,
62801000π2π2 ???? f? srad
波形图
瞬时值
相量图
复数
符号法
U?
I?
?? ????? UUbaU jej?
小结：正弦波的四种表示法
? ??? ?? tUu m s i n
T
mI
?
t ?
i
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如：
4j3 ???U?
4j3 ??U? )153s i n (25 ???? tu ?
4j3 ??U? )153s i n (25 ???? tu ?
)9126s i n (25 ???? tu ?
4j3 ???U? )9126s i n (25 ???? tu ?
符号说明
瞬时值 --- 小写 u,i
有效值 --- 大写 U,I
复数、相量 --- 大写 +,.” U?
最大值 --- 大写 +下标
mU
正误判断
Utu ??? s i n1 0 0 ?
？
瞬时值 复数
)15s i n (250e50 15j ?? ??? ? tU ?
瞬时值复数
?45
2
10
??I
已知：
)45s i n (10 ??? ti ?
正误判断
？
?? 45e10?
mI
？有效值
j45?
则,
已知：
)15(s i n102 ??? tu ?
10?U
正误判断
?? 15je10?U？
？?
?15?
则：
)50(s i n1 0 0 ??? ti ?
已知：
?? 50100 ??I
？
正误判断
最大值
21002 ?? II m
一,电阻电路
u i R
根据 欧姆定律
iRu ?
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s i n2s i n2
s i n2
???
?设
则
§ 5.3 电阻元件伏安关系的相量形式
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s i n2s i n2
s i n2
???
?
1,频率相同 2,相位相同
3.有效值关系,
IRU ?
二、电阻电路中电流、电压的关系
4.相量关系, 设 ?? 0?? UU U?
I?
0 ?? ??
R
UI则 RIU ?? ?或
?? ???
TT
tiu
T
tp
T
P
00
d
1
d
1
tUu
tIi
?
?
s i n2
s i n2
?
?
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIttUI
T
ttUI
T
T
T
?
?
???
?
0
0
2
d)2c o s1(
1
ds i n2
1
?
?
大写
IUP ??
u
i
R
一、电感电路
t
iLu
d
d?基本关系式,
i
u L
tIi ?si n2?设
)90s i n (2
)90s i n (2
c o s2
d
d
?
?
??
??
???
tU
tLI
tLI
t
i
Lu
?
??
??则
§ 5.4 电感元件伏安关系的相量形式
二、电感电路中电流、电压的关系
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 领先 i 90° ）
)90s i n (2
)90s i n (2
?
?
??
??
tU
tLIu
?
??tIi ?s i n2?
i
u
t?
?90
U?
I?
LI?
I
设,
3,有效值 LIU ??
感抗 （ Ω ）LX
L ??
定义：
)90s i n (2
)90s i n (2
?
?
??
??
tU
tLIu
?
??
LXIU ?
则：
U?
I?
4,相量关系
)90s i n (2 ??? tUu ?
tIi ?s i n2?
?? 0?? II设：
??? 9090 ???? LIUU ?
)j(e
9090
90j
L
XILIU
L
I
U
I
U
????
????
???
?
?
?
??
?
?
则：
u,i 相位不一致 ！
? ?LXIU j?? ?
三、电感电路中复数形式的欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
U?
I?
Liu ??？
U?
领先 ！
感抗（ XL =ωL ） 是频率的函数,表示电感电路中
电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
ω
XL
LL XIU ?
ω = 0 时
XL = 0
四、关于感抗的讨论
u
+
_ L
R
直流
U+_
R
基本关系式,
t
uCi
d
d?
设, tUu ?s i n2?
一,电容电路
u
i
C
)90s in (2
c o s2
d
d
?
???
??
tCU
tUC
t
u
Ci
??
??
则,
§ 5.5 电容元件伏安关系的相量形式
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 落后 i 90° ）
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
二、电容电路中电流、电压的关系
iu
t?
?90
I?
CU?
U?
U
3,有效值 或CUI ??? I
C
U
?
1?
容抗 （ Ω）
C
X C
?
1?定义：
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
CXIU ?
则：
I
4,相量关系
设,?? 0?? UU
??? 9090 ???? CUII ? I?
U?
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
?
?
?
901 ???
CI
U
?
则：
CXICIU
??? ? j901 ?????
?
? ?CXIU j?? ??
三、电容电路中复数形式的欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
U?
I? I? 领先 ！
U
+
-ω
C
X c
?
1?
u
+
-
四、关于容抗的讨论
直流
是频率的函数,表示电容
电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦
波有效 。
容抗
）（
C
X C
?
1?
ω＝ 0 时
??cX
已知,C ＝ 1μF
)
6
314s i n (27.70
?
?? tu
求, I, i
例
u
i
C
解,
????? ? 318010314 11 6CX C ?
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70
???
CX
U
I
求电容电路中的电流
mA)
3
3 1 4s i n (2.222
)
26
3 1 4s i n (2.222
?
??
???
????
t
ti
瞬时值 i 领先于 u 90°
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70 ???
CX
UI
U?
I?
6??
3?
电路参数
LX L ?jj ?
dt
diLu ?
基本关系
复阻抗
L U?
I?
C
X C
?
1
jj ???
复阻抗
电路参数
dt
duCi ?
基本关系C
U?
I?
电路参数 R 基本关系 iRu ?
复阻抗 R U?
I?
小 结
电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、基尔霍
夫定律 。
t
i
LiR
uuu
LR
d
d
??
??
uL
i
uRu R
L
§ 5.6 基尔霍夫定律的相量形式
电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、
基尔霍夫定律。
U?
I?
LU?
RU?
? ?
)j
j
LLR
LLR
XRIUUU
XIURIU
????
??
（
、
????
????
R
L
I?
U?
RU?
LU?
0 0 ?? ?? IU ??
在电阻电路中,
正误判断
R
u
i ?
？
R
U
i ?
R
U
I ?
？
？
瞬时值 有效值
?
?
在电感电路中, 正误判断
？
？？
？
LX
u
i ? L
ui
?
?
L
UI
?
?
LXI
U ?
?
?Lj
I
U ??？
?
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路
参数
电路图
（正方向）
复数
阻抗
电压、电流关系
瞬时值 有效值 相量图 相量式
功率
有功功率 无功功率
R
i
u
iRu?
R
设
则
tUu ?s in2?
tIi ?s in2?
IRU? RIU ?? ?
U?I?
u,i 同相
UI 0
L
i
u
dtdiLu?
C
i
u dtduCi?
L
XL
?j
j
?
C
C
XC
?
?
j
1
1j
j
?
??
?
设
则
tIi ?sin2?
)90s i n (
2
??
?
t
LIu
?
?
设
则
tUu ?s in2?
)90s i n (
12
??
?
t
C
Ui
?
?
LX
IXU
L
L???
CX
IXU
C
C
?1?
?
U?
I?
u领先 i 90°
U?
I?
u落后 i 90°
? ?LXIU j?? ?
? ?CXIU j?? ??
0
0
LXI
UI
2
CXI
UI
2?
?
基本
关系
)90s i n ()
1
(2
)90s i n ()(2
s i n2
?
?
??
??
?
t
C
I
tLI
tIRu
?
?
??
?
tIi ?s i n2?若
则
CLR uuuu ???
一,电流、电压的关系
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
§ 5.7 R,L,C串联电路及复阻抗
? ? ? ?
? ?? ?CL
CL
XXRI
XIXIRIU
???
????
j
jj
?
????
总电压与总电流
的关系式
CLR UUUU ???? ???
相量方程式：
则
? ?
? ?
CC
LL
R
XIU
XIU
RIU
j
j
??
?
?
??
??
??
相量模型
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
??? 0II?设 （参考相量）
二,R-L-C 串联交流电路 —— 相量图
先画出参
考相量
CU?
U?
LU?
I?
? ?? ?CL XXRIU ??? j??
相量表达式,
RU?
CL UU ?? ?
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
电压
三角形
Z：复阻抗
实部为阻
虚部为抗 容抗感抗
? ?? ?CL XXRIU ??? j??
? ?CL XXRZ ??? j
令
则
ZIU ?? ?
三,R-L-C串联交流电路中的复数形式欧姆定律
复数形式的
欧姆定律
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在正弦交流电路中，只要物理量用相量
表示,元件参数用复数阻抗表示，则电路
方程式的形式与直流电路相似。
是一个复数，但并不是正弦交流
量，上面 不能加点 。 Z 在方程式中
只是一个运算工具 。
Z
说明：
? ?CL XXRZ ??? j
?
ZIU ?? ?
?
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示，
电路参数用复数阻抗（ )
表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相
似。
IU ??、
CL XCXLRR jj ????,、
? 单一参数电路中复数形式的欧姆定律
电阻电路
RIU ?? ? )j(
LXIU ?? ?
电感电路
)j( CXIU ?? ??
电容电路
复数形式的欧姆定律
四、关于复阻抗 Z 的讨论
iu
i
u
I
U
Z
I
U
I
U
Z ???
?
?
?????
?
?
?? ?
?
ZIU ?? ?
由复数形式的欧姆定律 可得：
结论,Ｚ 的模为电路总电压和总电流有效值之比，
而 Ｚ 的幅角则为 总电压和总电流的相位差。
iu ??? ??
I
UZ ?
1,Z 和总电流、总电压的关系
2,Z 和电路性质的关系
? ?CL XXRZZ ????? j?
一定时电
路性质由参
数决定
?
R
XX CL
iu
?
??? ? 1t a n???
当 时, 表示 u 领先 i －－ 电路呈感性
CL XX ? 0??
CL XX ? 0??
当 时,表示 u, i同相 －－ 电路呈电阻性
CL XX ? 0??
当 时, 表示 u 落后 i －－ 电路呈容性
阻抗角
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
假设 R,L,C已定，
电路性质能否确定？
（阻性？感性？容性？）
不能！
当 ω不同时，可能出现,
XL > XC,或 XL < XC,或 XL =XC 。
C
XLX CL
?
?
1
??,
?
3,阻抗（ Z）三角形
阻抗
三角形
Z
?
R
CL XXX ??
R
XX
XXRZ
CL
CL
?
?
???
? 1
22
t a n
)(
?
?????? ZXXRZ CL )(j
4,阻抗三角形和电压三角形的关系
电压三
角形 阻抗三 角形
相
似
? ?? ?CL
CLR
XXRI
UUUU
???
???
j?
???? ? ?
CL XXRZ ??? j
?
Z
R
CL XXX ??
CU?
?
RU?
U?
LU?
CL UU ?? ?
I?
导纳的概念
XRZ j??
设,
2222
22
j
j
j
11
XR
X
XR
R
XR
XR
XRZ
Y
?
?
?
?
?
?
?
?
??
则,
电导 电纳
导纳适合于并联电路的计算,单位是西门子 ( s )。
导纳
§ 5.8 R,L,C并联电路及复导纳
§ 5.9无源二端网络的等效复阻抗和复导纳
一,简单串并联电路
Z1
Z2
I?
iU? o
U?
oiO uU
ZZ
Z
U ?
?
? ??
21
2
i
Z1
Z2iu ou
Z1 Z2
I?
2I?
iU?
1I?
i
Z1 Z2
iu
1i 2i
YUYYUI ??? ??? ）（ 21
Y1,Y2 --- 导纳
）（
2121
21
11
ZZ
U
Z
U
Z
U
III ?????? ?
??
???
Y1 Y2
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
EeIiUu
XCXLRR CL
??? ???
????
j j
、、
、、
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图
3、用复数符号法或相量图求解
4、将结果变换成要求的形式
在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参
数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、
公式、分析方法都能用。具体步骤如下：
§ 5.11 正弦电流电路的分析计算
例 1
解题方法有两种, 1.利用复数进行相量运算
2.利用相量图求结果
下图中已知,I1=10A,UAB =100V，
求,A, UO 的读数
2I?
A
1I?
A BC2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
I?
解法 1,利用复数进行相量运算
已知,I1=10A、
UAB =100V，
则：
A45210j551002 ?? ?????I
A10j90101 ??? ??I
A01021 ???? ???? III
A读数为 10安?
求,A,UO的读数
即,V0100U
AB ?? ??
设,为参考相量，
ABU?
2I?
A
1I?
A BC2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
I?
A01021 ???? ???? III
V1 0 0j)10j1 ???? （IU C ??
V4521 0 0
1 0 0j1 0 01
?
???
???
???? ABCo UUU
UO读数为 141伏?
求,A,UO的读数
已知,I1=10A、
UAB =100V，
2I?
A
1I?
A BC2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
I?
解法 2,利用相量图求解
设,V01 0 0 ?? ??
ABU
ABU?
2I?
45°由已知
条件得：
1 0 A1 ?I,领先 90°
1I?
2I?
A210
55
1 0 0
222 ???I
ABU?
45°落后于
I=10 A,UO =141V由图得：
21 III ??? ??
ABCo UUU ??? ?? 1
求,A,UO的读数
已知,I1=10A,UAB =100V，
UC1=I XC1=100V
uC1落后于 i 90°
2 I?
A
1I?
A BC2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
I?
1CU? OU?
I?
例 2
已知：
)1s i n ( ?? ?? tIi ms
)2s i n ( ?? ?? tEe m
R1,R2,L,C
求：各支路电流的大小
ei
si
e
L
C
Li
2Ri
1R
2R
相量模型
原始电路
sI?
LI? 2RI? eI
?
LXj
CXj?
E?
1R
2R
si
e
L
C
Li
2Ri
1R
2R
解法一 节点电位法
A
C
X
LX
E
E
I
I
C
L
m
m
S
?
?
?
?
1
jj
jj
2
2
2
1
???
?
??
??
?
?
已知参数：
CL
C
S
A
XRX
X
E
I
U
j
11
j
1
j
2
?
??
?
??
?
?
?
节
点
方
程
sI?
LI? 2RI? eI
?
LXj
CXj?
E?
1R
2R
e
C
A
e
R
A
R
L
L
A
L
i
X
EU
I
i
R
U
I
i
X
U
I
?
?
?
?
??
??
j
j
2
2
2
??
?
?
?
?
?
由节点电位便求出各支路电流：
解法二,叠加定理
SI?
R1
R2
'IL? 'IR2?
'Ie?
LXj
CXj?
eI??
R1
R2
LI?? 2RI???
LXj
CXj?
E?
+
eee
RRR
LLL
III
III
III
?????
?????
?????
??
???
???
222
sI?
LI? 2RI? eI
?
LXj
CXj?
E?
1R
2R
解法三：
2j RXZ L?
)RX（IE LSS 2j?? ?
戴维南定理
求
eI? ABU? LI?
、
2RI?
sI?
LI? 2RI?
LXj
eI?
CXj?
E?
1R
2R
B
A
eI?
CXj?
E?
Z
SE?
§ 5.12 正弦交流电路中电阻、电
感、电容元件的功率
一、电阻电路中的功率
)(s in2
)(s in2
tUu
tIi
?
?
?
?
RuiRiup /22 ????
u
i
R
1,瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积
小写
1,（耗能元件）
0?p
结论：
2,随时间变化
p
22 iu,
3,与 成比例
p
RuiRiup /22 ????
ω tu
i
p
ω t
?? ???
TT
tiu
T
tp
T
P
00
d
1
d
1
tUu
tIi
?
?
s i n2
s i n2
?
?
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIttUI
T
ttUI
T
T
T
?
?
???
?
0
0
2
d)2c o s1(
1
ds i n2
1
?
?
大写
IUP ??
u
i
R
二、电感电路中的功率
)90s i n (2
s i n2
???
?
tUu
tIi
?
?
tUI
ttUIuip
?
??
2s i n
c o ss i n2
?
???
1,瞬时功率 p
i
u L
储存
能量
p <0
释放
能量
+
p >0
p <0
可逆的
能量转换
过程
tUIuip ?2s i n???
u
i
u
i
u
i
u
i
i
u L
+
P
p >0 t?
u i
t?
2,平均功率 P （有功功率）
0d)2(s i n
1
d
1
0
0
??
?
?
?
ttUI
T
tp
T
P
T
T
?
结论,纯电感不消耗能量,只和电源进行能量
交换。
tUIuip ?2s i n???
3,无功功率 Q
L
L X
UXIIUQ 22 ???
Q 的单位：乏、千乏 (var,kvar)
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用
以衡量电感电路中能量交换的规模。
tUIuip ?2s i n???
三、电容电路中的功率
u
i
)90s in (2
s in2
?
??
?
tUu
tIi
?
?
tIUuip ?2s i n????
1,瞬时功率 p
tIUuip ?2s i n????
充电
p 放电放电
P < 0
释放
能量
充电
P > 0
储存
能量
u
i
u
i
u
i
u
i
i u
ωt
?
?
???
?
T
T
ttIU
T
tP
T
P
0
0
0d2s i n
1
d
1
?
2,平均功率 P
tIUuip ?2s i n????
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
3,无功功率 Q
（电容性无功取负值）
UIQ ??
tUIp ?2s i n??
CLR
pppiup ?????
1,瞬时功率
2,平均功率 P （有功功率）
RIIUP
tppp
T
tp
T
P
RR
T
CLR
T
2
0
0
d)(
1
d
1
???
???
?
?
?
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
§ 5.13 二端网络的功率
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
IUP R?
平均功率 P与总电压 U、总电流 I 间的关系：
RU?
U?
?
CL UU ?? ?
?cos
-----功率因数
?c o sUU R ?
其中：
?c o sUIP ?
?
在 R,L,C 串联的电路中，储能元件 R,L,C
虽然不消耗能量，但存在能量吞吐,吞吐的规模用
无功功率来表示。其大小为：
?s i nIU
IUU
IUIU
QQQ
CL
CL
CL
?
???
???
??
）（
）（
3,无功功率 Q：
RU?
U?
?
CL UU ?? ?
4,视在功率 S,电路中总电压与总电流有效值的乘积。
UIS ? 单位：伏安、千伏安
?
P
Q
（有助记忆）
S
注,S＝ U I 可用来衡量发电机可能提供的最大
功率（额定电压 × 额定电流）
视在功率
UIS ?
5,功率三角形
?s inUIQ ?
无功功率
?c o sUIP ?
有功功率
_
+
+_
p
设 i 领先 u,（电容性电路）
?s inUI
?c o sUI
R,L,C 串联电路中的功率关系
t?
i u
RU?
U?
CL UU ?? ?
电压三角形
S
Q
P
功率三角形
CL XX ?
Z
R
?
阻抗三角形 R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
正误判断
因为交流物理量除有效值外还有相位。
? ?CLCLR XXIIRUUUU ??????？
?
CU?
RU?
U?
LU?
CL UU ?? ?
I?
CLR UUUU ???? ???
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在 R-L-C串联电路中
ZIU ??? ?
？
正误判断
而复数阻抗只是一个运算符号。 Z 不能加, ?”
反映的是正弦电压或电流，
IU ??、
正误判断 在 Ｒ － Ｌ － Ｃ 正弦交流电路中
？
Z
U
I ? Z
u
i ?？
Z
U
I ?
？
Z
U
I
?
? ?？
Z
U
I
?
? ?？
?
?
正误判断
在 R-L-C 串联电路中，假设 ??? 0II?
？ 222
CLR UUUU ???
？
? ?? ?CL XXjRIU ??? ???
？? ? 2
2
CL XXRIU ???
?
正误判断 在 R-L-C串联电路中，假设 ??? 0II?
？
U
UU CL ?
? ? 1t a n?
？
R
CL ??
?
?
? ? 1t a n
？
R
XX CL ?
? ? 1t a n?
？
R
CL
U
UU ?
? ? 1t a n?
?
?
问题的提出, 日常生活中很多负载为感性的，
其等效电路及相量关系如下图。
u
i
R
L
Ru
Lu
cos? I当 U,P 一定时，?
? 希望将 cos? 提高
U?
I?
?
RU?
LU?
P = PR = UIcos?
其中消耗的有功功率为：
§ 5.14 功率因数提高及有功功率的测量
负
载
i
u
说明,由负载性质决定。与电路的参数
和频率有关，与电路的电压、电流无关。
?cos
功率因数 和电路参数的关系）（ ?c o s
R
XX CL ?
? a r c t a n?
R
?
CL XX ?
Z
例 40W白炽灯
1c o s ??
40W日光灯
5.0c o s ??
A3 6 4.0
5.02 2 0
40
c o s
?
?
??
?U
P
I
发电与供电
设备的容量
要求较大
供电局一般要求用户的
否则受处罚。
85.0c o s ??
A182.0
220
40 ???
U
PI?c o sUIP ?
纯电阻电路
)0( ??1c o s ??
1c o s0 ?? ?R-L-C串联电路
)9090( ?????? ?
纯电感电路或
纯电容电路 0c o s ?? )90( ????
电动机 空载
满载
3.0~2.0c o s ??
9.0~7.0c o s ??
日光灯
（ R-L-C串联电路） 6.0~5.0c o s ??
常用电路的功率因数
提高功率因数的原则,
必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负
载上的电压和负载的有功功率不变。
提高功率因数的措施,
u
i
R
L
Ru
Lu
并联电容 C
?
RLI?
CI?
I?
L?
并联电容值的计算
u
i
R
L
Ru
Lu
C
设原电路的功率因数为 cos? L，要求补偿到
cos? 须并联多大电容？（设 U,P 为已知）
U?
分析依据：补偿前后 P,U 不变 。
由相量图可知：
?? s i ns i n III LRLC ??
LRLUIP ?c o s??
?c o sUIP ?
CUXUI
CC
???
?
?
?
?
? s i n
c o s
s i n
c o s U
P
U
PCU
L
L
???
?
RLI?
CI?
I?
L?
U?
)ta n( t a n2 ??
?
?? L
U
P
C
?
?
?
?
? s in
c o s
s in
c o s U
P
U
P
CU L
L
??
i
u
R
L
Ru
Lu
C
呈电容性。
1c o s ??
I?
U?
RLI?
CI?
呈电感性
1c o s ??
0??
U?
I?
CI?
RLI?
0??
CI?
U?
I?
?
RLI?
问题与讨论
功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿
成以下三种情况,
功率因素补偿问题 （一）
1c o s ??
呈电阻性
0??
结论,在 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容
容量更大，经济上不合算,所以一般工作在欠补偿状态 。
?
感性（ 较小）
CI?
容性（ 较大）
CI'?
C 较大
功率因数补偿成感性好，还是容性好？
一般情况下很难做到完全补偿 （即,）
1c o s ??
过
补
偿
欠
补
偿
?
RLI?
U?
I?
CI?
?
U?
I?
CI'?
RLI?
?
功率因素补偿问题（二）
并联电容补偿后，总电路的有功功率是否改变？
问题与讨论
R
LjXCjX?
U?
I?
LI1?
2I?
定性说明：电路中电阻没有变，所以消耗的功率
也不变。
I?
RLI?
<
L??
<
通过计算可知总功率不变。
?c o sUIP ? ?cos I、其中
?
RLI?
CI?
I?
L?
U?
功率因素补偿问题（三）
提高功率因数除并电容外，用其他方法行不行？
补偿后
R
U?
I?
RLU?L
I?
UU RL ?? ?
I?
RLU?
CU?
U?
0??
串电容
行否补偿前
R
U?
I?
RLU?L
C
问题与讨论
?
含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全
补偿，使电路的功率因数等于 1，即,u,i 同
相，便称此电路处于谐振状态。
谐振
串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相
并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相
谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应
用非常广泛。
谐振概念,
§ 5.15 串联电路的谐振
一、串联谐振
? ?
? ?
R
XX
XXR
ZXXRZ
CL
CL
CL
?
????
?????
? 122
t a n
j ?
串联谐振的条件
CU?
R
L
C
U?
RU?
LU?
I?
串联谐振电路
IU ??, 同相
若令：
CL XX ?
?? 0?
则：
? 谐振
CL XX ?
串联谐振的条件是：
?
fCC
XfLLX CL
??
??
2
11 2 ????
谐振频率,
of
C
L
0
0
1
?
? ?
CL XX ?
LC
1
0 ??
LC
f
?2
1
0 ?
串联谐振的特点
? ? RXXRZZ CL ????? 22m i n
CL XX ?
?
?
0t a n 1 ??? ?
R
XX CL?U,I 同相
?
RXX CL ???
当 时
RIUXIUXIU CCLL 000 ??????
? 当电源电压一定时：
R
U
III ??? m a x0
UC, UL将大于
电源电压 U
注：串联谐振也被称为 电压谐振
当 时，
RXRX CL ??,
UUU CL ??
R
UI ?
0
谐振时：
U
R
X
X
R
U
XIU
U
R
X
X
R
U
XIU
C
CCC
L
LLL
???
???
0
0
LU?
CU?
I?
UUR ?? ?
CL XX ?
、
品质因数 —— Q 值
定义,电路处于串联谐振时，电感或电容上的
电压和总电压之比。
U
CR
U
R
X
U
U
R
L
U
R
X
U
C
C
L
L
0
0
1
?
?
??
??
谐振时,
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
?
?
????
?
在谐振状态下,若 R>XL,R>XC, Q 则体现了电容
或电感上电压比电源电压高出的倍数。
串联谐振特性曲线
0I
0f
2
0I
1f 2f f
I
R
UI ?
0
谐振电流
:0f
谐振频率
下限截止频率
上限截止频率
12
2
1
fff
f
f
??? 通频带
关于谐振曲线的讨论
(a) 不变，
0?
0I
变化。
(c) 不变，
f? 变化。
0?
0I
不变，
0?
0I
I
?
(b) 不变，
变化。
0?
0I
01? 02?
0I
I
? 0?
0I
I
?
分以下三种情况：
谐振曲线讨论（之一）
结论, R的变化引起 变化
R愈大 愈小（选择性差）
R愈小 愈大（选择性好）
0I
0I
0I
R小
R大
不变，
0?
0I
变化。
0I
0?
I
?
0I?
0?
（ 1） 不变
即 LC不变
LC
1
0 ??
R
UI ?
0
R改变
0I
改变
（ 2）
0I
分析,（ 1） 不变
即 U,R不变
R
UI ?
0
（ 2） 改变
0?
LC
1
0 ??
结论, LC 的变化引起 变化
L 变小或 C 变小 变大
L 变大或 C 变大 变小
0?
0?
0?
谐振曲线讨论（之二）
01? 02?
0I
I
?
不变，
变化。
0?
0I
谐振曲线讨论（之三）
结论, Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐。
Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦。
Q
f
L
R
f 0
2
???
?
分析：
0I
不变,不变
0? （ LC）,R 不变，
f? ? ?12 ?? ? 如何改变
或？
可以
证明：
可见 与 Q 相关。f?
不变，
f? 变化。
0I
0?
不变，
0?
0I
I
?
2
0I
串联谐振时的阻抗特性
0?
R
?
感性
? ?0?? ?
? ? 22)(j CLCL XXRXXRZ ??????
Z
L?
C?1
容性
? ?0?? ?
串联谐振应用举例
收音机接收电路
1L
2L 3L
C
:1L
接收天线
2L
与 C,组成谐振电路
:3L
将选择的信号送
接收电路
1L
2L 3L
C
组成谐振电路,选出所需的电台。
C - 2L
321 eee,、
为来自 3个不同电台（不同频率）
的电动势信号；
C
2L
2LR
1e
2e
3e
已知：
??? 20 H2 5 0 22 LRL,?
k Hz8 2 01 ?f
C
2L
2LR
1e
2e
3e
解：
CL
f
2
1 2
1
?
?
? ? 222
1
Lf
C
?
?
? ? pF15010250108202
1
623
?
????
?
??
C
如果要收听 节目,C 应配多大？
1e
问题 （一）：
结论,当 C 调到 150 pF 时，可收听到 的节目。
1e
问题 （二）：
1e
信号在电路中产生的电流 有多
大？在 C 上 产生的电压是多少？
V101 μE ?
pF1501 ?C
H2 5 02 μL ?
?? 20 2LR
已知：
k Hz8 2 01 ?f
解答：
12902 1 ???? fLXX CL ??
A5.0
2
1 ???
R
EI V645C1 ??? CIXU
所希望的信号
被放大了 64倍。
C
2L
2LR
1e
2e
3e
当 时
领先于 (容性 )
CL II ?
I? U?
U?
I?
LI?
CI?
谐振
当 时
CL II ?
0?I?
LI?
U?
CI?
理想情况,纯电感和纯电容
并联。
当 时
落后于 (感性 )
CL II ?
I? U?
U?
LI?
CI?
I?
I?
U?
LI? CI?
§ 5.16 并联电路的谐振
CL X
U
X
U ?
C
L
0
0
1
?
? ?
LC
1
0 ?? LC
f
?2
1
0 ?
或
LI?
U?
CI?
CL II ?
理想情况下并联谐振条件
I?
U?
LI?
CI?
C
C
L
RL
X
U
I
XR
U
I
j
j
?
?
?
?
?
?
?
?
U?
RLI?
CI?
I?
CRL III ??? ??
非理想情况下的并联谐振
U?
I?
RLI?
CI?
UI ??,同相时则谐振
? ? ? ?
UC
LR
L
LR
R
UC
LR
I
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2222
j
j
j
1
虚部实部
则, 同相I?
U?虚部 =0。谐振条件：
U?
I?
RLI?
CI?
CRL III ??? ??
一、非理想情况下并联谐振条件
? ?
002
0
2
0 ??
?
C
LR
L
?
?
?
由上式虚部
并联谐振频率
U?
I?
RLI?
CI?
2
2
2
0 1
11 R
L
C
LCL
R
LC
?????
得：
LC
1
0 ?? LCf ?2
1
0 ?
或02 ?R
L
C当 时
并联谐振的特点
? I? 同相。U?,
电路的总阻抗最大。?
定性分析,
I?
U?
LI?
CI?
Z
U?
LI?
CI?
理想情况下
谐振时,????? m a x0 ZZI?
总阻抗：
RC
LZZ ??
m a x0
? ? ? ?
UC
LR
L
LR
R
I ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
? 2222
j
得：
I
RC
LU ?? ?
2
2
0
1
L
R
LC
???
代入
并联谐振电路总阻抗的大小
U?
I?
RLI?
CI?
谐振时虚部为零,即,
? ? ULR
RI ?? ?
?
? 22
?
什么性质?
并联谐振
电路总阻抗：
RC
L
ZZ ?? m a x0
??0Z
0?R当 时
U? U?
所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。
?
m i nIZ
UI
O
??
外加电压一定时，
总电流最小。
?
I?
U? LI?
CI?
Z
OU?
SI?
m a xZZ O ??
OSO ZIUU ??? m a x
外加电流为恒定电流 时，
输出电压最大。 ）（ SI?
并联支路中的电流可能比总电流大。
支路电流可能
大于总电流
U?
RLI?
CI?
I?
?
电流谐振
U?
I?
RLI?
CI?
U?
I?
RLI?
CI?
0 CU
X
UI
C
C ???
0
U
L
RC
Z
UI ??
?
R
L
I
IQ C 0???
?
IIC ?
则
RL ?0?
若
品质因数 --Q,
Q为支路电流和总电流之比。
当 时,RL ??
0? CRL II ?
CR
1
0?
?Q
并联谐振特性曲线
?
Z
I
0? 容性感性
思考,时
为什么是感性？ 0
?? ?
并联谐振应用举例
? ?
be
LC
i
O
r
RR
U
U
A
//?
???
?
CCV?
CR
LR 0U?
iU?
CR
替代后，在谐振
频率下放大倍数
将提高。该种频
率的信号得到较
好的放大，起到
选频作用。
消除噪声
谐振滤波器 利用谐振进行选频、滤波。
LC
ff N
?2
1
0 ??
令滤波器工作在噪声频率下，
即可消除噪声。
---信号源
)sSE ?（?
---噪声源
）（ NNE ??
已知：
C
接
收
网
络
SE?
NE?
r
谐振
滤波器
L
提取信号
LC
ff S
?2
1
0 ??
令滤波器工作在 频率下，
信号即可顺利地到达接收网
络。
Sf
---信号源
)sSE ?（?
---噪声源
）（ NNE ??
已知：
SE?
NE?
r
接
收
网
络
谐振
滤波器
L C
分析（一）：抑制噪声
I?
2LI?
CI?
信号被滤掉了
NE?
Nf
CL
f ??
2
0
1
令：
消除噪声
提取信号 C 接
收
网
络SE?
NE?
谐振
滤波器
1L
2L
分析（二）：
提取信号
CU?
CI?
1LU?
NS ff ?
1LI?
接
收
网
络
SE?
NE?
谐振
滤波器
1L
2L
C
则信号全部降落在接收网络上。
01 ?? LC UU ??
若在
Sf
下
CU?
1LI?
2LI?
CI?
1LU?
2LI?
选频电路
iu
L
C1
C2
R
ou
已知：
r a d /s314H12.0
V3s in2s in2 21
??
??
?
??
L
tUtUu i
若使 tUu
o ?s i n2 1?
？？ ?? 21 CC
例
解：
iu
L
C1 C2
R
ou
已知：
V3s i n2s i n2 21 tUtUu i ?? ??
被滤掉
L
C
XX LC ?
?
3
3
1
1
1 ???
?
代入 ? 和 L 值得：
F4.91 ??C
,L, C1 应在 3?下
产生并联谐振,3?的信号才能被滤掉。
（ 1）若使 tUu
o ?s in2 1?
（ 2）电路总阻抗在 ? 频率下 应 等于零，才能使
tUu o ?s in2 1?
?
0
j
1
j
1
j
)
j
1
(j
2
1
1
??
?
?
C
C
L
C
L
Z
?
?
?
?
?
代入 ?, L,C1 得：
F1.752 ??C
UU RL ?
串电容功率因数可以提高，甚至可以补偿到 1,但不
可以这样做！
原因是：在外加电压不变的情况下,负载得不到所
需的额定工作电压。
同样，电路中串、并电感或电阻也不能用于功率因
数的提高。其请自行分析。
CU?
I?
RLU?
U?
R
U?
I?
RLU?L
C
CU?
第五章
结束
第一节 正弦量的基本概念
第二节 正弦量的相量表示法
第三节 电阻元件伏安关系的相量形式
第四节 电感元件伏安关系的相量形式
第五节 电容元件伏安关系的相量形式
第六节 基尔霍夫定律的相量形式
第七节 R,L,C串联电路及复阻抗
第八节 R,L,C并联电路及复导纳
第九节 无源二端网络的等效复阻抗和复导纳
第十一节 正弦电流电路的分析计算
第十二节 正弦交流电路中电阻、电感、电容元件的功率
第十三节 二端网络的功率
第十四节 功率因数的提高及有功功率的测量
第十五节 串联电路的谐振
第十六节 并联电路的谐振
一、交流电的概念
如果电流或电压每经过一定时间 （ T ）就重
复变化一次，则此种电流,电压称为周期性交
流电流或电压。如正弦波、方波、三角波、锯
齿波 等。
记做,u(t) = u(t + T )
T
u
t
u
T
t
§ 5.1 正弦量的基本概念
二、正弦交流电路,
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正
弦规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也
是正弦的，这样的电路称为正弦交流电路。
正弦交流电的优越性：
便于传输；
便于运算；
有利于电器设备的运行；
.,,,,
1、正弦交流电的方向,
正弦交流电也有正方向,一般按正半周方向假设。
i
u R
实际方向和假设方向一致
实际方向和假设方向相反
t
i
交流电路进行计算时，首先也要规定物理量
的正方向，然后才能用数字表达式来描述。
2、正弦波的特征量,
? t ?
i
mI
? ??? ?? tIi m s i n
,电流幅值（最大值）
,角频率（弧度 /秒）
,初相角
mI
?
?
特征量,
正弦波特征量之一 —— 幅度
? ??? ?? tIi m s i n
为正弦电流的最大值
mI
最大值
电量名称必须大
写,下标加 m。
如,Um,Im
在工程应用中常用 有效值 表示幅度。常用交流电
表指示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效
值。标准电压 220V,也是指供电电压的有效值。
tRi
T
d
0
2?
交流 直流
RTI 2?
热效应相当
有
效
值
概
念
电量必须大写
如,U,I
有效值
则有
??
T
ti
T
I
0
2 d1
（均方根值）
可得
2
mII ?当
时，? ?
?? ?? tIi m s i n
问题与讨论
若购得一台耐压为 300V 的电器，是否可用
于 220V 的线路上?
电器~ 220V 最高耐压
=300V
?2
有效值 U = 220V
最大值 Um = 220V = 311V
电源电压
该用电器最高耐压低于电源电压的最大值，
所以 不能用 。
正弦波特征量之二 —— 角频率i
t ?
T
描述变化周期的几种方法：
1,周期 T,变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒,.
2,频率 f：每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹,..
3,角频率 ω, 每秒变化的弧度 单位：弧度 /秒
T
f 1? fT π2
π2 ???
小常识
* 电网频率,中国 50 Hz
美国,日本 60 Hz
* 有线通讯频率,300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率,30 kHz - 3× 104 MHz
正弦波特征量之三 —— 初相位
? ??? ?? tIi s i n2
）（ ?? ?t, 正弦波的相位角或相位。
,t = 0 时的相位，称为 初相位或初相角 。? i
?
t ?
说明,给出了观察正弦波的起点或参考点，?
常用于描述多个正弦波相互间的关系。
两个同频率正弦量间的相位差 ( 初相差 )
1?
2?
2i1i
? t
i
? ?
? ?222
111
s i n
s i n
??
??
??
??
tIi
tIi
m
m
? ? ? ? 1212 ??????? ?????? tt
概念, 一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的
有向线段在纵轴上的投影值来表示。
矢量长度 =
mU
?
矢量与横轴夹角 = 初相位
ω矢量以角速度 按逆时针方向旋转
? ??? ?? tUu m s i n
?
?
mU
t ?
ω
u
§ 5.2 正弦量的相量表示法
?
IU ??,3,相量符号 包含幅度与相位信息。
有效值
1,描述正弦量的有向线段称为相量 (phasor )。
若其幅度用最大值表示,则用符号：
mm IU,
mU
U
最大值相量的书写方式
2,在实际应用中，幅度更多采用有效值，则用符号：
IU,
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu
1U?
1?
2U?
2?
2U?
落后于
1U? 1
U?2U?
领先
落后？
正弦波的相量表示法举例
例 1,将 u1,u2 用相量表示。
相位：
幅度,相量大小
12 UU ?
12 ?? ?
设：
21 UUU
??? ??
U?
?
? ?
? ?222
111
s i n2
s i n2
??
??
??
??
tUu
tUu
同频率正弦波的
相量画在一起，
构成相量图。
例 2,同频率 正弦波相加 --平行四边形法则
2?
2U?
1U?
1?
注意,
1,只有正弦量 才能用相量表示，非正弦量不可以。
2,只有 同频率 的正弦量才能画在一张相量图上，
不同频率不行。
新问题 提出：
平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。
故引入 相量的复数运算法。
相量 复数表示法 复数运算
?? s i njco sj UUbaU ?????
相量的复数表示
a
b
U?
U
?
j
+1
将复数 U? 放到复平面上，可如下表示：
a
b
baU
1
22
t a n
?
?
??
?
j2
ee
s i n
2
ee
c o s
jj
jj
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?欧
拉
公
式
?
??
?
??
?
??
??
U
U
U
baU
j
e
)s i nj( c o s
j
?
代数式
指数式
极坐标形式
a
b
U?
U
?
?jej UbaU ???? ?
在第一象限
设 a,b为正实数
?jej UbaU ????? ?
在第二象限
?jej UbaU ????? ?
在第三象限
?
在第四象限
?jej UbaU ????
相量的复数运算
1,加,减运算
222
111
j
j
baU
baU
??
??
?
?
设：
?j
2121
21
e
)(j)(
U
bbaa
UUU
?
????
?? ???
则：
2,乘法运算
2
1
j
22
j
11
e
e
?
?
UU
UU
?
?
?
?设,
)(j
21
21
21e ?? ????
??
UU
UUU ???
则,
设：任一相量 A?
则, ?? ? ?? 90jeA
A)j( ??
90° 旋转因子。 +j 逆时针
转 90°, -j 顺时针转 90°
说明：
3,除法运算
2
1
j
22
j
11
e
e
?
?
UU
UU
?
?
?
?
设,
? ?21j
2
1
2
1 e ?? ??
U
U
U
U
?
?
则：
复数符号法应用举例
解,
A50j6.86301 0 030
2
4.1 4 1 ?????? ???I
V5.190j1106022060
2
1.311 ???????? ???U
例 1,已知瞬时值，求相量。
已知,
V
3
π
314s in1.311
A
6
π
314s in4.141
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
tu
ti
求,i, u
的相量
A50j6.863010030
2
4.141 ?????? ???I
V5.1 9 0j1 1 0602 2 060
2
1.3 1 1 ???????? ???U
220
3π?
U?
I?
100
6π
求：
21 ii,
例 2,已知相量，求瞬时值。
已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形
式为：
Ae10
A60100
30j
2
1
??
? ?
?
???
I
I
A )306280s i n (210
A )606280s i n (2100
2
1
?
?
??
??
ti
ti
解,
62801000π2π2 ???? f? srad
波形图
瞬时值
相量图
复数
符号法
U?
I?
?? ????? UUbaU jej?
小结：正弦波的四种表示法
? ??? ?? tUu m s i n
T
mI
?
t ?
i
提示 计算相量的相位角时，要注意所在
象限。如：
4j3 ???U?
4j3 ??U? )153s i n (25 ???? tu ?
4j3 ??U? )153s i n (25 ???? tu ?
)9126s i n (25 ???? tu ?
4j3 ???U? )9126s i n (25 ???? tu ?
符号说明
瞬时值 --- 小写 u,i
有效值 --- 大写 U,I
复数、相量 --- 大写 +,.” U?
最大值 --- 大写 +下标
mU
正误判断
Utu ??? s i n1 0 0 ?
？
瞬时值 复数
)15s i n (250e50 15j ?? ??? ? tU ?
瞬时值复数
?45
2
10
??I
已知：
)45s i n (10 ??? ti ?
正误判断
？
?? 45e10?
mI
？有效值
j45?
则,
已知：
)15(s i n102 ??? tu ?
10?U
正误判断
?? 15je10?U？
？?
?15?
则：
)50(s i n1 0 0 ??? ti ?
已知：
?? 50100 ??I
？
正误判断
最大值
21002 ?? II m
一,电阻电路
u i R
根据 欧姆定律
iRu ?
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s i n2s i n2
s i n2
???
?设
则
§ 5.3 电阻元件伏安关系的相量形式
tIt
R
U
R
u
i
tUu
??
?
s i n2s i n2
s i n2
???
?
1,频率相同 2,相位相同
3.有效值关系,
IRU ?
二、电阻电路中电流、电压的关系
4.相量关系, 设 ?? 0?? UU U?
I?
0 ?? ??
R
UI则 RIU ?? ?或
?? ???
TT
tiu
T
tp
T
P
00
d
1
d
1
tUu
tIi
?
?
s i n2
s i n2
?
?
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIttUI
T
ttUI
T
T
T
?
?
???
?
0
0
2
d)2c o s1(
1
ds i n2
1
?
?
大写
IUP ??
u
i
R
一、电感电路
t
iLu
d
d?基本关系式,
i
u L
tIi ?si n2?设
)90s i n (2
)90s i n (2
c o s2
d
d
?
?
??
??
???
tU
tLI
tLI
t
i
Lu
?
??
??则
§ 5.4 电感元件伏安关系的相量形式
二、电感电路中电流、电压的关系
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 领先 i 90° ）
)90s i n (2
)90s i n (2
?
?
??
??
tU
tLIu
?
??tIi ?s i n2?
i
u
t?
?90
U?
I?
LI?
I
设,
3,有效值 LIU ??
感抗 （ Ω ）LX
L ??
定义：
)90s i n (2
)90s i n (2
?
?
??
??
tU
tLIu
?
??
LXIU ?
则：
U?
I?
4,相量关系
)90s i n (2 ??? tUu ?
tIi ?s i n2?
?? 0?? II设：
??? 9090 ???? LIUU ?
)j(e
9090
90j
L
XILIU
L
I
U
I
U
????
????
???
?
?
?
??
?
?
则：
u,i 相位不一致 ！
? ?LXIU j?? ?
三、电感电路中复数形式的欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
U?
I?
Liu ??？
U?
领先 ！
感抗（ XL =ωL ） 是频率的函数,表示电感电路中
电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效 。
ω
XL
LL XIU ?
ω = 0 时
XL = 0
四、关于感抗的讨论
u
+
_ L
R
直流
U+_
R
基本关系式,
t
uCi
d
d?
设, tUu ?s i n2?
一,电容电路
u
i
C
)90s in (2
c o s2
d
d
?
???
??
tCU
tUC
t
u
Ci
??
??
则,
§ 5.5 电容元件伏安关系的相量形式
1,频率相同
2,相位相差 90° （ u 落后 i 90° ）
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
二、电容电路中电流、电压的关系
iu
t?
?90
I?
CU?
U?
U
3,有效值 或CUI ??? I
C
U
?
1?
容抗 （ Ω）
C
X C
?
1?定义：
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
CXIU ?
则：
I
4,相量关系
设,?? 0?? UU
??? 9090 ???? CUII ? I?
U?
)90s i n (2 ???? tCUi ??
tUu ?s i n2?
?
?
?
901 ???
CI
U
?
则：
CXICIU
??? ? j901 ?????
?
? ?CXIU j?? ??
三、电容电路中复数形式的欧姆定律
其中含有幅度和相位信息
U?
I? I? 领先 ！
U
+
-ω
C
X c
?
1?
u
+
-
四、关于容抗的讨论
直流
是频率的函数,表示电容
电路中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦
波有效 。
容抗
）（
C
X C
?
1?
ω＝ 0 时
??cX
已知,C ＝ 1μF
)
6
314s i n (27.70
?
?? tu
求, I, i
例
u
i
C
解,
????? ? 318010314 11 6CX C ?
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70
???
CX
U
I
求电容电路中的电流
mA)
3
3 1 4s i n (2.222
)
26
3 1 4s i n (2.222
?
??
???
????
t
ti
瞬时值 i 领先于 u 90°
电流有效值
mA2.22
3 1 8 0
7.70 ???
CX
UI
U?
I?
6??
3?
电路参数
LX L ?jj ?
dt
diLu ?
基本关系
复阻抗
L U?
I?
C
X C
?
1
jj ???
复阻抗
电路参数
dt
duCi ?
基本关系C
U?
I?
电路参数 R 基本关系 iRu ?
复阻抗 R U?
I?
小 结
电压、电流瞬时值的关系符合欧姆定律、基尔霍
夫定律 。
t
i
LiR
uuu
LR
d
d
??
??
uL
i
uRu R
L
§ 5.6 基尔霍夫定律的相量形式
电流、电压相量符合相量形式的欧姆定律、
基尔霍夫定律。
U?
I?
LU?
RU?
? ?
)j
j
LLR
LLR
XRIUUU
XIURIU
????
??
（
、
????
????
R
L
I?
U?
RU?
LU?
0 0 ?? ?? IU ??
在电阻电路中,
正误判断
R
u
i ?
？
R
U
i ?
R
U
I ?
？
？
瞬时值 有效值
?
?
在电感电路中, 正误判断
？
？？
？
LX
u
i ? L
ui
?
?
L
UI
?
?
LXI
U ?
?
?Lj
I
U ??？
?
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路
参数
电路图
（正方向）
复数
阻抗
电压、电流关系
瞬时值 有效值 相量图 相量式
功率
有功功率 无功功率
R
i
u
iRu?
R
设
则
tUu ?s in2?
tIi ?s in2?
IRU? RIU ?? ?
U?I?
u,i 同相
UI 0
L
i
u
dtdiLu?
C
i
u dtduCi?
L
XL
?j
j
?
C
C
XC
?
?
j
1
1j
j
?
??
?
设
则
tIi ?sin2?
)90s i n (
2
??
?
t
LIu
?
?
设
则
tUu ?s in2?
)90s i n (
12
??
?
t
C
Ui
?
?
LX
IXU
L
L???
CX
IXU
C
C
?1?
?
U?
I?
u领先 i 90°
U?
I?
u落后 i 90°
? ?LXIU j?? ?
? ?CXIU j?? ??
0
0
LXI
UI
2
CXI
UI
2?
?
基本
关系
)90s i n ()
1
(2
)90s i n ()(2
s i n2
?
?
??
??
?
t
C
I
tLI
tIRu
?
?
??
?
tIi ?s i n2?若
则
CLR uuuu ???
一,电流、电压的关系
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
§ 5.7 R,L,C串联电路及复阻抗
? ? ? ?
? ?? ?CL
CL
XXRI
XIXIRIU
???
????
j
jj
?
????
总电压与总电流
的关系式
CLR UUUU ???? ???
相量方程式：
则
? ?
? ?
CC
LL
R
XIU
XIU
RIU
j
j
??
?
?
??
??
??
相量模型
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
??? 0II?设 （参考相量）
二,R-L-C 串联交流电路 —— 相量图
先画出参
考相量
CU?
U?
LU?
I?
? ?? ?CL XXRIU ??? j??
相量表达式,
RU?
CL UU ?? ?
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
电压
三角形
Z：复阻抗
实部为阻
虚部为抗 容抗感抗
? ?? ?CL XXRIU ??? j??
? ?CL XXRZ ??? j
令
则
ZIU ?? ?
三,R-L-C串联交流电路中的复数形式欧姆定律
复数形式的
欧姆定律
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在正弦交流电路中，只要物理量用相量
表示,元件参数用复数阻抗表示，则电路
方程式的形式与直流电路相似。
是一个复数，但并不是正弦交流
量，上面 不能加点 。 Z 在方程式中
只是一个运算工具 。
Z
说明：
? ?CL XXRZ ??? j
?
ZIU ?? ?
?
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在正弦交流电路中，若正弦量用相量 表示，
电路参数用复数阻抗（ )
表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相
似。
IU ??、
CL XCXLRR jj ????,、
? 单一参数电路中复数形式的欧姆定律
电阻电路
RIU ?? ? )j(
LXIU ?? ?
电感电路
)j( CXIU ?? ??
电容电路
复数形式的欧姆定律
四、关于复阻抗 Z 的讨论
iu
i
u
I
U
Z
I
U
I
U
Z ???
?
?
?????
?
?
?? ?
?
ZIU ?? ?
由复数形式的欧姆定律 可得：
结论,Ｚ 的模为电路总电压和总电流有效值之比，
而 Ｚ 的幅角则为 总电压和总电流的相位差。
iu ??? ??
I
UZ ?
1,Z 和总电流、总电压的关系
2,Z 和电路性质的关系
? ?CL XXRZZ ????? j?
一定时电
路性质由参
数决定
?
R
XX CL
iu
?
??? ? 1t a n???
当 时, 表示 u 领先 i －－ 电路呈感性
CL XX ? 0??
CL XX ? 0??
当 时,表示 u, i同相 －－ 电路呈电阻性
CL XX ? 0??
当 时, 表示 u 落后 i －－ 电路呈容性
阻抗角
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
假设 R,L,C已定，
电路性质能否确定？
（阻性？感性？容性？）
不能！
当 ω不同时，可能出现,
XL > XC,或 XL < XC,或 XL =XC 。
C
XLX CL
?
?
1
??,
?
3,阻抗（ Z）三角形
阻抗
三角形
Z
?
R
CL XXX ??
R
XX
XXRZ
CL
CL
?
?
???
? 1
22
t a n
)(
?
?????? ZXXRZ CL )(j
4,阻抗三角形和电压三角形的关系
电压三
角形 阻抗三 角形
相
似
? ?? ?CL
CLR
XXRI
UUUU
???
???
j?
???? ? ?
CL XXRZ ??? j
?
Z
R
CL XXX ??
CU?
?
RU?
U?
LU?
CL UU ?? ?
I?
导纳的概念
XRZ j??
设,
2222
22
j
j
j
11
XR
X
XR
R
XR
XR
XRZ
Y
?
?
?
?
?
?
?
?
??
则,
电导 电纳
导纳适合于并联电路的计算,单位是西门子 ( s )。
导纳
§ 5.8 R,L,C并联电路及复导纳
§ 5.9无源二端网络的等效复阻抗和复导纳
一,简单串并联电路
Z1
Z2
I?
iU? o
U?
oiO uU
ZZ
Z
U ?
?
? ??
21
2
i
Z1
Z2iu ou
Z1 Z2
I?
2I?
iU?
1I?
i
Z1 Z2
iu
1i 2i
YUYYUI ??? ??? ）（ 21
Y1,Y2 --- 导纳
）（
2121
21
11
ZZ
U
Z
U
Z
U
III ?????? ?
??
???
Y1 Y2
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
EeIiUu
XCXLRR CL
??? ???
????
j j
、、
、、
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图
3、用复数符号法或相量图求解
4、将结果变换成要求的形式
在正弦交流电路中，若正弦量用相量表示，电路参
数用复数阻抗表示，则直流电路中介绍的基本定律、
公式、分析方法都能用。具体步骤如下：
§ 5.11 正弦电流电路的分析计算
例 1
解题方法有两种, 1.利用复数进行相量运算
2.利用相量图求结果
下图中已知,I1=10A,UAB =100V，
求,A, UO 的读数
2I?
A
1I?
A BC2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
I?
解法 1,利用复数进行相量运算
已知,I1=10A、
UAB =100V，
则：
A45210j551002 ?? ?????I
A10j90101 ??? ??I
A01021 ???? ???? III
A读数为 10安?
求,A,UO的读数
即,V0100U
AB ?? ??
设,为参考相量，
ABU?
2I?
A
1I?
A BC2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
I?
A01021 ???? ???? III
V1 0 0j)10j1 ???? （IU C ??
V4521 0 0
1 0 0j1 0 01
?
???
???
???? ABCo UUU
UO读数为 141伏?
求,A,UO的读数
已知,I1=10A、
UAB =100V，
2I?
A
1I?
A BC2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
I?
解法 2,利用相量图求解
设,V01 0 0 ?? ??
ABU
ABU?
2I?
45°由已知
条件得：
1 0 A1 ?I,领先 90°
1I?
2I?
A210
55
1 0 0
222 ???I
ABU?
45°落后于
I=10 A,UO =141V由图得：
21 III ??? ??
ABCo UUU ??? ?? 1
求,A,UO的读数
已知,I1=10A,UAB =100V，
UC1=I XC1=100V
uC1落后于 i 90°
2 I?
A
1I?
A BC2
5? ?j5
UO
C1
?? 10j
I?
1CU? OU?
I?
例 2
已知：
)1s i n ( ?? ?? tIi ms
)2s i n ( ?? ?? tEe m
R1,R2,L,C
求：各支路电流的大小
ei
si
e
L
C
Li
2Ri
1R
2R
相量模型
原始电路
sI?
LI? 2RI? eI
?
LXj
CXj?
E?
1R
2R
si
e
L
C
Li
2Ri
1R
2R
解法一 节点电位法
A
C
X
LX
E
E
I
I
C
L
m
m
S
?
?
?
?
1
jj
jj
2
2
2
1
???
?
??
??
?
?
已知参数：
CL
C
S
A
XRX
X
E
I
U
j
11
j
1
j
2
?
??
?
??
?
?
?
节
点
方
程
sI?
LI? 2RI? eI
?
LXj
CXj?
E?
1R
2R
e
C
A
e
R
A
R
L
L
A
L
i
X
EU
I
i
R
U
I
i
X
U
I
?
?
?
?
??
??
j
j
2
2
2
??
?
?
?
?
?
由节点电位便求出各支路电流：
解法二,叠加定理
SI?
R1
R2
'IL? 'IR2?
'Ie?
LXj
CXj?
eI??
R1
R2
LI?? 2RI???
LXj
CXj?
E?
+
eee
RRR
LLL
III
III
III
?????
?????
?????
??
???
???
222
sI?
LI? 2RI? eI
?
LXj
CXj?
E?
1R
2R
解法三：
2j RXZ L?
)RX（IE LSS 2j?? ?
戴维南定理
求
eI? ABU? LI?
、
2RI?
sI?
LI? 2RI?
LXj
eI?
CXj?
E?
1R
2R
B
A
eI?
CXj?
E?
Z
SE?
§ 5.12 正弦交流电路中电阻、电
感、电容元件的功率
一、电阻电路中的功率
)(s in2
)(s in2
tUu
tIi
?
?
?
?
RuiRiup /22 ????
u
i
R
1,瞬时功率 p,瞬时电压与瞬时电流的乘积
小写
1,（耗能元件）
0?p
结论：
2,随时间变化
p
22 iu,
3,与 成比例
p
RuiRiup /22 ????
ω tu
i
p
ω t
?? ???
TT
tiu
T
tp
T
P
00
d
1
d
1
tUu
tIi
?
?
s i n2
s i n2
?
?
2,平均功率（有功功率） P,一个周期内的平均值
UIttUI
T
ttUI
T
T
T
?
?
???
?
0
0
2
d)2c o s1(
1
ds i n2
1
?
?
大写
IUP ??
u
i
R
二、电感电路中的功率
)90s i n (2
s i n2
???
?
tUu
tIi
?
?
tUI
ttUIuip
?
??
2s i n
c o ss i n2
?
???
1,瞬时功率 p
i
u L
储存
能量
p <0
释放
能量
+
p >0
p <0
可逆的
能量转换
过程
tUIuip ?2s i n???
u
i
u
i
u
i
u
i
i
u L
+
P
p >0 t?
u i
t?
2,平均功率 P （有功功率）
0d)2(s i n
1
d
1
0
0
??
?
?
?
ttUI
T
tp
T
P
T
T
?
结论,纯电感不消耗能量,只和电源进行能量
交换。
tUIuip ?2s i n???
3,无功功率 Q
L
L X
UXIIUQ 22 ???
Q 的单位：乏、千乏 (var,kvar)
Q 的定义：电感瞬时功率所能达到的最大值。用
以衡量电感电路中能量交换的规模。
tUIuip ?2s i n???
三、电容电路中的功率
u
i
)90s in (2
s in2
?
??
?
tUu
tIi
?
?
tIUuip ?2s i n????
1,瞬时功率 p
tIUuip ?2s i n????
充电
p 放电放电
P < 0
释放
能量
充电
P > 0
储存
能量
u
i
u
i
u
i
u
i
i u
ωt
?
?
???
?
T
T
ttIU
T
tP
T
P
0
0
0d2s i n
1
d
1
?
2,平均功率 P
tIUuip ?2s i n????
瞬时功率达到的最大值（吞吐规模）
3,无功功率 Q
（电容性无功取负值）
UIQ ??
tUIp ?2s i n??
CLR
pppiup ?????
1,瞬时功率
2,平均功率 P （有功功率）
RIIUP
tppp
T
tp
T
P
RR
T
CLR
T
2
0
0
d)(
1
d
1
???
???
?
?
?
u
R
L
C
Ru
Lu
Cu
i
§ 5.13 二端网络的功率
总电压 总电流 u 与 i 的夹角
IUP R?
平均功率 P与总电压 U、总电流 I 间的关系：
RU?
U?
?
CL UU ?? ?
?cos
-----功率因数
?c o sUU R ?
其中：
?c o sUIP ?
?
在 R,L,C 串联的电路中，储能元件 R,L,C
虽然不消耗能量，但存在能量吞吐,吞吐的规模用
无功功率来表示。其大小为：
?s i nIU
IUU
IUIU
QQQ
CL
CL
CL
?
???
???
??
）（
）（
3,无功功率 Q：
RU?
U?
?
CL UU ?? ?
4,视在功率 S,电路中总电压与总电流有效值的乘积。
UIS ? 单位：伏安、千伏安
?
P
Q
（有助记忆）
S
注,S＝ U I 可用来衡量发电机可能提供的最大
功率（额定电压 × 额定电流）
视在功率
UIS ?
5,功率三角形
?s inUIQ ?
无功功率
?c o sUIP ?
有功功率
_
+
+_
p
设 i 领先 u,（电容性电路）
?s inUI
?c o sUI
R,L,C 串联电路中的功率关系
t?
i u
RU?
U?
CL UU ?? ?
电压三角形
S
Q
P
功率三角形
CL XX ?
Z
R
?
阻抗三角形 R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
正误判断
因为交流物理量除有效值外还有相位。
? ?CLCLR XXIIRUUUU ??????？
?
CU?
RU?
U?
LU?
CL UU ?? ?
I?
CLR UUUU ???? ???
R
L
C
RU?
LU?
CU?
I?
U?
在 R-L-C串联电路中
ZIU ??? ?
？
正误判断
而复数阻抗只是一个运算符号。 Z 不能加, ?”
反映的是正弦电压或电流，
IU ??、
正误判断 在 Ｒ － Ｌ － Ｃ 正弦交流电路中
？
Z
U
I ? Z
u
i ?？
Z
U
I ?
？
Z
U
I
?
? ?？
Z
U
I
?
? ?？
?
?
正误判断
在 R-L-C 串联电路中，假设 ??? 0II?
？ 222
CLR UUUU ???
？
? ?? ?CL XXjRIU ??? ???
？? ? 2
2
CL XXRIU ???
?
正误判断 在 R-L-C串联电路中，假设 ??? 0II?
？
U
UU CL ?
? ? 1t a n?
？
R
CL ??
?
?
? ? 1t a n
？
R
XX CL ?
? ? 1t a n?
？
R
CL
U
UU ?
? ? 1t a n?
?
?
问题的提出, 日常生活中很多负载为感性的，
其等效电路及相量关系如下图。
u
i
R
L
Ru
Lu
cos? I当 U,P 一定时，?
? 希望将 cos? 提高
U?
I?
?
RU?
LU?
P = PR = UIcos?
其中消耗的有功功率为：
§ 5.14 功率因数提高及有功功率的测量
负
载
i
u
说明,由负载性质决定。与电路的参数
和频率有关，与电路的电压、电流无关。
?cos
功率因数 和电路参数的关系）（ ?c o s
R
XX CL ?
? a r c t a n?
R
?
CL XX ?
Z
例 40W白炽灯
1c o s ??
40W日光灯
5.0c o s ??
A3 6 4.0
5.02 2 0
40
c o s
?
?
??
?U
P
I
发电与供电
设备的容量
要求较大
供电局一般要求用户的
否则受处罚。
85.0c o s ??
A182.0
220
40 ???
U
PI?c o sUIP ?
纯电阻电路
)0( ??1c o s ??
1c o s0 ?? ?R-L-C串联电路
)9090( ?????? ?
纯电感电路或
纯电容电路 0c o s ?? )90( ????
电动机 空载
满载
3.0~2.0c o s ??
9.0~7.0c o s ??
日光灯
（ R-L-C串联电路） 6.0~5.0c o s ??
常用电路的功率因数
提高功率因数的原则,
必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负
载上的电压和负载的有功功率不变。
提高功率因数的措施,
u
i
R
L
Ru
Lu
并联电容 C
?
RLI?
CI?
I?
L?
并联电容值的计算
u
i
R
L
Ru
Lu
C
设原电路的功率因数为 cos? L，要求补偿到
cos? 须并联多大电容？（设 U,P 为已知）
U?
分析依据：补偿前后 P,U 不变 。
由相量图可知：
?? s i ns i n III LRLC ??
LRLUIP ?c o s??
?c o sUIP ?
CUXUI
CC
???
?
?
?
?
? s i n
c o s
s i n
c o s U
P
U
PCU
L
L
???
?
RLI?
CI?
I?
L?
U?
)ta n( t a n2 ??
?
?? L
U
P
C
?
?
?
?
? s in
c o s
s in
c o s U
P
U
P
CU L
L
??
i
u
R
L
Ru
Lu
C
呈电容性。
1c o s ??
I?
U?
RLI?
CI?
呈电感性
1c o s ??
0??
U?
I?
CI?
RLI?
0??
CI?
U?
I?
?
RLI?
问题与讨论
功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿
成以下三种情况,
功率因素补偿问题 （一）
1c o s ??
呈电阻性
0??
结论,在 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容
容量更大，经济上不合算,所以一般工作在欠补偿状态 。
?
感性（ 较小）
CI?
容性（ 较大）
CI'?
C 较大
功率因数补偿成感性好，还是容性好？
一般情况下很难做到完全补偿 （即,）
1c o s ??
过
补
偿
欠
补
偿
?
RLI?
U?
I?
CI?
?
U?
I?
CI'?
RLI?
?
功率因素补偿问题（二）
并联电容补偿后，总电路的有功功率是否改变？
问题与讨论
R
LjXCjX?
U?
I?
LI1?
2I?
定性说明：电路中电阻没有变，所以消耗的功率
也不变。
I?
RLI?
<
L??
<
通过计算可知总功率不变。
?c o sUIP ? ?cos I、其中
?
RLI?
CI?
I?
L?
U?
功率因素补偿问题（三）
提高功率因数除并电容外，用其他方法行不行？
补偿后
R
U?
I?
RLU?L
I?
UU RL ?? ?
I?
RLU?
CU?
U?
0??
串电容
行否补偿前
R
U?
I?
RLU?L
C
问题与讨论
?
含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全
补偿，使电路的功率因数等于 1，即,u,i 同
相，便称此电路处于谐振状态。
谐振
串联谐振,L 与 C 串联时 u,i 同相
并联谐振,L 与 C 并联时 u,i 同相
谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应
用非常广泛。
谐振概念,
§ 5.15 串联电路的谐振
一、串联谐振
? ?
? ?
R
XX
XXR
ZXXRZ
CL
CL
CL
?
????
?????
? 122
t a n
j ?
串联谐振的条件
CU?
R
L
C
U?
RU?
LU?
I?
串联谐振电路
IU ??, 同相
若令：
CL XX ?
?? 0?
则：
? 谐振
CL XX ?
串联谐振的条件是：
?
fCC
XfLLX CL
??
??
2
11 2 ????
谐振频率,
of
C
L
0
0
1
?
? ?
CL XX ?
LC
1
0 ??
LC
f
?2
1
0 ?
串联谐振的特点
? ? RXXRZZ CL ????? 22m i n
CL XX ?
?
?
0t a n 1 ??? ?
R
XX CL?U,I 同相
?
RXX CL ???
当 时
RIUXIUXIU CCLL 000 ??????
? 当电源电压一定时：
R
U
III ??? m a x0
UC, UL将大于
电源电压 U
注：串联谐振也被称为 电压谐振
当 时，
RXRX CL ??,
UUU CL ??
R
UI ?
0
谐振时：
U
R
X
X
R
U
XIU
U
R
X
X
R
U
XIU
C
CCC
L
LLL
???
???
0
0
LU?
CU?
I?
UUR ?? ?
CL XX ?
、
品质因数 —— Q 值
定义,电路处于串联谐振时，电感或电容上的
电压和总电压之比。
U
CR
U
R
X
U
U
R
L
U
R
X
U
C
C
L
L
0
0
1
?
?
??
??
谐振时,
RCR
L
U
U
U
UQ CL
0
0 1
?
?
????
?
在谐振状态下,若 R>XL,R>XC, Q 则体现了电容
或电感上电压比电源电压高出的倍数。
串联谐振特性曲线
0I
0f
2
0I
1f 2f f
I
R
UI ?
0
谐振电流
:0f
谐振频率
下限截止频率
上限截止频率
12
2
1
fff
f
f
??? 通频带
关于谐振曲线的讨论
(a) 不变，
0?
0I
变化。
(c) 不变，
f? 变化。
0?
0I
不变，
0?
0I
I
?
(b) 不变，
变化。
0?
0I
01? 02?
0I
I
? 0?
0I
I
?
分以下三种情况：
谐振曲线讨论（之一）
结论, R的变化引起 变化
R愈大 愈小（选择性差）
R愈小 愈大（选择性好）
0I
0I
0I
R小
R大
不变，
0?
0I
变化。
0I
0?
I
?
0I?
0?
（ 1） 不变
即 LC不变
LC
1
0 ??
R
UI ?
0
R改变
0I
改变
（ 2）
0I
分析,（ 1） 不变
即 U,R不变
R
UI ?
0
（ 2） 改变
0?
LC
1
0 ??
结论, LC 的变化引起 变化
L 变小或 C 变小 变大
L 变大或 C 变大 变小
0?
0?
0?
谐振曲线讨论（之二）
01? 02?
0I
I
?
不变，
变化。
0?
0I
谐振曲线讨论（之三）
结论, Q愈大，带宽愈小，曲线愈尖锐。
Q愈小，带宽愈大，曲线愈平坦。
Q
f
L
R
f 0
2
???
?
分析：
0I
不变,不变
0? （ LC）,R 不变，
f? ? ?12 ?? ? 如何改变
或？
可以
证明：
可见 与 Q 相关。f?
不变，
f? 变化。
0I
0?
不变，
0?
0I
I
?
2
0I
串联谐振时的阻抗特性
0?
R
?
感性
? ?0?? ?
? ? 22)(j CLCL XXRXXRZ ??????
Z
L?
C?1
容性
? ?0?? ?
串联谐振应用举例
收音机接收电路
1L
2L 3L
C
:1L
接收天线
2L
与 C,组成谐振电路
:3L
将选择的信号送
接收电路
1L
2L 3L
C
组成谐振电路,选出所需的电台。
C - 2L
321 eee,、
为来自 3个不同电台（不同频率）
的电动势信号；
C
2L
2LR
1e
2e
3e
已知：
??? 20 H2 5 0 22 LRL,?
k Hz8 2 01 ?f
C
2L
2LR
1e
2e
3e
解：
CL
f
2
1 2
1
?
?
? ? 222
1
Lf
C
?
?
? ? pF15010250108202
1
623
?
????
?
??
C
如果要收听 节目,C 应配多大？
1e
问题 （一）：
结论,当 C 调到 150 pF 时，可收听到 的节目。
1e
问题 （二）：
1e
信号在电路中产生的电流 有多
大？在 C 上 产生的电压是多少？
V101 μE ?
pF1501 ?C
H2 5 02 μL ?
?? 20 2LR
已知：
k Hz8 2 01 ?f
解答：
12902 1 ???? fLXX CL ??
A5.0
2
1 ???
R
EI V645C1 ??? CIXU
所希望的信号
被放大了 64倍。
C
2L
2LR
1e
2e
3e
当 时
领先于 (容性 )
CL II ?
I? U?
U?
I?
LI?
CI?
谐振
当 时
CL II ?
0?I?
LI?
U?
CI?
理想情况,纯电感和纯电容
并联。
当 时
落后于 (感性 )
CL II ?
I? U?
U?
LI?
CI?
I?
I?
U?
LI? CI?
§ 5.16 并联电路的谐振
CL X
U
X
U ?
C
L
0
0
1
?
? ?
LC
1
0 ?? LC
f
?2
1
0 ?
或
LI?
U?
CI?
CL II ?
理想情况下并联谐振条件
I?
U?
LI?
CI?
C
C
L
RL
X
U
I
XR
U
I
j
j
?
?
?
?
?
?
?
?
U?
RLI?
CI?
I?
CRL III ??? ??
非理想情况下的并联谐振
U?
I?
RLI?
CI?
UI ??,同相时则谐振
? ? ? ?
UC
LR
L
LR
R
UC
LR
I
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2222
j
j
j
1
虚部实部
则, 同相I?
U?虚部 =0。谐振条件：
U?
I?
RLI?
CI?
CRL III ??? ??
一、非理想情况下并联谐振条件
? ?
002
0
2
0 ??
?
C
LR
L
?
?
?
由上式虚部
并联谐振频率
U?
I?
RLI?
CI?
2
2
2
0 1
11 R
L
C
LCL
R
LC
?????
得：
LC
1
0 ?? LCf ?2
1
0 ?
或02 ?R
L
C当 时
并联谐振的特点
? I? 同相。U?,
电路的总阻抗最大。?
定性分析,
I?
U?
LI?
CI?
Z
U?
LI?
CI?
理想情况下
谐振时,????? m a x0 ZZI?
总阻抗：
RC
LZZ ??
m a x0
? ? ? ?
UC
LR
L
LR
R
I ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
? 2222
j
得：
I
RC
LU ?? ?
2
2
0
1
L
R
LC
???
代入
并联谐振电路总阻抗的大小
U?
I?
RLI?
CI?
谐振时虚部为零,即,
? ? ULR
RI ?? ?
?
? 22
?
什么性质?
并联谐振
电路总阻抗：
RC
L
ZZ ?? m a x0
??0Z
0?R当 时
U? U?
所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。
?
m i nIZ
UI
O
??
外加电压一定时，
总电流最小。
?
I?
U? LI?
CI?
Z
OU?
SI?
m a xZZ O ??
OSO ZIUU ??? m a x
外加电流为恒定电流 时，
输出电压最大。 ）（ SI?
并联支路中的电流可能比总电流大。
支路电流可能
大于总电流
U?
RLI?
CI?
I?
?
电流谐振
U?
I?
RLI?
CI?
U?
I?
RLI?
CI?
0 CU
X
UI
C
C ???
0
U
L
RC
Z
UI ??
?
R
L
I
IQ C 0???
?
IIC ?
则
RL ?0?
若
品质因数 --Q,
Q为支路电流和总电流之比。
当 时,RL ??
0? CRL II ?
CR
1
0?
?Q
并联谐振特性曲线
?
Z
I
0? 容性感性
思考,时
为什么是感性？ 0
?? ?
并联谐振应用举例
? ?
be
LC
i
O
r
RR
U
U
A
//?
???
?
CCV?
CR
LR 0U?
iU?
CR
替代后，在谐振
频率下放大倍数
将提高。该种频
率的信号得到较
好的放大，起到
选频作用。
消除噪声
谐振滤波器 利用谐振进行选频、滤波。
LC
ff N
?2
1
0 ??
令滤波器工作在噪声频率下，
即可消除噪声。
---信号源
)sSE ?（?
---噪声源
）（ NNE ??
已知：
C
接
收
网
络
SE?
NE?
r
谐振
滤波器
L
提取信号
LC
ff S
?2
1
0 ??
令滤波器工作在 频率下，
信号即可顺利地到达接收网
络。
Sf
---信号源
)sSE ?（?
---噪声源
）（ NNE ??
已知：
SE?
NE?
r
接
收
网
络
谐振
滤波器
L C
分析（一）：抑制噪声
I?
2LI?
CI?
信号被滤掉了
NE?
Nf
CL
f ??
2
0
1
令：
消除噪声
提取信号 C 接
收
网
络SE?
NE?
谐振
滤波器
1L
2L
分析（二）：
提取信号
CU?
CI?
1LU?
NS ff ?
1LI?
接
收
网
络
SE?
NE?
谐振
滤波器
1L
2L
C
则信号全部降落在接收网络上。
01 ?? LC UU ??
若在
Sf
下
CU?
1LI?
2LI?
CI?
1LU?
2LI?
选频电路
iu
L
C1
C2
R
ou
已知：
r a d /s314H12.0
V3s in2s in2 21
??
??
?
??
L
tUtUu i
若使 tUu
o ?s i n2 1?
？？ ?? 21 CC
例
解：
iu
L
C1 C2
R
ou
已知：
V3s i n2s i n2 21 tUtUu i ?? ??
被滤掉
L
C
XX LC ?
?
3
3
1
1
1 ???
?
代入 ? 和 L 值得：
F4.91 ??C
,L, C1 应在 3?下
产生并联谐振,3?的信号才能被滤掉。
（ 1）若使 tUu
o ?s in2 1?
（ 2）电路总阻抗在 ? 频率下 应 等于零，才能使
tUu o ?s in2 1?
?
0
j
1
j
1
j
)
j
1
(j
2
1
1
??
?
?
C
C
L
C
L
Z
?
?
?
?
?
代入 ?, L,C1 得：
F1.752 ??C
UU RL ?
串电容功率因数可以提高，甚至可以补偿到 1,但不
可以这样做！
原因是：在外加电压不变的情况下,负载得不到所
需的额定工作电压。
同样，电路中串、并电感或电阻也不能用于功率因
数的提高。其请自行分析。
CU?
I?
RLU?
U?
R
U?
I?
RLU?L
C
CU?
第五章
结束
